Курсовая работа «Динамика»

0

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Уфимский  Государственный Авиационный Технический Университет

 

 

Кафедра Теоретической механики

 

 

 

 

Курсовая работа

«Динамика»

Вариант 1-21

 

 

 

 

 

Проверил: Горбаненко В.М

Выполнил: студент гр. АС-202

 

2013 г.

Содержание

 

Задания на курсовую работу. 3

  1. Предварительный расчет I 4
  2. Теорема о движении центра масс . 6
  3. Теорема о движении центра масс. 9
  4. Предварительный расчет II 10
  5. Дифференциальные уравнения движения. 11

6 Теорема об изменении кинетической энергии механической системы.. 17

7 Общее уравнение динамики. 19

8 Уравнение Лагранжа 2-го рода. 21

Список литературы.. 24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задания на курсовую работу.

Рис.1

Исходные данные:

; ;

; ; ;

, ;

, ;

, ;

; β = ; ;

Радиусы инерции блоков и катков вычислять по формуле ;

Коэффициент трения качения для катка определять как ;

Коэффициент трения скольжения тела 1 принять  f  = 0,1

1. Предварительный расчет I

Определить направление движения системы тел 1 и 2 относительно призмы 3. Для этого составить уравнения равновесия (условно считая их находящимися в равновесии на неподвижной призме 3) тел 1, 2 и блока А и блока В. Из этих уравнений определить силы натяжения нитей и по сумме моментов этих сил относительно оси вращения одного из блоков А (или В) определить направление вращения этого блока. Для катящегося без скольжения катка уравнение условного равновесия составлять в виде суммы моментов относительно точки его соприкосновения с поверхностью призмы 3; трением качения на данном этапе можно пренебречь.  

Тело 1:

1)      (1.1)

2)        (1.2)

Блок А:

 (1.3)

Блок В

 (1.4)

Тело 2:

 (1.5)

Из этих уравнений определяем силы натяжения нити T1 и Т2, реакции рейки Fp. По сумме моментов этих сил относительно оси вращения блока В определяем вращение этого блока.

 

Подставляем полученные значения в уравнение (1.4)

Учтем  тела 1 и  катка 2, получим уравнения:

Для тела 1:

   (1.6)

   (1.7)

Блок А:

 (1.8)

Блок В

 (1.9)

Тело 2:

 (1.10)

Из(1.6)    

Из (1.8) 

 

Из (1.10)

Подставим полученные значения в  (1.9).

Момент сил блока В относительно оси вращения отрицателен, а значит он вращается по часовой стрелке, система движется вниз.

2. Теорема о движении центра масс .

Определив, в каком направлении будут перемещаться тела 1 и 2, составить уравнения кинематических связей, то есть  уравнения, связывающие  между собой относительные  (по отношению к призме 3) линейные скорости центров масс тел 1 и 2 системы и угловые скорости блоков A и B, а также катка 2, совершающего плоскопараллельное движение. Обозначить  относительное перемещение тела 1 как S1r,, найти через него, используя уравнения кинематических связей, относительное перемещение S2r тела 2. Затем с помощью закона сохранения движения центра масс, записанному в проекциях на горизонтальную ось Ox, найти абсолютное перемещение S3 тела 3 по идеально гладкой горизонтальной поверхности, выразив его как функцию S1r .(Схема 2)

           Возьмем точку D  на ободе меньшего радиуса катка 2. Скорость, а следовательно, и направление движения будет совпадать  со скоростью катка 2. 

Зададимся  V1r.

Составим уравнения кинематических связей:

;

;

=

= ;

  ;

       

Найдем выражения для  S1r, S2r,   , , :

;

;

;                                

;

       

 Найдем выражения для   :

;                                                     

;

;

Теорема о движении центра масс.

Продифференцируем дважды по времени:

Так как: 

                                                  =0                     

             Следовательно:  => =0 =>

             Обозначим: , = , = ( + + )

=

                                           

       

       

 При t=0:                                    

                                                      

Подставиим значения:

   

        

При  некотором t:     

                                                 

Подставив значения и получим:

Приравняв уравнения при t=0 и при некотором t получим:

( )* =  

Решив данное уравнение получим:

                                           (4.2.9)

Подставив числовые значения  для  , получим:

                                   

 

 

 

 

 

 

3. Теорема о движении центра масс

Расположив на горизонтальной поверхности упор, ограничивающий перемещение тела 3, написать теорему о движении центра масс системы в проекциях на ось Ox. Далее используя связь между ускорениями   тела 1 и  тела 2, полученную дифференцированием, уравнения связи между соответствующими скоростями, определить горизонтальную реакцию Rx этого  упора, выразив ее как функцию ускорения   тела 1. (Схема 3)

Теорема о движении центра масс.

Продифференцируем дважды по времени:

Для системы:

    

Обозначим: , = , = ( + + )

Подставив значение получим:

               

Перемещения тел вдоль оси  Ox:

                       

Продифференцируем дважды по времени:

Подставив получим:

            

Подставим числовые значения:

 

 

4. Предварительный расчет II

В данном пункте и во всех последующих считать призму 3 неподвижным основанием. Движение всех остальных тел по призме рассматривать происходящим при действии их сил тяжестей, а также силы F и момента M. Для выяснения направления движения системы тел выполнить предварительный условно статический расчет. (Схема 4)

Предположим, что тело 1 совершает поступательное движение вниз по наклонной плоскости, каток 2 движется плоскопараллельно в строну движения рейки (влево).

Составим уравнения равновесия без учета сил трения и без момента качения, но с учетом силы F приложенной к телу 1 и момента М приложенного к телу 2

Для тела 1:

   (4.1)

   (4.2)

Блок А:

 (4.3)

Блок В

 (4.4)

Тело 2:

 (4.5)

                               

 (4.1) →         =1000+150*9,8*0,707=1039.45 H

 

 (4.5) →          

 (4.3) →        

Определим вращение блока В:

 (4.4) →        

Следовательно, предположение оказалось верным.

Найдем силы натяжения нитей и рейки с учетом силы трения первого и моментом качения второго тел.

Для тела 1:

   (4.6)

   (4.7)

Блок А:

(4.8)

Блок В

 (4.9)

Тело 2:

 (4.10)

 (4.11)

   (4.12)

(4.6)→

(4.10) →           

(4.8) →         

Для проверки правильности  выбора направления движения подставим значения в формулу (4.9) получим:

*2- *1.25 = -1552,351  Следовательно, предположение оказалось верным

5. Дифференциальные уравнения движения

Составить дифференциальные уравнения движения каждого из тел системы и из их совместного решения найти скорость и ускорение центра масс тела 1, силы натяжения каждого из участков нити, силу трения сцепления катка 1 (или 2).

Тело 1:

 

 

 

 

 

 

                                    

 

 

 

 

Блок A:

 

    

                                             

(5.3)

Блок B:

 

 

(5.4)

Каток 2:

 

 

Умножим  на  и выразим

          (5.8)

Выразим из уравнения  

                            (5.9)

Приравняв (5.8) и (5.9) получим:

;

       (5.10)

 

 

Из уравнения  выразим

                          

Из уравнения  (5.3) найдем силу натяжения нити  :

         (5.11)

Подставим в (5.11) найденное выражение для :

   (5.12)

В уравнение (5.4) подставим найденные  силы натяжения

Преобразуем   используя кинематические связи для , , получим:

Перенесем в левую часть все члены уравнения, содержащие , и вынесем общий множитель:

    (5.14)

     (5.15)

 

Подставим числовые значения в  (5.15), используя значения  из пункта 6 для ,  и   ,  из пункта 4:

   (5.16)

С помощью найденного ускорения найдем силы натяжения нитей

Из (5.10), подставив числовые значения:

     

Из  (5.2) подставив числовые значения:

Из (5.11) подставив числовые значения:

        

Из (5.5) определим силу трения сцепления катка:

 150,431

Определим коэффициент трения катка 2:

Или

 

 

 

 

Определим скорость центра масс тела 1 как функцию его перемещения.

Проинтегрируем выражения для ускорения первого тела (5.16):

 (5.17)

Из (5.17): , так как при   , а следовательно и .

Итак (5.17) запишем в виде:

 

6 Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

 Найти скорость как функцию перемещения и ускорение центра масс тела 1 с помощью теоремы об изменении кинетической энергии механической

системы.(Схема 6)

Теорема об изменении кинетической энергии:

Для данной системы:

В момент времени :

Тогда теорема примет вид:      

Полная кинетическая энергия в конечном положении:

                         

  ,

где  , , моменты инерций блоков А,В и катка 2

    

          

Используя выражения для кинематических связей между скоростями из пункта 2, получим:

  (6.4)

Представим выражение  (6.5)  в виде : ,

где

      (6.6)

Подставим числовые  данные в выражение (6.6)

Следовательно  (6.5) примет вид:
         (6.7)

Распишем левую часть (6.1):

      (6.8)

 

Используя кинематические связи из пункта 2 подставляем их в (6.8)

имеем:

               (6.9)

Вынесем за скобку общий множитель , тогда (4.6.10) примет вид:

 

Обозначим    как  D    (6.10)

Тогда  (6.9) преобразуется:                      

Подставив числовые значения в (6.10) получим:

Следовательно, мы подтвердили результат расчета пункта 4

Тогда (6.9) примет вид:     (6.10)

Приравняв друг другу выражения  (6.7) и (6.10) получим следующее соотношение:

        
=      (6.11)

Продифференцируем  (6.11):

.

 

 

 

7 Общее уравнение динамики.

Найти ускорение центра масс тела 1 с помощью общего уравнения динамики.(Схема 7)

Для данной системы общего уравнения динамики имеет вид:

(7.1)

Где элементарные работы активных сил и сил инерции на возможных перемещениях.

Где (7.2)

(7.3)

Силы и моменты инерции тел 1,А,В и 2 соответственно равны:

; ; ; ;

Выразим возможные перемещения системы через перемещения тела 1.Из кинематики для системы с одной степенью свободы известным выражением:

;

;

;                                                     

Подставим в (7.1):

Преобразуем выражение  сократив все члены уравнения на  и перенеся в правую часть члены, содержащие :

      (7.4)

 

Подставим числовые значения в  (7.4) :

 

 [ ]

8 Уравнение Лагранжа 2-го рода.

Найти ускорение центра масс тела 1 с помощью уравнения Лагранжа 2-го рода. (Схема 7)

Уравнение Лагранжа второго рода.

    (8.1)

полная кинетическая энергия системы

 – обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате

Блоки А и В и каток  2 считаем однородными цилиндрами.

Найдем полную кинетическую энергию системы:

                         

  ,

Используя числовые данные , полученные из (4.5.4) для моментов инерций блоков А и В, катка 2, а также выражения для кинематических связей между скоростями (4.2.2), получим:

 (8.4)

Вынесем в за скобку общий множитель:

Так как , то получим частную производную кинетической энергии  из по обобщенной  .

 

, так как не присутствует явной координаты.

Дифференцируем по времени :

     (8.7)

   (8.8)

полная работа всех активных сил и моментов. Каждый из элементов получит возможные перемещения:

, ,   , ,

     (8.9)

Кинематическая связь между возможными перемещениями:

;

;   

;             (8.10)

;

Найдем работу всех активных сил и моментов для каждого тела:

         (8.11)

Тогда, подставив в    (8.8) используя  (8.10) :

 

Или:        

Подставив в уравнение Лагранжа второго рода  (8.1)   (8.7) и , получим:

Подставим числовые значения в

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

 

  1. Колесников К.С. Курс теоретической механики. М.: МГТУ им. Н.Э.Баумана. 2005 -736 с.
  2. Никитин Н.Н. Курс теоретической механики. М.: Высш. школа. 2003.-719 с.
  3. Тарг С.М. Курс теоретической механики. М.: Высшая школа. 2004.-416 с.
  4. Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механики. СПб.:«Лань», 2006, -768 с.
  5. М.И. Бать, Г.Ю. Джанелидзе, А.С. Кельзон. Теоретическая механика в примерах и задачах. Т.1, СПб.:«Лань», 2010, 624с.
  • . Динамика механической системы. –Задание 3Д. Методические указания к решению задач и курсовые задания по теоретической механике. УГАТУ; Сост. Ковган С.Т. – Уфа, 2010. – 29с.
  • . Аналитические методы динамики. – Задание 4Д. Методические указания к решению задач и курсовые задания по теоретической механике. УГАТУ; Сост.  Ковган С.Т. – Уфа, 2010. – 26с.

 

Скачать:  У вас нет доступа к скачиванию файлов с нашего сервера. КАК ТУТ СКАЧИВАТЬ

Категория: Курсовые / Курсовые по теоретической механике

Уважаемый посетитель, Вы зашли на сайт как незарегистрированный пользователь.
Мы рекомендуем Вам зарегистрироваться либо войти на сайт под своим именем.