Методы планирования эксперимента

0

 

ОТЧЕТ ПО ЛАБОРАТОРНЫМ РАБОТАМ

Методы планирования эксперимента 

Содержание

1 Лабораторная работа № 1 «Обработка результатов наблюдений над случайной величиной»…………………………………………………………

 

3

2.2 Лабораторная работа № 2 «Дисперсионный анализ»……………………

15

2.3 Лабораторная работа  № 3«Корреляционный анализ»…………………

19

2.4 Лабораторная работа № 4 «Регрессионный анализ (способ наименьших квадратов)»……………………………………………………...

 

24

3.1 Лабораторная работа № 5 «Выбор объекта исследования, параметра оптимизации, влияющих факторов и уровней их варьирования»………….

 

31

3.2 Лабораторная работа  № 6 «Априорное ранжирование факторов»……

36

4.2 Лабораторная работа № 7 «Планирование эксперимента с помощью латинских квадратов»………………………………………………………….

 

44

   
   
   
   
   
   
   

 

 

Лабораторная работа № 1  «Обработка результатов наблюдений над случайной величиной»

 

Цель занятия: получить навыки и умения определения числовых характеристик случайной величины с целью идентификации закона распределения.

Задачи:

- ознакомиться с представленным методическим материалом;

- используя пример выполнения  лабораторной работы обработать результаты наблюдений с целью идентификации закона распределения (задания для выполнения лабораторной работы представлены в таблице 3, все данные необходимо изменить на величину своего варианта по списку преподавателя);

- ответить на контрольные вопросы.

1 Формируем первичную статистическую совокупность (таблица 2.4)

Таблица 2.4 – Первичная статистическая совокупность

хi

хi

хi

хi

хi

1

175

11

179

21

182

31

182

41

191

2

182

12

172

22

180

32

174

42

189

3

177

13

179

23

183

33

178

43

186

4

180

14

183

24

182

34

183

44

188

5

172

15

177

25

173

35

181

45

181

6

183

16

180

26

184

36

182

46

190

7

182

17

183

27

185

37

181

47

194

8

177

18

180

28

176

38

180

48

181

9

185

19

181

29

182

39

186

49

188

10

184

20

187

30

181

40

187

50

192

 

2 Формируем упорядоченную статистическую совокупность (таблица 2.5)

Таблица 2.5 – Упорядоченная статистическая совокупность

хi

хi

хi

хi

хi

1

172

11

179

21

181

31

183

41

186

2

172

12

179

22

181

32

183

42

187

3

173

13

180

23

181

33

183

43

187

4

174

14

180

24

181

34

183

44

188

5

176

15

180

25

182

35

183

45

188

6

177

16

180

26

182

36

184

46

189

7

177

17

180

27

182

37

184

47

190

8

177

18

181

28

182

38

185

48

191

9

177

19

181

29

182

39

185

49

192

10

178

20

181

30

182

40

186

50

194

 

 

 

3 Находим наибольшее и наименьшее значение исходных данных

                                                       xmin=172;   xmax=194

4 Определяем размах варьирования выборки

 

 

5 Определяем количество интервалов группирования

 

                            

                                                          принимаем К=6

6 Определяем величину интервала группирования

                   принимаем H=4

7 Находим центр распределения выборки

                                             

8 Расчет частот, частостей, накопленных частот, накопленных частостей, плотности распределения частот и частостей (результаты заносим в сводную таблицу 2.6)

Таблица 2.6 – Сводная таблица

Границы

интервалов

Середины

интервалов

x/

Частоты

ni

Частости

Накопленные

частоты – Hi

Накопленные

частости

Плотность

частот

Плотность

частостей

1

172-176

174

5

0,1

6

0,1

1,25

0,025

2

176-180

178

12

0,24

17

0,34

3

0,06

3

180184

182

20

0,4

37

0,74

5

0,1

4

184-188

186

8

0,16

45

0,9

2

0,04

5

188-192

190

4

0,08

49

0,98

1

0,02

6

192-196

194

1

0,02

50

1

0,25

0,005

 

   

 

 

9 Построение гистограммы (рисунок 2.11)

   

Рисунок 2.11– Гистограмма

 

10 Построение ломаной кумуляты (рисунок 2.12)

Рисунок 2.12 – Ломаная кумулята

 

11 Построение полигона (рисунок 2.13)

Рисунок 2.13 – Полигон

12 Построение ступенчатой кумуляты (рисунок 2.14)

 

Рисунок 2.14- Ступенчатая кумулята

 

13 Определение числовых характеристик эмпирического распределения Определение математического ожидания

                                                      

                     где  - математическое ожидание;

                                         - объем выборки;

                                         - случайная величина.

14 Определение дисперсии – D

                                              

15 Определение среднего квадратического отклонения (СКО)

 

                                                           

 

16 Определение коэффициента вариации

                                                     

 где   - среднее квадратическое отклонение;

                       - математическое ожидание.

17 Определение медианы (аналитическое и графическое)

Аналитическое определение медианы

Находим интервал, содержащий медиану, путем использования накопленных частот . Медианному интервалу соответствует первая из накопленных частот, превышающая половину всего объема совокупности.

где  - нижняя граница медианного интервала;

                     - ширина интервала;

                     - частота медианного интервала;

                    - накопленная частота интервала, предшествующего 

                                   медианному;

                     - объем выборки.

 

            Графическое определение медианы

 

            Последнюю ординату кумуляты, делим пополам. Из полученной точки восстанавливаем перпендикуляр до пересечения с кумулятой. Абсцисса точки пересечения и дает значение медианы.

Проверка аналитического и графического метода определения медианы

                                      

18 Определение моды

 

Находим модальный интервал, т. е. интервал, содержащий моду, по наибольшей частоте:

     

где    - нижняя граница модального интервала;

                       - частота модального интервала;

                       - частота интервала, предшествующего модальному;

                       - частота интервала, последующего за модальным.

19 Определение асимметрии  и эксцесса

Вычисления осуществляем по способу «условного нуля», используя вспомогательные коэффициенты (=182 -  середина интервала с максимальной частотой). Полученные результаты заносим в таблицу 2.7.

   Таблица 2.7 – Определение асимметрии и эксцесса

Границы

интервалов

Частота

Середина

интервала

     

 

 

 

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

1

172-176

5

174

-2

-10

20

-40

80

-1

5

2

176-180

12

178

-1

-12

12

-12

12

0

0

3

180-184

20

182

0

0

0

0

0

1

20

4

184-188

8

186

1

8

8

8

8

2

128

5

188-192

4

190

2

8

16

32

64

3

324

6

192-196

1

194

3

3

9

27

81

4

256

 

 

50

 

 

-3

65

15

245

 

733

      

20 Рассчитаем вспомогательные коэффициенты:

 

;      ;     

;      

Проверка:

Найдем: ; ;

;

;

Проверка:

 Так как результат для  положительный, то, следовательно, асимметрия правосторонняя (математическое ожидание расположено правее моды).

Так как эксцесс отрицательный, то, следовательно, вершина эмпирической кривой распределения лежит выше вершины теоретической кривой.

21 Выбор теоретического закона распределения (выбор осуществляем по коэффициенту вариации, а также по виду полигона и гистограммы). В нашем случае коэффициент вариации равен 2,7 %, по таблице 2.3,  выбираем нормальный закон распределения.

22 Расчет теоретической кривой нормального закона распределения (таблица 2.8 - 2.9). Значения функции  представлены в приложении А.

Таблица 2.8 – Расчет теоретической кривой нормального закона распределения

Границы

интервалов

Середины интервалов

()

Частоты

 

Нормированное отклонение

 

Теоретические

частоты

 

Вычисл.

Округ

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

172-176

174

5

-8

-1,757

0,0848

3,7241985

4

2

176-180

178

12

-4

-0,878

0,2709

11,897233

12

3

180-184

182

20

0

0,000

0,3989

17,518664

17

4

184-188

186

8

4

0,878

0,2709

11,897233

12

5

188-192

190

4

8

1,757

0,0848

3,7241985

4

6

192-196

194

1

12

2,635

0,0122

0,5357927

1

 

Таблица 2.9 -  Расчет теоретической кривой нормального закона распределения

Границы

интервалов

Середины интервалов

()

Частоты

Теоретические

Частости

теоретические

Накопленные частоты

теоретические

Накопленные частости

теоретические

1

172-176

174

4

0,08

4

0,08

2

176-180

178

12

0,24

16

0,32

3

180-184

182

17

0,34

33

0,66

4

184-188

186

12

0,24

45

0,9

5

188-192

190

4

0,08

49

0,98

6

192-196

194

1

0,02

50

1

           

 23 Проверка гипотезы о соответствии эмпирического распределения нормальному закону с использованием критерия согласия Пирсона ().

Вычисляем критерий Пирсона ():

                           где  - эмпирические частоты;

                                               - теоретические частоты;

                                               - количество интервалов.

Определяем число степеней свободы:

                                                        

где - число используемых параметров (для нормального закона , так как в нормальном законе используются два параметра – математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение).

Задаемся уровнем значимости , и, для удобства вычислений, расчеты приводим в таблице 2.10.

   Таблица 2.10 – Расчет критерия согласия Пирсона

Границы

интервалов

Частоты

эмпирические

Частоты теоретические

   

1

170-174

6

5

0

0,000

2

174-178

11

11

1

0,091

3

178-182

20

16

16

1,000

4

182-186

8

12

16

1,333

5

186-190

4

5

1

0,200

6

190-194

1

1

0

0,000

                                                                                                                                                                       

2,624

             

         Сравниваем фактическое значение с табличным (приложение Б).

               Так как , то можно утверждать, что гипотеза о принадлежности опытных данных нормальному закону распределения принимается.

               Исходя из этого, функция плотности распределения вероятностей для нормального закона распределения будет иметь вид:

Контрольные вопросы

1 Чем занимается математическая статистика?

1 Математической статистикой называется наука, занимающаяся методами обработки опытных данных, полученных в результате наблюдений над случайными явлениями. Любой такой результат можно представить как совокупность значений, принятых в результате «n» опытов, какой-то случайной величиной или системой случайных величин.

2 Что такое случайная величина?

2  Под случайной величиной понимается величина, которая в результате опыта со случайным исходом принимает то или иное значение. Возможные значения случайной величины образуют множество [~], которое мы будем называть множеством возможных значений случайной величины.

3 Какая случайная величина называется дискретной (непрерывной)?

3 Случайная величина, в которой множество значений счетно называется дискретной, а случайная величина в которой множество значений несчетно – не дискретной.

4 Что такое ряд распределения?

4  Рядом распределения дискретной случайной величины называется таблица (таблица 2.1), в верхней строке которой перечислены в порядке возрастания все возможные значения С. В. Х: х1, х2,…, хn, а в нижней – вероятности этих значений: p1, p2,….,pn, где pi=P(х= хi) – вероятность того, что в результате опыта С. В. Х примет значение хi

Таблица 2.1 – Ряд распределения случайной величины

х

Х1

Х2

…….

Хn

……..

p1

p2

…….

Pn

……..

 

5 Что является аналитическими выражениями законов распределения?

5 Аналитическими выражениями законов распределения случайных величин являются функции распределения вероятностей – интегральная и дифференциальная.

6 Перечислите параметры, характеризующие положение случайной величины.

6 Математическое ожидание, медиана, мода.

7 Перечислите параметры, характеризующие рассеивание случайной величины.

7 К параметрам, характеризующим рассеяние случайной величины относят: дисперсию и среднеквадратическое отклонение (СКО).

8 Что такое дисперсия, СКО?

8  Дисперсия – это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. СКО корень квадратный из дисперсии.

9 Чем выборка отличается от генеральной совокупности?

9 Генеральная совокупность- это совокупность всех мыслимых результатов наблюдений над случайной величиной, которые в принципе могут быть приведены в данных условиях.

Выборка- это конечный набор значений случайной величины, полученный в результате наблюдений и взятый из генеральной совокупности.

10 Какая выборка называется репрезентативной?

10 Выборка называется репрезентативной (представительной), если она достаточно полно характеризует генеральную совокупность. Наилучший способ обеспечения репрезентативности выборки – случайный выбор ее элементов.

11 В чем смысл статистических методов?

11 Смысл статистических методов заключается в том, чтобы по выборке ограниченного объема n, т.е. по некоторой части генеральной совокупности, высказать обоснованное суждение по свойствам всей генеральной совокупности.

12 Как построить гистограмму?

12 Гистограмма является эмпирическим аналогом функции плотности распределения f(x). Для построения гистограммы по оси абсцисс откладывают в выбранном масштабе интервалы, и, взяв их как основания, строят прямоугольники, площадь которых равна частости попадания случайной величины в интервал. Частость каждого интервала делится на его ширину. Полученное число берется как высота прямоугольника.

13 Что такое частота, частость?

13 Частоты - это абсолютные числа, показывающие столько раз в совокупности встречается данное значение признака. Сумма всех частот должна быть равна численности единиц всей совокупности. Частости - это частоты выраженные в процентах к итогу. Сумма всех частостей, выраженных в процентах должна быть равна 100% в долях единице.

14 Какая бывает асимметрия?

14 Правосторонняя и левосторонняя ассиметрия

15 Как эксцесс влияет на форму кривой распределения?

15 Для нормального распределения - эксцесс равен нулю. Если эксцесс отрицательный, распределение f(X) по сравнению с нормальным имеет более низкую и «плоскую» вершину, а если эксцесс положительный , то – более высокую и «острую».

16 Перечислите наиболее распространенные законы распределения.

16 Нормальный закон, Закон Вейбулла, Логарифмический закон, Экспоненциальный закон.

17 Что такое статистическая гипотеза?

17 Статистическая гипотеза – это некоторое предположение относительно свойств генеральной совокупности, из которой извлекается выборка.

18 Перечислите критерии для проверки статистических гипотез.

18 Наиболее универсальными считаются критерии Пирсона, Колмогорова, Романовского, Стьюдента и др., для которых при заданном уровне значимости α подсчитаны и составлены таблицы критических значений.

19 Что такое уровень значимости, критерий значимости?

19 Уровню значимости α соответствует доверительная вероятность p=1- α. Обычно в технике уровень значимости принимают равным 0,05; 0,01; 0,1. Если α=0,05, то ей будет соответствовать доверительная вероятность p=95 %, т.е. с вероятностью 95 % мы можем говорить о полученном результате.

  

  • 2 Лабораторная работа № 2 «Дисперсионный анализ»

Цель работы: получить навыки и умения применения дисперсионного

анализа при построении однофакторного и двухфакторного комплекса.

Задачи:

 - изучить теоретические аспекты однофакторного и двухфакторного дисперсионного анализа;

 - используя пример выполнения работы, выявить влияние одного фактора  на исследуемый признак (все данные в матрице (таблица 12) наблюдений изменить на величину своего варианта по списку из журнала преподавателя);

- используя пример выполнения работы, выявить влияние  двух факторов «А» и «В» на исследуемый признак (все данные в матрице (таблица 13) наблюдений изменить на величину своего варианта по списку из журнала преподавателя);

- ответить на контрольные вопросы;

- оформить в виде отчета по лабораторной работе.

Однофакторный дисперсионный анализ

Пусть имеется четыре партии сырья для текстильной промышленности. Из каждой партии отобрано по пять образцов и проведены испытания на определение величины разрывной нагрузки. Требуется выяснить, существенно ли влияние различных партий сырья на величину разрывной нагрузки.

1 Запишем матрицу наблюдений (таблица 2.13)

   Таблица 2.13 – Матрица наблюдений

Номер партии (m)

Разрывная нагрузка (n)

1

2

3

4

5

1

202

142

172

147

167

2

192

152

212

152

152

3

232

192

202

192

202

4

152

172

152

172

182

 

2 Находим среднее арифметическое значение по каждой строке:

                                                        

                                  ()

3 Среднее арифметическое всей совокупности наблюдений:

                                               

4 Вычисляем :

                                             

                                             

5 Вычисляем :

                                           

                                           

6 Вычисляем :

                                          

                                          

7 Результаты вычислений заносим в таблицу в сводную таблицу 2.14.

   Таблица 2.14 – Результаты однофакторного дисперсионного анализа

Компоненты дисперсии

Суммы квадратов

Число степеней свободы

Средний квадрат

Межгрупповая

4980

3

1660

Внутригрупповая

7270

16

454,4

Полная

12250

19

644,7

 

8 Рассчитываем - критерий ().

9 По таблице, представленной в приложении В, находим - критерий (табличный)  (α=0,01).

Так как вычисленное значение - критерия меньше табличного значения, то можно утверждать, что различие между сырьем в партиях не влияет на величину разрывной нагрузки.

 

Пример выполнения лабораторной работы (двухфакторный  дисперсионный анализ):

1 Запишем матрицу наблюдений (таблица 2.15).

  Таблица 2.15 – Матрица наблюдений

A

B

В1

В2

В3

 

А1

3

4

5

4

А2

7

8

12

9

 

5

6

8,5

6,5

 2 Найдем  по формулам:

                         

                          

3 Найдем дисперсии:

                                                         

                                                         

                                                         

4 Найдем расчетное значение F – критерия:

          5 Табличное значение F – критерия (приложение В): ; .

          6 Сравним табличное значение F – критерия с расчетным:

                                               (фактор «А» - влияет);

                                               (фактор «В» - не влияет).

Контрольные вопросы

  1. Что такое дисперсионный анализ?

1 Дисперсионный анализ – это статистический метод анализа результатов наблюдений, зависящих от различных одновременно действующих факторов, выбор наиболее важных факторов и оценка их влияния.

  1. В чем идея дисперсионного анализа?

2 Идея дисперсионного анализа заключается в разложении общей дисперсии случайной величины на независимые случайные слагаемые, каждое из которых характеризует влияние того или иного фактора или их взаимодействия. Последующее сравнение этих дисперсий позволяет оценить существенность влияния факторов на исследуемую величину

  1. Перечислите порядок однофакторного дисперсионного анализа.

3 Если исследуется влияние одного фактора на исследуемую величину, то речь идет об однофакторном комплексе.

  1. Перечислите порядок двухфакторного дисперсионного анализа.

4 Если  изучается влияние двух факторов – двухфакторный комплекс.

  1. Как определить степень влияния того или иного фактора?

5 Сравнивая между собой межгрупповую и внутригрупповую дисперсии, по величине их отклонения судят, насколько сильно проявляется влияние факторов.

2.3 Лабораторная работа № 3 «Корреляционный  анализ»

Цель работы: получить навыки и умения измерения тесноты связи с помощью коэффициента корреляции и корреляционного отношения.

Задачи:

- изучить теоретические аспекты корреляционного анализа;

- используя пример выполнения лабораторной работы рассчитать коэффициент корреляции (таблица 2.16) и корреляционное отношение (таблица 2.17) – все значения Y изменить на величину своего варианта;

- ответить на контрольные вопросы.

1 Группируем первичные данные в виде таблицы для расчета коэффициента корреляции (таблица 2.16):

Таблица 2.16 – Данные для расчета коэффициента корреляции

 

Xi

Yi

XiYi

X2i

Y2i

10,0

2,7

27

100,00

7,29

10,8

2,73

29,484

116,64

7,45

11,3

2,75

29,7

127,69

7,56

10,0

2,70

27

100,00

7,29

10,1

2,65

26,765

102,01

7,02

11,1

2,65

29,415

123,21

7,02

11,3

2,70

30,51

127,69

7,29

10,2

2,61

27,54

104,04

6,81

13,5

2,70

36,45

182,25

7,29

12,3

2,63

32,349

151,29

6,92

14,5

2,70

39,15

210,25

7,29

11,0

2,65

29,15

121,00

7,02

12,0

2,72

32,64

144,00

7,398

11,8

2,69

31,742

139,24

7,236

13,4

2,78

37,252

179,56

7,728

11,4

2,70

30,78

129,96

7,29

12,0

2,60

31,2

144,00

6,76

15,6

2,85

44,46

243,36

8,1225

13,0

2,80

36,4

169,00

7,84

12,1

2,75

33,275

146,41

7,56

237,4

54,06

642,262

2861,60

146,1845

2 Определяем суммы квадратов отклонений по формулам:

                                    

                                     

3 Используя формулу определяем коэффициент корреляции:

                 

Полученная величина указывает на наличие положительной средней силы корреляционной связи между исследуемыми признаками.

4 Группируем первичные данные в виде таблицы 2.17 для расчета корреляционного отношения:

Таблица 2.17 – Данные для расчета корреляционного отношения

Группа

Интервал

Xi

Yi

1

2

3

4

1

2,0-3,5

2,0

3,8

3,0

5,8

3,3

5,4

3,3

5,3

3,4

4,9

2

3,5-5,0

3,5

6,1

3,9

7,4

3,9

8,4

4,0

6,2

4,1

7,0

4,5

6,6

4,8

7,2

4.9

7,3

3

5,0-6,5

5,1

7,8

5,4

10,5

5,6

6,6

5,9

9,0

5,9

11,0

6,3

10,0

6,4

9,9

 

Продолжение таблицы 2.17

1

2

3

4

4

6,5-8,0

6,6

13,2

6.7

9,0

7.2

10,6

7.5

11,4

8,0

12,4

 

  • Находим среднее значение в каждой группе (таблица 2.18)

Таблица 2.18 – Расчет среднего значения в группе

Группа

Частота

Среднее значение в группе

1

5

5,04

2

8

7,025

3

7

9,257

4

5

11,32

  • Находим общее среднее:

                                

  • Рассчитаем общую дисперсию:

                            

  • Рассчитаем межгрупповую дисперсию:

                        

  • Найдем коэффициент детерминации:

                                          

10 Найдем эмпирическое корреляционное отношение:

                                

Таким образом, рассчитанное эмпирическое корреляционное отношение свидетельствует о достаточно высокой статистической связи между x и y.

 

Контрольные вопросы

  1. Дайте понятие статистической связи.

       1 Об этой связи имеет смысл говорить, когда условное математическое ожидание одной случайной переменной является функцией значения, принимаемого другой случайной переменной.

  • Что такое корреляционная зависимость?

2 Корреляционная зависимость – это зависимость между одной случайной переменной и условным средним значением другой переменной.

  • Приведите примеры корреляционной зависимости.

3 Примерами корреляционной связи являются зависимости: между пределами прочности и текучести стали определенной марки, между погрешностью размера и погрешностью формы поверхности детали, обработанной определенным методом, межу температурой испытания и ударной вязкостью стали, между усилием прижима ролика и шероховатостью накатанной детали. В первых двух примерах имеет место корреляционная связь между двумя откликами, а в третьем и четвертом – между фактором, который является случайной величиной в связи с погрешностью измерения, и откликом.

  • Что такое поле корреляции?

   4 Для этого значения X и Y разбивают на интервалы. По одной оси откладывают интервалы, соответствующие переменной Y, а по другой – соответствующие X. Каждую пару чисел изображают в виде точки в соответствующей клетке.

Такое изображение корреляционной зависимости называется полем корреляции

  • Что такое корреляционный момент?

5 Корреляционный момент (или момент связи) двух случайных величин X и Y-это математическое ожидание произведения центрированных случайных величин. Корреляционный момент одновременно характеризует связь между случайными величинами и их рассеивание. По своей размерности он соответствует дисперсии для независимой случайной величины.

    Если случайные величины независимы, то корреляционный момент равен нулю, так как его можно представить как произведение центральных моментов случайных величин, которые равны нулю.

    Если хотя бы одна из случайных величин имеет малое рассеяние, то корреляционный момент мал даже при явной зависимости между случайными величинами.

  • Что характеризует корреляционный момент?

6  Коэффициент корреляции.

  • Для чего служит коэффициент корреляции?

7 Коэффициент корреляции, характеризуя степень тесноты связи случайных величин и может изменяться в пределах от -1 до +1. Чем ближе значение его абсолютной величины к единице, тем сильнее линейная связь между случайными величинами; чем ближе к нулю, тем эта связь слабее. Какие может принимать значения коэффициент корреляции?

8 При rxy = 1 или rxy = - 1 статистическая линейная связь становится функциональной. При значениях близких к нулю линейная корреляционная связь отсутствует. Для независимых случайных величин также rxy= 0.

 

2.4 Лабораторная работа № 4 «Регрессионный анализ (способ наименьших квадратов)»

          Цель работы: получить знания, навыки и умения применения «способа наименьших квадратов» для аппроксимации опытных данных.

           Задачи:

- изучить теоретические аспекты регрессионного анализа и «способа наименьших квадратов»;

-  используя пример выполнения работы, провести аппроксимацию опытных данных (связь между переменными: линейная, множественная, параболическая, гиперболическая);

- построить эмпирическую и теоретическую линии регрессии (все данные Y изменить на величину своего варианта);

- ответить на контрольные вопросы.

Связь между величинами – линейная  (в таблице 2.19 представлены исходные данные для расчета)

1 Система нормальных уравнений имеет вид:

                                                        

   Таблица 2.19  – Данные для расчета линейной регрессии

y

x

X2

yx

 

6

0,5

0,25

3

6,36

8

1,5

2,25

12

7,22

7,5

2,5

6,25

18,75

8,08

9

3,5

12,25

31,5

8,94

10

4,5

20,25

45

9,8

10,5

5,5

30,25

57,75

10,66

       

 

 

Подставляем полученные суммы в систему и решаем ее:

Таким образом, мы получили линейное уравнение регрессии, которое имеет следующий вид:

Строим эмпирическую и теоретическую линии регрессии (рисунок 2.17):

 

 

Рисунок 2.17 – Эмпирическая и теоретическая линии регрессии

 

Аналогичным способом выполняем другие виды аппроксимации.

2 Расчёт эмпирического уравнения для множественной  линейной регрессии

Найти эмпирическое уравнение регрессии между значениями у, z и x Данные о корреляционной зависимости между этими признаками приведены в таблице 17.

Предполагая линейный характер связи между этими приз­наками и учитывая их буквенные обозначения, возьмем за ис­ходное уравнение регрессии уравнение вида:

                                               

которому отвечает выше приведенная система нормальных уравнений.

                                                   

                                                     

                                                    

Необходимые суммы представлены в таблице. Подставляем их в уравнения системы:

                                                      

                                                     

                                                     

Чтобы решить эту систему относительно параметров а, b и с, разделим каждое уравнение на коэффициент при а, что дает:

                                                             

Затем, вычитая первое уравнение из   второго, а   второе — из третьего, получим:

                                                     

Разделим каждое уравнение на коэффициент при b и найдем разность между полученными уравнениями:

                                                         

Отсюда   Подставляя в одно из этих уравнений вместо с его значение, находим , откуда .

В первое (исходное) уравнение вместо b и c подставляем их значения:

                        

Отсюда:                  

В итоге получим:

Подставляя в это уравнение задаваемые значения переменных y и z, можно определить ожидаемую величину переменной x.

Найденное эмпирическое уравнение регрессии показывает, что при изменении  x на 1  число y при постоянном z  изменится в среднем на 1,90, а число z при постоянной величине y изменится в среднем на 0,29.

   Таблица 2.20 – Данные для расчета множественной линейной регрессии

x

y

z

X2

Y2

Z2

xy

yz

xz

70

20

36

4900

400

1296

1400

720

2520

60

19

29

3600

361

1020

1140

551

1740

70

24

40

4900

576

1540

1680

962

2800

46

12

12

2116

144

460

552

144

552

58

18

31

3364

324

928

1044

558

1798

69

20

32

4761

400

1242

1380

640

2208

32

11

13

1024

121

288

352

143

416

62

20

35

3844

400

1116

1240

700

2170

46

17

30

2116

289

690

782

510

1380

62

24

36

3844

576

1364

1488

864

2232

                 

 

3 Расчёт эмпирического уравнения для параболы второго порядка.

Y изменяется по X следующим образом (таблица 2.21). Из таблицы видно, что значения зависимой переменной Y сначала возрастают, а затем начинают убывать. Это признак параболической зависимости между пе­ременными Y и X. Найдем эмпирическое уравнение этой зави­симости. Предварительно рассчитаем вспомогательные величи­ны и др. Расчет приведен в таблице 18.

Составим систему нормальных уравнений:

                                    

Решая эту систему относительно коэффициентов а, b и с, находим:               а= 15,5952; b = 4,517 и с = -0,44292. Отсюда эмпирическое уравнение параболы второго порядка таково:

 

 

  Таблица 2.21 – Данные для расчета параболы второго порядка

x

y

xy

X2

YX2

X3

X4

 

1

20,2

202

1

20,2

1

1

19,683

2

22,1

44,2

4

88,4

8

16

22,9124

3

25,4

76,2

9

228,6

27

81

25,2834

4

26,6

106,4

16

425,6

64

256

26,796

5

27,6

138

25

690

125

625

27,447

6

27,9

167,4

36

1004,4

216

1296

27,246

7

25,6

179,2

49

1254,4

343

2401

26,183

8

24,7

197,6

64

1580,8

512

4096

24,262

9

21,2

190,8

81

1717,2

729

6561

21,483

               

 

4 Расчёт эмпирического уравнения для гиперболы первого порядка

Зависимость величины у характери­зуется следующими величинами (таблица 2.22)

Если эти данные изобразить графически в системе прямо­угольных координат, можно убедиться в том, что они выглядят в виде гиперболической зависимости между переменными Y и X. Необходимые суммы для вычисления параметров a и b по уравнению  содержатся в таблице 19. Подставляя эти данные в формулы:

                                   

                                                 

Находим:

Отсюда уравнение регрессии Y по X:

   Таблица 2.22 – Данные для расчета гиперболы первого порядка

x

y

X2

       

1,4

675

1,96

482,1

0,714

0,5102

670,6

2,2

491

4,84

223,2

0,454

0,2066

489,3

2,3

453

5,29

196,96

0,435

0,1890

475,5

2,6

407

6,76

156,5

0,385

0,1479

440,5

3,6

487

12,96

135,3

0,278

0,0772

365,9

4,1

332

16,81

80,98

0,244

0,0595

342,2

4,4

290

19,36

65,9

0,227

0,0517

330,6

5,8

270

33,64

46,6

0,172

0,0297

292,3

 

 

 

     

 

 

Контрольные вопросы

  1. Что значит определить форму связи?

1 Определить форму связи – значит ­­­выявить механизм получения зависимой случайной переменной. При изучении статистических зависимостей, форму связи можно охарактеризовать функцией регрессии, которая может быть линейной, квадратной, показательной

  1. Что называется кривой регрессии?

2 Кривой регрессии Y по X называется условное среднее значение случайной переменной Y, рассматриваемой как функция от X, т.е. Yср(x)= f(x).

  1. Чем эмпирическая линия регрессии отличается от теоретической?

3 По виду данной ломаной линии можно говорить, как в среднем меняется Y в зависимости от изменения  X. Такая линия называется эмпирической линией регрессии. По ее виду можно сделать предположение о форме связи.  Аппроксимированную линию называют теоретической линией регрессии

  1. Какие ученые предложили «способ наименьших квадратов»?

4 В начале XIX века Лежандр и Гаусс независимо друг от друга нашли метод определения неизвестных по результатам опыта, с помощью которого можно эффективно использовать избыточную информацию.

  1. В чем сущность «способа наименьших квадратов»?

5 Требование Лежандра заключается в том, чтобы сумма квадратов отклонений измеренных величин от истинного значения была бы минимальной.

  1. Запишите условие Лежандра.

6 , .

  1. Как выглядит уравнение множественной регрессии?

7 В простейшем виде множественная линейная регрессия выражается уравнением с двумя независимыми переменными величинами (x;z):

  1. Как выглядит уравнение параболы второго порядка?

    8 Уравнение параболы второго порядка имеет вид:

                                                   

 

3 Экстремальное планирование эксперимента

3.1 Лабораторная работа № 5 «Выбор объекта исследования, параметра оптимизации, влияющих факторов»

Цель работы: Закрепление  знаний,  умений  и  навыков  по  выбору объекта исследования, влияющих  факторов, параметра  оптимизации.

Задачи:

- ознакомиться с представленным методическим материалом;

- используя пример выполнения лабораторной работы:

1) выбрать объект исследования («чёрный ящик»), нарисовать его схему, описать принцип работы выбранного объекта;

2) обосновать выбор  параметра оптимизации (y-отклик);

3) перечислить все влияющие факторы «х» на параметр оптимизации «у»;

4) зарисовать модель объекта исследования в виде «чёрного ящика»;

- ответить на контрольные вопросы;

- работу оформить в виде отчета по лабораторной работе.

В качестве объекта исследования  выбираем водогрейный котел КВГМ-20, работающий на природном газе или мазуте. Котлы обеспечивают подогрев воды до 150 °С с разностью температур воды на входе и выходе, равной 80°С.  Диапазон регулирования нагрузки котлов – 20-100% от номинальной теплопроизводительности. Котел рассчитан на работу с уравновешенной тягой. Температура уходящих газов 170-200 °С.

Для оптимальной работы котельного агрегата составляются режимные карты, по итогам режимо-налодочных мероприятий при различной номинальной нагрузке. Несомненно, КПД отопительных котлов является важным показателем эффективности их работы.

Снижение номинальной нагрузки приводит к увеличению: температуры уходящих газов, потерь теплоты с уходящими газами, расхода топлива и снижению кпд котельного агрегата.

Так же на кпд оказываеют влияние следующиефакторы: присосы воздуха, температура газов в топке, элементарный состав топлива, соотношение газ-воздух. Чем больше в составе топлива углерова, тем выше теплота сгорания топлива.

 

 

Рисунок 3.2 – Водогрейный котел КВГМ-20

Снижение кпд приводит к перерасходу топлива, увеличению температуры уходящих газов, что оказывает неблагоприятное воздействие на окружающую среду.

Для обоснования соответствующих нормативов проводится исследование. На первом этапе этого исследования выявляются основные технологические факторы, влияющие на кпд котла.

После изучения априорных данных (литературных источников), ранее проведенных исследований в этой области были выбраны следующие десять факторов, оказывающих  воздействие на кпд котельного агрегата – «y»:

- потери теплоты с уходящими газами – х1;

- диапазон нагрузки – х2;

- температура уходящих газов – х3;

- присосы воздуха – х4;

- температура газов в топке котла – х5;

- приведенная влажность – х6;

- температура подпиточной  воды – х7;

- скорость газов – х8;

- состав топлива (содержание углерода) – х9;

- отношение газ-воздух – х10.

Х2

 

Х1

 

Таким образом, на основании вышесказанного, мы можем представить объект исследования – «двигатель внутреннего сгорания» в виде «черного ящика» (рисунок 3.3).

       
   
   

Y

 
 

 

 

Рисунок 3.3 –  Водогрейный котел, как модель - «черный ящик»

 

Контрольные вопросы

 

  1. Что такое научное исследование?

1 Научное исследование – это особая творческая деятельность людей, связанная с изучением закономерностей развития явлений объективного мира и их объяснением.

  1. Перечислите этапы научного исследования.

2  Подготовку к исследованию, экспериментальное исследование и обработка опытных данных, анализ и синтез результатов экспериментального исследования, проверку результатов обобщения  оценку экономической эффективности результатов исследования.

  1. Что понимают под предметом исследования?

3  Под   предметом    исследования   понимается   содержательная ее часть, зафиксированная в наименовании темы и связанная с позна­нием некоторых сторон, свойств и связей исследуемых объектом необходимых и достаточных для достижения цели исследования.

  1. Что такое эксперимент?

4 Эксперимент (лат. «проба, опыт») – чувственно – предметная деятельность в науке. Эксперимент – научно поставленный опыт, наблюдение исследуемого явления в точно установленных условиях, позволяющих следить за ходом явления и многократно воспроизводить его при повторении условий

  1. Что такое планирование эксперимента?

   5 Планирование эксперимента – выбор плана эксперимента,    

     удовлетворяющего заданным требованиям;

     планирование эксперимента – это средство построения математической

     модели, способ сокращения времени и средств и повышения  

     производительности труда исследователя;

- планирование эксперимента – это исчерпывающая совокупность процедур для построения и анализа экспериментальных планов, используемых в научных и прикладных исследованиях

  1. Перечислите принципы планирования эксперимента.

6 Принципы, положенные в основу теории планирования эксперимента, направлены на повышение эффективности экспериментирования, т. е. на получение максимума информации при минимуме опытов.

  1. Что понимают под моделью?

7 Модель (model, от лат. «образец») – отображение: целевое; абстрактное или реальное, статическое или динамическое; конечное, упрощенное, приближенное; имеющее наряду с безусловно истинным условно-истинное, предположительно-истинное и ложное содержание; реализующееся и развивающееся в процессе его практического использования.

  1. Какие бывают модели?

8  Модель абстрактная, динамическая, знаковая, классификационная, математическая, познавательная, прагматическая, реальная, модель состава системы, статическая, модель структуры системы, функциональная, модель «чёрного ящика»,  языковая, модель моделей.

  1. Что такое параметр оптимизации?

9 Параметр оптимиза­ции является реакцией (откликом) па воздействие факто­ров, которые определяют поведение выбранной сис­темы. Параметр оптимизации – это признак, по которому мы хотим оптимизировать процесс. Он должен быть количественным, задаваться числом.

  1. Что из себя представляет функция отклика?

10

  1. Что из себя представляет план эксперимента первого порядка?

11 Линейный план, план с двумя или более уровнями факторов, позволяющий найти раздельные оценки параметров регрессионной модели первого порядка

  1. Как выглядит полином первой степени?

12

  1. Какие требования предъявляют к параметру оптимизации?

13 Параметр оптимизации – это признак, по которому мы хотим оптимизировать процесс. Он должен быть количественным, задаваться числом.

  1. Что такое фактор?

14 Переменная величина, по предположению влияющая на результаты эксперимента. Фактором называется измеряемая переменная ве­личина, принимающая в некоторый момент времени определенное значение. Факторы соответствуют способам воз­действия на объект исследования.

  1. Какие требования предъявляют к факторам?

15 При планировании эксперимента факторы должны быть управляемыми. Планировать эксперимент мож­но только в том случае, если уровни факторов подчиняются воле экспериментатора.

Чтобы точно определить фактор, нужно указать последовательность действий (операций), с помощью ко­торых устанавливаются его конкретные значения (уровни).

 

3.2 Лабораторная работа № 6 «Априорное ранжирование факторов (психологический эксперимент)»

Цель работы: Закрепление  знаний,  умений  и  навыков  по отсеиванию факторов на основе априорного ранжирования.

Задачи:

- ознакомиться с представленным методическим материалом;

- используя пример выполнения лабораторной работы провести априорное ранжирование факторов для двух случаев:

1) эксперты дали разные ранги факторам;

2) при ранжировании факторов есть повторы (количество экспертов в обоих случаях принять равным 8).

- ответить на контрольные вопросы;

- работу оформить в виде отчета по лабораторной работе.

Эксперты присвоили различные ранги факторам

1 Результаты проведения экспертного опроса представлены  в таблице 3.5:

Таблица 3.5 – Матрица экспертного опроса

Эксперты

 

 

 

Х1

 

 

Х2

 

 

Х3

 

 

Х4

 

Х5

Х6

Х7

Х8

Х9

Х10

Число повторяющихся в строке рангов

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1

1

2

3

6

5

8

7

9

4

10

-

2

2

3

1

5

8

7

6

10

4

9

-

3

1

2

3

7

5

4

6

10

9

8

-

4

2

4

5

3

6

9

10

1

8

7

-

5

3

2

10

7

8

5

6

9

1

4

-

6

1

5

3

10

7

9

4

8

2

6

-

7

3

6

2

4

7

5

8

10

1

9

-

8

1

3

2

7

5

6

10

9

4

8

-

 

14

27

29

49

51

53

57

66

33

61

-

 

-30

-17

-15

5

7

9

13

22

-11

17

-

 

900

289

225

25

49

81

169

484

121

289

-

 

2 Рассчитываем среднюю сумму рангов по формуле 3.11:

3 Находим разность между суммой рангов i-го фактора и средней суммы рангов по формуле 3.12. Результаты расчета представлены в таблице 32.

4 Рассчитываем сумму квадратов разности по формуле 3.13:

Полученные данные позволяют выявить согласованность мнений экспертов относительно степени влияния факторов на параметр оптимизации.

5 Согласованность мнений экспертов оцениваем коэффициентом конкордации (W) по формуле 3.14:

 

Величина коэффициента конкордации существенно больше 0, следовательно, можно считать, что мнения экспертов согласуются, однако значение коэффициента W существенно отличается и от 1, что свидетельствует о неодинаковом ранжировании факторов экспертами.

6 Оцениваем значимость коэффициента с помощью критерия Пирсона . Расчетное значение критерия Пирсона определяем по формуле 3.15:

Найдем табличное значение . При f=10-1=9, α=0,05 табличное значение (приложение Б).                        

                                                      

Таким образом, ; 16,92<40, то можно с вероятностью 95% можно утверждать, что коэффициент конкордации значим, его отличие от 0 существенно, поэтому мнение экспертов относительно степени влияния факторов на параметр оптимизации согласовывается в соответствии с коэффициентом конкордации W=0,5. Это позволяет использовать результаты проведенного исследования и построить диаграмму рангов (рисунок 3.4).

Рисунок 3.4 – Диаграмма рангов

Из диаграммы видно, что распределение факторов соответствует неравномерному экспоненциальному убыванию, следовательно, часть факторов можно исключить из последующих экспериментов, были исключены факторы 4.5.6.7.8.10.  По результатам априорного ранжирования были отобраны четыре фактора. Остальные факторы при дальнейших экспериментальных исследованиях должны оставаться постоянными, а их влияние должно учитываться  на кпд котла.

При ранжировании факторов есть повторы

7 Результаты проведения экспертного опроса представлены  в таблице 3.6:

Таблица 3.6 – Матрица экспертного опроса

Эксперт

 

Х1

 

 

Х2

 

 

Х3

 

 

Х4

 

Х5

Х6

Х7

Х8

Х9

Х10

Число повторяющихся в строке рангов

1

1

1

5

7

2

3

6

8

3

4

2

2

1

2

4

3

5

7

6

10

2

8

1

3

2

2

1

5

3

6

7

9

1

8

2

4

1

1

2

3

4

5

6

7

10

8

1

5

3

3

1

2

5

4

7

5

9

8

2

6

1

4

2

3

7

6

5

9

1

8

1

7

1

2

4

5

6

7

8

9

3

10

-

8

1

3

3

2

4

7

6

5

9

8

1

  • Определяем стандартизированные ранги по первому эксперту.

Фактор 1 – на первом месте; факторы 2 и 3 поделили 2 и 3 место – им приписывается стандартизированный ранг, определяемый как средняя сумма мест ; факторы 5 и 6 поделили 4 и 5 место, их стандартизированный ранг будет равен ; фактор 4 – на шестом месте; 7 на 7 месте; 8 на 8 месте; 9 на 9 месте; 10 на 10.

  • Проверяем правильность ранжирования по формуле 3.10:
  • Определяем стандартизированные ранги по второму эксперту и т. д. Результаты ранжирования сводим в стандартизированную матрицу (таблица 3.7).

Таблица 3.7 – Стандартизированная матрица

Эксперты

 

Х1

 

 

Х2

 

 

Х3

 

 

Х4

 

Х5

Х6

Х7

Х8

Х9

Х10

1

1

2,5

2,5

6

4,5

4,5

9

8

7

10

2

1,5

1,5

4,5

8

7

4,5

6

3

10

9

3

1

2

5

5,5

6

9

5,5

7

8

10

4

2,5

2,5

5

7

8

4

5

10

9

1

5

2

4

3

6

1

10

7

5

8

9

6

1

2

4,6

7

4,6

4,6

3

10

9

8

7

1

2

3

4

4

4

7

10

9

8

8

1

2

3

9

4

7

5

8

10

6

 

11

18,5

30,6

52,5

39,1

47,6

47,5

61

70

61

 

11

18,5

30,6

52,5

39,1

47,6

47,5

61

70

61

 

121

342,25

936,36

2756,25

1528,81

2265,76

2256,25

3721

4900

3721

11 Рассчитываем среднюю сумму рангов по формуле 3.11:

12 Находим разность между суммой рангов i-го фактора и средней суммы рангов по формуле 3.12. Результаты расчета представлены в таблице 34.

13 Рассчитываем сумму квадратов разности по формуле 3.13:

Полученные данные позволяют выявить согласованность мнений экспертов относительно степени влияния факторов на параметр оптимизации.

14 Согласованность мнений экспертов оцениваем коэффициентом конкордации (W) по формуле 3.15:

 

Величина коэффициента конкордации существенно больше 0, следовательно, можно считать, что мнения экспертов согласуются, однако значение коэффициента W существенно отличается и от 1, что свидетельствует о неодинаковом ранжировании факторов экспертами.

15 Оцениваем значимость коэффициента с помощью критерия Пирсона . Расчетное значение критерия Пирсона определяем по формуле 3.17:

Найдем табличное значение (приложение Б) . При f=10-1=9, α=0,01 табличное значение                         

                                                      

Таким образом, ; 21,7<47,76, то можно с вероятностью 99% можно утверждать, что коэффициент конкордации значим, его отличие от 0 существенно, поэтому мнение экспертов относительно степени влияния факторов на параметр оптимизации согласовывается в соответствии с коэффициентом конкордации W=0,625. Это позволяет использовать результаты проведенного исследования и построить диаграмму рангов.

Диаграмма рангов строится аналогично как  в предыдущем примере.

 

Рисунок 3.4(а) – Диаграмма рангов

 

Контрольные вопросы

  1. В чем суть экспертных оценок?

1      Суть экспертных оценок состоит в том, что группе специалистов-экспертов ставится ряд вопросов, касающихся развития данного технического направления или предполагаемого объекта техники.

  1. В чем отличие метода «Делфи» от метода «Мозговой атаки»?

2      В отличие от метода мозговой атаки метод Делфи может быть назван независимым интеллектуальным экспериментом, поскольку каждый эксперт высказывает свое мнение независимо от мнения своих коллег. 

  1. Перечислите этапы метода ранжировки.

3      В общем виде метод простой ранжировки (предпочтения) включает   в себя:

        - составление списка влияющих факторов;

        - разработка анкеты, которая содержит: параметр оптимизации, факторы, уровни их варьирования;

        - определение специалистов, которые работают в сфере проведения эксперимента;

        - специалистам предлагается расположить все факторы в порядке убывания степени их влияния на «у»;

        - результаты опроса экспертов записывают в виде матрицы рангов;

        - вычисляют коэффициент конкордации «W»;

        - построение диаграммы рангов;

        - принятие  решения о возможности отсеивания факторов.

  1. Какие значения может принимать коэффициент конкордации?

4      Коэффициент конкордации изменяется от 0 до 1. Равенство единице означает, что все эксперты дали одинаковые оценки факторам, а равенство 0 означает, что связи между оценками, полученными от разных экспертов, не существует.

  1. Перечислите этапы метода задания весовых коэффициентов.

5      Заключается в присвое­нии каждому из факторов весовых коэффициентов, которые могут быть представлены двумя способами:

        - всем факторам назначают весовые коэффициенты так, чтобы сумма коэффициентов была равна какому-либо фиксированному числу (например, единице, десяти, ста и т. д.);

        - наиболее важному из всех факторов придают весовой коэффициент, равный какому-то фиксированному числу, а всем остальным — коэффициенты, равные долям этого числа.

  1. В чем суть метода последовательных и парных сравнений?

6      Эксперт упорядочивает все факторы в порядке уменьшения их значимости: ; присваивает первому фактору зна­чение, равное единице, остальным назначает коэффициенты в до­лях единицы; сравнивает значение первого фактора с суммой всех остальных, при этом возможны три варианта:

 

                                                      

                                                      

                                                      

        Преимущество метода последовательных сравнений перед другими состоит в том, что эксперт в процессе оценки важ­ности фактора сам анализирует свои оценки; недостаток – в сложности и громоздкости прово­димой работы.

        Согласно этому методу все факторы попарно сравнивают между собой и на основании оценок парных сравне­ний путем дальнейшей обработки находят оценки каждого фактора. Метод парных сравнений позволяет провести статистически обоснованный анализ согласо­ванности мнений экспертов, выявить, случайны ли полученные оценки

  1. Как построить диаграмму рангов?

7      По результатам проведенного исследования строится диаграмма рангов, по оси «х» располагаются факторы, по оси «у» сумма рангов.

 

 

3.3 Лабораторная работа № 7 «Планирование полного факторного эксперимента»

Цель работы: закрепление знаний, умений и навыков по планированию полного факторного эксперимента, а также по статистической оценке результатов экспериментов.

Задачи:

- ознакомиться с представленным методическим материалом;

- используя пример выполнения лабораторной работы провести статистическую оценку  результатов эксперимента (объект исследования студент  выбирает самостоятельно);

- ответить на контрольные вопросы;

- работу оформить в виде отчета по лабораторной работе.

 

1 По результатам априорного ранжирования факторов было установлено, что на кпд котла доминирующее значение оказывают  три фактора:

- Х1 – потери теплоты от химической неполноты сгорания;

- Х2 – диапазон тепловой нагрузки на котельный агрегат;

- Х3 – температура уходящих газов;

 - Х4 – количество углерода, содержащееся в топливе.

Значения нижнего, основного и верхнего, а также интервала варьирования представлены в таблице 3.12.

 

 

Рисунок 3.7 – Принятие решений в задаче определения оптимальных условий при неадекватности линейной модели

Рисунок 3.8 – Принятие решений в задаче построения интерполяционной формулы при неадекватности линейной модели

 

 

Таблица 3.12 – Значения верхнего, нижнего, основного уровня и интервал варьирования фактора

Фактор

-1

0

+1

Δ

Х1

5

7

9

2

Х2

50

75

100

25

Х3

120

160

200

40

Х4

1

3

5

2

 

Линейная модель имеет вид:

                                                 

Учитывая, что число факторов небольшое и модель линейная, воспользуемся матрицей ПФЭ, когда факторы варьируют на двух уровнях. По формуле 3.19 определяем количество опытов:

                                                 

Принимаем число параллельных наблюдений в каждом опыте по 3, тогда общее число наблюдений будет 48.

2 Для каждой строки матрицы планирования по результатам 3 параллельных экспериментов  находим  среднее арифметическое значение параметра оптимизации по формуле 3.22.  Матрица планирования и результаты проведения ПФЭ представлены в таблице 3.13.

   Таблица 3.13 – Матрица планирования ПФЭ

опыта

реализации

опыта

Х0

Х1

Х2

Х3

Х4

 

Рабочая матрица

     

1

2

+

+

+

+

+

9

100

200

5

85

2198,57

85,00

2

5

+

-

+

+

+

5

100

200

5

86

2198,57

86,83

3

1

+

+

-

+

+

9

50

200

5

85

796,49

83,33

4

8

+

-

-

+

+

5

50

200

5

86

2198,57

85,17

5

4

+

+

+

-

+

9

100

120

5

82

38,72

84,50

6

7

+

-

+

-

+

5

100

120

5

86

2198,57

86,33

7

3

+

+

-

-

+

9

50

120

5

84

133,53

82,83

8

6

+

-

-

-

+

5

50

120

5

86

2198,57

84,67

Продолжение таблицы 3.13

9

9

+

+

+

+

-

9

100

200

1

84

133,53

84,83

10

14

+

-

+

+

-

5

100

200

1

86

2198,57

86,67

11

10

+

+

-

+

-

9

50

200

1

84

133,53

83,17

12

13

+

-

-

+

-

5

50

200

1

86

2198,57

85,00

13

11

+

+

+

-

-

9

100

120

1

84

133,53

84,33

14

16

+

-

+

-

-

5

100

120

1

86

2198,57

86,17

15

12

+

+

-

-

-

9

50

120

1

84

133,53

82,67

16

15

+

-

-

-

-

5

50

120

1

86

2198,57

84,50

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сумма

21289,98

 

 

3 Для каждой строки матрицы планирования вычисляем дисперсию  эксперимента по данным 3 параллельных опытов (формула 3.23). Расчетные значения оценок дисперсии для каждого опыта представлены в таблице.

4 Проверим однородность дисперсий    при помощи G-критерия (принимаем α=0,05). Так как число повторных наблюдений во всех опытах было одинаково и равнялось 3, то для   и N=16, будет выполняться следующее неравенство (приложение Д):

                     

     Следовательно, оценки дисперсии во всех опытах однородны.

  • Определяем дисперсию воспроизводимости по формуле 3.29:

                                             

6 Определяем дисперсию, связанную с ошибками в определении коэффициентов регрессии по формуле 3.33:

                                              

откуда -

7 Найдем оценки коэффициентов уравнения регрессии по формулам:

                   

                   

                           

Таким же образом оценим коэффициенты b2 и  b3:

8 Определяем доверительный интервал для коэффициентов регрессии по формуле 3.34:

                        

9 Оценим значимость полученных коэффициентов регрессии с использованием  критерия Стъюдента (t  - критерия). Расчетные значения t-критерия определим по формулам:

                                                

                                               

                                               

                                               

Табличное значение t-критерия определяем при α=0,05 и f=16 (t=2,12).

Сравнивая расчетное значение с табличным (приложение Е), можно сказать, что все коэффициенты уравнения регрессии значимы.

Таким образом, уравнение регрессии будет иметь вид:

                         

  • Найдем расчетные значения параметра оптимизации используя уравнение, с учетом условий опытов (таблица):

; ; ; ; ; ;

; ; ;  ; ;

; ;

11 Рассчитаем дисперсию адекватности по формуле 3.36. Для удобства расчетов промежуточные вычисления выполняем в таблице 3.14.  

         

Таблица 3.14 – Данные для расчета дисперсии адекватности

№ опыта

Факторы

   

-

(-)2

X0

X1

X2

X3

X4

1

+

+

+

+

+

85

85,00

-0,33

0,11

2

+

-

+

+

+

86

86,83

-1,17

1,36

3

+

+

-

+

+

85

83,33

2,00

4,00

4

+

-

-

+

+

86

85,17

0,50

0,25

5

+

+

+

-

+

82

84,50

-2,17

4,69

6

+

-

+

-

+

86

86,33

-0,67

0,44

7

+

+

-

-

+

84

82,83

0,83

0,69

8

+

-

-

-

+

86

84,67

1,00

1,00

9

+

+

+

+

-

84

84,83

-1,17

1,36

10

+

-

+

+

-

86

86,67

-1,00

1,00

11

+

+

-

+

-

84

83,17

0,50

0,25

12

+

-

-

+

-

86

85,00

0,67

0,44

13

+

+

+

-

-

84

84,33

-0,67

0,44

14

+

-

+

-

-

86

86,17

-0,50

0,25

15

+

+

-

-

-

84

82,67

1,00

1,00

16

+

-

-

-

-

86

84,50

1,17

1,36

Сумма:

9,33

                                  

  

12 Проверим полученное уравнение на адекватность. Для этого по формуле 3.37 найдем расчетное значение критерия Фишера (F- критерий):

                                                        

При уровне значимости α=0,05;  f=N-(k+1)=11; f = (n – 1) N=16 – табличное значение F-критерия равно 2,09 (приложение В).

Вывод: таким образом, полученное уравнение регрессии можно считать адекватным с доверительной вероятностью 95%, и, следовательно, им можно пользоваться для прогноза кпд котла в зависимости от 4 факторов.

 

Контрольные вопросы

  1. Как выбрать область эксперимента?

1 Выбор области эксперимента производят на основе априорной информации. В этой области устанавливают основные уровни и интервалы варьирования факторов.

  1. Что понимают под интервалом варьирования фактора?

2 Интервалом варьирования фактора называют индивидуальное для каждого фактора число, прибавление которого к основному уровню дает верхний уровень фактора, а вычитание – нижний.

  1. Как выбрать интервал варьирования фактора?

3 Интервал варьирования не может быть выбран меньше той ошибки, с которой экспериментатор фиксирует уровень фактора, а также не может быть настолько большим, чтобы верхний или нижний уровни выходили за пределы области определения фактора.

  1. Как кодируют уровни факторов?

4 Для удобства записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных уровни факторов кодируют. В кодированном виде верхний уровень обозначают +1, нижний -1, а основной 0.

  1. Что понимают под полным факторным экспериментом (ПФЭ)?

5 Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называют полным факторным экспериментом (ПФЭ).

  1. Как выглядит матрица планирования ПФЭ для двух факторов?

Номер опыта

1

2

3

Буквенное

обозначение

1

1

1

1

             (1)

2

1

1

2

а

3

1

1

3

b

4

1

1

4

ab

6

 

  1. Что понимают под числом степеней свободы в статистике?

7 Под числом степеней свободы в статистике понимают разность между числом опытов и количеством коэффициентов модели, вычисленных по результатам этих экспериментов независимо друг от друга.

  1. Приведите пример матрицы планирования ПФЭ для трех факторов с эффектами взаимодействия.
  2. Как строятся матрицы планирования при увеличении числа факторов.

9 При увеличении числа факторов количество возможных сочетаний уровней быстро возрастает, поэтому возникает необходимость в некоторых приемах построения матриц.

  1. Что такое рандомизация и для чего она необходима?

10 Рандомизация – это процесс случайного распределения участников эксперимента по группам или порядка предъявления им экспериментальных условий.

  1. Перечислите этапы статистической обработки результатов эксперимента при равномерном дублировании число экспериментов.

11 При равномерном дублировании все строки матрицы планирования имеют одинаковые числа параллельных экспериментов.

  1. Как определить коэффициенты регрессии?

12

  1. Как оценить значимость коэффициентов регрессии?

13 Коэффициент является значимым, если его абсолютная величина больше доверительного интервала.

  1. С помощью какой гипотезы проверяют значимость полученной модели?

        14 При проверке значимости коэффициентов вторым способом вычисляют  tр – критерий по зависимости  и сравнивают его с табличным tт. Коэффициент значим, если tp>tт для принятого уровня значимости и числа степеней свободы, с которым определялась дисперсия. Критерий Стьюдента  вычисляют для каждого коэффициента регрессии.

  1. Как интерпретировать результаты эксперимента?

     15 Коэффициенты полинома являются частными производными функции отклика по соответствующим переменным. Их геометрический смысл – тангенсы углов наклона гиперплоскости к соответствующей оси. Больший по абсолютной величине коэффициент соответствует большему углу наклона и, следовательно, более существенному изменению параметра оптимизации при изменении данного фактора.

 

3.4 Лабораторная работа «Экспериментальное определение экстремальных значений»

Цель работы: закрепление знаний, умений и навыков по планированию дробного факторного эксперимента (ДФЭ).

Задачи:

- ознакомиться с представленным методическим материалом;

- используя пример выполнения лабораторной работы, методом крутого восхождения (спуска) по поверхности отклика, найти оптимальные значения факторов;

- ответить на контрольные вопросы;

- работу оформить в виде отчета по лабораторной работе.

 

Рассмотрим пример расчета наискорейшего подъема при оптимизации уровня кпд котельного агрегата в зависимости от четырех технологических факторов:

- Х1 – потери теплоты от химической неполноты сгорания, %;

- Х2 – диапазон тепловой нагрузки на котельный агрегат, %;

- Х3 – температура уходящих газов, ºС;

 - Х4 – приведенная влажность, %.

Линейная модель:  хорошо согласуется с опытными данными. В таблице 3.23 приведены факторы, уровни их варьирования, матрица планирования, результаты опытов и расчет наискорейшего спуска.

1 Рассчитаем  произведение  для четырех факторов:

; ;;

Максимальное значение:   (следовательно, X2 – базовый фактор).

Если теперь вычесть составляющие градиента из основных уровней факторов, то даже в девятом опыте факторы будут иметь нереальные значения. В связи с этим можно сделать вывод, что шаг движения по направлению наискорейшего подъема велик. Уменьшить шаг можно, так как умножение составляющих градиента на любое положительное число дает точки, также лежащие на градиенте.

2 Принимаем изменение кпд котельного агрегата через интервал 5%, т. е. необходимо уменьшить составляющую градиента в 4,165раза. В такое же число раз уменьшаем составляющие градиента по первому, третьему и четвертому факторам. Так для фактора

X1             

- X3:           

- X4:          

Округляем полученные значения (таблица 3.23, операция 9).

3 Вычитаем последовательно составляющие градиента из основного уровня факторов. В результате этой процедуры получаем серию «мысленных опытов» наискорейшего спуска (5 операция по таблице 3.23). Ожидаемое значение параметра оптимизации в мысленных опытах оцениваем подстановкой соответствующих значений   факторов в уравнение регрессии. Перед постановкой именованные значения факторов в опытах в опытах 9-14 преобразуем в кодированные, используя формулу.

4 Подставляя кодированное значение факторов для каждого опыта в уравнение регрессии рассчитываем параметр оптимизации. Расчетные значения параметра оптимизации могут не совпадать с экспериментально полученными значениями, так как величины факторов в этих опытах выходят за область эксперимента.

 

 

 

Таблица 3.23 – Расчет наискорейшего подъема по поверхности отклика

 

операций

Последовательность операций наискорейшего подъема

Исследуемые факторы

X1

X2

X3

X4

 

1

Основной уровень

7

75

160

3

-

2

Интервал варьирования

2

25

40

2

-

3

Верхний уровень

9

100

200

2

-

4

Нижний уровень

5

50

120

1

-

5

Опыты:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

 

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

 

+

+

-

-

+

+

-

-

+

+

-

-

+

+

-

-

 

+

+

+

+

-

-

-

-

+

+

+

+

-

-

-

-

 

+

+

+

+

+

+

+

+

-

-

-

-

-

-

-

-

 

85

86

85

86

82

86

84

86

84

86

84

86

84

86

84

86

6

 

-0,918

0,833

0,25

0,083

-

7

            

-1,836

20,825

10

0,166

-

8

Шаг при изменении  на 10%

-0,44

5

2,4

0,0399

-

9

Округление

-0,44

5

2,4

0,04

-

10

Мысленные опыты:

17

18

19

20

 

6,56

6,12

5,68

4,24

3,8

 

80

85

90

95

100

 

162,4

164,8

167,2

169,6

172

 

2,04

2,08

2,12

2,16

2,18

 

 

86,3

91,7

88,9

84,6

82,2

 

 

Таким образом, на основании проведенных расчетов и выполненных исследований можно утверждать, что оптимальная величина максимального кпд котла составляет 91,7%, при этом тепловая нагрузка не должна превышать 5%, потери теплоты с уходящими газами -6,12%, температура уходящих газов 164,8ºС, приведенная влажность не более – 2,08%.

 

Контрольные вопросы

 

  1. Перечислите методы одномерной оптимизации.

1 Наиболее простыми методами одномерной оптимизации являются методы дихотомии, «золотого сечения» и Фибоначчи.

  1. Перечислите экспериментальные методы многомерного поиска.

2 К экспериментальным методам многомерного поиска относятся методы:

   Гаусса-Зайделя, метод крутого восхождения и симплекс-метод.

  1. В чем заключается идея метода дихотомии?

3 Идея метода дихотомии заключается в следующем: на первом этапе эксперимента относительно центра области исследования размещают две новые точки и проводят эксперимент, затем процедура повторяется на новом отрезке.

  1. В чем сущность метода Фибоначчи?

4 Метод Фибоначчи более эффективен, чем метод дихотомии, так как позволяет сократить число опытов при одинаковой области исследования. Реализация метода связана с последовательностью целых чисел, открытых итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. В этом методе две новые точки  берут на равном расстоянии от концов области исследования.

  1. В чем сущность метода золотого сечения?

5 Метод золотого сечения занимает промежуточное положение между методами дихотомии и Фибоначчи. Координаты точек берут из соотношений,

  1. В чем сущность метода Гаусса-Зайделя?

6 В основе метода Гаусса-Зайделя идея координатного поиска, например, для двухфакторной модели вначале выбирают направление поиска по фактору  при фиксированном значении . Для поиска экстремума используются одномерные методы. Далее движение начинают вдоль новой координатной оси. Когда ни по одной из осей невозможно увеличение Y, поиск прекращается и полученная точка принимается за экстремальную.

  1. В чем сущность методы крутого восхождения по поверхности отклика?

7 Необходимо найти точку , в которой целевая функция  достигает экстремума. Обобщение для многофакторной модели делается механически, т.к. все коэффициенты модели определяются независимо друг от друга. При этом движение по всем осям факторов осуществляется одновременно. Процедура поиска экстремума состоит в следующем: вначале выбирают начальную точку , в окрестности которой на основе малой серии опытов находят локальное описание поверхности целевой функции с помощью модели линейного типа. Далее находят направление градиента и в этом на­правлении планируют «мысленные» опыты (рисунок ).

Серия «мысленных опытов» рассчитывается последовательным прибавлением к основным уровням факторов величин, пропорциональных произведению соответствующего коэффициента на интервал варьирова­ния.

Все шаги рассчитывают в натуральном масштабе. Полученные та­ким образом шаги последовательно прибавляют к основным уровням фак­торов или вычитают из них (в зависимости от знака  и от того, что ищут – максимум или минимум). Для качественных факторов фиксируют луч­ший уровень, для незначимых факторов стабилизируют на любом уровне в интервале (+1;-1). Обычно рассчитывают до 10 мысленных опытов.

  1. В чем сущность симплекс-метода?

8 Симплекс-метод – это метод поиска экстремума целевой функции, обеспечивающий минимальное число опытов при небольшом объеме вычислений Метод может использоваться при управлении технологическими процессами с учётом изменяющихся условий производства.

  

Список использованных источников

 

1 Рогов, В. А. Методика и практика технических экспериментов: учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений / В. А. Рогов, Г. Г. Позняк. – М.: Издательский центр «Академия», 2005. – 288 с. ISBN 5-7695-1951-7.

2 Математическая статистика: Учебник для техникумов./ В. М. Иванова, В. Н. Калинина, Л. А. Нешумова, И. О. Решетникова. – М.: «Высш. школа», 1975. – 398 с.

3 Спиридонов, А. А. Планирование эксперимента при исследовании технологических процессов. /А. А. Спиридонов. – М.: Машиностроение, 1981. – 184 с.

4 Быковский, В. В. Применение теории планирования эксперимента в научных  и инженерных расчетах: Учебное пособие / В. В. Быковский, Л. В. Быковская, Ю. А. Дормидонов. – 2002. – 66 с.  

5 Ковшов, В. Н. Постановка инженерного эксперимента. /В. Н. Ковшов. – Киев-Донецк: Вища школа, 1982. – 120 с.

 

Скачать:  У вас нет доступа к скачиванию файлов с нашего сервера. КАК ТУТ СКАЧИВАТЬ

Категория: Лабораторные работы / Лабораторные стандартизация и сертификация

Уважаемый посетитель, Вы зашли на сайт как незарегистрированный пользователь.
Мы рекомендуем Вам зарегистрироваться либо войти на сайт под своим именем.