Математический факультет
ДИПЛОМНАЯ РАБОТА
Асимптотическое поведение решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений
Аннотация
Вопрос об асимптотическом поведении решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений и тесно примыкающая к этому вопросу задача об устойчивости движения начиная с конца XIX столетия служат предметом многочисленных исследований. В основу всей работы нами положен метод исследования асимптотического поведения решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Идея этого метода заключается в преобразовании заданной системы дифференциальных уравнений к специальному виду, названному L – диагональным. Такого рода преобразование в ряде случаев может быть выполнено путём элементарных линейных подстановок. Построение асимптотических разложений для решений линейных дифференциальных уравнений после преобразования их к L – диагональному виду выполняются чрезвычайно просто. Также в работе приведены общие сведения об асимптотических разложениях, решена задача о нахождении оптимального алгоритма поиска асимптотик для систем дифференциальных уравнений второго порядка.
Общее число страниц – 65, рисунков – 2, использованных источников – 20.
Abstract
The question of asymptotic behavior of solutions of the ordinary linear differential equations and task closely adjoining this question of stability of movement since the end of the XIX century serve as a subject of numerous researches. In a basis of all work we put a method of research of asymptotic behavior of solutions of the ordinary linear differential equations. The idea of this method consists in transformation of the set system of the differential equations to the special look called L – diagonal. Such transformation in some cases can be executed by a way of elementary linear substitutions. Creation of asymptotic decomposition for solutions of the linear differential equations after their transformation to L – to a diagonal look are carried out extremely simply. Also general information is given in work about asymptotic decomposition, the task about finding of optimum algorithm of search асимптотик for systems of the differential equations of the second order is solved.
Total number of pages – 65, drawings – 2, used sources – 20.
Содержание
1 Общие сведения об асимптотических разложениях. 8
1.1 Возмущения по параметру. 8
1.1.1 Алгебраическое уравнение. 8
1.1.2 Осциллятор Ван-дер-Поля. 9
1.2 Возмущения по координате. 11
1.2.1 Уравнение Беcселя нулевого порядка. 12
1.3 Символы порядка и калибровочные функции. 15
1.4 Асимптотические разложения и последовательности. 17
1.4.1 Асимптотические ряды.. 17
1.4.2 Асимптотические разложения. 21
1.4.3 Единственность асимптотических разложений. 23
1.5 Сравнение сходящегося и асимптотического рядов. 25
1.6 Неравномерные разложения. 27
1.7 Простейшие действия над асимптотическими разложениями. 29
2 Асимптотическое поведение решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. 31
2.1 L – диагональные системы дифференциальных уравнений. 31
2.2 Приведение систем линейных дифференциальных уравнений к L – диагональному виду. 36
3 Частные случаи преобразования систем дифференциальных уравнений к L –диагональному виду. 45
3.1 Приведение к L – диагональному виду линейной подстановкой .............. 45
3.2 Приведение к L – диагональному виду линейной подстановкой . 54
Список использованной литературы.. 64
Введение
Большинство физических задач, с которыми сталкиваются сегодня инженеры, физики и специалисты в области прикладной математики, обнаруживает ряд существенных особенностей, которые не позволяют получать точные аналитические решения. Такими особенностями являются, например, нелинейности, переменные коэффициенты, границы сложной формы и нелинейные граничные условия на известных или, в некоторых случаях, неизвестных границах. Если даже точное решение некоторой задачи явно найдено, оно может оказаться бесполезным для математической и физической интерпретаций или численных расчетов. Примерами таких задач являются функции Бесселя большого порядка при больших значениях аргумента и двоякопериодические функции. Таким образом, для получения информации о решениях уравнений мы вынуждены прибегнуть к аппроксимациям, численным решениям или к сочетанию этих двух методов. Среди приближенных методов прежде всего следует назвать асимптотические методы возмущений, которые и являются предметом этой работы. Согласно этим методикам, решение представляется несколькими первыми членами асимптотического разложения, число которых обычно не превышает двух. Разложения могут проводиться по большому или малому параметру, который естественно возникает в уравнениях или вводится искусственно для удобства. Такие разложения называются возмущениями по параметру. С другой стороны, разложения могут быть проведены по координатам для больших или малых значений; в этом случае они называются возмущениями по координатам.
Глава 1 содержит обозначения, определения и действия над асимптотическими разложениями. Примеры разложений по параметру и координате и их существенные характеристики даны в п.1.1 и 1.2. Для формализации понятий пределов, оценок погрешности в п.1.3 введены определения символов порядка и другие обозначения. П.1.4 содержит определения асимптотического разложения, асимптотической последовательности и степенного ряда; в п.1.5 дается сравнение сходящегося и асимптотического рядов. Затем, в п.1.6 определены равномерные и неравномерные асимптотические разложения. Краткая сводка операций над асимптотическими разложениями дана в п.1.7.
Во 2-ой главе изложен метод исследования асимптотического поведения решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Идея этого метода заключается в преобразовании заданной системы дифференциальных уравнений к специальному виду, названному L – диагональным. Такого рода преобразование в ряде случаев может быть выполнено путём элементарных линейных подстановок. Построение асимптотических разложений для решений линейных дифференциальных уравнений после преобразования их к L – диагональному виду выполняются чрезвычайно просто.
Глава 3 содержит более частные случаи преобразования систем дифференциальных уравнений к L – диагональному виду. Здесь рассмотрены достаточно конкретные дифференциальные уравнения, указаны подстановки, осуществляя которые можно привести эти уравнения к указанному виду. В п.3.3 рассмотрен простейший пример, который иллюстрирует работу предложенного метода.
Полезно сделать некоторые общие замечания относительно свойств рассматриваемых функций. Все числовые функции и параметры, о вещественности которых не сделано специальных оговорок, следует считать в общем случае комплексными. Так, например, в начале главы 2 коэффициенты дифференциальных уравнений (2.1.1) и искомые функции предполагаются в общем случае комплекснозначными, t – вещественно (для t определён полубесконечный интервал ). Оговаривая суммируемость производной какой-либо функции в некотором интервале, мы тем самым обусловливаем абсолютную непрерывность этой функции в соответствующем замкнутом интервале. Везде, где рассматриваются системы дифференциальных уравнений с суммируемыми коэффициентами, под их решениями подразумеваются совокупности абсолютно непрерывных функций, удовлетворяющие уравнениям почти всюду в заданном интервале.
1 Общие сведения об асимптотических разложениях
1.1 Возмущения по параметру
Математическая формулировка многих физических задач, в которых встречается функция вида , может быть дана с помощью дифференциального уравнения с граничным условием , где х—скалярная или векторная независимая переменная, а ε - параметр. Такая задача, вообще говоря, не может быть решена точно. Однако если существует (выбором отсчета е можно добиться ), для которого выше упомянутая задача решается точно или сравнительно легко, то для малых ε можно искать решение, скажем, в виде разложения по степеням ε, т. е. в виде
(1.1.1)
где ип не зависит от ε, а и0(х) — решение задачи при . Это разложение можно подставить затем в равенства L(u,x,ε)=0 и В(и,ε)=0, разложить их для малых ε и сгруппировать коэффициенты при каждой степени ε. Поскольку эти уравнения должны удовлетворяться для всех значений ε и последовательность степеней ε линейно независима, коэффициент при каждой степени ε обращается в нуль независимо. При этом обычно получаются простые уравнения относительно ип, которые последовательно решаются. Следующие два примера иллюстрируют сказанное.
1.1.1 Алгебраическое уравнение
Рассмотрим сначала решение алгебраического уравнения
(1.1.2)
при малом ε. Для ε = 0 имеем и=1. Пусть ε мало и отлично от нуля. Положим
(1.1.3)
Тогда (1.1.2) принимает вид
. (1.1.4)
Проведя в (1.1.4) разложение при малом ε, получим
. (1.1.5)
Сгруппировав коэффициенты при одинаковых степенях ε, будем иметь
. (1.1.6)
Поскольку это уравнение выполняется тождественно по ε, коэффициент при каждой степени ε обращается в нуль независимо.
Таким образом,
(1.1.7)
(1.1.8)
. (1.1.9)
Решением уравнения (1.1.7) является
(1.1.10)
Тогда решением (1.1.8) будет
(1.1.11)
а решением (1.1.9)
(1.1.12)
Следовательно, (1.1.3) принимает вид
(1.1.13)
где многоточием заменены все члены, содержащие при . Таким образом, (1.1.13) является аппроксимацией решения уравнения (1.1.2), которое равно 1 при .
1.1.2 Осциллятор Ван-дер-Поля
В качестве второго примера рассмотрим уравнение Ван-дер-Поля
(1.1.14)
для малого ε. При ε = 0 оно сводится к уравнению
(1.1.15)
общее решение которого имеет вид
(1.1.16)
где а и φ — постоянные. Для определения лучшего приближения к решению уравнения (1.1.14) будем искать возмущенное разложение вида
(1.1.17)
где многоточие заменяет слагаемые, пропорциональные степеням ε, большим двух. Подставляя это разложение в (1.1.14), будем иметь
(1.1.18)
Проведя разложение для малых ε, получим
. (1.1.19)
Поскольку un не зависит от ε и (1.1.19) справедливо для всех достаточно малых значений ε, коэффициенты при одинаковых степенях ε в обеих частях этого уравнения должны быть равны. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ε в обеих частях (1.1.19), получим: для коэффициентов при ε °
(1.1.20)
для коэффициентов при ε
(1.1.21)
для коэффициентов при ε2
(1.1.22)
Заметим, что уравнение (1.1.20) совпадает с (1.1.15) и его общее решение имеет вид (1.1.16), т. е.
. (1.1.23)
Подставляя в (1.1.21) выражение для и0, получаем
Используя тригонометрическое тождество
перепишем это уравнение в виде
(1.1.24)
Частным решением его является функция
(1.1.25)
Коль скоро известны u0 и u1, известна и правая часть уравнения (1.1.22), и его аналогичным образом можно разрешить относительно и2.
1.2 Возмущения по координате
Пусть некоторая физическая задача математически описывается дифференциальным уравнением L(u, х)=0 с граничным условием В(и)=0, где х — скаляр, и пусть известен вид и0 решения и при (х0 можно сделать равным 0 или ). Тогда можно попытаться найти отклонение функции и от и0 для x, близких к , раскладывая это отклонение по степеням х при х0=0 или по степеням х-1 при . Эта техника демонстрируется на следующих двух примерах.
1.2.1 Уравнение Беcселя нулевого порядка
Мы будем рассматривать решение уравнения
(1.2.1)
Это уравнение имеет регулярную особую точку х=0, что наводит на мысль искать решение у в виде степенного ряда, используя метод Фробениуса. Полагаем, таким образом,
(1.2.2)
где число μ и коэффициенты ат должны быть определены так, чтобы (1.2.2) было решением уравнения (1.2.1). Подстановка (1.2.2) в (1.2.1) дает
или
(1.2.3)
что можно записать в виде
Заменив в первой сумме индекс т на m + 2, можем переписать это уравнение в виде
(1.2.4)
Поскольку (1.2.4) является тождеством по х, коэффициент при каждой степени х должен обратиться в нуль независимо, т. е.
(1.2.5)
(1.2.6)
(1.2.7)
Если положить , то из первого уравнения следует μ= 0; тогда (1.2.6) дает а1=0, а из (1.2.7) следует
(1.2.8)
Следовательно,
(1.2.9)
При а0 = 1 полученное решение представляет собой функцию Бесселя нулевого порядка и часто обозначается через J0(x). Таким образом,
(1.2.10)
Поскольку отношение n-го члена к (п-1)-му равно -x2/(2n)2 и стремится к нулю при для всех значений х, ряд (1.2.10) для функции J0(x) сходится равномерно и абсолютно при всех значениях х.
1.2.2 Простой пример
В качестве второго примера мы рассмотрим решение уравнения
(1.2.11)
при больших х. Будем искать это решение при больших х в виде
(1.2.12)
Подстановка этого разложения в (1.2.11) дает
(1.2.13)
Заменив во второй сумме индекс т на т+1, можем переписать это уравнение в виде
(1.2.14)
Полученное уравнение является тождеством по х, поэтому коэффициент при каждом х- m должен обратиться в нуль независимо, т. е.
(1.2.15)
Следовательно,
(1.2.16)
и (1.2.12) принимает вид
(1.2.17)
Поскольку отношение n-го к (п-1)-му члену равно (п-1)х -1 и стремится к бесконечности при независимо от значения х, то ряд (1.2.16) расходится при всех значениях х. В п.1.4 показано, что, несмотря на расходимость, этот ряд оказывается полезным для численных расчетов; он носит название асимптотического ряда.
1.3 Символы порядка и калибровочные функции
Предположим, что мы интересуемся функцией единственного вещественного параметра ε, которую будем обозначать f(ε). При выводе аппроксимаций нас будет интересовать предел f(ε) при ε, стремящемся к нулю, что будем обозначать как . Этот предел может зависеть от того, стремится ли ε к нулю снизу, что обозначаем как , или сверху, . Если предел функции f(ε) существует (т. е. у нее нет существенных особенностей при ε=0, таких, как у функции sin ε -1), то имеет место одна из трех возможностей:
(1.3.1)
В первом и последнем случаях скорости сходимости оцениваются сравнением f(ε) с известными функциями, которые называются калибровочными функциями. Простейшими и наиболее употребительными из них являются следующие:
.
В некоторых случаях к ним должны быть добавлены функции
и т. д.
Другими примерами калибровочных функций являются функции и т.д.
При сравнении поведения функции f(ε) с калибровочной функцией g(ε) при используется один из двух символов Ландау: О или о.
Символ О
Мы пишем
(1.3.2)
если существуют положительное число А, не зависящее от ε, и значение ε 0 > 0, такие, что
(1.3.3)
Это условие может быть заменено следующим:
(1.3.4)
Например, при имеем
Если, кроме ε, функция f зависит и от другой переменной х, a g(x,ε) —калибровочная функция, то по-прежнему пишем
при (1.3.5)
если существуют положительное число А, не зависящее от ε, и ε 0 > 0, такие, что
для всех (1.3.6)
Если А и ε 0 не зависят от х, то говорят, что соотношение (1.3.5) выполняется равномерно. Например,
равномерно при,
в то время как
неравномерно при,
неравномерно при.
Символ о
Мы пишем
(1.3.7)
если для каждого положительного числа δ, не зависящего от ε, существует
ε 0 > 0, такое, что
для всех (1.3.8)
Это условие может быть заменено следующим:
(1.3.9)
Таким образом, имеем при
для всех положительных n
для всех n
Если f=f(x,ε) и g=g(x, ε), то говорят, что (1.3.7) выполняется равномерно, если δ и ε 0 не зависят от х. Например,
равномерно при
в то время как
неравномерно при
неравномерно при .
1.4 Асимптотические разложения и последовательности
1.4.1 Асимптотические ряды
Мы установили в п. 1.2.2, что частным решением уравнения
(1.4.1)
является ряд
(1.4.2)
который расходится для всех значений х. Чтобы выяснить, насколько этот ряд может оказаться полезным при вычислении частного решения нашего уравнения, определим остаток при усечении ряда на п-м члене. Для этого заметим, что частное решение дифференциального уравнения задается интегралом
(1.4.3)
сходящимся при отрицательных х. Интегрируя (1.4.3) по частям, получим
(1.4.4)
Следовательно, если мы усечем ряд на п-м члене, то остаток как функция п и х будет иметь вид
(1.4.5)
Для сходимости ряда предел должен равняться нулю.
В нашем примере это не выполнено. Действительно, при имеем , так что ряд расходится для всех х, в согласии с тем, что мы установили в п. 1.2.2, используя другой признак сходимости. Поэтому ряд (1.4.2) может оказаться полезным только при фиксированном п. Для отрицательных х имеем
(1.4.6)
Таким образом, ошибка, связанная с усечением ряда на п-м члене, численно не превосходит первого отброшенного члена, а именно (n+1)-го. Более того, при фиксированном n и имеем . Поэтому, хотя ряд (1.4.2) и расходится, для фиксированного п первые п членов ряда могут представлять у с ошибкой, которая может быть сделана произвольно малой при выборе достаточно большого значения . Подобный ряд называется асимптотическим рядом типа Пуанкаре и обозначается
при (1.4.7)
Вообще, для заданного ряда , где am не зависит от х, мы говорим, что он является асимптотическим рядом, и пишем
при (1.4.8)
тогда и только тогда, когда
при (1.4.9)
Условие (1.4.9) можно переписать в виде
при (1.4.10)
В качестве другого примера рассмотрим, как это было сделано Эйлером, вопрос об оценке интеграла
(1.4.11)
для больших положительных ω. Поскольку
если (1.4.12)
и
(1.4.13)
имеем
(1.4.14)
Поскольку отношение m-го члена к (т-1)-му, равное , стремится к бесконечности при , ряд (1.4.14) расходится для всех значений ω.
Чтобы выяснить, является ли ряд (1.4.14) асимптотическим, вычислим остаток, получающийся при усечении ряда на n-м члене. Заметим для этого, что
(1.4.15)
Следовательно,
(1.4.16)
где
(1.4.17)
Итак, ошибка, обусловленная усечением ряда на n-м члене, численно не превосходит первого отброшенного члена, и мы имеем
(1.4.18)
Поэтому ряд (1.4.14) является асимптотическим:
(1.4.19)
1.4.2 Асимптотические разложения
Для представления функции вовсе не обязательно использовать степенной ряд. Вместо него можно использовать последовательность функций общего вида , если только
(1.4.20)
Такая последовательность называется асимптотической последовательностью. Примерами таких асимптотических последовательностей являются
(1.4.21)
В терминах асимптотических последовательностей мы можем определить асимптотические разложения. Итак, про заданную сумму , где ат не зависит от ε, а δт(ε) есть асимптотическая последовательность, мы говорим, что она является асимптотическим разложением, и пишем
, (1.4.22)
тогда и только тогда, когда
при (1.4.23)
Очевидно, что асимптотический ряд есть частный случай асимптотического разложения.
В качестве примера асимптотического разложения, не являющегося асимптотическим степенным рядом, мы снова рассмотрим интеграл (1.4.11). Следуя Ван-дер-Корпуту, мы представим f(ω) в терминах факториальной асимптотической последовательности при . Для этого заметим, что
(1.4.24)
И вообще,
(1.4.25)
Это равенство доказывается по индукции следующим образом. Если (1.4.25) верно для п, то мы покажем, что это равенство верно и для n + 1. Для этого заметим, что
Объединяя два последних слагаемых и распространяя суммирование до , мы можем переписать это выражение в виде
(1.4.26)
Таким образом, если равенство (1.4.25) верно для n, то (1.4.26) устанавливает его справедливость для n + 1. Поскольку, согласно (1.4.24), равенство (1.4.25) верно для n = 0, 1 и 2, оно верно и для n = 3, 4, 5, … . Поэтому оно верно для всех n.
Умножая (1.4.25) на ехр (-х) и интегрируя от х = 0 до , получим
(1.4.27)
где
Поскольку ω — большое положительное число,
(1.4.31)
Таким образом, ошибка, связанная с тем, что мы сохраняем только n первых членов, численно не превосходит n-го члена, и, следовательно,
(1.4.32)
Поскольку — асимптотическая последовательность при , имеем
при . (1.4.33)
1.4.3 Единственность асимптотических разложений
В предыдущих двух пунктах мы показали, что имеют место соотношения
при (1.4.34)
и
при (1.4.35)
Таким образом, асимптотическое представление функции f(ω) при не единственно. В самом деле, функция f(ω) может быть представлена бесконечным числом асимптотических разложений, поскольку существует бесконечное число асимптотических последовательностей, которые могут быть использованы для такого представления. Однако для заданной асимптотической последовательности δт(ω) представление функции f(ω) с ее помощью единственно. В этом случае имеем
при , (1.4.36)
где ат единственным образом определяются соотношениями:
(1.4.37)
1.5 Сравнение сходящегося и асимптотического рядов
Мы установили в п. 1.2.1, что одно из решений уравнения Бесселя
(1.5.1)
задается рядом
(1.5.2)
равномерно и абсолютно сходящимся для всех значений х.
Другое представление для J0 можно получить, заметив, что замена переменных
(1.5.3)
преобразует уравнение (1.5.1) в
(1.5.4)
При это уравнение стремится к виду
(1. 5. 5)
с решениями
(1.5.6)
Это наводит на мысль о преобразовании вида
(1.5.7)
которое приводит к уравнению
(1.5.8)
Это уравнение формально удовлетворяется рядом
(1.5.9)
Заменив в этом ряду i на — i и комбинируя полученный ряд с исходным, получим следующие два независимых решения:
(1.5.10)
где
(1.5.11)
Используя интегральное представление
(1.5.12)
мы получаем связь между J0 (x) и этими двумя независимыми решениями:
(1.5.13)
Проверка сходимости рядов с помощью отношения двух соседних членов показывает, что у2, и и v, а следовательно, и правая часть (1.5.13), расходятся для всех значений х. Однако для больших х слагаемые в и и v убывают быстро с ростом номера, так что (1.5.13) задает асимптотическое разложение для больших х. Для малых х первые несколько членов в (1.5.2) дают вполне хорошую точность. В самом деле, первые 9 членов дают значение J0 (2) с точностью до 11 значащих цифр. Однако с ростом х число членов, необходимых для обеспечения такой точности, быстро растет. При х = 4 восемь членов дают точность до третьей значащей цифры, в то время как такую точность обеспечивает первый член асимптотического разложения (1.5.13). При дальнейшем росте х с гораздо меньшей затратой труда можно получать хорошую точность, используя асимптотический расходящийся ряд (1.5.13).
1.6 Неравномерные разложения
В задачах с возмущениями по параметру функции, подлежащие разложению, могут зависеть от одной или большего числа переменных, не считая параметра возмущения. Если построить асимптотическое разложение функции f (х;ε), где х—скалярная или векторная переменная, не зависящая от ε, по асимптотической последовательности δm(ε), то получим
при . (1.6.1)
Здесь коэффициенты ат являются функциями только переменной х. Говорят, что разложение (1.6.1) равномерно пригодно, если
(1.6.2 а)
равномерно для всех рассматриваемых х. (1.6.2 б)
В противном случае говорят, что разложение является неравномерно пригодным (такое разложение часто называют сингулярным разложением возмущения). Для того чтобы условия равномерности (1.6.2) выполнялись, необходимо, чтобы для каждого т слагаемое ат (х)δт(ε) было мало по сравнению с предыдущим ат-1(х)δт-1(ε). Поскольку при имеем , для равномерности разложения мы должны требовать, чтобы для всех рассматриваемых х ат(х) было не более сингулярным, чем аm-1(х). Другими словами, каждый член должен быть малой поправкой к предыдущему члену независимо от значения х. Равномерно пригодным разложением является следующее:
(1.6.3)
Заметим, что коэффициенты при всех степенях ε ограничены для всех значений х, поэтому ат(х) не более сингулярно, чем ат-1(x), и как следствие этого разложение является равномерно пригодным.
Для получения неравномерно пригодного разложения разложим для малых ε функцию Получим
(1.6.4)
Каждый член этого разложения, исключая первый, имеет особенность при х=0 и является более сингулярным, чем предыдущий. Следовательно, разложение не является равномерно пригодным. Справедливость его нарушается в окрестности х=0. Размеры области неравномерности могут быть оценены в некоторых случаях с помощью предположения о том, что два последовательных члена имеют один и тот же порядок. Для (1.6.4) это дает
(1.6.5)
Это можно было усмотреть, вспомнив, что ряд Тейлора функции
[1+ (ε/х)]1/2 сходится только при |ε/х|, меньшем единицы.
В качестве второго примера неравномерно пригодного разложения рассмотрим разложение ехр(-εt) для малых ε. Эта функция имеет следующий равномерно сходящийся для всех t ряд Тейлора:
(1.6.6)
Ясно, что функция ехр(-εt) может быть приближенно представлена конечным числом членов только в том случае, когда произведение εt мало. Поскольку ε—малая величина, сказанное означает, что t=0(1). Если t имеет порядок О(ε -1), то величина εt не мала, и усеченный ряд перестает быть справедливым. Например, для t= 2ε-1 первые два члена дают для ехр (-2) значение, равное -1. Нетрудно установить, что если в приведенном выше ряде сохранить конечное число членов, то усеченный ряд может давать удовлетворительное приближение только до некоторого значения t, после которого функция ехр(-εt) и усеченный ряд отличаются друг от друга на величину, превосходящую заданный предел точности. Добавление дополнительных членов к усеченному ряду увеличит значение t, вплоть до которого усеченный ряд дает удовлетворительное приближение, до нового значения t'. Однако при t > t' разность между ехр(-εt) и новым усеченным рядом вновь превзойдет заданную точность. Таким образом, для получения разложения, удовлетворительного для всех t, необходимы все члены ряда.
То обстоятельство, что асимптотические разложения по параметру не являются равномерно пригодными и перестают быть справедливыми в некоторых областях, является скорее правилом, чем исключением. Эти области, которые упоминаются иногда как пограничные слои, носят название областей неравномерности. Фридрихе обсуждал появление этих неравномерностей в различных областях математической физики в обзорной статье. Большинство методов теории возмущений было развито с целью превратить неравномерные разложения в равномерно пригодные.
1.7 Простейшие действия над асимптотическими разложениями
Для определения приближенных решений дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений мы предполагаем, что разложения можно подставлять в уравнения и выполнять над ними простейшие действия, такие, как сложение, вычитание, возведение в степень, интегрирование, дифференцирование и умножение. Правила действий будут выведены без обоснования, хотя некоторые из разложений расходящиеся. Условия, при которых указанные действия могут быть обоснованы, изучались Ван-дер-Корпутом, Эрдейи и де Брейном.
Правила сложения и вычитания могут быть обоснованы в общем случае. Если, например,
(1.7.1)
где φn(ε)—асимптотическая последовательность, то имеем (Эрдейи)
(1.7.2)
Если, кроме того, и ап(х) — интегрируемые функции ε, то
(1.7.3)
Если же и φn(ε)—интегрируемые функции ε, то
(1.7.4)
Правило умножения для общего случая не определяется, поскольку в формальном произведении рядов встречаются все произведения вида , которые в общем случае невозможно расположить так, чтобы получить асимптотическую последовательность. Иными словами, умножение определено в тех случаях, когда в результате получается асимптотическое разложение. Это имеет место для всех асимптотических последовательностей φn для которых произведения φnφm либо образуют асимптотическую последовательность, либо имеют асимптотическое разложение. Важным классом таких последовательностей является набор степеней ε. Так, если при имеем
(1.7.5)
то при справедливо соотношение
(1.7.6)
где
(1.7.7)
Возведение в степень не может быть обосновано для общего случая. Формальное проведение этой операции в том случае, когда она не обоснована, приводит к неравномерностям. Например, равенство
при (1.7.8)
не обосновано при ε/х=О(1), потому что его правая часть является неравномерным разложением в области х= 0(ε). Аналогично, равенство
при (1.7.9)
не обосновано при εх=О(1), потому что правая часть его неравномерна для больших х.
В общем случае не обосновано также дифференцирование асимптотических разложений по такой переменной, как х, или по параметру возмущения ε. Так же как при возведении в степень, дифференцирование, не будучи обоснованным, ведет к неравномерностям.
2 Асимптотическое поведение решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений
2.1 L – диагональные системы дифференциальных уравнений
Исследование асимптотического поведения решений линейных дифференциальных уравнений мы начнём с рассмотрения системы дифференциальных уравнений
(2.1.1)
в которой все коэффициенты, за исключением коэффициентов, лежащих на главной диагонали, суммируемы в интервале . Так как матрица коэффициентов системы дифференциальных уравнений (2.1.1) представляет собой сумму диагональной матрицы и матрицы, составленной из суммируемых функций, мы будем называть в дальнейшем системы дифференциальных уравнений вида (2.1.1) L – диагональными.
1) При исследовании асимптотического поведения решений дифференциальных уравнений (2.1.1) мы будем предполагать, что функции удовлетворяют следующим условиям:
а) при любом конечном t1;
б) существует такое достаточно большое T0 ,что при ни одна из разностей не меняет знака.
Полагая в уравнениях (2.1.1)
(2.1.2)
Получим для функций систему дифференциальных уравнений
(2.1.3)
Введём в рассмотрение функции
При , в соответствии с условиями (а) и (б), функции в любом конечном интервале будут непрерывными либо неубывающими, либо невозрастающими.
Рассмотрим теперь систему сингулярных интегральных уравнений
(2.1.4)
Будем решать уравнения (2.1.4) методом последовательных приближений, определяя каждое последующее приближение как результат подстановки предыдущего приближения в правые части уравнений (2.1.4). Полагая , найдём:
при (2.1.5)
при
Введём обозначение
(2.1.6)
Из (2.1.5) найдём
при
(2.1.7)
Рассмотрим отдельно два случая:
1) Если функция при неубывающая, то при
Если функция при невозрастающая, то
И, будучи неотрицательным, сходится, так как Обозначим через наибольший из всех сходящихся интегралов
Тогда, если и функция невозрастающая, то при
Если при то согласно (2.1.7) при
где c(T) – наибольший из интегралов
2) В этом случае при
(в рассматриваемом случае функция при невозрастающая).
Из (2.1.7) при найдём
Итак, если при то при .
Рассмотренный нами процесс последовательных приближений будет сходящимся при
(2.1.8)
Но так как функция
при
В то же время и при . Таким образом, всегда можно указать такое достаточно большое значение T,при котором условие сходимости (2.1.8) будет выполняться. При таком значении T система уравнений (2.1.4) имеет решение, которое может быть представлено абсолютно и равномерно сходящимися в интервале рядами
при (2.1.9)
где - функции, последовательно определяемые формулами (2.1.7). Как видно из формул (2.1.7), каждая из функций непрерывна при , следовательно и функции определяемые рядами (2.1.9), непрерывны при . Построенная нами система функций образует в интервале решение системы дифференциальных уравнений (2.1.3), в чём можно убедиться, выполняя дифференцирование по t в интегральных уравнениях (2.1.4).
Исследуем теперь асимптотическое поведение найденного нами решения системы дифференциальных уравнений (2.1.3). Как мы показали выше, построенные нами функции при остаются ограниченными. При из интегральных уравнений (2.1.4) очевидно, что и при , когда . При , из интегральных уравнений (2.1.4) найдём
или
При любом сколь угодно малом можно всегда выбрать такое достаточно большое значение , при котором
,
каково бы ни было . Далее, при выбранном значении можно всегда выбрать такое достаточно большое , что при
, и, следовательно, Таким образом, при , когда .
Итак, мы показали, что исходная L – диагональная система дифференциальных уравнений (2.1.1) имеет решение вида (2.1.2)
где при и , когда . Придавая индексу j все значения от 1 до n, придём к следующей теореме.
Теорема 1 Если при любом конечном t1 и ни одна из разностей не меняет знака, начиная с какого-либо достаточно большого значения переменной t L – диагональная система дифференциальных уравнений
имеет n частных решений вида
где - функции, непрерывные в замкнутом интервале при . Для функций имеют место асимптотические разложения (2.1.9), где функции определяются формулами (2.1.7). Ряды (2.1.9) абсолютно и равномерно сходятся в бесконечном интервале, если T удовлетворяет равенству (2.1.8).
2.2 Приведение систем линейных дифференциальных уравнений к L – диагональному виду
Ниже мы указываем некоторые линейные подстановки, приводящие к L – диагональному виду систему линейных дифференциальных уравнений
(2.2.1)
при тех или иных предположениях относительно свойств матрицы коэффициентов дифференциальных уравнений (как правило, мы будем записывать системы линейных дифференциальных уравнений в векторно-матричной форме).
1) Рассмотрим сначала тот простейший случай, в котором элементы матрицы A(t) имеют производные, суммируемые в интервале при достаточно большом τ, и предельная матрица не имеет кратных собственных чисел. Осуществляя в (2.2.1) линейную подстановку
(2.2.2)
получим систему дифференциальных уравнений
или, после умножения слева на обратную матрицу
(2.2.3)
Определим теперь матрицу B(t), исходя из того требования, чтобы матрица , фигурирующая в (2.2.3), была диагональной. Для нахождения матрицы B(t) надо решить матричное уравнение
, (2.2.4)
где W(t) – диагональная матрица. Сравнивая элементы j – го столбца у матриц, стоящих в левой и правой частях уравнения (2.2.4), получим систему уравнений
(2.2.5)
определяющую элементы j – го столбца искомой матрицы B(t). Для того, чтобы при данном значении переменной t однородная система линейных уравнений (2.2.5) имела нетривиальное решение, должно быть собственным числом матрицы A(t).
Неизвестные будут в этом случае составляющими собственного вектора матрицы A(t), соответствующего собственному числу (одну из составляющих собственного вектора можно приравнять произвольной функции, у которой производная суммируема в интервале , например, единице).
Итак, если матрицу B(t) составить из собственных векторов матрицы A(t), располагая составляющие j – го собственного вектора в j – том столбце матрицы B(t), система дифференциальных уравнений (2.2.3) будет иметь вид
(2.2.6)
где W(t) – диагональная матрица, элементами которой при каждом значении переменной t служат собственные числа матрицы A(t).
По предположению, элементы матрицы A(t) непрерывны в замкнутом интервале и матрица не имеет кратных собственных чисел. Таким образом, можно указать такое достаточно большое , при котором коэффициенты характеристического уравнения матрицы A(t) при любом будут настолько мало отличаться от коэффициентов характеристического уравнения матрицы , что ни при каком матрица A(t) не будет иметь кратных собственных чисел (корни алгебраического уравнения являются непрерывными функциями его коэффициентов). В этом случае, в соответствии с известной теоремой алгебры, детерминант матрицы B(t), определяемый соотношением (2.2.4), будет отличен от нуля в интервале . По предположению, элементы матрицы A(t), а следовательно, и коэффициенты её характеристического уравнения, обладают производными, суммируемыми в интервале . Выполняя дифференцирование по t в характеристическом уравнении матрицы A(t), убедимся в том, что корни этого уравнения обладают производными, суммируемыми в интервале (если - простое собственное число матрицы А, то у определителя матрицы А - по крайней мере один минор n-1 – го порядка отличен от нуля). Таким образом, в дифференциальных уравнениях (2.2.6) элементы матрицы суммируемы в интервале , т.е. система дифференциальных уравнений (2.2.6) в интервале L – диагональна.
Теорема 2 Если элементы матрицы A(t) имеют производные, суммируемые в интервале при достаточно большом τ, и предельная матрица не имеет кратных собственных чисел, система дифференциальных уравнений
(2.2.6)
приводится линейной подстановкой к L – диагональному виду
где B(t) – матрица, составленная из собственных векторов, а
W(t) – диагональная матрица, составленная из собственных чисел матрицы A(t) , C(t) – матрица, элементы которой суммируемы в интервале при достаточно большом 1.
2) Укажем, далее, ещё один важный случай приведения системы дифференциальных уравнений к L – диагональному виду посредством линейной подстановки. Положим в уравнениях (2.2.1)
(2.2.7)
где B(t), как и в теореме (II), матрица, в столбцах которой расположены составляющие собственных векторов матрицы A(t), т.е. матрица, определяемая уравнением
(2.2.8)
а W(t) – диагональная матрица, составленная при каждом значении переменной t из собственных чисел матрицы A(t). Заметим предварительно, что матричное уравнение (2.2.8) определяет матрицу B(t) неоднозначно. Каждому собственному вектору матрицы A(t) можно приписать свой произвольный, отличный от нуля, скалярный множитель, т.е. матрице B(t) можно приписать в качестве множителя справа произвольную неособенную диагональную матрицу . Ниже мы будем предполагать, что при построении матрицы B(t) система собственных векторов матрицы A(t) выбирается с таким расчётом, чтобы у матрицы все элементы, лежащие на главной диагонали, были тождественно равны нулю. Покажем, как удовлетворить этому условию. Пусть - матрица, составленная из произвольной системы собственных векторов матрицы A(t). Положим
Тогда
Обозначим через элементы матрицы , лежащие на главной диагонали, через - элементы диагональной матрицы . Тогда, приравнивая к нулю все элементы матрицы , лежащие на главной диагонали, получим уравнения
определяющие функции с точностью до произвольных постоянных множителей. Итак, при указанном выше дополнительном условии матрица B(t) определяется уравнением (2.2.8) с точностью до произвольного числа диагонально-матричного множителя справа.
Осуществляя в дифференциальных уравнениях (2.2.1) линейную подстановку (2.2.7) и принимая во внимание соотношение (2.2.8), получим систему дифференциальных уравнений:
или после умножения слева на
(2.2.9)
где
. (2.2.10)
Определим теперь матрицу S(t), которая до сих пор оставалась произвольной, матричным уравнением
. (2.2.11)
На главных диагоналях матриц, образующих левую и правую части уравнения (2.2.11), расположены элементы, тождественно равные нулю. Сравнивая остальные элементы этих двух матриц, найдём
, при , (2.2.12)
где - элементы матриц S(t) и G(t). На главной диагонали матрицы S(t) можно расположить произвольные функции. Для определённости положим
при . (2.2.13)
Если матрица S(t) удовлетворяет уравнению (2.2.11), системе дифференциальных уравнений (2.2.9) можно придать вид
или после умножения слева на обратную матрицу
(2.2.14)
Если элементы матриц G(t)S(t) и суммируемы в интервале при достаточно большом значении τ и , система дифференциальных уравнений (2.2.14) L – диагональна в интервале при достаточно большом значении . Действительно, в этом случае существует замкнутый интервал , в котором , элементы матрицы непрерывны и, следовательно, элементы матрицы суммируемы.
Итак, мы можем сформулировать следующую теорему.
Теорема 3. Пусть B(t) – матрица, составленная из собственных векторов, а W(t) – диагональная матрица, составленная из собственных чисел матрицы A(t) , причём система собственных векторов матрицы A(t) подобрана так, что у матрицы все элементы, лежащие на главной диагонали тождественно равны нулю. Пусть далее S(t) – матрица, удовлетворяющая уравнению . Тогда, если элементы матриц G(t)S(t) и суммируемы в интервале при достаточно большом значении τ и , система дифференциальных уравнений
приводится линейной подстановкой к L – диагональному виду
где C(t) – матрица, элементы которой суммируемы в интервале при достаточно большом . (Заметим, что при отдельных значениях t, в частности при , матрица A(t) может иметь при этом кратные собственные числа).
3) Укажем, далее, некоторые простейшие обобщения теорем (2) и (3), которые понадобятся нам в ходе дальнейшего изложения.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
, (2.2.15)
где A(t)- матрица, обладающая теми же свойствами, что и в теореме (2), а A0(t)- матрица, элементы которой суммируемы в интервале . Осуществляя в дифференциальных уравнениях (2.2.15) указанную в теореме (2) линейную подстановку , получим систему дифференциальных уравнений
,
или после умножения слева на
. (2.2.16)
Как мы показали уже при доказательстве теоремы (2) , элементы матриц и имеют производные, суммируемы в интервале при достаточно большом . Таким образом, в дифференциальных уравнениях (2.2.16) элементы матрицы суммируемы в интервале , т.е. система дифференциальных уравнений (2.2.16) в интервале L – диагональная. Мы пришли к следующему обобщению теоремы (2).
Теорема 4 Если элементы матриц A0(t) и суммируемы в интервале при достаточно большом τ и матрица не имеет кратных собственных чисел, система дифференциальных уравнений
приводится линейной подстановкой к L – диагональному виду
где B(t) – матрица, составленная из собственных векторов, а W(t) – диагональная матрица, составленная из собственных чисел матрицы A(t) , C(t) – матрица, элементы которой суммируемы в интервале при достаточно большом 1.
4) Рассмотрим теперь систему дифференциальных уравнений
. (2.2.17)
Пусть B(t) – матрица, составленная из собственных векторов, а W(t) – диагональная матрица, составленная из собственных чисел матрицы ,
. (2.2.18)
Причём система собственных векторов, образующая матрицу B(t), подобрана так, что у матрицы все элементы, лежащие на главной диагонали, тождественно равны нулю.
Осуществляя в дифференциальных уравнениях (2.2.17) линейную подстановку
, (2.2.19)
получим систему дифференциальных уравнений
или после умножения слева на
. (2.2.20)
Выполняя в (2.2.18) дифференцирование по t, найдём
,
или после умножения слева на
, (2.2.21)
так как согласно (1.2.2) .
Диагональные элементы матрицы, образующей левую часть равенства (2.2.21), тождественно равны нулю. Таким образом,
(2.2.22)
если звёздочкой у матрицы обозначить операцию замены элементов, лежащих на главной диагонали, нулями.
Положим теперь , где G1(t) и G2(t) – матрицы, у которых элементы, лежащие на главной диагонали, тождественно равны нулю, а остальные элементы определяются уравнениями
(2.2.23)
и в качестве матрицы S(t), фигурирующей в (2.2.19), выберем матрицу, у которой элементы, лежащие на главной её диагонали, тождественно равны нулю, а остальные элементы определяются уравнением
. (2.2.24)
Согласно(2.2.24) и системе дифференциальных уравнений (2.2.20) можно придать вид
или после умножения слева на обратную матрицу
(2.2.25)
где
(2.2.26)
Если элементы матриц суммируемы в интервале при достаточно большом и , система дифференциальных уравнений (2.2.25) L – диагональна в интервале при достаточно большом значении . Действительно, в этом случае существует замкнутый интервал , в котором , элементы матрицы непрерывны и, следовательно, элементы матрицы C(t) суммируемы. Мы пришли к следующему обобщению теоремы (3):
Теорема 5 Пусть B(t) – матрица, составленная из собственных векторов, а W(t) – диагональная матрица, составленная из собственных чисел матрицы()(), причём система собственных векторов, образующая матрицу B(t), подобрана так, что у матрицы все элементы, лежащие на главной диагонали, тождественно равны нулю. Пусть, далее, - матрицы, у которых элементы, лежащие на главной диагонали, тождественно равны нулю, а остальные элементы определяются уравнениями
.
Тогда, если элементы матриц суммируемы в интервале при достаточно большом и , система дифференциальных уравнений
приводится линейной подстановкой к L – диагональному виду
где C(t) – матрица, элементы которой суммируемы в интервале при достаточно большом .
3 Частные случаи преобразования систем дифференциальных уравнений к L – диагональному виду
3.1 Приведение к L – диагональному виду линейной подстановкой
Рассмотрим уравнение второго порядка
(3.1.1)
(функцию p(t),будем предполагать вещественной). Полагая
заменим дифференциальное уравнение (3.1.1) эквивалентной системой уравнений
(3.1.2)
Матрицы A(t) системы уравнений (3.1.2) имеет вид
.
Составим характеристическое уравнение:
Так как, по предположению, , существует такой замкнутый интервал , в котором и, следовательно, характеристическое уравнение не имеет кратных корней. Рассмотрим отдельно два случая.
1) при . В этом случае матрица A(t) в интервале имеет вещественные собственные числа и . Составляющие первого собственного вектора можно принять равными {1, }, составляющие второго собственного вектора – соответственно {1, }. В соответствии с теоремой (2) приведение системы дифференциальных уравнений (3.1.2) к L – диагональному виду достигается линейной подстановкой
(3.1.3)
Действительно, осуществляя в уравнениях (3.1.2) подстановку (3.1.3), получим систему дифференциальных уравнений
(3.1.4)
в которой коэффициенты, не лежащие на главной диагонали, суммируемые в интервале , т.е. L – диагональную систему уравнений.
В данном случае разность не меняет знака при функции и непрерывны при и, следовательно, условия теоремы (1) выполняются. Таким образом, дифференциальные уравнения (3.1.3), в соответствии с теоремой (1), имеют одно решение вида
(3.1.4)
и второе решение вида
(3.1.5)
где когда
Подставляя (3.1.4) и (3.1.5) в (3.1.3), найдём, что дифференциальное уравнение (3.1.1) при имеет одно решение, у которого
(3.1.6)
и второе решение, у которого
(3.1.7)
Итак, при дифференциальное уравнение (3.1.1) имеет два решения, для одного из которых имеют место асимптотические формулы
(3.1.8)
для второго - асимптотические формулы
(3.1.9)
Пользуясь формулами (2.1.7) и (2.1.9), можно построить асимптотические разложения для функций , а затем, в соответствии с формулами (3.1.6) и (3.1.7), асимптотические разложения для решений дифференциального уравнения (3.1.1). В данном случае
Таким образом,
Формулы (2.1.7) в данном случае принимают вид:
(3.1.10)
Заменяя в формулах (3.1.6) и (3.1.7) функции их асимптотическими разложениями (2.1.9), получим для первого из рассматриваемых нами решений дифференциального уравнения (3.1.1) асимптотические ряды
(3.1.11)
а для второго из решений – ряды
(3.1.12)
где - функции, последовательно определяемые формулами (3.1.10).
В рассматриваемом случае
В то же время
при и расходится при
т.е. Таким образом, условие сходимости (2.1.8) в данном случае принимает вид
(3.1.13)
2) В этом случае , Приведение системы дифференциальных уравнений (3.1.2) к L – диагональному виду достигается линейной подстановкой
(3.1.14)
Осуществляя в уравнениях (3.1.2) подстановку (3.1.14), получим L – диагональную систему дифференциальных уравнений
(3.1.15)
Разность и в этом случае не меняет знака при будучи тождественно равной нулю, и в соответствии с теоремой (1) дифференциальные уравнения (3.1.15) имеют одно решение вида
(3.1.16)
и второе решение вида
(3.1.17)
где когда
Подставляя (3.1.16) и (3.1.17) в (3.1.14), найдём, что дифференциальное уравнение (3.1.1) при имеет одно решение, у которого
(3.1.18)
и второе решение, у которого
(3.1.19)
В рассматриваемом случае все функции
тождественно равны нулю, и формулы (2.1.7) принимают вид (3.1.20):
Заменяя в формулах (3.1.18) и (3.1.19) функции их асимптотическими разложениями (2.1.9), получим для первого из рассматриваемых нами решений дифференциального уравнения (3.1.1) асимптотические ряды
(3.1.21)
а для второго из решений – ряды
(3.1.22)
где - функции, последовательно определяемые формулами (3.1.20).
В данном случае
а так как все интегралы равны нулю. Таким образом, ряды (3.1.21) и (3.1.22) сходятся абсолютно и равномерно в бесконечном интервале , если T удовлетворяет неравенству
(3.1.23)
Как видно из формул (3.1.20),
(3.1.24)
Действительно, если соотношения (3.1.24) справедливы при каком-либо значении индекса l, то согласно (3.1.20) они справедливы и при следующем значении этого индекса, в то же время при l=0 соотношения (3.1.24) выполняются. Таким образом, построенные нами решения (3.1.21)и (3.1.22) дифференциального уравнения (3.1.1) являются комплексно-сопряжёнными. Вместо комплексно-сопряжённых решений (3.1.21) и (3.1.22) можно ввести в рассмотрение два вещественных решения дифференциального уравнения (3.1.1), определяемые рядами
(3.1.25)
и
(3.1.26)
Для этих двух вещественных решений дифференциального уравнения (3.1.1) справедливы, в частности, асимптотические формулы
(3.1.27)
и
(3.1.28)
так как, согласно (3.1.20), все функции стремятся к нулю при неограниченном возрастании переменной t.
3.2 Приведение к L – диагональному виду линейной подстановкой
Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка
в любом конечном интервале
(3.2.1)
Заметим предварительно, что из условий суммируемости, указанных в (3.2.1), следует расходимость интеграла
(3.2.2)
Действительно, если предположить, что , то
Так как в этом случае и . Но если функция имеет производную, суммируемую в интервале , то функция стремится к отличному от нуля пределу и, следовательно, не может быть суммируемой в интервале . Мы приходим к противоречию, чем и доказывается расходимость интеграла По условиям суммируемости, указанным в (3.2.1), функция имеет производную, суммируемую в интервале , и
(3.2.3)
Действительно, если бы функция при стремилась к отличному от нуля пределу, то интеграл
расходился бы согласно (3.2.2). Далее,
.
Функция непрерывна при , следовательно, если хотя бы в одной точке функция p(t) отлична от нуля, то функция непрерывна в любом конечном интервале . Таким образом, отбросив тот случай, в котором функция p(t) тождественно равна нулю при [в этом случае теряют смысл условия, указанные в (3.2.1)], мы придём к тому выводу, что функция p(t) должна быть положительной и непрерывной вместе со своей первой производной в любом конечном интервале .
Полагая заменим дифференциальное уравнение (3.2.1) эквивалентной системой дифференциальных уравнений
(3.2.4)
В данном случае
.
Чтобы построить матрицу B(t), из произвольной системы собственных векторов матрицы A(t) сперва составим матрицу , а затем будем искать B(t) в виде произведения , где - диагональная матрица. Полагая
найдём
Как мы показали выше, для определения элементов матрицы следует приравнять их логарифмические производные диагональным элементам матрицы , взятым с обратным знаком. В данном случае получим уравнения
Полагая , найдём
(3.2.5)
Строим, далее, матрицу G(t):
(3.2.6)
В соответствии с формулами (3.2.1) и (3.2.2), по матрице G(t) строим матрицу S(t).
(3.2.7)
Элементы матриц
и
суммируемы в интервале в соответствии с условиями суммируемости, указанными в (3.2.1). В то же время
Согласно (3.2.3) и существует такой интервал , в котором . В соответствии с теоремой (3) система дифференциальных уравнений (3.2.4) в интервале приводится к L – диагональному виду линейной подстановкой .
Согласно (3.2.5) и (3.2.7) эта линейная подстановка имеет вид
(3.2.8)
Действительно, осуществляя в уравнениях (3.2.4) подстановку (3.2.8), получим систему дифференциальных уравнений (3.2.9)
в которой все коэффициенты, не лежащие на главной диагонали, суммируемы в интервале . Разность в данном случае не меняет знака при , будучи тождественно равной нулю; функция p(t) непрерывна в любом конечном интервале , и в соответствии с теоремой (1) дифференциальные уравнения (3.2.9) имеют одно решение вида
(3.2.10)
и второе решение вида
(3.2.11)
где и , когда .
Подставляя (3.2.10) и (3.2.11) в (3.2.8), найдём, что дифференциальное уравнение (3.2.1) имеет одно решение, у которого
(3.2.12)
и второе решение, у которого
(3.2.13)
Пользуясь методом, изложенным в п.1 второй главы, можно построить асимптотические разложения для функций , фигурирующих в формулах (3.2.12) и (3.2.13). Отделяя вещественную и мнимую части в каком-либо из двух комплексных решений (3.2.12) и (3.2.13) дифференциального уравнения (3.2.1), получим два вещественных решения этого дифференциального уравнения, для которых справедливы, в частности, асимптотические формулы
(3.2.14)
и
(3.2.15)
так как, согласно (3.2.3), произведение стремятся к нулю при неограниченном возрастании переменной t.
Укажем некоторые примеры функций p(t), удовлетворяющих условиям, указанным в (3.2.1).
1) Условиям, указанным в (3.2.1), удовлетворяет функция
если в бесконечном интервале
.
Действительно, в этом случае
и при
2) Функция p(t) удовлетворяет условиям, указанным в (3.2.1), если при не меняют знака, начиная с какого-либо достаточно большого значения переменной t, и В этом случае можно указать такое достаточно большое τ, что при , а производные не меняют знака. При этом значении τ , так как
Следовательно, и
В то же время и , так как
3.3 Простой пример
В качестве примера рассмотрим следующее дифференциальное уравнение:
Условия, налагаемые на уравнение, примут вид:
Легко видеть, что данное условие выполняется при Полагая заменим исходное дифференциальное уравнение эквивалентной системой уравнений
Приведение нашей системы дифференциальных уравнений к L – диагональному виду достигается линейной подстановкой
Действительно, осуществляя в уравнениях указанную подстановку, получим систему дифференциальных уравнений
которая является L – диагональной.
Далее, выполняя указанные преобразования, получим асимптотику решений при :
Таким образом, не имея точного решения данного дифференциального уравнения, мы оценили поведение решений при .
Для первого решения имеем следующий график:
Рисунок 1
Для второго решения имеем следующий график:
Рисунок 2
Мы видим, что наше приближенное решение действительно приближается к найденным асимптотам.
Данные рисунки выполнены с помощью математического пакета Mathcad 13.
В работе рассмотрен один из методов исследования асимптотического поведения решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Идея этого метода заключается в преобразовании заданной системы дифференциальных уравнений к специальному виду, названному L – диагональным. Такого рода преобразование в ряде случаев может быть выполнено путём элементарных линейных подстановок. Построение асимптотических разложений для решений линейных дифференциальных уравнений после преобразования их к L – диагональному виду выполняются чрезвычайно просто. Также в работе приведены общие сведения об асимптотических разложениях, решена задача о нахождении оптимального алгоритма поиска асимптотик для систем дифференциальных уравнений второго порядка.
Как мы видим, предложенный метод успешно реализуется на конкретных задачах. Основное достоинство этого метода в том, что он сочетает в себе эффективность и распространённость применения.
Список использованной литературы
- Вазов, В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений / В.Вазов – М.: Мир, 1968.
- Зайцев, В. Ф. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин — М.: Физматлит, 2001. —576 с
- Калинин, В. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения (пособие для практических занятий) / В.Ф. Калинин – ФГУП Изд-во «Нефть и газ» РГУ нефти и газа им. И. М. Губкина, 2005. – 68 с.
- Камкэ, А. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / А. Камкэ – М.: Наука, 1976.
- Коддингтон, Э.А. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Коддингтон Э.А., Н. Левинсон – М.: ИЛ, 1958.
- Краснов, М. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Задачи и примеры с подробными решениями / М.Л Краснов., А.И Киселев., Г.И. Макаренко — М.: Едиториал УРСС, 2002. — 256 с.
- Кузьмина, Р. П. Асимптотические методы для обыкновенных дифференциальных уравнений / Р.П. Кузьмина - М.: Едиториал УРСС, 2003.
- Матвеев, Н. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. / Н. Матвеев - М: Высшая Школа, 1967.- 557c
- Найфэ, А. Методы возмущений / А. Найфэ – М.: Мир, 1976.
- Пантелеев, А.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения в примерах и задачах / А.В. Пантелеев, А.С. Якимова, А.В. Босов - М.: Изд-во МАИ, 2000.- 380с.
- Понтрягин, Л.С. Асимптотическое поведение решений системы дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных, Известия Ак. наук СССР, серия метем, 21(1957).
- Пушкарь, Е. А. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие. – М.: МГИУ, 2007. – 254 с.
- Рапопорт, И.М. О некоторых асимптотических методах в теории дифференциальных уравнений / И.М. Рапопорт – Киев.: Академии наук Украинской ССР, 1954.
- Рапопорт, И.М. Об асимптотическом поведении решений линейных дифференциальных уравнений, ДАН СССР, Киев, 1951 г.
- Самойленко, А.М., Дифференциальные уравнения: примеры и задачи / А.М. Самойленко, С.А. Кривошея, Н.А. Перестюк – М.: Высшая школа, 1989. – 383 с.
- Тамаркин, Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений и о разложении произвольных функций в ряды / Я.Д. Тамаркин - Санкт-Петербург, 1971 г.
- Федорюк, М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений / М.В. Федорюк– М.: Наука, 1983.
- Фещенко, С.Ф. Асимптотические методы в тоерии линейных дифференциальных уравнений / C. Ф. Фещенко, Н.И. Шкиль,Л.Д. Николенко – Киев: Наукова думка, 1966.
- Хартман, Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Мир, 1970.
- Эльсгольц, Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление / Л.Э. Эльсгольц — М.: Наука, 1969. – 424 с.
Скачать: