Привет студент

Дипломная работа

Элементы геометрии Галилея

 
 

 

Содержание

                                                                                                                

Введение ………………………………………………………………….. 3

 

Глава 1.   Простейшие геометрии аффинного типа ... 5

• Теоретико-групповой подход к геометрии .…………………… 5
• Аффинные преобразования и его свойства …………………… 6

 

Глава 2.   Геометрия Галилея …………...……………………….. 10

           2.1.   Определение геометрии Галилея …………………………….. 10

           2.2.   Расстояние между точками……………………………………. 15

          2.3.   Окружность ………………………...………………………….. 18

           2.4.   Угол между прямыми …………...……………………………. 20

           2.5.   Треугольник …………….…………………………………….. 23

           2.6.   Принцип двойственности …………………………………….   29

 

Глава 3. Геометрия Галилея и дуальные числа ……… 43

           3.1.   Определение дуальных чисел и действий над ними ……….. 43

           3.2.   Геометрическое изображение дуальных чисел. Дуальная

           плоскость ………………………………………….............................   47

           3.3.   Решение задач ………………...……………………................   57

 

Глава 4. Факультативные занятия по математике…   59

           4.1. История появления, значение и виды факультативов ……….  59

             4.2. Авторская программа факультатива на тему: «Геометрия

                   Галилея и дуальные числа»……………………………………     61

 

Заключение ……………………………………………………………... 69

 

Литература ……………………………………………………………..... 70

Введение

 

          Хорошо известно, что содержание геометрии в процессе ее исторического развития неоднократно менялось. В течении столетий единственная цель геометрических исследований виделась в возможно более полном исследовании свойств «обычного» трехмерного пространства Евклида. Несмотря на то, что в рамках такого понимания геометрии созрели иные точки зрения, не укладывающиеся в привычную схему, до создания неевклидовой геометрии Лобачевского, не возникло никаких сомнений в универсальности самого понятия евклидова пространства.

          После появления неевклидовой геометрии Н. И. Лобачевского укрепилось мнение, что возможны всего две равноправные геометрические системы ­– Евклида и Лобачевского; сами творцы неевклидовой геометрии были в этом твердо убеждены. Однако эта точка зрения просуществовала недолго: 19 век был периодом бурного развития геометрических учений.

          Существует несколько видов: «обычная» геометрия Евклида, «гиперболическая» геометрия Лобачевского, «эллиптическая» геометрия Римана и другие. Одной из «простейших» неевклидовых геометрий, с которой можно познакомить школьников, является геометрия Галилея на плоскости. Данная геометрия интересна тем, что существует непосредственная связь с теорией дуальных чисел.

        В последнее время в практике работы школы получили большое распространение авторские, экспериментальные и другие программы, предназначенные для учащихся, проявляющих интерес и способности к изучению математики. Это программы содержат нетрадиционные для школьного курса математики вопросы (основы теории вероятности и математической статистики, математической логики, линейного программирования, элементы начертательной геометрии и т.д.). Интересны в этом отношении вопросы, связанные с завершением изучения понятия чисел. В ряде программ (в том числе и в действующей программе для школ с углубленным изучением математики) предусматривается тема «Комплексные числа». Логическим продолжением этой темы является знакомство учащихся с системами дуальных чисел.

        Тема данной работы является актуальной, так как ознакомление учащихся, интересующихся математикой, с одной из геометрических систем, отличных от хорошо известной им геометрии Евклида, способствует повышению их математической культуры и имеет большое воспитательное значение.

          Целью работы является изучение основных фактов геометрии Галилея на плоскости и дуальных чисел.

        Достижение цели предусматривает решение следующих задач:

• подобрать и изучить научную и учебно-методическую литературу по теме выпускной квалификационной работы;
• рассмотреть простейшие фигуры на плоскости Галилея и доказать их свойства;
• изучить понятия «дуальное число», «основные операции над дуальными числами», показать, что геометрией дуальной плоскости является геометрия Галилея;
• разработать факультативный курс по теме выпускной квалификационной работы.

 

 

 

Глава 1. Простейшие геометрии аффинного типа

 

• Теоретико-групповой подход к геометрии

 

         Теория геометрических преобразований лежит в основе общего определения геометрии.

           Пусть дана группа преобразований некоторого непустого множества

. Две фигуры и называются – эквивалентными, если в группе найдется такое преобразование , что .

           Понятие – эквивалентности является отношением эквивалентности на множестве всех подмножеств множества .

           Например, если – множество точек плоскости, а – группа движений, то – эквивалентность заменяется термином «равенство», если – подобие, то – аффинное преобразование, то – эквивалентность – аффинная эквивалентность.

           Пусть - данная фигура. Те свойства фигуры , которые сохраняются при любых преобразованиях из , инвариантными (при всех) свойствами фигуры относительно группы .

           Геометрия – наука, изучающая такие свойства фигур, которые остаются инвариантными при всех преобразованиях некоторой группы.

Схема включения изученных групп

преобразований плоскости:

Группа преобразований плоскости

Группа аффинных преобразований

Группа подобий

Группа движений

Группа движений 1 рода

Группа параллельных переносов

Группа подобий 1 рода

Группа гомотетий с общим центром

Группа поворотов с общим центром

 

 

 

 

Инварианты главных групп

преобразований плоскости:

	Расстояние между точками	Скалярное произведение векторов	Величина угла	Отношение отрезков	Отношение параллельных отрезков	Простое отношение 3 точек	Параллельность прямых
Группа движений плоскости
Группа подобий
Группа аффинных преобразований

 

 

Схема включения геометрий:

 

Евклидова геометрия

Аффинная геометрия

Геометрия группы подобия

                                                        

 

 

 

 

 

 

• Аффинные преобразования и его свойства

 

         Наиболее близкой к аффинной геометрии геометрией аффинного типа является геометрия с группой всех аффинных преобразований, сохраняющих ориентации.

         Мы будем называть эту геометрию специальной аффинной геометрией.

         «Евклидовым» вариантом специальной аффинной геометрии является специальная евклидова геометрия с группой всех сохраняющих ориентации ортогональных преобразований.

       Эта геометрия отличается от евклидовой геометрии только тем, что симметричные фигуры в ней считаются различными.

         Плоскость, в которой действует специальная аффинная (или специальная евклидова) геометрия, естественно называть специальной аффинной (соответственно – евклидовой) плоскостью.

         В этом смысле можно сказать, что специальные аффинные плоскости являются не чем иным, как ориентированными аффинными плоскостями.

       Однако, выбор двух различных ориентаций приводит к различным (хотя, конечно, изоморфным) специальным аффинным плоскостям. Поэтому, представляя себе специальную аффинную плоскость как ориентированную аффинную плоскость, надо постоянно следить за тем, чтобы результаты не зависели от выбора ориентации.

         Геометрия с группой всех аффинных преобразований плоскости. Оставляющих на месте некоторую точку , называется центроаффинной геометрией, а соответствующая плоскость – центрированной аффинной плоскостью.

         Центроаффинная геометрия отличается от аффинной геометрии тем, что точка играет в ней особую роль.

         Точки центрированной аффинной плоскости находятся в естественном биективном соответствии с векторами из (точке соответствует ее радиус - вектор ).поэтому в центроаффинной геометрии можно, в частности, говорить о сумме точек и о произведении точки на число (понятие, в общей аффинной геометрии смысла не имеющие).

           Вариантом центроаффинной геометрии, «различающим симметричные фигуры», является специальная центроаффинная геометрия с группой всех сохраняющих ориентации аффинных преобразований, оставляющих точку на месте.

         Евклидовым вариантом центроаффинной геометрии является центроевклидова геометрия с группой, состоящей из всех ортогональных преобразований, оставляющих точку на месте. Эта геометрия совпадает с «метрической геометрии векторов» из . В ней имеют смысл понятия длины точки и угла между двумя точками (впрочем, обычно длину точки, то есть длину соответствующего радиус – вектора, называют нормой точки, а угол между двумя точками, то есть угол между соответствующими радиус – векторами, - угловыми расстояниями между этими точками).

         Пусть – произвольное аффинное преобразование плоскости. В некоторой системе аффинных координат , с репером это преобразование выражается формулами:

, где , .

Определитель матрицы не зависит от выбора репера . Этот определитель мы будем называть определителем аффинного преобразования и будем его обозначать символом или .

       Геометрический смысл определителя аффинного преобразования выясняется следующим предложением:

         Предложение 1. Пусть – произвольная плоская фигура и пусть – фигура, получающаяся из нее аффинным преобразованием . тогда площадь фигуры равна площади фигуры , умноженной на абсолютную величину определителя преобразования : .

         Доказательство. Выберем на плоскости некоторую прямоугольную систему координат . Тогда, как известно из анализа, площадь фигуры Х будет равна абсолютной величине интеграла .

       Чтобы перейти от геометрии подобия к евклидовой геометрии, достаточно выбрать эталон длины.

          Ряд более или менее интересных вариантов геометрии подобия мы получим, накладывая на преобразования подобия те или иные дополнительные требования (сохранение ориентаций, сохранение данной точки ).

         В геометрии, основывающейся на сохраняющих ориентации преобразованиях подобия (специальной геометрии подобия), имеет смысл понятия ориентированного угла.

         Поскольку, любое сохраняющее ориентации преобразование подобия записывается в комплексной координате формулой .

         Специальная геометрия подобия по существу совпадает с аффинной геометрией комплексной прямой.

        Наложение условия эквиаффинности снова приводит к евклидовой геометрии, поскольку, как легко видеть, преобразование подобия тогда и только тогда эквиаффинно, когда оно ортогонально.

         Поскольку любое эквиаффинное преобразование переводит любое направление на плоскости (пучок параллельных прямых) снова в некоторое направление, имеет смысл говорить об аффинных преобразованиях, оставляющих на месте данное направление .

         Все такие преобразования образуют подгруппу группы аффинных преобразований.

         Соответствующую геометрию мы будем называть аффинной геометрией с особыми прямыми, поскольку прямые направления играют в ней особую роль.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 2. Геометрия Галилея

 

2.1. Определение геометрии Галилея

 

         Поскольку любое аффинное преобразование переводит любое направление на плоскости снова в некоторое направление, интересно рассмотреть аффинные преобразования, которые сохраняют данное направление (особое направление).

         Множество таких преобразований плоскости образуют группу, а соответствующую геометрию называют геометрией Галилея.

         Если за особое направление выбрать ось , то преобразование Галилея задается формулами:

                                                                                                                                (1)

           В дальнейшем нас будут интересовать лишь те свойства фигур плоскости , которые сохраняются при преобразовании (1) (другими словами, сохраняются при сдвигах , (1а) в направлении оси и при параллельных переносах (1б)): лишь такие свойства фигур имеют геометрический смысл в рассматриваемой нами необыкновенной геометрии.

         Сама эта геометрия возникла из механических рассуждений, связанных с принципом относительности Галилея, так что слова «имеют геометрический смысл» в нашем случае означает: «имеют механический смысл».

         Перечислим основные свойства «движений» (1). Заметим, что преобразования (1) переводят каждую прямую линию снова в прямую линию, параллельные прямые снова в параллельные прямые, 2 отрезка и одной прямой такие отрезки и , что , каждую фигуру в каждую фигуру той же площади.

         Поэтому понятие прямой линии, параллельных прямых, отношение отрезков одной прямой, площади фигуры имеют смысл не только в обычной геометрии, но и в геометрии Галилея.

         Очень важно также то, что каждое преобразование (1) переводит любую прямую, параллельную оси , снова в прямую, параллельную оси , - так что если в геометрии Евклида понятие «прямая параллельная оси » является геометрически бессодержательным (ибо обычным движением такую прямую можно перевести в любую другую; см. рис.1, а), то в геометрии Галилея параллельные оси прямые играют особую роль (на рисунке 1,б показано, что сдвиг (1а) переводит прямую , параллельную оси , в прямую , не параллельную этой оси).

                             а)                                                       б)

                                                     Рисунок 1

В дальнейшем мы сохраним термин «прямая», не сопровождаемый никакими прилагательными, только за прямыми, не параллельными оси ; параллельные же оси прямые мы будем называть особыми прямыми.

         Для доказательства всех перечисленных свойств движений (1) достаточно проверить, что ими обладают сдвиги (1а), поскольку параллельные переносы (1б) заведомо всеми этими свойствами обладают.

         Прямую, параллельную оси , сдвиг переводит также в параллельную оси , - а именно в ту же самую прямую. Далее, пусть сдвиг (1а) с коэффициентом сдвига переводит точку прямой , проходящей через начало координат , в точку (рис. 2). Обозначим прямую через , точки пересечения любой параллельной оси прямой с прямыми

Рисунок 2

и – через и , а точки пересечения прямых и с осью (которую мы всегда будем изображать перпендикулярной оси [1] ) – через и . Из рис. 2 легко получим . Но так как точка получается из точки сдвигом (1а), то . Используя опять рис. 2 (на котором и ), имеем ,

то есть

.

Но это как раз и означает, что каждую точку прямой наш сдвиг переводит в точку прямой , т.е. что он переводит прямую в прямую .

           Пусть теперь – прямая, параллельная прямой и не проходящая через точку (см. тот же рис. 2). Обозначим через длину (обычную, т. е. измеряемую как в евклидовой геометрии!) равных между собой вертикальных (т. е. параллельных оси ) отрезков , , , …, заключенных между прямыми и . Вспомним, что сдвиг (1а) сводится к переносу вдоль каждой прямой, параллельной оси , всех точек этой прямой на одно и то же расстояние (но точек разных прямых – на разные расстояния); поэтому все отрезки этот сдвиг переведет в отрезки принадлежат

, , , … той же длины:

.

А так как концы , , , … этих отрезков прямой (в которую наш сдвиг переводит прямую ), то вторые их концы , , , … попадут на прямую , параллельную прямой и отстоящую от на расстояние в направлении оси . Отсюда и следует, что сдвиг (1а) переведет прямую в прямую . Попутно мы убедились, что все прямые, параллельные фиксированной прямой , сдвиг (1а) переводит в прямые, параллельные прямой [2], то есть что параллельные прямые сдвиг переводит в параллельные. Еще проще доказать, что если отрезки и какой-то прямой сдвиг (1а) переводит в отрезки и прямой , то ; доказательство этого факта непосредственно вытекающее из рис. 3.

         Заметим заодно, что если и – параллельные друг другу отрезки, то сдвиг переводит их в такие отрезки и (также параллельные), что (см. тот же рис. 3, где , , так как параллелограмм переходит в параллелограмм ); отсюда следует, что также и

                             Рисунок 3

понятие отношения длин параллельных отрезков имеет смысл в геометрии Галилея. Однако, если , то сдвиг может перевести отрезки и в такие отрезки и , что (см. рис. 3, где

, но ).

         Наконец, площадь фигуры приближенно равна сумме площадей помещающихся внутри «маленьких» квадратов, образованных сетью

прямых, параллельных осям и и отстоящих друг от друга на одно и то же расстояние е (т.е. приближенно равно числу таких квадратов, умноженному на площадь одного квадрата, - рис. 4, наверху); точное же значение площади определяется как предел полученных таким образом величин, отвечающих последовательности неограниченно уплотняющихся сеток квадратов (т.е. таких, что величина е неограниченно уменьшается). Сдвиг (1а) переводит фигуру в новую фигуру , а сетку квадратов – в сетку параллелограммов той же площади (см. рис. 4, внизу) – ведь параллельная оси сторона параллелограмма будет той же, что и сторона квадрата, а опущенная на эту сторону высота параллелограмма также равна стороне квадрата. Поэтому приближенное значение площади фигуры , равное произведению числа помещающихся внутри параллелограммов сетки на площадь одного

                   Рисунок 4

параллелограмма, будет тем же, что и приближенное значение площади фигуры . А так как приближенное равенство имеет место при любой точности определения площадей фигур и (зависящих от размера квадрата сетки), то, очевидно,

.

 

 

2.2. Расстояние между точками

                  

         В евклидовой геометрии расстояние между двумя точками и определяется формулой

                                         ;                                           (2)

при этом равенство нулю расстояния между двумя точками означает, что эти точки совпадают. Угол между двумя прямыми и , записываемые уравнениями и , можно определить по формуле

                                             ,                                                         (3)

- это следует из того, что прямые и образуют с осью углы и , определяемые равенствами и , так что

.

Если , то прямые и параллельны; в этом случае определенный по формуле (3) «угол» между прямыми равен нулю. Для параллельных прямых можно говорить о расстоянии между этими прямыми:

                                             ,                                                             (4)

ибо , есть высекаемый прямыми и отрезок , а , где – угол, образованный и с осью . При этом следует иметь в виду, что хотя обе величины и определяют «отклонение» прямых и друг от друга, они имеют совершенно разный характер: угол измеряется в «угловых единицах» (в градусах или в радианах), а расстояние – в единицах длины (в метрах или сантиметрах). Поэтому эти величины сравнивать между собой нельзя; так, например, вопрос: «прямые и образуют угол в (рис. 5, а), а (параллельные) прямые и удалены друг от друга на 15 см (рис. 5, б);

           а)                       б)

                 Рисунок 5

что больше – отклонение друг от друга прямых и или отклонение друг от друга прямых и ?» - явно бессмыслен. Заметим еще, что расстояние (4) между прямыми может быть определено лишь в том случае, если определяемый формулой (3) угол между этими прямыми равен нулю; прямые и совпадают между собой лишь в том случае, если угол между ними равен нулю и, кроме того, равно нулю и расстояние между этими прямыми.

         После этих предварительных замечаний, относящихся к геометрии Евклида, можно перейти к нашей основной теме. Расстояние между двумя точками и в геометрии Галилея определяется по формуле

                                                        ;                                                   (5)

оно равно проекции отрезка на ось (рис. 6, а). Так как координата точки преобразуется при движении (1) по формуле ,

                   а)                                                                            б)

                                                  Рисунок 6

то, ясно, что разность абсцисс двух точек и при движении (1) не меняется. [Так же и из чисто геометрических соображений нетрудно усмотреть, что проекция отрезка на ось имеет смысл в нашей геометрии: ведь и параллельный перенос (1б), и сдвиг (1а), очевидно, сохраняют величину этой проекции].

          Если расстояние между точками и равно нулю, то есть , то точки и принадлежат одной особой прямой (прямой, параллельной оси

; рис. 6, б). Для таких двух точек можно определить особое расстояние между точками:

                                                 .                                                    (6)

В самом деле, если абсциссы двух точек и одинаковы (если ), то произвольное движение (1) преобразует их в точки и

, где и , ; поэтому ,

т.е. разность не меняется при движении, а, следовательно, имеет на плоскости Галилея геометрический смысл. Однако, если расстояние   между точками и отлично от нуля, т.е. абсцисс этих точек различны, то разность ординат этих точек не сохраняет своей величины при движении, ибо в этом случае

.

Да это и понятно – ведь сдвиг (1а) оставляет на месте начало системы координат и меняет ординату любой точки , не принадлежащей оси ; поэтому он никак не может сохранять разность ординат точек и .

              Очевидно, что две точки и плоскости Галилея совпадают в том и только в том случае, когда равно нулю как расстояние между этими точками, так и особое расстояние между ними.

 

 

2.3. Окружность

 

             Окружностью плоскости Галилея мы назовем множество точек , удаленных от фиксированной точки на постоянное (по абсолютной величине) расстояние ; при этом точка называется центром окружности, а (неотрицательное) число – ее радиусом. Так как (см. формулу (5)), то уравнение окружности имеет вид

или

                                                      ,                                                (7)

где

                                                     , .                                           (7a)

Ясно, что окружность радиуса с центром представляет собой совокупность двух особых прямых, отстоящих от точки на расстояние (рис. 7, а); если радиус r окружности обращается в нуль, то эти две прямые сливаются в одну (рис. 7, б). Заметим еще, что окружность геометрии Галилея имеет строго определенный радиус (равный половине расстояния между образующими эту окружность прямыми), но бесконечно много центров: любую точку особой прямой, содержащей точку , можно принять за центр этой окружности (см. тот же рис. 7).

 

                         а)                                                                             б)

                                                            Рисунок 7

2.4. Угол между прямыми

 

         Угол между прямыми и , пересекающимися в точке , можно определить как длину заключенной между прямыми и дуги окружности единичного радиуса с центром в точке (ср. относящиеся к геометрии Евклида и к геометрии Галилея рис. 8, а и рис. 8, б; ясно, что под «длиной дуги» окружности геометрии Галилея надо понимать «особую длину» отрезка , т.е. особое расстояние между точками и содержащей их особой прямой). Определенная таким образом величина угла, очевидно, имеет смысл в геометрии Галилея, т.е. сохраняется при движениях (1):

                     а)                                                                           б)

                                                     Рисунок 8            

ведь точку пересечения прямых и движение переводит в точку пересечения полученных из и движением прямых и , а единичную окружность и дугу этой окружности – в единичную окружность с центром и в дугу окружности (рис. 9). Это определение угла между прямыми в геометрии Галилея равносильно следующему: для того, чтобы

                             Рисунок 9

найти угол между прямыми и , достаточно провести особую прямую , удаленную от вершины угла на расстояние и пересекающую стороны угла в точках и ; тогда

.

         Если уравнения прямых и имеют привычный вид и , а координаты точки равны и , то уравнение прямой таково: . Поэтому точки и будут иметь координаты: ( ; ( ) ) и ( ; ( ) ), а, следовательно,

= = [ ( )+ ] – [ ( ) + ] = [( ) ( )] (ибо ( ; ) – общая точка прямых и и поэтому = = ). Таким образом, окончательно имеем

                                                       ;                                                 (8)

эта формула значительно проще формулы (3) для величины угла между прямыми в евклидовой геометрии.

         Если одну из прямых и , например , поворачивать вокруг точки , устремляя ее к особой прямой , то угол будет неограниченно возрастать (рис. 10) – явление, которое противоречит нашим представлениям,

    

                          Рисунок 10

 

заимствованным из геометрии Евклида. Укажем еще, что в противоположность евклидову случаю «галилеев угол» между двумя прямыми и определяется однозначно (см. рис. 8, а и б) – это обстоятельство делает весьма многие рассмотрения, относящиеся к геометрии Галилея, существенно более простыми, чем соответствующие им факты евклидовой геометрии.

         Если прямые и параллельны, то определяемый по формуле (8) угол , между этими прямыми равен нулю. Однако в этом случае можно говорить о расстоянии , между (параллельными) прямыми и , понимая под этим (особую) длину заключенного между прямыми и отрезка особой прямой (любой; рис. 11): так как особые прямые переводятся движениями (1) снова в особые прямые, то определенное таким образом расстояние имеет смысл в геометрии Галилея. Если уравнения рассматриваемых прямых и имеют вид и , то, очевидно,

                                                 =                                                                (9)

эта формула также значительно проще соответствующей формулы (4) евклидовой геометрии.[3]

 

  

                  Рисунок 11

 

 

2.5. Треугольник

 

         Простейшей фигурой плоскости Галилея является треугольник , образованный тремя точками , и и тремя соединяющими их (обыкновенными) прямыми , , (рис. 12). При этом мы, как это принято в геометрии Евклида, условимся обозначать теми же буквами

  

             Рисунок 12

, и , также длины сторон треугольника , то есть расстояния | | = ,     | | = и | | = ; буквами , и мы будем обозначать не только точки плоскости – вершины треугольника, но и вершины его углов: | | = , | | = , | | = . Отметим еще, что иногда для обозначения (положительной) длины | | некоторого отрезка мы будем употреблять ту же запись , что и для самого отрезка (например, такая запись будет встречаться в некоторых равенствах, содержащих длины сторон треугольника).

         Длины , и сторон треугольника плоскости Галилея и величины , и его углов не независимы: они связаны некоторыми очень простыми соотношениями. Прежде всего, очевидно, что если - наибольшая из трех сторон, то (см. рис. 12)

                                                   .                                                     (10)

         Механический смысл этого равенства очевиден: если , и - какие угодно три события, то временной интервал между самым ранним и самым поздним из них равен сумме интервалов между первым и вторым событиями и между вторым и последним событиями (аддитивность временных интервалов).

         С другой стороны, из того же рис. 12, на котором || и, следовательно, и , непосредственно следует

                                                         .                                                 (11)

Для того, чтобы раскрыть механический смысл этого соотношения, выберем (инерциальную) систему отсчета так, чтобы стороне треугольника отвечал «покой»[4]; при этом углы и будут выражать скорости равномерных движений, изображаемых на плоскости Галилея прямыми и , а угол - относительную скорость движения по отношению к подвижной системе отсчета, задаваемой движением (иными словами: скорость движения в такой системе отсчета, в которой прямая изображает покой). Поэтому формула (11) выражает классический закон сложения скоростей: абсолютная скорость движения равна сумме относительной скорости того же самого движения по отношению к движущейся системе отсчета и переносной скорости, то есть скорости подвижной системы отсчета. Пусть, например, человек идет вдоль вагона движущегося поезда по направлению от конца поезда к его головной части. Тогда скорость пассажира относительно железного полотна (то есть его «абсолютная скорость») равна скорости движения пассажира по вагону (его «относительной скорости»), сложенной со скоростью поезда («переносной скоростью», характеризующей движение подвижной системы отсчета, по отношению к которой отсчитывается относительная скорость).

          «Формула углов» (11) может быть выведена из «формулы сторон» (10) с помощью следующего соотношения, играющего в геометрии Галилея роль, родственную роли теоремы синусов в геометрии Евклида:

                                             .                                                           (12)

Таким образом, длины сторон любого треугольника плоскости Галилея пропорциональны величинам противоположных углов

                                   , , ,                                             (13)

где - коэффициент пропорциональности; поэтому формула (10) получается из формулы (11) умножением обеих частей формулы (11) на .

           Для доказательства формул (13) достаточно провести «высоты» , и треугольника , то есть особые прямые, проходящие через вершины , и треугольника и пересекающие его противоположные стороны в точках , и . Длины высот, как принято и в евклидовой геометрии, мы обозначим через , и :

= = | |,

= = | |,

= = | |.

В силу определения углов в геометрии Галилея, очевидно, имеем:

                                                                                                      (14)

(рис. 13, а; напомним, что и ); поэтому .

Точно так же с использованием высот и доказывается, что , .

         Вот еще одно следствие соотношений (14). Нетрудно видеть, что если - площадь треугольника (это понятие, как мы знаем, сохраняет смысл и в геометрии Галилея!), то

                                             .                                     (15)

В самом деле, «повернем» (при помощи некоторого движения (1)) треугольник в такое положение , чтобы сторона треугольника была параллельна оси (рис. 13,б).

 

                               а)                                                                б)

                                                  Рисунок 13

При этом «галилеева длина» стороны преобразованного треугольника и его «галилеева высота» станут равными «евклидовой длине» высоты , так что

,

где - площадь треугольника (одновременно «галилеева» и «евклидова» - ведь в геометрии Галилея понятие площади имеет тот же смысл, что и в геометрии Евклида!). Но поскольку величины , и имеют смысл в геометрии Галилея, то они не меняются при движениях (1): , и (ср. рис. 13, а и б), а значит, . Аналогично доказываются и две другие из формул (15).

         Подставляя теперь в первую из формул (15) , а в третью – значения (14) высоты , получим

                                    .                                           (16)

Формулы (16) родственны формулам

                                                                (16')

евклидовой геометрии.

Из формул (12) сразу вытекает, что известное свойство равнобедренного треугольника евклидовой геометрии сохраняет силу и в геометрии Галилея: если стороны и треугольника равны между собой, то равны и противолежащие им углы и и наоборот (ибо ; см. рис. 14). Очевидно также, что высота равнобедренного треугольника одновременно является также и медианой, то есть она делит

                        Рисунок 14

противоположную сторону пополам. Однако биссектрисой угла прямая уже, очевидно, не является, ибо особая прямая делить угол пополам, разумеется, никак не может. Отсюда сразу следует, что три биссектрисы треугольника в геометрии Галилея не обязаны пересекаться в одной точке (рис. 15): так, на рис. 14 биссектрисы и углов и , очевидно, пересекаются в середине высоты , но прямая (то есть ), как мы уже отмечали, не совпадает с биссектрисой угла . В противоположность этому три медианы , и треугольника обязательно пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении : , считая от вершины: : = : = : = : . Это следует из того, что медианы треугольника геометрии Галилея совпадают с его евклидовыми медианами и отношения, в которых делит медианы точка их пересечения, имеют в геометрии Галилея и в геометрии Евклида одно и то же значение (рис. 16).  

                       Рисунок 15                                           Рисунок 16

        Отметим еще, что в геометрии Галилея не может быть треугольника, у которого все три стороны равны между собой: ведь если две стороны треугольника одинаковы, то третья обязательно равна их сумме! Аналогичное значение справедливо и для углов; поэтому равнобедренный треугольник можно также назвать равноугольным, так как равенство двух углов (а только такая «равноугольность» возможна в треугольнике) равносильно равнобедренности треугольника.

 

2.6. Принцип двойственности

 

         На самом деле геометрия Галилея проще геометрии Евклида; в частности, биссектрисы треугольника в геометрии Галилея обладают весьма простым и изящным свойством, которое вполне может компенсировать нам то, что здесь нет теоремы о точке пересечения биссектрис.

            
                 а)                                                           б)

                                                 Рисунок 17

         Вскоре это замечательное свойство биссектрис треугольника будет раскрыто. Но вначале поговорим об одной важной особенности геометрии Галилея, которая и поможет нам найти требуемое свойство биссектрис. Хорошо известно, что свойства прямых линий в геометрии Евклида во многом напоминают свойства точек: так, например, через две точки проходит единственная прямая (рис. 18, а), и две прямые могут пересекаться только в одной точке (рис. 18, б);

                        а)                                                      б)

                                              Рисунок 18

совокупность точек, принадлежащих данной прямой и расположенных между двумя точками и - отрезок (см. тот же рис. 18, а), - во многом родственна совокупности прямых, проходящих через данную точку и расположенных между прямыми и , - углу (рис. 18, б); треугольник можно описать, с одной стороны, как совокупность трех точек, не принадлежащих одной прямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки (рис. 19, а), и, с другой стороны, как совокупность трех прямых, не проходящих через одну точку, и трех углов, образованных этими прямыми (рис. 19, б), и т. д. Однако эта аналогия между свойствами точек и

             а)                                                                     б)

                                                Рисунок 19

свойствами прямых не заходит, к сожалению, особенно далеко; поэтому руководствоваться ею в выводе новых свойств точек или прямых было бы довольно рискованно. Основной причиной, нарушающей сходство между свойствами точек и прямых, является существование параллельных прямых, не имеющих ни одной общей точки: если бы свойства точек и прямых были во всем одинаковы, то таким прямым должны были бы отвечать «параллельные точки», то есть пары точек, которые нельзя соединить ни одной прямой, - но «параллельных точек» в геометрии Евклида нет. Другое различие между свойствами точек и прямых связано с тем, что расстояние между точками и может быть сколь угодно большим; если же увеличивать угол между прямыми и , поворачивая одну из этих прямых вокруг точки их пересечения то, когда величина угла поворота достигнет , вращающаяся прямая займет свое первоначальное положение, так что неограниченно большим угол между двумя прямыми быть не может.

        По-другому обстоит дело в геометрии Галилея. Прежде всего, там имеются, так сказать, «параллельные точки», то есть такие точки, которые нельзя соединить никакой (обыкновенной!) прямой; правда, эти точки (см., например, рис. 20) можно соединить особой прямой, но особая прямая геометрии Галилея существенно отлична от обыкновенной прямой, не

                     Рисунок 20

«равна» ей. С другой стороны, угол между двумя прямыми в геометрии Галилея может быть сколь угодно велик: мы можем провести через точку пересечения прямых и такую прямую , что ; затем такую прямую , что ; затем такую прямую , что , и т. д. – и каждый раз это будет новая прямая, более «удаленная» от исходной прямой (то есть составляющая с прямой больший угол), чем все предшествующие (ср. рис. 21, а и б, относящиеся к точкам одной прямой и к прямым, проходящим через одну точку ). Все это создает новую

                       а)                                                                 б)

                                                   Рисунок 21

ситуацию, характеризующуюся полной аналогией свойств точек и прямых – аналогией, проявляющейся в том, что заменив в какой-либо теореме геометрии Галилея слово «точка» словом «прямая» и наоборот, слово «расстояние» словом «угол», и наоборот, выражение «лежит на» выражением «проходит через» и наоборот, мы придем к новой теореме, которая тоже будет верной, если только была верна исходная теорема.

         Выведенное утверждение (на вопрос, о строгом обосновании которого мы остановимся ниже) носит название принцип двойственности, а теоремы, получаемые одна из другой с помощью этого принципа, - двойственными друг другу теоремами. Этот принцип проливает новый свет на некоторые из известных нам ранее фактов. Так, мы знаем, что в геометрии Галилея, как и в обычной геометрии Евклида, «отклонение» двух прямых друг от друга оценивается величиной образованного этими прямыми угла; если же этот угол равен нулю, то есть прямые параллельны, то наряду с этим углом возникает еще одна мера «степени отклонения» прямых, а именно расстояние между ними. Аналогично этому «отклонение» друг от друга двух точек характеризуется расстоянием между ними; если же это расстояние равно нулю, то есть точки принадлежат одной особой прямой (этот случай родствен случаю параллельности прямых), в качестве новой меры «отклонения» точек появляется особое расстояние, измеряющееся совсем в других единицах, чем обыкновенное расстояние.

         Но главным достоинством принципа двойственности является то, что с его помощью можно выводить новые теоремы из уже известных. Так, например, ясно, что относящиеся к произвольному треугольнику формулы и двойственны друг другу, так что, зная одну из них, мы могли бы смело предсказать и другую. В некоторых случаях полученная таким образом новая теорема может и совпасть с исходной: так, заменив в соотношениях стороны углами и наоборот, мы придем к равенствам , лишь формой отличающимся от первоначальных. Однако в большинстве случаев теорема, двойственная какой-либо теореме геометрии Галилея, будет выражать совершенно новый факт, который без использования принципа двойственности мог бы остаться незамеченным.

         Ценность принципа двойственности легко продемонстрировать на примерах. Мы уже знаем, что в равнобедренном треугольнике , в котором , опущенная из вершины высота (особая прямая) совпадает с проведенной из той же вершины медианой; биссектриса же угла отлична от медианы (и высоты). Последнее утверждение можно еще уточнить. Совпадение медианы треугольника с высотой означает, что прямая особая, то есть середина стороны , так сказать, «параллельна» вершине (рис. 22). Но середине стороны по принципу двойственности отвечает биссектриса угла ; поэтому «параллельности» точек и двойственно утверждение о параллельности прямых и . Таким образом, мы приходим к следующему утверждению: биссектриса угла при вершине равнобедренного (или равноугольного) треугольника , параллельна основанию этого треугольника. Для доказательства этого утверждения достаточно заметить, что биссектриса делит пополам заключенный между сторонами угла отрезок особой прямой, и поскольку прямая является средней линией

                          Рисунок 22

треугольника (ибо || и ), то прямая является средней линией того же треугольника (так как она делит пополам его стороны и ) и, значит, || .

        В поисках дальнейших примеров мы обратимся к свойствам параллелограммов и трапеций. Ясно, что если противоположные четырехугольника плоскости Галилея параллельны (такой четырехугольник мы и здесь будем называть параллелограммом), то противоположные стороны его равны (рис. 23, а); далее диагонали и

                       а)                                                                       б)

                                                    Рисунок 23

параллелограмма в точке пересечения делятся пополам (заметим, что «галилеево» содержание последней теоремы ничем не отличается от содержания той же теоремы в геометрии Евклида!). двойственным параллелограмму объектом геометрии Галилея является четырехугольник , противоположные вершины и , и которого «параллельны», то есть такой, что и - особые прямые (рис. 23, б); обладающий таким свойством (обязательно самопересекающийся!) четырехугольник со сторонами , , , мы назовем антипараллелограммом. Ясно, что противоположные углы антипараллелограмма равны (т. е. , ); этот факт, двойственный равенству противоположных сторон параллелограмма, с очевидностью вытекает из самого определения величины угла в геометрии Галилея. Далее, диагоналям и параллелограмма , соединяющим противоположные вершины и , и , отвечают точки и пересечения противоположных сторон и , и антипараллелограмма ; при этом длинам диагоналей и параллелограмма в антипараллелограмме отвечают величины углов и . Точке пересечения диагоналей и параллелограмма отвечает прямая ; утверждению о том, что точка делит пополам диагонали и , двойственна следующая теорема: прямая , соединяющая точки и пересечения противоположных сторон антипараллелограмма, делит углы между противоположными сторонами пополам. Для доказательства этой теоремы достаточно провести любую особую прямую через точку и заметить, что отрезок этой прямой, заключенный между прямыми и , делится в точке пополам (это следует из равенства противоположных углов антипараллелограмма). Отсюда следует, что ; но тогда и и .

         Трапецией мы, как обычно, будем называть четырехугольник , противоположные стороны и которого параллельны (рис. 24, а). Так

                     а)                                                                       б)

                                                    Рисунок 24

как трапеция плоскости Галилея является и евклидовой трапецией, то средняя линия трапеции (соединяющая середины и боковых сторон и ) параллельна основаниям и и равна их полусумме. Четырехугольник плоскости Галилея со сторонами , , , , две противоположные вершины и которого «параллельны» (то есть такой, что - особая прямая; рис. 24, б), мы назовем антитрапецией. Боковым сторонам и трапеции отвечают вершины и антитрапеции , а серединам и боковых сторон трапеции – биссектрисы и углов и антитрапеции, пересекающиеся в точке . Параллельности средней линии трапеции ее основаниям и двойственно утверждение о том, что точка пересечения биссектрис и углов и антитрапеции «параллельна» вершинам и , то есть принадлежат особой прямой , - но это очевидно, ибо в силу определения биссектрисы угла в геометрии Галилея прямые и делят отрезок пополам. Утверждению же о том, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований и , двойственна теорема о том, что угол равен полусумме углов и антитрапеции:    ( ). [Последнее вытекает из того, что в обозначениях рис. 24, б ; здесь || - особая прямая]. Частным случаем этой теоремы является утверждение о том, что в треугольнике (который можно рассматривать, как «вырожденную антитрапецию» , где - высота треугольника) биссектрисы и углов и пересекаются в точке высоты (эта точка, очевидно, делит высоту пополам) и образуют угол, равный половине угла треугольника (ибо на рис. 25, а ; ср. с теоремой о средней линии треугольника, рис. 25, б).

                    а)                                                    б)

                                                Рисунок 25

         Теперь нетрудно сообразить, какой теореме отвечает в силу принципа двойственности теорема о точке пересечения медиан треугольника. Серединам , и сторон , и треугольника отвечают в силу принципа двойственности биссектрисы , и его углов , и (ср. рис. 26, а и б); прямым , и  - точки , и пересечения биссектрис треугольника с его противоположными сторонами. Поэтому теореме о том, что медианы , и треугольника пересекаются в одной точке (рис. 26, а), двойственно утверждение о том, что точки

                       а)                                                                 б)

                                                   Рисунок 26

, и принадлежат одной прямой (рис. 26, б). При этом, так как , то в силу принципа двойственности должно быть также - точки пересечения биссектрис (неравнобедренного!) треугольника с противоположными сторонами принадлежат одной прямой , которая делит углы, образованные биссектрисами с противоположными сторонами треугольника в отношении , считая от стороны. Это и есть то свойство биссектрис треугольника в геометрии Галилея, с упоминания о котором начинался этот параграф.

         Для того, чтобы доказать это свойство биссектрис треугольника, вспомним доказательство теоремы о медианах. Прежде всего, покажем, что медианы и треугольника делятся в точке пересечения в отношении . Для этого соединим середины и сторон и с серединой отрезка (рис. 27, а; пока мы не можем утверждать, что отрезок принадлежит медиане треугольника). Так как отрезки и служат средними линиями треугольников и , то и , так что четырехугольник - параллелограмм. Отсюда и , что и требовалось доказать. А так как это рассуждение сохраняет силу для любых двух медиан треугольника, то каждые две из них делятся в точке пересечения в отношении , считая от вершины;

                           а)                                                               б)

                                                     Рисунок 27

отсюда уже вытекает, что все три медианы пересекаются в одной точке (ибо обе медианы, и , пересекают медиану в такой точке , что ).

         «Обратим» теперь это рассуждение, заменив в нем точки – прямыми и наоборот и отрезки – углами и наоборот. Обозначим через прямую , где и - точки пересечения биссектрис и треугольника с противоположными сторонами. Пусть - биссектриса угла , образованного прямой со стороной треугольника (рис. 27, б); точки пересечения прямой с биссектрисами и обозначим через и . Так как точки и , будучи точками пересечения биссектрис и , соответственно и , треугольников и , принадлежат их высотам и , то (самопересекающийся) четырехугольник - антипараллелограмм, поэтому и . А теперь, применяя к треугольникам и теорему о величине угла между биссектрисами треугольника, без труда получаем, что и , то есть что прямая делит углы, образованные биссектрисами и с противоположными сторонами треугольника в отношении , считая от стороны. Наконец, так как прямая , где - точка пересечения биссектрисы угла со стороной , в силу точно такого же рассуждения также обладает тем свойством, что , то она совпадает с прямой , то есть точки , и принадлежат одной прямой такой, что .

         Это доказательство «теоремы о биссектрисах» треугольника плоскости Галилея весьма поучительно – ведь оно представляет собой совершенно точное «обращение» (в смысле принципа двойственности) доказательства теоремы о медианах. Последнее обстоятельство раскрывает новые черты самого принципа двойственности – оказывается, что не только формулировки двойственных друг другу теорем можно получить одну из другой с помощью чисто словесных «преобразований» (заменой слова «точка» словом «прямая» и т. д.), но и доказательства двойственных теорем получаются одно из другого точно таким же образом! Для того, чтобы понять причины этого, следует вспомнить, какой смысл имеет в геометрии само понятие «доказательства» (теоремы); обсуждение связанных с этим вопросов не только поможет глубже понять обстоятельства, обусловливающие принцип двойственности, но и позволит дать этому принципу обоснование, в то время как до сих пор мы ограничивались лишь иллюстрациями этого принципа, - правда, иллюстрациями весьма выразительными, но доказательной силы, строго говоря, все же не имеющими.

        Хорошо известно, что общий путь доказательства всех геометрических теорем состоит в следующем. С помощью чисто логических умозаключений интересующая нас теорема сводится к каким-то новым, более простым, чем первоначальная; получаемые таким путем новые теоремы также сводятся к более простым и т. д. – до тех пор, пока мы не придем к простейшим геометрическим теоремам, называемыми аксиомами и принимаемыми без доказательства. Но в геометрии Галилея основные свойства точек и прямых, расстояний и углов совершенно равноправны; это означает, что, заменив в формулировке любой аксиомы слово «точка» словом «прямая» и т. д., мы получим также справедливое утверждение; так, например, аксиоме «две прямые имеют не более одной общей точки» (рис. 28, а) отвечает утверждение «две точки можно соединить не более, чем одной (обыкновенной) прямой» (рис. 28, б); аксиоме параллельности, утверждающей, что через каждую точку

  

                         а)                                                             б)

    

                         в)                                                              г)

                                                  Рисунок 28

, лежащую вне прямой , можно провести единственную прямую , не пересекающую (рис. 28, в), - утверждение о том, что на каждой (обыкновенной) прямой , не проходящей через точку , существует единственная точка , которую нельзя соединить с (обыкновенной) прямой (рис. 28, г), и т. д. Отсюда следует, что при такой же замене одних слов другими каждая теорема геометрии Галилея переходит в другую, также верную.

           Общее рассуждение избавляет нас от необходимости доказывать отдельно двойственные друг другу теоремы: доказав одну из них, мы автоматически убеждаемся и в справедливости второй; поэтому все проведенные выше доказательства теорем, двойственные известным теоремам геометрии Галилея, можно считать излишними!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 3. Геометрия Галилея и дуальные числа

 

3.1. Определение дуальных чисел и действий над ними

 

         Определение 1. Дуальным числом упорядоченная пара действительных чисел.

         Определение 2. Два дуальных числа и считают равными и пишут тогда и только тогда, когда , .

         Если - дуальное число, то назовем действительной частью, а - мнимой частью, сохранив старые обозначения: , . Числа , для которых , будем, как и в случае комплексных чисел, называть мнимыми, а числа вида , - чисто мнимыми.

         Определим операции сложения и умножения дуальных чисел (т. е. пар ) так, чтобы они согласовывались с формулами сложения и умножения самых общих комплексных чисел, при условии (т. е. ).

         Определение 3. Пусть и - два дуальных числа. Тогда сумма определяется равенством

                                                     ,                                              (17)

а произведение равенством

                                                 .                                                (18)

         Операции сложения и умножения дуальных чисел обладают следующими свойствами:

• ;
• ;
• ;
• ;
• .

           Для пар вида определенные выше операции сложения и умножения сводятся к соответствующим операциям над действительными числами, то есть имеют место равенства

;

.

Поэтому пару можно кратко обозначить через .

         Число обозначим буквой . Согласно закону умножения дуальных чисел, имеем

                                                       .                                              (19)

         В принятых обозначениях равенство (19) принимает вид . Поскольку , пару можно обозначить так:

.

         В дальнейшем будем записывать дуальные числа в виде

.

         Такую форму записи дуального числа называем алгебраической. При этом следует иметь в виду, что

, т. е. .

         Если перейти к алгебраической форме записи дуальных чисел, то формулы (17), (18) примут вид

                                         ;                                (17')

                                             .                                    (18')

         Помимо отмеченных свойств сложения и умножения дуальных чисел, для любого числа справедливы следующие равенства:

• ;
• .

          Кроме того, каждое дуальное число имеет противоположное ему число . Однако не каждое число имеет обратное ему число, то есть число такое, что . Покажем, что если , , то обратное ему число имеет вид

.

         Числа вида не имеют обратных.

         Пусть . Согласно определению обратного числа, имеем или . Отсюда, пользуясь определением равенства дуальных чисел, получим систему для отыскания и :

.

           Если , то система не имеет решения и, следовательно, не существует числа такого, что . Рассмотрим теперь случай, когда . Из первого уравнения находим . Подставляя это выражение во второе уравнение, получаем , откуда .

         Операции вычитания и деления дуальных чисел определяются следующими равенствами:

                                                     ;                                                  (20)

                                                   , .                                                   (21)

         Таким образом, в то время как во множестве комплексных чисел невозможно деление лишь на нуль, во множестве дуальных чисел невозможно деление на все числа вида . Эти числа называются делителями нуля, поскольку для каждого числа указанного вида существует такое отличное от нуля число , что .

           Из равенства (21) вытекает, что

.

 

Сопряженные дуальные числа

 

           На практике для нахождения двух дуальных чисел используют, как и в случае комплексных чисел, удобный прием, основанный на свойствах сопряженных чисел: и числитель и знаменатель дроби умножают на .

         Определение 4. Два дуальных числа называют сопряженными, если они отличаются лишь знаком мнимой части.

         Число, сопряженное дуальному числу , обозначается . Таким образом, в полной аналогии с комплексными числами, имеем , .

 

Модуль и аргумент дуального числа

 

         Определение 5. Пусть - произвольное дуальное число. Действительное число назовем модулем дуального числа . Обозначим - модуль дуального числа , положим .

         Таким образом, модуль дуального числа может быть как положительным, так и отрицательным.

         Пусть - число, имеющее ненулевой модуль: . В выражении числа вынесем модуль этого числа за скобку как множитель:

.

         Определение 6. Пусть - дуальное число, имеющее ненулевой модуль. Отношение называют аргументом дуального числа и обозначают .

         Итак, каждое дуальное число ненулевого модуля можно записать следующим образом:

                                                         ,                                                  (22)

где , .

         Запись (22) аналогична тригонометрической форме комплексного числа.

         Заметим, что в множестве дуальных чисел для вещественных чисел равен нулю, а для чисто мнимых не существует.

         Форма (22) записи дуальных чисел очень удобна в тех случаях, когда эти числа приходится перемножать или делить.

         Пусть и . Составим произведение этих чисел:

         Таким образом, для дуальных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются:

                               , .                                (23)

         Легко показать, что модуль частного дуальных чисел равен отношению модулей делимого и делителя, а аргумент частного – разности аргументов делимого и делителя, то есть справедливы формулы:

, ,

                                               .                                           (24)

         С помощью (23) и (24) выводятся законы равенства, позволяющие дуальное число возводить в любую степень и извлекать из него корень:

;

.

         Из последнего равенства вытекает, что корень нечетной степени из дуального числа при определяется однозначно; корень же четной степени не существует, если , и имеет два значения, если . Корень натуральной степени из дуального числа нулевого модуля извлечь нельзя.

 

 

3.2. Геометрическое изображение дуальных чисел. Дуальная плоскость.

 

           Каждому дуальному числу можно поставить в

соответствие точку плоскости с прямоугольными декартовыми координатами

, или полярными координатами , , где , (если существует), причем расстояние между двумя точками и вычисляется по формуле

                                                     ,                                              (25)

а угол между прямыми, пересекающимися в точке и проходящими через точки и  - по формуле

                                     .                                      (26)

         Так как для дуальных чисел , , то в этом случае расстояние точки от начала координат равно , то есть проекции отрезка на ось (рис. 29), а угол между прямыми и равен .

             

               Рисунок 29   

         Таким образом, если дуальные числа интерпретировать точками плоскости, то мы получим плоскость, на которой расстояние между двумя точками и угол между двумя пересекающимися прямыми определяются непривычным образом. Иными словами, дуальные числа интерпретируются точками неевклидовой плоскости.

         Под расстоянием между точками и рассматриваемой плоскости логично понимать проекцию отрезка на ось (рис. 30), то есть разность . Так как для дуальных чисел и модуль разности равен , то при таком определении расстояния и для дуальных чисел выполняется формула (25).

               Рисунок 30

         Если , то расстояние между точками и , определенное указанным выше способом, равно нулю. Однако в этом случае точки и не обязательно совпадают. Для таких точек можно определить второе расстояние, понимая под ним проекцию отрезка на ось (рис. 31), то есть разность . Итак, введем следующие определения.

             Определение 1. Расстояние (первое) между двумя точками и определяется по формуле .

         Определение 2. Второе расстояние между двумя точками и определяется по формуле .

         Очевидно, что две точки и рассматриваемой плоскости совпадают в том и только в том случае, когда равно нулю, как первое, так и второе расстояние между ними.

         В дальнейшем мы перейдем к рассмотрению своеобразной геометрии, в которой геометрический смысл имеют лишь те факты, которые не меняются при движениях. Поэтому прежде чем переходить к определению основных понятий «дуальной» геометрии, выясним, какие преобразования играют роль движений дуальной плоскости. Под движением, как обычно, будем понимать преобразование плоскости, сохраняющее расстояние между точками.

           Произвольное движение комплексной плоскости можно записать в виде:

                                               ,                                           (27а) или

                                               , .                                        (27б)

         Легко доказать, что преобразование дуальной плоскости, сопоставляющее каждой точке точку по закону (27а) или (27б), также не меняет расстояние между точками, то есть является движением.

         Действительно, запишем формулы преобразований (27а), (27б) в координатах. Пусть , , , . Тогда формулы (27а) и (27б) примут вид:

,

.

Отсюда получаем

                                                                                                     (27а')

или

                                                             .                                          (27б')

           Пусть и - произвольные точки плоскости дуальных чисел, а и - образы этих точек при преобразовании (27а').

           Если , то . Из формул (27а') следует, что если

, то . Значит, .

         Если же , то и, следовательно, ,

.

         Таким образом, преобразование (27а') является движением. Аналогично доказывается, что преобразование (27б') является движением.

         Заметим, что преобразования (27а'), (27б') переводят: прямую в прямую, параллельные прямые в параллельные прямые, два отрезка и одной прямой в такие отрезки и , что , фигуру в фигуру той же площади.

         Поэтому понятия прямой, параллельных прямых, отношения отрезков одной прямой, площади фигуры имеет смысл не только в обычной геометрии Евклида, но и в геометрии «плоскости дуальных чисел». Очень важно, что каждое преобразование (27а') и (27б') переводит произвольную прямую, параллельную оси , так что если в геометрии Евклида понятие «прямая параллельная оси » является геометрически бессодержательным (поскольку движением эту прямую можно перевести в любую другую прямую), то в рассматриваемой геометрии такие прямые имеют особую роль; в дальнейшем прямые, параллельные оси будем называть особыми, а расстояние между двумя точками особой прямой, то есть второе расстояние – особым расстоянием.

         Для доказательства всех перечисленных свойств движений достаточно проверить, что ими обладают сдвиги                                                 (28)

поскольку параллельные переносы

                                                                                                               (29)

и симметрия                                                                                             (30)

заведомо всеми этими свойствами обладают, каждое преобразование (27а) представляет собой композицию преобразований (28) и (29), а преобразование (27б) – композицию преобразований (28), (29), (30).

         Тот факт, что прямую, параллельную оси , сдвиг переводит также в параллельную оси (а именно, в ту же самую прямую), непосредственно вытекает из определения сдвига (28). Покажем, что любую прямую сдвиг переводит в прямую.

         Пусть сдвиг (28) переводит точку прямой , проходящей через начало координат , в точку (рис. 31). Обозначим прямую через , точки пересечения произвольной параллельной оси прямой с прямыми и - через и , а точки пересечения прямых и с осью - через и .

                                      Рисунок 31

Тогда . Поскольку точка получается из точки в результате сдвига (28), имеем

.

Далее, так как , то , то есть . Но это как раз означает, что каждую точку прямой сдвиг переводит в точку прямой , то есть что он переводит прямую в прямую .

         Пусть теперь - прямая, параллельная прямой и не проходящая через точку (см. рис. 31). Обозначим через длину (обычную, то есть измеряемую как в евклидовой геометрии) равных между собой вертикальных (то есть параллельных оси ) отрезков , , , …, заключенных между прямыми и . Поскольку сдвиг (28) сводится к переносу вдоль каждой прямой, параллельной оси , всех точек этой прямой на одно и то же расстояние (а точек разных прямых – на разные прямые), все отрезки - этот сдвиг переведет в отрезки , , , … той же длины: . Но концы , , , … этих отрезков принадлежат отрезку (в которую этот сдвиг переводит прямую ); поэтому их вторые концы , , , … принадлежат прямой , параллельной прямой и отстоящей от на расстояние в направлении оси . Отсюда следует, что сдвиг (28) переведет прямую в прямую .

          Попутно было доказано, что все прямые, параллельные фиксированной прямой , сдвиг переводит в прямые, параллельные прямой , то есть что сдвиг параллельные прямые переводит в параллельные прямые.

         Теперь можно перейти к определению основных понятий геометрии, движения которой задаются формулами (27а), (27б). Определим величину угла между прямыми и . Рассмотрим случай, когда прямые и пересекаются в начале координат (рис. 32).

                                                          Рисунок 32

Угол между прямыми и равен разности углов, образованных прямыми и с положительным направлением оси , то есть . Но , , где и - ординаты точек и , принадлежащих соответственно прямым и и удаленных от начала координат на расстояние равное . Значит, величина угла между прямыми и , пересекающимися в начале координат , определяется длиной отрезка прямой , заключенного между прямыми и , или длиной отрезка прямой , заключенного между этими прямыми. Точки прямых и характеризуются тем, что они удалены от начала координат на одно и то же расстояние по абсолютной величине равное

. Следовательно, если, как и в случае евклидовой плоскости, под окружностью с центром в точке и радиусом понимать множество точек, удаленных от фиксированной точки на постоянное по абсолютной величине расстояние , то величина угла между прямыми и , пересекающимися в начале координат, будет определяться длиной заключенной между прямыми и дуги окружности единичного радиуса с центром в точке .

         В общем случае, когда прямые и пересекаются в произвольной точке (рис. 33), величиной угла между прямыми и логично считать длину заключенной между прямыми и дуги окружности единичного радиуса с центром в точке .

                                                       Рисунок 33

         Определенная таким образом величина угла сохраняется при движениях (27а), (27б): ведь точку пересечения прямых и движение переводит в точку пересечения полученных из и движением прямых и , а окружность единичного радиуса с центром и дугу этой окружности – в единичную окружность с центром и в дугу окружности .

Введем следующие определения.

           Определение 3. Окружностью назовем множество точек , удаленных от фиксированной точки на постоянное по абсолютной величине расстояние ; при этом точка называется центром окружности, а неотрицательное число - ее радиусом.

           Определение 4. Величиной угла между прямыми и , пересекающимися в точке , будем считать длину заключенной между прямыми и дуги окружности единичного радиуса с центром в точке (рис. 33).

         Если уравнения прямых и имеют вид и , то угол вычисляется по формуле

                                                   .                                                        (31)

         С помощью дуальных чисел угол между прямыми, пересекающимися в точке и проходящими через точки и , выражается уже знакомой формулой (26), то есть , где , как и в случае комплексных чисел, - простое отношение точек , , . Соотношения (26) следуют из того, что , где , (рис. 34).

         Если прямые и параллельны, то определенный по формуле (31) угол между ними равен нулю. Однако и в этом случае можно говорить о расстоянии между этими прямыми.

         Определение 5. Под расстоянием между параллельными прямыми будем понимать (особую) длину заключенного между прямыми и отрезка особой прямой (рис. 35).

 

                     Рисунок 34                                      Рисунок 35

         Так как особые прямые переводятся движениями (27а), (27б) снова в особые прямые, то определенное таким образом расстояние имеет смысл в рассматриваемой геометрии.

         Если уравнения прямых и имеют вид и , то

                                                           .                                                  (32)

         Определение 6. Расстоянием от точки до прямой условимся называть (особое) расстояние от точки до точки пересечения прямой с особой прямой, проходящей через точку (рис. 36).

           Рисунок 36

Это определение можно обосновать следующим образом: в евклидовой геометрии расстояние от точки до прямой - это расстояние от точки до самой близкой к точки прямой ; в рассматриваемой геометрии «самая близкая» к точка прямой удалена от на нулевое расстояние, поэтому расстояние от точки до прямой приходится измерять особым расстоянием между и . Аналогично обстоит дело и с определением 5.

         Из определений 5 и 6 следует, что роль перпендикуляров к прямой в геометрии, к которой мы пришли, отождествляя дуальные числа с точками плоскости в полной аналогии с комплексными числами, играют особые прямые.

 

 

3.3. Решение задач

 

1. Даны три точки: ; ; . Найдите расстояние между каждой парой точек.

Решение: , ;

; ; ; .

Ответ: ; ; ; .

2. Найдите расстояние от точки до: а) оси ; б) прямой .

Решение: а) ось : . . , . б) , . , , .

Ответ: а) 4; б) 3.

3. Даны четыре точки , , , . Найдите: а) угол между прямыми и ; б) расстояние между прямыми и .

Решение: а) , , , ; б) , , .

; .

б)

   , , .

; .

Ответ: а) ; б) .

4. Изобразите следующие дуальные числа: , , , , .
5. Найдите модуль и аргумент дуального числа : а) , ,

; б) , , ; в) , , ; г) , , - не существует.

 

 

 

 

 

Глава 4. Факультативные занятия по математике

 

4.1. История появления, значение и виды факультативов

 

Слово «факультативный» означает «необязательный, предоставленный собственному выбору».

В истории появления факультативов можно выделить несколько этапов.

Первый этап (конец 19 – начало 20 века – 1966г.). Впервые идея дополнить обязательные занятия по предмету в школе необязательными появилась в конце 19 – начале 20 века. К числе тех, кто начал претворять эту идею в жизнь, относится и П. Ф. Каптерев. Он вместе с педагогами-энтузиастами начал создавать для учащихся предметные факультативные семинары, позже названные «кружками». В этих кружках программу составлял сам педагог, учитывая свои интересы, возможности и интересы и возможности учащихся. Число учащихся в этих кружках не ограничивалось, посещение их было добровольным, отметки учащимся не ставились, не было зачетов, экзаменов. Принимались в кружки учащиеся, независимо от их успеваемости. Учителю за проведение факультативов оплаты не было.

Второй этап (1966 – 1987). 10 ноября 1966г. ЦК КПСС и Совет Министров СССР издают постановление «О мерах дальнейшего улучшения работы средней общеобразовательной школы», которое рекомендует проведение факультативных занятий в 7 – 10 классах.

С этого момента проведение факультативов учителями стало оплачиваться, важность их стали осознавать педагоги школ. Но все же широкое распространение факультативы получили лишь с 1971г. Согласно данному Постановлению, факультативные занятия рекомендовалось проводить по единой общероссийской программе, хотя учитель имел право выбора разделов из рекомендованных Министерством образования программ.

Третий этап (1987 – н. в.). Министерству образования пришлось пересмотреть свои позиции. Появилось это в следующем:

• были разработаны новые программы для факультативов;
• учителям было разрешено использовать свои, авторские программы факультативов;
• в базисном плане РФ предусматривалось увеличение числа часов как на факультативные, так и на групповые и индивидуальные занятия;
• факультативы по математике рекомендовалось вести с 7 класса.

Основным назначением факультативных занятий является развитие способностей и интересов учащихся в сочетании с общеобразовательной подготовкой по математике и на ее основе.

Целями организации факультативных занятий являются:

• расширение кругозора учащихся;
• развитие математического мышления и способностей;
• формирование активного познавательного интереса к предмету;
• углубленное изучение математики;
• содействие профессиональной ориентации учащихся в области математики и ее приложений;
• «обкатка» нового школьного содержания, новых методов обучения.

Все факультативы по математике условно можно разделить на три вида:

• факультативы, предназначенные для повышения математического уровня учащихся, они тесно связаны с основными курсами математики. Их главная задача – углубить знания, полученные учащимися на уроках. На таких факультативах уделяется больше внимания вопросам школьной программы;
• факультативы, которые дополняют знания учащихся, полученные ими на уроках. Основная цель таких факультативов – расширение знаний учащихся. На таких факультативах основное внимание уделяется темам, которые обычно не входят в школьную программу, в том числе рассматриваются и методы решения олимпиадных задач;
• спецкурсы. Основная цель спецкурсов: рассмотрение некоторых важных тем, отсутствующих в основном курсе математики. Задачи спецкурсов те же, что и факультативов, но они имеют некоторые отличия. Основные отличия школьных спецкурсов от факультативов:
• продолжаются они один триместр или семестр (полугодие);
• часов для спецкурсов выделяется меньше: от 16 до 32 ч;
• тема предлагается для рассмотрения одна.

 

 

 

4.2. Авторская программа факультатива на тему: «Геометрия Галилея и дуальные числа»

 

Мною разработан факультативный курс для учащихся 11 класса. Данный факультатив по математике относится к группе факультативов, которые предназначены для рассмотрения некоторых тем, отсутствующих в основном курсе.

Целями организации факультативных занятий являются:

• расширение и углубление знаний и умений учащихся по математике;
• развитие способностей и интересов учащихся;
• развитие математического мышления;
• формирование активного познавательного интереса к предмету;
• содействие профессиональной ориентации учащихся в области математики и ее приложений.

Основными формами организации учебно-познавательной деятельности на факультативе являются лекция и практикум.

Отметки на факультативах, как правило, ставить не планируется.

Программа факультатива составлена на полугодие и предусматривает занятия с учащимися 11 классов в период с 8 сентября по 29 декабря 2012 года в объеме 16 ч. Занятия планируется проводить по субботам по 1 академическому часу.

 

Учебно-тематический план

 

Занятие 1. На данном занятии дается определение геометрии Галилея, формулы преобразования, перечисляются свойства движений без доказательств, вводится определение особых прямых. Теоретический материал рассмотрен в Главе 2 § 2.1.

 

Занятие 2. На данном занятии дается определение расстояния между двумя точками, в том числе и особого расстояния. Выводятся формулы для нахождения расстояния, и предлагается решение задач на применение данных формул. Теоретический материал рассмотрен в Главе 2 § 2.2.

Задачи

1. Даны три точки: , , . Найдите расстояние между каждой парой точек.

Решение: , .

; , ; .

Ответ: , , , .

2. Найдите расстояние от точки до: а) оси ; б) прямой .

 

Занятие 3. На данном занятии повторяется пройденный материал. Решаются задачи на нахождение расстояния между двумя точками.

Задачи

1. Найти расстояние между точками и .
2. Даны три точки , и . Найдите расстояние между каждой парой точек.
3. Найти расстояние от точки до: а) оси ; б) до оси .
4. Найдите расстояние от точки до прямой а) ; б) ; в) .

 

Занятие 4. На данном занятии дается определение окружности, выводится уравнение окружности, на плоскости рассматривается построение окружности, решаются задачи на построение окружности. Теоретический материал рассмотрен в Главе 2 § 2.3.

Задачи

1. Постройте окружность с центром в точке и радиусом а) ; б) ; в) .

 

Занятие 5. На данном занятии дается определение угла между прямыми, расстояния между параллельными прямыми. Выводятся формулы для нахождения угла и расстояния, и решаются задачи на применение данных формул. Теоретический материал рассмотрен в Главе 2 § 2.4.

Задачи

1. Даны четыре точки , , , . Найдите: а) угол между прямыми и ; б) расстояние между прямыми и .

 

Занятие 6. На данном занятии повторяется пройденный материал, решаются задачи на применение формул нахождения угла и расстояния между прямыми.

Задачи

1. Найти угол между прямыми а) и ; б) и ; в) и .
2. Найти расстояние между прямыми а) и ; б) и ; в) и .
3. Даны четыре точки , , , . Найдите: а) угол между прямыми и ; б) расстояние между прямыми и .

 

Занятие 7. На данном занятии дается определение треугольника на плоскости Галилея, вводятся теоремы без доказательств справедливые для треугольников, даются формулы для нахождения площади треугольника, сообщаются интересные факты о свойствах медиан, биссектрис, высот треугольника. Теоретический материал рассмотрен в Главе 2 § 2.5.

 

Занятие 8. На данном занятии формулируется принцип двойственности, рассматриваются двойственные фигуры, доказывается теорема двойственная теореме о точке пересечения медиан треугольника. Теоретический материал рассмотрен в Главе 2 § 2.6.

 

Занятие 9, Занятие 10. На данных занятиях дается определение дуальных чисел, равных дуальных чисел, сложения, умножения, вычитания и деления дуальных чисел, алгебраическая запись дуальных чисел, сопряженных дуальных чисел, даются определения модуля и аргумента дуального числа. Теоретический материал рассмотрен в Главе 3 § 3.1.

 

Занятие 11, Занятие 12. На данных занятиях повторяется пройденный материал Занятия 9 и Занятия 10. Решаются задачи на применение изученных формул.

Задачи

1. Вычислите значение выражения: а) ; ; ; ; б) ; ; ; ; в) ; ; ; .
2. Найдите такие, что: .
3. Найдите сопряженное дуальное число для а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
4. Найдите модуль и аргумент (если он существует) дуального числа: а) ; б) ; в) ; г) .
5. Найдите произведение и частное дуальных чисел, записанных в тригонометрической форме: а) и ; б) и .
6. Возведите в третью степень дуальное число , предварительно записав его в тригонометрической форме.
7. Найдите , если а) ; б) ; в) ; г)

 

Занятие 13. На данном занятии рассматривается геометрическое изображение дуальных чисел, даются формулы расстояния между точками, формулы нахождения угла между прямыми, расстояния от точки до прямой. Теоретический материал рассмотрен в Главе 3 § 3.2.

 

Занятие 14. На данном занятии повторяется пройденный материал на Занятии 13 и решаются задачи на изображение дуальных чисел на плоскости, на применение формул.

Задачи

1. Изобразите следующие дуальные числа: а) ; б) ; в) .
2. Найдите расстояние между а) и ; б) и .
3. Найдите угол а) между прямыми, пересекающимися в и проходящими через и ; б) , , .

 

Занятие 15. На данном занятии решаются задачи по всему пройденному материалу, подготавливая, тем самым, учащихся к зачетному мероприятию.

Задачи

1. Даны три точки . Найдите расстояние между каждой парой точек.
2. Найдите расстояние от точки до оси .
3. Постройте окружность с центром в точке и радиусом .
4. Даны четыре точки . Найдите: а) угол между прямыми и ; б) расстояние между прямыми и .
5. Вычислите значение выражения: а) ;

б) .

6. Найдите модуль и аргумент дуального числа: а) ; б) ; в) 4 ; г) 5.
7. Изобразите следующие дуальные числа: а) ; б) ; в) ; г) .

 

Занятие 16. На данном занятии проводится зачетное мероприятие по всему пройденному материалу в виде письменной контрольной работы, по итогам которой ставится зачет или незачет. Контрольная работа состоит из четырех вариантов, каждый вариант содержит пять задач. Если учащийся решил три и более задачи, ставится зачет, если менее, то незачет.

Вариант 1

1. Даны три точки . Найдите расстояние между каждой парой точек.
2. Найдите: а) угол между прямыми и ; б) расстояние между прямыми и .
3. Вычислите значение выражения .
4. Найдите модуль и аргумент дуального числа: а) ; б) ; в) .
5. Изобразите следующие дуальные числа: а) ; б) ; в) .

Вариант 2

1. Даны три точки . Найдите расстояние между каждой парой точек.
2. Найдите: а) угол между прямыми и ; б) расстояние между прямыми и .
3. Вычислите значение выражения .
4. Найдите модуль и аргумент дуального числа: а) ; б) ; в) .
5. Изобразите следующие дуальные числа: а) ; б) ; в) .

Вариант 3

1. Даны три точки . Найдите расстояние между каждой парой точек.
2. Найдите: а) угол между прямыми и ; б) расстояние между прямыми и .
3. Вычислите значение выражения .
4. Найдите модуль и аргумент дуального числа: а) ; б) ; в) .
5. Изобразите следующие дуальные числа: а) ; б) ; в) .

Вариант 4

1. Даны три точки . Найдите расстояние между каждой парой точек.
2. Найдите: а) угол между прямыми и ; б) расстояние между прямыми и .
3. Вычислите значение выражения .
4. Найдите модуль и аргумент дуального числа: а) ; б) ; в) .
5. Изобразите следующие дуальные числа: а) ; б) ; в) .

 

 

Заключение

 

В моей работе изложены представления о простейших геометриях аффинного типа, а также основные понятия и свойства геометрии Галилея, в которой движениями служат так называемые преобразования Галилея, соответствующие (по сути) переходу от одной инерциальной системы отсчета к другой. Определены основные понятия геометрии Галилея (понятия «расстояния», «прямой», «угла», «окружности», «треугольника»). Рассмотрены понятие «дуальных чисел и операций над ними», показана связь дуальных чисел с геометрией Галилея.

Цели данной работы достигнуты.

Таким образом, геометрия Галилея на плоскости полностью совпадает с геометрией плоскости дуальных чисел.

Данный предложенный материал можно использовать для ведения факультативных занятий в классах с углубленным изучением математики.

 

 

 

 

Литература

 

1. Альхова, З. Н. Внеклассная работа по математике / З. Н. Альхова. Саратов: Лицей, 2003. 288 с.
2. Ефимов, Н. В. Высшая геометрия / Н. В. Ефимов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 584 с.
3. Измайлова, Т. С. Преобразование плоскости в задачах / Т. С. Измайлова, А. Д. Сафарова. Оренбург: Изд-во ОГПУ, 2001. С. 18 – 22.
4. Кантор, И. Л. Гиперкомплексные числа / И. Л. Кантор, А. С. Солодовников. М.: Наука, 1973. С. 9 – 14.
5. Котова, Ю. Дуальные числа и геометрия Галилея / Ю. Котова // Математика. 1995. №7. С. 15 – 21.
6. Мерлина, Н. И. Дополнительное математическое образование школьников и современная школа / Н. И. Мерлина. М.: Гелиос, 2000. 289 с.
7. Постников, М. М. Аналитическая геометрия / М. М. Постников. М.: Наука, 1973. 754 с.
8. Розенфельд, Б. А. Неевклидовы пространства / Б. А. Розенфельд. М.: Наука, 1969. 548 с.
9. Фарков, А. В. Внеклассная работа по математике / А. В. Фарков. М.: Айрис – Пресс, 2009. 288 с.
10. Хачатурян, А. В. Геометрия Галилея / А. В. Хачатурян. М.: МЦНМО, 2005. 33 с.
11. Яглом, И. М. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия / И. М. Яглом. М.: Наука, 1969. С. 13 – 68.

 

[1]Это условие удобно нам в силу привычки к декартовым прямоугольным координатам на плоскости, оси которых перпендикулярны, однако в рамках геометрии Галилея оно бессодержательно: ведь в этой геометрии (евклидово) понятие перпендикулярности прямых геометрического смысла не имеет.

[2] Нетрудно убедиться, что если прямая образует с осью угол , а прямая – угол , то .

 

[3] Заметим, что в определениях величин , , , , существенным было то, какой из двух объектов и (соответственно и ) считать первым, а какой – вторым; это отражено и в формулах (6), (7), (8), (9), из которых, кстати, видно, что каждая из рассматриваемых величин может быть как положительным числом, так и нулем или отрицательным числом.

[4] Другими словами: движением (1) совместим сторону с осью .

 

Скачать: vkr.doc