ДИПЛОМНАЯ РАБОТА
Учет эффектов запаздывания при определении скорости
межмолекулярной безызлучательной передачи энергии электронного возбуждения в ближней зоне проводящих нанотел
Аннотация
В данной дипломной работе рассматриваются основные закономерности индуктивно-резонансного переноса энергии в присутствии металлических наночаситиц.
Первый раздел содержит математический аппарат функций Грина, теоретические основы Ферстеровского индуктивно-резонансного переноса энергии в присутствии наночастиц сферической формы и в свободном пространстве, а также их динамическая поляризуемость с учетом вырожденности электронного газа в поле монохроматического излучения.
Во втором разделе рассмотрен формализм диадических функций Грина, а также диадические функции краевых задач векторного волнового уравнения, в частности для индуктивно-резонансного переноса энергии в присутствии наночастиц сферической формы.
В третьем разделе произведено численное моделирование скорости Ферстеровского индуктивно-резонансного переноса энергии в присутствии наночастиц сферической формы.
Работа выполнена печатным способом на 50 страницах, в том числе рисунок, 30 источников.
Содержание
|
Введение……………………………………………………………………… |
6 |
|
1 Основы теории Ферстеровского индуктивно-резонансного переноса энергии в присутствии наночастиц……………………………………….... |
9 |
|
1.1 Общая FRET-теория……………..……………………………………..... |
9 |
|
1.2 Величина скорости FRET в свободном пространстве………………… |
11 |
|
1.3 Величина скорости FRET в присутствии наночастицы………………. |
12 |
|
1.4 Дистанционная зависимость величины FRET в присутствии наночастицы…………………………………………………………………………. |
16 |
|
1.5 Функция Грина |
17 |
|
1.6 Динамическая поляризуемость с учетом вырожденности электронного газа……………………………………………………………………… |
19 |
|
2 Диадная функция Грина…………………………………………………... |
23 |
|
2.1 Математический формализм функции Грина |
23 |
|
2.2 Диадические функции Грина краевых задач векторного волнового уравнения…………………………………………………………………….. |
25 |
|
3 Численное моделирование величины скорости в присутствии проводящих нанотел……………………………………………………………….. |
31 |
|
3.1 Величина скорости в присутствии металлических наночастиц сферической формы (невырожденный электронный газ)……………………. |
31 |
|
3.2 Величина скорости в присутствии металлических наночастиц сферической формы (вырожденный электронный газ)……………………….. |
38 |
|
3.3 Математическое моделирование величины скорости в присутствии наночастиц эллипсоидальной формы………………………………………. |
44 |
|
Заключение…………………………………………………………………... |
47 |
|
Список использованных источников………………………………………. |
48 |
Введение
Процесс перенос энергии между молекулой, находящейся в возбужденном состоянии (донор) и молекулой, находящейся в основном состоянии (акцептор) лежит в основе многих важных фотофизических и фотохимических процессов, от фотосинтеза до флуоресцентного зондирования биологических систем. Он также интересен в нанофотонике, где эффективный перенос оптического возбуждения на расстояниях меньших длины волны является ключевым вопросом. Зависящий от расстояния между донором (D) и акцептором (A) процесс перенос энергии может быть точно описан с помощью различных теорий, которые объясняют электромагнитное взаимодействие между двумя объектами. На расстояниях между донором и акцептором от 2 до 10 нм, которое характерно для фотохимических исследований и нанофотоники, хорошо подходит теория Ферстера, основанная на квазистатическом диполь-дипольном взаимодействии. Данная теория показывает, что хотя Ферстеровский индуктивно-резонансный перенос энергии является очень важным процессом, который может быть использован, например, для спектроскопических измерений, он весьма слаб, уменьшаясь обратно шестой степени ( ) донор-акцепторного расстояния [1].
Для меньших расстояний Декстером [1] было показано что, важными становятся электронный обмен и мультипольные взаимодействия и нужно оперировать с помощью квантово-механической трактовки. С другой стороны, на больших расстояниях (значительных по сравнению с длиной волны излучения соответствующего, данному переходу) полная электродинамика нуждается в вычислении эффекта запаздывания. В данной работе мы остановимся на изучении скорости переноса энергии в дальней зоне с учетом эффекта запаздывания, когда донор и акцептор расположены вдали от наночастицы. На эту трехчастичную конфигурацию мы будем распространять формализм тензорных функций Грина и покажем, как это влияет на свойства данной трехчастичной системе. Свойства данной системы определяются главным образом наличием уникальных свойств у наночастиц благородных металлов. В частности наночастицы благородных металлов обладают уникальными оптическими свойствами, связанными с возникновение плазмонных резонансов, в результате взаимодействия электромагнитного излучения с плазмой свободных электронов в металле [3]. Данный эффект приводит к появлению полос поглощения и рассеяния, связанных с плазмонными резонансами. Спектральное положение этих особенностей зависит от материала наночастиц, их размера, формы и энергетического состояния свободных электронов в наночастице. Так, для сферических наночастиц Ag полоса поглощения, связанная с плазмонным резонансом, расположена в спектральном интервале от 390 до 400 нм, для Au от 550 до 560 нм, для Cu от 600 до 700 нм [4]. Важным свойством плазмонных резонансов является локальное увеличение амплитуды поля электромагнитной волны внутри и вблизи наночастицы в десятки раз, по сравнению со средней амплитудой поля в среде [5].
В этой работе использовались некоторые понятия физики плазмы, обобщенный формализм для вычисления величины FRET и формализм тензорных функций Грина, которые помогут нам при работе с донорно-акцепторной системой, взаимодействующей с наноструктурированной окружающей средой. Одним из частных случаев этого формализма является стандартная теория Ферстера.
Кроме того большой интерес представляют сами по себе процессы диссепации и рассеяния электромагнитного излучения в металлической наночастице. Процесс диссипации можно учесть с помощью введения параметра, отвечающего за поглощение электромагнитной энергии.
Интерес к эффекту запаздывания электромагнитного поля, возник в конце 40 - х годов XX в, когда в ряде теоретических работ [6] был произведен расчет диполь-дипольного взаимодействия с учетом запаздывания и было показано, что поле мгновенного дипольного момента dA молекулы донора D достигает молекулы акцептора A за время R/c и индуцирует в ней дипольный момент dB, который взаимодействует с dA по прошествии времени 2R/c. За это время dA может изменить свое направление, в частности, повернуться на 90°, что приведет к нулевому взаимодействию. Естественно, что величина запаздывающего взаимодействия будет меньше, чем мгновенного. В случае наночастиц различной геометрии (например, сферическая), дистанционная зависимость, угловая зависимость, и эффективность FRET и переноса энергии в целом, могут быть существенно изменены.
В настоящей работе методами численного моделирования проведено исследование влияния наночастиц различной формы (сферические и эллиптические), размера, а также различной геометрии трехчастичной системы на скорость безызлучательного переноса энергии между молекулами органических красителей составляющих донор-акцепторную пару наночастиц.
1 Основы теории Ферстеровского индуктивно-резонансного переноса энергии
1.1 Общая FRET-теория
В данной главе представлен обобщенный формализм для вычисления величины скорости FRET, при рассмотрении донорно-акцепторной системы, взаимодействующей с наночастицей [7]. Одним из частных случаев этого формализма является стандартная теория Ферстера.
Рисунок 1.1 - Слева: Схематическая конфигурация донорно-акцепторной системы в присутствии наночастицы. Различные каналы для энергетического переноса (прямой или опосредованный) обозначены красными точечными стрелками. Справа: диаграмма энергетических уровней донорной и акцепторной молекул
Рассмотрим донор (источник) и акцептор (приемник) с произвольным расположением и ориентацией наведенных диполей вблизи нанострукруты. Где под и понимается позицию и направление наведенных диполей акцептора и донора соответственно. Для переориентации электрических диполей и в случае слабого взаимодействия нормализованная величина скорости FRET - может быть вычислена из электрической функции Грина, которая описывает электромагнитный отклик окружающей среды. Она выражается в виде:
, (1.1)
где - скорость энергетического переноса от донора к акцептору;
- скорость затухания донора в свободном пространстве;
- частота испускания;
- нормализованный спектр испускания донора.
Функция определяется следующим образом:
, (1.2)
где G - электрическая диадическая функция Грина, которая описывает окружение донора и акцептора, определяемая следующим образом:
для точечного электрического диполя p, находящегося в точке r' и осциллирующего с частотой , электрическое поле в точке r равно:
.
Выражение для величины скорости FRET заданное уравнениями широко распространено и может быть применено к произвольной геометрии, обеспечивающей известность диадической функции Грина. Эти уравнения составляют базис для обобщенной теории FRET. В частности, они показывают, что FRET-сигнал, как и любой сигнал флуоресценции, сильно зависит от окружающей среды [9,10].
1.2 Величина скорости FRET в свободном пространстве
Чтобы применить стандартный FRET-формализм, соответствующий донор-акцепторной паре в свободном пространстве, можно переписать уравнение в виде:
, (1.3)
где
, (1.4)
и просто заменим G диадической функцией Грина свободного пространства.
В квазистатическом приближении имеет вид:
С учетом запаздывания:
,
где - единичный вектор в направлении .
Это приводит к хорошо известному выражению стандартной величины скорости FRET переноса - :
, (1.5)
где - расстояние между акцептором и донором;
- Ферстеровский радиус без труда определяющийся следующим образом:
, (1.6)
где - ориентационного фактора;
- единичный вектор вдоль оси донор-акцепторной пары.
Ориентационный фактор может принимать значения от 0 (перпендикулярные наведенные диполи) до 2 (параллельные наведенные диполи).
1.3 Величина скорости FRET в присутствии наночастицы
Присутствие наноструктуры вблизи донор-акцепторной пары приводит к изменениям в характере излучения донора и поглощения акцептора посредством наведенных диполей. Изменения обусловлены диадической функцией Грина, которая описывает электродинамическую восприимчивость окружающего пространства через функцию , входящую в уравнение. Этот формализм приводит к очень важной трактовке FRET-переноса посредством внешней наноструктуры, такой как наночастица с анизотропной восприимчивостью. Это позволяет оценить влияние многих параметров, с которыми приходится иметь дело на практике, таких, как ориентация наведенных диполей или форма и свойства материала наночастицы.
В присутствии наночастицы, описанной электро-дипольным приближением, полная диадическая функция Грина может быть получена из уравнения Липпмана-Швингера-Дайсона:
, (1.7)
Для точечного диполя при отражении поля частицей с поляризуемостью функция Грина определяется выражением:
, (1.8)
где - центр наночастицы, - тензор поляризуемости.
В дальнейшем будем считать, что наночастица находится в начале координат и положим . Уравнение (1.1) может быть переписано в следующем виде:
, (1.9)
где функция дается в виде:
.
Это выражение четко показывает вклад различных безызлучательных каналов переноса энергии: прямой (стандартный) Ферстеровский перенос , перенос энергии посредством наночастицы и интерференционная часть, содержащая фазовый сдвиг двух каналов.
Если не прибегать к математическому аппарату функций Грина, для элементарной скорости безызлучательного переноса энергии электронного возбуждения между молекулами в присутствии сферической металлической наночастицы можно получить следующее выражение [11]:
, (1.10)
где
.
Функция определяет суммарный матричный элемент прямого и опосредованного (через наночастицу) донор-акцепторного взаимодействия [1,11].
|
pD |
|
rD |
|
rA |
|
rDA |
|
pA |
|
R |
|
PNP |
|
θ |
Рисунок 1.2 – Геометрия задачи FRET-переноса
После интегрирования в соответствующих спектральных полосах эмиссии донора и абсорбции акцептора получаем:
, (1.11)
где - функция спектрального отклика наночастицы определяемая резонансными плазмонными факторами и конфигурационными параметрами трехчастичного комплекса (донор-акцептор-наночастица показанного на рисунке (1.2)) имеющая следующий вид:
, (1.12)
где - диэлектрическая проницаемость металлической нанопоры определяемая из теории Друде-Лоренца;
- диэлектрическая проницаемость среды;
- угол между векторами и ;
- ориентационный фактор, определяющий взаимную ориентацию векторов и .
Функция представляет собой скорость переноса в отсутствие наночастицы, совпадающую с выражением теории Ферстера:
.
Поляризуемость металлического наношара радиуса R на частоте :
.
Тогда функция спектрального отклика может быть записана через поляризуемость металлического наношара в виде:
.
Как легко можно видеть первое слагаемое функции определяет перенос энергии посредством наночастицы, второе же слагаемое представляет интерференционную часть, содержащую фазовый сдвиг двух каналов переноса – прямого Ферстеровского и опосредованного через нанопору.
Используя к математический аппарат функций Грина, для элементарной скорости безызлучательного переноса энергии электронного возбуждения между молекулами в присутствии сферической металлической наночастицы можно получить следующее выражение:
1.4 Дистанционная зависимость величины скорости FRET в присутствии наночастицы
Дистанционная зависимость как ( ) величины скорости FRET переноса в свободном пространстве (теория Ферстера)[1,2,8] является хорошо известным свойством. В присутствии внешнего тела эта дистанционная зависимость более заметна, как показывает основная представленная теория.
, (1.13)
где называться радиусом поляризационной связи.
В формуле (1.13) видна зависимость от расстояния между донором и наночастицей ( ), и акцептором и наночастицей ( ). Для того, чтобы глубже понять зависимость обобщенной величины скорости FRET только от расстояния между акцептором и наночастицей произвольно установим расстояние между донором и наночастицей: где (отметим, что можно сделать и противоположный выбор). В этом случае зависимость величины скорости FRET от расстояния между донором и наночастицей может быть дана следующим соотношением:
. (1.14)
Из этого выражения видно, что полученная зависимость обратна шестой степени, как в стандартном FRET формализме, но расстояние между донором и акцептором заменено расстоянием между акцептором и наночастицей. Это легко отражает базовый механизм величины скорости FRET, идущего посредством наночастицы, который может быть представлен как серии безызлучательных переносов энергии от донора к наночастице и затем другого переноса от наночастицы к акцептору. Известно, что безызлучательный перенос энергии, протекающий за счет диполь-дипольного взаимодействия между источником и наночастицей, дает дистанционную зависимость, как , что и получено здесь. Другое важное следствие формулы заключается в том, что знание отношения дает и точное критическое расстояние между акцептором и наночастицей, разделяющее затухающие и усиливающиеся режимы FRET, идущего посредством наночастицы.
- Функция Грина
Функция Грина, сходная с выражением:
, (1.15)
есть следствие трактовки проблемы квантового рассеяния. Здесь совокупный результат получается из функции Грина, либо путем стимуляции полюсов к сдвигу через введение бесконечно малой мнимой части в знаменателе формулы (1.15):
, (1.16)
или путем изменения пути интегрирования. Функция синуса в выражении (1.15) может быть разложена с целью получения двух интегралов:
, (1.17)
которая дает для каждого из контуров от до на рисунке (1.3):
для , (1.18)
для , (1.19)
для , (1.20)
для , (1.21)
где продолжение контуров исчезающими интегралами было дополнено соответствующими полуокружностями. Для того, чтобы предоставить уходящеее волновое решение избирается контур , хотя конечно это не априорная математическая истина [24].
Ни одно из этих приближений не является доскональным, при этом последний метод сам по себе не имеет простой физической мотивировки. Подавляющий физический аргумент, используемый в обоих случаях, заключается в том, что решения должны вести себя как слабая убегающая волна в пределе больших . Это дает правильную форму для как требовал классический подход:
. (1.22)
Строго говоря, подобного приближения следовало бы избегать, так как знание дальнодействующей формы взаимодействия необходимо для вычисления главного поведения, которое может быть физически обоснованно только как граничное условие для проблемы рассеивания. В рассматриваемом типе проблемы в этой статье, только молекулярная система может иметь граничные условия, ибо мнимые фотоны не наблюдаемы. В следующем разделе показано, что возвращаясь к теории временной зависимости возмущений и осторожно переходя к скоростному выражению, правильная форма может быть получена без обращения к фундаментальному рекурсивному аргументу.
- Динамическая поляризуемость с учетом вырожденности
электронного газа
Рассмотрим теперь вынужденные дипольные колебания, вызываемые внешним квазиоднородным электромагнитным (лазерным) полем, напряженностью [25]. Решение для возмущающей добавки потенциала вне ионной сферы строится в виде
, (1.23)
где - динамическая поляризуемость кластера на частоте поля. Решение для возмущающей добавки внутри сферы ( ) представляем в форме вынужденных дипольных колебаний
. (1.24)
Используя обозначение:
, или , (1.25)
и выражение для диэлектрической проницаемости электронного газа в форме:
. (1.26)
для функции получаем
, (1.27)
где – длина томас-фермиевского экранирования.
Из условий непрерывности потенциала на границе ионной сферы и непрерывности нормальной проекции вектора электростатической индукции, на основе (13) и (14) для поляризуемости получаем [21]
(1.28)
При из (1.28) следует известный классический результат [18]
(1.29)
Из выражения следует и тогда для поляризуемости на плазменной частоте получаем .
При совпадении частоты с частотой собственных колебаний электронного газа наступает резонанс и поляризуемость обращается в бесконечность. Условие равенства нулю знаменателя во втором слагаемом (1.28) приводит к уравнению:
. (1.30)
Рассматривают ту часть формулы (1.28), которая отвечает за резонансный эффект:
.
Вблизи собственной частоты резонансный характер динамической поляризуемости отображается зависимостью
. (1.31)
Для устранения расходимости на резонансной частоте рассмотрим, далее, диссипативный вариант плазменной системы. Тогда диэлектрическая проницаемость вместо (1.25) может быть выбрана в форме Друде-Зоммерфельда
. (1.31)
Параметр в (1.31) имеет смысл частоты столкновений электронов в модели свободного газа, и он определяет мощность диссипативных процессов в металле. В связи с комплексным обобщением проницаемости соответственно изменяется и томас-фермиевский параметр (1.27)
. (1.32)
Таким образом, в выражении (1.32), величины и являются комплекснозначными функциями частоты . Везде, далее, будем считать диэлектрическую проницаемость и динамическую поляризуемость комплексными величинами.
2 Диадная функция Грина
Важным понятием теории поля является функция Грина: поле, производимое точечным источником. В электромагнитной теории диадная функция Грина непосредственно связана с электрическим полем в точке , возникающая при излучении электрического диполя , расположененого в точке . В математической форме это утверждение записывается таким образом:
(2.1)
Для усвоения концепции функции Грина рассмотрим ее с точки зрения математического формализма [21].
2.1 Математический формализм функции Грина
Рассмотри следующее неоднородное уравнение, записанное в общем виде:
(2.2)
Здесь - линейный дифференциальный оператор, действующий на векторное поле , представляющее собой неизвестный отклик системы. Векторное поле - это известная функция источника, превращающая уравнение в неоднородное. Хорошо известная теорема из теории линейных дифференциальных уравнений утверждает, что общее решение неоднородного уравнения может быть представлено в виде суммы полного решения однородного уравнения ( ) и частного неоднородного уравнения. Будем считать, что решение однородного уравнения нам известно ( ). Таким образом, нам необходимо найти произвольное частное решение.
Обычно решение уравнения (2.2) найти довольно сложно и проще бывает рассмотреть неоднородность специального вида, а именно , которая равна нулю всюду, кроме точки . Тогда линейное уравнение записывается в виде:
, (2.3)
где представляет собой произвольный постоянный единичный вектор.
В общем случае векторное поле зависит от положения неоднородности , поэтому вектор был также внесен в аргумент функции Грина . Три уравнения, отвечающие записи (2.3), в сокращенной форме могут быть записаны таким образом:
, (2.4)
где оператор действует на каждую колонку диады независимо;
- единичная диада.
Диадная функция удовлетворяющая уравнению (2.4), называется диадной функцией Грина.
В качестве следующего шага предположим, что уравнение (2.4) было решено и функция Грина известна. Домножая далее обе части этого уравнения на и интегрируя по всему пространству, где , получим:
(2.5)
Так правая часть уравнения переходит в , с учетом уравнения (2.3) получим:
(2.6)
Если в правой части уравнения оператор может быть вынесен за знак интеграла, решение уравнения (2.2) запишется в виде:
(2.7)
Таким образом, решение исходного уравнения может быть найдено интегрированием произведения диадной функции Грина и неоднородности источника В по объему V. [26,27]
2.2 Диадические функции Грина краевых задач векторного волнового уравнения
Поле точечного диполя в ближней зоне можно записать в виде
.
\
Тогда энергия диполь-дипольного взаимодействия донора с акцептором будет
.
Символ будет означать диадное произведение векторов. Тогда тензор второго ранга может быть представлен в виде следующего разложения
(2.8)
Тензор второго ранга («диадик») может быть представлен матрицей
.
Часто для обозначения диадических объектов используют обозначения .
Вектор напряженности электрического поля
Вектор плотности тока
.
Формализм диадических величин и операций с ними оказывается полезным при построении решений векторных волновых уравнений, например, в проблеме рассеяния электромагнитных волн металлическими или диэлектрическими телами.
Уравнения Максвелла для фурье-образов напряженности электрического поля и индукции магнитного поля позволяют получить векторное неоднородное уравнение Гельмгольца для фурье-образа напряженности
. (2.9)
Решение этого уравнения может быть представлено через диадическую функцию Грина
, (2.10)
удовлетворяющую уравнению
, (2.11)
вместе с подходящими граничными условиями. Диадическая единица в (4) представляет собой следующую конструкцию
. (2.12)
Времязависящая напряженность поля определяется интегралом от соответствующей диадической функции Грина
.
Важным базовым объектом в формализме является диадическая функция Грина векторного волнового уравнения для свободного пространства (пространства без рассеивающих тел). Уравнение, которому удовлетворяет тензор аналогично уравнению (2.11)
, (2.13)
.
Левин и Швингер [29] показали, что решение общей проблемы с граничными условиями может быть получено на основе функции Грина скалярного волнового уравнения в свободном пространстве
. (2.14)
Решение уравнения (7) имеет вид
. (2.15)
Тогда решение для диады получаем на основе (2.15) в виде
. (2.16)
Компоненты тензора (2.16) принимают вид
, (2.17)
или
, (2.17’)
где . В квазистатическом пределе, без учета запаздывания
. (2.18)
Вычисление тензорной (аффинорной) функции Грина может быть произведено как на основе собственных функций векторного уравнения Гельмгольца [28], так и на основе решения интегрального уравнения. Можно показать, что эта функция подчиняется интегральному уравнению Липпмана-Швингера-Дайсона
. (2.19)
Для точечного диполя с моментом получаем . При отражении поля частицей с поляризуемостью функция Грина определяется выражением
. (2.20)
Для сравнения в квазистатическом приближении для функции скорости имеем выражение:
, (2.21)
где
При использовании формализма диадических функций Грина, получаем матричный элемент диполь-дипольного взаимодействия следующего вида:
, (2.22)
где
. (2.23)
Подставляя (2.23) в (2.22) получаем:
.
Матричный элемент диполь-дипольного взаимодействия без участия наночастицы выглядит:
.
Функция отклика для скорости переноса энергии:
,
где функция Грина определяется из выражения (2.20).
3 Численное моделирование величины скорости в присутствии проводящих нанотел
3.1 Величина скорости в присутствии металлических наночастиц сферической формы (невырожденный электронный газ)
Для численного моделирования величины скорости переноса в присутствии металлических наночастиц сферической формы было взято выражение (1.11) рассмотренное в первой главе. Геометрия представлена на рисунке 3.1 [1,2].
|
pD |
|
rD |
|
rA |
|
rDA |
|
pA |
|
R |
|
PNP |
|
θ |
Рисунок 3.1 – Геометрия трехчастичной системы
. (3.1)
На первоначальном этапе рассмотрим поведение функции спектрального отклика , матричного элемента взаимодействия , а также мнимой части и интерференционного члена матричного элемента металлической наночастицы в зависимости от ее радиуса.
, (3.2)
где - динамическая поляризуемость, определяемая из выражения:
, (3.3)
где для вакуума.
На рисунках 3.2 – 3.5 представлено сравнение спектрального отклика , матричного элемента взаимодействия и интерференционного члена матричного элемента диполь-дипольного взаимодействия в квазистатическом приближении с учетом эффектов запаздывания.
Рисунок 3.2 – График функции спектрального отклика ,при расчетных параметрах:
Рисунок 3.3 – График матричного элемента диполь-дипольного взаимодействия при расчетных параметрах:
Рисунок 3.4 – График интерференционного члена матричного элемента диполь-дипольного взаимодействия при расчетных параметрах:
На представленных рисунках 3.2-3.4 отлично видно, что эффекты запаздывания хорошо себя проявляют. Дипольные моменты донора (D) и акцептор (A) лежат на одной оси под углом 1800 по разные стороны от наночастицы. По амплитудным значениям легко заметить, что интерференционное слагаемое матричного элемента диполь-дипольного взаимодействия оказывает большое влияние на скорость безызлучательной передачи энергии. На рисунке 3.2 замечаем, что при учете эффектов запаздывания резонансный пик смещается и становиться менее симметричным. На рисунке 3.3, на котором представлен график матричного элемента диполь-дипольного взаимодействия , находим, что кривые ведут себя подобно друг другу. На следующем рисунке 3.4 важно отметить следующие факты: сдвиг и спад резонансного пика, антисимметричность кривой.
На рисунках 3.5 – 3.7 представлено поведение спектрального отклика , матричного элемента диполь-дипольного взаимодействия и интерференционного слагаемого матричного элемента диполь-дипольного взаимодействия, от частоты столкновений электронов в металлической наночастице. Расчетные параметры оставлены те же.
Рисунок 3.5 – График зависимости функции спектрального отклика от частоты столкновений электронов
Рисунок 3.6 – График зависимости матричного элемента взаимодействия от частоты столкновений электронов
Рисунок 3.7 – График зависимости интерференционного члена матричного элемента взаимодействия от числа столкновений электронов
На представленных графиках весьма наглядно прослеживается тенденция уменьшения амплитуды величин , и интерференционного члена матричного элемента взаимодействия с постепенным увеличением числа столкновений . При , мы видим хорошо заметные пики на данных графиках, с последующим увеличением до амплитуда величин резко уменьшается практически в 4 раза. Увеличение диссипационного параметра приводит к вполне ожидаемому уширению резонансных линий и уменьшению амплитуд резонансных линий. Данное явление можно объяснить тем, что с увеличением частоты столкновений электронов, всё большая часть передаваемой энергии идет на нагрев металлической наночастицы.
На рисунке 3.8 представлен график зависимости относительной скорости переноса с участием сферической металлической наночастицы при изменении частоты столкновений. При этом угол между донором и акцептором составлял 1800 градусов, т.е они находились на одной прямой в разных направлениях. Акцептор и донор были жестко закреплены. С увеличением частоты столкновений скорость передачи спадала экспоненциально.
Рисунок 3.8 - График зависимости относительной скорости переноса с участием сферической металлической наночастицы при изменении частоты столкновений при расчетных параметрах:
На рисунке 3.9 представлен график зависимости относительной скорости переноса с участием сферической металлической наночастицы при изменении частоты столкновений. При этом угол между донором и акцептором составлял 180 градусов, т.е они находились на одной прямой, по разные стороны от наночастицы. Акцептор и донор были жестко закреплены. С увеличением частоты столкновений скорость передачи падает экспоненциально. Пределы изменения частоты столкновений от до .
Рисунок 3.9 - График зависимости относительной скорости переноса с участием сферической металлической наночастицы при изменении частоты столкновений при расчетных параметрах:
Из рисунка 3.9 видно, что кривая скорости переноса при учете эффектов запаздывания спадает менее круче, чем в случае квазистатического приближения, хотя обе кривых изменяются по одному закону.
Ниже на рисунке 3.10 представлена зависимость относительной скорости переноса с участием сферической металлической наночастицы при изменение угла между донором и акцептором . Синея кривая отвечает за перенос энергии с учетом эффектов запаздывания, а красная в случае квазистатического приближения. Замечаем, что при углах и они пересекаются. Синея кривая имеет некую симметричность относительно изменения угла между донором и акцептором , когда как красная проявляет себя неоднозначно и антисимметрично, имея при угле максимум величины скорости переноса, а при угле обращается в ноль. Обращение величины скорости в ноль можно объяснить тем, что в выражении (3.1) присутствует , который при угле 900 равен нулю, что в свою очередь противоречит с графиком для скорости переноса с учетом эффектов запаздывания.
Рисунок 3.10 График зависимости относительной скорости переноса с участием сферической металлической наночастицы при изменении угла между донором и акцептором . Расчетные параметры:
3.2 Величина скорости в присутствии металлических наночастиц сферической формы (вырожденный электронный газ)
Рассмотрим скорости FRET переноса в присутствии сплошных металлических наночастиц с учетом вырожденности электронного газа в наночастице.
Аналогично рассмотренному выше выражение для скорости переноса энергии в присутствии наночастицы сферической формы имеет вид (3.1):
,
где функция спектрального отклика будет иметь вид (3.2):
где функция динамической поляризуемости наночастицы в случае вырожденности электронного газа имеет вид:
. (3.4)
На рисунках 3.11-3.14 представлены частотные зависимости спектрального отклика , матричного элемента диполь-дипольного взаимодействия , а также мнимой части и интерференционного члена матричного элемента, металлической наночастицы сферической формы, определенные на основе (3.2) для различных значений l томас-фермиевского экранирования. Приведено сравнение двух случаев когда, и .
|
Рисунок 3.11 – Частотные зависимости спектрального отклика при и . Расчетные параметры: |
Рисунок 3.12 – Частотные зависимости матричного элемента диполь-дипольного взаимодействия при и . Расчетные параметры: |
|
Рисунок 3.13 – Частотные зависимости мнимой части при и . Расчетные параметры: |
Рисунок 3.14 – Частотные интерференционного члена матричного элемента при и . Расчетные параметры: |
В результате анализа приведенных зависимостей можно сделать следующие выводы. При неизменной величине радиуса наночастицы ( ед. длины) с уменьшением параметра от 10 до 2, изменение модуля поляризуемости остается в пределах от 1 до 30. При этом спектральные кривые , матричного элемента диполь-дипольного взаимодействия , а также мнимой части и интерференционного члена матричного элемента диполь-дипольного взаимодействия, испытывают существенные изменения. Наиболее богаты резонансами кривые на рисунке 3.11 – для наибольшего использованного значения параметра = 10. При этом глубина модуляции кривых относительно невелика, в диапазоне частот, не выходящем за предел в виде плазменной частоты . С уменьшением параметра до 5 (рисунки 3.12-3.15), число резонансов на кривых , матричного элемента диполь-дипольного взаимодействия , а также мнимой части и интерференционного члена матричного элемента диполь-дипольного взаимодействия уменьшается, но при этом растет глубина их модуляции.
|
Рисунок 3.15 – Частотные зависимости спектрального отклика при и . Расчетные параметры: |
Рисунок 3.16 – Частотные зависимости матричного элемента диполь-дипольного взаимодействия при и . Расчетные параметры: |
|
Рисунок 3.17 – Частотные зависимости мнимой части при и . Расчетные параметры: |
Рисунок 3.18 – Частотные интерференционного члена матричного элемента при и . Расчетные параметры: |
|
Рисунок 3.19 – Частотные зависимости спектрального отклика при и . Расчетные параметры: |
Рисунок 3.20 – Частотные зависимости спектрального отклика при и . Расчетные параметры: |
|
Рисунок 3.21 – Частотные зависимости спектрального отклика при и . Расчетные параметры: |
Рисунок 3.22 – Частотные спектрального отклика при и . Расчетные параметры: |
Таким образом, число резонансов поляризуемости определяется лишь значением параметра , причем чем больше по сравнению с 1, тем больше резонансов. Амплитудные значения , матричного элемента диполь-дипольного взаимодействия , а также мнимой части и интерференционного члена матричного элемента диполь-дипольного взаимодействия, определяются при неизменном отношении еще и радиусом наночастицы. Увеличение диссипационного параметра приводит к вполне ожидаемому уширению резонансных линий и уменьшению амплитуд резонансных пиков.
На рисунке 3.19 представлен график зависимости относительной скорости переноса с участием сферической металлической наночастицы при изменении частоты столкновений. При этом угол между донором и акцептором составлял 180 градусов, т.е они находились на одной прямой, по разные стороны от наночастицы. Акцептор и донор были жестко закреплены. С увеличением частоты столкновений скорость передачи падает экспоненциально. Пределы изменения частоты столкновений от до .
Рисунок 3.23 - График зависимости относительной скорости переноса с участием сферической металлической наночастицы при изменении частоты столкновений при расчетных параметрах:
Таким образом, сохранятся тенденция, что и в случае невырожденного электронного газа: скорость переноса при учете эффектов запаздывания спадает медленнее, чем в случае квазистатического приближения, хотя обе кривые изменяются по одному закону.
Ниже на рисунке 3.20 представлена зависимость относительной скорости переноса с участием сферической металлической наночастицы при изменение угла между донором и акцептором . Кривая, описывающая изменения скорости переноса энергии, имеет несколько ярко выраженных пика, разных значений по величине, однако при угле равном примерно скорость обращается в ноль.
Рисунок 3.24 График зависимости относительной скорости переноса с участием сферической металлической наночастицы при изменении угла между донором и акцептором . Расчетные параметры:
3.3 Математическое моделирование величины скорости в присутствии наночастиц эллипсоидальной формы
Для численного моделирования величины скорости переноса в присутствии металлических наночастиц эллиптической формы было использовано все тоже выражение (1.11) рассмотренное в первой главе. Геометрия система представлена на рисунке (4.1).
|
pD |
|
rD |
|
rA |
|
rDA |
|
pA |
|
PNP |
|
|
Рисунок 3.25 – Геометрия трехчастичной системы
В более общем случае эллипсоидальной или сфероидальной наночастицы дипольная поляризуемость является тензором второго ранга с тремя главными значениями:
, (3.5)
где - скалярная функция диэлектрической проницаемости металлической эллипсоидальной наночастицы,
- диэлектрическая проницаемость среды.
Трехкомпонентная величина определяется интегралами:
, (3.6)
где оси эллипса.
Для упрощения данной задачи был выбран случай сплюснутого эллипсоида вращения , тогда три главных компонента величины будут выглядеть следующем образом:
, (3.7)
, (3.8)
, (3.9)
где эксцентриситет эллипсоида определяется выражением:
. (3.10)
Подставляем выражения (3.7-3.9) в формулу для поляризуемости наночастиц эллипсоидальной формы (3.5), получаем:
(3.11)
Тензор (3.11) вводим в выражения для спектральной функции отклика (3.2):
Заключение
В ходе выполнения данной дипломной работы была решена проблема индуктивно-резонансного переноса энергии для трехчастичной конфигурации, содержащей две молекулы органических красителей составляющих донор - акцепторную пару в присутствии наночастицы
Анализ результатов численного моделирования скорости переноса энергии в присутствии наночастицы позволяет заключить:
Величина скорости переноса энергии несет резонансный характер относительно функции спектрального отклика, резонансные характеристики которой, в свою очередь, определяются плазмонным резонансом в наночастице.
Резонансные характеристики скорости в сферических металлических наночастиц главным образом определяются геометрическим размером частицы (ее радиусом) и ее материалом (параметр экранирования Томаса – Ферми). Было показано, что увеличение параметра экранирования при заданном радиусе наночастицы приводит к значительному уменьшению резонанса, а также к его спектральному смещению.
Поведение скорости индуктивно-резонансного переноса энергии при учете эффектов запаздывания, как было выяснено, определенно вносит свой вклад, хотя имеет значения нескольких процентов. Исследовалось поведение скорости индуктивно-резонансного переноса энергии при учете эффектов запаздывания при вырожденном электронном газе. Впервые получены результаты по данному исследованию, показывающие свой нетривиальный характер. Таким образом, можно сделать вывод, что влияние эффектов запаздывания вносят значимый вклад при расчете скорости безызлучательного индуктивно-резонансного переноса энергии в ближней зоне проводящих нанотел.
Список использованных источников
1 Агранович, В. М. Перенос энергии электронного возбуждения в конденсированных средах: учебник / В. М. Агранович, М.Д. Галанин – М.: Наука, 1978. - 383 с. - ISBN 6-8945-1256-4.
2 Кучеренко, М. Г. Кинетика нелинейных фотопроцессов в конденсированных молекулярных: учебник / Кучеренко М. Г – Белгород: Белгородский гос. университет, 1997. - 386 с. - ISBN 5-7410-0308-7.
3 Быстров, А.М. Дипольные резонансы ионизированного кластара / А.М. Быстров, В.Б. Гильденбург // ЖЭТФ. - 2005. – Т. 127. – №2. – С. 478-490.
4 Барен, К. Поглощение и рассеянье света малыми частицами: учебник / К. Барен, Д. Хафме. – М.: Мир, 1986. - 664 с. - ISBN 6-7235-0857-6.
5 Хлебцов, Н.Г. Влияние размера, формы и структуры, металлических наночастиц на зависимость их оптических свойств от показателя преломления дисперсионной среды / Н. Г. Хлебцов, Л. А. Трачук, А. Г. Мельников // Оптика и спектроскопия. - 2005. - Т. 98. - № 1. - С. 82-89.
6 Casimir, H.B The Influence of Retardation on the London-van der Waals Forces / H. B. G. Casimir, D. Polder // Phys. Rev. – 1948. – V.73. – P. 360
7 Хлебцов, Н.Г. Новый спектральный резонанс металлических наностержней / Н. Г. Хлебцов, Л. А. Трачук, А. Г. Мельников // Оптика и спектроскопия. - 2004. - Т. 97. - № 1. - С. 105-107.
8 Cидоров, А. И. Двойной плазменный резонанс в сферических наночастицах металл – диэлектрик - металл / А. И. Cидоров // ЖТФ. - 2006. - Т. 76. - № 4. - С. 86-90.
9 Kelly, L. The optical properties of metal nanoparticles: the influence of size, shape and dielectric environment / L. Kelly, E. Coronado, L. L. Zhao, G. C. Schatz. // J. Phys. Chem. - 2003. - V. 107. - P. 668-677.
10 Link,S. Optical properties and ultrafast dynamics of metallic nanocrystals / S. Link, M. Sayed // Ann. Rev. Phys. Chem. - 2003. - V. 54. - P. 331-346.
11 Кучеренко, М.Г. Скорость безызлучательного переноса энергии в присутствии наночастиц сферической формы / М.Г. Кучеренко // Вестник ОГУ. - 2010. - С. 51-54.
12 Кучеренко М.Г., Чмерева Т.М., Кислов Д.А. Увеличение скорости межмолекулярного безызлучательного переноса энергии электронного возбуждения вблизи плоской границы твердого тела // Вестник ОГУ. 2011. №1. С. 170-181.
13 Кучеренко, М.Г. Динамическая поляризуемость на ношара в случае вырожденного электронного газа и ее роль в плазмонном механизме передачи энергии / Кучеренко М.Г. // Физика наноструктур. Низкоразмерные структуры. Мезоскопические структуры. – 2011. – С. 35-55
14 Шалин, А. С. Полуклассический подход к описанию электронного газа в кластере / А. С. Шалин // Опто-, наноэлектроника, нанотехнологии и микросистемы. Материалы конференции, Ульяновск. - 2006. - С. 120.
15 Морохов, И. Д. Структура и свойства малых металлических частиц / И. Д. Морохов, В. Н. Петин, Л. И. Трусин // УФН. - 1981. - Т. 133. - № 4. - С. 653-688.
16 Kresin,V. V. The properties of cold metal clusters / V. V. Kresin // Phys. Rev. - 1992. - V. 2201. - P. 541-562.
17 Алтунин, К. К. Радиационная модель сферического металлического нанокластера / К. К. Алтунин // Опто-, наноэлектроника, нанотехнологии и микросистемы. Материалы конференции, Москва. - 2009. - С. 20.
18 Быстров, А. М. Дипольные резонансы ионизированного кластера / А. М. Быстров, В. Б. Гильденбург // ЖЭТФ. - 2005. - Т. 127.- №5 - С. 478-495.
19 Гадомский, О. Н., Шалин А. С. Оптические ближнепольные резонансы в системе взаимодействующих металлических наночастиц / О. Н. Гадомский, А. С. Шалин // Физика металлов и металловедение. - 2006. - Т. 101. - №5. - С. 462-483.
20 Ландау, Л. Д. Электродинамика сплошных сред: учебник: / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц – М.: Наука, 1982. - 616 с. - ISBN 4-8945-1354-8.
21 Дьяконов, В. П. Программирование и математические вычисления: учебник / В. П. Дьяконов – М.: ДМК - Пресс, 2008. - 576 с. - ISBN 5-94074-405-2.
22 Васильев, А. С. Программный пакет Mathematica 6.0: учебное пособие / А. С. Васильев – М.: ДМК - Пресс, 2008. - 447 с. - ISBN 5-93024-425-3.
23 Новотный, Л. Основы нанооптики: учебник / Л. Новотный, Б. Хехт – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2011. – 484 с. – ISBN 978-5-9221-1095-2.
24 Климов, В.В. Наноплазмоника: учебник / В.В. Климов – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. – 480 с. – ISBN 978-5-9221-1030-3.
25 Хлебцов, Н.Г. Оптика и биофотоника наночастиц с плазмонным резонансом / Н.Г. Хлебцов // Квантовая электроника. – 2008. – 38. - №6 – С. 504-529.
26 Andrews, D.L. Resonant excitation transfer: A quantum electrodynamical study/ David L. Andrews, Brad S. Sherborne // School of Chemical Sciences, University of East Anglia, Norwich NR4 7TJ, England. – 1986. – P. 4011-4017.
27 Кучеренко, М.Г. Динамическая поляризуемость на ношара в случае вырожденного электронного газа и ее роль в плазмонном механизме передачи энергии / Кучеренко М.Г. // Физика наноструктур. Низкоразмерные структуры. Мезоскопические структуры. – 2011. – С. 35-55
28 Yaghjian, A.D. Electric dyadic Green’s functions in the source region / A.D. Yaghjian // Proc. IEEE. – 1980. - V.68. - P. 248-263.
29 Bladel, J.V. Some remarks on Green’s dyadic for infinite space/ J.V. Bladel // IRE Trans. Antennas Propag. 1961. V. 9. - P. 563-566.
30 Морс, Ф.М. Методы теоретической физики : в 2 т. / Ф.М. Морс, Г. Фешбах. : М., Издательство иностранной литературы, 1948. – Т. 2. – 735 с.
31 Levine, H. On the Radiation os Sound from an Unflanged Circular Pipe/ H. Levine, J. Schwinger // Phys Rev 1948. V. 73. – P. 289-392.
Скачать: