Контрольная работа
Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
6.1 Постановка задачи
Цель: освоить алгоритмы методов решения задачи Коши для ОДУ.
Задание:
- Найти численное решение задачи Коши
методами Рунге-Кутта 3 и 4 порядков на сетках с шагом τ = 0,1; τ = 0,05; τ = 0,025, соответственно, согласно выбранному варианту.
- На последовательности указанных сеток проверить сходимость полученного решения для указанных методов.
- Для сопоставления методов вычислить
, где
- точное решение
|
вариант |
f(t,u) |
t0 |
T |
u0 |
U(t) точное решение |
|
1 |
0,1 |
1,1 |
0,3314113 |
||
|
2 |
0 |
0,9 |
-1 |
||
|
3 |
0 |
0,9 |
0 |
||
|
4 |
0 |
0,9 |
0 |
||
|
5 |
0 |
0,9 |
0 |
||
|
6 |
0 |
0,9 |
1 |
||
|
7 |
0 |
0,9 |
3,4 |
||
|
8 |
0 |
1 |
0 |
||
|
9 |
0 |
1 |
1 |
||
|
10 |
0 |
1 |
1 |
6.2 Ход работы
Решим задачу Коши для дифференциального уравнения
/Точное решение
6.2. Методы Рунге-Кутта
Метод Рунге-Кутта III порядка
Метод Рунге-Кутта III порядка точности можно выполнить по следующим формулам:
(1) (2)
Проведем вычисления, используя формулы (1), которые применительно к нашему уравнению примут вид:
При τ = 0,1 для t1=0,1 получим
для следующей точки сетки t1=0,2 получим
результаты дальнейших вычислений поместим в таблицу 6.1
Аналогичные действия выполняются на сетках с шагами τ = 0,05 и τ = 0,025, результаты вычислений приведены в таблицах 6.2, 6.3, соответственно.
Метод Рунге-Кутта IV порядка
Метод Рунге-Кутта IV порядка точности можно выполнить по следующим формулам:
(3) (4)
Проведем вычисления, используя формулы (3), которые применительно к нашему уравнению примут вид:
При τ = 0,1 для t1=0,1 получим
для следующей точки сетки t1=0,2 получим
результаты дальнейших вычислений поместим в таблицу 6.1
Аналогичные действия выполняются на сетках с шагами τ = 0,05 и τ = 0,025, результаты вычислений приведены в таблицах 6.2, 6.3, соответственно
Таблица 6.1 τ = 0,1
|
i |
ti |
ui(1) |
||
|
Метод Рунге-Кутта III порядка |
Метод Рунге-Кутта IV порядка |
Точное решение
|
||
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0,1 |
1,1111293 |
1,1111112 |
1,1111111 |
|
2 |
0,2 |
1,2500445 |
1,2500003 |
1,2500000 |
|
3 |
0,3 |
1,4286573 |
1,4285723 |
1,4285714 |
|
4 |
0,4 |
1,6668231 |
1,6666689 |
1,6666667 |
|
5 |
0,5 |
2,0002894 |
2,0000057 |
2,0000000 |
|
6 |
0,6 |
2,5005744 |
2,500016 |
2,5000000 |
|
7 |
0,7 |
3,3346467 |
3,3333868 |
3,3333333 |
|
8 |
0,8 |
5,0039483 |
5,0002546 |
5,0000000 |
|
9 |
0,9 |
10,022309 |
10,0027518 |
10,000000 |
Таблица 6.2 τ = 0,05
|
i |
ti |
ui(2) |
||
|
Метод Рунге-Кутта III порядка |
Метод Рунге-Кутта IV порядка |
Точное решение
|
||
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0,05 |
1,0526327 |
1,05263158 |
1,0526316 |
|
2 |
0,10 |
1,1111135 |
1,111111115 |
1,1111111 |
|
3 |
0,15 |
1,1764745 |
1,176470597 |
1,1764706 |
|
4 |
0,20 |
1,2500058 |
1,250000017 |
1,2500000 |
|
5 |
0,25 |
1,3333415 |
1,333333364 |
1,3333333 |
|
6 |
0,30 |
1,4285827 |
1,428571481 |
1,4285714 |
|
7 |
0,35 |
1,5384769 |
1,538461626 |
1,5384615 |
|
8 |
0,40 |
1,6666875 |
1,66666681 |
1,6666667 |
|
9 |
0,45 |
1,8182101 |
1,818182052 |
1,8181818 |
|
10 |
0,50 |
2,0000389 |
2,000000384 |
2,0000000 |
|
11 |
0,55 |
2,2222767 |
2,222222865 |
2,2222222 |
|
12 |
0,60 |
2,5000784 |
2,50000111 |
2,5000000 |
|
13 |
0,65 |
2,8572600 |
2,857144864 |
2,8571429 |
|
14 |
0,70 |
3,3335177 |
3,333337208 |
3,3333333 |
|
15 |
0,75 |
4,0003118 |
4,000008219 |
4,0000000 |
|
16 |
0,80 |
5,0005861 |
5,000020041 |
5,0000000 |
|
17 |
0,85 |
6,667967 |
6,666727534 |
6,6666667 |
|
18 |
0,9 |
10,0038618 |
10,000272049 |
10 |
Таблица 6.3 τ = 0,025
|
i |
ti |
ui(3) |
||
|
Метод Рунге-Кутта III порядка |
Метод Рунге-Кутта IV порядка |
Точное решение
|
||
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0,025 |
1,025641092 |
1,025641026 |
1,025641026 |
|
2 |
0,05 |
1,052631717 |
1,052631579 |
1,052631579 |
|
3 |
0,075 |
1,081081297 |
1,081081081 |
1,081081081 |
|
4 |
0,1 |
1,111111413 |
1,111111111 |
1,111111111 |
|
5 |
0,125 |
1,142857539 |
1,142857143 |
1,142857143 |
|
6 |
0,15 |
1,176471089 |
1,176470589 |
1,176470588 |
|
7 |
0,175 |
1,212121829 |
1,212121213 |
1,212121212 |
|
8 |
0,2 |
1,250000746 |
1,250000001 |
1,25 |
|
9 |
0,225 |
1,290323472 |
1,290322582 |
1,290322581 |
|
10 |
0,25 |
1,333334388 |
1,333333335 |
1,333333333 |
|
11 |
0,275 |
1,379311585 |
1,379310347 |
1,379310345 |
|
12 |
0,3 |
1,42857288 |
1,428571432 |
1,428571429 |
|
13 |
0,325 |
1,481483175 |
1,481481486 |
1,481481481 |
|
14 |
0,35 |
1,538463511 |
1,538461544 |
1,538461538 |
|
15 |
0,375 |
1,600002297 |
1,600000007 |
1,6 |
|
16 |
0,4 |
1,666669342 |
1,666666676 |
1,666666667 |
|
17 |
0,425 |
1,739133555 |
1,739130447 |
1,739130435 |
|
18 |
0,45 |
1,818185465 |
1,818181834 |
1,818181818 |
|
19 |
0,475 |
1,90476618 |
1,904761925 |
1,904761905 |
|
20 |
0,5 |
2,000005031 |
2,000000026 |
2 |
|
21 |
0,525 |
2,105269107 |
2,105263191 |
2,105263158 |
|
22 |
0,55 |
2,222229299 |
2,222222265 |
2,222222222 |
|
23 |
0,575 |
2,352949653 |
2,352941232 |
2,352941176 |
|
24 |
0,6 |
2,500010236 |
2,500000073 |
2,5 |
|
25 |
0,625 |
2,666679147 |
2,666666765 |
2,666666667 |
|
26 |
0,65 |
2,857158246 |
2,857142991 |
2,857142857 |
|
27 |
0,675 |
3,076942306 |
3,076923262 |
3,076923077 |
|
28 |
0,7 |
3,33335774 |
3,333333594 |
3,333333333 |
|
29 |
0,725 |
3,636395199 |
3,636364013 |
3,636363636 |
|
30 |
0,75 |
4,000041746 |
4,00000056 |
4 |
|
31 |
0,775 |
4,444501197 |
4,444445309 |
4,444444444 |
|
32 |
0,8 |
5,000079829 |
5,000001396 |
5 |
|
33 |
0,825 |
5,714402972 |
5,714288103 |
5,714285714 |
|
34 |
0,85 |
6,666848923 |
6,666671074 |
6,666666667 |
|
35 |
0,875 |
8,000305882 |
8,000009011 |
8 |
|
36 |
0,9 |
10,000572906 |
10,000021333 |
10 |
Проверка сходимости полученного решения для указанных методов.
Для проверки сходимости методов Рунге-Кутта вычислим максимальную разность между соответствующими значениями функции на сетках ui(1), ui(2), ui(3), т.е. maxi /u2i(2)- ui(1)/, maxi /u2i(3)- ui(2)/. Результаты вычислений приведены в таблицах 6.4, 6.5.
Таблица 6.4
|
i |
ti |
/u2i(2)- ui(1)/ |
|
|
Метод Рунге-Кутта III порядка |
Метод Рунге-Кутта IV порядка |
||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0,1 |
1,58E-05 |
8,5E-08 |
|
2 |
0,2 |
3,87E-05 |
2,83E-07 |
|
3 |
0,3 |
7,46E-05 |
8,19E-07 |
|
4 |
0,4 |
0,0001356 |
2,09E-06 |
|
5 |
0,5 |
0,0002505 |
5,316E-06 |
|
6 |
0,6 |
0,000496 |
1,489E-05 |
|
7 |
0,7 |
0,001129 |
4,9592E-05 |
|
8 |
0,8 |
0,0033622 |
0,000234559 |
|
9 |
0,9 |
0,0184472 |
0,002479751 |
|
maxi |
0,0184472 |
0,002479751 |
|
Таблица 6.5
|
i |
ti |
/u2i(3)- ui(2)/ |
|
|
Метод Рунге-Кутта III порядка |
Метод Рунге-Кутта IV порядка |
||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0,05 |
9,83E-07 |
1E-09 |
|
2 |
0,10 |
2,087E-06 |
4E-09 |
|
3 |
0,15 |
3,411E-06 |
8E-09 |
|
4 |
0,20 |
5,054E-06 |
1,6E-08 |
|
5 |
0,25 |
7,112E-06 |
2,9E-08 |
|
6 |
0,30 |
9,82E-06 |
4,9E-08 |
|
7 |
0,35 |
1,3389E-05 |
8,2E-08 |
|
8 |
0,40 |
1,8158E-05 |
1,34E-07 |
|
9 |
0,45 |
2,4635E-05 |
2,18E-07 |
|
10 |
0,50 |
3,3869E-05 |
3,58E-07 |
|
11 |
0,55 |
4,7401E-05 |
6E-07 |
|
12 |
0,60 |
6,8164E-05 |
1,037E-06 |
|
13 |
0,65 |
0,000101754 |
1,873E-06 |
|
14 |
0,70 |
0,00015996 |
3,614E-06 |
|
15 |
0,75 |
0,000270054 |
7,659E-06 |
|
16 |
0,80 |
0,000506271 |
1,8645E-05 |
|
17 |
0,85 |
0,001118077 |
5,646E-05 |
|
18 |
0,9 |
0,003288894 |
0,000250716 |
|
maxi |
0,003288894 |
0,000250716 |
|
Полученные данные о максимальных разностях внесем в отдельную таблицу 6.6.
Таблица 6.6
|
maxi /u2i(k)- ui(k-1)/ |
Метод Рунге-Кутта III порядка |
Метод Рунге-Кутта IV порядка |
|
maxi /u2i(2)- ui(1)/ |
0,0184472 |
0,002479751 |
|
maxi /u2i(3)- ui(2)/ |
0,003288894 |
0,000250716 |
Из таблицы 6.6 видно, что рассматриваемая нами величина maxi /u2i(k)- ui(k-1)/для каждого метода уменьшается, а это характерно для сходящегося процесса.
Сопоставление методов
Для сопоставления методов необходимо вычислить
, где
- точное решение
Используя данные таблиц 6.1, 6.2, 6.3 вычислим , результаты представим в таблицах 6.7, 6.8, 6.9.
Таблица 6.7 τ = 0,1
|
i |
ti |
||
|
Метод Рунге-Кутта III порядка |
Метод Рунге-Кутта IV порядка |
||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0,1 |
1,82E-05 |
1E-07 |
|
2 |
0,2 |
4,45E-05 |
3E-07 |
|
3 |
0,3 |
8,59E-05 |
9E-07 |
|
4 |
0,4 |
0,0001564 |
2,2E-06 |
|
5 |
0,5 |
0,0002894 |
5,7E-06 |
|
6 |
0,6 |
0,0005744 |
1,6E-05 |
|
7 |
0,7 |
0,0013134 |
5,35E-05 |
|
8 |
0,8 |
0,0039483 |
0,0002546 |
|
9 |
0,9 |
0,022309 |
0,0027518 |
|
maxi |
0,022309 |
0,0027518 |
|
Таблица 6.8 τ = 0,05
|
i |
ti |
||
|
Метод Рунге-Кутта III порядка |
Метод Рунге-Кутта IV порядка |
||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0,05 |
1,1E-06 |
2E-08 |
|
2 |
0,10 |
2,4E-06 |
1,5E-08 |
|
3 |
0,15 |
3,9E-06 |
3E-09 |
|
4 |
0,20 |
5,8E-06 |
1,7E-08 |
|
5 |
0,25 |
8,2E-06 |
6,4E-08 |
|
6 |
0,30 |
1,13E-05 |
8,1E-08 |
|
7 |
0,35 |
1,54E-05 |
1,26E-07 |
|
8 |
0,40 |
2,08E-05 |
1,1E-07 |
|
9 |
0,45 |
2,83E-05 |
2,52E-07 |
|
10 |
0,50 |
3,89E-05 |
3,84E-07 |
|
11 |
0,55 |
5,45E-05 |
6,65E-07 |
|
12 |
0,60 |
7,84E-05 |
1,11E-06 |
|
13 |
0,65 |
0,0001171 |
1,964E-06 |
|
14 |
0,70 |
0,0001844 |
3,908E-06 |
|
15 |
0,75 |
0,0003118 |
8,219E-06 |
|
16 |
0,80 |
0,0005861 |
2,0041E-05 |
|
17 |
0,85 |
0,0013003 |
6,0834E-05 |
|
18 |
0,9 |
0,0038618 |
0,000272049 |
|
maxi |
0,0038618 |
0,000272049 |
|
Таблица 6.9 τ = 0,025
|
i |
ti |
||
|
Метод Рунге-Кутта III порядка |
Метод Рунге-Кутта IV порядка |
||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0,025 |
6,6E-08 |
0 |
|
2 |
0,05 |
1,38E-07 |
0 |
|
3 |
0,075 |
2,16E-07 |
0 |
|
4 |
0,1 |
3,02E-07 |
0 |
|
5 |
0,125 |
3,96E-07 |
0 |
|
6 |
0,15 |
5,01E-07 |
1E-09 |
|
7 |
0,175 |
6,17E-07 |
1E-09 |
|
8 |
0,2 |
7,46E-07 |
1E-09 |
|
9 |
0,225 |
8,91E-07 |
1E-09 |
|
10 |
0,25 |
1,055E-06 |
2E-09 |
|
11 |
0,275 |
1,24E-06 |
2E-09 |
|
12 |
0,3 |
1,451E-06 |
3E-09 |
|
13 |
0,325 |
1,694E-06 |
5E-09 |
|
14 |
0,35 |
1,973E-06 |
6E-09 |
|
15 |
0,375 |
2,297E-06 |
7E-09 |
|
16 |
0,4 |
2,675E-06 |
9E-09 |
|
17 |
0,425 |
3,12E-06 |
1,2E-08 |
|
18 |
0,45 |
3,647E-06 |
1,6E-08 |
|
19 |
0,475 |
4,275E-06 |
2E-08 |
|
20 |
0,5 |
5,031E-06 |
2,6E-08 |
|
21 |
0,525 |
5,949E-06 |
3,3E-08 |
|
22 |
0,55 |
7,077E-06 |
4,3E-08 |
|
23 |
0,575 |
8,477E-06 |
5,6E-08 |
|
24 |
0,6 |
1,0236E-05 |
7,3E-08 |
|
25 |
0,625 |
1,248E-05 |
9,8E-08 |
|
26 |
0,65 |
1,5389E-05 |
1,34E-07 |
|
27 |
0,675 |
1,9229E-05 |
1,85E-07 |
|
28 |
0,7 |
2,4407E-05 |
2,61E-07 |
|
29 |
0,725 |
3,1563E-05 |
3,77E-07 |
|
30 |
0,75 |
4,1746E-05 |
5,6E-07 |
|
31 |
0,775 |
5,6753E-05 |
8,65E-07 |
|
32 |
0,8 |
7,9829E-05 |
1,396E-06 |
|
33 |
0,825 |
0,00011726 |
2,389E-06 |
|
34 |
0,85 |
0,00018226 |
4,407E-06 |
|
35 |
0,875 |
0,00030588 |
9,011E-06 |
|
36 |
0,9 |
0,00057291 |
2,1333E-05 |
|
maxi |
0,00057291 |
2,1333E-05 |
|
Полученные данные для внесем в таблицу 6.10.
Таблица 6.10
|
Метод Рунге-Кутта III порядка |
Метод Рунге-Кутта IV порядка |
|
|
τ = 0,1 |
0,022309 |
0,0027518 |
|
τ = 0,05 |
0,0038618 |
0,000272049 |
|
τ = 0,025 |
0,00057291 |
2,1333E-05 |
Скачать: