Математический факультет
Кафедра алгебры и математической кибернетики
ДИПЛОМНАЯ РАБОТА
Конечномерные алгебры Ли и их приложение к теории кодирования
Аннотация
В данной ВКР рассматриваются конечномерные алгебры Ли и их приложение к теории кодирования.
Структура данной ВКР выглядит следующим образом.
В первом разделе даются основные определения, а также рассматриваются разрешимые, нильпотентные и полупростые алгебры. Кроме того, в первом разделе изучена структура конечномерных алгебр Ли над полем характеристики нуль и приведена классификация простых алгебр Ли над полем характеристики нуль.
Второй раздел посвящен приложениям алгебры Ли к криптографии, а именно рассмотрены примеры простых алгебр Ли над полем характеристики и криптографические протоколы на простых алгебрах Ли.
Работа выполнена печатным способом на 42 страницах с использованием 5 источников, содержит 1 таблицу.
Abstract
Whether in this VKR finite-dimensional algebras and their annex to the coding theory are considered.
The structure of this VKR looks as follows.
In the first section the main definitions are given, and also solvable, nilpotent and semi-simple algebras are considered. Besides, Whether in the first section the structure of finite-dimensional algebras over a characteristic field zero is studied and Whether classification of simple algebras over a characteristic field zero is given.
Whether the second section is devoted to annexes of algebra to cryptography, Whether namely Whether examples of simple algebras over a field of the characteristic and cryptographic protocols on simple algebras are reviewed.
Work is performed in the printing way on 42 pages with use of 5 sources, contains 1 table.
Содержание
Введение………………………………………………………………………...…6
- Алгебры Ли…………………………...……………………………………..….8
- Основные определения………...……………………………….……….........8
- Разрешимые и нильпотентные алгебры…………………………….......….15
- Полупростые алгебры………....…………………………………………….26
- Структура конечномерных алгебр Ли над полем характеристики нуль…………………………………………………………………..…………...30
- Классификация простых алгебр Ли над полем характеристики нуль……33
- Приложения алгебры Ли к криптографии……………...………………...…38
- Примеры простых алгебр Ли над полем характеристики p………………38
- Криптографические протоколы на простых алгебрах Ли………….......…40
Заключение……………………………………………………………………….42
Список использованных источников…….…………………………………..…43
Введение
Алгебры Ли изучаются в математике уже более ста лет. Многообразны и естественны ситуации их возникновения. Велико разнообразие методов, применяемых для исследования. Неуклонно растет число приложений в математике и за ее пределами.
Алгебры Ли представляют собой один из классических объектов современной математики. Их теория находится в особом положении как по полноте структурной информации, по крайней мере, в классе конечномерных алгебр Ли.
Теория представления алгебр Ли до сих пор не имеет, по существу, самостоятельного статуса. Это связано, например, с необозримостью задачи классификации простых модулей над алгебрами Ли. Развитие теории представлений алгебр Ли традиционно связано с теорией представления групп Ли.
Истекшие десятилетия убедительно доказали плодотворность подхода к теории алгебр Ли с различных точек зрения. Эту мысль легко проиллюстрировать на примере творчества советских математиков, добившихся крупных успехов в изучении алгебр Ли: Н.Г.Чеботарева, А.И.Мальцева, А.И.Ширшова, А.И.Кострикина.
Классификация конечномерных простых алгебр Ли над полем характеристики р содержится в работах зарубежных математиков Х. Штраде, А. Премета, Р. Блок, Р. Вильсон.
Целью данной работы является изучение конечномерных алгебр Ли и их использование в теории кодирования.
Поставленная цель предопределила необходимость решения следующих задач:
- рассмотреть разрешимые, нильпотентные и полупростые алгебры;
- изучить структуру конечномерных алгебр Ли над полем характеристики нуль;
- ознакомиться с классификацией простых алгебр Ли над полем характеристики нуль;
- рассмотреть приложения алгебры Ли к криптографии.
Структурно дипломная работа состоит из введения, основной части, заключения, списка использованных источников.
Во введении определены цель, задачи.
В первой главе рассмотрены алгебры Ли, а так же основные определения.
Во второй главе рассмотрены примеры и криптографические протоколы простых алгебр Ли.
В заключение представлены основные результаты настоящей работы.
Выпускная квалификационная работа состоит из 42 страниц, включает 5 источников, 1 таблицу.
Алгебра Ли
- Основные определения
Определение 1.1 [9] Кольцом Ли называется кольцо, удовлетворяющее следующим аксиомам (для всех ):
- (антикоммутативность);
- (тождество Якоби).
Определение 1.2 [2] Алгеброй над полем называется кольцо , которое одновременно является векторным пространством над , причем для всех из и всех из выполняется соотношение
. (1.1)
Кольцо Ли, которое в то же время является алгеброй, называется алгеброй Ли.
Определение 1.3 [14] Алгебра над коммутативным кольцом с единицей называется алгеброй Ли над если умножение в ней удовлетворяет тождествам:
- ;
- , где - элементы из .
Произведение называется коммутатором и . Тождество 2) называется тождеством Якоби.
Коммутатор является билинейной знакопеременной функцией элементов . То есть .
Определение 1.4 [3] Пусть есть − алгебра Ли, а − некоторый − модуль. Предположим, что является − модулем конечного типа. Билинейной формой, ассоциированной с - модулем (или с соответствующим представлением), называется билинейная симметрическая форма на . Если рассматриваемое представление является присоединенным, то ассоциированная билинейная форма называется формой Киллинга алгебры .
Любая подалгебра и факторалгебра алгебры Ли сами являются алгебрами Ли. Произведение алгебр Ли также является алгеброй Ли. Если − алгебра Ли, то и алгебра , ей противоположная, − снова алгебра Ли, а отображение есть изоморфизм на в силу тождества .
Определение 1.5 [12] Пусть − алгебра Ли и − ее элемент. Линейное отображение алгебры в называется линейным отображением, присоединенным к , и обозначается через .
Предложение 1.1 [1] Пусть − алгебра Ли. Для любого отображение является дифференцированием алгебры . Отображение есть гомоморфизм алгебры Ли в алгебру Ли дифференцирований алгебры . Если и , то . Тогда тождество Якоби можно записать в виде
, (1.2)
или
, (1.3)
если , то .
Отображение называется также внутренним дифференцированием, определенным элементом .
Два элемента алгебры Ли перестановочны, если . Говорят, что коммутативна, если любые два ее элемента перестановочны.
Из тождества следует, что в алгебре Ли нет разницы между левыми и правыми идеалами и любой идеал является двусторонним.
Идеал алгебры является ее подмодулем, устойчивым относительно ее внутренних дифференцирований.
Определение 1.6 [3] Подмодуль алгебры , устойчивый относительно всех ее дифференцирований, называется характеристическим идеалом в .
Предложение 1.2 [3] Пусть − алгебра Ли, − ее идеал и − характеристический идеал алгебры Ли . Тогда − идеал алгебры .
Доказательство: Так как любое внутреннее дифференцирование отображает в и индуцирует в дифференцирование, а значит отображает и в себя.
Пусть − алгебра Ли. Если и − идеалы в , то и − идеалы в .
Пусть и − подмодули в . Символом обозначим подмодуль модуля , порожденный элементами вида . То вследствие тождества выполняется равенство . Если , то под , или , будем понимать подмодуль .
▲
Предложение 1.3 [3] Если и − идеалы алгебры , то − также идеал (взаимный коммутант) в .
Доказательство: Пусть − внутреннее дифференцирование алгебры . Если и , то
, (1.4)
откуда следует доказываемое утверждение.
▲
Определение 1.7 [3] Если − подмодуль в , то множество , таких, что , есть подалгебра алгебры , называемая нормализатором в . Если, кроме того, − подалгебра алгебры , то и − идеал в .
Определение 1.8 [3] Характеристический идеал , обозначаемый через , называется производным идеалом (или коммутантом) алгебры .
Любой подмодуль в , содержащий , является идеалом в .
Определение 1.9 [3] Производным рядом алгебры называется убывающая последовательность характеристических идеалов в , рекуррентно определяемых следующим образом:
- ;
- .
Определение 1.10 [3] Нижним (или убывающим) центральным рядом алгебры называется убывающая последовательность характеристических идеалов, рекуррентно определяемых следующим образом:
- ;
- .
Имеем и для любых .
Предложение 1.4 [3] Пусть и − две алгебры Ли над и − гомоморфизм на . Тогда , .
Следствие 1.1 [3] Пусть − алгебра Ли, − идеал в . Для того чтобы алгебра Ли была коммутативной, необходимо и достаточно, чтобы .
Пусть − алгебра Ли и − подмножество в . Централизатором в называется совокупность элементов из , перестановочных с этим множеством . Централизатор есть пересечение ядер отображений , где пробегает , а потому является подалгеброй в .
Предложение 1.5 [3] Пусть − алгебра Ли, − идеал в . Централизатор идеала в есть идеал алгебры .
Доказательство: Пусть − внутреннее дифференцирование алгебры . Если и , то
, (1.5)
где .
▲
Если − алгебра Ли, то центром алгебры называется централизатор в , то есть характеристический идеал, состоящий из таких элементов , что для всех . Центр алгебры является ядром гомоморфизма .
Определение 1.11 [3] Верхним (или возрастающим) центральном рядом алгебры называется возрастающая последовательность характеристических идеалов , рекуррентно определяемых следующим образом:
- ;
- есть прообраз центра алгебры при каноническом отображении на .
Идеал является центром алгебры .
Определение 1.12 [3] Пусть и − две алгебры Ли над . Расширением при помощи называется последовательность: , где - алгебра Ли над , − сюръективный гомоморфизм на и − инъективный гомоморфизм на ядро .
Ядро гомоморфизма называется ядром этого расширения. Гомоморфизм является изоморфизмом алгебры на , а гомоморфизм определяет при факторизации изоморфизм на . Говорят также, что является расширением при помощи .
Два расширения называются эквивалентными, если существует гомоморфизм алгебры в , такой, что .
Предложение 1.6 [3] Пусть − расширение при помощи и − его ядро.
- Если существует подалгебра алгебры , дополнительная к в , то ограничение на есть изоморфизм на . Если обозначает изоморфизм, обратный к этому ограничению, то есть гомоморфизм в и есть тождественный автоморфизм алгебры .
- Обратно, если существует гомоморфизм алгебры в , такой, что − тождественный автоморфизм на , то является подалгеброй, дополнительной к в .
Определение 1.13 [3] Пусть - расширение при помощи и − его ядро. Говорят, что это расширение является несущественным или расщепляется, если существует подалгебра, дополнительная к в . Говорят, что расширение центрально, если содержится в центре алгебры .
Предложение 1.7 [3] Пусть и − две алгебры Ли над , − несущественное расширение при помощи , − изоморфизм на подалгебру алгебры , такой, что − тождественный автоморфизм алгебры , и − соответствующий гомоморфизм в алгебру Ли дифференцирований алгебры . Пусть − несущественное расширение при помощи , канонически определенное через . Тогда отображение является изоморфизмом на и два расширения эквивалентны.
- Разрешимые и нильпотентные алгебры
Определение 1.14 [6] Говорят, что алгебра Ли нильпотентна, если существует конечная убывающая цепочка ее идеалов , такая, что и для .
Коммутативная алгебра Ли нильпотентна.
Предложение 1.8 [3] Пусть − алгебра Ли. Следующие условия эквивалентны:
- нильпотентна;
- для достаточно большого ;
- для достаточно большого ;
- существует целое , такое, что для любых элементов из ;
- существует убывающая цепочка идеалов алгебры , такая, что и для .
Следствие 1.2 [3] Центр ненулевой нильпотентной алгебры Ли отличен от нуля.
Следствие 1.3 [3] Форма Киллинга нильпотентной алгебры Ли является нулевой.
Для любых элементов нильпотентной алгебры Ли эндоморфизм нильпотентен и поэтому имеет нулевой след.
Предложение 1.9 [3] Подалгебра, факторалгебра и центральное расширение нильпотентной алгебры Ли нильпотентны. Произведение конечного числа нильпотентных алгебр Ли является нильпотентной алгеброй Ли.
Доказательство: Пусть − алгебра Ли, − ее подалгебра, − ее идеал, и − каноническое отображение на . Если нильпотентна, то для целого , откуда и , то есть и нильпотентны. Если нильпотентна и содержится в центре , то для целого , откуда и поэтому , так что нильпотентна. Утверждения о произведениях следует, например, из утверждения 1) −>4) предложения 1.8.
▲
Предложение 1.10 [3] Пусть − нильпотентная алгебра Ли, а − ее подалгебра, отличная от . Тогда нормализатор в отличен от .
Пусть − наибольшее целое число, такое, что . Тогда , поэтому нормализатор в содержит .
Лемма 1.1 [3] Пусть − векторное пространство над . Если − нильпотентный эндоморфизм на , то отображение пространства в нильпотентно.
Теорема 1.1 [3] (Энгель) Пусть − векторное пространство над , − конечномерная подалгебра в , элементы которой являются нильпотентными эндоморфизмами на . Если , то существует элемент в , такой, что для любого .
Доказательство: Предположим, что она верна для всех алгебр размерности меньшей . Пусть − подалгебра в размерности . Если , то отображает в себя и индуцирует при факторизации эндоморфизм пространства . По лемме 1.1 нильпотентен, откуда следует, что и нильпотентен. По предположению индукции существует ненулевой элемент в , который аннулируется всеми , . Иначе говоря, существует , , такой, что для всех . Отсюда следует, что − идеал в некоторой подалгебре размерности алгебры . Из доказанного выводим, что обладает идеалом размерности . Пусть . Снова используем предположение индукции: элементы , такие, что для всех , образуют ненулевое подпространство пространства . Это подпространство устойчиво относительно . Так как − нильпотентный эндоморфизм на , то в существует ненулевой элемент, который аннулируется , а следовательно, и любым элементом из .
▲
Следствие 1.4 [3] Для того чтобы некоторая алгебра Ли была нильпотентной, необходимо и достаточно, чтобы для любого присоединенный эндоморфизм был нильпотентен.
Следствие 1.5 [3] Пусть − алгебра Ли, а − ее идеал. Предположим, что нильпотентна и что для любого ограничение на преобразования нильпотентно. Тогда нильпотентна.
Следствие 1.6 [3] Пусть − векторное пространство и − конечномерная подалгебра в , элементы которой являются нильпотентными эндоморфизмами на . Тогда − нильпотентная алгебра Ли.
Лемма 1.2 [3] Пусть − алгебра Ли, − ее идеал, − простой − модуль. Если для любого эндоморфизм нильпотентен, то .
Лемма 1.3 [3] Пусть − алгебра Ли, − ее идеал, − некоторый − модуль, конечномерный над , и − ряд Жордана − Гёльдера − модуля . Следующие условия эквивалентны:
- для любого эндоморфизм нильпотентен;
- для любого эндоморфизм лежит в радикале ассоциативной алгебры , порожденной 1 и всеми , где ;
- для любого выполняется
. (1.6)
Если эти условия выполнены, то идеал ортогонален к относительно билинейной формы, ассоциированной с − модулем .
Предложение 1.11 [3] Пусть − алгебра Ли, − некоторый − модуль, конечномерный над , − ассоциативная алгебра, порожденная 1 и множеством ().
- Все идеалы алгебры , такие, что нильпотентен для любого , содержатся в одном из них, скажем, ;
- Идеал является множеством элементов , таких, что принадлежит радикалу алгебры ;
- Пусть − ряд Жордана − Гёльдера − модуля ; тогда является также множеством тех , для которых при всех ;
- ортогонален к относительно билинейной формы, ассоциированной с .
Идеал называется наибольшим идеалом нильпотентности − модуля или наибольшим идеалом нильпотентности соответствующего представления.
Предложение 1.12 [3] Пусть есть − мерное векторное пространство над и − подалгебра Ли алгебры , элементы которой являются нильпотентными эндоморфизмами пространства . Тогда существует убывающая цепочка подпространств пространства размерностей , таких, что для всех и .
Доказательство: Пусть − алгебра Ли, − ее идеал. Для того чтобы был нильпотентным, необходимо и достаточно, чтобы для любого эндоморфизм был нильпотентным. Это условие, очевидно, достаточно; оно и необходимо, если нильпотентен и если , то нильпотентен и отображает в , откуда следует, что нильпотентен.
▲
Предложение 1.13 [3] Пусть − алгебра Ли, − подалгебра ассоциативной алгебры , порожденная 1 и всеми . Пусть − радикал алгебры .
- Множество элементов , таких, что , является наибольшим нильпотентным идеалом в .
- Он ортогонален к относительно формы Киллинга.
Определение 1.15 [6] Алгебра Ли называется разрешимой, если член производного ряда равен нулю для достаточно большого .
Нильпотентная алгебра Ли разрешима.
Предложение 1.14 [3] Подалгебра и факторалгебра разрешимой алгебры Ли разрешимы. Любое расширение разрешимой алгебры Ли при помощи разрешимой само разрешимо. Конечное произведение разрешимых алгебр Ли разрешимо.
Доказательство: Пусть − алгебра Ли, − ее подалгебра, − идеал в , и − каноническое отображение на . Если разрешима, то для некоторого , следовательно, и . Поэтому и разрешимы. Если и разрешимы, то существуют целые числа , такие, что ; тогда , откуда , и разрешима. Последнее утверждение следует из второго индукцией по числу множителей.
▲
Предложение 1.15 [3] Пусть − алгебра Ли. Следующие условия эквивалентны:
- разрешима;
- существует убывающая последовательность идеалов алгебры , таких, что алгебры коммутативны ;
- существует убывающая последовательность подалгебр в , таких, что − идеал в и коммутативна ;
- существует убывающая последовательность подалгебр , таких, что − идеал размерности 1 в .
Пусть − два разрешимых идеала алгебры Ли . Алгебра изоморфна и, значит, разрешима, так же как и , являющаяся расширением при помощи . Отсюда следует, что максимальный разрешимый идеал в содержит любой разрешимый идеал алгебры , то есть обладает наибольшим разрешимым идеалом.
Определение 1.16 [3] Радикалом алгебры Ли называется ее наибольший разрешимый идеал.
Предложение 1.16 [3] Радикал алгебры Ли есть наименьший идеал в , такой, что радикал алгебры равен нулю.
Доказательство: Пусть − идеал в и − каноническое отображение на . Если радикал равен нулю, то , являющийся разрешимым идеалом в , равен нулю, откуда . С другой стороны, прообраз радикала алгебры является, разрешимым идеалом в и, следовательно, равен ; поэтому .
▲
Предложение 1.17 [3] Пусть − алгебры Ли. Радикал произведения является произведением радикалов алгебр .
Определение 1.17 [3] Пусть − алгебра Ли. Нильпотентным радикалом алгебры называется пересечение ядер ее неприводимых конечномерных представлений.
Лемма 1.4 [3] Пусть − конечномерное векторное пространство над , − подалгебра в , такая, что − простой − модуль, и − коммутативный идеал в . Тогда .
Теорема 1.2 [3] Пусть − алгебра Ли, − ее радикал, − ее нильпотентный радикал. Тогда .
Доказательство: Если − простое конечномерное представление алгебры , то . Пусть − наименьшее целое положительное число, такое, что ; положим ; так как − идеал в , то − идеал в ; этот идеал коммутативен, так как . Если − пространство представления , то и − простой − модуль. Тогда . Если предположить, что , то , , что противоречило бы определению . Поэтому , то есть .
▲
Следствие 1.7 [3] Пусть − разрешимая алгебра Ли. Нильпотентный радикал равен . Если − неприводимое конечномерное представление алгебры , то − коммутативная алгебра. Ассоциативная алгебра , порожденная 1 и , является расширением конечной степени поля .
Теорема 1.3 [4] (Ли) Если − разрешимая алгебра Ли линейных преобразований конечномерного векторного пространства над алгебраически замкнутым полем характеристики 0, то матрицы из могут быть приведены одновременно к треугольному виду.
Доказательство: Пусть − композиционный ряд для относительно . Обозначим через множество индуцированных линейных преобразований в неприводимом пространстве . Тогда является разрешимой алгеброй Ли линейных преобразований, поскольку она есть гомоморфный образ алгебры . Кроме того, неприводима и поэтому вполне приводима в . Вследствие этого абелева.
▲
Если алгебра нильпотентна, то она разрешима, и в этом случае применима теорема Ли. Также теорема Ли справедлива для любого поля характеристики 0 при условии, что характеристические корни линейных преобразований принадлежат этому полю.
Следствие 1.8 [3] Предположим, что алгебраически замкнуто. Если − разрешимая − мерная алгебра, то любой ее идеал является членом убывающего ряда идеалов размерностей .
Следствие 1.9 [3] Предположим, что . Пусть − разрешимая алгебра Ли. Любое ее неприводимое представление имеет размерность . Любой идеал алгебры является членом убывающей цепочки идеалов , такой, что .
Следствие 1.10 [3] Для того чтобы алгебра Ли была разрешимой, необходимо и достаточно, чтобы была нильпотентной.
Следствие 1.11 [3] Пусть − конечномерное представление алгебры Ли . Пусть − радикал . Любой элемент , такой, что эндоморфизм нильпотентен, принадлежит наибольшему идеалу нильпотентности представления .
Следствие 1.12 [3] Пусть − алгебра Ли, − ее радикал. Следующие четыре множества совпадают:
- наибольший нильпотентный идеал в ;
- наибольший нильпотентный идеал в ;
- множество , таких, что эндоморфизм нильпотентен;
- множество , таких, что нильпотентен.
Лемма 1.5 [3] Пусть − эндоморфизм конечномерного векторного пространства , − его полупростая компонента. Пусть , , − образы,, , соответственно в присоединенном представлении алгебры . Тогда является полупростой компонентной и многочленом от с коэффициентами из без свободного члена.
Лемма 1.6 [3] Пусть − конечномерное векторное пространство, и − два подпространства в , , и − множество , таких, что . Если и для любого , то − нильпотентный эндоморфизм.
Теорема 1.4 [3] (критерий Картана) Пусть − алгебра Ли, − конечномерное векторное пространство, − представление в и − билинейная форма, ассоциированная с . Алгебра разрешима тогда и только тогда, когда ортогональна к относительно .
Доказательство: − подалгебра Ли в и − тождественное отображение. Если разрешима, то содержится в наибольшем идеале нильпотентности тождественного представления алгебры и, следовательно, ортогональна к относительно . Предположим, что ортогональна к относительно . Докажем, что разрешима. Пусть − множество , таких, что . Если и если принадлежат , то , откуда
(1.7)
и по линейности для любого . Кроме того, . Следовательно, любой элемент из нильпотентен. Отсюда вытекает, что алгебра нильпотентна и, таким образом, разрешима.
▲
Предложение 1.18 [3] Пусть − алгебра Ли, − ее радикал.
- Если − конечномерное представление и − ассоциированная билинейная форма, то и ортогональны относительно .
- является ортогональным дополнением к относительно формы Киллинга.
Следствие 1.13 [3] Алгебра Ли разрешима тогда и только тогда, когда является ортогональным дополнением к относительно формы Киллинга.
Известно, что радикал алгебры Ли является характеристическим идеалом.
Следствие 1.14 [3] Пусть − алгебра Ли, − ее радикал, − идеал в . Тогда радикал идеала равен .
Предложение 1.19 [3] Пусть − алгебра Ли, − ее радикал, − наибольший нильпотентный идеал. Любое дифференцирование алгебры переводит в .
Наибольший нильпотентный идеал алгебры Ли характеристичен.
Пример 1.1 Пусть − поле характеристики . Образуем − мерную алгебру над , порожденную элементом с соотношением . Всякое дифференцирование алгебры вполне определяется своим значением на элементе , причем это значение может быть произвольным. Обозначим через дифференцирование, переводящее элемент в . Имеем
(1.8)
где индекс понимается в смысле вычета .
Эта − мерная алгебра Ли является простой для . Она называется алгеброй Витта и является исходной для многочисленных конструкций простых алгебр Ли характеристики , не имеющих аналогов в характеристики 0.
- Полупростые алгебры.
Определение 1.18 [7] Пусть − алгебра Ли. Говорят, что − полупростая алгебра Ли, если единственным ее коммутативным идеалом является .
- Нулевая алгебра Ли полупроста. Алгебра размерности 1 или 2 не является полупростой. Существуют полупростые алгебры размерности 3.
- Центр полупростой алгебры тривиален, поэтому присоединенное представление является точным.
- Если полупросты, то полупроста, поскольку проекции на любого коммутативного идеала равны нулю.
Теорема 1.5 [3] Пусть − алгебра Ли. Следующие условия эквивалентны:
- полупроста;
- радикал алгебры равен нулю;
- форма Киллинга на невырожденна.
Кроме того, полупростая алгебра Ли равна своему производному идеалу.
Следствие 1.15 [3] Пусть − полупростая алгебра Ли, − представление в конечномерном пространстве . Тогда .
Предложение 1.20 [3] Пусть − полупростая алгебра Ли, − ее точное конечномерное представление. Тогда билинейная форма на , ассоциированная с , невырожденна.
Следствие 1.16 [3] Пусть − алгебра Ли, − форма Киллинга, − полупростая подалгебра в . Ортогональное дополнение к относительно является дополнительным подпространством к в и . Если − идеал в , то и − идеал в , который будет тогда централизатором в .
Доказательство: Пусть − ограничение на . Так как − билинейная форма, ассоциированная с представлением алгебры в пространстве , а это представление является точным, то невырожденна. Значит, дополнительно к в . Кроме того, если лежит в и , то , ибо . Поэтому , а это доказывает, что .
Если − идеал в , то известно, что − идеал в и отождествляется с . Так как центр идеала равен нулю, то его централизатор в есть .
▲
Следствие 1.17 [3] Любое расширение полупростой алгебры при помощи полупростой полупросто и тривиально.
Следствие 1.18 [3] Если − полупростая алгебра Ли, то любое ее дифференцирование является внутренним.
В самом деле, изоморфна , то есть полупроста и является идеалом алгебры Ли дифференцирований .
Если коммутирует со всеми элементами из , то для любого имеем , откуда ; поэтому .
Лемма 1.7 [3] Пусть − полупростая алгебра Ли. Ее присоединенное представление полупросто. Все ее идеалы и факторалгебры полупросты.
Доказательство: Пусть − идеал в . Ортогональное дополнение к относительно формы Киллинга является идеалом в , а − коммутативным идеалом, то есть равно нулю. Поэтому является дополнением к в .
Поскольку форма Киллинга на невырожденна, таковыми будут и ее ограничения на и на , так что и полупросты.
▲
Лемма 1.8 [3] Пусть − алгебра Ли. Тогда следующие условия эквивалентны:
- Все конечномерные линейные представления алгебры полупросты;
- Для данного линейного представления алгебры в векторном пространстве конечной размерности и данного подпространства коразмерности 1, такого, что для любого , существует прямая, дополняющая , устойчивая относительно .
Лемма 1.9 [3] Пусть − полупростая алгебра Ли, − линейное представление в конечномерном векторном пространстве и − подпространство в коразмерности 1, такое, что для любого . Тогда существует прямая, дополняющая и устойчивая относительно .
Теорема 1.6 [5] (Г. Вейль) Любое конечномерное линейное представление полупростой алгебры вполне приводимо.
Определение 1.19 [3] Алгебра Ли называется простой, если единственными ее идеалами являются и и если, кроме того, некоммутативна.
Простая алгебра Ли полупроста. Алгебра не является простой.
Предложение 1.21 [3] Для того чтобы алгебра Ли была полупростой, необходимо и достаточно, чтобы она была произведением простых алгебр.
Следствие 1.19 [3] Полупростая алгебра Ли является прямым произведением своих простых идеалов . Каждый идеал в является произведением некоторых из этих .
Простые идеалы полупростой алгебры Ли называются ее простыми компонентами.
Следствие 1.20 [3] Пусть и − две алгебры Ли, и − их радикалы и − гомоморфизм на . Тогда .
Предложение 1.22 [3] Пусть − векторное пространство конечной размерности над и − полупростая подалгебра в . Тогда содержит полупростые и нильпотентные компоненты своих элементов.
Элемент из является полупростым эндоморфизмом пространства тогда и только тогда, когда является полупростым эндоморфизмом .
Определение 1.20 [3] Пусть − полупростая алгебра Ли. Ее элемент называется полупростым, если для любого конечномерного над , − модуля эндоморфизм полупрост.
Предложение 1.23 [3] Пусть , − полупростые алгебры Ли, − гомоморфизм в . Если полупрост, то и таков же. Если сюрьективен, то любой полупростой элемент из является образом при отображении некоторого полупростого элемента из .
Теорема 1.7 [3] Пусть − полупростая алгебра Ли.
- Пусть . Если существует точное представление алгебры , такое, что − полупростой эндоморфизм, то полупрост.
- Любой элемент из может быть единственным образом записан в виде суммы коммутирующих полупростого и нильпотентного элементов.
- Структура конечных алгебр Ли над полем характеристики нуль
Теорема 1.8 [13] Пусть − полупростая алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль, − ее подалгебра Картана. Тогда корневые подпространства для ненулевых корней относительно одномерны. Не существует корней, являющихся целыми кратными ненулевого корня при , .
Векторное пространство разлагается в прямую сумму
, (1.9)
где − абелева подалгебра, а все остальные слагаемые одномерны. Каждый элемент действует на как умножение на − некоторую линейную функцию на .
Произведение попадает в пространство , которое надлежит интерпретировать как , если − не корень; . Форма Киллинга остается невырожденной при ограничении на и пары , находятся в двойственности.
Для любого корня существует единственный элемент , такой, что скалярное произведение с порождает функцию :
для всех . (1.10)
Заметим, что
. (1.11)
Теорема 1.9 [8] Если , , то .
Теорема 1.10 [8] Скалярное произведение рационально для всех . Скалярный квадрат является положительным рациональным числом для всех .
Теорема 1.11 [8] Размерность пространства (над полем рациональных чисел) равна размерности пространства (над основным полем).
Теорема 1.12 [8] Пусть и − линейные преобразования векторного пространства . Предположим, что , , . Пусть − вектор, удовлетворяющий условиям , (− скаляр). Тогда для всех
, (1.12)
. (1.13)
Доказательство: Предположим, что для некоторого целого положительного , причем − наименьшее такое целое. Если характеристика , то предположим еще, что не делится на . Тогда , где интерпретируется как вычет по модулю в случае характеристики .
▲
Теорема 1.13 [8] Пусть − ненулевые элементы из . Предположим, что и − наименьшее целое, для которого . Тогда
. (1.14)
Теорема 1.14 [8] Если − ненулевые корни, то .
Доказательство: Возьмем корни и , такие, что не является корнем. Продолжим последовательность корней до . Тогда определяется из .
▲
Теорема 1.15 [8] Пусть и − корни, но − не корень. Тогда − неотрицательное число, обладающее таким свойством, что − корни, но корнем не является.
- Классификация простых алгебр Ли над полем характеристики нуль
Определение 1.21 [11] Пусть − упорядоченное поле и − конечномерное векторное пространство над , снабженное положительно определенным скалярным произведением. Под С − системой в мы понимаем конечное множество ненулевых векторов из ,удовлетворяющее следующим условиям:
- порождает ;
- если , то ;
- если , то никакое целое кратное , кроме , не принадлежит ;
- если , причем и , то − неотрицательное целое число;
- для указанного целого , кроме того, векторы принадлежат .
Элементы С − системы называются «корнями».
Векторы , возникающие в полупростой алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль, образуют С − систему над полем рациональных чисел.
Распространим на произвольную пару корней такое свойство, что − целое число. Будем двигаться назад по последовательности корней , пока не достигнем такого , что − не корень. Тогда целое, а отсюда следует, что и целое. Это также верно и для .
Перемножим между собой целые и . Получим целое число
. (1.15)
По неравенству Шварца его абсолютная величина не превосходит 4.
Теорема 1.16 [8] Для любых корней и в С − системе
(1.16)
Теорема 1.17 [8] Предположим, что в С − системе − корни. Тогда .
Теорема 1.18 [8] Если принадлежат С − системе, причем , где − скаляр из основного поля, то .
Доказательство: Из того, что и целые, получаем, что и − оба целые. Отсюда . Но возможности отпадает благодаря условию (3).
▲
Рассмотрим отражение относительно гиперплоскости, перпендикулярной к , определенное как
, (1.17)
где пробегает .
Рассмотрим «максимальную цепочку» корней , такую, что и − не корни. Тогда . Прямым вычислением проверяется, что переходит в при отражении относительно гиперплоскости, перпендикулярной к . Но любой корень может быть включен в некоторую максимальную цепочку.
Теорема 1.19 [8] Пусть − некоторая С − система, − корень. Тогда переходит в себя при отражении от гиперплоскости, перпендикулярной к .
Определение 1.22 [8] Пусть − упорядоченное поле, − конечномерное векторное пространство над , снабженное положительно определенным скалярным произведением . Под D − системой в мы понимаем базис в , такой, что для любых в скаляр − есть неотрицательное целое число.
Определение 1.23 [8] Пусть − некоторая С − система, а − некоторая D − система, содержащаяся в . хорошо вложена в , если для каждого его разложение по базису имеет целые коэффициенты, причем либо все эти коэффициенты положительны, либо все они отрицательны.
Теорема 1.20 [8] Любая С − система обладает хорошо вложенной D − системой.
Теорема 1.21 [8] Пусть есть D − система, хорошо вложенная в С − систему . Пусть − положительный элемент из , такой, что , где все целые. Тогда по крайней мере для одного .
Теорема 1.22 [8] Пусть − некоторая С − система в векторном пространстве , − хорошо вложенная D − система в ; пусть , − аналогичные системы в пространстве . Пусть − изометрия на , переводящая в . Тогда переводит в .
Теорема 1.23 [8] Любая С − система допускает единственное разложение на неразложимые С − системы. Любая D − система допускает единственное разложение на неразложимые D − системы.
Теорема 1.24 [8] Пусть D − система хорошо вложена в С − систему . Система неразложима тогда и только тогда, когда неразложима .
Теорема 1.25 [4] Пусть − алгебра Ли всех линейных преобразований со следом в − мерном векторном пространстве над . Тогда является расщепляемой простой алгеброй Ли типа .
Теорема 1.26 [4] Пусть − алгебра Ли линейных преобразований − мерного пространства, , кососимметричных относительно невырожденной симметрической билинейной формы максимального индекса Витта. Тогда − расщепляемая простая алгебра Ли типа .
Теорема 1.27 [4] Пусть − алгебра Ли линейных преобразований − мерного пространства, , кососимметричных относительно невырожденной кососимметрической билинейной формы (симплектическая алгебра Ли). Тогда есть расщепляемая простая алгебра Ли типа .
Теорема 1.28 [4] Пусть − алгебра Ли линейных преобразований − мерного пространства, , кососимметричных относительно невырожденной симметрической билинейной формы максимального индекса Витта. Тогда алгебра при является расщепляемой простой алгеброй Ли типа .
Четыре класса алгебр Ли и называются „большими" классами простых алгебр Ли. Эти классы соответствуют линейным группам, которые Вейль назвал классическими группами в своей книге под аналогичным названием. Покажем следующую таблицу размерностей:
Таблица 1 – Таблица размерностей простых алгебр Ли
|
Тип |
Размерность |
- Приложения алгебры Ли к криптографии
- Примеры простых алгебр Ли над полем характеристики p
Если − простая алгебра Ли, то алгебра является неприводимым − модулем.
Рассмотрим гомоморфизм алгебры Ли в алгебру эндоморфизмов векторного пространства относительно операции коммутирования.
Согласно теореме Капланского [15], алгебра порождает алгебру как ассоциативную алгебру.
Если , то размерность алгебры равна .
Получили реализацию матричной алгебры порядка . Далее мы можем применять криптографические схемы разработанные для конечных групп матриц [10].
К середине же прошлого века многие принципиальные вопросы теории алгебр Ли над полями нулевой характеристики были решены и объектами исследования стали алгебры Ли над полями положительной характеристики, так называемые, модулярные алгебры Ли. В конце 70-х годов А.И. Кострикин и И.Р. Шафаревич описали все имеющиеся примеры таких алгебр, используя единую конструкцию алгебр Картановского типа, и выдвинули гипотезу о классификации модулярных алгебр Ли.
Участие в классификации простых алгебр над полем характеристики приняли многие российские и зарубежные математики: Дж. Бенкарт, С.М. Скрябин, Н.А. Корешков, А.Х. Долотказин и другие.
В настоящее время классификация простых модулярных алгебр Ли над полями характеристики больше или равной 7 завершена и исследования ведутся в некоторых классах, либо обобщающих класс алгебр Ли, либо связанных с ним некоторыми конструкциями.
Пусть , где F − поле характеристики 2.
Известно, что не является простой алгеброй Ли.
Напомним, что через обозначается матрица, у которой на ij − ом месте стоит 1, а остальные элементы равны 0. Матрица называется матричной единицей.
Известно, что матричные единицы перемножаются по правилу , где так называемый символ Кронекера.
Тогда единичная матрица имеет след равный 0 и представима в виде . Элементы образуют базис алгебры , она является разрешимой.
Алгебра Ли над полем характеристики является простой, если не делится на .
Для получения криптографических протоколов можно использовать и другие модулярные простые алгебры Ли.
2.2 Криптографические протоколы на простых алгебрах Ли
Пусть простая алгебра Ли над полем , − простое, где n не делится на p.
Пусть − группа невырожденных эндоморфизмов алгебры , .
Рассмотрим коммутативную подгруппу .
Пусть . Вычислим элемент . Так как вычислить эти два элемента по отдельности нельзя, задача не сводится к задаче дискретного логарифмирования в циклической подгруппе.
По заданным и требуется вычислить и . Их нахождение представляет собой самостоятельную трудную задачу, отличную от задачи дискретного логарифмирования.
При известном значении можно вычислить или и свести задачу нахождения к задаче дискретного логарифмирования.
Пусть пара является секретным ключом первого абонента, а пара - второго абонента, где .
Тогда открытым ключом первого абонента является элемент , второго - элемент .
Далее каждый из абонентов вычисляет общий секретный ключ.
Первый абонент:.
Второй абонент:.
Из перестановочности элементов и следует равенство .
Общий ключ может быть использован для шифрования сообщений с помощью симметричной криптосистемы.
Для получения коммутативной подгруппы выбирается случайно .
Далее элементы ищутся в виде . Коэффициенты и степени выбираются случайно. Проверяется обратимость элемента .
Пример применения рассмотренного протокола не приводится в виду его сложности. Возможна компьютерная реализация рассмотренного алгоритма при проведении дальнейших исследований в данной тематике.
Заключение
Алгебры Ли представляют собой один из классических объектов современной математики. Их теория находится в особом положении как по полноте структурной информации, по крайней мере, в классе конечномерных алгебр Ли, так и по многочисленным связям с другими разделами математики, среди которых следует упомянуть теорию групп Ли.
С помощью простых алгебр Ли над полем характеристики можно строить коды с открытым ключом.
Были выполнены поставленные задачи:
- рассмотрены разрешимые, нильпотентные и полупростые алгебры;
- изучена структура конечномерных алгебр Ли над полем характеристики нуль;
- изложена классифицикация простых алгебр Ли над полем характеристики нуль;
- рассмотрены приложения алгебр Ли к криптографии.
Список использованных источников
- Бахтурин Ю.А. Тождества в алгебрах Ли / Ю.А. Бахтурин // – М.: «Наука». – 1985. 450 с.
- Березин Ф.А. Введение в алгебру и анализ с антикоммутирующими переменными / Ф.А. Березин // – М.: «Издательство МГУ». – 1983. 205 с.
- Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли / Н. Бурбаки // – М.: «Мир». − 1976. 495 с.
- Джекобсон Н. Алгебры Ли / Н. Джекобсон // – М.: «Мир». − 1964. - 358 с.
- Джекобсон Н. Строение колец / Н. Джекобсон // – М.: «Издательство иностранной литературы». − 1961. - 392 с.
- Жевлаков К.А. Кольца близкие к ассоциативным / К.А. Жевлаков, А.М. Слинько, И.П. Шестаков, А.И. Ширшов // – М.: «Наука». − 1978. - 432 с.
- Желобенко Д.П. Представление редуктивных алгебр Ли / Д.П. Желобенко // – М.: «Наука». – 1994. - 350 с.
- Капланский И. Алгебры Ли и локально компактные группы / И. Капланский // – М.: «Мир». − 1974. - 152 с.
- Ламбек И. Кольца и модули / И. Ламбек // – М.: «Мир». − 1971. - 280 с.
- Молдовян Н.А. Теоретический минимум и алгоритмы цифровой подписи / Н.А. Молдовян // – СПб.: «БХВ – Петербург». − 2010. - 306 с.
- Размыслов Ю.П. Тождества алгебр и их представления / Ю.П. Размыслов // – М.: «Наука». – 1989. - 433 с.
- Серр Ж.П. Алгебры Ли и группы Ли / Ж.П. Серр // – М.: «Мир». – 1969. - 376 с.
- Скорняков Л.А. Элементы теории структур / Л.А. Скорняков // – М.: «Наука». – 1970. - 150 с.
- Хамрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представление / Дж. Хамрис // – М.: «МЦНМО». – 2003. - 216с.
- Херстейн, И. Некоммутативные кольца / И. Херстейн // – М.: «Мир». − 1972. - 190 с.
Скачать: