Кафедра метрологии
По дисциплине «Метрология»
Обработка многократных результатов измерений с неравноточными наблюдениями
Задание на курсовую работу
Общая формулировка задания:
Дать краткую характеристику метода измерений (определений, испытаний) и возможных источников возникновения погрешностей. Проанализировать возможную неопределённость метода измерений.
Выполнить статистическую обработку результатов наблюдений и контроль стабильности результатов наблюдений напряжения в условиях повторяемости при выполнении рутинного анализа.
Проверить на гипотезу о нормальности распределения результатов наблюдений.
Исходные данные:
Результаты измерения напряжения, полученные в условиях повторяемости, представлены в таблице , выраженные в «мм».
Таблица – Исходные данные
|
№ |
|||
|
1 |
8,8 |
5,0 |
5,1 |
|
2 |
9,9 |
6,0 |
5,2 |
|
3 |
11,9 |
6,0 |
13,4 |
|
4 |
13,9 |
7,0 |
14,9 |
|
5 |
9,3 |
7,0 |
14,8 |
|
6 |
5,7 |
8,0 |
11,4 |
|
7 |
6,9 |
8,0 |
11,5 |
|
8 |
14,5 |
9,0 |
10,5 |
|
9 |
15,0 |
9,2 |
10,4 |
|
10 |
5,7 |
10,0 |
9,4 |
|
11 |
6,8 |
10,0 |
9,5 |
|
12 |
7,4 |
11,0 |
6,3 |
|
13 |
8,7 |
11,0 |
8,5 |
|
14 |
7,4 |
12,0 |
8,5 |
|
15 |
13,7 |
12,0 |
7,4 |
|
16 |
12,3 |
13,0 |
7,9 |
|
17 |
12,8 |
13,0 |
6,3 |
|
18 |
10,4 |
14,0 |
12,5 |
|
19 |
10,7 |
14,5 |
12,6 |
|
20 |
11,1 |
15,0 |
13,6 |
.
Аннотация
Курсовая работа содержит 53 страницы, в том числе 2 приложения, 3 источника использованной литературы, 18 таблиц и 10 рисунков.
В курсовой работе выполнена обработка результатов 3 групп результатов наблюдений с определением точечных оценок закона распределения, исключением результатов с грубыми погрешностями по критериям и статистической обработкой.
Проведена статистическая обработка результатов наблюдений и определение параметров закона распределения результатов наблюдений по составному критерию и критерию Колмогорова.
Проведено построение карты Шухарта.
Анализ контрольной карты Шухарта показал, что в измерениях присутствуют критические признаки нестабильности.
Содержание
Введение........................................................................................................... 5
1 Краткая характеристика метода измерений................................................ 6
2 Обработка результатов наблюдений первой группы................................. 7
2.1 Определение точечных оценок закона распределения результатов наблюдений 7
2.2 Исключение результатов с грубыми погрешностями по критериям.... 10
2.3 Исключение систематической составляющей погрешности измерений 12
2.4 Статистическая обработка результатов измерений............................... 13
3 Обработка результатов наблюдений второй группы............................... 19
3.1 Определение точечных оценок закона распределения результатов наблюдений 19
3.2 Исключение результатов с грубыми погрешностями по критериям.... 22
3.3 Исключение систематической составляющей погрешности измерений 24
3.4 Статистическая обработка результатов измерений............................... 25
4 Обработка результатов наблюдений третьей группы.............................. 31
4.1 Определение точечных оценок закона распределения результатов наблюдений 31
4.2 Исключение результатов с грубыми погрешностями по критериям.... 34
4.3 Исключение систематической составляющей погрешности измерений 36
4.4 Статистическая обработка результатов измерений............................... 37
5 Определение параметров закона распределения результатов наблюдений по статистическим критериям............................................................................ 43
5.1 Определение параметров закона распределения результатов наблюдений по статистическим критериям............................................................................ 43
5.2 Проверка нормальности распределения по критерию согласия Колмогорова А.Н. ………………………………………………………………45
6 Приближенная идентификация формы и вида закона распределения результатов измерений…………………………………………………………47
6.1 Оценка центрального момента для первой группы…………………….47
6.2 Оценка центрального момента для второй группы……………………..48
6.3 Оценка центрального момента для третьей группы…………………….50
7 Построение контрольных карт Шухарта.................................................. 52
7.1 Контроль стабильности стандартного отклонения повторяемости рутинного анализа для результатов измерений........................................................................... 52
7.2 Проверка структур на тревожные признаки......................................... 53
8 Представление результатов измерений…...………………………………….54
8.1 Представление результатов измерений первой группы…………………..54
8.2 Представление результатов измерений второй группы…………………..54
8.3 Представление результатов измерений третьей группы………………….55
Заключение.................................................................................................... 56
Список использованных источников............................................................ 57
Приложение А............................................................................................... 58
Приложение Б................................................................................................ 63
Введение
Цель курсовой работы – закрепление знаний по основным разделам курса теоретической метрологии, а также практическое обучение методам анализа и обработки статистических данных.
Курсовая работа позволяет получить навыки выявления погрешностей в результатах наблюдений, статистической обработки результатов наблюдений отдельных групп, определения средневзвешенных статистических характеристик групп неравноточных наблюдений; представления результатов измерений; оценки формы и вида законов экспериментальных распределений физических величин; записи результатов измерений. Выполнение курсовой работы также позволяет овладеть практическими навыками в работе с нормативно-технической литературой и стандартами.
Любая отрасль знания характеризуется набором специальных терминов и понятий. Считаем необходимым дать ниже определение некоторым из них вследствие частого их упоминания в рамках настоящей курсовой работы.
Физическая величина – это одно из свойств физического объекта, общее в качественном отношении для многих физических объектов, но в количественном отношении индивидуальное для каждого из них.
Измерение – совокупность операций по применению технического средства, хранящего единицу физической величины , обеспечивающих нахождение соотношения измеряемой величины с её единицей и получение значения этой величины.
Метод измерений – приём или совокупность приёмов сравнения измеряемой физической величины с её единицей в соответствии с реализованным принципом измерений.
Погрешность – отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины.
1 Краткая характеристика метода измерений
Основной единицей измерения длины пути, как и вообще длины, служит метр. Первоначально за образец (эталон) метра было принято расстояние между двумя штрихами на специально изготовленном платино-иридиевом стержне длиной 102 см, хранящемся в Международном бюро мер и весов в Париже . Материал и форма сечения стержня и условия его хранения были выбраны так, чтобы наилучшим образом обеспечить неизменность образца. В частности, были приняты меры для поддержания постоянной температуры стержня. Тщательно выполненные вторичные эталоны — копии этого образца — хранятся в институтах мер и весов разных стран. Обилие разных единиц длины (а также и единиц для других физических величин) весьма неудобно на практике.
Поэтому в последнее время были разработаны международные стандартные определения единиц всех физических величин. Сборник этих определений называют системой единиц СИ (от слов Systeme Internationale — Международная система). С 1963 г. в СССР и ряде других стран система СИ рекомендована для применения во всех областях науки и техники.
Согласно этой системе, метр определен как длина, равная 1 650 763,73 длин волн оранжевого света, излучаемого специальной лампой, в которой под действием электрического разряда светится газ криптон. Число длин волн выбрано так, чтобы эта единица длины совпадала возможно точнее с парижским метром. Поэтому за единицу и не была выбрана длина, на которой укладывалось бы какое-либо круглое число (например, один миллион) длин волн. Эту новую единицу длины можно воспроизводить (оптическим путем) с большей точностью, чем архивный образец. Очень удобно, что для воспроизведения единицы длины не нужно обращаться к какому-то единственному хранящемуся образцу, а достаточно изготовить специальную криптоновую лампу и наблюдать испускаемый ею свет.
На практике для измерения длины, в том числе и для измерения расстояний между двумя положениями точки на траектории, применяют копии вторичных эталонов: стержни, линейки или ленты с делениями, равными длине эталона, либо его части (сантиметры, миллиметры). При измерении начало измерительной линейки совмещают с одним концом измеряемого отрезка и отмечают то ее деление, против которого окажется второй конец отрезка. Если второй конец не совпадает ни с одним из делений линейки, то «на глаз» оценивают, на какой доле расстояния между делениями он оказался.
2 Обработка результатов наблюдений первой группы
Упорядочиваем совокупность результатов наблюдений и представляем в виде таблицы 1:
Таблица 1 – Упорядоченная совокупность результатов наблюдений, мм
|
№ результата |
Результаты наблюдений |
Вариационный ряд |
|
1 |
8,8 |
5,7 |
|
2 |
9,9 |
5,7 |
|
3 |
11,9 |
6,8 |
|
4 |
13,9 |
6,9 |
|
5 |
9,3 |
7,4 |
|
6 |
5,7 |
7,4 |
|
7 |
6,9 |
8,7 |
|
8 |
14,5 |
8,8 |
|
9 |
15,0 |
9,3 |
|
10 |
5,7 |
9,9 |
|
11 |
6,8 |
10,4 |
|
12 |
7,4 |
10,7 |
|
13 |
8,7 |
11,1 |
|
14 |
7,4 |
11,9 |
|
15 |
13,7 |
12,3 |
|
16 |
12,3 |
12,8 |
|
17 |
12,8 |
13,7 |
|
18 |
10,4 |
13,9 |
|
19 |
10,7 |
14,5 |
|
20 |
11,1 |
15 |
2.1 Определение точечных оценок закона распределения результатов наблюдений
Требуется определить оценки результата измерения и СКО результатов наблюдений и измерений.
Будем считать, что закон распределения неизвестен. Координата центра распределения определяет положение случайной величины на числовой оси и может быть найдена несколькими способами. Наиболее фундаментальным является отыскание центра по принципу симметрии, т.е. такой точки на оси , слева и справа от которой вероятности появления различных значений случайной величины одинаковы и равны 0,5.
В качестве оценки центра распределения может выбираться одна из следующих оценок: выборочное среднее арифметическое, медиана, центр размаха, срединный размах.
2.1.1 Определяем выборочное среднее арифметическое () по формуле
(2.1)
где - отдельные результаты наблюдений;
- общее количество результатов наблюдений.
2.1.2 Определяем среднее арифметическое 90%-выборки ()
Среднее арифметическое находится по формуле :
(2.2)
где - число не учитываемых результатов. Пять процентов выборки в нашем случае , т.е. один результат измерения. Отбрасываем по одному измерению с начала и конца вариационного ряда, т.е. результаты и .
2.1.3 Определяем медиану распределения:
Медианой называют наблюдаемое значение (так называемую варианту), которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант.
При - чётном: (2.3)
2.1.4 Серединный размах вариационного ряда определяем по формуле
(2.4)
где - 25% и 75%-ные квантили опытного распределения (представляют собой усредненный значения конкретных результатов наблюдений).
Вычисляем 25% и 75%-ные квантили опытного распределения. Этими квантилями являются точки между 4 и 5, а также между 16 и 17 результатами:
Тогда:
2.1.5 Центр размаха определяется по формуле:
(2.5)
Полученные оценки центра распределения располагаем в вариационный ряд: или
За оценку распределения (результата измерения) окончательно принимаем среднее арифметическое вариационного ряда, так как эта оценка занимает медианное положение в ряду оценок:
2.1.6 Проверим присутствие грубых погрешностей в данной совокупности. Найдем среднеквадратическое отклонение () всех представленных результатов наблюдений:
(2.6)
Найдем несмещенную оценку СКО:
(2.7)
2.2 Исключение результатов с грубыми погрешностями по критериям
Общим математическим выражением отсутствия грубых погрешностей является условие:
2.2.1 Критерий Ирвина
(2.8)
Для наибольших значений случайной величины:
- условие выполняется, грубая погрешность отсутствует.
Для наименьших значений случайной величины:
– условие выполняется, грубая погрешность отсутствует.
2.2.2 Критерий Романовского:
(2.9)
- условие выполняется, грубая погрешность отсутствует;
- условие выполняется, грубая погрешность
отсутствует.
2.2.3 Критерий , Райта
(2.10)
;
- условие выполняется, грубая погрешность отсутствует;
- условие выполняется, грубая погрешность отсутствует.
2.2.4 Критерий Шовене
,
(2.11)
а отсюда следует, что грубая погрешность отсутствует;
а отсюда следует, что грубая погрешность отсутствует.
Вывод: четыре критерия из четырёх показали, что выбросов нет, следовательно, гипотеза о наличии грубой погрешности не подтверждается, т.е. результаты и не являются ошибочными и при дальнейшей обработке результатов наблюдений не исключаются из вариационного ряда.
2.3 Исключение систематической составляющей погрешности измерений
Требуется выполнить обработку результатов по исключению систематической составляющей погрешности измерений.
Первичная обработка последовательности результатов наблюдений одной и той же величины состоит в исключении переменной систематической погрешности. Приведённые результаты представим графически. На графике мы видим линейно возрастающую по модулю погрешность. График показан на рисунке А.1. Максимальное значение погрешности определяем как разность между значениями на аппроксимирующей прямой, для первого и двадцатого результатов наблюдений, которое принимаем за .
2.3.1 Модуль переменной составляющей систематической погрешности определяем по формуле:
(2.12)
где - разность между наибольшими и наименьшими значениями результатов наблюдений;
- общее число результатов;
- порядковый номер измерения;
Разность определяется по аппроксимирующей прямой.
В данном случае тогда
Таблица 2 – Результаты по исключению систематической погрешности, мм
|
№ |
Исходные результаты |
Исправленные результаты |
Вариационный ряд исправленных результатов |
|
1 |
5,7 |
8,744 |
5,14 |
|
2 |
5,7 |
9,788 |
5,364 |
|
3 |
6,8 |
11,732 |
6,184 |
|
4 |
6,9 |
13,676 |
6,508 |
|
5 |
7,4 |
9,02 |
6,616 |
|
6 |
7,4 |
5,364 |
6,728 |
|
7 |
8,7 |
6,508 |
7,972 |
|
8 |
8,8 |
14,052 |
8,744 |
|
9 |
9,3 |
14,496 |
9,02 |
|
10 |
9,9 |
5,14 |
9,392 |
|
11 |
10,4 |
6,184 |
9,637 |
|
12 |
10,7 |
6,728 |
9,788 |
|
13 |
11,1 |
7,972 |
9,98 |
|
14 |
11,9 |
6,616 |
11,404 |
|
15 |
12,3 |
12,86 |
11,732 |
|
16 |
12,8 |
11,404 |
11,848 |
|
17 |
13,7 |
11,848 |
12,86 |
|
18 |
13,9 |
9,392 |
13,676 |
|
19 |
14,5 |
9,637 |
14,052 |
|
20 |
15,0 |
9,98 |
14,496 |
2.4 Статистическая обработка результатов измерений
После исключения результатов с грубыми погрешностями и внесения поправок на систематическую погрешность проводим математическую статистическую обработку исправленных результатов измерения.
Определяем точечные оценки исправленных результатов измерений. Для этого по формулам, приведённым в разделе 1.1, определяем точечные оценки координаты центра распределения и СКО результатов наблюдений и измерений.
2.4.1 Определяем выборочное среднее арифметическое () по формуле (2.1):
где - отдельные результаты наблюдений;
- общее количество результатов наблюдений.
2.4.2 Определяем среднее арифметическое 90%-выборки ()
Среднее арифметическое находится по формуле (2.2):
.
где - число не учитываемых результатов
Пять процентов выборки в нашем случае , т.е. один результат измерения. Отбрасываем по одному измерению с начала и конца вариационного ряда, т.е. результаты и .
2.4.3 Определяем медиану распределения по формуле (2.3):
Медианой называют наблюдаемое значение (так называемую варианту), которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант.
При - чётном:
2.4.4 Серединный размах вариационного ряда определяем по формуле (2.4):
где - 25% и 75%-ные квантили опытного распределения (представляют собой усредненный значения конкретных результатов наблюдений).
Вычисляем 25% и 75%-ные квантили опытного распределения. Этими квантилями являются точки между 4 и 5, а также между 16 и 17 результатами:
Тогда:
2.4.5 Центр размаха определяется по формуле (2.5):
Полученные оценки центра распределения располагаем в вариационный ряд: или
За оценку распределения (результата измерения) окончательно принимаем среднее арифметическое вариационного ряда, так как эта оценка занимает медианное положение в ряду оценок:
2.4.6 Оценку СКО результатов наблюдений вычисляем по формуле (2.6):
2.4.7 Смещенную оценку СКО результатов наблюдений вычисляем по формуле:
(2.13)
2.4.8 Разделяем вариационный ряд на интервалы. Статистическая вероятность попадания -ого результата в данный интервал находим по формуле:
(2.14)
где - частота попадания результатов в каждый -й интервал;
(2.15)
2.4.9 Вычисляем ширину интервала по формуле:
(2.16)
Определяем границы интервалов, затем определяем частоту попадания в интервалы и середины интервалов. Результаты расчётов сводим в таблицу 3.
Таблица 3 – Промежуточные значения интервального ряда
|
Границы интервалов |
Середины интервалов |
Частота попаданий в интервалы |
Статистическая вероятность (частота) |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
5,14-7,0112 |
6,0756 |
6 |
0,3 |
|
7,0112-8,8824 |
7,9468 |
2 |
0,1 |
|
8,8824-10,7536 |
9,818 |
5 |
0,25 |
|
10,7536-12,6248 |
11,6892 |
3 |
0,15 |
|
12,6248-14,496 |
13,5604 |
4 |
0,2 |
|
|
20 |
1 |
Представим заданный статистический ряд в виде гистограммы (рисунок А.2 Приложение А).
Вычислим дифференциальную функцию распределения для середин интервалов. Для этого вычисляем значение нормированного аргумента по формуле для каждого интервала:
(2.17)
А затем, пользуясь статистической таблицей (Приложение Г), определяем дифференциальную функцию
Используя свойство нормального распределения находим значения дифференциальной функции в выбранных единицах. В случае использования интегралов применяют зависимость:
(2.18)
где - ширина интервала;
Окончательно все вычисления сводим в таблицу 4.
Таблица 4 – Вероятностные параметры распределения первой группы
|
Середины интервалов |
|||||
|
6,0756 |
-1,184 |
0,1989 |
0,126 |
0,119 |
0,3 |
|
7,9468 |
-0,548 |
0,3448 |
0,219 |
0,2946 |
0,4 |
|
9,818 |
0,088 |
0,3973 |
0,253 |
0,4641 |
0,65 |
|
11,6892 |
0,725 |
0,3079 |
0,196 |
0,7642 |
0,8 |
|
13,5604 |
1,365 |
0,1582 |
0,101 |
0,9131 |
1 |
Для построения теоретической функции воспользовались Приложением В[1]. Графики экспериментальной и теоретической функции интегрального вида показаны на рисунке А.3 Приложение А.
По виду статистических кривых можно также сделать заключение о нормальности распределения экспериментальных данных, хотя для окончательного заключения требуется проверка по критериям согласия (или приближенная идентификация по точечным числовым характеристикам).
Окончательно результаты по определению вероятностных характеристик первой группы наблюдений сводим в таблицу 5.
Таблица 5 – Параметры функций распределений первой группы наблюдений
|
Границы интервалов |
|||||||
|
5,14-7,0112 |
6,0756 |
-1,184 |
0,1989 |
0,126 |
0,3 |
0,3 |
0,119 |
|
7,0112-8,8824 |
7,9468 |
-0,548 |
0,3448 |
0,219 |
0,1 |
0,4 |
0,2946 |
|
8,8824-10,7536 |
9,818 |
0,088 |
0,3973 |
0,253 |
0,25 |
0,65 |
0,4641 |
|
10,7536-12,6248 |
11,6892 |
0,7256 |
0,3079 |
0,196 |
0,15 |
0,8 |
0,7642 |
|
12,6248-14,496 |
13,5604 |
1,362 |
0,1582 |
0,101 |
0,2 |
1 |
0,9131 |
3 Обработка результатов наблюдений второй группы
Упорядочиваем совокупность результатов наблюдений и представляем в виде таблицы 6:
Таблица 6 – Упорядоченная совокупность результатов наблюдений, мм
|
№ результата |
Результаты наблюдений |
Вариационный ряд |
|
1 |
5,0 |
5,0 |
|
2 |
6,0 |
6,0 |
|
3 |
6,0 |
6,0 |
|
4 |
7,0 |
7,0 |
|
5 |
7,0 |
7,0 |
|
6 |
8,0 |
8,0 |
|
7 |
8,0 |
8,0 |
|
8 |
9,0 |
9,0 |
|
9 |
9,2 |
9,2 |
|
10 |
10,0 |
10,0 |
|
11 |
10,0 |
10,0 |
|
12 |
11,0 |
11,0 |
|
13 |
11,0 |
11,0 |
|
14 |
12,0 |
12,0 |
|
15 |
12,0 |
12,0 |
|
16 |
13,0 |
13,0 |
|
17 |
13,0 |
13,0 |
|
18 |
14,0 |
14,0 |
|
19 |
14,5 |
14,5 |
|
20 |
15,0 |
15,0 |
3.1 Определение точечных оценок закона распределения результатов наблюдений
Требуется определить оценки результата измерения и СКО результатов наблюдений и измерений.
Будем считать, что закон распределения неизвестен. Координата центра распределения определяет положение случайной величины на числовой оси и может быть найдена несколькими способами. Наиболее фундаментальным является отыскание центра по принципу симметрии, т.е. такой точки на оси , слева и справа от которой вероятности появления различных значений случайной величины одинаковы и равны 0,5.
В качестве оценки центра распределения может выбираться одна из следующих оценок: выборочное среднее арифметическое, медиана, центр
размаха, срединный размах.
3.1.1 Определяем выборочное среднее арифметическое () по формуле (2.1):
где - отдельные результаты наблюдений;
- общее количество результатов наблюдений.
3.1.2 Определяем среднее арифметическое 90%-выборки ()
Среднее арифметическое находится по формуле (2.2)
где - число не учитываемых результатов. Пять процентов выборки в нашем случае , т.е. один результат измерения. Отбрасываем по одному измерению с начала и конца вариационного ряда, т.е. результаты и .
3.1.3 Определяем медиану распределения по формуле (2.3):
Медианой называют наблюдаемое значение (так называемую варианту), которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант.
При - чётном:
3.1.4 Серединный размах вариационного ряда определяем по формуле (2.4):
где - 25% и 75%-ные квантили опытного распределения (представляют собой усредненный значения конкретных результатов наблюдений).
Вычисляем 25% и 75%-ные квантили опытного распределения. Этими квантилями являются точки между 4 и 5, а также между 16 и 17 результатами:
Тогда:
3.1.5 Центр размаха определяется по формуле (2.5):
Полученные оценки центра распределения располагаем в вариационный ряд: или
За оценку распределения (результата измерения) окончательно принимаем серединный размах вариационного ряда, так как эта оценка занимает медианное положение в ряду оценок:
3.1.6 Проверим присутствие грубых погрешностей в данной совокупности. Найдем среднеквадратическое отклонение () всех представленных результатов наблюдений по формуле (2.6):
Найдем несмещенную оценку СКО по формуле (2.7):
3.2 Исключение результатов с грубыми погрешностями по критериям
Общим математическим выражением отсутствия грубых погрешностей является условие:
3.2.1 Критерий Ирвина (2.8)
Для наибольших значений случайной величины:
- условие выполняется, грубая погрешность отсутствует.
Для наименьших значений случайной величины:
– условие выполняется, грубая погрешность отсутствует.
3.2.2 Критерий Романовского (2.9):
- условие выполняется, грубая погрешность отсутствует;
- условие не выполняется, грубая погрешность присутствует.
3.2.3 Критерий , Райта (2.10):
- условие выполняется, грубая погрешность отсутствует;
- условие не выполняется, грубая погрешность присутствует.
3.2.4 Критерий Шовене (2.11):
,
а отсюда следует, что грубая погрешность отсутствует;
а отсюда следует, что грубая погрешность отсутствует.
Вывод: четыре критерия из четырёх показали, что выбросов нет, следовательно, гипотеза о наличии грубой погрешности не подтверждается, т.е. результаты и не являются ошибочными и при дальнейшей обработке результатов наблюдений не исключаются из вариационного ряда
3.3 Исключение систематической составляющей погрешности измерений
Требуется выполнить обработку результатов по исключению систематической составляющей погрешности измерений.
Первичная обработка последовательности результатов наблюдений одной и той же величины состоит в исключении переменной систематической погрешности. Приведённые результаты представим графически. На графике мы видим линейно возрастающую по модулю погрешность. График показан на рисунке А.4. Максимальное значение погрешности определяем как разность между значениями на аппроксимирующей прямой, для первого и двадцатого результатов наблюдений, которое принимаем за .
3.3.1 Модуль переменной составляющей систематической погрешности определяем по формуле (2.12):
где - разность между наибольшими и наименьшими значениями результатов наблюдений;
- общее число результатов;
- порядковый номер измерения;
Разность определяется по аппроксимирующей прямой.
В данном случае тогда
Таблица 7 – Результаты по исключению систематической погрешности, мм
|
№ |
Исходные результаты |
Исправленные результаты |
Вариационный ряд исправленных результатов |
|
1 |
5,0 |
4,515 |
4,515 |
|
2 |
6,0 |
5,031 |
4,547 |
|
3 |
6,0 |
4,547 |
4,578 |
|
4 |
7,0 |
5,063 |
4,610 |
|
5 |
7,0 |
4,578 |
4,673 |
|
6 |
8,0 |
5,094 |
4,705 |
|
7 |
8,0 |
4,610 |
4,736 |
|
8 |
9,0 |
5,126 |
4,768 |
|
9 |
9,2 |
4,842 |
4,842 |
|
10 |
10,0 |
5,157 |
5,031 |
|
11 |
10,0 |
4,673 |
5,063 |
|
12 |
11,0 |
5,189 |
5,094 |
|
13 |
11,0 |
4,705 |
5,126 |
|
14 |
12,0 |
5,220 |
5,157 |
|
15 |
12,0 |
4,736 |
5,189 |
|
16 |
13,0 |
5,252 |
5,220 |
|
17 |
13,0 |
4,768 |
5,252 |
|
18 |
14,0 |
5,284 |
5,284 |
|
19 |
14,5 |
5,299 |
5,299 |
|
20 |
15,0 |
5,315 |
5,315 |
3.4 Статистическая обработка результатов измерений
После исключения результатов с грубыми погрешностями и внесения поправок на систематическую погрешность проводим математическую статистическую обработку исправленных результатов измерения.
Определяем точечные оценки исправленных результатов измерений. Для этого по формулам, приведённым в разделе 1.1, определяем точечные оценки координаты центра распределения и СКО результатов наблюдений и измерений.
3.4.1 Определяем выборочное среднее арифметическое () по формуле (2.1):
где - отдельные результаты наблюдений;
- общее количество результатов наблюдений.
3.4.2 Определяем среднее арифметическое 90%-выборки ()
Среднее арифметическое находится по формуле (2.2) .
где - число не учитываемых результатов
Пять процентов выборки в нашем случае , т.е. один результат измерения. Отбрасываем по одному измерению с начала и конца вариационного ряда, т.е. результаты и .
3.4.3 Определяем медиану распределенияпо формуле (2.3)
Медианой называют наблюдаемое значение (так называемую варианту), которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант.
При - чётном:
3.4.4 Серединный размах вариационного ряда определяем по формуле (2.4):
где - 25% и 75%-ные квантили опытного распределения (представляют собой усредненный значения конкретных результатов наблюдений).
Вычисляем 25% и 75%-ные квантили опытного распределения. Этими квантилями являются точки между 4 и 5, а также между 16 и 17 результатами:
Тогда:
3.4.5 Центр размаха определяется по формуле (2.5):
Полученные оценки центра распределения располагаем в вариационный ряд: или
За оценку распределения (результата измерения) окончательно принимаем серединный размах вариационного ряда, так как эта оценка занимает медианное положение в ряду оценок:
3.4.6 Оценку СКО результатов наблюдений вычисляем по формуле (2.6):
3.4.7 Смещенную оценку СКО результатов наблюдений вычисляем по формуле (2.13):
3.4.8 Разделяем вариационный ряд на интервалы. Статистическая вероятность попадания -ого результата в данный интервал находим по формуле (2.14):
где - частота попадания результатов в каждый -й интервал (2.15);
3.4.9 Вычисляем ширину интервала по формуле (2.16):
Определяем границы интервалов, затем определяем частоту попадания в интервалы и середины интервалов. Результаты расчётов сводим в таблицу 8.
Таблица 8 – Промежуточные значения интервального ряда
|
Границы интервалов |
Середины интервалов |
Частота попаданий в интервалы |
Статистическая вероятность (частота) |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
4,515-4,675 |
4,595 |
5 |
0,25 |
|
4,675-4,835 |
4,755 |
3 |
0,15 |
|
4,835-4,995 |
4,915 |
1 |
0,05 |
|
4,995-5,155 |
5,075 |
4 |
0,2 |
|
5,155-5,315 |
5,235 |
7 |
0,35 |
|
|
20 |
1 |
Представим заданный статистический ряд в виде гистограммы (рисунок А.5 Приложение А).
Вычислим дифференциальную функцию распределения для середин интервалов. Для этого вычисляем значение нормированного аргумента по формуле (2.17) для каждого интервала:
А затем, пользуясь статистической таблицей (Приложение Г), определяем дифференциальную функцию
Используя свойство нормального распределения находим значения дифференциальной функции в выбранных единицах. В случае использования интегралов применяют зависимость (2.18):
где - ширина интервала;
Окончательно все вычисления сводим в таблицу 9.
Таблица 9 – Вероятностные параметры распределения второй группы
|
Середины интервалов |
|||||
|
4,595 |
-1,251 |
0,1826 |
0,1027 |
0,1057 |
0,25 |
|
4,755 |
-0,688 |
0,3144 |
0,1769 |
0,2451 |
0,4 |
|
4,915 |
-0,125 |
0,3956 |
0,2226 |
0,4483 |
0,45 |
|
5,075 |
0,437 |
0,3621 |
0,2038 |
0,67 |
0,65 |
|
5,235 |
1,0001 |
0,242 |
0,1362 |
0,8413 |
1 |
Для построения теоретической функции воспользовались Приложением В[1]. Графики экспериментальной и теоретической функции интегрального вида показаны на рисунке А.6 Приложение А.
По виду статистических кривых можно также сделать заключение о нормальности распределения экспериментальных данных, хотя для окончательного заключения требуется проверка по критериям согласия (или приближенная идентификация по точечным числовым характеристикам).
Окончательно результаты по определению вероятностных характеристик первой группы наблюдений сводим в таблицу 10.
Таблица 10 – Параметры функций распределений второй группы наблюдений
|
Границы интервалов |
|||||||
|
4,515-4,675 |
4,595 |
-1,251 |
0,1826 |
0,1027 |
0,25 |
0,25 |
0,1057 |
|
4,675-4,835 |
4,755 |
-0,688 |
0,3144 |
0,1769 |
0,15 |
0,4 |
0,2451 |
|
4,835-4,995 |
4,915 |
-0,125 |
0,3956 |
0,2226 |
0,05 |
0,45 |
0,4483 |
|
4,995-5,155 |
5,075 |
0,437 |
0,3621 |
0,2038 |
0,2 |
0,65 |
0,67 |
|
5,155-5,315 |
5,235 |
1,0001 |
0,242 |
0,1362 |
0,35 |
1 |
0,8413 |
4 Обработка результатов наблюдений третьей группы
Упорядочиваем совокупность результатов наблюдений и представляем в виде таблицы 11:
Таблица 11 – Упорядоченная совокупность результатов наблюдений, мм
|
№ результата |
Результаты наблюдений |
Вариационный ряд |
|
1 |
5,1 |
5,1 |
|
2 |
5,2 |
5,2 |
|
3 |
13,4 |
6,3 |
|
4 |
14,9 |
6,3 |
|
5 |
14,8 |
7,4 |
|
6 |
11,4 |
7,9 |
|
7 |
11,5 |
8,5 |
|
8 |
10,5 |
8,5 |
|
9 |
10,4 |
9,4 |
|
10 |
9,4 |
9,5 |
|
11 |
9,5 |
10,4 |
|
12 |
6,3 |
10,5 |
|
13 |
8,5 |
11,4 |
|
14 |
8,5 |
11,5 |
|
15 |
7,4 |
12,5 |
|
16 |
7,9 |
12,6 |
|
17 |
6,3 |
13,4 |
|
18 |
12,5 |
13,6 |
|
19 |
12,6 |
14,8 |
|
20 |
13,6 |
14,9 |
4.1 Определение точечных оценок закона распределения результатов наблюдений
Требуется определить оценки результата измерения и СКО результатов наблюдений и измерений.
Будем считать, что закон распределения неизвестен. Координата центра распределения определяет положение случайной величины на числовой оси и может быть найдена несколькими способами. Наиболее фундаментальным является отыскание центра по принципу симметрии, т.е. такой точки на оси, слева и справа от которой вероятности появления различных значений случайной величины одинаковы и равны 0,5.
В качестве оценки центра распределения может выбираться одна из следующих оценок: выборочное среднее арифметическое, медиана, центр
размаха, срединный размах.
4.1.1 Определяем выборочное среднее арифметическое () по формуле (2.1)
где - отдельные результаты наблюдений;
- общее количество результатов наблюдений.
4.1.2 Определяем среднее арифметическое 90%-выборки ()
Среднее арифметическое находится по формуле (2.2)
где - число не учитываемых результатов. Пять процентов выборки в нашем случае , т.е. один результат измерения. Отбрасываем по одному измерению с начала и конца вариационного ряда, т.е. результаты и .
4.1.3 Определяем медиану распределения по формуле (2.3)
Медианой называют наблюдаемое значение (так называемую варианту), которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант.
При - чётном:
4.1.4 Серединный размах вариационного ряда определяем по формуле (2.4)
где - 25% и 75%-ные квантили опытного распределения (представляют собой усредненный значения конкретных результатов наблюдений).
Вычисляем 25% и 75%-ные квантили опытного распределения. Этими квантилями являются точки между 4 и 5, а также между 16 и 17 результатами:
Тогда:
4.1.5 Центр размаха определяется по формуле (2.5):
Полученные оценки центра распределения располагаем в вариационный ряд: или
За оценку распределения (результата измерения) окончательно принимаем серединный размах вариационного ряда, так как эта оценка занимает медианное положение в ряду оценок:
4.1.6 Проверим присутствие грубых погрешностей в данной совокупности. Найдем среднеквадратическое отклонение () всех представленных результатов наблюдений (2.6):
Найдем несмещенную оценку СКО (2.7):
4.2 Исключение результатов с грубыми погрешностями по критериям
Общим математическим выражением отсутствия грубых погрешностей является условие:
4.2.1 Критерий Ирвина (2.8)
Для наибольших значений случайной величины:
- условие выполняется, грубая погрешность отсутствует.
Для наименьших значений случайной величины:
– условие выполняется, грубая погрешность отсутствует.
4.2.2 Критерий Романовского(2.9):
- условие выполняется, грубая погрешность отсутствует;
- условие выполняется, грубая погрешность отсутствует.
4.2.3 Критерий , Райта (2.10)
;
- условие выполняется, грубая погрешность отсутствует;
- условие выполняется, грубая погрешность отсутствует.
4.2.4 Критерий Шовене (2.11)
,
а отсюда следует, что грубая погрешность отсутствует;
а отсюда следует, что грубая погрешность отсутствует.
Вывод: четыре критерия из четырёх показали, что выбросов нет, следовательно, гипотеза о наличии грубой погрешности не подтверждается, т.е. результаты и не являются ошибочными и при дальнейшей обработке результатов наблюдений не исключаются из вариационного ряда.
4.3 Исключение систематической составляющей погрешности измерений
Требуется выполнить обработку результатов по исключению систематической составляющей погрешности измерений.
Первичная обработка последовательности результатов наблюдений одной и той же величины состоит в исключении переменной
систематической погрешности. Приведённые результаты представим графически. На графике мы видим линейно возрастающую по модулю погрешность. График показан на рисунке А.7. Максимальное значение погрешности определяем как разность между значениями на аппроксимирующей прямой, для первого и двадцатого результатов наблюдений, которое принимаем за .
4.3.1 Модуль переменной составляющей систематической погрешности определяем по формуле (2.12):
где - разность между наибольшими и наименьшими значениями результатов наблюдений;
- общее число результатов;
- порядковый номер измерения;
Разность определяется по аппроксимирующей прямой.
В данном случае тогда
Таблица 12 – Результаты по исключению систематической погрешности, мм
|
№ |
Исходные результаты |
Исправленные результаты |
Вариационный ряд исправленных результатов |
|
1 |
5,1 |
5,095 |
5,095 |
|
2 |
5,2 |
5,19 |
5,19 |
|
3 |
6,3 |
13,385 |
6,216 |
|
4 |
6,3 |
14,88 |
6,2407 |
|
5 |
7,4 |
14,775 |
7,325 |
|
6 |
7,9 |
11,37 |
7,82 |
|
7 |
8,5 |
11,465 |
8,43 |
|
8 |
8,5 |
10,460 |
8,435 |
|
9 |
9,4 |
10,355 |
9,3506 |
|
10 |
9,5 |
9,3506 |
9,945 |
|
11 |
10,4 |
9,445 |
10,355 |
|
12 |
10,5 |
6,2407 |
10,46 |
|
13 |
11,4 |
8,435 |
11,37 |
|
14 |
11,5 |
8,430 |
11,465 |
|
15 |
12,5 |
7,325 |
12,411 |
|
16 |
12,6 |
7,820 |
12,506 |
|
17 |
13,4 |
6,216 |
13,385 |
|
18 |
13,6 |
12,411 |
13,501 |
|
19 |
14,8 |
12,506 |
14,775 |
|
20 |
14,9 |
13,501 |
14,88 |
4.4 Статистическая обработка результатов измерений
После исключения результатов с грубыми погрешностями и внесения поправок на систематическую погрешность проводим математическую статистическую обработку исправленных результатов измерения.
Определяем точечные оценки исправленных результатов измерений. Для этого по формулам, приведённым в разделе 1.1, определяем точечные оценки координаты центра распределения и СКО результатов наблюдений и измерений.
4.4.1 Определяем выборочное среднее арифметическое () по формуле (2.1):
где - отдельные результаты наблюдений;
- общее количество результатов наблюдений.
4.4.2 Определяем среднее арифметическое 90%-выборки ()
Среднее арифметическое находится по формуле (2.2)
.
где - число не учитываемых результатов
Пять процентов выборки в нашем случае , т.е. один результат измерения. Отбрасываем по одному измерению с начала и конца вариационного ряда, т.е. результаты и .
4.4.3 Определяем медиану распределения по формуле (2.3)
Медианой называют наблюдаемое значение (так называемую варианту), которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант.
При - чётном:
4.4.4 Серединный размах вариационного ряда определяем по формуле (2.4)
где - 25% и 75%-ные квантили опытного распределения (представляют собой усредненный значения конкретных результатов наблюдений).
Вычисляем 25% и 75%-ные квантили опытного распределения. Этими квантилями являются точки между 4 и 5, а также между 16 и 17 результатами:
Тогда:
4.4.5 Центр размаха определяется по формуле (2.5):
Полученные оценки центра распределения располагаем в вариационный ряд: или
За оценку распределения (результата измерения) окончательно принимаем среднее арифметическое 90%-выборки вариационного ряда, так как эта оценка занимает медианное положение в ряду оценок:
4.4.6 Оценку СКО результатов наблюдений вычисляем по формуле (2.6):
4.4.7 Смещенную оценку СКО результатов наблюдений вычисляем по формуле (2.13):
4.4.8 Разделяем вариационный ряд на интервалы. Статистическая вероятность попадания -ого результата в данный интервал находим по формуле (2.14):
где - частота попадания результатов в каждый -й интервал (2.15);
4.4.9 Вычисляем ширину интервала по формуле (2.16):
Определяем границы интервалов, затем определяем частоту попадания в интервалы и середины интервалов. Результаты расчётов сводим в таблицу 13.
Таблица 13 – Промежуточные значения интервального ряда
|
Границы интервалов |
Середины интервалов |
Частота попаданий в интервалы |
Статистическая вероятность (частота) |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
5,095-7,02 |
6,0735 |
4 |
0,2 |
|
7,052-9,009 |
8,0305 |
4 |
0,2 |
|
9,009-10,966 |
9,9875 |
4 |
0,2 |
|
10,966-12,923 |
11,9445 |
4 |
0,2 |
|
12,923-14,88 |
13,9015 |
4 |
0,2 |
|
|
20 |
1 |
Представим заданный статистический ряд в виде гистограммы (рисунок А.8 Приложение А).
Вычислим дифференциальную функцию распределения для середин интервалов. Для этого вычисляем значение нормированного аргумента по формуле (2.17) для каждого интервала:
А затем, пользуясь статистической таблицей (Приложение Г), определяем дифференциальную функцию
Используя свойство нормального распределения находим значения дифференциальной функции в выбранных единицах. В случае использования интегралов применяют зависимость (2.18):
где - ширина интервала;
Окончательно все вычисления сводим в таблицу 14.
Таблица 14 – Вероятностные параметры распределения третьей группы
|
Середины интервалов |
|||||
|
6,0735 |
-0,1254 |
0,1826 |
0,1161 |
0,1057 |
0,2 |
|
8,0305 |
-0,618 |
0,3312 |
0,2106 |
0,2709 |
0,4 |
|
9,9875 |
0,0177 |
0,3989 |
0,2537 |
0,508 |
0,6 |
|
11,9445 |
0,653 |
0,323 |
0,2054 |
0,7422 |
0,8 |
|
13,9015 |
1,289 |
0,1758 |
0,1118 |
0,8997 |
1 |
Для построения теоретической функции воспользовались Приложением В[1]. Графики экспериментальной и теоретической функции интегрального вида показаны на рисунке А.9 Приложение А.
По виду статистических кривых можно также сделать заключение о нормальности распределения экспериментальных данных, хотя для окончательного заключения требуется проверка по критериям согласия (или приближенная идентификация по точечным числовым характеристикам).
Окончательно результаты по определению вероятностных характеристик первой группы наблюдений сводим в таблицу 15.
Таблица 15 – Параметры функций распределений третьей группы наблюдений
|
Границы интервалов |
|||||||
|
5,095-7,052 |
6,0735 |
-1,254 |
0,1826 |
0,1161 |
0,2 |
0,2 |
0,1057 |
|
7,052-9,009 |
8,0305 |
-0,618 |
0,3312 |
0,2106 |
0,2 |
0,4 |
0,2709 |
|
9,009-10,966 |
9,9875 |
0,017 |
0,3989 |
0,2537 |
0,2 |
0,6 |
0,508 |
|
10,966-12,923 |
11,9445 |
0,653 |
0,323 |
0,2054 |
0,2 |
0,8 |
0,7422 |
|
12,923-14,88 |
13,9015 |
1,289 |
0,1758 |
0,1118 |
0,2 |
1 |
0,8997 |
5 Определение параметров закона распределения результатов наблюдений по статистическим критериям.
При малых объемах выборки для проверки согласия опытного распределения с нормальным применяется составной критерий
Гипотеза о согласованности опытного распределения с теоретически нормальным проверяется, как показано ниже.
5.1 Проверка нормальности по составному критерию
а) Проверка по критерию первой, второй и третьей групп.
Для этого определяется значение по формуле:
(5.1)
Для первой группы
Для второй группы
Для третьей группы
Принимаем
Из таблицы 7.2 находим квантили распределения (после интерполяции):
При для первой, второй и третьей группы .
Нулевая гипотеза о принадлежности эмпирического распределения нормальному справедлива, если выполняется условие:
(5.2)
,
где - квантили распределения .
Первая группа:
Вторая группа:
Третья группа: .
Так как неравенства выполняются, то гипотеза о нормальности распределения результатов наблюдений для вех трёх групп по критерию I подтверждается.
б) Проверка по критерию II
Гипотеза о нормальности распределения подтверждается, если не более разностей превзошли значения . (5.3)
По таблице 7.3 для всех групп:
Находим произведение и сравниваем его с максимальным отклонением:
Первая группа:
Вторая группа:
Третья группа:
Максимальное отклонение:
Для первой группы:
Для второй группы:
Для третьей группы:
Для первой группы:
Для второй группы:
Для третьей группы:
Гипотеза о нормальности распределение по критерию II справедлива для всех трех групп.
Таким образом, гипотеза о нормальности закона опытного распределения по I критерию и по критерию II подтверждается для всех групп.
5.2 Проверка нормальности распределения по критерию согласия Колмогорова А.Н.
В качестве меры расхождения между эмпирическими и теоретическими законами распределения выбрано максимальное значение модуля разности между эмпирической функцией распределения и выбранной теоретической функцией распределения:
(5.4)
При практическом применении критерия согласия Колмогорова А.Н. величина , являющаяся критериальным параметром, принимается равной:
(5.5)
Значение находится после построения на одном графике эмпирической и теоретической функций, изображением этих функций и представляет величину . Затем по вычисленному значению по таблице 7.1 определяется вероятность как вероятность того, что за счет случайных причин максимальное расхождение между эмпирической и теоретической функциями распределения будет не меньше, чем полученное из результатов измерений.
На рисунке 12 и 16 приложения А на одном графике показаны зависимости теоретической и эмпирической функций распределения. Из графика находим максимальное расхождение :
Первая группа:
Вторая группа:
Третья группа:
Находим значение критериального параметра по формуле:
Первая группа:
Вторая группа:
Третья группа:
Произведя необходимую экстраполяцию значений (значения взяты из таблицы 7.5), получаем вероятность .
Первая группа:
Вторая группа:
Третья группа:
Исходя из полученных данных вероятность достаточно маленькая по трём выборкам, значит, гипотезу о соответствии опытного распределения теоретическому всех трех групп следует рассматривать как
неправдоподобную, противоречащую опытным данным.
6 Приближенная идентификация формы и вида закона распределения результатов измерений
При изучении распределений, отличных от нормальных, возникает необходимость количественно оценить это различие. С этой целью вводят специальные характеристики, в частности асимметрию и эксцесс.
В метрологической практике используют эмпирические моменты.
6.1 Оценка центрального момента для первой группы
6.1.1 Оценка первого центрального момента определяется по формуле:
(6.1)
6.1.2 Оценка второго центрального момента определяется по формуле:
(6.2)
6.1.3 Оценка третьего центрального момента определяется по формуле:
(6.3)
6.1.4 Оценка четвертого центрального момента определяется по формуле:
(6.4)
6.1.5 Распределение считается симметричным, если выполняется условие:
(6.5)
где - коэффициент асимметрии;
- оценка СКО коэффициента асимметрии, определяемая по формуле:
(6.6)
Коэффициент асимметрии определяется по формуле:
(6.7)
- распределение симметричное.
6.1.6 Эксцесс закона распределения определяется по формуле:
(6.8)
По таблице 3.1 Приложения З определяем форму распределения используя критериальные значения характеристик распределения.
Для первой группы распределение имеет двумодальную форму.
6.2 Оценка центрального момента для второй группы
6.2.1 Оценка первого центрального момента определяется по формуле (6.1):
6.2.2 Оценка второго центрального момента определяется по формуле (6.2):
6.2.3 Оценка третьего центрального момента определяется по формуле (6.3):
6.2.4 Оценка четвертого центрального момента определяется по формуле (6.4):
6.2.5 Распределение считается симметричным, если выполняется условие (6.5):
где - коэффициент асимметрии;
- оценка СКО коэффициента асимметрии, определяемая по формуле (6.6):
Коэффициент асимметрии определяется по формуле (6.7):
- распределение симметричное.
6.1.6 Эксцесс закона распределения определяется по формуле (6.8):
По таблице 3.1 Приложения З определяем форму распределения используя критериальные значения характеристик распределения.
Для второй группы распределение имеет арксинусоидальную форму.
6.3 Оценка центрального момента для третьей группы
6.3.1 Оценка первого центрального момента определяется по формуле(6.1):
6.3.2 Оценка второго центрального момента определяется по формуле(6.2):
6.3.3 Оценка третьего центрального момента определяется по формуле(6.3):
6.3.4 Оценка четвертого центрального момента определяется по формуле (6.4):
6.3.5 Распределение считается симметричным, если выполняется условие (6.5):
где - коэффициент асимметрии;
- оценка СКО коэффициента асимметрии, определяемая по формуле:
Коэффициент асимметрии определяется по формуле:
- распределение симметричное.
6.3.6 Эксцесс закона распределения определяется по формуле (6.8):
По таблице 3.1 Приложения З определяем форму распределения используя критериальные значения характеристик распределения.
Для третьей группы распределение имеет равномерную форму.
7 Построение контрольных карт Шухарта
Для контроля стабильности результатов измерений в пределах лаборатории в ГОСТ Р ИСО 5725-6 используют контрольные карты Шухарта. Контрольные карты являются одним из важнейших инструментов обеспечения качества. Контрольные карты представляют собой графики, на которых по горизонтальной оси откладывают порядковые номера наблюдений, а по вертикальной – текущее расхождение. Важнейший способ использования контрольных карт – их визуальное рассмотрение.
7.1 Контроль стабильности стандартного отклонения повторяемости рутинного анализа для результатов измерений.
Проконтролируем стабильность результатов определения напряжения. Проверку стабильности выполняют методом контрольных карт Шухарта. Применяя этот метод к данным таблицы 16 проверяют стабильность показателя правильности результатов анализа.
Вывод: результаты измерений являются нестабильными, так как две точки находятся выше предела действия.
Таблица 16 – Контрольная карта
|
1. Характеристика показателя качества: длина образца 2. Единица измерения: мм 2. Метод анализа: по ГОСТ 50779.42; ГОСТ 50725 3. Период: с 2.04.12 по 15.04.12. |
||||
|
Номер группы |
Данные наблюдений |
Расхождение |
Примечание |
|
|
|
||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
1 |
5,14 |
5,095 |
0,045 |
- |
|
2 |
5,364 |
5,19 |
0,174 |
- |
|
3 |
6,184 |
6,216 |
0,032 |
- |
|
4 |
6,508 |
6,2407 |
0,2673 |
- |
|
5 |
6,616 |
7,325 |
0,709 |
- |
|
6 |
6,728 |
7,82 |
1,092 |
- |
|
7 |
7,972 |
8,43 |
0,458 |
- |
|
8 |
8,744 |
8,435 |
0,309 |
- |
|
9 |
9,02 |
9,3506 |
0,3306 |
- |
|
10 |
9,392 |
9,445 |
0,053 |
- |
|
11 |
9,637 |
10,355 |
0,718 |
- |
|
12 |
9,788 |
10,46 |
0,672 |
- |
|
13 |
9,98 |
11,37 |
1,39 |
- |
|
14 |
11,404 |
11,465 |
0,061 |
- |
|
15 |
11,732 |
12,411 |
0,679 |
- |
Продолжение таблицы 16
|
16 |
11,848 |
12,506 |
0,658 |
- |
|
17 |
12,86 |
13,385 |
0,525 |
- |
|
18 |
13,676 |
13,501 |
0,175 |
- |
|
19 |
14,052 |
14,775 |
0,723 |
- |
|
20 |
14,496 |
14,88 |
0,384 |
- |
|
Всего |
|
|
9,4549 |
|
|
Среднее значение |
|
|
0,4727 |
|
|
Пояснения: Стандартное отклонение, полученное на основе результатов испытаний, Средняя линия Предел действия: - отсутствует Предел предупреждения: - отсутствует |
||||
7.2 Проверка структур на особые причины
Таблица 18 – Дополнительные критерии для интерпретации хода измерений
|
№ |
Критерий |
Ответ на критерий |
|
1 |
Последняя точка лежит выше контрольного предела или ниже контрольного предела (2σ) |
Да |
|
2 |
Две или три последовательных точки лежат выше или ниже контрольного предела (1σ) |
Нет |
|
3 |
Семь или более последовательных точек лежат выше или ниже контрольного предела (процесс полностью неуправляем) () |
Нет |
|
4 |
Каждая из четырёх последовательных точек лежит выше (положительный дрейф) или ниже (отрицательный дрейф) предыдущей (процесс может выйти из под контроля) () |
Нет |
|
5 |
Последняя точка лежит выше или ниже контрольного предела (3σ) |
Нет |
Вывод: карта, приведённая на рисунке Б.1 Приложения Б для напряжения первой и третьей групп свидетельствует, что результаты измерений являются нестабильными, так как одна точка находится выше предела действия.
8 Представление результатов измерений
За результат измерений при статистической обработке выборки, состоящей из многократных наблюдений, принимается координата центра распределения при равноточных измерениях; средневзвешенное значение центров распределений в группах – при неравноточных.
В силу конечного объема выборки, наличии не исключенных составляющих погрешностей и различных законов распределения, результат измерения имеет неопределенность.
Зона неопределенности (доверительные границы) генерального среднего устанавливаются погрешностью результат измерения .
За погрешность результата измерения может быть принята случайная составляющая погрешности.
(8.1)
8.1 Представление результатов измерений для первой группы
Определяем коэффициент Стьюдента по формуле:
(8.2)
Определяем случайную составляющая погрешности по формуле (8.1):
Результат измерения представляем в форме:
8.2 Представление результатов измерений для второй группы
Определяем коэффициент Стьюдента по формуле (8.2):
Определяем случайную составляющая погрешности по формуле (8.1):
Результат измерения представляем в форме:
8.3 Представление результатов измерений для третьей группы
Определяем коэффициент Стьюдента по формуле (8.2):
Определяем случайную составляющая погрешности по формуле (8.1):
Результат измерения представляем в форме:
Заключение
Курсовая работа представляет собой комплексную работу по обработке результатов равноточных и неравноточных многократных наблюдений при измерении напряжения.
В данной работе изложен процесс обработки результатов измерений с многократными наблюдениями.
В результате проверки на грубые погрешности ни в одной из трёх выборок не подтверждено наличие грубой погрешности, ни один результат измерения не исключён.
Проверка нормальности распределения результатов наблюдений по статистическим критериям: составному критерию и критерию согласия Колмогорова А.Н.
Проверка по составному критерию первой, второй и третьей групп показала, что гипотеза о нормальности закона опытного распределения подтверждается только для всех групп по I критерию и только для первой группы по II.
Проверка по критерию Колмогорова А.Н. показала, во всех группах наблюдений гипотеза о нормальном законе распределения не подтверждается.
Выполнен контроль стабильности результатов измерений с помощью карты Шухарта. Построенная карта показывает, что измерения нестабильны.
Список использованных источников
1 Третьяк Л.Н. «Обработка результатов наблюдений». Учеб. Пособие. – Оренбург: ГОУ ОГУ, 2004, - 171с.
2 ГОСТ Р 50779.42-99 Статистические методы. Контрольные карты. Общее руководство и введение. – введен 15.04.1999 постановлением Госстандарта России-М: ИПК Издательство стандартов, 1999. – 36с
3 ГОСТ 5725-6-2002 Точность (правильность и прецизионность) методов и результатов измерений. . – введен 01.11.2002 постановлением Госстандарта России-М: ИПК Издательство стандартов, 2002. – 64с
Приложение А
(обязательное)
Рисунок А.1 – Графическое представление результатов наблюдений (первый ряд)
Рисунок А.2 – Гистограмма исправленных результатов наблюдений (первый ряд)
Рисунок А.3 – Графики экспериментальной и теоретической функций интегрального вида (первый ряд)
Рисунок А.4 – Графическое представление результатов наблюдений (второй ряд)
Рисунок А.5 – Гистограмма исправленных результатов наблюдений (второй ряд)
Рисунок А.6 - Графики экспериментальной и теоретической функций интегрального вида (второй ряд)
Рисунок А.7 - Графическое представление результатов наблюдений (третий ряд)
Рисунок А.8 - Гистограмма исправленных результатов наблюдений (третий ряд)
Рисунок А.9 - Графики экспериментальной и теоретической функций интегрального вида (третий ряд)
Рисунок Б.1 – Карта пределов для напряжения (В), полученных в условиях повторяемости
Скачать: