ДИПЛОМНАЯ РАБОТА
Элементы комплексного анализа в теории поверхностей
Содержание
|
Введение…………………………………………………………………………. |
6 |
|
1 Основные уравнения теории поверхностей………………………………..... |
8 |
|
1.1 Деривационные уравнения как условие «нулевой кривизны»…………... |
8 |
|
1.2 Уравнения Кодацци……………………………………………………….... |
10 |
|
1.3 Длины кривых на поверхности…………………………………………….. |
12 |
|
2 Теория поверхностей в терминах конформного параметра………………... |
14 |
|
2.1 Существование конформного параметра………………………………….. |
14 |
|
2.2 Основные уравнения в терминах конформного параметра………………. |
19 |
|
3 Геометрия сферы…………………………………………………………….... |
24 |
|
3.1 Метрика сферы…………………………………………………………….... |
24 |
|
3.2 Группа движений сферы……………………………………………………. |
26 |
|
4 Геометрия псевдосферы………………………………………………………. |
31 |
|
4.1 Пространственноподобные поверхности в псевдоевклидовых пространствах…………………………………………………………………… |
31 |
|
4.2 Метрика и группа движений псевдосферы………………………………... |
33 |
|
4.3 Модели гиперболической геометрии…………………………………….... |
36 |
|
5 Минимальные поверхности…………………………………………………... |
38 |
|
5.1 Формулы Вейерштрасса-Эннепера для минимальных поверхностей…… |
38 |
|
Заключение………………………………………………………………………. |
49 |
|
Список использованных источников………………………………………….. |
50 |
Аннотация
В данной работе рассматриваются применения элементов комплексного анализа в теории поверхностей. С использованием комплексного анализа исследуются сфера, псевдосфера и минимальные поверхности. В работе приведены примеры вычисления конформного параметра и индуцированной метрики, найдены и описаны минимальные поверхности вращения.
Дипломная работа содержит пять глав.
В первой главе излагаются основные сведения из теории поверхностей.
Во второй главе теория поверхностей излагается в терминах конформного параметра.
В третьей, четвертой и пятой главе исследованы сфера, псевдосфера и минимальные поверхности с помощью комплексного анализа, получены их метрики в конформном виде, найдены минимальные поверхности вращения.
Работа выполнена печатным способом на 50 страницах с использованием 22 источника.
In this paper we consider the elements of a comprehensive analysis of the theory of surfaces. Using a comprehensive analysis of study sphere, pseudosphere, and minimal surfaces. The paper presents examples of the calculation of the conformal parameter and the induced metric, found and described in the minimum surface of revolution. Diploma thesis contains five chapters. >The first chapter outlines the basics of the theory of surfaces. The second chapter presents the theory of surfaces in terms of the conformal parameter. In the third, fourth and fifth chapter explored sphere, pseudosphere, and minimal surfaces with complex analysis, they obtained the metric in the conformal form, found minimal surfaces of revolution. The work was printed way on 50 pages with 22 source. Введение
Комплексный анализ находит многочисленные применения в самых разных областях.
Одной из отличительных и привлекательных черт комплексного анализа является его подлинная комплексность. В нем сочетаются аналитические и геометрические, вполне классические и самые новые методы. Наряду с очень конкретными и прикладными в нем решаются весьма общие и абстрактные задачи. В комплексном анализе встречаются и разные разделы математики, и разные прикладные науки. Его понятия служат основной моделью, источником и отправным пунктом многих исследований в функциональном анализе, алгебре, топологии, алгебраической и дифференциальной геометрии, уравнениях с частными производными и других разделах математики.
Начальные идеи комплексного анализа возникли во второй половине 18-го века, и связаны они прежде всего с именем Леонарда Эйлера. Основной массив теории был создан в 19-м веке, главным образом трудами Огюстена Коши, Бернхарда Римана и Карла Вейерштрасса [18].
Теория конформных отображений стала бурно развиваться благодаря имеющимся применениям в инженерном деле. Новый всплеск интереса к комплексному анализу связан с комплексной динамикой и теорией фракталов.
Красивым применением конформного параметра является общий метод построения минимальных поверхностей по паре комплексно-аналитических функций.
Особый интерес к минимальным поверхностям обусловлен сочетанием конкретности изучаемых объектов, их происхождения и соотношения с физическим миром, а также тем обстоятельством, что в теории минимальных поверхностей активно взаимодействуют различные разделы математики.
Первые исследования минимальных поверхностей восходят к Лагранжу (1768) который рассмотрел следующую вариационную задачу: найти поверхность наименьшей площади, натянутую на данный контур. Предполагая искомую поверхность задаваемой в виде , Лагранж получил, что эта функция должна удовлетворять уравнению Эйлера-Лагранжа.
Монж (1776) обнаружил, что условие минимальности площади приводит к условию H=0, и поэтому за поверхностями с H=0 закрепилось название «минимальные». Нужно различать понятия минимальной поверхности и поверхности наименьшей площади, так как условие H=0 представляет собой лишь необходимое условие минимальности площади [9].
Целью данной работы является применение элементов комплексного анализа в теории поверхностей. Для достижения цели работы потребовалось решение следующих задач:
- анализ основных уравнений теории поверхностей в терминах конформного параметра;
- исследование сферы, псевдосферы с помощью комплексного анализа;
- применения конформного параметра в построении минимальных поверхностей.
1 Основные уравнения теории поверхностей
1.1 Деривационные уравнения как условие «нулевой кривизны»
Для каждой точки поверхности r=r(x1,x2) векторы
, , n
образуют базис трехмерного векторного пространства. Разложим по нему частные производные :
,
,
.
Эти уравнения кратко записываются .
Так как векторы r1 и r2 ортогональны n, получаем .
Величины называются символами Кристоффеля [10].
По построению вектора n имеем
, ,
следовательно, , для всех i,j=1,2. Из первого равенства получаем, что , и поэтому является линейной комбинацией векторов r1 и r2: . Чтобы найти коэффициенты , воспользуемся равенствами:
,
которые переписываются в виде
Матрица Грама обратима, так как скалярное произведение невырожденно. Обратная матрица к матрице грамма обозначается через (gij):
.
Умножив левую часть равенства (1.1) на (glj) и просуммировав по j, получим
,
откуда находим коэффициенты .
Системы уравнений
,
где
, ,
называются деривационными уравнениями. По своему геометрическому смыслу они должны быть совместны:
,
что эквивалентно выполнению уравнений
.
Так как r1, r2, n образуют базис, получаем
где - коммутатор матриц A1 и A2: .
Уравнения (1.2) называются уравнениями Кодацци [5].
1.2 Уравнения Кодацци
Уравнения Кодацци являются необходимыми и достаточными условиями, того что форма bij является второй квадратичной формой поверхности с метрикой gij. Если они выполнены в окрестности U точки , то разрешимы деривационные уравнения с такими начальными условиями в точке , что , , . Последние два условия относятся к начальным данным. После этого поверхность локально строится по формуле
,
где интеграл берется вдоль любого пути из точки в точку в достаточно малой окрестности V точки .
Лемма 1.1 Уравнения Кодацци имеют вид
, (1.1)
, (1.2)
где .
Уравнения (1.1) называются уравнениями Гаусса. Левые и правые части уравнений (1.1) и (1.2) меняют знаки при перемене j и k местами. Получаем три независимых уравнения. Одно из них получается следующим образом. Умножим обе части уравнения (1.1) на gml и просуммируем по l, получив эквивалентную систему уравнений, параметризуемых индексами i, j, k, m. При перестановке индексов i и m местами левые и правые части меняют знаки. Значит, в действительности есть только одно уравнение, получаемое, например, при i=j=1, k=m=2. Два других уравнения получаются при подстановке в уравнение (1.2) значений i=j=1, k=2.
В уравнениях (1.1) положим i=j=1, k=2, умножим обе части на g2l и просуммируем по l. В правой части получится определитель второй квадратичной формы, а в левой – выражение от gij и символов Кристоффеля, которые также выражаются через метрику. Подставив это выражение в формулу для гауссовой кривизны, получим теорему Гаусса [16], которая утверждает, что гауссова кривизна поверхности выражается через коэффициенты первой квадратичной формы и их производные.
Теорема 1.1 Выполняется равенство
и, следовательно, гауссова кривизна полностью определяется метрикой.
1.3 Длины кривых на поверхности
Длиной кривой (u(t),v(t)) на поверхности r(u,v) естественно считать ее длину в R3. В этом случае говорится, что метрика на поверхности индуцирована метрикой объемлющего пространства R3.
Вектор скорости есть
,
где
, , ,
и длина кривой равна .
Подставим в подынтегральное выражение формулы для , , , получим
,
где
,
,
.
Координаты u и v обозначаем через x1 и x2. Тогда
,
где .
Лемма 1.2 Длина кривой на поверхности равна
.
Выражение
называется первой квадратичной формой на поверхности. Здесь E,F,G – функции от координат u и v [8].
2 Теория поверхностей в терминах конформного параметра
2.1 Существование конформного параметра
Пусть U – область на поверхности с координатами x и y. Тогда задает комплексную координату (или комплексный параметр) на поверхности. Этот параметр называется конформным, если первая квадратичная форма имеет вид
координаты x и y в этом случае называется тоже конформным и изотермическим [11].
Лемма 2.1 Конформный вид метрики (2.1) инвариантен в точности относительно комплексно-аналитических замен координат и их композиций с комплексным сопряжением.
Доказательство: Пусть для координаты z метрика имеет вид .
Пусть и . Тогда
и
.
При доказательство аналогично.
Следовательно, указанные в лемме преобразования сохраняют конформный вид метрики.
Пусть и в какой-то области U. Тогда
где и коэффициент при не равен нулю в области U. Лемма доказана.
Рассмотрим гладкую поверхность в R3, заданную параметрически: . Пусть ее первая квадратичная форма.
Теорем 2.1 В окрестности любой точки гладкой поверхности можно ввести конформные координаты x и y, т.е. такие координаты, что
Доказательство: Выведем уравнения, которым удовлетворяют функции перехода к новым координатам
.
Лемма 2.2 Если x,y – конформные координаты, то
эти системы эквивалентны [16].
Доказательство леммы 2.2: Равенство
преобразуем к виду
.
Оно эквивалентно системе уравнений
которая записывается в виде двух систем линейных уравнений
, (2.4)
где А – матрица Якоби замены координат: .
Формулы перехода от одной матрицы к другой
Возьмем квадратные корни из определителей левых и правых частей последнего равенства, получим
, ,
,
, ,
,
,
С каждой метрикой связан оператор Лапласа-Бельтрами, действующий на функции (на поверхности) по формуле
.
Решения уравнения Бельтрами называется гармоническими функциями (на поверхности).
Лемма 2.3 Если гладкие функции x(u,v) и y(u,v) удовлетворяют уравнениям (2.2) и (2.3), то они гармоничны:
.
Если функции x(u,v) и y(u,v) удовлетворяют уравнениям (2.2) и (2.3), то якобиан отображения равен
где и скалярное произведение задается метрикой поверхности.
Лемма 2.4 В окрестности любой точки (u0,v0) поверхности существует
- такая гармоническая функция x(u,v), что в окрестности
- функция y(u,v), удовлетворяющая уравнениям (2.3).
Возьмем гармоническую функцию x(u,v), удовлетворяющую условию (2.6) в окрестности точки, и построим по ней решение y(u,v) (2.3). Из формул (2.5), (2.6) следует, что якобиан отображения нигде не равен нулю. Поэтому в малой окрестности точки (u0,v0) функции x и y задают локальные координаты. Из формул (2.2) и (2.3) следует, что эти координаты конформны. Теорема доказана.
Приведем пример получения конформного параметра.
Пусть первая квадратичная форма имеет вид . Построим по ней конформный параметр
Введем замену
,
.
Рассмотрим частные случаи:
.
2.2 Основные уравнения в терминах конформного параметра
Пусть x1=x, x2=y – конформные координаты:
Тогда, подставляя значения в формулу
,
,
,
получаем символы Кристоффеля:
Формула гауссовой кривизны поверхности:
.
Распишем ее
Подставляя туда символы Кристоффеля, получаем формулу для гауссовой кривизны
.
Обозначим через производные r по . Распространим на комплексные векторы где , скалярное произведение в R3:
.
Лемма 2.5 Параметр z=x+iy на поверхности r=r(x,y) является конформным тогда и только тогда, когда .
Используя формулы (2.7), перепишем деривационные уравнения в виде
где
,
,
n – вектор нормали к поверхности.
Выпишем вторую квадратичную форму в терминах величин А и В. Так как
,
,
,
имеем
.
Отсюда следуют формулы для средней для средней и гауссовой кривизны в терминах А и В:
Уравнения Кодацци есть условие совместимости деривационных уравнений (2.8); они имеют вид
.
Они сводятся к двум уравнениям:
Подставляя в них формулы для кривизн, приводим эти уравнения к виду
3 Геометрия сферы
3.1 Метрика сферы
Сфера радиуса R с центром в начале координат задается уравнением
В сферических координатах и это уравнение выглядит проще .
Поэтому параметры и задают координаты на сфере без двух точек – «северного и южного полюсов». В этих точках и соответственно.
В сферических координатах евклидова метрика в R3 имеет вид
.
На поверхности уровня r=R дифференциал dr равен нулю, и метрика сферы радиуса R имеет вид , где .
Расстояние между точками P и Q на поверхности определяется как нижний предел длин кривых r на поверхности, соединяющих точки P и Q.
Пусть P+ – «северный полюс» (т.е. ) и . Рассмотрим кривую , соединяющую эти точки: и . Тогда
.
Большими кругами на сфере S2 называются пересечения сферы с плоскостями, проходящими через начало координат. Минимум длин кривых, соединяющих
P+ и Q, достигается на наименьшем участке большого круга: так как лишь при , длина любых других кривых больше .
Лемма 3.1 Расстояние от «северного полюса» P+=(0,0,R) до точки равно и достигается в точности на наименьших участках больших кругов.
Обозначим через круг радиуса с центром в P+ на сфере, т.е. совокупность таких точек Q, что . В сферических координатах он выделяется неравенством , а его граница – «окружность радиуса » – задается уравнением .
Длина этой окружности равна
,
а площадь круга –
.
Длина достигает своего максимума на экваторе и равна , т.е. длине большого круга. При круг совпадает со всей сферой, и таким образом площадь сферы равна .
При имеем следующее разложение:
Нормальные сечения – это большие круги, их кривизны постоянны и равны R-1. Следовательно, гауссова и средняя кривизны сферы равны
.
Разложения (3.2) переписываются при этом в виде
Старшие члены этих разложений – это длина окружности и площадь круга радиуса на евклидовой плоскости. Отклонения от евклидова случая оцениваются через кривизну:
при
3.2 Группа движений сферы
Рассмотрим движения сферы , т.е. такие отображения , что они сохраняют длины кривых для любой кривой r. Из определения расстояния следует, что движения сохраняют расстояние между точками:
для любых точек .
Ортогональные преобразования , где , переводит сферу (3.1) в себя и сохраняет евклидову метрику в R3. Поэтому каждое ортогональное преобразование является движением сферы.
Для любой пары точек P и Q на сфере существует такое ортогональное преобразование А, что A(Q)=P. В частности любая точка переводится в «северный полюс» . Поэтому в окрестности любой точки сфера устроена одинаково. Ортогональные преобразования переводят большие круги в большие круги.
Лемма 3.2 Асимптотики (3.3) длин окружностей и площадей кругов радиуса выполняется в окрестности любой точки.
Расстояние между любыми двумя точками равно длине наименьшего участка большого круга, на котором эти точки лежат. Если , то через точки P и Q проходит в точности один большой круг.
Лемма 3.3 Если движение сферы (3.1) оставляет на месте точку P+=(0,0,R), то оно является или вращением вокруг оси z, или композицией такого вращения и отражения относительно плоскости xz: .
Теорема 3.1 Движение сферы (3.1) – это в точности ортогональные преобразования пространства R3 .
Доказательство: Пусть – движение . Возьмем ортогональные преобразование , переводящее P в P+. Тогда – движение, оставляющее на месте точку P+. По лемме 3.3 это движение является ортогональным преобразованием. Следовательно, – ортогональное преобразование. Теорема доказана.
Пусть P+=(0,0,R) и P_=(0,0,R) – «северный и южный полюс» сферы S2. Построим стереографические проекции из этих точек на плоскость xy.
Рисунок 3.2 – Стереографическая проекция на сфере
Пусть – точка сферы, отличная от P+. Проведем через Q и P+ прямую и обозначим точку пересечения этой прямой с плоскостью xy через .
Отображение называется стереографической проекцией из Р+ [21]. В полярных координатах на плоскости xy оно записывается в виде
.
Это отображение обратимо, поэтому (x,y) можно принять за координаты на сфере S2 без «северного полюса» Р+. Метрика сферы в этих координатах задается формулой
.
Определим на комплексный параметр .
По отношению к нему метрика сферы принимает вид
.
Параметр z+ является конформным.
Аналогично определяется стереографическая проекция из «южного полюса» Р-. Она задается формулой .
На вводится параметр
,
где . Он тоже является конформным:
.
Если , т.е. Q – точка сферы, отличная от Р+ и Р-, то ее координаты связаны соотношением .
Замена координат является комплексно-аналитической.
Теорема 3.2 Сфера (3.1) покрывается областями U+ и U-, где . В этих областях заданы конформные параметры z+ и z-, которые в пересечении областей связаны формулой .
Метрика сферы в имеет вид
.
Естественно формально сопоставить точкам Р+ и Р- значения параметра и . Поэтому в комплексной геометрии сферу S2 отождествляет с расширенной комплексной плоскостью .
4 Геометрия псевдосферы
4.1 Пространственноподобные поверхности в псевдоевклидовых пространствах
Пусть R1,2 – псевдоевклидово пространство с координатами (t,x,y) и метрикой
. (4.1)
В области введем псевдосферические координаты
где и . В этих координатах метрика имеет вид
Псевдосфера радиуса R задается уравнением
(см. Рисунок 4.1). Она является двуполостным гиперболоидом, и его половины задаются в псевдосферических координатах уравнениями и .
Рассмотрим верхнюю половину, где
Псевдосфера является примером пространственноподобной поверхности в R1,2 : все касательные векторы к ней пространственноподобны. Поэтому, чтобы сделать индуцированную метрику положительно определенной, надо обратить ее знак: первая квадратичная форма на такой поверхности по определению есть .
Гауссова кривизна пространственноподобных поверхностей в R1,2 может быть определена двумя способами.
Во-первых, построим единичный времениподобный вектор нормали n к поверхности и зададим вторую квадратичную форму равенством
где r=r(x1, x2) – поверхность, заданная параметрически. Положим теперь
Например, для поверхностей, заданных как график функции t=f(x, y), имеем где x1=x, x2=y. Вектор нормали равен
и гауссова кривизна равна
(4.3)
Для поверхностей в R3:
Верхняя половина псевдосферы задается уравнением
Подставляя эту функцию в формулу (4.3), получаем
Таким образом, псевдосфера имеет постоянную отрицательную кривизну [20].
4.2 Метрика и группа движений псевдосферы
Псевдосферу можно рассматривать как вложение гиперболоида в , при этом однополостный гиперболоид соответствует псевдосфере вещественного радиуса, двуполостный – мнимого.
Найдем риманову метрику на однополостном гиперболоиде индуцированную его вложением в как псевдосферы вещественного радиуса.
Метрика в задается следующим выражением
.
Псевдосфера вещественного радиуса задается уравнением
.
Введем псевдосферические координаты где В этих координатах метрика имеет вид
А псевдосфера радиуса R задается уравнением
Таким образом, риманова индуцированная метрика на псевдосфере вещественного радиуса будет иметь вид
Аналогично, на псевдосфере мнимого радиуса индуцированная метрика равна
Эта метрика называется метрикой Лобачевского или гиперболической метрикой [18]. При R=1 псевдосфера с такой метрикой называется плоскостью Лобачевского или гиперболической плоскостью.
Псевдоортогональные преобразования из O(1,2) переводят псевдосферу в псевдосферу и задают ее движения. Любая точка псевдосферы переводится в любую другую точку псевдосферы такими преобразованиями. Поэтому при вычислении длин окружностей и площадей кругов радиуса r с центром в точке P достаточно взять за P «северный полюс» P+ =(R,0,0).
Лемма 4.1 Расстояние от точки P+=(R,0,0) до точки Q верхней половины псевдосферы равно , где – координаты точки Q. Оно достигается в точности на участке «прямой» , соединяющей точку Р+ с точкой Q.
Лемма 4.2 Если движение псевдосферы (4.2) оставляет на месте точку P+=(R,0,0), то оно является или вращением вокруг оси y, или композицией такого вращения и отражения относительно плоскости xy: .
Теорема 4.1 Движения псевдосферы (4.2) – это в точности псевдоортогональные преобразования R1,2, т.е. линейные преобразования, сохраняющие метрику (4.1).
Длина окружности радиуса равна
а площадь круга радиуса равна
При имеет следующие разложения:
Разложения (4.4) переписываются в виде
совпадающем с их аналогами для сферы (3.1). Как и в том случае, старшие члены этих разложений совпадают с длиной окружности и площадью круга радиуса на евклидовой плоскости, а отклонения от плоского случая оцениваются через гауссову кривизну:
при . Так как в плоском случае К=0, заключаем, что эти формулы верны при всех значениях кривизны.
4.3 Модели гиперболической геометрии
Построим стереографическую проекцию верхней половины псевдосферы из «южного полюса» на плоскость .
Пусть Q – точка на псевдосфере. Соединим ее отрезком прямой с точкой . Точку пересечения этого отрезка с плоскостью обозначим через (см. Рисунок 4.2). В полярных координатах на плоскости эта проекция имеет вид
Это отображение обратимо, его образ является внутренностью круга и поэтому можно рассматривать как координаты на псевдосфере.
В них метрика сферы имеет вид
Определив на псевдосфере конформный параметр
представим метрику псевдосферы в виде
где Это представление метрики Лобачевского на псевдосфере при называется моделью Пуанкаре плоскости Лобачевского [19].
Отобразим круг взаимно однозначно на полуплоскость:
Координаты на полуплоскости опять можно принять за координаты на псевдосфере. В терминах этих координат метрика Лобачевского принимает вид
Полуплоскость с такой метрикой при дает другую модель плоскости Лобачевского.
Верхняя половина псевдосферы с метрикой Лобачевского при называется моделью плоскости Лобачевского на псевдосфере.
5 Минимальные поверхности
5.1 Формула Вейерштрасса-Эннепера для минимальных поверхностей
Применением конформного параметра является общий метод построения минимальных поверхностей по паре комплексно-аналитических функций.
Из деривационных уравнений (2.8) следует, что
где n – вектор нормали и – метрика на поверхности .
Поверхность называется минимальной, если ее средняя кривизна всюду равна нулю: [9]. Из формулы (5.1) следует, что для минимальной поверхности выполняется равенство
,
т.е. координатные функции гармоничны по отношению к конформным координатам:
,
где z=x+iy. Это свойство можно принять за определение минимальной поверхности.
Функции являются комплексно-аналитическими. Так как параметр z конформный, то
Так как поверхность регулярна и ее метрика равна вектор-функция не имеет нулей.
По любой вектор функции , удовлетворяющим этим условиям, можно локально построить минимальную поверхность. Более того, это верно вообще для такой вектор-функции, определенной в односвязной области из С.
Область называется односвязной, если любое непрерывное отображение единичной окружности в область U продолжается до непрерывного отображения всего единичного круга в U. Простейшими примерами односвязных областей являются круги
Теорема 5.1 Пусть U – односвязная область на комплексной плоскости С. Предположим, что на ней определена вектор-функция ,
удовлетворяющая следующим условиям:
1) – комплексно-аналитическая функция (т.е. каждая ее компонента комплексно-аналитична);
2) не имеет нулей в U;
3)
Тогда существует такая регулярная минимальная поверхность , что и z – конформный параметр на этой поверхности.
Доказательство: Если функция f комплексно-аналитична, то значение интеграла
не зависит от выбора пути в односвязной области U из точки z0 в точку z. Поэтому корректно определены функции
Эти функции задают отображение
, ,
и
.
Вектор-функция не имеет нулей, и поэтому всюду. Но
и
.
Отсюда следует, что функции rx, ry всюду линейно независимы параметр z конформный.
Осталось заметить, что . Из соотношения (5.1) следует, что средняя кривизна всюду равна нулю, т.е. поверхность минимальна.
Общее решение уравнения
представляется в виде
причем любому ненулевому решению отвечает две такие пары и . Поэтому если имеется две комплексно-аналитические функции не обращающиеся одновременно в нуль в односвязной области U, то по этим формулам можно построить вектор-функцию . Эта функция будет удовлетворять всем условиям теоремы 5.1, и по ней строится минимальная поверхность. Метрика на этой поверхности будет равна
. (5.4)
Формулы, задающие плоскость по паре комплексно-аналитических функций, пишутся в терминах функций f и g, удовлетворяющих соотношениям
Подставляя равенства (5.3) и (5.5) в (5.2),
получаем следующие формулы Вейерштрасса-Эннепера [12]:
Интеграл берется по любому пути в области U из точки z0 в точку z. Из построения ясно, что локально эти формулы задают любую минимальную поверхность.
Приведем примеры минимальных поверхностей.
- Плоскость. В этом случае f=1, g=0 (или ). Получаем плоскость xy в трехмерном евклидовом пространстве.
Поверхность, заданная локально как график функции z=f(x,y), минимальна, если
.
Поэтому уравнение
(5.7)
называется уравнением минимальных поверхностей в R3.
Плоскость является единственной регулярной минимальной поверхностью, которая задается как график функции, определенной на всей плоскости xy. Это следует из того, что только линейные функции f(x,y)=ax+by+c являются гладкими решениями уравнения (5.7), определенными на всей плоскости.
- Катеноид (см. Рисунок 5.1). Если выписать условие минимальности для поверхностей вращения, то полученное уравнение будет разрешимо и общее решение примет вид
,
где a не равно нулю. Эти поверхности получаются вращением графика функции вокруг оси x и называется катеноидами. В представлении Вейершрасса-Эннепера они задаются функциями (или , где . Областью определения функции z является плоскость с выколотой точкой, но входящие в формулы Вейершрасса-Эннепера интегралы не зависят от выбора пути интегрирования. Явные формулы имеют вид где .
Верно следующее утверждение: минимальные поверхности вращения это в точности плоскость и катеноиды.
Доказательство: поверхность вращение графика функции , вокруг оси Oz задается следующим уравнением . Подставим его в уравнение минимальных поверхностей:
;
;
;
;
;
;
;
Вводим замену: .
;
;
;
;
;
;
;
;
;
а) С=0
y=0.
f(x)=const;
z(x)=const.
Графиком данного уравнения является прямая параллельная оси Ox, при вращении прямой относительно Oz, образуется плоскость.
Рисунок 5.2 – Прямая параллельная оси Оx
б)
;
;
;
;
;
;
;
;
, ;
.
Графиком данного уравнения является цепная линия. При вращении графика функции относительно Oz образуются катеноиды.
Рисунок 5.3 – Цепная линия
- Геликоид (см. Рисунок 5.4). Эта поверхность образуется при равномерном вращении прямой l, пересекающей ось вращения, и одновременном равномерном переносе этой прямой параллельно оси вращения.
Геликоиды задаются функциями (или ), где а – ненулевая постоянная. Здесь и интегралы, входящие в уравнение (5.6), уже зависят от пути интегрирования. Чтобы добиться однозначности, исключим из С вещественную отрицательную полуось , заданную формулами . При этом получим один виток геликоида, отвечающий одному обороту l вокруг оси вращения. Весь геликоид получается аналитическим продолжением: надо склеить верхний берег одного экземпляра с нижним берегом другого экземпляра и т.д. Явные формулы для геликоида имеют вид где . Отсюда следует, что геликоид задается уравнением
.
Заметим, что данные функции по которым строятся катеноид и геликоид (при одном и том же значении параметра а), различаются множителем . Вообще, если минимальные поверхности таковы, что
,
где – вещественная постоянная, то они называются ассоциированными. Из формулы следует, что ассоциированные поверхности локально изометричны. Для катеноида и геликоида и локальная изометрия дается отображением . Однако глобально они выглядят различно: катеноид является вложенным цилиндром, а геликоид – вложенной плоскостью. Последнее следует из того, что геликоид может быть задан и другой парой функций: , определенных уже на всей комплексной плоскости.
- Поверхность Эннепера (см. Рисунок 5.5). Несмотря на свое простое задание: (или ), эта поверхность имеет самопересечения, т.е. является погруженной.
Заключение
В данной работе мы рассмотрели применение элементов комплексного анализа в теории поверхностей. Были проанализированы основные уравнения теории поверхностей в терминах конформного параметра. С помощью комплексного анализа исследованы сфера и псевдосфера. С использованием конформного параметра построены минимальные поверхности вращения.
В результате выполнения дипломной работы были сделаны следующие основные выводы:
- использование конформного параметра позволяет значительно упростить основные уравнения в теории поверхностей;
- в окрестности любой точки гладкой поверхности можно ввести конформные координаты;
- единственной регулярной минимальной поверхностью, которая задается как график функции является плоскость, а единственными минимальными поверхностями вращения являются плоскость и катеноиды.
Список использованных источников
- Александров, А.Д. Геометрия: учеб. пособие / А.Д. Александров, Н.Ю. Нецветаев – М.: Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. –672 с.
- Блашке, В. Введение в дифференциальную геометрию / В. Блашке; Ижевск: Издательский дом «Удмуртский университет», 2000. –232 с.
- Громов, М. Знак и геометрический смысл кривизны / М. Громов; Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. – 128 с.
- Джусти, Э. Минимальные поверхности и функции ограниченной вариации: пер. с англ. / Э. Джусти – М.: Мир, 1989 – 240 с.
- Дубровин, Б.А. Современная геометрия: методы и приложения / Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко; 2-е изд., перераб. – М.: Наука, Гл. ред. физ-мат. лит., 1986 – 760 с.
- Ефимов, Н.В. Высшая геометрия / Н.В. Ефимов; 5-е изд. – М.: Наука, 1971 – 576 c.
- Клейн, Ф. Высшая геометрия: пер. с нем. изд. 2-е, стереотипное / Ф. Клейн. – М.: Едиториал УРСС, 2004. – 400с.
- Мищенко, А.С. Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии / А.С. Мищенко, А.Т. Фоменко – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. – 304 с.
- Минимальные поверхности/ Г. Кархер, Л. Саймон, С. Хильдебрандт, Р. Оссерман; – ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 352 с.
- Новиков, С.П. Современные геометрические структуры и поля / С.П. Новиков, И.А. Тайманов – М.: МЦНМО, 2005. – 584 с.:ил.
- Новиков, С.П. Элементы дифференциальной геометрии и топологии / С.П. Новиков, А.Т. Фоменко. – М.: Наука, Гл. ред. физ-мат. лит., 1987 – 432c.
- Норден, А.П. Теория поверхностей / А.П. Норден – М.: ГИТЛ, 1956. – 260 с.
- Позняк, Э.Г. Дифференциальная геометрия / Э.Г. Позняк, Е.В. Шикин – М.: Изд-во МГУ, 1990. – 384 с.
- Розендорн, Э.Р. Теория поверхностей / Э.Р. Розендорн; 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. – 304 с.
- Розенфельд, Б.А. Многомерные пространства / Б.А. Розенфельд – М.: Наука, 1966. – 637 с.
- Тайманов, И.А. Лекции по дифференциальной геометрии /
И.А. Тайманов – Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002 – 176 с.
- Тужилин, А.А. Элементы геометрии и топологии минимальных поверхностей / А.А. Тужилин, А.Т Фоменко – М.: Наука, 1991. –176 с.
- Шабат, Б. В. Введение в комплексный анализ / Б.В. Шабат. – М.: Наука, 1969. – 577 с.
- Кадомцев, С.Б. Геометрия Лобачевского: Открытие и путь в современность / С.Б. Кадомцев, Э.Г. Позняк, А.Г. Попов // Природа. – № 7. – С. 19-27.
- Попов, А.Г. Псевдосферические поверхности / А.Г. Попов // Соровский образовательный журнал – – №2 – С. 119-127.
- Розендорн, Э.Р. Поверхности отрицательной кривизны / Э.Р. Розендорн // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. – Т. 48. – М.: ВИНИТИ. – – С. 98-195.
- Сильвестров, В.В. Конформное отображение / В.В. Сильвестров // Соровский образовательный журнал – 1999. –№12 – С. 97-102.
Скачать: [attachment=2528]
[attachment=2529]
[attachment=2530]
[attachment=2531]