Аппроксимация спектральной плотности

0

 

Факультет экономики и управления

Кафедра математических методов и моделей в экономике

 

 

ОТЧЕТ

по индивидуальному заданию

по курсу «Случайные процессы и основы теории массового обслуживания»

на тему: «Аппроксимация спектральной плотности»

 

 

         Постановка задачи

 

Дана ковариационная функция.

  • Построить спектральную плотность;
  • Восстановить формирующий фильтр по спектральной плотности;
  • Записать ДУ и разностное уравнение, которое порождается белым шумом;
  • Сгенерировать траекторию белого шума и получить случайный процесс.

        

 

 

 

         1 Построение спектральной плотности для дискретного случайного процесса

 

         Дана ковариационная функция: .

         В дискретном случае мы применяем к ковариационной функции z-преобразование. В результате, получаем формулу для нахождения   спектральной  плотности:

 

         После некоторого преобразования формула для определения спектральной плотности примет следующий вид:

 

где

         Таким образом, ;  .

То есть,

Вычислим отдельно .

Проинтегрируем данное выражение по переменной m.

 

Таким образом, ,

В результате,

После приведения к общему знаменателю, получим:

 

Из полученного выражения определяем коэффициенты разностного уравнения:

b0=;

Запишем полученное разностное уравнение:

 .

Случайный процесс, порожденный белым шумом , имеет следующий вид:

Сгенерируем случайный процесс ξ в МПП Excel (таблица 1).

 

Таблица 1- Генерация случайного процесса

1

-0,30023

21

-0,32699

41

-1,44419

61

0,693994

81

2,205688

2

-1,27768

22

-0,37024

42

-0,84724

62

0,322636

82

1,443755

3

0,244257

23

1,342642

43

-1,52157

63

-0,93984

83

1,303904

4

1,276474

24

-0,08528

44

-0,36288

64

-0,24095

84

0,11296

5

1,19835

25

-0,18616

45

-0,03248

65

0,131536

85

0,001951

6

1,733133

26

-0,51321

46

0,028117

66

0,557798

86

0,453701

7

-2,18359

27

1,972212

47

-0,32272

67

0,138715

87

-0,02551

8

-0,23418

28

0,865673

48

2,194502

68

-0,91096

88

-1,05468

9

1,095023

29

2,375655

49

-1,74248

69

1,884846

89

-1,77481

10

-1,0867

30

-0,65491

50

-0,73648

70

0,487198

90

0,828331

11

-0,6902

31

1,661456

51

-2,57758

71

0,072239

91

0,444224

12

-1,69043

32

-1,6124

52

1,44767

72

0,829841

92

0,617906

13

-1,84691

33

0,538948

53

-1,27976

73

0,862008

93

0,213473

14

-0,97763

34

0,902191

54

-0,65358

74

-0,63653

94

-1,02693

15

-0,77351

35

1,918916

55

0,757714

75

-0,92319

95

1,238195

16

-2,11793

36

-0,08452

56

0,466712

76

1,111189

96

-0,31121

17

-0,56792

37

-0,5238

57

0,874609

77

-1,20118

97

-0,83992

18

-0,40405

38

0,675138

58

0,595742

78

-1,55889

98

-0,82113

19

0,134853

39

-0,38132

59

-1,37185

79

0,711325

99

-0,42899

20

-0,36549

40

0,757611

60

-1,11574

80

0,638406

100

-0,45336

 

В результате, получим траекторию случайного процесса , порожденного белым шумом  и с начальным условием  (таблица 2).

 

         Таблица 2- Траектория случайного процесса

1

0

21

-2,88639

41

1,786254

61

-2,02807

81

0,137748

2

-0,40234

22

-2,58082

42

-0,60937

62

-0,57546

82

3,058079

3

-2,01088

23

-2,41195

43

-1,58773

63

0,00519

83

4,204836

4

-1,16539

24

0,008825

44

-3,21764

64

-1,25562

84

4,868683

5

0,845503

25

-0,10774

45

-2,87481

65

-1,25496

85

3,765496

6

2,233533

26

-0,32944

46

-2,17755

66

-0,75531

86

2,797815

7

3,980554

27

-0,9323

47

-1,57876

67

0,186817

87

2,684874

8

0,028634

28

1,950883

48

-1,60441

68

0,324569

88

1,958843

9

-0,29257

29

2,60826

49

1,749847

69

-0,97984

89

0,040725

10

1,250251

30

5,119758

50

-1,03614

70

1,798514

90

-2,34817

11

-0,52819

31

2,922861

51

-1,7561

71

1,987963

91

-0,63305

12

-1,31703

32

4,396201

52

-4,75778

72

1,57251

92

0,125373

13

-3,24299

33

1,102624

53

-1,59178

73

2,279369

93

0,921118

14

-4,88236

34

1,54074

54

-2,89661

74

2,84719

94

0,969838

15

-4,93439

35

2,352741

55

-3,02607

75

1,260513

95

-0,65625

16

-4,69946

36

4,318009

56

-1,2309

76

-0,30146

96

1,172147

17

-6,32673

37

3,092082

57

-0,28829

77

1,265317

97

0,453053

18

-5,45752

38

1,593379

58

0,958055

78

-0,67042

98

-0,78926

19

-4,59269

39

2,087544

59

1,509532

79

-2,58673

99

-1,68627

20

-3,22853

40

1,038615

60

-0,71785

80

-0,96694

100

-1,82664

 

         Полученная траектория случайного процесса представлена на рисунке 1.

 

Рисунок 1- график траетории случайного процесса

          

         Вторая часть индивидуальной работы заключается в аппроксимации спектральной плотности для непрерывного случая.

2 Аппроксимация функций ортогональными рядами

Рассмотрим возможность аппроксимации функции произвольного вида ортогональными полиномами. Дана функция вида , определенная на интервале . Она может быть разложена в абсолютно сходящийся ряд вида:

,                                                                     (2.1)

где  – коэффициенты Фурье,  – семейство базисных функций, ортонормированных на определенном интервале с весом .

Это семейство характеризуется интегралом:

                                                     (2.2)

 – интервал, на котором выполняется условие ортонормированности указанных функций.

Следует подчеркнуть, что на практике приходится ограничиваться конечным числом ряда (2.1). Это приводит к появлению методической погрешности, значение которой зависит в немалой степени от способа оценки параметров модели.

Поэтому для модели аппроксимирующей функции

,                                                                     (2.3)

имеющей ограниченное число параметров, коэффициенты разложения, обеспечивающие минимум среднеквадратической погрешности аппроксимации:

,                                       (2.4)

определяются формулой:

.                                                              (2.5)

Выражение (2.5) получается из (2.4) при условии :

.                                        (2.6)

Представим интеграл (2.6) в виде суммы интегралов и разнесем сумму в разные части равенства:

.                           (2.7)

С учетом (2.2) от выражения (2.7) мы переходим к выражению определения коэффициентов (2.5). При таком способе определения коэффициентов разложения погрешность аппроксимации, с учетом свойств ортогональных полиномов, равна:

.

        

3 Аппроксимация спектральной плотности

        

         Спектральные функции представляют собой частотное распределение характеристик случайного процесса. Существуют различные способы их определения: преобразование Фурье процесса, преобразование Фурье ковариационной функции. Определим спектральную плотность мощности в виде:

         .                                                                             (3.1)

         Можно установить связь между ковариационной функцией и спектральной плотностью:

                                                                                       (3.2)

         С учетом четности функций  и , воспользовавшись формулой Эйлера, выражения (3.1) и (3.2) приведем к виду:

         ;                                                                      (3.3)

                                                                                (3.4)

         Аналитические выражения спектральной плотности для типовых моделей ковариационных функций приведены в таблице 3.

 

         Таблица 3- Спектральные плотности

        

   
   
   
   
   
   
   
   
   

 

 

  • Аппроксимация спектральной плотности ортогональными функциями

 

Определив параметры модели ковариационной функции b0,…,bm, α

                                       (3.5)

оценим спектральную плотность случайного процесса.

Для этого, подставив модель (3.5) в выражения для определения спектральной плотности (3.1), получим:

.                        (3.6)

         С учетом определения частотной характеристики ортогональных функций, получим:

                                                                    (3.7)

         Подставив в выражение (3.7) значения частотных характеристик, определим спектральную плотность для различных ортогональных базисов.

 

         Ортогональный базис Лагерра

 

         Подставив в выражение (3.7) значение частотной характеристики ортогонального базиса Лагерра, получим:

                                     (3.8)

         Введем обозначение

                                              (3.9)

         или

         (3.10)

         Воспользовавшись формулами Эйлера, выражение (3.10) приведем к виду:

 

         =

         =

 

         где

коэффициент разложения ортогонального ряда;

- параметры ковариационной функции;

- значение взаимной корреляционной функции в точке максимума.

        

  • Практическая часть

 

Известна ковариационная функция непрерывного случайного процесса:

.

Для восстановления спектральной плотности воспользуемся учебной программой  «Аппроксимативный корреляционно-спектральный анализ».

На рисунке 2 представлена аппроксимация взаимной корреляционной функции с помощью системы ортогональных функций Лагерра.

 

Рисунок 2- Аппроксимация ВКФ

 

На рисунке видим, что значение взаимной корреляционной функции в точке максимума =-0,343.

Аппроксимация спектральной плотности с помощью ортогональной функции Лагерра представлена на рисунке 3.

 

Рисунок 3- Аппроксимация спектральной плотности

         Таким образом, параметры функции имеют следующий вид: =1; =6;  

         Порядок функции задаем таким образом, чтобы наиболее удачно аппроксимировать спектральную плотность ортогональными функциями Лагерра. Коэффициенты разложения представлены соответственно на рисунке 4: их количество равно порядку функции, то есть 9.

Рисунок 4- Коэффициенты разложения

 

Таким образом, 

 

Спектральная функция, аппроксимируемая с помощью системы ортогональных  функций Лагерра, имеет вид:

 

         Учитывая ранее полученные данные, выражение для спектральной плотности запишется в виде:

 

       В результате преобразований получен следующий результат:

 

Таким образом, коэффициенты дифференциального уравнения имеют следующий вид:

 

     

 

Случайный процесс, порожденный белым шумом , имеет следующий вид:

        

Таким образом, задавая конкретные значения параметра , можем сгенерировать траекторию белого шума и получить случайный процесс.

 

ПРЕЗЕНТАЦИЯ

Аппроксимация спектральной плотности

 

Аппроксимация спектральной плотности

 

Аппроксимация спектральной плотности

 

Аппроксимация спектральной плотности

 

Аппроксимация спектральной плотности

 

Аппроксимация спектральной плотности

 

Аппроксимация спектральной плотности

 

Аппроксимация спектральной плотности

 

Аппроксимация спектральной плотности

 

Аппроксимация спектральной плотности

 

Аппроксимация спектральной плотности

 

Аппроксимация спектральной плотности

 

Аппроксимация спектральной плотности

 

Аппроксимация спектральной плотности

 

Аппроксимация спектральной плотности

 Скачать: У вас нет доступа к скачиванию файлов с нашего сервера. КАК ТУТ СКАЧИВАТЬ

Категория: Лабораторные работы / Лабораторные по экономике

Уважаемый посетитель, Вы зашли на сайт как незарегистрированный пользователь.
Мы рекомендуем Вам зарегистрироваться либо войти на сайт под своим именем.