Министерство образования и науки Российской Федерации
Математический факультет
Кафедра геометрии и топологии
ДИПЛОМНАЯ РАБОТА
Понятие симметрии в двумерной геометрии
Содержание
|
Введение………………………………………………………………..…………...3 |
|
|
|
1. Исторические сведения о появлении, развитии понятия «симметрии двумерных геометрий»…………………………………………….5 2. Феноменологическая симметрия………………………………………….6 2.1 Определение двумерных геометрий………………………………………6 2.2 Феноменологическая симметрия двумерных геометрий………..……….8 2.3 Классификация двумерных феноменологически симметричных геометрий…………………………………………………………..……………..13 3. Групповая симметрия двумерных геометрий и ее эквивалентность феноменологической симметрии………………………………………………...15 4. Приложение…………………………………………………………………. 4.1 Феноменологическая симметрия………………………………………….. 4.2 Групповая симметрия………………………………………………………. Заключение………………………………………………………………………..38 Список использованных источников……………………………………………39
|
|
|
|
|
|
|
Введение
Двумерные геометрии задаются на двумерном многообразии невырожденной метрической функцией. Их феноменологическая симметрия означает следующее: для любой четверки точек шесть возможных взаимных расстояний функционально связаны. Плоскость Евклида, например, является двумерной феноменологически симметричной геометрией, но не только она. Приводится полная классификация таких геометрий, выявляется их групповая симметрия и устанавливается ее эквивалентность феноменологической симметрии. В двумерных геометриях естественно определяются окружности и циклы, причем для последних возникают особого рода функциональные уравнения. Двуметрические феноменологически симметричные двумерные геометрии с двухкомпонентной метрической функцией опускают содержательную физическую интерпретацию в термодинамике и также наделены групповой симметрией. Трехмерные и триметрические феноменологически симметричные геометрии определяются аналогично двумерным и двуметрическим.
Целью моей работы является изучение полной классификации двумерных геометрий, выявление их групповой симметрии и установление эквивалентности с феноменологической симметрией.
Задачи:
- Рассмотрение основных определений двумерной геометрии;
- Рассмотрение двумерных феноменологически симметричных геометрий;
- Исследование групповых свойств двумерной феноменологически симметричной геометрии;
- Анализ теоремы о соотношении феноменологической симметрии;
Аннотация
В данной дипломной работе рассматривается понятие симметрии в двумерной геометрии.
Структура дипломной работы выглядит следующим образом.
В первой главе приводятся исторические сведения. Во второй главе дается точное определение феноменологической симметрии двумерных геометрий и приводится полная классификация с кратким описанием ее метода. В третьей главе дается точное определение групповой симметрии двумерной геометрии и устанавливается ее эквивалентность феноменологической симметрии. В четвертом параграфе приводятся примеры задач и их последующее решение.
Работа выполнена печатным способом на 40 страницах с использованием 21 источника.
- Исторические сведения о появлении, развитии понятия феноменологической и групповой симметрии.
Г.Гельмгольц в его знаменитой работе «О фактах, лежащих в основании геометрии» высказал предположение, что метрическая функция двумерной геометрии не может быть произвольной, если твердое тело в своем движении имеет три степени свободы. Но в таком случае между всеми взаимными расстояниями для любых его четырех точек i, j, k, l должна существовать функциональная связь, так как при ее отсутствии число степеней свободы четырехточечной жесткой фигуры с общим расположением точек, движение которой однозначно определяет движение всего твердого тела, уменьшится ровно на единицу. Поэтому естественно было предположить, что и феноменологическая симметрия двумерной геометрии, невозможна при произвольной метрической функции. Этот факт был установлен и опубликован в работе Постникова М. М.. Заметим еще, что задачу определения всех двумерных геометрий, в которых «положение фигуры задается тремя условиями», впервые четко сформулировал А.Пуанкаре в его известной работе «Об основных гипотезах геометрии».
Групповая же симметрия лежит в основе «Эрлангенской программы» Ф. Клейна, согласно которой геометрия есть теория инвариантов некоторой группы преобразований данного многообразия. Тем самым метрическое и групповое задания геометрии оказываются эквивалентными, что отмечено автором и G.P.Wene в работах Ландау Л. Д. и Дубровина Б. А.. С другой стороны, в геометрии обнаруживает себя и так называемая феноменологическая симметрия, на которую впервые особое внимание обратил Ю.И.Кулаков, сделав ее основным принципом своей теории физических структур.
- Феноменологическая симметрия
2.1 Определение двумерных геометрий
Пусть имеется множество М, являющееся двумерным многообразием, точки которого обозначим строчными латинскими буквами, а также функция , где - область ее определения, сопоставляющая каждой паре некоторое вещественное число . Функцию будем называть метрической, не требуя, однако, положительной ее определенности и выполнения для нее аксиом обычной метрики. Заметим, что в общем случае , то есть, возможно, функция не всякой паре сопоставляет число, но в последующем изложении удобно в явной записи «расстояния» подразумевать, что . Обозначим через окрестность точки , через - окрестность пары и аналогично окрестности кортежей из других прямых произведений множества М на себя.
Для некоторой пары введем функции и , сопоставляя точке точки и соответственно, если и . Заметим, что области определения введенных функций и могут не совпадать друг с другом и с самим множеством M.
В отношении двумерного многообразия M с метрической функцией будем предполагать выполнение следующих трех аксиом:
- Область есть открытое и плотное в M×M множество;
- Функция в области своего определения есть достаточно гладкая функция;
- В M×M плотно множество пар, для которых функция имеет максимальный ранг, равный двум, в точках плотного в M множества;
Достаточная гладкость означает, что в области ее определения непрерывна как сама функция f, так и все ее производные достаточно высокого порядка. Гладкую метрическую функцию f, для которой выполняется аксиома 3, будем называть невырожденной. Заметим, что ограничения в аксиомах 1, 2, 3 открытыми и плотными множествами связано с тем, что исходные множества могут содержать исключительные подмножества меньшей размерности, где эти аксиомы не выполняются. Например, область определения функции f может не содержать диагональных пар .
Определение. Будем говорить, что невырожденная метрическая функция f, удовлетворяющая условиям аксиом 1, 2, 3, задает на двумерном многообразии M двумерную геометрию.
- Феноменологическая симметрия двумерных геометрий
Введем функцию , сопоставляя четверке из точку , координаты которой в определяются упорядоченной по исходному кортежу последовательностью шести «расстояний» для следующих пар его точек: , если все эти пары принадлежат . Область определения функции F обозначим через . Очевидно, что область есть открытое и плотное в множество.
Определение. Будем говорить, что невырожденная метрическая функция задает на двумерном многообразии феноменологически симметричную геометрию ранга четыре, если, кроме аксиом I, II, III, дополнительно имеет место следующая аксиома:
- Существует плотное в множество, для каждой четверки которого и некоторой ее окрестности найдется такая достаточно гладкая функция , определенная в некоторой области , содержащей точку , что в ней и множество является подмножеством множества нулей функции , то есть
(1.1)
для всех четверок из .
Аксиома 4 составляет содержание принципа феноменологической симметрии ранга четыре для двумерной геометрии. Эта аксиома выражает собой требование, чтобы шесть расстояний между точками любой четверки из были функционально связаны, удовлетворяя уравнению (1.1). Условие означает, что в этом уравнении функция тождественно в постоянную не обращается.
Если – локальные координаты в двумерном многообразии , то для метрической функции в некоторой окрестности каждой пары можно выписать явно ее локальное координатное представление:
(1.2)
свойства, которого определяются аксиомами II и III. Поскольку в соответствии с аксиомой III ранги функций и максимальны, координаты и входят в представление (1.2) существенным образом. Последнее означает, что никакая локально обратимая гладкая замена координат не приведет к уменьшению их числа в представлении (1.2), то есть, нет такой системы координат, в которой оно может быть записано, например, без координаты в следующем виде:
Действительно, в данном случае для любой пары и для любой точки из ранг функции будет заведомо меньше двух, что противоречит аксиоме III. Заметим, что существенная зависимость представления (1.2) от локальных координат гарантирует выполнение аксиомы III.
Используя выражение (1.2), запишем локальное координатное представление введенной выше функции :
(1.3)
матрица Якоби которой
имеет восемь строк шесть столбцов.
Представление (1.3) задается системой шести функций , зависящих специальным образом от восьми координат всех точек четверки . Поскольку число функций в системе (1.3) меньше числа координат, наличие связи (1.1) является нетривиальным фактом, не имеющим места для произвольной системы (1.3).
Функция , согласно ее локальному координатному представлению (1.3), отображает окрестность в . Функциональной матрицей этого отображения является матрица Якоби (1.4) системы функций (1.3), а его рангом называется ранг этой матрицы.
Теорема. Для того, чтобы метрическая функция , удовлетворяющая аксиомам 1, 2, 3, задавала на двумерном многообразии феноменологически симметричную геометрию ранга четыре, необходимо и достаточно, чтобы ранг отображения был равен пяти на плотном в множестве.
Докажем сначала необходимость условия теоремы о ранге отображения .
Лемма 1. В функциональной матрице (1.4) отображения с координатным представлением (1.3) имеется квадратная подматрица порядка пять, определитель которой отличен от нуля.
Выделим в матрице (1.4) квадратную ступенчатую подматрицу пятого порядка, диагональными клетками которой являются следующие квадратные матрицы Якоби: для двух функций по двум переменным для двух функций по двум переменным ; для функции по переменной . Эта квадратная подматрица состоит из компонент исходной матрицы, стоящих на пересечении первых пяти строк и всех столбцов, кроме первого. Согласно аксиоме III отличны от нуля якобианы и , а также производная . Поэтому ранг выделенной выше ступенчатой подматрицы пятого порядка для некоторого кортежа из оказывается равным пяти. Лемма 1 доказана.
Следствие. Ранг матрицы Якоби (1.4) не может быть меньше пяти.
Согласно аксиоме 4 в любой окрестности произвольной четверки из найдется такая ее окрестность , что множество значений будет удовлетворять некоторому уравнению (1.1), причем в точке . Поскольку функция достаточно гладкая, можно, без ограничения общности, считать, что для всех точек области ее определения и, конечно же, на множестве значений . Тогда множество нулей функции Φ, но не обязательно множество , будет гладкой без особых точек гиперповерхностью в .
Продифференцируем уравнение (1.1) по каждой из восьми координат точек четверки . В результате получаем систему восьми линейных однородных уравнений относительно шести производных функции :
матрица которой совпадает с матрицей Якоби (1.4) системы функций (1.3).
Лемма 2. Ранг матрицы системы уравнений (1.5) не может быть равен
шести, то есть своему максимальному значению.
Предположим противное, то есть что ранг матрицы системы уравнений (1.5) равен шести. Но тогда эта система будет иметь только нулевое решение, так как она однородна и в ней всего шесть неизвестных. Однако уравнения системы (1.5) должны иметь, по крайней мере, одно ненулевое решение в некоторой окрестности , так как по аксиоме IV в точке . Установленное противоречие и доказывает лемму 2.
Из леммы 2 и следствия леммы 1 однозначно вытекает, что ранг матрицы системы уравнений (1.5), совпадающей с матрицей Якоби (1.4), для некоторого кортежа будет равен пяти. Легко понять, что множество таких кортежей плотно в , так как плотно в множество четверок , о которых говорится в аксиоме IV. На этом завершается доказательство необходимости условия теоремы. Перейдем теперь к доказательству достаточности ее условия о ранге отображения .
Лемма 3. Для любой четверки из ранг матрицы (1.4), то есть ранг
отображения , не равен шести.
Действительно, если для некоторой четверки из ранг матрицы (1.4) будет равен шести, то он в силу гладкости функций системы (2.3), будет равен шести, то есть своему максимально возможному значению, не только для нее, но и для всех четверок из какой-то ее окрестности . Но тогда в этой окрестности не найдется ни одной четверки, для которой ранг отображения был бы равен пяти, что противоречит условию доказываемой теоремы. Лемма 3 доказана.
Пусть для четверки из плотного в множества, о котором говорится в условии теоремы, ранг отображения , задаваемого системой функций (1.3), равен пяти. Из леммы 3, очевидно, следует, что для любой окрестности четверки ранг матрицы Якоби (1.4) не больше пяти и равен для нее этому значению. По известной теореме математического анализа о функциональной зависимости для некоторой окрестности существует такая достаточно гладкая функция , определенная в соответствующей области , содержащей точку , в которой , что множество является подмножеством множества нулей функции , то есть имеет место уравнение (1.1) для всех кортежей из . Поскольку ранг матрицы (1.4) для исходной четверки равен пяти и максимален в окрестности , из той же теоремы о функциональной зависимости следует, что существует такая ее окрестность и соответствующая область , для которых множество значений совпадает с множеством нулей функции в , являясь гладкой без особых точек гиперповерхностью в . Теорема полностью доказана.
В заключение отметим, что феноменологически инвариантная функциональная связь (1.1) имеет определенное геометрическое содержание. Для евклидовой плоскости об этом было сказано во Введении. Для других же двумерных геометрий ее содержание может быть иным. Например, для двумерной сферы в трехмерном евклидовом пространстве связь (1.1) выражает линейную зависимость четырех радиус-векторов ее точек . Аналогично и для плоскости Лобачевского как некоторой сферы в трехмерном псевдоевклидовом пространстве.
- Классификация двумерных феноменологически симметричных геометрий
Итак, двумерная геометрия задается на двумерном многообразии метрической функцией , где , и ее координатное представление определяется выражением (1.2):
(2.1)
Если эта функция задает феноменологически симметричную двумерную геометрию ранга четыре, то по аксиоме IV шесть ее значений для четверки функционально связаны:
(2.2)
Невырожденная метрическая функция (2.1) по аксиоме III должна, очевидно, удовлетворять следующим двум условиям:
(2.3)
для открытого и плотного в множества троек и .
Теорема. С точностью до масштабного преобразования и в надлежаще выбранной системе локальных координат невырожденная метрическая функция (2.1), задающая на двумерном многообразии феноменологически симметричную геометрию ранга четыре со связью (2.2), может быть представлена одним из следующих одиннадцати канонических выражений:
где и причем не обязательно
Шесть выражений (2.4)–(2.9) определяют метрические функции хорошо известных двумерных геометрий: (2.4) – плоскости Евклида; (2.5) – двумерной сферы в трехмерном евклидовом пространстве; (2.6) – плоскости Лобачевского как двумерного двухполостного гиперболоида в трехмерном псевдоевклидовом пространстве; (2.7) – плоскости Минковского; (2.8) – двумерного однополостного гиперболоида в трехмерном псевдоевклидовом пространстве; (2.9) – симплектической плоскости. Существование четырех метрических функций (2.10)–(2.13), задающих двумерные феноменологически симметричные геометрии ранга четыре, впервые было установлено обратим внимание автора на то, что три метрические функции (2.11), (2.12) и (2.13) можно записать единообразно, используя три типа комплексных чисел:
где причем и дополнительно для выражения (2.11); и для выражения (2.12); и для выражения (2.13). Таким образом, все три возможных типа комплексных чисел на плоскости, а именно: двойные , дуальные и обычные , естественно вписались в полную классификацию двумерных феноменологически симметричных геометрий ранга четыре.
- Групповая симметрия двумерных геометрий и ее эквивалентность феноменологической симметрии
Рассмотрим теперь групповые свойства двумерной феноменологически симметричной геометрии.
Пусть и - открытие области в многообразии , не обязательно связные. Гладкое инъективное отображение
(3.1)
называется локальным движением, если оно сохраняет метрическую функцию . Последнее означает, что для любой пары , такой что , и соответствующей пары , такой что она тоже принадлежит , имеет место равенство
(3.2)
Множество всех движений (3.1) есть локальная группа преобразований двумерного многообразия , для которой метрическая функция согласно равенству (3.2) является двухточечным инвариантом. Если она задана явно, например, в своем координатном представлении (1.2): , то равенство (3.2) является функциональным уравнением, решая которое можно найти полную группу локальных движений (3.1). Нам же о метрической функции известно только то, что она невырождена и удовлетворяет уравнению (1.1). Но этого оказывается достаточно для установления факта существования трехпараметрической группы ее движений.
Для большей ясности последующего изложения воспроизведем в наших обозначениях определение локальной группы Ли преобразований. Пусть – мерная локальная группа Ли и – некоторая область гладкого многообразия . Допустим, что каждому элементу поставлено в соответствие непрерывно зависящее от a инъективное отображение области в некоторую область многообразия , относящее каждой точке некоторую точку , то есть . Будем говорить, что есть локальная группа Ли преобразований области , если выполнены следующие три условия:
1) Единице группы соответствует тождественное преобразование области на себя и , то есть произведению соответствует композиция преобразований: сначала и затем (возможен и другой порядок: ).
2) Два преобразования и совпадают тогда и только тогда, когда
(это условие можно сформулировать иначе, потребовав, чтобы преобразование было тождественным лишь при условии, что a есть единица группы ).
3) В координатной форме есть достаточное число раз дифференцируемая функция точки и элемента .
Определенная только что группа преобразований по условию 2 эффективна и потому сами элементы группы могут считаться преобразованиями. То есть можно говорить о мерной локальной группе преобразований многообразия , которую обозначим через . Таким образом, в области задано эффективное гладкое действие группы , причем условия 1, 2, 3 выполняются для некоторой ее части, то есть некоторой, зависящей от , окрестности единичного элемента.
В последующем изложении удобно считать, что область не обязательно связна, например, может состоять из двух связных областей: , причем ∅.
Определение. Будем говорить, что метрическая функция задает на двумерном многообразии двумерную геометрию, наделенную групповой симметрией степени три, если, кроме аксиом I, II, III, дополнительно имеет место следующая аксиома:
4’. Существует открытое и плотное в множество, для каждой точки которого задано эффективное гладкое действие трехмерной локальной группы Ли в некоторой окрестности , такое, что действия ее в окрестностях двух точек совпадают в пересечении и что метрическая функция является двухточечным инвариантом этих действий.
Группы преобразований, о которых говорится в аксиоме IV´, определяют локальную подвижность жестких фигур в двумерном пространстве , аналогичную их подвижности в плоскости Евклида. Заметим, что глобальной подвижности при этом может и не быть, так как, хотя локальные действия группы определены согласно аксиоме 4’ в некоторой окрестности каждой точки открытого и плотного в множества, может оказаться, что на всем этом множестве действует только единичный элемент группы. Множество пар , для которых метрическая функция определена и является двухточечным инвариантом, очевидно, открыто и плотно в . Будем говорить также, что метрическая функция допускает трехмерную локальную группу Ли локальных движений.
Из аксиомы 4’ следует также, что на открытом и плотном в множестве задано трехмерное линейное семейство гладких векторных полей , замкнутое относительно операции коммутирования, то есть алгебра Ли преобразований . В некоторой локальной системе координат базисные векторные поля этого семейства запишем в операторной форме:
(3.3)
где . Метрическая функция будет двухточечным инвариантом локальной группы Ли преобразований некоторых окрестностей и точек и в том и только в том случае, если она удовлетворяет системе трех уравнений
(3.4)
с операторами (3.3):
где и, например,.
Если векторное поле ненулевое, то в области его задания есть хотя бы одна точка в которой оно отлично от нуля. Однако в других точках этой области поле может обращаться в нуль. Если же для соответствующей группы Ли преобразований, алгебре Ли которой принадлежит поле , метрическая функция является невырожденным двухточечным инвариантом, то имеет место следующая лемма:
Лемма 1. Множество точек, где ненулевое векторное поле алгебры Ли локальной группы Ли локальных преобразований, удовлетворяющей аксиоме IV´ , отлично от нуля, открыто и плотно в .
Предположим противное. Пусть ненулевое векторное поле , где , – постоянные, не все равные нулю одновременно, в некоторой окрестности точки обращается в нуль тождественно. Поле ненулевое, поэтому в какой-то другой точке , а значит и в некоторой ее окрестности , оно отлично от нуля. Поскольку область открыта и плотна в , можно считать, что пара . Но тогда, согласно аксиоме IV´, метрическая функция будет двухточечным инвариантом, являясь решением системы трех уравнений (3.4). С учетом того, что по предположению и , из этой системы получаем уравнение:
в которое входят производные только по координатам точки и от этих же только координат зависят коэффициенты при производных, причем, по крайней мере, один из них отличен от нуля. Следовательно, уравнение может быть решено методом характеристик. Уравнение характеристик для него имеет не более одного интеграла, и потому общее решение уравнения будет:
Но в это выражение для метрической функции координаты точки входят несущественным образом через функцию , что, очевидно, противоречит аксиоме III. Таким образом, в окрестности обязательно найдется точка, где исходное векторное поле отлично от нуля. Поскольку область задания поля плотна и открыта в , множество точек, где оно отлично от нуля, тоже плотно и открыто в , хотя может и не совпадать с областью его задания. Лемма 1 доказана.
Следствие. Множество точек, где базисные векторные поля , , алгебры Ли локальной группы Ли локальных преобразований, удовлетворяющей аксиоме IV´, одновременно отличны от нуля, открыто и плотно в .
Следствие очевидно, так как по доказанной выше лемме 1 каждое из базисных векторных полей отлично от нуля на открытом и плотном в M множестве. Пересечение же трех таких множеств открыто и плотно в .
Теорема 1. Для того, чтобы метрическая функция , удовлетворяющая аксиомам I, II, III, задавала на двумерном многообразии двумерную геометрию, наделенную групповой симметрией степени три, необходимо и достаточно, чтобы ранг отображения был равен пяти на плотном в множестве.
Докажем сначала необходимость условия теоремы 1 о ранге отображения . Пусть такая четверка, что ее точки принадлежат открытому и плотному в M множеству, о котором говорится в аксиоме IV´ определения настоящего параграфа. Ясно, что множество таких четверок открыто и плотно в , а его пересечение с открыто и плотно в . Поэтому, не ограничивая общности, можно считать, что . Согласно аксиоме IV´ существуют такие окрестности точек этой четверки, что действия некоторой трехмерной локальной группы Ли в них сохраняют метрическую функцию f, определенную в каждой из окрестностей ..., пар . Возьмем теперь произвольную четырехточечную фигуру, соответствующую некоторой четверке из окрестности . Движение этой фигуры как жесткой конструкции означает, что при действии группы в окрестностях , то есть изменении координат ее точек, все шесть расстояний в ней, определяемых системой функций (1.3), сохраняются, являясь двухточечными инвариантами. Инвариантность же этих функций при локальных преобразованиях, задаваемых векторными полями
X = λ(x, y)∂/∂x + σ(x, y)∂/∂y (3.5)
в окрестностях , означает, что эти функции удовлетворяют следующей системе уравнений, аналогичных уравнению (3.4) с операторами (3.3):
(3.6)
Система (3.6) при известной метрической функции может быть рассмотрена как система шести линейных однородных уравнений относительно восьми компонент векторных полей (3.5) в некоторых окрестностях точек . Заметим, что матрица этой системы совпадает с функциональной матрицей (1.4) отображения . Алгебры Ли векторных полей (3.5) трехмерны, так как такую размерность имеют согласно аксиоме IV' локальные группы Ли преобразований окрестностей . Система (3.6), следовательно, имеет решение
(3.7)
где – произвольные константы и по «немому» индексу ω производится суммирование в пределах от 1 до 3, причем функции , линейно независимы по этому индексу с постоянными коэффициентами в соответствующих окрестностях каждой точки четверки .
Таким образом, система (3.6) имеет три линейно независимых с постоянными коэффициентами ненулевых решения. Эти решения можно выписать по общему решению (3.7), беря три линейно независимых ненулевых вектора , например, (1,0,0), (0,1,0,), (0,0,1):
где .
Лемма 2. Решения линейно независимы по нижнему индексу не только с постоянными коэффициентами, но линейно независимы по нему также и с переменными коэффициентами, то есть в общем смысле.
Предположим противное. Пусть найдутся такие переменные коэффициенты что имеют место следующие восемь соотношений:
вытекающие из предполагаемой линейной зависимости решений , которые, напомним, линейно независимы с постоянными коэффициентами. Коэффициенты есть решения системы уравнений (3.8) и являются некоторыми функциями координат точек четверки , одновременно в нуль не обращающимися ни для одной из таких четверок. Заметим, что система (3.8) не обязательно имеет ненулевое решение, так как число уравнений в ней больше числа неизвестных.
Рассмотрим движение произвольной пары , содержащей две точки, и тройки , содержащей три точки, причем переход от пары к тройке состоит в добавлении точки . Поскольку при движении тройки сохраняются дополнительно два расстояний , относительно двух компонент векторного поля , то есть поля (3.5) в некоторой окрестности точки , естественно возникает система двух линейных неоднородных уравнений:
Ранг матрицы этой системы согласно аксиоме III равен двум по крайней мере для одной пары и одной точки из соответствующих окрестностей. Решая уравнения системы, находим выражения для компонент векторного поля через компоненты векторных полей :
Где . В силу произвольности коэффициентов в решении (3.7), из этих выражений получаем линейную связь:
(3.9)
Запишем подсистему системы уравнений (3.8), относящуюся к паре :
(3.8’)
Соответствующая подсистема системы (3.8) для тройки получается добавлением к подсистеме (3.8’) двух уравнений (j) = 0, (j) = 0. Но эти уравнения в силу линейной связи (3.9) являются следствием уравнений подсистемы (3.8’). То есть ранги матриц подсистем системы (1.8), относящихся к паре и тройке , совпадают. Ранг матрицы подсистемы (3.8’) равен двум или единице. Действительно, с одной стороны, этот ранг не превышает значения, равного трем, так как в противном случае вся система (3.8) будет иметь только нулевое решение, что противоречит сделанному предположению. С другой стороны, по следствию леммы 1 он не может быть меньше единицы. Таким образом, в матрице подсистемы (3.8’) найдется такая квадратная подматрица ненулевого порядка r < 3, определитель которой отличен от нуля. Возьмем определитель r + 1 порядка, содержащий эту квадратную подматрицу в качестве минора порядка r и строку из матрицы подсистемы (3.8) для тройки , в которую входят или функции или функции . Поскольку по доказанному выше ранг матрицы подсистемы системы (3.8) для тройки тоже равен r, указанный определитель r + 1 порядка должен обращаться в нуль. Раскрывая этот определитель по элементам строки, содержащей функции и , получаем связь
где есть алгебраическое дополнение к или , зависящее от координат точек пары и не зависящее от координат точки j. Заметим, что хотя бы одно из этих алгебраических дополнений тождественно в нуль не обращается. Фиксируя в полученной связи координаты точек пары , по которым эта связь выполняется тождественно, устанавливаем, что функции и линейно зависимы по нижнему индексу ω с постоянными коэффициентами. Но этот результат противоречит основному условию аксиомы 4’, согласно которому размерность локальной группы Ли преобразований окрестности U(j) равна трем, и потому такую же размерность имеет соответствующая алгебра Ли векторных полей X(j) с базисом
,
где ω = 1, 2, 3. Установленное противоречие и доказывает лемму 2.
Итак, по только что доказанной лемме 2 система уравнений (3.6) имеет три линейно независимых в общем смысле ненулевых решения в некоторой окрестности четверки . Предположим, что в этой окрестности найдется такая четверка, для которой ранг матрицы , то есть ранг матрицы системы (3.6), равен шести. В силу гладкости метрической функции f ранг матрицы будет равен шести и в некоторой окрестности указанной четверки, содержащейся в окрестности . Как известно, максимальное число линейно независимых (для системы (3.6) – в общем смысле) ненулевых решений алгебраической системы линейных однородных уравнений равно числу неизвестных минус ранг матрицы системы. В предполагаемом случае для системы (3.6) оно будет равно двум (8 − 6 = 2), то есть меньше трех, хотя, в действительности, по лемме 2 эта система имеет три линейно независимых в общем смысле ненулевых решения (3.7’). Таким образом, ранг матрицы в окрестности . не может быть больше пяти. С другой стороны, в этой матрице по лемме 1, имеется квадратная подматрица порядка пять, определитель которой отличен от нуля. имеется квадратная подматрица пятого порядка с отличным от нуля определителем для некоторого кортежа из окрестности . Следовательно, в любой окрестности плотного в множества четверок , описанных в самом начале доказательства теоремы 1, найдется такая четверка, для которой ранг матрицы , то есть ранг отображения F, задаваемой системой функций , точно равен пяти. Множество таких четверок, очевидно, плотно в . На этом доказательство необходимости условия теоремы 1 о ранге отображения F завершено.
Перейдем к более сложному доказательству достаточности этого условия. Пусть для четверки из плотного в множества, о котором говорится в условии теоремы 1, ранг отображения F с функциональной матрицей (1.4) равен пяти. Опираясь на лемму: Для любой четверки из ранг матрицы (1.4), то есть ранг отображения F, не равен шести, можем полагать, что ранг матрицы (1.4) будет равен пяти для всех четверок из некоторой окрестности ⊂ исходной четверки. Поскольку число строк в этой матрице, равное восьми, больше ее ранга, между ними существует линейная связь, которую запишем по элементам каждого столбца:
(3.10)
где, например, и – коэффициенты линейной зависимости при строках с дифференцированием по координатам и , а для их отличия от компонент и векторного поля (3.5) в окрестности , входящих в уравнения системы (3.6), здесь использованы квадратные скобки.
Соотношения (3.10) при известной метрической функции f представляют собой алгебраическую систему шести линейных однородных уравнений относительно восьми коэффициентов линейной зависимости λ[i], σ(i), λ[j], σ(j), λ[k], σ(k), λ[l], σ[l], которые одновременно в нуль не обращаются в окрестности U(i) U(j) U(k) U(l). Максимальное число линейно независимых (в общем смысле) ненулевых решений системы (3.10) равно числу неизвестных минус ранг матрицы системы, то есть равно трем. Выпишем общее решение системы (3.10):
(3.11)
где – коэффициенты общего решения в его выражении через линейно независимые ненулевые решения этой же системы, причем суммирование по "немому" индексу ω производится в пределах от 1 до 3. Однако в отличие от решения (3.7) аналогичной системы (3.6) здесь учтена возможная зависимость выражений λ[i], σ[i], λ[j], σ[j], λ[k], σ[k], λ[l], σ[l] не только от координат той точки, по координате которой проводится дифференцирование в соответствующем строке функциональной матрицы (1.4), но и от координат всех точек исходной четверки , входящих в коэффициенты уравнений (3.10). Кроме того, в решении (3.11) коэффициенты являются, в общем случае, функциями, тогда как в решении (3.7) коэффициенты были только произвольными константами.
Итоговым результатом изложенного является вывод об эквивалентности феноменологической и групповой симметрий геометрии, задаваемой на двумерном многообразии M метрической функцией f. Эта эквивалентность является следствием доказанных выше теорем из вышеуказанного пункта и теоремы 1 из настоящего пункта, необходимые и достаточные условия которых о ранге отображения F совпадают.
Теорема 2. Для того, чтобы метрическая функция f задавала на двумерном многообразии M феноменологически симметричную двумерную геометрию ранга четыре, необходимо и достаточно, чтобы эта функция задавала на нем двумерную геометрию, наделенную групповой симметрией степени три.
Заметим, что условие о ранге отображения F можно сформулировать как четвертую аксиому в определении геометрии. Такая геометрия будет, с одной стороны, феноменологически симметрична, а с другой – наделена групповой симметрией, причем обе симметрии в смысле теоремы 2 окажутся эквивалентными.
Теорема 3. Размерность группы локальных движений, допускаемых метрической функцией f, задающей на двумерном многообразии M феноменологически симметричную двумерную геометрию ранга четыре, или двумерную геометрию, наделенную групповой симметрией степени три, не превышает этой степени.
- Примеры и задачи.
- Феноменологическая симметрия.
Пример. Доказать, что для плоскости Евклида с метрической функцией
(3.4) соотношение феноменологической симметрии
(1)
выражается следующим уравнением:
Решение. Используя известное правило перемножения квадратных матриц и их определителей, представим уравнение (2) в следующем виде:
Действительно, левые части уравнений (2) и совпадают для метрической функции (1). Убедимся в этом, перемножив, например, в левой части уравнения вторую строку первого определителя на четвертый столбец второго:
Поскольку оба перемножаемых определителя, имея нулевой столбец и нулевую строку, заведомо равны нулю, их произведение, совпадающее с определителем Кэли-Менгера в левой части уравнения (2), также равно нулю. Это и доказывает справедливость уравнения (2), которое является тождеством по всем восьми координатам четырех точек i, j, k, l.
- Групповая симметрия
Пример. Для плоскости Евклида с метрической функцией
найти полную локальную группу движений
, базисные операторы
ее алгебры Ли, по которым восстановить саму метрическую функцию как решение системы трех дифференциальных уравнений (**).
Решение. Запишем функциональное уравнение
для метрической функции (1) евклидовой плоскости:
Вследствие предполагаемой локальной обратимости преобразований(*) отличен от нуля якобиан для двух функций λ(x, y), σ(x, y) по двум переменным x, y:
.
Уравнение (2) справедливо для любых точек i и j, поэтому по их координатам, и оно должно выполняться тождественно. Продифференцируем его по координатам точки j. После деления на минус 2 получаем:
Результаты дифференцирования (4) рассмотрим как систему двух линейных алгебраических уравнений относительно разностей λ(i) − λ(j) и σ(i) − σ(j). Поскольку определитель этой системы совпадает с якобианом (3) для точки j и отличен от нуля, она может быть решена методом Крамера:
Дифференцируя найденные решения по координатам точки i, получаем:
то есть коэффициенты в них при разностях координат и являются постоянными, которые обозначим соответственно через a, g, b, h:
Разделяя, далее, в решениях (4) точки i, j и затем опуская их обозначения,
приходим к следующим выражениям:
λ(x, y) = ax + gy + c, σ(x, y) = bx + hy + d, (5)
которые необходимо подставить в исходное функциональное уравнение (2). В результате получаем связь между коэффициентами этих выражений:
откуда легко находим:
Таким образом, для функций λ и σ преобразования , (***) являющегося движением плоскости Евклида, получаем окончательно следующие выражения:
λ(x, y) = ax − εby + c, σ(x, y) = bx + εay + d, (6)
где Множество преобразований (***) с функциями (6) является полной группой движений плоскости Евклида, в которую входят как собственные движения с ε = +1, так и несобственные с ε = −1. Все собственные движения составляют связную локальную группу преобразований, которые можно записать в следующем виде:
Сопоставляя полученные уравнения движений (7) с общей их записью
(*) устанавливаем соотношение параметров:. Линейные параметры c, d задают параллельный перенос, а угловой параметр – поворот в плоскости Евклида.
Запишем бесконечно малое (инфинитезимальное) преобразование (7), близкое к тождественному, которое задается нулевыми значениями всех параметров:
откуда получаем координатный базис соответствующей трехмерной алгебры Ли:
Система уравнений
c операторами (8) совпадает с системой
При q = 0 и ее решение восстанавливает метрическую функцию (1) плоскости.
Заключение
Двумерные геометрии задаются на двумерном многообразии невырожденной метрической функцией. Их феноменологическая симметрия означает следующее: для любой четверки точек шесть возможных взаимных расстояний функционально связаны. Плоскость Евклида, например, является двумерной феноменологически симметричной геометрией, но не только она. Приводится полная классификация таких геометрий, выявляется их групповая симметрия и устанавливается ее эквивалентность феноменологической симметрии. В двумерных геометриях естественно определяются окружности и циклы, причем для последних возникают особого рода функциональные уравнения. Двуметрические феноменологически симметричные двумерные геометрии с двухкомпонентной метрической функцией опускают содержательную физическую интерпретацию в термодинамике и также наделены групповой симметрией. Трехмерные и триметрические феноменологически симметричные геометрии определяются аналогично двумерным и двуметрическим.
Изучили основные определения двумерной геометрии. В данной работе мы рассмотрели феноменологическую и групповую симметрию в двумерной геометрии, их разность, эквивалентность между ними.
Рассмотрели примеры и задачи.
Список литературы
- Кыров, В. А. Феноменологические симметрические локальные группы Ли преобразований пространства / В. А. Кыров //Известия вузов. Математика – 2009. – № 7. – C.10–21.
- Михайличенко, Г. Г. Функциональные уравнения в геометрии двух множеств / Г. Г. Михайличенко // Известия высших учебных заведений. Математика – – № 7. – C. 64–72.
- Кулаков, Ю. А. О новом виде симметрии, лежащей в основании физических теорий феноменологического типа / Ю. А Кулаков // ДАН СССР, – – № 2. – C. 570 – 572.
- Постников М. М. Лекции по геометрии, семестр 5. Группы и алгебра Ли. М.: Наука, 1982
- Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. М.: Мир, 1970.
- Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1999.
- Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. теоритическая физика, т.1. Механика. М.: Наука, 1988.
- Кыров, В. А. Алгебра Ли группы движений феноменологически симметричной геометрии / В. А. Кыров // Математические заметки – 2012. – № 2. – C. 312–315.
- Михайличенко, Г. Г. К вопросу о симметрии расстояния в геометрии / Г. Г. Михайличенко // Известия вузов. Математика. – 1994. – №4. – C. 21–23.
- Малышев, В. М. Феноменологическая симметрия и функциональные уравнения / В. М. Малышев // Известия вузов. Математика. – 2001. – № 7. – C. 77–79.
- Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: Методы и приложения. – М.: Наука, 1986, 760 с
- Мышкис А.Д. Математика для технических вузов. Специальные курсы. – СПб.: Издательство «Лань», 2009. — 640 с
- Кыров, В. А. Феноменологические симметрические локальные группы Ли преобразований пространства / В. А. Кыров //Известия вузов. Математика – 2009. – № 7. – C.10–21.
- Михайличенко, Г. Г. Функциональные уравнения в геометрии двух множеств / Г. Г. Михайличенко // Известия высших учебных заведений. Математика – – № 7. – C. 64–72.
- Кулаков, Ю. А. О новом виде симметрии, лежащей в основании физических теорий феноменологического типа / Ю. А Кулаков // ДАН СССР, – – № 2. – C. 570 – 572.
- Кыров, В. А. Феноменологические симметрические локальные группы Ли преобразований пространства / В. А. Кыров //Известия вузов. Математика – 2009. – № 7. – C.10–21.
- Михайличенко, Г. Г. Функциональные уравнения в геометрии двух множеств / Г. Г. Михайличенко // Известия высших учебных заведений. Математика – – № 7. – C. 64–72.
- Кулаков, Ю. А. О новом виде симметрии, лежащей в основании физических теорий феноменологического типа / Ю. А Кулаков // ДАН СССР, – – № 2. – C. 570 – 572.
- Кыров, В. А. Феноменологические симметрические локальные группы Ли преобразований пространства / В. А. Кыров //Известия вузов. Математика – 2009. – № 7. – C.10–21.
- Михайличенко, Г. Г. Функциональные уравнения в геометрии двух множеств / Г. Г. Михайличенко // Известия высших учебных заведений. Математика – – № 7. – C. 64–72.
- Кулаков, Ю. А. О новом виде симметрии, лежащей в основании физических теорий феноменологического типа / Ю. А Кулаков // ДАН СССР, – – № 2. – C. 570 – 572.
Скачать: