Метод наименьших квадратов

0

Лабораторная работа

Метод наименьших квадратов

 

Цель: освоить метод аппроксимации функции (МНК).

 

 

Задание

Построить точечный график по заданной таблице . Подобрать наиболее подходящие по внешнему виду приближающие функции. Оценить, используя метод наименьших квадратов, какое из приближений лучше. На том же чертеже построить графики рассчитанных приближающих функций.

 

Варианты заданий:

Вариант

 

1

x

0,0

0,5

1,0

11,5

2,0

2,5

 

y

-13,65

-5,77

-0,07

6,95

12,05

18,97

 

x

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

5,5

 

y

25,67

31,57

38,44

46,20

51,33

58,83

2

x

-4,0

-3,5

-3,0

-2,5

-2,0

-1,5

 

y

7,49

6,95

5,95

5,93

5,42

4,99

 

x

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

 

y

4,45

3,90

3,85

2,91

2,41

1,40

3

x

-5,0

-4,5

-4,0

-3,5

-3,0

-2,5

 

y

54,98

45,52

37,00

29,53

23,00

17,53

 

x

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0

0,5

 

y

12,97

9,49

7,034

5,50

4,98

5,32

4

x

0

1

2

3

4

5

 

y

0

2,0

2,297

2,491

2,639

2,759

 

x

6

7

8

9

10

11

 

y

2,861

2,95511

3,031

3,104

3,169

3,231

5

x

0

1

2

3

4

5

 

y

0

10,00

14,114

17,32

20,00

22,36

 

x

6

7

8

9

10

11

 

y

24,49

26,45

28,28

30,00

31,62

33,16

6

x

1

2

3

4

5

6

 

y

1,0

0,707

0,577

0,500

0,447

0,408

 

x

7

8

9

10

11

12

 

y

0,377

0,353

0,333

0,316

0,301

0,288

7

x

1

2

3

4

5

6

 

y

10

9,33

8,95

8,70

8,51

8,36

 

x

7

8

9

10

11

12

 

y

8,23

8,12

8,03

7,94

7,86

7,80

8

x

1

2

3

4

5

6

 

y

-2,00

-3,38

-4,19

-4,77

-5,22

-5,58

 

x

7

8

9

10

11

112

 

y

-5,89

-6,16

-6,39

-6,60

-6,79

-6,96

9

x

1

2

3

4

5

6

 

y

5,50

5,25

5,16

5,112

5,10

5,08

 

x

7

8

9

10

11

12

 

y

5,07

5,07

5,05

5,05

5,04

5,04

10

x

1

2

3

4

5

6

 

y

0,17

0,25

0,30

0,33

0,36

0,37

 

x

7

8

9

10

11

12

 

y

0,39

0,40

0,41

0,42

0,42

0,43

 

Ход выполнения работы:

Построим приближающую функцию методом наименьших квадратов для зависимости, заданной таблицей 8.1.

x

1,1

1,7

2,4

3,0

3,7

4,5

5,1

5,8

f(x)

0,3

0,6

1,1

1,7

2,3

3,0

3,8

4,6

 

Точечный график изображен на рисунке 8.1

Рисунок 1 – График функции f(x)

Полученный график сравниваем по внешнему виду с графиками, построенными при помощи известных формул. Вид приближающей кривой не очевиден, поэтому рассмотрим два способа приближения заданной функции: в виде прямой  и в виде степенной функции  Находим значения параметров  и m найдем суммы квадратов отклонений

 и по их значениям установим какое из двух приближений лучше.

Обозначим

Составим систему:

 

Проделав необходимые вычисления, получаем:

 

 

 

Т.е. приближающее линейное уравнение запишется в виде

 

Рассмотрим функцию  Обозначим

 

Решаем систему любым численным методом. Находим параметры c и m степенной функции:

 

 

 

После расчётов получим:    

Таким образом, уравнение имеет вид:

 

 

Как видно, сумма квадратов абсолютных погрешностей для линейной функции составляет, для степенной функции —  

 

Рисунок 2 – Приближения функции

 

Видно, что приближение в виде линейной функции в данном случае предпочтительнее.

 

Скачать: laboratornaya-2.doc

Категория: Лабораторные работы / Лабораторные работы по математике

Уважаемый посетитель, Вы зашли на сайт как незарегистрированный пользователь.
Мы рекомендуем Вам зарегистрироваться либо войти на сайт под своим именем.