Конечномерные векторные поля и их приложения к исследованию автономных систем

0

Математический факультет

Кафедра геометрии и топологии

 

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА

 

Конечномерные векторные поля и их приложения

к исследованию автономных систем

 

 

Содержание

 

Введение ……………………………………………………………………….

5

1 Исторические сведения о появлении, развитии и приложениях понятия вращение векторного поля……………………………………………………

 

7

2 Вращение двумерных векторных полей ………………………………......

10

2.1 Понятие вращение двумерного векторного поля……………………….

10

2.2 Формулы для вычисления вращения двумерных векторных полей……………………………………………………………………………

 

11

2.3 Свойства вращения двумерных векторных полей………………………

13

2.4 Обзор областей применения понятия вращения двумерных векторных

полей……………………………………………………………………………

 

14

2.4.1 Применение понятия вращения конечномерных векторных полей в теории функций комплексного переменного………………………………..

 

14

2.4.1.1 Основная теорема алгебры……………………………………………

14

2.4.1.2 Теорема об алгебраическом числе нулей……………………………

16

2.4.2 Применение понятия вращения конечномерных векторных полей для исследования систем линейных алгебраических уравнений…………..

 

18

3. Вращение n-мерных векторных полей…………………………………….

22

3.1 Различные подходы к введению понятия вращение n-мерного векторного поля..………………………………………………………………

 

22

3.2 Формулы для вычисления вращения n-мерных векторных полей……..

27

3.3 Свойства вращения n-мерных векторных полей…………………….......

29

3.4 Обзор областей применения понятия вращения n-мерных векторных полей…………………………………………………………………………....

 

32

4 Приложения понятия вращения n-мерных векторных полей в теории обыкновенных дифференциальных уравнений……………………………...

 

34

4.1 Индексы особых точек автономных систем на плоскости……………...

34

4.2 Применение понятия вращения конечномерных векторных полей для доказательства существования особых точек автономных систем………...

 

42

4.3 Исследование точек покоя на неустойчивость…………………………..

50

4.4 Бифуркации………………………………………………………………...

51

Заключение……………………………………………………………………..

62

Список использованных источников…………………………………………

63

 

 

Аннотация

 

В представленной выпускной квалификационной работе рассмотрены конечномерные векторные поля и их приложения для исследования автономных систем.

Структура работы выглядит следующим образом.

Первый раздел содержит исторические сведения о появлении, развитии и приложениях понятия вращение векторного поля.

Во втором разделе рассматривается вращение двумерных векторных полей, а именно – различные подходы к введению понятия вращения двумерного векторного поля, формулы для вычисления вращения двумерных векторных полей, свойства вращения двумерных векторных полей, а также приводится обзор областей применения данного понятия. Обзор включает в себя применение понятия вращения двумерных векторных полей для исследования теории функций комплексного переменного (основная теорема алгебры, теорема об алгебраическом числе нулей) и систем линейных алгебраических уравнений.

 В третьем разделе рассматривается вращение n-мерных векторных полей, а именно – различные подходы к введению понятия вращения n-мерного векторного поля, формулы для вычисления вращения n-мерных векторных полей, свойства вращения n-мерных векторных полей, а также приводится обзор областей применения данного понятия.

В четвертом разделе рассматриваются приложения понятия вращения n-мерных векторных полей в теории обыкновенных дифференциальных уравнений: индексы особых точек автономных систем на плоскости, доказательство существования особых точек автономных систем, исследование точек покоя на неустойчивость, бифуркации.

Выпускная квалификационная работа выполнена печатным способом на 64 страницах с использованием 23 источников, 39 рисунков.

 

 

Abstract

 

In the presented final qualifying work konechnomerny vector fields and their appendices for research of independent systems are considered.

The structure of work looks as follows.

The first section contains historical data on emergence, development and concept appendices rotation of a vector field.

In the second section rotation of two-dimensional vector fields, namely – various approaches to introduction of concept of rotation of a two-dimensional vector field, a formula for calculation of rotation of two-dimensional vector fields, property of rotation of two-dimensional vector fields is considered, and also the review of scopes of this concept is provided. The review includes application of concept of rotation of two-dimensional vector fields for research of the theory of functions complex variable (the main theorem of algebra, the theorem of algebraic number of zero) and systems of the linear algebraic equations.

 In the third section rotation of n-dimensional vector fields, namely – various approaches to introduction of concept of rotation of a n-dimensional vector field, a formula for calculation of rotation of n-dimensional vector fields, property of rotation of n-dimensional vector fields is considered, and also the review of scopes of this concept is provided.

In the fourth section appendices of concept of rotation of n-dimensional vector fields in the theory of the ordinary differential equations are considered: indexes of special points of independent systems on the planes, the proof of existence of special points of independent systems, research of points of rest on instability, bifurkatsiya.

Final qualifying work is executed in the printing way on 64 pages with use of 23 sources, 39 drawings.

 

Введение

 

Понятие вращения конечномерного векторного поля восходит к Кронекеру и Пуанкаре [3]; стройная теория в основном принадлежит Брауэру; завершили построение общей теории знаменитые теоремы Хопфа о классификации отображений n-мерной сферы на себя.

Вращение – совсем элементарная и простая целочисленная характеристика поля. Несмотря на простоту, строгое определение вращения при помощи элементарных понятий математического анализа (или при помощи основных понятий алгебраической топологии) требует сравнительно громоздких построений. Однако для применений способ определения вращения роли не играет. Важны лишь факт существования вращения и три простых его свойства. Это позволяет рассказать на немногих страницах теорию вращения векторных полей и описать схемы построения понятия «вращения векторного поля».

Целью моей работы является изучение понятия вращения конечномерных векторных полей и возможностей их приложений для исследования автономных систем дифференциальных уравнений.

Задачи:

- рассмотрение различных подходов к введению понятия вращения конечномерного векторного поля;

- анализ существующих формул вращений для плоского и n-мерного случая;

- изучение свойств конечномерных векторных полей;

- составление обзора приложений вращения конечномерных векторных полей;

- вывод условий существования решений у автономных систем ОДУ при изучении приложений конечномерных векторных полей.

Теоретическая часть содержит различные определения вращения векторных полей, их свойства и формулы для вычисления. Что же касается практической части, то в данной работе приведены приложения, в которых раскрываются понятия вращения n-мерных векторных полей в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В частности, доказательство существования  особых точек автономной системы, состоящей из двух и трех обыкновенных дифференциальных уравнений, исследование точек покоя на устойчивость, анализ точек бифуркаций.

Актуальность данной работы объясняется эффективностью приложений теории вращения конечномерных векторных полей в теории дифференциальных уравнений.

Следует отметить, что теория вращения конечномерных и вполне непрерывных векторных полей и в настоящее время бурно развивается [1,2, 3, 12-22].


1 Исторические сведения о появлении, развитии и приложениях понятия вращения векторного поля

 

Известный французский математик Анри Пуанкаре (1854-1912) внес выдающийся вклад в появление и развитие понятия «вращения векторного поля». К наиболее замечательным и наиболее рано разработанным теориям [10] относится теория векторных (и поливекторных) полей и их особенностей, тесно связанная с теорией неподвижных точек непрерывных отображений. Первые относящиеся к ней определения и факты, в частности, фундаментальное понятие индекса особой точки  векторного поля, он установил ещё в восьмидесятых годах девятнадцатого столетия, в своих работах по качественной теории дифференциальных уравнений, т.е. ещё до создания своих собственно топологических работ.

Голландский математик Лёйтзен Эгберт Брауэр (1881-1966)  сформулировал и доказал в 1910 году теорему о неподвижной точке [1], которая широко применяется в теории дифференциальных и интегральных уравнений, а также  в других областях математики.

В дальнейшем, французский математик Жан Лере (1906-1998)  в и польский математик Юлий Шаудер (1898-1943)  опубликовали в 1934 году совместную работу «Topologie et équations fonctionelles», где был описан разработанный ими метод неподвижной точки. А именно, они обобщили понятие брауэровой степени отображения на некоторые классы отображений в банаховых пространствах; новое понятие позволило сформулировать более общие, чем известные ранее, признаки существования неподвижных точек.

Американский математик Соломон Лефшец (1884-1972) доказал известную теорему [2] о неподвижной точке, обобщающую классический результат Брауэра.

 Хайнц Хопф (1894-1971) достиг также выдающихся результатов [3] в области исследования вращения векторных полей. В качестве примера можно привести теорему об алгебраическом числе особых точек при отображении полиэдра в себя, гомотопическая  классификация отображений полиэдра произвольной размерности в сферу той же размерности, открытие бесконечного числа негомотопных между собой отображений трёхмерной сферы в двумерную, установление новых связей между дифференциальной геометрией и топологией.

Во второй половине двадцатого столетия большой вклад в развитие теории конечномерных и вполне непрерывных векторных полей внесли математики нашей страны. Следует отметить, что наибольший вклад был внесен воронежским математиком М.А. Красносельским (1920-1997) и его учениками [11].

Им был введен гомотопический инвариант - вращение вполне непрерывного векторного поля, обобщающее характеристику Л. Кронекера на бесконечномерный случай, а также интерпретируемое как алгебраическое число нулей (особых точек) векторного поля внутри области в банаховом пространстве, на границе которой поле не имеет нулей. Эта топологическая характеристика им была тщательно изучена, и установлен ряд принципов существования особых точек. С помощью понятия ­­­вращения им был обоснован принцип линеаризации при исследовании точек бифуркации в нелинейных проблемах с параметром и даны эффективные приложения к механике упругих конструкций; теорема М.А.Красносельского о бифуркациях широко используется в современной механике. Понятие «вращения» двойственно введенному Ж.Лере и Ю.Шаудером понятию степени бесконечномерного отображения F = I - K с вполне непрерывным отображением K. М.А. Красносельский виртуозно использовал специфики нелинейных задач, чтобы привести их в конечном этапе к вполне непрерывному векторному полю (или конечномерному) и к тополого-алгебраической проблеме вычисления его глобального вращения и топологических индексов изолированных решений. Им, совместно с П.П. Забрейко, был разработан алгоритм, позволяющий (при специальных условиях) устанавливать изолированность нуля векторного поля и вычислять топологический индекс.

В последующие годы существенные результаты по вычислению индекса особой точки конечномерных векторных полей получены Н.М. Близняковым, П.П. Забрейко, Н.В. Сенчаковой, а для вполне непрерывных векторных полей - М.А. Красносельским, П.П. Забрейко, В.Б. Меламедом. В наиболее общем виде проблема вычисления топологического индекса связана с современной теорией особенностей и исследовалась С.М. Гуссейн-Заде, В.М. Закалюкиным, А.Г. Хованским (ученики В.И. Арнольда), В.П. Паламодовым, Г.Н. Химшиашвили, и в Воронеже - Н.М. Близняковым.

Теория вращения конечномерных и вполне непрерывных векторных полей и в настоящее время бурно развивается, где следует выделить работы [1,2,3,12-22].

 

 

 ************************ЧАСТЬ РАБОТЫ ДЛЯ ОЗНАКОМЛЕНИЯ****************************

 

Заключение

 

В данной работе мы рассмотрели определения понятия вращения двумерного и n-мерного векторных полей, привели примеры векторных полей.

Проанализировали существующие формулы для нахождения вращения векторных полей и индекса особой точки.

Рассмотрели свойства вращений для плоского и n-мерного случая.

Были получены следующие результаты:

- Был разработан обзор  приложений теории вращения конечномерных векторных полей в различных областях математики. Обзор включает в себя доказательство основной теоремы алгебры, теоремы об алгебраическом числе нулей (применение в теории функции комплексного переменного), теоремы Боля – Брауэра и других теорем, а также их применение при решении систем линейных алгебраических уравнений.

- Решены задачи для шести различных типов систем по установлению существования особых точек.

- Решены задачи для трех типов систем по установлению поведения особых точек при прохождении точек бифуркации.

 

Список литературы

 

1  Петровский, И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / И. Г. Петровский. - Москва: Издательство московского университета, 1984. - 295 с.

2 Красносельский, М. А. Векторные поля на плоскости / М. А. Красносельский,  А. И. Перов, А. И. Поволоцкий. – Москва: Наука, 1963. - 248 с.

3 Красносельский, М. А. Геометрические методы нелинейного анализа / М. А. Красносельский, П. П. Забрейко. – М.: Наука, 1975. - 510 с.  

4 Красносельский, М. А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений / М. А. Красносельский. – М.: Гос. Изд. Технико-теорет. Литературы, 1956. - 393 с.

5  Босс, В. Анализ / B. Босс. – М.: Едиториал УРСС, 2004. - 216 с.

6 Зуев, А. Л. Качественная теория дифференциальных уравнений / А. Л.Зуев, Е. А. Буряченко. – Донецк: ДонНУ, 2007. - 50 с.

7 Дубровин, Б. А. Современная геометрия: Методы и приложения / Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко.  – М.: Наука, 1986. - 760 с.

8 Мышкис, А. Д. Математика для технических вузов. Специальные курсы /  А. Д. Мышкис. – СПб.: Издательство «Лань», 2009. — 640 с.

9 Соломатина, А. В. Вращение плоских векторных полей и его приложения в теории обыкновенных дифференциальных уравнений / А.В. Соломатина – статья.

10 Пуанкаре и топология: Успехи математических наук / П. С. Александров, т. XXVII, вып.1 (163), 1972 г. январь – февраль. – Режим доступа : http://ega-math.narod.ru/Nquant/Alex.htm

11 М.А. Красносельский - выдающийся ученый и педагог / Ю.Г. Борисович. – Режим доступа : http://nan.vstu.edu.ru/research-1.htm 

12 Красносельский, М. А.  Выпуклые функции и пространства Орлича / М.А. Красносельский. - М.: Физматгиз, 1958. – 305 c.

13 Красносельский, М. А. Положительные решения операторных уравнений / М. А. Красносельский. - М.: Физматгиз, 1962. – 298 c.

14 Красносельский, М. А. Функциональный анализ / М. А. Красносельский. - М.: Наука, СМБ, 1964. – 345 c.

15 Красносельский, М. А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений / М. А. Красносельский. - М.: Физматгиз, 1966. – 405 c.

16 Красносельский, М. А. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций / М. А. Красносельский, П. П. Забрейко, Е. И. Пустыльник. - М.: Наука, 1966. – 450 c.

17 Красносельский, М. А. Интегральные уравнения / М. А. Красносельский. - М.: Наука, 1968. – 233 c.

18 Красносельский, М. А. Приближенное решение операторных уравнений / М. А. Красносельский, Г. М. Вайникко, П. П. Забрейко. - М.: Наука, 1969. – 430 c.

19 Красносельский, М. А. Нелинейные почти периодические колебания / М. А. Красносельский, В. Ш. Бурд, Ю. С. Колесов. - М.: Наука, 1970. – 470 c.

20 Красносельский, М. А. Системы с гистерезисом / М. А. Красносельский, А. В. Покровский. - М.: Наука. 1983. – 299 c.

21 Красносельский, М. А. Позитивные линейные системы / М. А. Красносельский, Е.А. Лифшиц, А.В. Соболев. - М.: Наука, 1985. – 315 c.

22 Красносельский, М. А. Анализ устойчивости рассинхронизированных дискретных систем / М. А. Красносельский. - М.: Наука, 1992. – 270 c.

23 Мышкис, А. Д. Вращение плоского векторного поля / А. Д. Мышкис. - Соросовский образовательный журнал, N11, 1997.

 

Скачать:  У вас нет доступа к скачиванию файлов с нашего сервера. КАК ТУТ СКАЧИВАТЬ
У вас нет доступа к скачиванию файлов с нашего сервера. КАК ТУТ СКАЧИВАТЬ
У вас нет доступа к скачиванию файлов с нашего сервера. КАК ТУТ СКАЧИВАТЬ

Категория: Дипломные работы / Дипломные работы по математике

Уважаемый посетитель, Вы зашли на сайт как незарегистрированный пользователь.
Мы рекомендуем Вам зарегистрироваться либо войти на сайт под своим именем.