Обработка результатов измерений с многократными наблюдениями

0

Кафедра метрологии, стандартизации и сертификации

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

по метрологии, стандартизации и сертификации

 

Обработка результатов измерений с многократными наблюдениями

 

 

 

Задание на курсовую работу по МС и С

Выполнить статистическую обработку результатов многократных наблюдений.

Используя критерии ГОСТ Р ИСО 5725 -2002 (ч.6), ГОСТ Р 50779.42-99 (ИСО 8258-91), провести анализ стабильности результатов измерений.

 

 

1

2

3

1

93,05

94,45

93,24

2

93,10

94,55

93,30

3

93,15

94,30

93,36

4

93,10

94,65

93,46

5

93,25

94,95

93,54

6

93,30

94,05

93,50

7

93,35

94,15

93,64

8

93,50

93,08

93,76

9

93,50

93,10

93,92

10

93,65

93,12

94,08

11

93,70

93,14

94,12

12

93,75

93,28

94,27

13

93,90

93,30

94,33

14

93,90

93,32

94,52

15

94,10

93,45

94,69

16

94,25

93,55

94,85

17

94,35

93,66

93,02

18

94,50

93,74

93,09

19

94,70

93,85

93,11

20

94,90

93,95

93,18

 

 

 

Аннотация

 

Курсовой проект содержит 94 страницы, в том числе 3 приложения, 4 источника использованной литературы, 26 таблиц.

В курсовом проекте выполнена обработка результатов группы результатов измерений с определением точечных оценок закона распределения, исключением результатов с грубыми погрешностями по критериям и статистической обработкой.

Затем проведена статистическая обработка результатов наблюдений при неравноточных измерениях и определение параметров закона распределения результатов наблюдений по составному критерию и критерию Колмогорова для группы результатов измерений.

За результат измерений принята оценка средневзвешенного значения при неравноточных измерениях.

Проведено построение контрольных карт Шухарта, причем за пределы предупреждения и действия взяты 2σ и 3σ соответственно.

Анализ контрольных карт Шухарта показал, что в измерениях отсутствуют критические признаки нестабильности и поэтому предложенные мероприятия носят превентивный характер.

 

 

Содержание

 

Введение .....................................................................................................................3

1 Общие сведения из теории погрешности измерений…………………… 4

2 Общая последовательность выполнения обработки результатов наблюдений …………………………………………………………………6

 

3 Группа результатов измерений N=60 ………………………………….9

3.1 составляем упорядоченную совокупность……………………………9

 

3.2 Определение точечных оценок закона распределения результатов наблюдений...............................................................................................

 

3.3 Определение оценок среднеквадратичного отклонения …………….. 3.4 Исключение результатов с грубыми погрешностями ..........................

 

3.5 Исключение систематических погрешностей измерений...................

 

3.6 Статистическая обработка результатов измерений …………………

3.7 Определение закона распределения результатов измерений……….

3.8 Представление результата измерений…………………………………

4 Заключение ………………………………………………………………..

Приложение А……………………………………………………………….

Приложение Б………………………………………………………………..

Приложение В……………………………………………………………….

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Цель курсового проекта – закрепление знаний по основным разделам курса теоретической метрологии, а также практическое обучение методам анализа и обработки статистических данных.

Измерения не являются самоцелью, а имеют определённую область использования, т. е. проводятся для достижения некоторого конечного результата в соответствии с поставленной задачей.

В зависимости от назначения измерений, их конечный результат в том, или ином виде отражает требуемую информацию о количественных свойствах объектов, явлений и процессов. Причем такая информация может быть получена путём измерения, в процессе испытания или контроля.

Измерение физической величины (РМГ 29-99) - совокупность операций по применению тех­нического средства, хранящего единицу физичес­кой величины, обеспечивающих нахождение со­отношения (в явном или неявном виде) измеряе­мой величины с ее единицей и получение значе­ния этой величины.

Равноточные измерения (РМГ 29-99) - ряд измерений какой-либо величины, выполненных одинаковыми по точности средствами измерений в одних и тех же условиях с одинако­вой тщательностью.

Неравноточные измерения (РМГ 29-99) - ряд измерений какой-либо величины, вы­полненных различающимися по точности средства­ми измерений и (или) в разных условиях.

Курсовой проект позволяет получить навыки выявления погрешностей в результатах наблюдений, статистической обработки результатов наблюдений отдельных групп, определения средневзвешенных статистических характеристик групп неравноточных наблюдений; представления результатов измерений; оценки формы и вида законов экспериментальных распределений физических величин; записи результатов измерений. Выполнение курсового проекта также позволяет овладеть практическими навыками в работе с нормативно-технической литературой и стандартами.

 

3 Группа результатов наблюдений N= 60

3.1 Составляем упорядоченную совокупность

Упорядочиваем совокупность результатов измерений и представляем в виде таблицы 1.1:

 

Таблица 1.1 – Упорядоченная совокупность результатов (n= 60)

№ наблюдения

Исходная совокупность результатов

наблюдений Хi

Упорядоченные

значения результатов наблюдений

1

93,05

93,02

2

93,10

93,05

3

93,15

93,08

4

93,10

93,09

5

93,25

93,10

6

93,30

93,10

7

93,35

93,10

8

93,50

93,11

9

93,50

93,12

10

93,65

93,14

11

93,70

93,15

12

93,75

93.18

13

93,90

93,24

14

93,90

93,25

15

94,10

93,28

16

94,25

93,30

17

94,35

93,30

18

94,50

93,30

19

94,70

93,32

20

94,90

93,35

21

94,45

93,36

22

94,55

93,45

23

94,30

93,46

24

94,65

93,50

25

94,95

93,50

26

94,05

93,50

27

94,15

93,54

28

93,08

93,55

29

93,10

93,64

30

93,12

93,65

31

93,14

93,66

32

93,28

93,70

33

93,30

93,74

34

93,32

93,75

35

93,45

93,76

36

93,55

93,85

37

93,66

93,90

38

93,74

93,90

39

93,85

93,92

40

93,95

93,95

41

93,24

94,05

42

93,30

94,08

43

93,36

94,10

44

93,46

94,12

45

93,54

94,15

46

93,50

94,25

47

93,64

94,27

48

93,76

94,30

49

93,92

94,33

50

94,08

94,35

51

94,12

94,45

52

94,27

94,50

53

94,33

94,52

54

94,52

94,55

55

94,69

94,65

56

94,85

94,69

57

93,02

94,70

58

93,09

94,85

59

93,11

94,90

60

93,18

94,95

3.2 Определение точечных оценок закона распределения результатов наблюдений

Требуется определить оценки результата измерения и СКО результатов наблюдений и измерений.

Будем считать, что закон распределения неизвестен. Координата центра распределения определяет положение случайной величины на числовой оси и может быть найдена несколькими способами. Наиболее фундаментальным является отыскание центра по принципу симметрии, т.е. такой точки X M на оси x, слева и справа от которой вероятности появления различных значений случайной величины одинаковы и равны 0,5.

В качестве оценки центра распределения может выбираться одна из следующих оценок (в зависимости от типа распределения): выборочное среднее арифметическое, медиана, центр размаха, срединный размах, среднее арифметическое 90%-ной выборки.

3.2.1 Определяем выборочное среднее арифметическое ( ) по формуле (2.4) [1]:

 

(1.1)

 

где X i – отдельные результаты наблюдений;

     n – общее количество результатов наблюдений.

 

3.2.2 Определяем среднее арифметическое 90%-ной выборки ( ) (2.7) [1]:

 

(1.2)

 

где 2r – число не учитываемых результатов;

       n – общее количество результатов наблюдений;

     X i – отдельные результаты наблюдений;

 

Рассчитаем 5% выборки: . Т.е. отбрасываем с концов вариационного ряда по трем значениям: , , , , и

3.2.3 Определяем медиану наблюдений ( ) по формуле (2.9) [1]:

Медианой называют наблюдаемое значение Xi, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант.

При n - чётном:

(1.3)

3.2.4 Серединный размах вариационного ряда определяем по формуле:

 

(1.4)

3.2.5 Центр размаха определяется по формуле (2.16) [1]:

                                                                   (1.5)

 

Полученные оценки центра распределения располагаем в вариационный ряд: или .

За оценку распределения (результата измерения) окончательно принимаем серединный размах вариационного ряда, так как эта оценка занимает медианное положение в ряду оценок: = = В.

           3.3 Определение оценок среднеквадратичного отклонения

Оценка среднеквадратичного отклонения результатов наблюдений:

                                                                              (1.6)

.

 

Оценка среднеквадратичного отклонения результатов измерений:

.

 

 

3.4 Исключение результатов с грубыми погрешностями

 

Вопрос исключения грубых погрешностей или промахов по критериям решается статистическими методами, которые не применимы к однократным измерениям. Основная гипотеза заключается в том, что результат измерения не содержит грубой погрешности, то есть, является измеряемой величиной. Подтверждая или опровергая эту гипотезу, мы можем оценить результаты измерений.

Для исключения результатов с грубыми погрешностями будем использовать критерий Романовского, трех сигм и вариационного размаха.

Исключение грубых погрешностей выполняется для проверки наличия промахов и делается перед определением дисперсии.

           3.4.1 Определение критерия Романовского:

Конкурирующая гипотеза о наличии грубых погрешностей в подозрительных результатах подтверждается, если выполняется неравенство:

.

- квантиль распределения Стьюдента,

- результат наблюдения, проверяемый на наличие грубой погрешности;

=94,95;

=2;

;

1,214>1,13 – нулевая гипотеза подтверждается.

           3.4.2 Определение критерия (трех сигм):

Результат, который удовлетворяет условию

, считается имеющим грубую погрешность и удаляется

- результат наблюдения, проверяемый на наличие грубой погрешности;

=94,95;

= 93,736;

S=0,566;

;

1,214<1,69 – нулевая гипотеза не подтверждается.

           3.4.3 Определение критерия вариационного размаха:

Если какой-либо член вариационного ряда, например , резко отличается от всех других, то производят проверку, используя следующее неравенство:

/

где   – выборочное среднее арифметическое значение, вычисленное после исключения предполагаемого промаха;

 – критериальное значение.

Если не удовлетворяет условию, то этот результат исключают из вариационного ряда.

=0,9

=94,95-93,02=1,93

93,76-0,9·1,93<94,95<93,76+0,9·1,93

92,023<94,95<95,497 - нулевая гипотеза не подтверждается.

 

Большинство критериев нулевую ошибку не подтверждают, значит не содержит грубую ошибку и его не нужно исключать.

Упорядоченная совокупность будет иметь вид:

Таблица 1.2 – Упорядоченная совокупность результатов, после проверки по критериям (n= 60)

 

 

1

2

3

1

93,02

93,36

94,05

2

93,05

93,45

94,08

3

93,08

93,46

94,1

4

93,09

93,5

94,12

5

93,1

93,5

94,15

6

93,1

93,5

94,25

7

93,1

93,54

94,27

8

93,11

93,55

94,3

9

93,12

93,64

94,33

10

93,14

93,65

94,35

11

93,15

93,66

94,45

12

93,18

93,7

94,5

13

93,24

93,74

94,52

14

93,25

93,75

94,55

15

93,28

93,76

94,65

16

93,3

93,85

94,69

17

93,3

93,9

94,7

18

93,3

93,9

94,85

19

93,32

93,92

94,9

20

93,35

93,95

94,95

 

3.5 Исключение систематических погрешностей измерений

 

Требуется выполнить обработку результатов по исключению переменной систематической погрешности.

Первичная обработка последовательности результатов наблюдений одной и той же величины состоит в исключении переменной систематической погрешности. Приведенные результаты представим графически (Приложение А), на графике можно увидеть прогрессирующую, линейно возрастающую по модулю погрешность.

Модуль переменной составляющей систематической погрешности определяется по формуле:

                                                        

где – разность между наибольшими и наименьшими значениями результатов наблюдений;

       – общее число результатов;

         – порядковый номер измерения.

Разность определяется по аппроксимирующей прямой.

 

тогда

,

 

; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

Округлив значения до сотых долей (точность получения результатов), её исключаем из результатов измерений по формуле:

 

,

где - поправка, вносимая в каждый результат.

Внеся исправления и упорядочив совокупность результатов измерений по степени возрастания, получаем новую последовательность результатов в виде таблицы 1.2.

Таблица 1.3 – Упорядоченная совокупность исправленных результатов измерений

 

№ наблюдения

Исправленные значения результата измерения

Хi, В

Упорядоченная исправленная совокупность результата измерения Хi, В

1

93,018

91,187

2

93,036

91,213

3

93,054

91,224

4

92,972

91,921

5

93,089

91,977

6

93,11

92,02

7

93,125

92,045

8

93,243

92,093

9

93,211

92,128

10

93,329

92,143

11

93,346

92,155

12

93,364

92,167

13

93,482

92,179

14

93,45

92,211

15

93,618

92,216

16

93,735

92,226

17

93,803

92,251

18

93,921

92,324

19

94,089

92,344

20

94,257

92,392

21

93,775

92,47

22

93,842

92,472

23

93,561

92,48

24

93,878

92,518

25

94,146

92,596

26

93,214

92,597

27

93,282

92,625

28

92,179

92,664

29

92,167

92,783

30

92,155

92,921

31

92,143

92,972

32

92,251

93,018

33

92,239

93,036

34

92,226

93,049

35

92,324

93,054

36

92,392

93,089

37

92,47

                   93,11

38

92,518

93,125

39

92,596

93,211

40

92,664

93,214

41

91,921

93,243

42

91,949

93,257

43

91,977

93,282

44

92,045

93,329

45

92,093

93,346

46

92,02

93,364

47

92,128

93,45

48

92,216

93,482

49

92,344

93,561

50

92,472

93,618

51

92,48

93,625

52

92,597

93,735

53

92,625

93,775

54

92,783

93,803

55

92,921

93,842

56

93,049

93,878

57

91,187

94,089

58

91,224

94,09

59

91,213

94,146

60

91,25

94,257

                                   

На основании данной таблицы достраиваем графики, приведенные в Приложении А, после внесения поправки на систематическую погрешность.

Для графического определения вида закона распределения построим гистограмму (рисунок 1 Приложения А)

 

3.6 Статистическая обработка результатов измерений

 

После исключения результатов с грубыми погрешностями и внесения поправок на систематическую погрешность проводим математическую статистическую обработку исправленных результатов измерений.

Определяем точечные оценки исправленных результатов измерений. Для этого по формулам, проведенным в разделе 1.1, определяем точечные оценки координаты центра распределения и СКО результатов наблюдений и измерений.

 

3.6.1 Статистическая обработка результатов измерений первой группы

3.6.1.1 Определяем выборочное среднее арифметическое ( ) по формуле (1.1):

3.6.1.2 Определяем среднее арифметическое 90%-ной выборки ( )

Среднее арифметическое находится по формуле (1.2). Пять процентов выборки в нашем случае 0,05∙n=0,05∙60=3, т.е. три результата измерения. Отбрасываем по трем измерениям с концов вариационного ряда, т.е. результаты х1=91,187; х2=91,213; х3=91,224; х58=94,09; х59=94,146; и х60=94,257.

 

3.6.1.3 Определяем медиану наблюдений ( ) по формуле (2.9) [1]:

При n - чётном:

 

 

 

,

3.6.1.4 Центр размаха определяется по формуле (1.5):

 

3.6.1.5 Серединный размах вариационного ряда определяем по формуле (1.5):

                                        

           Полученные оценки центра распределения располагаем в вариационный ряд: или .

За оценку распределения (результата измерения) окончательно принимаем среднее арифметическое, так как эта оценка занимает медианное положение в ряду оценок: = =92,84.

   3.6.1.6 Определение оценок среднеквадратичного отклонения

Оценка среднеквадратичного отклонения результатов наблюдений:

                                                                  (1.6)

.

 

Оценка среднеквадратичного отклонения результатов измерений:

.

3.6.2 Разделим вариационный ряд на интервалы

Вычислим число интервалов k по формуле:

 

,

,

 

 

Принимаем количество интервалов, на которые разбит вариационный ряд

Ширина интервала вычисляется по формуле:

 

,

Определяем границы интервалов, затем определяем частоту попадания в интервалы и середины интервалов.

Результаты (после исключения грубых и систематических погрешностей, упорядочения и разбиения выборки на интервалы) представлены в таблице 1.3.

 

Таблица 1.4 – Промежуточные значения интервального ряда

 

Граница интервалов

xi xi+1

Середины интервалов xi0

Частота попадания в интервалы mi

Статистическая вероятность (частость)

91,187-91,626

91,406

3

0,05

   91,626-92,065

91,846

4

0,067

92,065-92,504

92,285

16

0,267

92,504-92,943

92,724

7

0,116

92,943-93,382

93,163

16

0,267

93,382-93,821

93,602

8

0,133

93,821-94,258

94,054

6

0,1

Σ

 

60

1

3.6.3 Определяем среднее арифметическое ( ) по формуле:

 

,

где – значение измеряемой величины в середине - го интервала;

       – количество интервалов, на которые разбит вариационный ряд.

 

         3.6.4 Определяем несмещённую оценку СКО по формуле:

 

 

 

3.7 Определение закона распределения результатов измерений

Представим заданный статистический ряд в виде гистограммы, показанной в Приложении Б.

По виду гистограммы, предполагаем, что закон распределения результатов наблюдений в ряде образцов при измерении – нормальный.

 

3.7.1 Определение дифференциальной функции распределения

Вычислим дифференциальную функцию распределения для середин интервалов. Для этого вычислим значение нормированного аргумента по формуле, для каждого интервала:                      

                                                          

,

Затем, пользуясь статистической таблицей (Приложение Г) [6], определим дифференциальную функцию .

Используя свойство нормального распределения , находим значения дифференциальной функции в выбранных единицах (в случае использования интервалов) по формуле:

 

Окончательно все вычисления сводим в таблицу 1.5.

Для построения статистической функции распределения можно воспользоваться формулой для дополнительных вычислений:

 

 

Таблица 1.5 – Вероятностные параметры распределений

 

Середины

интервалов xi0

         

91,406

-2,013

0,0529

0,0324

0,0222

0,05

91,846

-1,4

0,1497

0,0917

0,0808

0,117

92,285

-0,79

0,2920

0,1788

0,2148

0,384

92,724

-0,17

0,3932

0,2407

0,4325

0,5

93,163

0,44

0,3621

0,2217

0,6700

0,767

93,602

1,05

0,2299

0,1408

0,8531

0,9

94,054

1,68

0,0973

0,0596

0,9535

1

 

Для построения теоретической функции воспользуемся Приложением В [6]. Графики экспериментальной и теоретической функций интегрального вида показаны в Приложении В.

 

По виду статистических кривых можно также сделать заключение о нормальности распределения экспериментальных данных, хотя для окончательного заключения требуется проверка по критериям согласия (или приближенная идентификация по точечным числовым характеристикам).

Окончательно результаты по определению вероятностных характеристик первой группы наблюдений сводим в таблицу 1.6.

 

Таблица 1.6 – Параметры функций распределений группы наблюдений

Границы интер-валов

xi-xi+1, мкм

Сере-

дины интерва-

лов xio, мкм

Нормиро-ванный параметр

Диф.

функция

норми-

рован.

нормал.

распре-деления

f(ti)

Диф.

функция

в единицах

выбранной величины

Эмпири-ческая

диф.

функция

Эмпири-ческая

инте-гральная

функция

Норми-

рованная

инте-

гральная

функция F(x)=F(t)

1

2

3

4

5

6

7

8

91,187-91,626

91,406

-2,013

0,0529

0,0324

0,05

0,05

0,0222

   91,626-92,065

91,846

-1,4

0,1497

0,0917

0,067

0,117

0,0808

92,065-92,504

92,285

-0,79

0,2920

0,1788

0,267

0,384

0,2148

92,504-92,943

92,724

-0,17

0,3932

0,2407

0,116

0,5

0,4325

92,943-93,382

93,163

0,44

0,3621

0,2217

0,267

0,767

0,6700

93,382-93,821

93,602

1,05

0,2299

0,1408

0,133

0,9

0,8531

93,821-94,258

94,054

1,68

0,0973

0,0596

0,1

1

0,9535

 

3.8 Представление результата измерений

За результат измерений принимается =92,84.

Погрешность результата измерений определяется по формуле:

 

 

 

 

 Скачать: У вас нет доступа к скачиванию файлов с нашего сервера. КАК ТУТ СКАЧИВАТЬ

Категория: Курсовые / Метрология курсовые

Уважаемый посетитель, Вы зашли на сайт как незарегистрированный пользователь.
Мы рекомендуем Вам зарегистрироваться либо войти на сайт под своим именем.