Метод простых итераций

0

 

Отчет по лабораторной работе

Метод простых итераций

 

 

Содержание

1 Постановка задачи………………………………………………………………..3

2 Краткие теоретические сведения………………………………………………..4

         2.1 Метод Ньютона…………………………………………………………..4

2.2 Метод простых итераций………………………………………………..6

3 Практическая часть………………………………………………………………8

         3.1 Алгоритм…………………………………………………………………8

         3.2 Блок схема………………………………………………………………..9

         3.3 Текст программы……………………………………………………….10

         3.4 Тестовые примеры……………………………………………………...12

         3.5 Проверка в MathCad……………………………………………………13

4 Список использованной литературы…………………………………………..15

 

 

 

1 Постановка задачи

Пусть функция f(x)=0 монотонная на отрезке [a,b], причем выполнено условие: f(a)*f(b)<0.

Требуется найти корень функции:

x3-0,1x2+0,4x-1,5=0,

используя метод простых итераций.

 

 

2 Краткие теоретические сведения

2.1 Метод Ньютона

Если известно начальное приближение к корню уравнения f(x)=0, то эффективным методом уточнения корней является метод Ньютона (метод касательных).

Пусть функция f(x) имеет первую и вторую производную на отрезке [a,b], причем выполнено условие знакопеременности функции f(a)*f(b)<0, а производные f '(x), f'''(x) сохраняют знак на отрезке [a,b]. Тогда, исходя из начального приближения x0[a,b], удовлетворяющего неравенству f(x)*f''(x)>0, можно построить итерационную последовательность        

 , n=0,1,2,...

сходящуюся к единственному на [a,b] решению x уравнения f(x)=0.

В данном методе процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений к корню принимаются значения x0,x1,x2... точек пересечения касательной к кривой y=f(x) с осью абсцисс. То есть, геометрически метод Ньютона эквивалентен замене небольшой дуги кривой y=f(x) касательной. При этом не обязательно задавать отрезок [a,b], содержащий корень уравнения, а достаточно лишь найти некоторое начальное приближение корня х=х0 (рисунок 1).

Рисунок 1 –Метод касательных

 

В качестве начального приближения выберем х0=a, для которого выполняется условие f(x0)* f'І(x0)>0. Проведем касательную в точке A0[x0,f(x0)]. Первым приближением корня будет точка пересечения этой касательной с осью абсцисс х1. Через точку A1[x1,f(x1)] снова проводим касательную, точка пересечения которой с осью ОХ даст нам второе приближение корня х2 и т.д.

На рисунке 2 приведены возможные варианты выбора правого или левого конца отрезка в качестве начального приближения.

Условие выбора: f(x)*f ''(x)>0.

Рисунок 2 – Выбор отрезка

 

Вывод формулы Ньютона.

Уравнение касательной, проведенной к кривой y=f(x) в точке А0[x0,f(x0)], имеет вид:

y -f(x0) = f '(x0)(x-x0).

Отсюда найдем следующее приближение корня. Примем х=х1 (y=0), тогда

-f (x0) = f ' (x0) (x1-x0),

 

.

Аналогично могут быть найдены и следующие приближения, как точки пересечения с осью ОХ касательных, проведенных в точках А1, А2 и т.д. Формула Ньютона для n+1-го приближения будет иметь вид: .

Для окончания итерационного процесса может быть использовано условие: .

 

2.1 Метод простых итераций

Одним из наиболее важных численных методов решения нелинейных уравнений является метод итераций. Сущность метода заключается в следующем.

Пусть функция f(x) монотонная на отрезке [a,b], причем выполнено условие: f(a)*f(b)<0.

Заменим исходное нелинейное уравнение f(x)=0  эквивалентным ему уравнением вида:  x=φ(x).

Пусть известно начальное приближение корня х=х0. Подставляя это значение в правую часть уравнения, получаем новое приближение: x1= φ(x0).

Затем аналогичным образом получим: x2 = φ(x1) .

Далее, подставляя каждый раз новое значение корня, получаем последовательность значений        

xn+1 = φ(xn) , n=1,2, ... .

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не станут близки результаты двух последовательных итераций:

.

Достаточным условием сходимости метода простых итераций является условие:     | φl(x)| < 1,vвыполненное для любого x, принадлежащего некоторому отрезку [a,b], содержащему корень уравнения.

Рассмотрим геометрическую интерпретацию метода. Построим графики функций y=x и y= (x) (рисунок 3). Корнем  уравнения x=(x) является абсцисса точки пересечения кривой y= (x) с прямой y=x.

 

Рисунок 3 – Метод простых итераций

 

Из графиков видно, что при φl(x)>0 (а, б) и при φl(x)<0 (в, г) возможны как сходящиеся, так и расходящиеся итерационные процессы. Скорость сходимости зависит от абсолютной величины производной φl(x). Чем меньше |φl(x)| вблизи корня, тем быстрее сходится процесс

Итерационные процессы могут быть односторонними, если φl(x)>0 и двусторонними, если φl(x)<0.

 

 

 

3 Практическая часть

3.1 Алгоритм

Шаг 1: Вводим исходные данные для нахождения корня, а именно, x0 и e, где

е - требуемая точность вычислений.

Шаг 2: Вычисляем значение функции в точке х0.

Шаг 3: Проверяем условие (0.052/(1-0.052))*|x-x0|>e, где q=0,052. Если условие выполняется x0:=x и снова считаем значение функции. Если не выполняется – выходим из цикла.

Шаг 4: Выводим полученный результат.

Шаг 5: Конец задачи.

 

 

3.2 Блок схема

 

 

 

 

 

3.3 Текст программы

unit Unit1;

interface

uses

  Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

  Dialogs, StdCtrls;

type

  TForm1 = class(TForm)

    Edit1: TEdit;

    Edit3: TEdit;

    Button1: TButton;

    Button2: TButton;

    Edit2: TEdit;

    Label1: TLabel;

    Label2: TLabel;

    Label3: TLabel;

    procedure Button1Click(Sender: TObject);

    procedure Button2Click(Sender: TObject);

  private

    { Private declarations }

  public

    { Public declarations }

  end;

var

  Form1: TForm1;

implementation

{$R *.dfm}

Function f(x:real):real;

Begin

f:=exp(1/3*(ln(0.1*x*x)-ln(0.4*x)+ln(1.5)));

end;

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

var

x0,x,e:real;

t:boolean;

begin

 x0:=strtofloat(edit1.text);

 e:=strtofloat(edit2.text);

 while t=false do

 begin

 x:=f(x0);

 if abs(x-x0)>e then

  x0:=x

 else

 t:=true;

 end;

Edit3.Text:=floattostr(x);

end;

procedure TForm1.Button2Click(Sender: TObject);

begin

close;

end;

end.

 

 

 

 

3.4 Тестовые примеры

Рисунок 4 – Тестовый пример 1

 

 

Рисунок 5 – Тестовый пример 2

 

3.5 Проверка в MathCad

Рисунок 6 - Функция

Рисунок 7 – Нахождение α и β

 

Рисунок 8 – Поиск функции φ

 

 

 

Рисунок 9 – Функция φ, удовлетворяющая всем условиям

 

Список использованной литературы

  1. Вержбицкий В.М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения): Учеб. пособие для вузов.- М.: Высш. шк., 2000.- 266с.

 

Скачать:  У вас нет доступа к скачиванию файлов с нашего сервера. КАК ТУТ СКАЧИВАТЬ

 

 

Категория: Лабораторные работы / Лабораторные работы по математике

Уважаемый посетитель, Вы зашли на сайт как незарегистрированный пользователь.
Мы рекомендуем Вам зарегистрироваться либо войти на сайт под своим именем.