Привет студент

Кафедра метрологии, стандартизации и сертификации

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

по метрологии, стандартизации и сертификации

 

Обработка результатов измерений с многократными наблюдениями

 

 

 

Задание на курсовую работу по МС и С

Выполнить статистическую обработку результатов многократных наблюдений.

Используя критерии ГОСТ Р ИСО 5725 -2002 (ч.6), ГОСТ Р 50779.42-99 (ИСО 8258-91), провести анализ стабильности результатов измерений.

 

	1	2	3
1	93,05	94,45	93,24
2	93,10	94,55	93,30
3	93,15	94,30	93,36
4	93,10	94,65	93,46
5	93,25	94,95	93,54
6	93,30	94,05	93,50
7	93,35	94,15	93,64
8	93,50	93,08	93,76
9	93,50	93,10	93,92
10	93,65	93,12	94,08
11	93,70	93,14	94,12
12	93,75	93,28	94,27
13	93,90	93,30	94,33
14	93,90	93,32	94,52
15	94,10	93,45	94,69
16	94,25	93,55	94,85
17	94,35	93,66	93,02
18	94,50	93,74	93,09
19	94,70	93,85	93,11
20	94,90	93,95	93,18

 

 

 

Аннотация

 

Курсовой проект содержит 94 страницы, в том числе 3 приложения, 4 источника использованной литературы, 26 таблиц.

В курсовом проекте выполнена обработка результатов группы результатов измерений с определением точечных оценок закона распределения, исключением результатов с грубыми погрешностями по критериям и статистической обработкой.

Затем проведена статистическая обработка результатов наблюдений при неравноточных измерениях и определение параметров закона распределения результатов наблюдений по составному критерию и критерию Колмогорова для группы результатов измерений.

За результат измерений принята оценка средневзвешенного значения при неравноточных измерениях.

Проведено построение контрольных карт Шухарта, причем за пределы предупреждения и действия взяты 2σ и 3σ соответственно.

Анализ контрольных карт Шухарта показал, что в измерениях отсутствуют критические признаки нестабильности и поэтому предложенные мероприятия носят превентивный характер.

 

 

Содержание

 

Введение .....................................................................................................................3 1 Общие сведения из теории погрешности измерений…………………… 4 2 Общая последовательность выполнения обработки результатов наблюдений …………………………………………………………………6
3 Группа результатов измерений N=60 ………………………………….9 3.1 составляем упорядоченную совокупность……………………………9
3.2 Определение точечных оценок закона распределения результатов наблюдений...............................................................................................
3.3 Определение оценок среднеквадратичного отклонения …………….. 3.4 Исключение результатов с грубыми погрешностями ..........................
3.5 Исключение систематических погрешностей измерений...................
3.6 Статистическая обработка результатов измерений ………………… 3.7 Определение закона распределения результатов измерений………. 3.8 Представление результата измерений………………………………… 4 Заключение ……………………………………………………………….. Приложение А………………………………………………………………. Приложение Б……………………………………………………………….. Приложение В……………………………………………………………….

 

 

 

 

 

Введение

Цель курсового проекта – закрепление знаний по основным разделам курса теоретической метрологии, а также практическое обучение методам анализа и обработки статистических данных.

Измерения не являются самоцелью, а имеют определённую область использования, т. е. проводятся для достижения некоторого конечного результата в соответствии с поставленной задачей.

В зависимости от назначения измерений, их конечный результат в том, или ином виде отражает требуемую информацию о количественных свойствах объектов, явлений и процессов. Причем такая информация может быть получена путём измерения, в процессе испытания или контроля.

Измерение физической величины (РМГ 29-99) - совокупность операций по применению тех­нического средства, хранящего единицу физичес­кой величины, обеспечивающих нахождение со­отношения (в явном или неявном виде) измеряе­мой величины с ее единицей и получение значе­ния этой величины.

Равноточные измерения (РМГ 29-99) - ряд измерений какой-либо величины, выполненных одинаковыми по точности средствами измерений в одних и тех же условиях с одинако­вой тщательностью.

Неравноточные измерения (РМГ 29-99) - ряд измерений какой-либо величины, вы­полненных различающимися по точности средства­ми измерений и (или) в разных условиях.

Курсовой проект позволяет получить навыки выявления погрешностей в результатах наблюдений, статистической обработки результатов наблюдений отдельных групп, определения средневзвешенных статистических характеристик групп неравноточных наблюдений; представления результатов измерений; оценки формы и вида законов экспериментальных распределений физических величин; записи результатов измерений. Выполнение курсового проекта также позволяет овладеть практическими навыками в работе с нормативно-технической литературой и стандартами.

 

3 Группа результатов наблюдений N= 60

3.1 Составляем упорядоченную совокупность

Упорядочиваем совокупность результатов измерений и представляем в виде таблицы 1.1:

 

Таблица 1.1 – Упорядоченная совокупность результатов (n= 60)

№ наблюдения	Исходная совокупность результатов наблюдений Хi	Упорядоченные значения результатов наблюдений
1	93,05	93,02
2	93,10	93,05
3	93,15	93,08
4	93,10	93,09
5	93,25	93,10
6	93,30	93,10
7	93,35	93,10
8	93,50	93,11
9	93,50	93,12
10	93,65	93,14
11	93,70	93,15
12	93,75	93.18
13	93,90	93,24
14	93,90	93,25
15	94,10	93,28
16	94,25	93,30
17	94,35	93,30
18	94,50	93,30
19	94,70	93,32
20	94,90	93,35
21	94,45	93,36
22	94,55	93,45
23	94,30	93,46
24	94,65	93,50
25	94,95	93,50
26	94,05	93,50
27	94,15	93,54
28	93,08	93,55
29	93,10	93,64
30	93,12	93,65
31	93,14	93,66
32	93,28	93,70
33	93,30	93,74
34	93,32	93,75
35	93,45	93,76
36	93,55	93,85
37	93,66	93,90
38	93,74	93,90
39	93,85	93,92
40	93,95	93,95
41	93,24	94,05
42	93,30	94,08
43	93,36	94,10
44	93,46	94,12
45	93,54	94,15
46	93,50	94,25
47	93,64	94,27
48	93,76	94,30
49	93,92	94,33
50	94,08	94,35
51	94,12	94,45
52	94,27	94,50
53	94,33	94,52
54	94,52	94,55
55	94,69	94,65
56	94,85	94,69
57	93,02	94,70
58	93,09	94,85
59	93,11	94,90
60	93,18	94,95

3.2 Определение точечных оценок закона распределения результатов наблюдений

Требуется определить оценки результата измерения и СКО результатов наблюдений и измерений.

Будем считать, что закон распределения неизвестен. Координата центра распределения определяет положение случайной величины на числовой оси и может быть найдена несколькими способами. Наиболее фундаментальным является отыскание центра по принципу симметрии, т.е. такой точки X _M на оси x, слева и справа от которой вероятности появления различных значений случайной величины одинаковы и равны 0,5.

В качестве оценки центра распределения может выбираться одна из следующих оценок (в зависимости от типа распределения): выборочное среднее арифметическое, медиана, центр размаха, срединный размах, среднее арифметическое 90%-ной выборки.

3.2.1 Определяем выборочное среднее арифметическое ( ) по формуле (2.4) [1]:

 

(1.1)

 

где X _i – отдельные результаты наблюдений;

     n – общее количество результатов наблюдений.

 

3.2.2 Определяем среднее арифметическое 90%-ной выборки ( ) (2.7) [1]:

 

(1.2)

 

где 2r – число не учитываемых результатов;

       n – общее количество результатов наблюдений;

     X _i – отдельные результаты наблюдений;

 

Рассчитаем 5% выборки: . Т.е. отбрасываем с концов вариационного ряда по трем значениям: , , , , и

3.2.3 Определяем медиану наблюдений ( ) по формуле (2.9) [1]:

Медианой называют наблюдаемое значение X_i, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант.

При n - чётном:

(1.3)

3.2.4 Серединный размах вариационного ряда определяем по формуле:

 

(1.4)

3.2.5 Центр размаха определяется по формуле (2.16) [1]:

                                                                   (1.5)

 

Полученные оценки центра распределения располагаем в вариационный ряд: или .

За оценку распределения (результата измерения) окончательно принимаем серединный размах вариационного ряда, так как эта оценка занимает медианное положение в ряду оценок: = = В.

           3.3 Определение оценок среднеквадратичного отклонения

Оценка среднеквадратичного отклонения результатов наблюдений:

                                                                              (1.6)

.

 

Оценка среднеквадратичного отклонения результатов измерений:

.

 

 

3.4 Исключение результатов с грубыми погрешностями

 

Вопрос исключения грубых погрешностей или промахов по критериям решается статистическими методами, которые не применимы к однократным измерениям. Основная гипотеза заключается в том, что результат измерения не содержит грубой погрешности, то есть, является измеряемой величиной. Подтверждая или опровергая эту гипотезу, мы можем оценить результаты измерений.

Для исключения результатов с грубыми погрешностями будем использовать критерий Романовского, трех сигм и вариационного размаха.

Исключение грубых погрешностей выполняется для проверки наличия промахов и делается перед определением дисперсии.

           3.4.1 Определение критерия Романовского:

Конкурирующая гипотеза о наличии грубых погрешностей в подозрительных результатах подтверждается, если выполняется неравенство:

.

- квантиль распределения Стьюдента,

- результат наблюдения, проверяемый на наличие грубой погрешности;

=94,95;

=2;

;

1,214>1,13 – нулевая гипотеза подтверждается.

           3.4.2 Определение критерия (трех сигм):

Результат, который удовлетворяет условию

, считается имеющим грубую погрешность и удаляется

- результат наблюдения, проверяемый на наличие грубой погрешности;

=94,95;

= 93,736;

S=0,566;

;

1,214<1,69 – нулевая гипотеза не подтверждается.

           3.4.3 Определение критерия вариационного размаха:

Если какой-либо член вариационного ряда, например , резко отличается от всех других, то производят проверку, используя следующее неравенство:

/

где   – выборочное среднее арифметическое значение, вычисленное после исключения предполагаемого промаха;

 – критериальное значение.

Если не удовлетворяет условию, то этот результат исключают из вариационного ряда.

=0,9

=94,95-93,02=1,93

93,76-0,9·1,93<94,95<93,76+0,9·1,93

92,023<94,95<95,497 - нулевая гипотеза не подтверждается.

 

Большинство критериев нулевую ошибку не подтверждают, значит не содержит грубую ошибку и его не нужно исключать.

Упорядоченная совокупность будет иметь вид:

Таблица 1.2 – Упорядоченная совокупность результатов, после проверки по критериям (n= 60)

 

	1	2	3
1	93,02	93,36	94,05
2	93,05	93,45	94,08
3	93,08	93,46	94,1
4	93,09	93,5	94,12
5	93,1	93,5	94,15
6	93,1	93,5	94,25
7	93,1	93,54	94,27
8	93,11	93,55	94,3
9	93,12	93,64	94,33
10	93,14	93,65	94,35
11	93,15	93,66	94,45
12	93,18	93,7	94,5
13	93,24	93,74	94,52
14	93,25	93,75	94,55
15	93,28	93,76	94,65
16	93,3	93,85	94,69
17	93,3	93,9	94,7
18	93,3	93,9	94,85
19	93,32	93,92	94,9
20	93,35	93,95	94,95

 

3.5 Исключение систематических погрешностей измерений

 

Требуется выполнить обработку результатов по исключению переменной систематической погрешности.

Первичная обработка последовательности результатов наблюдений одной и той же величины состоит в исключении переменной систематической погрешности. Приведенные результаты представим графически (Приложение А), на графике можно увидеть прогрессирующую, линейно возрастающую по модулю погрешность.

Модуль переменной составляющей систематической погрешности определяется по формуле:

                                                        

где – разность между наибольшими и наименьшими значениями результатов наблюдений;

       – общее число результатов;

         – порядковый номер измерения.

Разность определяется по аппроксимирующей прямой.

 

тогда

,

 

; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

Округлив значения до сотых долей (точность получения результатов), её исключаем из результатов измерений по формуле:

 

,

где - поправка, вносимая в каждый результат.

Внеся исправления и упорядочив совокупность результатов измерений по степени возрастания, получаем новую последовательность результатов в виде таблицы 1.2.

Таблица 1.3 – Упорядоченная совокупность исправленных результатов измерений

 

№ наблюдения	Исправленные значения результата измерения Хi, В	Упорядоченная исправленная совокупность результата измерения Хi, В
1	93,018	91,187
2	93,036	91,213
3	93,054	91,224
4	92,972	91,921
5	93,089	91,977
6	93,11	92,02
7	93,125	92,045
8	93,243	92,093
9	93,211	92,128
10	93,329	92,143
11	93,346	92,155
12	93,364	92,167
13	93,482	92,179
14	93,45	92,211
15	93,618	92,216
16	93,735	92,226
17	93,803	92,251
18	93,921	92,324
19	94,089	92,344
20	94,257	92,392
21	93,775	92,47
22	93,842	92,472
23	93,561	92,48
24	93,878	92,518
25	94,146	92,596
26	93,214	92,597
27	93,282	92,625
28	92,179	92,664
29	92,167	92,783
30	92,155	92,921
31	92,143	92,972
32	92,251	93,018
33	92,239	93,036
34	92,226	93,049
35	92,324	93,054
36	92,392	93,089
37	92,47	93,11
38	92,518	93,125
39	92,596	93,211
40	92,664	93,214
41	91,921	93,243
42	91,949	93,257
43	91,977	93,282
44	92,045	93,329
45	92,093	93,346
46	92,02	93,364
47	92,128	93,45
48	92,216	93,482
49	92,344	93,561
50	92,472	93,618
51	92,48	93,625
52	92,597	93,735
53	92,625	93,775
54	92,783	93,803
55	92,921	93,842
56	93,049	93,878
57	91,187	94,089
58	91,224	94,09
59	91,213	94,146
60	91,25	94,257

                                   

На основании данной таблицы достраиваем графики, приведенные в Приложении А, после внесения поправки на систематическую погрешность.

Для графического определения вида закона распределения построим гистограмму (рисунок 1 Приложения А)

 

3.6 Статистическая обработка результатов измерений

 

После исключения результатов с грубыми погрешностями и внесения поправок на систематическую погрешность проводим математическую статистическую обработку исправленных результатов измерений.

Определяем точечные оценки исправленных результатов измерений. Для этого по формулам, проведенным в разделе 1.1, определяем точечные оценки координаты центра распределения и СКО результатов наблюдений и измерений.

 

3.6.1 Статистическая обработка результатов измерений первой группы

3.6.1.1 Определяем выборочное среднее арифметическое ( ) по формуле (1.1):

3.6.1.2 Определяем среднее арифметическое 90%-ной выборки ( )

Среднее арифметическое находится по формуле (1.2). Пять процентов выборки в нашем случае 0,05∙n=0,05∙60=3, т.е. три результата измерения. Отбрасываем по трем измерениям с концов вариационного ряда, т.е. результаты х₁=91,187; х₂=91,213; х₃=91,224; х₅₈=94,09; х₅₉=94,146; и х₆₀=94,257.

 

3.6.1.3 Определяем медиану наблюдений ( ) по формуле (2.9) [1]:

При n - чётном:

 

 

 

,

3.6.1.4 Центр размаха определяется по формуле (1.5):

 

3.6.1.5 Серединный размах вариационного ряда определяем по формуле (1.5):

                                        

           Полученные оценки центра распределения располагаем в вариационный ряд: или .

За оценку распределения (результата измерения) окончательно принимаем среднее арифметическое, так как эта оценка занимает медианное положение в ряду оценок: = =92,84.

   3.6.1.6 Определение оценок среднеквадратичного отклонения

Оценка среднеквадратичного отклонения результатов наблюдений:

                                                                  (1.6)

.

 

Оценка среднеквадратичного отклонения результатов измерений:

.

3.6.2 Разделим вариационный ряд на интервалы

Вычислим число интервалов k по формуле:

 

,

,

 

 

Принимаем количество интервалов, на которые разбит вариационный ряд

Ширина интервала вычисляется по формуле:

 

,

Определяем границы интервалов, затем определяем частоту попадания в интервалы и середины интервалов.

Результаты (после исключения грубых и систематических погрешностей, упорядочения и разбиения выборки на интервалы) представлены в таблице 1.3.

 

Таблица 1.4 – Промежуточные значения интервального ряда

 

Граница интервалов xi – xi+1	Середины интервалов xi0	Частота попадания в интервалы mi	Статистическая вероятность (частость)
91,187-91,626	91,406	3	0,05
91,626-92,065	91,846	4	0,067
92,065-92,504	92,285	16	0,267
92,504-92,943	92,724	7	0,116
92,943-93,382	93,163	16	0,267
93,382-93,821	93,602	8	0,133
93,821-94,258	94,054	6	0,1
Σ		60	1

3.6.3 Определяем среднее арифметическое ( ) по формуле:

 

,

где – значение измеряемой величины в середине - го интервала;

       – количество интервалов, на которые разбит вариационный ряд.

 

         3.6.4 Определяем несмещённую оценку СКО по формуле:

 

 

 

3.7 Определение закона распределения результатов измерений

Представим заданный статистический ряд в виде гистограммы, показанной в Приложении Б.

По виду гистограммы, предполагаем, что закон распределения результатов наблюдений в ряде образцов при измерении – нормальный.

 

3.7.1 Определение дифференциальной функции распределения

Вычислим дифференциальную функцию распределения для середин интервалов. Для этого вычислим значение нормированного аргумента по формуле, для каждого интервала:                      

                                                          

,

Затем, пользуясь статистической таблицей (Приложение Г) [6], определим дифференциальную функцию .

Используя свойство нормального распределения , находим значения дифференциальной функции в выбранных единицах (в случае использования интервалов) по формуле:

 

Окончательно все вычисления сводим в таблицу 1.5.

Для построения статистической функции распределения можно воспользоваться формулой для дополнительных вычислений:

 

 

Таблица 1.5 – Вероятностные параметры распределений

 

Середины интервалов xi0
91,406	-2,013	0,0529	0,0324	0,0222	0,05
91,846	-1,4	0,1497	0,0917	0,0808	0,117
92,285	-0,79	0,2920	0,1788	0,2148	0,384
92,724	-0,17	0,3932	0,2407	0,4325	0,5
93,163	0,44	0,3621	0,2217	0,6700	0,767
93,602	1,05	0,2299	0,1408	0,8531	0,9
94,054	1,68	0,0973	0,0596	0,9535	1

 

Для построения теоретической функции воспользуемся Приложением В [6]. Графики экспериментальной и теоретической функций интегрального вида показаны в Приложении В.

 

По виду статистических кривых можно также сделать заключение о нормальности распределения экспериментальных данных, хотя для окончательного заключения требуется проверка по критериям согласия (или приближенная идентификация по точечным числовым характеристикам).

Окончательно результаты по определению вероятностных характеристик первой группы наблюдений сводим в таблицу 1.6.

 

Таблица 1.6 – Параметры функций распределений группы наблюдений

Границы интер-валов xi-xi+1, мкм	Сере- дины интерва- лов xio, мкм	Нормиро-ванный параметр	Диф. функция норми- рован. нормал. распре-деления f(ti)	Диф. функция в единицах выбранной величины	Эмпири-ческая диф. функция	Эмпири-ческая инте-гральная функция	Норми- рованная инте- гральная функция F(x)=F(t)
1	2	3	4	5	6	7	8
91,187-91,626	91,406	-2,013	0,0529	0,0324	0,05	0,05	0,0222
91,626-92,065	91,846	-1,4	0,1497	0,0917	0,067	0,117	0,0808
92,065-92,504	92,285	-0,79	0,2920	0,1788	0,267	0,384	0,2148
92,504-92,943	92,724	-0,17	0,3932	0,2407	0,116	0,5	0,4325
92,943-93,382	93,163	0,44	0,3621	0,2217	0,267	0,767	0,6700
93,382-93,821	93,602	1,05	0,2299	0,1408	0,133	0,9	0,8531
93,821-94,258	94,054	1,68	0,0973	0,0596	0,1	1	0,9535

 

3.8 Представление результата измерений

За результат измерений принимается =92,84.

Погрешность результата измерений определяется по формуле:

 

 

 

 

 Скачать: kursovaya-po-MSiS-ispr.doc