Кафедра метрологии, стандартизации и сертификации
КУРСОВАЯ РАБОТА
по дисциплине
«Метрология, стандартизация и сертификация»
на тему
«Обработка результатов многократных измерений с неравноточными наблюдениями»
Пояснительная записка
Задание на курсовую работу по МС и С
При измерении напряжения 30 В вольтметром четырьмя операторами (№1-20; №21-40; №41-80) в процессе измерений были получены следующие результаты.
Выполнить статистическую обработку результатов неравноточных наблюдений. Провести анализ стабильности результатов измерений.
Таблица Исходные данные
|
1. |
30.00 |
26. |
31.40 |
52. |
29.50 |
|
2. |
30.02 |
27. |
31.60 |
53. |
29.60 |
|
3. |
30.00 |
28. |
31.50 |
54. |
29.70 |
|
4. |
30.00 |
29. |
32.60 |
55. |
29.70 |
|
5. |
30.02 |
30. |
31.10 |
56. |
29.70 |
|
6. |
30.01 |
31. |
31.10 |
57. |
29.60 |
|
7. |
30.00 |
32. |
31.70 |
58. |
29.70 |
|
8. |
30.01 |
33. |
31.10 |
59. |
29.75 |
|
9. |
30.02 |
34. |
31.50 |
60. |
29.75 |
|
10. |
30.01 |
35. |
31.40 |
61. |
29.71 |
|
11. |
30.00 |
36. |
31.30 |
62. |
29.75 |
|
12. |
29.90 |
37. |
31.10 |
63. |
29.78 |
|
13. |
30.00 |
38. |
31.70 |
64. |
29.79 |
|
14. |
29.92 |
39. |
31.60 |
65. |
29.79 |
|
15. |
30.01 |
40. |
31.30 |
66. |
29.70 |
|
16. |
30.00 |
41. |
31.20 |
67. |
29.75 |
|
17. |
29.99 |
42. |
31.10 |
68. |
29.80 |
|
18. |
30.00 |
43. |
31.40 |
69. |
29.85 |
|
19. |
30.00 |
44. |
31.30 |
70. |
29.86 |
|
20. |
29.99 |
45 |
31.00 |
71. |
29.80 |
|
21. |
29.80 |
46 |
31.00 |
72. |
29.85 |
|
22. |
29.91 |
47. |
31.10 |
73. |
29.85 |
|
23. |
29.82 |
48. |
31.30 |
74. |
29.85 |
|
24. |
29.62 |
49. |
31.40 |
75. |
29.82 |
|
25. |
29.85 |
50. |
31.20 |
76. |
29.85 |
|
|
|
51. |
31.10 |
77. |
30.00 |
|
|
|
|
|
78. |
30.01 |
|
|
|
|
|
79. |
30.01 |
|
|
|
|
|
80. |
30.00 |
Исполнитель : студент гр. 09СС________
Руководитель курсовой работы _________ Л.Н. Третьяк
Аннотация
Курсовая работа содержит 79 страниц, в том числе 4 приложения, 4 источника использованной литературы, 23 таблицы.
В курсовой работе выполнена обработка результатов 3 групп результатов наблюдений с определением точечных оценок закона распределения, исключением результатов с грубыми погрешностями по критериям и статистической обработкой.
Затем проведена статистическая обработка результатов наблюдений при неравноточных измерениях и определение параметров закона распределения результатов наблюдений по составному критерию и критерию Колмогорова для 4-х групп результатов измерений.
За результат измерений принята оценка средневзвешенного значения при неравноточных измерениях.
Проведено построение контрольных карт Шухарта, причем за пределы предупреждения и действия взяты 2σ и 3σ соответственно.
Анализ контрольных карт Шухарта показал, что в измерениях отсутствуют критические признаки нестабильности и поэтому предложенные мероприятия носят превентивный характер.
Содержание
|
Введение ..................................................................................................................... |
6 |
|
1 Обработка результатов наблюдений первой группы........................................... |
7 |
|
1.1 Определение точечных оценок закона распределения результатов наблюдений................................................................................................................. |
7 |
|
1.2 Исключение результатов с грубыми погрешностями ...................................... |
9 |
|
1.3 Исключение систематических погрешностей измерений................................ |
10 |
|
1.4 Статистическая обработка результатов измерений ………………………… |
12 |
|
2 Обработка результатов наблюдений второй группы…………………………... |
18 |
|
2.1 Определение точечных оценок закона распределения результатов наблюдений………………………………………………………………………… |
18 |
|
2.2 Исключение результатов с грубыми погрешностями ……………………… |
20 |
|
2.3 Исключение систематических погрешностей измерений................................ |
21 |
|
2.4 Статистическая обработка результатов измерений ......................................... |
22 |
|
3 Обработка результатов наблюдений третьей группы.......................................... |
28 |
|
3.1 Определение точечных оценок закона распределения результатов наблюдений................................................................................................................. |
29 |
|
3.2 Исключение результатов с грубыми погрешностями ...................................... |
30 |
|
3.3 Исключение систематических погрешностей измерений……………............ |
32 |
|
3.4 Статистическая обработка результатов измерений ......................................... |
34 |
|
4 Статистическая обработка результатов наблюдений при неравноточных измерениях.................................................................................................................. |
40 |
|
4.1 Проверка однородности дисперсий.................................................................... |
40 |
|
4.2 Определение точечных оценок параметров распределения............................ |
41 |
|
5 Определение параметров закона распределения результатов наблюдений по статистическим критериям........................................................................................ |
44 |
|
5.1 Определение параметров закона распределения результатов наблюдений по статистическим критериям (группа №1)............................................................. |
44 |
|
5.2 Определение параметров закона распределения результатов наблюдений по статистическим критериям (группа №2)............................................................. |
47 |
|
5.3 Определение параметров закона распределения результатов наблюдений по статистическим критериям (группа №3)............................................................. |
50 |
|
5.4 Определение параметров закона распределения результатов наблюдений по статистическим критериям (группа №4)………………………………………. |
53 |
|
6 Приближенная идентификация формы и вида закона распределения результатов измерений…………………………………………………………….. |
56 |
|
6.1 Идентификация формы и вида закона распределения результатов первой группы измерений………………………………………………………………….. |
56 |
|
6.2 Идентификация формы и вида закона распределения результатов второй группы измерений...................................................................................................... |
58 |
|
6.3 Идентификация формы и вида закона распределения результатов третьей группы измерений...................................................................................................... |
60 |
|
7 Методы контроля стабильности стандартного отклонения промежуточной прецизионности рутинного анализа с изменяющимся фактором «время……… |
63 |
|
8 Представление результатов измерений................................................................. |
65 |
|
Заключение.................................................................................................................. |
66 |
|
Список использованных источников........................................................................ |
67 |
|
Приложение А - Графическая интерпретация результатов обработки наблюдений 1-ой группы………………………………………………………… |
69 |
|
Приложение Б - Графическая интерпретация результатов обработки наблюдений 2-ой группы…………………………………………………………... |
72 |
|
Приложение В - Графическая интерпретация результатов обработки наблюдений 3-ей группы........................................................................................... |
75 |
|
Приложение Г - Контроль стабильности результатов измерений……................ |
78 |
Введение
Измерения не являются самоцелью, а имеют определённую область использования, т. е. проводятся для достижения некоторого конечного результата в соответствии с поставленной задачей.
В зависимости от назначения измерений, их конечный результат в том, или ином виде отражает требуемую информацию о количественных свойствах объектов, явлений и процессов. Причем такая информация может быть получена путём измерения, в процессе испытания или контроля.
Измерение физической величины (по РМГ 29-99) - совокупность операций по применению технического средства, хранящего единицу физической величины, обеспечивающих нахождение соотношения (в явном или неявном виде) измеряемой величины с ее единицей и получение значения этой величины.
Равноточные измерения (согласно РМГ 29-99) - ряд измерений какой-либо величины, выполненных одинаковыми по точности средствами измерений в одних и тех же условиях с одинаковой тщательностью. Прежде, чем выполнять обработку результатов наблюдений необходимо убедиться, что они выполнены при равноточных измерениях.
Курсовая работа по дисциплине «Метрология, стандартизация и сертификация» представляет собой комплексную работу по обработке результатов равноточных и неравноточных многократных наблюдений при прямых и косвенных измерениях некоторой физической величины.
Курсовая работа позволяет получить навыки выявления погрешностей в результатах наблюдений, статистической обработки результатов наблюдений отдельных групп, определения средневзвешенных статистических характеристик групп неравноточных наблюдений; представления результатов измерений; оценки формы и вида законов экспериментальных распределений физических величин; записи результатов измерений. Выполнение курсовой работы также позволяет овладеть практическими навыками в работе с нормативно-технической литературой и стандартами.
Цель курсовой работы – закрепление знаний по основным разделам курса теоретической метрологии, а также практическое обучение методам анализа и обработки статистических данных.
1 Обработка результатов наблюдений первой группы
Упорядочиваем совокупность результатов измерений и представляем в виде таблицы 1.1.
Таблица 1.1 – Упорядоченная совокупность результатов, В (n=20)
|
№ наблюдения |
Исходная совокупность результатов наблюдений Хi, В |
Упорядоченные значения результатов наблюдений, В |
|
1 |
30,00 |
29,90 |
|
2 |
30,02 |
29,92 |
|
3 |
30,00 |
29,99 |
|
4 |
30,00 |
29,99 |
|
5 |
30,02 |
30,00 |
|
6 |
30,01 |
30,00 |
|
7 |
30,00 |
30,00 |
|
8 |
30,01 |
30,00 |
|
9 |
30,02 |
30,00 |
|
10 |
30,01 |
30,00 |
|
11 |
30,00 |
30,00 |
|
12 |
29,90 |
30,00 |
|
13 |
30,00 |
30,00 |
|
14 |
29,92 |
30,01 |
|
15 |
30,01 |
30,01 |
|
16 |
30,00 |
30,01 |
|
17 |
29,99 |
30,01 |
|
18 |
30,00 |
30,02 |
|
19 |
30,00 |
30,02 |
|
20 |
29,99 |
30,02 |
- Определение точечных оценок закона распределения результатов наблюдений
Требуется определить оценки результата измерения и СКО результатов наблюдений и измерений.
Будем считать, что закон распределения неизвестен. Координата центра распределения определяет положение случайной величины на числовой оси и может быть найдена несколькими способами. Наиболее фундаментальным является отыскание центра по принципу симметрии, т.е. такой точки X M на оси x, слева и справа от которой вероятности появления различных значений случайной величины одинаковы и равны 0,5.
В качестве оценки центра распределения может выбираться одна из следующих оценок (в зависимости от типа распределения): выборочное среднее арифметическое, медиана, центр размаха, срединный размах, среднее арифметическое 90%-ной выборки.
1.1.1 Определяем выборочное среднее арифметическое () по формуле [1]:
(1.1)
где X i – отдельные результаты наблюдений;
n – общее количество результатов наблюдений.
1.1.2 Определяем среднее арифметическое 90%-ной выборки () [1]:
(1.2)
где 2r – число не учитываемых результатов;
n – общее количество результатов наблюдений;
X i – отдельные результаты наблюдений;
Рассчитаем 5% выборки: . Т.е. отбрасываем с концов вариационного ряда по одному значению: В; В
В
1.1.3 Определяем медиану наблюдений () по формуле [1]:
Медианой называют наблюдаемое значение Xi, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант.
При n - чётном:
(1.3)
1.1.4 Серединный размах вариационного ряда определяем по формуле [1]:
(1.4)
где и - 25% и 75% квантили опытного распределения. Этими квантилями являются точки между 4 и 5; 15 и 16 результатами:
В
1.1.5 Центр размаха определяется по формуле [1]:
(1.5)
В
Полученные оценки центра распределения располагаем в вариационный ряд: или В.
За оценку распределения (результата измерения) окончательно принимаем центр размаха вариационного ряда, так как эта оценка занимает медианное положение в ряду оценок: = =В.
1.1.6 Дисперсию повторяемости вычисляем по формуле (1.6):
(1.6)
В.
1.2 Исключение результатов с грубыми погрешностями
Вопрос исключения грубых погрешностей или промахов по критериям решается статистическими методами, которые не применимы к однократным измерениям. Основная гипотеза заключается в том, что результат измерения не содержит грубой погрешности, то есть, является измеряемой величиной. Подтверждая или опровергая эту гипотезу, мы можем оценить результаты измерений.
Для исключения результатов с грубыми погрешностями будем использовать критерий Манделя.
Исключение грубых погрешностей выполняется для проверки наличия промахов и делается перед определением дисперсии.
1.2.1 Проверка по статистикам Манделя
Вычисляем квантиль по формуле:
,
Для выявления выбросов по статистикам Манделя находим табличные значения для 5 % и 1 % уровня значимости.
при 1,5
при 1,67
В случае если значения тестовой (табличной) статистики меньше чем расчётной , то тестируемое значение признают корректным - выброс отсутствует.
В случае если значения тестовой (табличной) статистики > 5 % критического значения или % критического значения, то тестовую позицию (подозрительный результат) называют квазивыбросом.
В случае если значения тестовой (табличной) статистики > 1 % критического значения, то тестовую позицию (подозрительный результат) называют выбросом. Из совокупности данных результатов наблюдений удаляют только выбросы.
1.2.1.1 Проверка на наличие выбросов по статистикам Манделя для четвёртой группы.
,
.
Из вычислений можно сделать вывод, что первый результат является выбросом, следовательно, этот результат необходимо исключить из выборки.
1.3 Исключение систематических погрешностей измерений
Требуется выполнить обработку результатов по исключению переменной систематической погрешности.
Первичная обработка последовательности результатов наблюдений одной и той же величины состоит в исключении переменной систематической погрешности. Приведенные результаты представим графически (Приложение Б), на графике можно увидеть прогрессирующую, линейно возрастающую по модулю погрешность.
Модуль переменной составляющей систематической погрешности определяется по формуле:
где – разность между наибольшими и наименьшими значениями результатов наблюдений;
– общее число результатов;
– порядковый номер измерения.
Разность определяется по аппроксимирующей прямой.
тогда
,
; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; .
Округлив значения до сотых долей (точность получения результатов), её исключаем из результатов измерений по формуле:
,
где - поправка, вносимая в каждый результат.
Внеся исправления и упорядочив совокупность результатов измерений по степени возрастания, получаем новую последовательность результатов в виде таблицы 1.2.
Таблица 1.2 – Упорядоченная совокупность исправленных результатов измерений
|
№ наблюдения |
Исправленные значения результата измерения Хi, В |
Упорядоченная исправленная совокупность результата измерения Хi, В |
|
1 |
30,00 |
29,91 |
|
2 |
30,02 |
29,97 |
|
3 |
30,00 |
29,97 |
|
4 |
30,00 |
29,98 |
|
5 |
30,01 |
29,98 |
|
6 |
30,00 |
29,98 |
|
7 |
29,99 |
29,99 |
|
8 |
30,00 |
29,99 |
|
9 |
30,01 |
29,99 |
|
10 |
30,00 |
29,99 |
|
11 |
29,99 |
30,00 |
|
12 |
29,99 |
30,00 |
|
13 |
29,91 |
30,00 |
|
14 |
29,99 |
30,00 |
|
15 |
29,98 |
30,00 |
|
16 |
29,97 |
30,00 |
|
17 |
29,98 |
30,01 |
|
18 |
29,98 |
30,01 |
|
19 |
29,97 |
30,02 |
На основании данной таблицы достраиваем графики, приведенные в Приложении А, после внесения поправки на систематическую погрешность.
Для графического определения вида закона распределения построим гистограмму (Рисунок А.2 Приложения А)
1.4 Статистическая обработка результатов измерений
После исключения результатов с грубыми погрешностями и внесения поправок на систематическую погрешность проводим математическую статистическую обработку исправленных результатов измерений.
Определяем точечные оценки исправленных результатов измерений. Для этого по формулам, проведенным в разделе 1.1, определяем точечные оценки координаты центра распределения и СКО результатов наблюдений и измерений.
1.4.1 Статистическая обработка результатов измерений второй группы
1.4.1.1 Определяем выборочное среднее арифметическое () по формуле (1.1):
1.4.1.2 Определяем среднее арифметическое 90%-ной выборки ()
Среднее арифметическое находится по формуле (1.2). Пять процентов выборки в нашем случае 0,05∙n=0,05∙19=0,95≈1, т.е. один результат измерения. Отбрасываем по одному измерению с концов вариационного ряда, т.е. результаты х1=29,91 В и х19=30,02 В.
1.4.1.3 Определяем медиану наблюдений () по формуле (2.9) [1]:
При n - нечётном:
,
В
1.4.1.4 Центр размаха определяется по формуле (1.5):
В
1.4.1.5 Серединный размах вариационного ряда определяем по формуле (1.5):
В
Полученные оценки центра распределения располагаем в вариационный ряд: или В.
За оценку распределения (результата измерения) окончательно принимаем среднее арифметическое, так как эта оценка занимает медианное положение в ряду оценок: == В.
1.4.1.6 Дисперсию повторяемости исправленных значений результатов измерений Хi, В вычисляем по формуле (1.6):
В
1.4.2 Разделим вариационный ряд на интервалы
Вычислим число интервалов k по формуле:
,
Ширина интервала вычисляется по формуле:
,
В
Определяем границы интервалов, затем определяем частоту попадания в интервалы и середины интервалов.
Результаты (после исключения грубых и систематических погрешностей, упорядочения и разбиения выборки на интервалы) представлены в таблице 1.3.
Таблица 1.3 – Промежуточные значения интервального ряда
|
Граница интервалов xi – xi+1, В |
Середины интервалов xi0 ,В |
Частота попадания в интервалы mi |
Статистическая вероятность (частость) |
|
29,91-29,932 |
29,921 |
1 |
0,05263158 |
|
29,932-29,954 |
29,943 |
0 |
0 |
|
29,954-29,976 |
29,965 |
2 |
0,10526316 |
|
29,976-29,998 |
29,987 |
7 |
0,36842105 |
|
29,998-30,02 |
30,009 |
9 |
0,47368421 |
|
Σ |
|
19 |
1 |
1.4.3 Определяем среднее арифметическое () по формуле:
,
где – значение измеряемой величины в середине - го интервала;
– количество интервалов, на которые разбит вариационный ряд.
, В
1.4.4 Определяем несмещённую оценку СКО по формуле:
В
1.4.5 Определение закона распределения результатов измерений
Представим заданный статистический ряд в виде гистограммы, показанной в Приложении А, на рисунке А.2.
По виду гистограммы, предполагаем, что закон распределения результатов наблюдений в ряде образцов при измерении – нормальный.
1.4.6 Определение дифференциальной функции распределения
Вычислим дифференциальную функцию распределения для середин интервалов. Для этого вычислим значение нормированного аргумента по формуле, для каждого интервала:
,
Затем, пользуясь статистической таблицей (Приложение А) [6], определим дифференциальную функцию .
Используя свойство нормального распределения , находим значения дифференциальной функции в выбранных единицах (в случае использования интервалов) по формуле:
Окончательно все вычисления сводим в таблицу 1.4.
Для построения статистической функции распределения можно воспользоваться формулой для дополнительных вычислений:
Таблица 1.4 – Вероятностные параметры распределений
|
Середины интервалов xi0, В |
|||||
|
29,921 |
-3,11199 |
0,0032 |
0,00310179 |
0,00094 |
0,05263158 |
|
29,943 |
-2,14268 |
0,0404 |
0,03916009 |
0,0162 |
0,05263158 |
|
29,965 |
-1,17337 |
0,2012 |
0,19502502 |
0,121 |
0,15789474 |
|
29,987 |
-0,20407 |
0,391 |
0,37899992 |
0,4207 |
0,52631579 |
|
30,009 |
0,765244 |
0,2966 |
0,28749713 |
0,7794 |
1 |
Для построения теоретической функции воспользуемся Приложением В [6]. Графики эмпирической и теоретической функций интегрального вида показаны в Приложении А, на рисунке А.3.
По виду статистических кривых можно также сделать заключение о нормальности распределения экспериментальных данных, хотя для окончательного заключения требуется проверка по критериям согласия (или приближенная идентификация по точечным числовым характеристикам).
Окончательно результаты по определению вероятностных характеристик первой группы наблюдений сводим в таблицу 1.6.
Таблица 1.6 – Параметры функций распределений первой группы наблюдений
|
Границы интер-валов xi-xi+1, В |
Сере- дины интерва- лов xio, В |
Нормиро-ванный параметр |
Диф. функция норми- рован. нормал. распре-деления f(ti) |
Диф. функция в единицах выбранной величины |
Эмпири-ческая диф. функция |
Эмпири-ческая инте-гральная функция |
Норми- рованная инте- гральная функция F(x)=F(t) |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
29,91-29,932 |
29,921 |
-3,11199 |
0,0032 |
0,00310179 |
0,05263158 |
0,05263158 |
0,00094 |
|
29,932-29,954 |
29,943 |
-2,14268 |
0,0404 |
0,03916009 |
0 |
0,05263158 |
0,0162 |
|
29,954-29,976 |
29,965 |
-1,17337 |
0,2012 |
0,19502502 |
0,10526316 |
0,15789474 |
0,121 |
|
29,976-29,998 |
29,987 |
-0,20407 |
0,391 |
0,37899992 |
0,36842105 |
0,52631579 |
0,4207 |
|
29,998-30,02 |
30,009 |
0,765244 |
0,2966 |
0,28749713 |
0,47368421 |
1 |
0,7794 |
2 Обработка результатов наблюдений второй группы
Упорядочиваем совокупность результатов измерений и представляем в виде таблицы 2.1.
Таблица 2.1 – Упорядоченная совокупность результатов, В (n=20)
|
№ наблюдения |
Исходная совокупность результатов наблюдений Хi, В |
Упорядоченные значения результатов наблюдений, В |
|
1 |
29,80 |
29,62 |
|
2 |
29,91 |
29,80 |
|
3 |
29,82 |
29,82 |
|
4 |
29,62 |
29,85 |
|
5 |
29,85 |
29,91 |
|
6 |
31,40 |
31,10 |
|
7 |
31,60 |
31,10 |
|
8 |
31,50 |
31,10 |
|
9 |
32,60 |
31,10 |
|
10 |
31,10 |
31,30 |
|
11 |
31,10 |
31,30 |
|
12 |
31,70 |
31,40 |
|
13 |
31,10 |
31,40 |
|
14 |
31,50 |
31,50 |
|
15 |
31,40 |
31,50 |
|
16 |
31,30 |
31,60 |
|
17 |
31,10 |
31,60 |
|
18 |
31,70 |
31,60 |
|
19 |
31,60 |
31,70 |
|
20 |
31,30 |
31,70 |
2.1 Определение точечных оценок закона распределения результатов наблюдений
Требуется определить оценки результата измерения и СКО результатов наблюдений и измерений.
Будем считать, что закон распределения неизвестен. Координата центра распределения определяет положение случайной величины на числовой оси и может быть найдена несколькими способами. Наиболее фундаментальным является отыскание центра по принципу симметрии, т.е. такой точки X M на оси x, слева и справа от которой вероятности появления различных значений случайной величины одинаковы и равны 0,5.
В качестве оценки центра распределения может выбираться одна из следующих оценок (в зависимости от типа распределения): выборочное среднее арифметическое, медиана, центр размаха, срединный размах, среднее арифметическое 90%-ной выборки.
2.1.1 Определяем выборочное среднее арифметическое () по формуле (1.1):
2.1.2 Определяем среднее арифметическое 90%-ной выборки () (1.2):
Рассчитаем 5% выборки: . Т.е. отбрасываем с концов вариационного ряда по одному значению: В; В
В
2.1.3 Определяем медиану наблюдений () по формуле (1.3):
При n - чётном:
2.1.4 Серединный размах вариационного ряда определяем по формуле (1.4):
В
2.1.5 Центр размаха определяется по формуле (1.5):
В
Полученные оценки центра распределения располагаем в вариационный ряд: или В.
За оценку распределения (результата измерения) окончательно принимаем центр размаха вариационного ряда, так как эта оценка занимает медианное положение в ряду оценок: = =,000 В.
2.1.6 Дисперсию повторяемости вычисляем по формуле (1.6):
В2
2.2 Исключение результатов с грубыми погрешностями
Вопрос исключения грубых погрешностей или промахов по критериям решается статистическими методами, которые не применимы к однократным измерениям. Основная гипотеза заключается в том, что результат измерения не содержит грубой погрешности, то есть, является измеряемой величиной. Подтверждая или опровергая эту гипотезу, мы можем оценить результаты измерений.
Для исключения результатов с грубыми погрешностями будем использовать критерий Манделя.
Исключение грубых погрешностей выполняется для проверки наличия промахов и делается перед определением дисперсии.
2.2.1 Проверка по статистикам Манделя
Вычисляем квантиль по формуле:
,
Для выявления выбросов по статистикам Манделя находим табличные значения для 5 % и 1 % уровня значимости.
при 1,5
при 1,67
В случае если значения тестовой (табличной) статистики меньше чем расчётной , то тестируемое значение признают корректным - выброс отсутствует.
В случае если значения тестовой (табличной) статистики > 5 % критического значения или % критического значения, то тестовую позицию (подозрительный результат) называют квазивыбросом.
В случае если значения тестовой (табличной) статистики > 1 % критического значения, то тестовую позицию (подозрительный результат) называют выбросом. Из совокупности данных результатов наблюдений удаляют только выбросы.
2.2.1.1 Проверка на наличие выбросов по статистикам Манделя для второй группы.
,
Из вычислений можно сделать вывод, что первый результат является выбросом, следовательно, этот результат необходимо исключить из выборки.
2.3 Исключение систематических погрешностей измерений
Требуется выполнить обработку результатов по исключению переменной систематической погрешности.
Первичная обработка последовательности результатов наблюдений одной и той же величины состоит в исключении переменной систематической погрешности. Приведенные результаты представим графически (Приложение Б), на графике можно увидеть прогрессирующую, линейно возрастающую по модулю погрешность.
Модуль переменной составляющей систематической погрешности определяется по формуле:
где – разность между наибольшими и наименьшими значениями результатов наблюдений;
– общее число результатов;
– порядковый номер измерения.
Разность определяется по аппроксимирующей прямой.
тогда
,
; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; .
Округлив значения до сотых долей (точность получения результатов), её исключаем из результатов измерений по формуле:
,
где - поправка, вносимая в каждый результат.
Внеся исправления и упорядочив совокупность результатов измерений по степени возрастания, получаем новую последовательность результатов в виде таблицы 2.2.
Таблица 2.2 – Упорядоченная совокупность исправленных результатов измерений
|
№ наблюдения |
Исправленные значения результата измерения Хi, В |
Упорядоченная исправленная совокупность результата измерения Хi, В |
|
1 |
29,73 |
29,56 |
|
2 |
29,76 |
29,6 |
|
3 |
29,6 |
29,73 |
|
4 |
29,56 |
29,76 |
|
5 |
31,03 |
29,91 |
|
6 |
31,16 |
29,93 |
|
7 |
30,99 |
30,2 |
|
8 |
32,01 |
30,22 |
|
9 |
30,44 |
30,28 |
|
10 |
30,37 |
30,37 |
|
11 |
30,9 |
30,38 |
|
12 |
30,22 |
30,44 |
|
13 |
30,55 |
30,46 |
|
14 |
30,38 |
30,55 |
|
15 |
30,2 |
30,9 |
|
16 |
29,93 |
30,99 |
|
17 |
30,46 |
31,03 |
|
18 |
30,28 |
31,16 |
|
19 |
29,91 |
32,01 |
На основании данной таблицы достраиваем графики, приведенные в Приложении Б, после внесения поправки на систематическую погрешность.
Для графического определения вида закона распределения построим гистограмму (Рисунок Б.2 Приложения Б)
2.4 Статистическая обработка результатов измерений
После исключения результатов с грубыми погрешностями и внесения поправок на систематическую погрешность проводим математическую статистическую обработку исправленных результатов измерений.
Определяем точечные оценки исправленных результатов измерений. Для этого по формулам, проведенным в разделе 1.1, определяем точечные оценки координаты центра распределения и СКО результатов наблюдений и измерений.
2.4.1 Статистическая обработка результатов измерений второй группы
2.4.1.1 Определяем выборочное среднее арифметическое () по формуле (1.1):
2.4.1.2 Определяем среднее арифметическое 90%-ной выборки ()
Среднее арифметическое находится по формуле (1.2). Пять процентов выборки в нашем случае 0,05∙n=0,05∙19=0,95≈1, т.е. один результат измерения. Отбрасываем по одному измерению с концов вариационного ряда, т.е. результаты х1=29,56 В и х19=32,01 В.
2.4.1.3 Определяем медиану наблюдений () по формуле (2.9) [1]:
При n - нечётном:
,
В
2.4.1.4 Центр размаха определяется по формуле (1.5):
В
2.4.1.5 Серединный размах вариационного ряда определяем по формуле (1.5):
В
Полученные оценки центра распределения располагаем в вариационный ряд: или В.
За оценку распределения (результата измерения) окончательно принимаем среднее арифметическое, так как эта оценка занимает медианное положение в ряду оценок: == В.
2.4.1.6 Дисперсию повторяемости исправленных значений результатов измерений Хi, В вычисляем по формуле (1.6):
(1.6)
В2
2.4.2 Разделим вариационный ряд на интервалы
Вычислим число интервалов k по формуле:
,
Ширина интервала вычисляется по формуле:
,
В
Определяем границы интервалов, затем определяем частоту попадания в интервалы и середины интервалов.
Результаты (после исключения грубых и систематических погрешностей, упорядочения и разбиения выборки на интервалы) представлены в таблице 2.3.
Таблица 2.3 – Промежуточные значения интервального ряда
|
Граница интервалов xi – xi+1, В |
Середины интервалов xi0, В |
Частота попадания в интервалы mi |
Статистическая вероятность (частость) |
|
29,56-30,05 |
29,805 |
6 |
0,3157895 |
|
30,05-30,54 |
30,295 |
7 |
0,3684211 |
|
30,54-31,03 |
30,785 |
3 |
0,1578947 |
|
31,03-31,52 |
31,275 |
2 |
0,1052632 |
|
31,52-32,01 |
31,765 |
1 |
0,0526316 |
|
Σ |
|
19 |
1 |
2.4.3 Определяем среднее арифметическое () по формуле:
,
где – значение измеряемой величины в середине - го интервала;
– количество интервалов, на которые разбит вариационный ряд.
, В
2.4.4 Определяем несмещённую оценку СКО по формуле:
, В
2.4.5 Определение закона распределения результатов измерений
Представим заданный статистический ряд в виде гистограммы, показанной в Приложении Б, на рисунке Б.2.
По виду гистограммы, предполагаем, что закон распределения результатов наблюдений в ряде образцов при измерении – нормальный.
2.4.6 Определение дифференциальной функции распределения
Вычислим дифференциальную функцию распределения для середин интервалов. Для этого вычислим значение нормированного аргумента по формуле, для каждого интервала:
,
Затем, пользуясь статистической таблицей (Приложение Г) [6], определим дифференциальную функцию .
Используя свойство нормального распределения , находим значения дифференциальной функции в выбранных единицах (в случае использования интервалов) по формуле:
Окончательно все вычисления сводим в таблицу 2.4.
Для построения статистической функции распределения можно воспользоваться формулой для дополнительных вычислений:
Таблица 2.4 – Вероятностные параметры распределений
|
Середины интервалов xi0, В |
|||||
|
29,805 |
-1,02394 |
0,2371 |
0,2005537 |
0,1539 |
0,3157895 |
|
30,295 |
-0,17808 |
0,3925 |
0,3320005 |
0,4286 |
0,6842106 |
|
30,785 |
0,667785 |
0,3187 |
0,269576 |
0,7486 |
0,8421053 |
|
31,275 |
1,513646 |
0,1276 |
0,1079319 |
0,9345 |
0,9473685 |
|
31,765 |
2,359508 |
0,0246 |
0,0208082 |
0,9909 |
1 |
Для построения теоретической функции воспользуемся Приложением В [6]. Графики эмпирической и теоретической функций интегрального вида показаны в Приложении Б, на рисунке Б.3.
По виду статистических кривых можно также сделать заключение о нормальности распределения экспериментальных данных, хотя для окончательного заключения требуется проверка по критериям согласия (или приближенная идентификация по точечным числовым характеристикам).
Окончательно результаты по определению вероятностных характеристик первой группы наблюдений сводим в таблицу 2.6.
Таблица 2.6 – Параметры функций распределений первой группы наблюдений
|
Границы интер-валов xi-xi+1, В |
Сере- дины интерва- лов xio, В |
Нормиро-ванный параметр |
Диф. функция норми- рован. нормал. распре-деления f(ti) |
Диф. функция в единицах выбранной величины |
Эмпири-ческая диф. функция |
Эмпири-ческая инте-гральная функция |
Норми- рованная инте- гральная функция F(x)=F(t) |
|
29,56-30,05 |
29,805 |
-1,02394 |
0,2371 |
0,2005537 |
0,3157895 |
0,3157895 |
0,1539 |
|
30,05-30,54 |
30,295 |
-0,17808 |
0,3925 |
0,3320005 |
0,3684211 |
0,6842106 |
0,4286 |
|
30,54-31,03 |
30,785 |
0,667785 |
0,3187 |
0,269576 |
0,1578947 |
0,8421053 |
0,7486 |
|
31,03-31,52 |
31,275 |
1,513646 |
0,1276 |
0,1079319 |
0,1052632 |
0,9473685 |
0,9345 |
|
31,52-32,01 |
31,765 |
2,359508 |
0,0246 |
0,0208082 |
0,0526316 |
1 |
0,9909 |
3 Обработка результатов наблюдений третьей группы
Упорядочиваем совокупность результатов измерений и представляем в виде таблицы 3.1.
Таблица 3.1 – Упорядоченная совокупность результатов, В (n=40)
|
№ наблюдения |
Исходная совокупность результатов наблюдений Хi, В |
Упорядоченные значения результатов наблюдений, В |
|
1 |
2 |
3 |
|
1 |
31,20 |
29,50 |
|
2 |
31,10 |
29,60 |
|
3 |
31,40 |
29,60 |
|
4 |
31,30 |
29,70 |
|
5 |
31,00 |
29,70 |
|
6 |
31,00 |
29,70 |
|
7 |
31,10 |
29,70 |
|
8 |
31,30 |
29,70 |
|
9 |
31,40 |
29,71 |
|
10 |
31,20 |
29,75 |
|
11 |
31,10 |
29,75 |
|
12 |
29,50 |
29,75 |
|
13 |
29,60 |
29,75 |
|
14 |
29,70 |
29,78 |
|
15 |
29,70 |
29,79 |
|
16 |
29,70 |
29,79 |
|
17 |
29,60 |
29,80 |
|
18 |
29,70 |
29,80 |
|
19 |
29,75 |
29,82 |
|
20 |
29,75 |
29,85 |
|
21 |
29,71 |
29,85 |
|
22 |
29,75 |
29,85 |
|
23 |
29,78 |
29,85 |
|
24 |
29,79 |
29,85 |
|
25 |
29,79 |
29,86 |
|
26 |
29,70 |
30,00 |
|
27 |
29,75 |
30,00 |
|
28 |
29,80 |
30,01 |
|
29 |
29,85 |
30,01 |
Продолжение таблицы 3.1
|
№ наблюдения |
Исходная совокупность результатов наблюдений Хi, В |
Упорядоченный ряд |
|
1 |
2 |
3 |
|
30 |
29,86 |
31,00 |
|
31 |
29,80 |
31,00 |
|
32 |
29,85 |
31,10 |
|
33 |
29,85 |
31,10 |
|
34 |
29,85 |
31,10 |
|
35 |
29,82 |
31,20 |
|
36 |
29,85 |
31,20 |
|
37 |
30,00 |
31,30 |
|
38 |
30,01 |
31,30 |
|
39 |
30,01 |
31,40 |
|
40 |
30,00 |
31,40 |
3.1 Определение точечных оценок закона распределения результатов наблюдений
Требуется определить оценки результата измерения и СКО результатов наблюдений и измерений.
Будем считать, что закон распределения неизвестен. Координата центра распределения определяет положение случайной величины на числовой оси и может быть найдена несколькими способами. Наиболее фундаментальным является отыскание центра по принципу симметрии, т.е. такой точки X M на оси x, слева и справа от которой вероятности появления различных значений случайной величины одинаковы и равны 0,5.
В качестве оценки центра распределения может выбираться одна из следующих оценок (в зависимости от типа распределения): выборочное среднее арифметическое, медиана, центр размаха, срединный размах, среднее арифметическое 90%-ной выборки.
3.1.1 Определяем выборочное среднее арифметическое () по формуле (1.1):
В
3.1.2 Определяем среднее арифметическое 90%-ной выборки () (1.2):
Рассчитаем 5% выборки: . Т.е. отбрасываем с концов вариационного ряда по два значения: , , и .
В
3.1.3 Определяем медиану наблюдений () по формуле (1.3):
При n - чётном:
3.1.4 Серединный размах вариационного ряда определяем по формуле (1.4):
В
3.1.5 Центр размаха определяется по формуле (1.5):
В
Полученные оценки центра распределения располагаем в вариационный ряд: или В.
За оценку распределения (результата измерения) окончательно принимаем серединный размах вариационного ряда, так как эта оценка занимает медианное положение в ряду оценок: = = В.
3.1.6 Дисперсию повторяемости вычисляем по формуле (1.6):
3.2 Исключение результатов с грубыми погрешностями
Вопрос исключения грубых погрешностей или промахов по критериям решается статистическими методами, которые не применимы к однократным измерениям. Основная гипотеза заключается в том, что результат измерения не содержит грубой погрешности, то есть, является измеряемой величиной. Подтверждая или опровергая эту гипотезу, мы можем оценить результаты измерений.
Для исключения результатов с грубыми погрешностями будем использовать критерий Манделя.
Исключение грубых погрешностей выполняется для проверки наличия промахов и делается перед определением дисперсии.
3.2.1 Проверка по статистикам Манделя
Вычисляем квантиль по формуле:
,
Для выявления выбросов по статистикам Манделя находим табличные значения для 5 % и 1 % уровня значимости.
при 1,5
при 1,67
В случае если значения тестовой (табличной) статистики меньше чем расчётной , то тестируемое значение признают корректным - выброс отсутствует.
В случае если значения тестовой (табличной) статистики > 5 % критического значения или % критического значения, то тестовую позицию (подозрительный результат) называют квазивыбросом.
В случае если значения тестовой (табличной) статистики > 1 % критического значения, то тестовую позицию (подозрительный результат) называют выбросом. Из совокупности данных результатов наблюдений удаляют только выбросы.
3.2.1.1 Проверка на наличие выбросов по статистикам Манделя для третьей группы.
,
Из полученных результатов можно сделать вывод, что последний результат является выбросом, следовательно, этот результат необходимо исключить из выборки.
3.3 Исключение систематических погрешностей измерений
Требуется выполнить обработку результатов по исключению переменной систематической погрешности.
Первичная обработка последовательности результатов наблюдений одной и той же величины состоит в исключении переменной систематической погрешности. Приведенные результаты представим графически (Приложение В), на графике можно увидеть прогрессирующую, линейно возрастающую по модулю погрешность.
Модуль переменной составляющей систематической погрешности определяется по формуле:
где – разность между наибольшими и наименьшими значениями результатов наблюдений;
– общее число результатов;
– порядковый номер измерения.
Разность определяется по аппроксимирующей прямой.
тогда
,
; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; .
Округлив значения до сотых долей (точность получения результатов), её исключаем из результатов измерений по формуле:
,
где - поправка, вносимая в каждый результат.
Внеся исправления и упорядочив совокупность результатов измерений по степени возрастания, получаем новую последовательность результатов в виде таблицы 3.2.
Таблица 3.2 – Упорядоченная совокупность исправленных результатов измерений
|
№ наблюдения |
Исправленные значения результата измерения Хi, В |
Упорядоченная исправленная совокупность результата измерения Хi, В |
|
1 |
2 |
3 |
|
1 |
31,17 |
28,76 |
|
2 |
31,04 |
28,76 |
|
3 |
31,2 |
28,78 |
|
4 |
30,87 |
28,82 |
|
5 |
30,84 |
28,82 |
|
6 |
30,91 |
28,85 |
|
7 |
31,08 |
28,85 |
|
8 |
30,94 |
28,87 |
|
9 |
30,81 |
28,88 |
|
10 |
29,18 |
28,89 |
|
11 |
29,25 |
28,93 |
|
12 |
29,31 |
28,95 |
|
13 |
29,28 |
28,96 |
|
14 |
29,25 |
28,96 |
|
15 |
29,12 |
28,98 |
|
16 |
29,19 |
29,05 |
|
17 |
29,2 |
29,08 |
|
18 |
29,17 |
29,1 |
|
19 |
29,1 |
29,11 |
|
20 |
29,11 |
29,11 |
|
21 |
29,11 |
29,12 |
|
22 |
29,08 |
29,17 |
|
23 |
29,05 |
29,18 |
|
24 |
28,93 |
29,19 |
|
25 |
28,95 |
29,2 |
|
26 |
28,96 |
29,25 |
|
27 |
28,98 |
29,25 |
|
28 |
28,96 |
29,28 |
|
29 |
28,87 |
29,31 |
|
30 |
28,89 |
30,81 |
|
31 |
28,85 |
30,84 |
|
32 |
28,82 |
30,87 |
Продолжение таблицы 3.2
|
№ наблюдения |
Исправленные значения результата измерения Хi, В |
Упорядоченная исправленная совокупность результата измерения Хi, В |
|
1 |
2 |
3 |
|
33 |
28,76 |
30,91 |
|
34 |
28,76 |
30,94 |
|
35 |
28,88 |
31,04 |
|
36 |
28,85 |
31,08 |
|
37 |
28,82 |
31,17 |
|
38 |
28,78 |
31,2 |
На основании данной таблицы достраиваем графики, приведенные в Приложении В, после внесения поправки на систематическую погрешность.
Для графического определения вида закона распределения построим гистограмму (Рисунок В.2 Приложения В).
3.4 Статистическая обработка результатов измерений
После исключения результатов с грубыми погрешностями и внесения поправок на систематическую погрешность проводим математическую статистическую обработку исправленных результатов измерений.
Определяем точечные оценки исправленных результатов измерений. Для этого по формулам, проведенным в разделе 1.1, определяем точечные оценки координаты центра распределения и СКО результатов наблюдений и измерений.
3.4.1 Статистическая обработка результатов измерений третьей группы
3.4.1.1 Определяем выборочное среднее арифметическое () по формуле (1.1):
3.4.1.2 Определяем среднее арифметическое 90%-ной выборки ()
Среднее арифметическое находится по формуле (1.2). Пять процентов выборки в нашем случае 0,05∙n=0,05∙38=1,9≈2, т.е. два результата измерения. Отбрасываем по два измерения с концов вариационного ряда, т.е. результаты х1= 28,76 В; х2= 28,76 В и х37= 31,17 В; х38= 31,2 В.
3.4.1.3 Определяем медиану наблюдений () по формуле (2.9) [1]:
При n - чётном:
(1.3)
3.4.1.4 Центр размаха определяется по формуле (1.5):
В
3.4.1.5 Серединный размах вариационного ряда определяем по формуле (1.5):
В
Полученные оценки центра распределения располагаем в вариационный ряд: или В.
За оценку распределения (результата измерения) окончательно принимаем среднее арифметическое, так как эта оценка занимает медианное положение в ряду оценок: = = В.
3.4.1.6 Дисперсию повторяемости исправленных значений результатов измерений Хi, В вычисляем по формуле (1.6):
(1.6)
3.4.2 Разделим вариационный ряд на интервалы
Вычислим число интервалов k по формуле:
,
Ширина интервала вычисляется по формуле:
,
Определяем границы интервалов, затем определяем частоту попадания в интервалы и середины интервалов.
Результаты (после исключения грубых и систематических погрешностей, упорядочения и разбиения выборки на интервалы) представлены в таблице 3.3.
Таблица 3.3 – Промежуточные значения интервального ряда
|
Граница интервалов xi – xi+1, В |
Середины интервалов xi0, В |
Частота попадания в интервалы mi |
Статистическая вероятность (частость) |
|
28,76-29,166667 |
28,963335 |
21 |
0,552631579 |
|
29,166667-29,573334 |
29,370001 |
8 |
0,210526316 |
|
29,573334-29,980001 |
29,776668 |
0 |
0 |
|
29,980001-30,386668 |
30,138335 |
0 |
0 |
|
30,386668-30,793335 |
30,590002 |
0 |
0 |
|
30,793335-31,200002 |
30,996669 |
9 |
0,236842105 |
|
Σ |
|
38 |
1 |
3.4.3 Определяем среднее арифметическое () по формуле:
,
где – значение измеряемой величины в середине - го интервала;
– количество интервалов, на которые разбит вариационный ряд.
3.4.4 Определяем несмещённую оценку СКО по формуле:
3.4.5 Определение закона распределения результатов измерений
Представим заданный статистический ряд в виде гистограммы, показанной в Приложении В, на рисунке В.2.
По виду гистограммы, предполагаем, что закон распределения результатов наблюдений в ряде образцов при измерении – отличный от нормального.
3.4.6 Определение дифференциальной функции распределения
Вычислим дифференциальную функцию распределения для середин интервалов. Для этого вычислим значение нормированного аргумента по формуле, для каждого интервала:
,
Затем, пользуясь статистической таблицей (Приложение Г) [6], определим дифференциальную функцию .
Используя свойство нормального распределения , находим значения дифференциальной функции в выбранных единицах (в случае использования интервалов) по формуле:
Окончательно все вычисления сводим в таблицу 3.4.
Для построения статистической функции распределения можно воспользоваться формулой для дополнительных вычислений:
Таблица 3.4 – Вероятностные параметры распределений
|
Середины интервалов xi0 ,В |
|||||
|
28,963335 |
-0,672646 |
0,3187 |
0,153701061 |
0,2514 |
0,552632 |
|
29,3700005 |
-0,190373 |
0,3918 |
0,188955368 |
0,4247 |
0,763158 |
|
29,7766675 |
0,2919023 |
0,3825 |
0,18447021 |
0,6141 |
0,763158 |
|
30,1383345 |
0,7208109 |
0,3079 |
0,148492491 |
0,7642 |
0,763158 |
|
30,5900015 |
1,2564525 |
0,1804 |
0,087002421 |
0,8965 |
0,763158 |
|
30,9966685 |
1,7387275 |
0,0878 |
0,04234375 |
0,9591 |
1 |
Для построения теоретической функции воспользуемся Приложением В [6]. Графики эмпирической и теоретической функций интегрального вида показаны в Приложении В, на рисунке В.3.
По виду статистических кривых можно также сделать заключение о нормальности распределения экспериментальных данных, хотя для окончательного заключения требуется проверка по критериям согласия (или приближенная идентификация по точечным числовым характеристикам).
Окончательно результаты по определению вероятностных характеристик первой группы наблюдений сводим в таблицу 3.6.
Таблица 3.6 – Параметры функций распределений первой группы наблюдений
|
Границы интер-валов xi-xi+1, В |
Сере- дины интерва- лов xio, мкм |
Нормиро-ванный параметр |
Диф. функция норми- рован. нормал. распре-деления f(ti) |
Диф. функция в единицах выбранной величины |
Эмпири-ческая диф. функция |
Эмпири-ческая инте-гральная функция |
Норми- рованная инте- гральная функция F(x)=F(t) |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
28,76-29,16666 |
28,963335 |
-0,672646 |
0,3187 |
0,153701061 |
0,552631579 |
0,552632 |
0,2514 |
|
29,1666-29,57333 |
29,370001 |
-0,190373 |
0,3918 |
0,188955368 |
0,210526316 |
0,763158 |
0,4247 |
|
29,5733-29,98000 |
29,776668 |
0,2919023 |
0,3825 |
0,18447021 |
0 |
0,763158 |
0,6141 |
|
29,9800-30,38666 |
30,138335 |
0,7208109 |
0,3079 |
0,148492491 |
0 |
0,763158 |
0,7642 |
|
30,3866-30,79333 |
30,590002 |
1,2564525 |
0,1804 |
0,087002421 |
0 |
0,763158 |
0,8965 |
|
30,7933-31,20000 |
30,996669 |
1,7387275 |
0,0878 |
0,04234375 |
0,236842105 |
1 |
0,9591 |
4 Статистическая обработка результатов наблюдений при неравноточных измерениях
4.1 Проверка однородности дисперсий
Однородность дисперсий можно проанализировать с помощью критерия Фишера-Снедекора FТ.
Для этого из всех оценок дисперсий выбирают две – максимальную и минимальную. Если окажется, что различие между ними не значимо, то тем более незначимо и различие между остальными дисперсиями. С этой целью вычисляют отношение по формуле (6.7) [1]:
(5.1)
Если F< FТ, то все оценки дисперсий однородны. Значение FТ приведено в таблице Д.1 Приложения Д [1].
5.1.1 Проверка однородности дисперсий для групп № 3 и № 4
Проверим однородность дисперсий согласно формуле (5.1):
F < FТ - следовательно все оценки дисперсий неоднородны, т.е. незначимо различны между собой.
Степень доверия выражается весом На основании теории вероятности и математической статистики критерием веса наблюдений является величина, обратная дисперсиям распределений или их оценкам, вычисляемая по формуле (5.2):
(5.2)
где с=1
Определим вес каждой группы по формуле (5.2):
Большую степень доверия имеет первая, вторая и третья группа наблюдений, так как имеет больший вес.
4.2 Определение точечных оценок параметров распределения
Наибольшее достоверное значение измеряемой физической величины, называемое средним взвешенным, находится по формуле (5.3):
(5.3)
где m — число групп измерений;
— среднее арифметическое в j-ой группе наблюдений;
— вес каждой j-ой группы наблюдений.
В
Значение оценки СКО для каждого ряда наблюдения определяется по формуле (5.4):
(5.4)
где m – число групп наблюдений.
В
Оценка СКО среднего взвешенного вычисляется по формуле (5.5):
(5.5)
В
Доверительная граница погрешности результата измерения при вероятности Р=0,95 определяется по формуле (5.6):
(5.6)
где t0,95 =1,665 при числе степеней свободы k=93 и уровне значимости q=0,05.
Число степеней свободы найдено по формуле (5.7):
(5.7)
Результат обработки неравноточных рядов наблюдений представлен в форме:
В; ; .
Результат принадлежит интервалу:
5 Определение параметров законов распределения результатов наблюдений по статистическим критериям
5.1 Определение параметров закона распределения результатов наблюдений по статистическим критериям (группа №1)
При малых объемах выборки для проверки согласия опытного распределения с нормальным применяется составной критерий
Гипотеза о согласованности опытного распределения с теоретически нормальным проверяется, как показано ниже.
5.1.1 Проверка нормальности по составному критерию
а) Проверка по критерию I
Для этого определяется значение по формуле (6.1):
(6.1)
где - смещённая оценка СКО результата наблюдений, найденная по формуле:
Они равны
Из таблицы 7.2 [1] находим квантили распределения (после интерполяции):
При n=19
Нулевая гипотеза о принадлежности эмпирического распределения нормальному справедлива, если выполняется условие:
,
где - квантили распределения
Гипотеза о нормальности распределения по критерию I, при выбранном уровне значимости подтверждается для первой выборки, т.к. условие для выполняется:
б) Проверка по критерию II
Гипотеза о нормальности распределения подтверждается, если не более m разностей превзошли значение .
По таблице (7.3) [1]:
По таблице (7.1) [1] находим:
Находим произведение и сравниваем его с максимальным отклонением:
Максимальное отклонение:
Гипотеза о нормальности распределения по критерию II справедлива, так как
Таким образом, гипотеза о нормальности закона опытного распределения по обоим критериям подтверждается при принятом уровне значимости
5.1.2 Проверка нормальности распределения по критерию согласия Колмогорова А. Н.
В качестве меры расхождения между эмпирическими и теоретическими законами распределения выбрано максимальное значение D модуля разности между эмпирической функцией распределения и выбранной теоретической функцией распределения [1]:
При практическом применении критерия согласия Колмогорова А.Н. величина λ, являющаяся критериальным параметром, принимается равной:
Значение D находится после построения на одном графике эмпирической и теоретической функций изображением этих функций и представляет величину D . Затем по вычисленному значению λ по таблице (7.1) [1] определяется вероятность p(λ) как вероятность того, что за счет случайных причин максимальное расхождение между эмпирической и теоретической функциями распределения (D) будет не меньше, чем полученное из результатов измерений.
На рисунке А.3 Приложения А на одном графике показана зависимость теоретической и эмпирической функций распределения, где значения найденные из рисунка 3 и занесённые в таблицу 6.1.
Таблица 5.1- Значения теоретической и эмпирической функций распределения
|
Нормированная интегральная функция F(x)=F(t), В |
Эмпирическая интегральная функция |
|
|
0,0047 |
0,05263158 |
0,04793158 |
|
0,0537 |
0,10526316 |
0,05156316 |
|
0,6276 |
0,36842105 |
0,25917895 |
|
0,6406 |
0,84210526 |
0,20150526 |
|
0,9115 |
1 |
0,0885 |
Из графика (Приложение F) находим максимальное расхождение D:
Находим значение критериального параметра по формуле:
Производя необходимую экстраполяцию значений λ (значения взяты из таблицы 7.5 [1]), получаем вероятность p(λ).
р(λ)=0,145
Исходя из полученных данных вероятность p(λ) недостаточно большая по всем выборкам, значит, гипотезу о соответствии опытного распределения теоретическому следует рассматривать как не правдоподобную, противоречащую опытным данным.
5.2 Определение параметров закона распределения результатов наблюдений по статистическим критериям (группа №2)
5.2.1 Проверка нормальности по составному критерию
а) Проверка по критерию I
Для этого определяется значение по формуле (6.1):
Они равны
Из таблицы 7.2 [1] находим квантили распределения (после интерполяции):
При n=19
Нулевая гипотеза о принадлежности эмпирического распределения нормальному справедлива, если выполняется условие:
,
где - квантили распределения
Гипотеза о нормальности распределения по критерию I, при выбранном уровне значимости подтверждается для второй выборки, т.к. условие для выполняется:
б) Проверка по критерию II
Гипотеза о нормальности распределения подтверждается, если не более m разностей превзошли значение .
По таблице (7.3) [1]:
По таблице (7.1) [1] находим:
Находим произведение и сравниваем его с максимальным отклонением:
Максимальное отклонение:
Гипотеза о нормальности распределения по критерию II не справедлива, так как
Таким образом, гипотеза о нормальности закона опытного распределения по обоим критериям не подтверждается при принятом уровне значимости .
5.2.2 Проверка нормальности распределения по критерию согласия
Колмогорова А. Н.
В качестве меры расхождения между эмпирическими и теоретическими законами распределения выбрано максимальное значение D модуля разности между эмпирической функцией распределения и выбранной теоретической функцией распределения [1]:
При практическом применении критерия согласия Колмогорова А.Н. величина λ, являющаяся критериальным параметром, принимается равной
Значение D находится после построения на одном графике эмпирической и теоретической функций изображением этих функций и представляет величину D . Затем по вычисленному значению λ по таблице (7.1) [1] определяется вероятность p(λ) как вероятность того, что за счет случайных причин максимальное расхождение между эмпирической и теоретической функциями распределения (D) будет не меньше, чем полученное из результатов измерений.
На рисунке Б.3 Приложения Б на одном графике показана зависимость теоретической и эмпирической функций распределения, где значения найденные из рисунка Б.3 и занесённые в таблицу 6.2.
Таблица 5.2 - Значения теоретической и эмпирической функций распределения
|
Нормированная интегральная функция F(x)=F(ti) |
Эмпирическая интегральная функция |
|
|
1 |
2 |
3 |
|
0,1539 |
0,3157895 |
0,1618895 |
|
0,4286 |
0,6842106 |
0,2556106 |
|
0,7486 |
0,8421053 |
0,0935053 |
|
0,9345 |
0,9473685 |
0,0128685 |
|
0,9909 |
1 |
0,0091 |
Из графика находим максимальное расхождение D:
Находим значение критериального параметра по формуле:
По таблице 7.5 [1], получаем вероятность p(λ).
р(λ)=0,178
Исходя из полученных данных вероятность p(λ) недостаточно большая по всем выборкам, значит, гипотезу о соответствии опытного распределения теоретическому следует рассматривать как не правдоподобную, противоречащую опытным данным.
5.3 Определение параметров закона распределения результатов наблюдений по статистическим критериям (группа №3)
5.3.1 Проверка нормальности по составному критерию
а) Проверка по критерию I
Для этого определяется значение по формуле (п. 6.1.1):
Они равны
Из таблицы 7.2 [1] находим квантили распределения (после интерполяции):
При n=38
Нулевая гипотеза о принадлежности эмпирического распределения нормальному справедлива, если выполняется условие:
,
где - квантили распределения
Гипотеза о нормальности распределения по критерию I, при выбранном уровне значимости подтверждается для третьей выборки, т.к. условие для выполняется:
б) Проверка по критерию II
Гипотеза о нормальности распределения подтверждается, если не более m разностей превзошли значение .
По таблице (7.3) [1]:
По таблице (7.1) [1] находим:
Находим произведение и сравниваем его с максимальным отклонением:
Максимальное отклонение:
Гипотеза о нормальности распределения по критерию II не справедлива, так как
Таким образом, гипотеза о нормальности закона опытного распределения по обоим критериям не подтверждается при принятом уровне значимости .
5.3.2 Проверка нормальности распределения по критерию согласия Колмогорова А. Н.
В качестве меры расхождения между эмпирическими и теоретическими законами распределения выбрано максимальное значение D модуля разности между эмпирической функцией распределения и выбранной теоретической функцией распределения [1]:
При практическом применении критерия согласия Колмогорова А.Н. величина λ, являющаяся критериальным параметром, принимается равной
Значение D находится после построения на одном графике эмпирической и теоретической функций изображением этих функций и представляет величину D . Затем по вычисленному значению λ по таблице (7.1) [1] определяется вероятность p(λ) как вероятность того, что за счет случайных причин максимальное расхождение между эмпирической и теоретической функциями распределения (D) будет не меньше, чем полученное из результатов измерений.
На рисунке В.3 Приложения В на одном графике показана зависимость теоретической и эмпирической функций распределения, где значения, найденные из рисунка В.3 и занесённые в таблицу 6.3.
Таблица 5.3 - Значения теоретической и эмпирической функций распределения
|
Нормированная интегральная функция F(x)=F(t) |
Эмпирическая интегральная функция |
|
|
1 |
2 |
3 |
|
0,2514 |
0,552632 |
0,301232 |
|
0,4247 |
0,763158 |
0,338458 |
|
0,6141 |
0,763158 |
0,149058 |
|
0,7642 |
0,763158 |
0,00104 |
|
0,8965 |
0,763158 |
0,13334 |
Из графика находим максимальное расхождение D:
Находим значение критериального параметра по формуле:
По таблице 7.5 [1], получаем вероятность p(λ).
р(λ)=0,040
Исходя из полученных данных вероятность p(λ) недостаточно большая по всем выборкам, значит, гипотезу о соответствии опытного распределения теоретическому следует рассматривать как не правдоподобную, противоречащую опытным данным.
5.4 Определение параметров закона распределения результатов наблюдений по статистическим критериям (группа №4)
6.4.1 Проверка нормальности по составному критерию
а) Проверка по критерию I
Для этого определяется значение по формуле (п. 6.1.1):
Они равны
Из таблицы 7.2 [1] находим квантили распределения (после интерполяции):
При n=19
Нулевая гипотеза о принадлежности эмпирического распределения нормальному справедлива, если выполняется условие:
,
где - квантили распределения
Гипотеза о нормальности распределения по критерию I, при выбранном уровне значимости не подтверждается только четвёртой выборки, т.к. условие для не выполняется:
б) Проверка по критерию II
Гипотеза о нормальности распределения подтверждается, если не более m разностей превзошли значение .
По таблице (7.3) [1]:
По таблице (7.1) [1] находим:
Находим произведение и сравниваем его с максимальным отклонением:
Максимальное отклонение:
Гипотеза о нормальности распределения по критерию II справедлива, так как
Таким образом, гипотеза о нормальности закона опытного распределения по первому критерию не подтверждается, а по второму подтверждается при принятом уровне значимости .
5.4.2 Проверка нормальности распределения по критерию согласия Колмогорова А. Н.
В качестве меры расхождения между эмпирическими и теоретическими законами распределения выбрано максимальное значение D модуля разности между эмпирической функцией распределения и выбранной теоретической функцией распределения [1]:
При практическом применении критерия согласия Колмогорова А.Н. величина λ, являющаяся критериальным параметром, принимается равной
Значение D находится после построения на одном графике эмпирической и теоретической функций изображением этих функций и представляет величину D . Затем по вычисленному значению λ по таблице (7.1) [1] определяется вероятность p(λ) как вероятность того, что за счет случайных причин максимальное расхождение между эмпирической и теоретической функциями распределения (D) будет не меньше, чем полученное из результатов измерений.
На рисунке Г.3 Приложения А на одном графике показана зависимость теоретической и эмпирической функций распределения, где значения найденные из рисунка Г.3 и занесённые в таблицу 6.4.
Таблица 5.4 - Значения теоретической и эмпирической функций распределения
|
Нормированная интегральная функция F(x)=F(t) |
Эмпирическая интегральная функция |
|
|
1 |
2 |
3 |
|
0,00094 |
0,05263158 |
0,051692 |
|
0,0162 |
0,05263158 |
0,036432 |
|
0,121 |
0,15789474 |
0,036895 |
|
0,4207 |
0,52631579 |
0,105616 |
|
0,7794 |
1 |
0,2206 |
Из графика находим максимальное расхождение D:
Находим значение критериального параметра по формуле:
Производя необходимую экстраполяцию значений λ (значения взяты из таблицы 7.5 [1]), получаем вероятность p(λ).
р(λ)= 0,9805
Исходя из полученных данных вероятность p(λ) достаточно большая по всем выборкам, значит, гипотезу о соответствии опытного распределения теоретическому следует рассматривать как правдоподобную, не противоречащую опытным данным.
6 Приближенная идентификация формы и вида закона распределения результатов измерений
Так как законы распределения результатов всех четырёх групп измерений отличны от нормального, необходимо количественно оценить это различие.
6.1 Идентификация формы и вида закона распределения результатов первой группы измерений
Оценка первого центрального момента определяется по формуле (6.1):
(6.1)
В
Оценка второго центрального момента, характеризующего дисперсию распределения, определяется по формуле (7.2):
(6.2)
В
Оценка третьего центрального момента (характеристика момента указывает на асимметрию) характеризует скошенность спадов и определяется по формуле:
(6.3)
В
Распределение считается симметричным, если выполняется условие:
,
где — коэффициент асимметрии;
— оценка СКО коэффициента асимметрии, определяемая по формуле (7.4):
(6.4)
Коэффициент асимметрии определяется по формуле (7.5):
(6.5)
Так как это неравенство не выполняется, то распределение считаем несимметричным.
Оценку четвертого центрального момента определяют по формуле (6.6):
(6.6)
Коэффициент асимметрии закона распределения определяется по формуле (6.7):
(6.7)
Коэффициент эксцесса определяется по формуле (6.8):
(6.8)
Величина, обратная эксцессу, называется контрэксцессом и определяется по формуле (7.9):
(6.9)
Показатель формы α является функцией эксцесса и находится по графику, показанному на рисунке 8.1 [1]. При ε=3,97; α =1,45.
Информационными характеристиками распределения являются энтропийное значение погрешности, определяемой по формуле (6.10)
(6.10)
и энтропийный коэффициент, определяющий форму распределения, определяемый по формуле (6.11):
(6.11)
Определив все необходимые параметры распределения, идентифицируем закон распределения как экспоненциальный. (Приложение З [1]).
6.2 Идентификация формы и вида закона распределения результатов второй группы измерений
Оценка первого центрального момента определяется по формуле (7.1):
В
Оценка второго центрального момента, характеризующего дисперсию распределения, определяется по формуле (7.2):
В
Оценка третьего центрального момента (характеристика момента указывает на асимметрию) характеризует скошенность спадов и определяется по формуле (7.3):
В
Распределение считается симметричным, если выполняется условие:
,
где — коэффициент асимметрии;
— оценка СКО коэффициента асимметрии, определяемая по формуле (7.4):
Коэффициент асимметрии определяется по формуле (7.5):
Так как это неравенство не выполняется, то распределение считаем несимметричным.
Оценку четвертого центрального момента определяют по формуле (7.6):
Коэффициент асимметрии закона распределения определяется по формуле (7.7):
Коэффициент эксцесса определяется по формуле (7.8):
Величина, обратная эксцессу, называется контрэксцессом и определяется по формуле (7.9):
Показатель формы α является функцией эксцесса и находится по графику, показанному на рисунке 8.1 [1]. При ε=3,62 α =1,60.
Информационными характеристиками распределения являются энтропийное значение погрешности, определяемой по формуле (7.10) и энтропийный коэффициент, определяющий форму распределения (7.11):
Определив все необходимые параметры распределения, идентифицируем закон распределения как экспоненциальный. (Приложение З [1]).
6.3 Идентификация формы и вида закона распределения результатов третьей группы измерений
Оценка первого центрального момента определяется по формуле (7.1):
В
Оценка второго центрального момента, характеризующего дисперсию распределения, определяется по формуле (7.2):
В
Оценка третьего центрального момента (характеристика момента указывает на асимметрию) характеризует скошенность спадов и определяется по формуле (7.3):
В
Распределение считается симметричным, если выполняется условие:
,
где — коэффициент асимметрии;
— оценка СКО коэффициента асимметрии, определяемая по формуле (7.4):
Коэффициент асимметрии определяется по формуле (6.5):
Так как это неравенство не выполняется, то распределение считаем несимметричным.
Оценку четвертого центрального момента определяют по формуле (7.6):
Коэффициент асимметрии закона распределения определяется по формуле (7.7):
Коэффициент эксцесса определяется по формуле (7.8):
Величина, обратная эксцессу, называется контрэксцессом и определяется по формуле (7.9):
Показатель формы α является функцией эксцесса и находится по графику, показанному на рисунке 8.1 [1]. При ε=2,838; α =2.
Информационными характеристиками распределения являются энтропийное значение погрешности, определяемой по формуле (7.10) и энтропийный коэффициент, определяющий форму распределения (7.11):
Определив все необходимые параметры распределения, идентифицируем закон распределения как закон распределения Гаусса.
7 Методы контроля стабильности стандартного отклонения промежуточной прецизионности рутинного анализа с изменяющимся фактором «время»
Поскольку в данной лаборатории рутинный анализ выполняют в условиях промежуточной прецизионности с изменяющимся фактором «время», стандартное отклонение повторяемости Sr не представляет фактической прецизионности результатов анализа, получаемых в лаборатории, и не может быть использовано для контроля систематической погрешности. Вместо проведения эксперимента с целью получения стандартного отклонения промежуточной прецизионности с изменяющимся фактором «время» Si(TO), в качестве более простого способа предпочитают карты текущих расхождений. Проанализируем результаты измерений четвертой группы. По вертикали откладываются величины текущих расхождений [2]. Результаты анализа представлены в таблице 8.1. Контрольная карта Шухарта для оценки систематической погрешности определения зональности представлена на рисунке Д.1 приложения Д. Контрольная карта текущих расхождений представлена на рисунке Д.2 приложения Д.
Таблица 7.1 – Данные контрольной карты (по фактору «время»)
|
Номер измерения |
Данные наблюдений, В |
Примечание |
||
|
Результаты анализа В |
Оценка систематической погрешности |
Текущее расхождение ω |
||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
1 |
29,5 |
-0,13 |
0,09 |
|
|
2 |
29,59 |
-0,04 |
0,08 |
|
|
3 |
29,67 |
0,04 |
0,01 |
|
|
4 |
29,68 |
0,05 |
0,03 |
|
|
5 |
29,65 |
0,02 |
0,03 |
|
|
6 |
29,68 |
0,05 |
0,01 |
|
|
7 |
29,69 |
0,06 |
0,02 |
|
|
8 |
29,71 |
0,08 |
0,33 |
|
|
9 |
29,38 |
-0,25 |
0,31 |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
10 |
29,69 |
0,06 |
0,01 |
|
|
11 |
29,68 |
0,05 |
0,09 |
|
|
12 |
29,77 |
0,14 |
0,21 |
|
|
13 |
29,56 |
-0,07 |
0,09 |
|
|
14 |
29,65 |
0,02 |
0,14 |
|
|
15 |
29,79 |
0,16 |
0,16 |
|
|
16 |
29,63 |
0 |
0,07 |
|
|
17 |
29,56 |
-0,07 |
0,02 |
|
|
18 |
29,58 |
-0,05 |
0,01 |
|
|
19 |
29,59 |
-0,04 |
|
|
|
Всего |
563,05 |
0,08 |
1,71 |
|
|
Среднее значение |
|
0,004
|
0,095
|
Продолжение таблицы 7.1
Зональность собственного стандартного образца В
Стандартное отклонение, полученное на основании результатов испытаний, .
Средняя линия – нулевая или равна нулю
Пределы действия:
Пределы предупреждения:
Карта текущих расхождений:
Средняя линия
Контрольная карта Шухарта, построенная по результатам проведенного расчета, показала, что несколько измерения по отдельным критериям нестабильны.
8 Представление результатов измерений
За результат измерений при статистической обработке выборки, состоящей из многократных наблюдений, принимается средневзвешенное значение при неравноточных измерениях.
В силу конечного объема выборки, наличия неисключенных составляющих погрешностей и различных законов распределения результат измерения имеет неопределенность. Зона неопределенности (доверительные границы) генерального среднего устанавливаются погрешностью результата измерения ±Δ.
За погрешность результата измерения принимается случайная составляющая погрешности, которая вычисляется по формуле (8.1):
(8.1)
где t – коэффициент, зависящий от объёма выборки, вида распределения и доверительной вероятности Р. В соответствии с ГОСТ 8.207-76 рекомендуется устанавливать доверительную вероятность Р=0,95.
Для островершинных двумодальных распределений с эксцентриситетом при с погрешностью 5 %:
t0.95 =1,94 при уровне значимости q=0,05.
Оценку СКО результата измерения находим по формуле 8.2
(8.2)
Значение оценки СКО для каждого ряда наблюдения определяется по формуле (5.4):
(8.3)
где m – число групп наблюдений.
Наибольшее достоверное значение измеряемой физической величины, называемое средним взвешенным, находится по формуле (8.4):
(8.4)
где m — число групп измерений;
— среднее арифметическое в j-ой группе наблюдений;
— вес каждой j-ой группы наблюдений.
В
В
Подставляя в формулу 8.2, получаем:
В
Доверительная граница погрешности результата измерения при вероятности ; равна:
В
Результат обработки неравноточных рядов наблюдений представлен в форме:
; В; .
Результат принадлежит интервалу:
Заключение
Курсовая работа позволила получить навыки выявления погрешностей в результатах наблюдений, статистической обработки результатов наблюдений отдельных групп, определения средневзвешенных статистических характеристик групп неравноточных наблюдений; представления результатов измерений; оценки формы и вида законов экспериментальных распределений физических величин; записи результатов измерений. Выполнение курсовой работы также позволило овладеть практическими навыками в работе с нормативно-технической литературой и стандартами (паспортами СИ, таблицами характеристик распределения случайных величин, таблицами критериальных значений параметров распределения и др.).
Проведенная оценка статистических данных дала следующие результаты:
- Установлено, что в результатах наблюдений присутствуют грубые погрешности;
- Систематическая погрешность значима во всех группах наблюдений; её исключение выполнено графическим способом;
- Существенно значимой оказалась не исключенная систематическая погрешность;
- Совместная обработка показала, что центры распределений групп наблюдений неоднородны, поэтому измерения приняты неоднородными;
- Пользуясь алгоритмом для неравноточных измерений, были получены оценка среднего взвешенного, оценка СКО наблюдений ряда и оценка СКО измерений ряда;
- Результат принадлежит доверительному интервалу: при доверительной вероятности ;
- Результаты третьей группы, которые были получены в условиях промежуточной прецизионности (изменчивым был только фактор «время», оператор и средства измерения не менялись, калибровка отсутствовала), оценены на стабильность методом скользящих размахов.
- Контрольная карта Шухарта показала, что измерения по отдельным критериям близки к нестабильным. Лаборатории рекомендуется регулярно проводить контроль стабильности и анализ результатов.
Список использованных источников
( должно быть в соответствии ГОСТ 7.1)
1 Третьяк Л.Н. Обработка результатов наблюдений: Учебное пособие. – Оренбург: ГОУ ОГУ, 2004. – 171 с.
2 Третьяк Л.Н.; Бойко С.В. Повышение качества измерений в условиях технического регулирования (по материалам международных стандартов): Учеб. Пособие. – Оренбург: ГОУ ОГУ, 2004. – 343 с.
3 ГОСТ 5725-6-2002 Точность (правильность и прецизионность) методов и результатов измерений.
4 ГОСТ Р 50779.42-99 Статистические методы. Контрольные карты Шухарта.
Скачать: