Привет студент

Физический факультет

Кафедра физики конденсированного состояния

 

 

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОНННАЯ РАБОТА

Влияние магнитного поля на рекомбинационное возбуждение сверхтонких подуровней атомарного водорода

 

 

 

Аннотация

 

 

Выпускная квалификационная работа содержит 68 страниц, в том числе 7 рисунков и фотографий, 28 источников литературы.

Если два атома водорода встречаются в электронном синглетном состоянии, то они способны рекомбинировать и производить синглетные молекулы Н₂. Триплетные состояния двух атомов водорода не способны к парной рекомбинации, поэтому атомы водорода «отскакивают» друг от друга.

Действие магнитного поля приведут к смешиванию синглетных и триплетных подуровней основного состояния атомов водорода.

В результате «неудачных» попыток рекомбинации образуются атомы водорода и на нижнем, и на возбужденных (триплетных) подуровнях основного состояния.

Магнитное поле, как и следовало ожидать, уменьшает вероятность рекомбинации и выход молекул Н₂, однако не влияет на их спиновое состояние: образуются только молекулы Н₂ в пара-состоянии с антипараллельными ядерными спинами. В пределе сверхсильных магнитных полей вероятность рекомбинации стремится к нулю. Уменьшая вероятность рекомбинации W_s, магнитное поле увеличивает выход атомов водорода, но уменьшает вероятность W^* образования атомов водорода на верхних подуровнях основного состояния.

Показано, что «неудачные» попытки рекомбинации приводят к образованию атомов водорода в возбужденных состояниях, способных производить радиоизлучение на длинах волн вблизи λ = 21 см. Сильное магнитное поле уменьшает населенности подуровней возбужденных состояний. Предполагается, что различия интенсивностей компонент радиоизлучения атомарного водорода позволит оценить магнитные поля в космическом пространстве и вблизи звездных скоплений

 

 

 

The summary

 

 

Bachelor thesis contains 68 pages, including 7 drawings and photos, 28 sources of the literature.

Hydrogen is the active participant of physics and chemical processes in space as well as on the Earth. Recombination of hydrogen atoms is the electron spin selective process producing diamagnetic molecules H₂ . Spin selectivity of recombination is determined by the Pauli’s principle and the angular momentum conservation law.

Strong magnetic fields decrease the recombination probability and populations of hydrogen excited states simultaneously. Recombinational excitation can be the origin of excited hyperfine states in hydrogen atoms in the Universe which are the source of the space radio frequency emission (ν = 1428,5714 MHz).

Components of hydrogen radio emission will allow to determine magnetic fields in space and in the vicinity of star clusters.

 

 

Содержание

 

 

Введение……………………….………………………………………….……...9

1 Обзор литературы …………………………………………………….………11

1.1 Объект исследования атомарный и молекулярный водород…………….11

1.1.1 Водород. Свойства и параметры…………………………………………11

1.1.2 Атомарный водород в космосе……………………………………………13

1.1.3 Нейтральный водород………………………………………………………..15

1.1.4 Магнитное поле……………………………………………………………..16

1.1.5 Орто- и пара-водород……………………………………………………17

1.1.6 Радиоизлучение атомарного водорода…………………………………..18

1.1.7 Стабилизация атомарного водорода в земных условиях……………….19

1.1.8 Бозе–эйнштейновский конденсат. Спин – поляризованный водород…24

1.2 Методика исследования влияния магнитного поля на

рекомбинационные процессы в атомарном водороде ……………………….27

1.2.1 Спиновая матрица плотности и ее основные свойства.………………..28

1.2.1.1 Основные определения…………………………………………………28

1.2.1.2 Физический смысл матрицы плотности………...……………………..31

1.2.1.3 Число независимых параметров………...……………………………...33

1.2.1.4 Параметризация матрицы плотности …………………………………36

1.2.1.5 Идентификация чистых состояний…………………………………….38

1.2.2 Общая теория матрицы плотности.………………………………….......39

1.2.2.1 Чистые и смешанные квантовые состояния…………………………..39

1.2.3 Матрица плотности и ее основные свойства………………………........43

1.2.4 Приведенная матрица плотности………………………………………...48

1.2.5 Гамильтониан магнитных взаимодействий……………………………..49

1.2.5.1 Зеемановское взаимодействие……………………………………….…49

1.2.5.2 Сверхтонкое взаимодействие…………………………………………..50

2 Теоретическое исследование влияния магнитного поля на

спин-селективную рекомбинацию атома водорода…………………………...51

2.1 Энергетические уровни и спиновые состояния атомов

водорода в магнитном поле……………………………………….……………51

2.2 Рекомбинация атомарного водорода в магнитном поле………………….56

2.3 Радиоизлучение атомарного водорода…………………………….……….63

Заключение…………………………………………………………………........66

Список использованных источников…………………………………………..67

 

 

 

 

Введение

 

 

Влияние магнитных полей на различные физико-химические процессы в конденсированной и газовой фазах – актуальная проблема многих современных наук – физики, химии, биологии и т.д.. Однако вплоть до последних десятилетий ХХ века считалось, что при нормальных температурах магнитные поля не способны оказать существенное влияние на скорости или направления этих процессов, поскольку энергия взаимодействия магнитных моментов отдельных частиц, например, электронов, с магнитными полями много меньше кТ . Однако впоследствии выяснилось, что магнитные поля способны управлять многими процессами, влияя не на их энергетику, а на спиновые запреты, которые действуют во многих процессах с участием парамагнитных частиц, то есть носителей неспаренных электронных спинов, например, парамагнитных атомов, ионов, радикалов, дислокаций и т.д.

Спинзависимые и магниточувствительные процессы стали объектами исследований многих отраслей современных наук. Однако наибольший прогресс в понимании физики таких явлений был достигнут в рамках одного из направлений химической физики, которое получило название «спиновая химия» [1]. Спиновой химией называют область науки, в которой исследуются законы поведения спинов и магнитных моментов электронов и ядер в химических реакциях. Электрон имеет спин , суммарный спин двух электронов может равняться нулю или единице (). Состояние с суммарным спином нуль () называется синглетным, в этом состоянии спины двух электронов ориентированы антипараллельно. Состояние с суммарным спином единица () называется триплетным, в этом состояние спины двух электронов ориентированы одинаково. Суммарный спин двух валентных электронов жестко связан с пространственным распределением электронов. Согласно принципу Паули [2], в одной точке пространства не могут находиться одновременно два электрона в одинаковом спиновом состоянии. Это означает, что в синглетном состоянии два валентных электрона могут одновременно находится в пространстве между двумя атомами, а в триплетном состоянии это запрещено принципом Паули.

Цель данной работы – теоретическое исследование влияния магнитного поля на процесс спинзависимой рекомбинации атомарного водорода и на возбуждение сверхтонких подуровней атомов после «неудачных» попыток рекомбинации.

 

 

 

1 Обзор литературы

 

1.1 Объект исследования атомарный и молекулярный водород

 

1.1.1 Водород. Свойства и параметры

 

 

Водород самый распространенный элемент во Вселенной. Фактически, звезды – это огромные сгустки водорода, превращающегося в гелий в процессе термоядерного синтеза.

Рисунок 1 – Водород в межзвездном пространстве

 

Основные запасы водорода на Земле сконцентрированы в воде, природном газе и нефти. Содержание водорода в земной коре составляет по массе 1%, а по числу атомов 16%. Водород входит в состав самого распространенного вещества на Земле – воды (11,19% водорода по массе). Ничтожное количество свободного водорода (0,0001% по числу атомов) присутствует в атмосфере [3].

Вселенная состоит из водорода на         75% [4], солнце состоит из водорода на 75%.

Водород – самый простой, но в то же время и один из самых удивительных химических элементов. Его атом состоит из ядра, содержащего один протон, и одного электрона.

Водород – первый элемент периодической системы (I-период, порядковый номер 1). Водород обладает двойственной природой, проявляя как окислительную, так и восстановительную способность. По этой причине в одних случаях его помещают в подгруппу щелочных металлов, в других в подгруппу галогенов [4].

Рисунок 2 – Расположения атома водорода в периодической системе

 

Энергия связи электрона с ядром составляет 13,595 эВ. Квантовая механика позволяет рассчитать все возможные энергетические уровни атома водорода, а, следовательно, дать полную интерпретацию его атомного спектра. Атом водорода используется как модель в квантомеханических расчетах энергетических уровней других, более сложных атомов.

Молекула Н₂ состоит из двух атомов, соединенных ковалентной химической связью. Энергия диссоциации (т.е. распада на атомы) составляет 4,776 эВ (1эВ=1,60210*10^-19Дж). Межатомное расстояние положении ядер равно 0,7414Å. При высоких температурах молекулярный водород диссоциирует на атомы (степень диссоциации при 2000⁰С 0,0013, при 5000⁰С 0,95). Атомарный водород образуется также в различных химических реакциях (например. Действием Zn на соляную кислоту), однако существование водорода в атомарном состоянии длится лишь короткое время, атомы рекомбинируют в молекулу Н₂ [6, 7].

Водород открыт в 1766 году английским физиком Генри Кавендишем; при взаимодействии цинка с кислотами он наблюдал выделение газа, сгорающего на воздухе с образованием воды [7].

 

 

1.1.2 Атомарный водород в космосе

 

 

В области очень малых величин все подчиняется законам квантовой механики – раздел теоретической физики, описывающий физические явления, в которых действие сравнимо по величине с постоянной планка (h=6,626 069 57(29)*10^-34 ДЖ*с). Но, тем не менее, квантомеханические эффекты резко заметны в макроскопических масштабах, и вещество, в котором они проявляются, обладает свойствами, сильно отличающихся от обыкновенной материи – это газ из атомов водорода. Свойство атомарного водорода при низких температурах оказывается необычным. Он не замерзает при низких температурах и не сжижается. Квантовая теория предсказывает, что атомарный водород остается в газообразном состоянии и при температуре абсолютного нуля (Т=0 К), его называют квантовым газом - разреженный газ, состоящий из частиц, де-бройлевская длина волны которых намного превышает их радиус взаимодействия. Из экспериментальных результатов А. Ф. Сильвера и Ю. Валравена (физики-экспериментаторы, работающие в Амстердамском университете), атомарный водород остается газообразным вплоть до 0,08 К – низшей температуры, при которой проводились исследования. Эти данные, по крайней мере предварительно, подтверждают о том, что атомарный водород остается газообразным при абсолютном нуле, как и предсказывает квантовая теория.

Водород, конечно, является распространенным элементом, но не в атомарной форме; газ, образованный из отдельных атомов водорода, не стабилен в условиях, преобладающих на поверхности Земля. Водород обычно встречается прочно связанным с другими элементами, в виде химических соединений, таких, как вода, углеводороды и другие органические вещества. Два атома водорода могут также образовать стабильную двухатомную молекулу. (Н₂ - простейшая молекула, состоящая из двух атомов водорода, в её состав входят два ядра атомов водорода и два электрона, вследствие взаимодействия между электронами и ядрами образуется ковалентная химическая связь.).

Межзвездное пространство заполнено сильно разряженным газом из атомов водорода. Хотя его плотность лишь один атом на кубический метр (по сравнению с 3*10²⁵ молекул на кубический метр в воздухе на уровне моря). Межзвездный газ составляет большую часть всей материи во Вселенной. Атомарный водород в межзвездном пространстве стабилен из-за своей крайне малой плотности. Рекомбинация происходит при столкновениях атомов, которые столь редки, что время существования газа превосходят ожидаемое время жизни Вселенной [8].

 

 

• Нейтральный водород

 

 

Так как водород в светлых туманностях ионизирован и светится только там, где поблизости есть горячие звезды, то основная масса водорода в Галактике должна быть нейтральной. Но нейтральный водород в космосе не светится и невидим. Однако он излучает радиоволны длиной 21 см. По интенсивности соответствующей спектральной линии определяют массу и плотность водорода в данном направлении, а по отличию фактической длины волны этой линии от 21 см по принципу Доплера — Физо определяют скорость водородного облака. В настоящее время выяснена общая картина распределения водорода в Галактике. Он расположен преимущественно в тонком слое в галактической плоскости. Облака водорода можно наблюдать на расстояниях, гораздо больших, чем те, на которых возможно наблюдать в телескоп звезды. Температура облаков нейтрального водорода менее 100° в среднем, а температура ионизированных светящихся облаков (туманностей) — около 10 000°. Общая масса водорода, на 95% нейтрального, составляет 2% от общей массы Галактики, а масса космической пыли еще в 100 раз меньше. Плотность нейтрального водорода заключена в пределах от 10^-22 до 10^-25 г/см3.

В межзвездном пространстве в количестве, малом сравнительно с водородом, находятся атомы и некоторые простейшие молекулы других химических элементов. Они вызывают линии поглощения в спектрах звезд. Лучше всего заметны линии натрия и ионизированного кальция [9].

 

 

 

 

• Магнитное поле

 

 

В Галактике существует общее магнитное поле. Его силовые линии параллельны галактической плоскости. Изгибаясь, они идут вдоль спиральных ветвей Галактики. Напряженность магнитного поля Галактики около э. Оно удерживает диффузные газовые туманности от рассеяния в направлении, перпендикулярном к силовым линиям. Магнитное поле удерживает и космические лучи, порождаемые при вспышках сверхновых звезд. Двигаясь с чудовищными скоростями вокруг силовых линий магнитного поля, частицы космических лучей образуют нечто вроде короны Галактики — обширную сферическую систему, которая невидима.

При вспышках сверхновых звезд, а вероятно, и при других процессах, кроме тяжелых частиц, составляющих космические лучи, выбрасывается много электронов со скоростями, близкими к скорости света. Магнитное поле Галактики тормозит быстрые электроны, и это вызывает нетепловое (синхротронное) радиоизлучение на метровых и более длинных волнах из всей галактической короны. Оно приходит к нам со всех сторон. В противоположность этому ионизированный, горячий водород, сконцентрированный вблизи галактической плоскости, посылает дополнительное радиоизлучение только из кольцевой зоны Млечного Пути [10].

 

 

 

 

• Орто- и пара-водород

 

 

На заре квантовой механики В. Гейзенберг и Ф. Гунд предсказали, что молекула водорода Н₂ должна существовать в двух состояниях, которые по аналогии с органическими соединениями назвали орто- и пара-водородом. В молекулах пара-водорода ядерные спины антипараллельны, в орто-водороде - параллельны. Это предсказание подтвердилось. Экспериментально доказан факт существования двух разновидностей водородных молекул, свойства которых (температуры плавления, теплоемкости, теплопроводности и др.) незначительно отличаются. Ядра атомов водорода, входящие в состав молекулы, являются протонами — фермионами со спином 1/2. По правилам сложения спинов ядерный спин молекулы может быть 0 или 1. Молекулы водорода с суммарным ядерным спином 0 называют пара-водородом, а молекулы с суммарным ядерным спином 1 и тремя возможными проекциями (−1, 0, 1) называют орто-водородом. При нормальной температуре примерно 75% молекул Н₂ находятся в орто-состояния [11]. Однако при низких температурах в состоянии термодинамического равновесия молекулы пара-водорода доминируют благодаря разным вращательным свойствам: пара-водород является симметричным ротатором, орто-водород — несимметричным ротатором. Переход ортоводорода в пара-водород — медленный процесс, и состояние термодинамического равновесия при низких температурах устанавливается долго. С уменьшением температуры растет доля пара-водорода. А на грани перехода в жидкое состояние практически все водородные молекулы - это пара-водород [12].

 

 

• Радиоизлучение атомарного водорода.

 

 

Наиболее распространенным веществом в межзвездном пространстве, да и вообще во Вселенной, является водород. Радиоастрономы слышат шум, производимый этим газом во всех частях нашей Галактики.

Это излучение атома водорода обусловлено сверхтонким расщеплением основного уровня энергии атома водорода на два близких подуровня. Причиной расщепления является взаимодействие спинов ядра протона и электрона. Энергия атома при параллельном расположении спинов электрона и ядра несколько больше, чем при антипараллельном. При спонтанном изменении ориентации спина электрона на противоположную происходит испускание кванта в виде излучения с длиной волны 21 см [14]. Фиксируя это радиоизлучение, можно судить о характере распределения водорода в космическом пространстве. Водородные облака могут находиться вблизи ярких звезд. Поглощая свет от звезды, они высвечивают избыток энергии. Если же облако окажется слишком холодным, оно будет преимущественно поглощать свет от звезд. Водородные карты Млечного Пути обнаруживают красивую спиральную форму нашей Галактики с большим количеством водорода, находящегося в ее спиральных рукавах.

Водородные облака вращаются в Галактике точно так же, как планеты обращаются вокруг Солнца. Скорость перемещения водородного облака зависит от того, как далеко находится оно от центра нашей Галактики. Исходя из скоростей водородных облаков, мы можем вычислить общий объем и форму Галактики [13, 14].

 

 

1.1.7 Стабилизация атомарного водорода

 

 

В последние годы Сильвер и Варлавен из университета в Амстердаме создали способ замедления рекомбинации даже при относительно высокой плотности атомарного водорода. Им удалось сохранить газ в атомарном состоянии в течение нескольких часов при предельно низкой температуре в сильном магнитном поле. В таких условиях атомы водорода объединяются относительно медленно, и поэтому можно считать газ стабильным. Как следует из наших экспериментальных результатов, атомарный водород остается газообразным вплоть до 0,08 К — низшей температуры, при которой они проводили исследования. Эти данные, по крайней мере предварительно, подтверждают предположение о том, что атомарный водород остается газообразным при абсолютном нуле, как и предсказывается квантовой теорией [8].

Рисунок 3 – Экспериментальная установка, разработанная авторами университетом Амстердама

 

Сначала атомарный водород получают в электрической разрядной трубке из молекулярного водорода. В трубке свободные электроны ускоряются электрическим полем и сталкиваются с двухатомными молекулами, вызывая диссоциацию. Из-за бомбардировки высокоэнергетическими электронами атомарный газ покидает разрядную трубку при температуре в несколько сот градусов Кельвина.

Горячий газ быстро движется к холодной внутренней части установки по трубке, покрытой изнутри полимером тефлон. Продвигаясь по трубке, атомы водорода многократно сталкиваются с охлажденной тефлоновой стенкой, каждый раз отдавая часть своей кинетической энергии; таким образом газ охлаждается. Нескольких столкновений достаточно каждому атому для достижения температурного равновесия со стенкой. Если температура тефлона выше 20—30 К и газ проходит быстро, то рекомбинация атомов водорода незначительна.

На следующем этапе охлаждения от 20 до 1 К лучшее, после гелия, покрытие для стенок — это молекулярный водород, и он вполне может заменить гелий в переходной области температур. Стюарт Дж. Б. Крамптон с другими сотрудниками университета Уиллиамс показали, что атомы водорода слабо поглощаются сплошной поверхностью из молекулярного водорода при температуре, превышающей 4 К. В нашей установке сплошной слой молекулярного водорода образуется автоматически при рекомбинации атомарного водорода на поверхности металлической трубки — переходника, температура которой поддерживается равной 4,2 К. После первоначального введения атомарного водорода образование молекул замедляется, так как слой молекулярного водорода на стенках подавляет процесс рекомбинации.

Образование молекулярного водорода происходит наиболее интенсивно в части установки, находящейся при температуре от 10 до 1 К и зависит от времени, в течение которого атомарный водород находится в данной области. Поэтому они подобрали такую длину этого участка, при которой атомы водорода претерпели бы достаточно столкновений для того чтобы охладиться, но меньше, чем необходимо для рекомбинации. Атомарный водород, не рекомбинировавший на этом участке, наконец, попадает в безопасную область, стенки которой покрыты гелием. Именно на этом последнем этапе обработки холодного газа атомы сортируются градиентом магнитного поля в соответствии с направлением спина. Атомы со спином, направленным вниз, попадают в стабилизационную камеру, где измеряется окончательная плотность атомарного водорода. Стабилизационная камера поддерживается при температуре от 0,5 до 0,1 К и в ней создается магнитное поле с большим градиентом, которое удерживает атомарный газ.

До введения водорода в холодную стабилизационную камеру туда напускают газообразный гелий, который конденсируется на поверхности стенок в виде сверхтекучего гелия-4. Остаточное давление паров гелия при столь низкой температуре пренебрежимо мало, так что можно считать, что в камере вакуум. После образования слоя гелия-4 на стенках используются свойства сверхтекучей жидкости, проявляющиеся в том, что этот слой перетекает по стенкам из стабилизационной камеры в более теплую область в переходнике. Там гелий испаряется, и пары стремятся вернуться в камеру из-за меньшего давления в более холодной области. При охлаждении они снова конденсируются на стенках и становятся сверхтекучей жидкостью.

Конденсация паров гелия создает серьезную проблему при охлаждении. Если позволить гелию конденсироваться в стабилизационной камере, то тепло, полученное при испарении в более теплой области, выделится на стенках. Тепловая энергия может быть столь велика, что не позволит достигнуть низких температур, необходимых для стабилизации. Ввведя дополнительную стадию охлаждения между переходником и стабилизационной камерой. Установка сконструирована так, что возвращающиеся пары гелия конденсируются, не достигая стабилизационной камеры. Возвращающийся газообразный гелий также используется для удержания водорода в стабилизационной камере. Атомы водорода, траектория которых могла бы им позволить покинуть камеру, сталкиваются с более массивными движущимися вверх атомами гелия и возвращаются в камеру. Таким образом, эта часть установки действует как паровой компрессор для поляризованного водородного газа.

Для обнаружения стабилизированного атомарного водорода раз работал простой и удивительно чувствительный метод. При рекомбинации двух атомов водорода освобождается большое количество тепловой энергии. Вызывая мгновенную рекомбинацию газа в стабилизационной камере, можно измерить увеличение температуры в ней, и, таким образом, определить плотность атомарного водорода до рекомбинации по известным энергии рекомбинации и объему камеры.

Для того чтобы вызвать мгновенную рекомбинацию и провести измерение, установлена в стабилизационной камере квадратная углеродная пластинка со сторонами длиной примерно в миллиметр. Пластинка была вырезана из резистора и подвешена в камере на тонких проволочках. Так как сопротивление углерода меняется с температурой, то пластинка действует как болометр, и изменение температуры можно определить по изменению ее сопротивления. Пока стабилизационная камера наполняется атомарным водородом, такие проволочки и углерод покрыты пленкой сверхтекучего гелия.

Когда необходимо измерить плотность газа, через болометр пропускают электрический ток, тем самым нагревая его. Сверхтекучий гелий испаряется с пластинки быстрее, чем он может притекать через слой на тонких проволочках, и поэтому атомарный водород приходит в контакт с углеродом. В течение примерно 20 мс атомы водорода сталкиваются с поверхностью пластинки и рекомбинируют, вызывая крошечный взрыв в камере и внезапное увеличение температуры, поддающееся измерению.

Хотя болометр и эффективный и дешевый детектор, он уничтожает образец газа. Емкостный датчик давления свободен от этого недостатка. Электрический заряд, который может накопиться на двух параллельных пластинах конденсатора, зависит от расстояния между ними. Если одной из пластин конденсатора является гибкая мембрана, то ее деформации, вызванные изменением давления, могут быть зарегистрированы в виде электрического сигнала.

Учитывая соотношение температуры и плотности, достигнутых на данный момент для атомарного водорода, каковы перспективы для достижения бозе-эйнштейновской конденсации? При попытках достичь более низких температур и больших плотностей столкнулись с проблемой, состоящей в том, что покрытие из гелия-4 на стенках стабилизационной камеры начинает поглощать атомы водорода. Достижимая плотность, таким образом, ограничена возрастающей скоростью рекомбинации. В идеальном случае необходимо найти поверхность с меньшей поглощающей способностью, чем у гелия-4. Одним из возможных покрытий является тонкая пленка изотопа гелия-3 поверх слоя гелия-4. Это покрытие имеет поглощающую способность примерно в три раза меньшую, чем у гелия-4. Хотя пленка из гелия-3 и позволяет увеличить плотность водорода, это возрастание все же недостаточно для конденсации Бозе — Эйнштейна. [8]

 

 

• Бозе–эйнштейновский конденсат. Спин – поляризованный водород

 

 

Явление бозе–эйнштейновской конденсации еще в 1925 году было предсказано Э.Эйнштейном [15]. Если газ атомов – бозонов охладить ниже определенно температуры значительная часть атомов сконденсируется в квантовом состоянии с наинизшей энергией. При температуре атомы с массой можно рассматривать как квантомеханические волновые пакеты, имеющие размеры порядка длины волны де Бройля , обусловленный тепловым движением. Величина определяет неопределенность координаты, связанную с тепловым разбросов импульсов, и возрастает с понижением температуры. Когда атомы охлаждены до температуры, при которой величина становится сравнимой с межатомным расстоянием, атомные волновые пакеты начинают перекрываться, и газ превращается в «квантовый суп» неразличимых частиц. При этом газ бозонов испытывает квантомеханический фазовый переход и образует бозе–эйнштейновский конденсат – облако атомов. Каждый из которых находится в одном и том же квантовом состоянии с наинизшей энергией (Рисунок 4). Это происходит, начиная с некоторой температуры (которое в случае идеального газа может быть найдена из соотношения . Где n – пиковое значение плотности атомов). Если атомы являются фермионами, то охлаждение постепенно превращается в такой газ «море Ферми», в котором каждое состояние с энергией ниже энергии Ферми занято только одним атомом.

Рисунок 4а – Низкие Т: «Волновые пакеты» длина волны де Бройля , б - : БЭК «перекрытие волн материи», в – Т=0: чистый бозе-конденсат «гиганская волна материи»

 

Получить бозе–эйнштейновский конденсат (БЭК) просто: надо охладить атомы до температуры. при которой волновые пакеты начинают перекрываться. Обычную конденсацию газа в жидкость или кристалл можно «обойти» только при очень низких плотностях газа, порядка одной стотысячной доли от плотности атмосферного воздуха. При таких условиях время образования молекул или кластеров в результате трехчастичных столкновений (вероятность которых пропорциональна квадрату плотности) продлевается до нескольких секунд или даже минут. Скорость же двухчастичных упругих столкновений убывает пропорционально первой степени плотности, и поэтому такие столкновения будут происходить гораздо чаще. В результате теплового равновесия для поступательных степеней свободы устанавливается быстрее, чем химическое, и квантовое вырождение может произойти в газовой фазе, которая в том случае является метастабильной. Однако при таких чрезвычайно малых плотностях газа температура квантового вырождения понижается до нано- и микрокельвинов.

Условия для возникновения БЭК в щелочных газах достигаются в результате применения двух методов охлаждения. На предварительном этапе используют лазерное охлаждение. Принцип лазерного охлаждения состоит в том, что рассеянные на атомах конденсата фотоны оказываются в среднем сдвинуты в фиолетовую сторону по сравнению с частотой падающего лазерного пучка. В результате рассеянный свет уносит больше энергии, чем поглощают атомы, что приводит к их охлаждению. Фиолетовое смещение вызывается доплеровским сдвигом или высокочастотным штарковским сдвигом. После предварительного охлаждения атомы становятся достаточно холодными для того, чтобы их можно было заключить в холодную ловушку. Необходима ловушка, не имеющая стенок, в противном случае атомы прилипнут к ее поверхности. После захвата атома в магнитную ловушку выполняется второй этап охлаждения – принудительное испарительное охлаждение [16-18]. Для этого уменьшают глубину ловушки, позволяя атомам с наиболее высокой энергией испаряться, в то время как атомы, оставшиеся в ловушке, термализуются при все более низких температурах. В большинстве экспериментов по БЭК квантовое вырождение достигается при температурах в интервале от 500 нК до 2 мкК для плотностей между и . Самый большой конденсат получен для водорода – миллиард атомов. В зависимости от магнитной ловушки, форма конденсата может быть сферической с диаметром от 10 до 50 мкм. Или сигарообразной, с диаметром 15 мкм и длиной 30 мкм. Полный цикл охлаждения. Приводящий к образованию конденсата, может продолжаться от нескольких секунд до нескольких минут.

Разреженные атомарные газы отличаются от конденсированных систем отсутствием сильного взаимодействия. Используя квантовую теорию для описания соответствующих состояний. Хетч [19] и Стволли и Носанов[20] показали, что спин – поляризованный водород может оставаться в газовой фазе вплоть до абсолютного нуля и поэтому представляет собой подходящий объект для реализации бозе – эйнштейновский конденсации в разреженном атомарном газе. Это предположение стимулировало многочисленные экспериментальные исследования, из которых следует особо отметить работу Сильвера и Валравена в Амстердаме. Получение стабильного спин – поляризованного водорода [21, 22] породило большие надежды в отношении возможности исследования кванто-вырожденных газов. Первоначальные эксперименты проводились с помощью криогенных ячеек содержащих спин- поляризованный газ с последующим сжатием, а начиная с 1985 г. – захват в магнитные ловушки и испарительное охлаждение. Наконец в 1998 г. Клеппнер и Грейтак с сотрудниками получили БЭК [23, 24].

 

 

1.2. Влияние магнитного поля на рекомбинационные процессы в атомарном водороде

 

 

Если два атома водорода встречаются в электронном синглетном состоянии, то они способны рекомбинировать и производить синглетные молекулы Н₂. Триплетные состояния двух атомов водорода не способны к парной рекомбинации, поэтому атомы водорода «отскакивают» друг от друга. Действие магнитного поля приведут к смешиванию синглетных и триплетных подуровней основного состояния атомов водорода. В результате магнитное поле изменяет вероятность рекомбинации.

 

 

1.2.1 Спиновая матрица плотности и ее основные действия.

 

 

Основным математическим аппаратом, используемым в данной квалификационной работе является формализм матрицы плотности [25, 26]. Матрица плотности ρ – аналог волновой функции [26]; она не соответствует реальным физическим величинам и используется для расчета средних значений согласно формуле

,

где А – матрица оператора физической величины А. Часто вместо матрицы плотности ρ удобно пользоваться оператором [26] матрицы плотности . Для описания части сложной системы или отдельной подсистемы используются «уменьшенные», редуцированные матрицы [25] плотности. В этой главе дается описание формализма матрицы плотности согласно [25].

 

 

1.2.1.1 Основные определения.

 

 

Рассмотрим частиц, в состоянии , и еще независимые частиц, в состоянии . Для описания объединенного состояния введем оператор , определяемый выражением:

                                         ,                                       (1)

где , , .

Оператор называют оператором плотности. Он описывает систему и тем самым содержит всю информацию о ней. В этом смысле система полностью определена своим оператором плотности. В частном случае чистого состояния оператор плотности дается выражением

                                                                                                (1а)

Как будет показано ниже, обычно более удобно записывать оператор в матричной форме. Для этого выберем набор базисных состояний и по этому набору согласно соотношению:

Получаем:

                                                                                                                (2)

В представлении и запишем

                                         ,                                                 (3)

а для сопряженных состояний –

,

Применяя правила умножения матриц, получим два «внешнего произведения»

                                   (4)

и аналогичное выражения для произведения . Подставляя эти выражения в (2.1.1.1), находим матрицу плотности

                                      (5)

Поскольку при выводе выражения (2.1.1.5) были использованы базисные состояния , полученное выражение называют матрицей плотности в - представлении.

Чтобы сделать дальнейшие формулы более компактными, введем определения и . В этих обозначениях общий элемент матрицы плотности, стоящий на пересечении i-ой строки и j-го столбца, дается выражением

                                   ,                             (6)

где i, j=1,2

Матрица плотности имеет, очевидно, различную форму в разных представлениях, тогда как оператор (1) не зависит от выбора базисных состояний. Далее всегда будем предполагать, что базисные состояния образуют ортонормированный набор, т.е.

                                           ,                                                    (7)

где - символ Кронекера; при выполняется условие нормировки:

При выполнении условия нормировки след матрицы плотности дается выражением:

                                                                                         (8)

которое не зависит от выбора представлений.

В качестве примера рассмотрим случай системы, состоящий из частиц, в состоянии , и частиц, независимых в состоянии . Полная система описывается тогда оператором плотности

                                                                 (9а)

где , а матрица плотности в - представлении диагональна [25]

                                                                                          (9б)

 

 

1.2.1.2 Физический смысл матрицы плотности

 

 

Диагональные элементы матрицы плотности

                              (i=1,2)                           (10)

имеют непосредственно физический смысл. Поскольку вероятность нахождения частицы системы в состоянии равна , а вероятность того, что состояния входит в состоянии равна , произведение представляет собой вероятность того, что частица, первоначально находилась в состоянии , будет обнаружена в состоянии после того, как произведению измерение. Поэтому диагональный элемент (10) дает полную вероятность того, что частица будет обнаружена в соответствующем базисном состоянии .

Таким образом, если система, описываемая оператором плотности , пропускается через фильтр Штерна-Герлаха [25], ориентированный параллельно (или антипараллельно) оси z, то диагональный элемент (или соответственно ) оператор в - представлении дает вероятность прохождения частицы через фильтр.

Этот результат можно обобщить на случай произвольных состояний . Рассмотрим матричный элемент , который получается, если «зажать» оператор (1) между состояниями и сопряженным ему состоянию :

                      (11)

здесь , . Сравнивая выражения (10) и (11), можно видеть, что матричный элемент представляет собой полную вероятность обнаружить частицу в чистом состоянии , входящую в систему, описываемую оператором . Таким образом, если система, описываемый оператором направляется на фильтр, полностью пропускающий только систему в состоянии , то выражение (11) дает вероятность того, что любая частица системы пройдет через фильтр.

Пусть, например, система, описываемый матрицей плотности (9), направляется на фильтр, ориентированный вдоль оси y. Вероятность того, что частица из системы пройдет через фильтр. Определяется матричным элементом . Разлагая по состояниям в соответствии с и использую выражение (9), получаем

Существенно отметить, что всю информацию о спиновом состоянии любой системы можно получить, если направлять такую систему на фильтры Штерна-Герлаха с различной ориентацией. Следовательно, если известна матрица плотности , мы можем вычислить результат любого такого опыта с помощью соотношения (11). В этом смысле содержит всю существенную информацию о спиновом состоянии данной системы [25].

 

 

1.2.1.3 Число независимых параметров

 

 

Рассмотрим далее, сколько параметров требуется для полного определения данной матрицы плотности. Комплексная матрица второго порядка [например матрица типа (5)] определяется четырьмя комплексными величинами , что соответствует восьми действительным параметрам. Матрица плотности эрмитова. Следовательно, удовлетворяет условию

                                                                                    (12)

В этом можно убедиться, обращаясь непосредственно к выражениям (5) и (6). Отсюда следует, что диагональные элементы действительны и, кроме того, действительны и мнимые части недиагональных элементов связаны между собой соотношениями

Эти соотношения уменьшают число независимых действительных параметров до четырех. Условие нормировки (8) фиксирует еще один параметр, так что в итоге матрица плотности полностью характеризуется всего тремя действительными параметрами. Следовательно, для полного определения матрицы плотности, описывающий произвольную систему частиц со спином , необходимо произвести три независимых измерения.

Полезно рассмотреть этот результат с другой точки зрения. Определяя оператор плотности равенством (1), мы основывались на том, что нам был известен первоначальное состояние системы. Такое определение можно обобщить на случай любого числа составляющих систем. Чтобы записать оператор плотности или соответствующую ему матрицу плотности [выражение (1) и (5)], необходимо, очевидно, указать все присутствующие в системе чистые состояния вместе с их статистическими весами . Однако, как было показано выше, для полного определения матрицы плотности для системы любой сложности достаточно всего трех параметров. Рассмотрим. Например, систему, описываемую оператором плотности

и систему описываемую оператором

.

Построив соответствующие матрицы плотности в представлении и применив выражения и , можно показать, что оба состояния описываются одной и той же матрицей плотности

.

Исходя из соотношения (11) следует, что оба состояния во всех опытах будут вести себя тождественно с точки зрения свойств поляризации. Наоборот, для определения способа, какое было состояние, недостаточно знать только элементы матрицы плотности. В действительности эта информация несущественна. Существенная информация содержится только в трех независимых параметрах, определяющих матрицу плотности, так как, зная эти параметры, мы можем предсказать поведение соответствующего пучка в любом эксперименте по измерению поляризации. По указанной причине мы будем считать два состояния тождественными, если они описываются одной и то же матрицей плотности.

Выражение (1) обычно не применяется. Поэтому, вместо того, чтобы определять оператор плотности, указывая характеристики составляющих состояний и их статистические веса, мы используем операционный подход и выразим матрицу плотности через результаты трех независимых измерений [25].

 

 

 

1.2.1.4 Параметризация матрицы плотности

 

 

Умножим выражение (1) справа на матрицу Паули и вычислим след полученного оператора:

          (13)

К этому результату можно прийти, используя явное матричное представление матриц Паули и (4) или более непосредственно, применяя соотношение

                                                                                    (14)

Подставляя в (2.1.13), находим важный результат

                                                                                                   (15)

где есть i-я компонента вектора поляризации полного пучка.

С помощью этого результата можно выразить элементы матрицы через компоненты . Применяя правила действий с матрицами, можно показать, что в - представлении дается выражением

                                                                             (16)

Три компоненты представляют собой тот минимальный набор данных, который необходим при определения матрицы плотности любого состояния; дальше мы будем считать матрицу плотности определенной выражением (16).

Проиллюстрируем применение выражения (16). Пусть состояния частиц, характеризуемый матрицей (16), проходит через фильтр, ориентированный в направлении z. Вероятность того, что частица пройдет через фильтр, согласно (2.1.11) определяется выражение

.

Аналогично, применяя выражения , и (16), можно показать, что вероятности прохождения частицы через фильтр, ориентированный в направлениях x и y, равны соответственно

,

.

Дадим, представление для , получаемое путем перехода к системе координат , где ось параллельна вектору Р, а оси и выбираются произвольными друг другу и оси . В этом случае , . Тогда в представлении с осью квантования матрица имеет вид

                                                                                 (17)

или, эквивалентно,

                                                                      (18)

Если рассматриваемая система полностью поляризован, , то

                                                                                                 (19)

и система находится в чистом состоянии. Если система, не поляризована, то и соответствующая матрица плотности имеет вид [23]

                                                                                             (20)

 

 

1.2.1.5 Идентификация чистых состояний

 

 

Данное состояние находится в чистом состоянии тогда и только тогда, когда длина его вектора поляризации имеет максимально возможное значение . Представим теперь этот результат в другой форме, более полезной при описании более сложных систем.

С помощью выражения (16) можно показать, что след матрицы дается выражением

;

следовательно, равенство

                                                                                                    (21)

является необходимым и достаточным условием того, что рассматриваемое состояние находится в чистом состоянии. [Заметим, что равенство следа в (21) единице следует из условия нормировки (8).]

В случае чистого состояния условие (21) налагает дополнительное ограничение на элементы матрицы плотности. Таким образом, чистое состояние характеризуется только двумя независимыми параметрами в соответствии с выражением [25].

 

 

1.2.2 Общая теория матрицы плотности

 

1.2.2.1 Чистые и смешанные квантовые состояния

 

 

Как известно, точное одновременное измерение двух физически величин возможно только в том случае, когда оба оператора, соответствующие этим величинам, коммутируют друг с другом [2]. Точнее если два оператора и коммутируют, то можно найти состояния, в которых и имеют определенные собственные значения и . Аналогично если третий оператор коммутирует как с , так и с , то можно найти состояния, в которых ,, одновременно имеют собственные значения ,,; очевидно, этот процесс можно продолжить. Таким образом. Собственные значения ,, можно использовать для описания системы со всевозможной точностью. Наибольший набор взаимно коммутирующих независимых наблюдаемых ,…, который можно найти для системы, дает ее наиболее полное описание. Измерения любой другой переменной, которая соответствует оператору, не коммутирующему с набором ,…, с необходимостью вводит неопределенность по крайней мере в одну из раннее измеренных переменных. Поэтому становится невозможным дать более полное описание системы.

Таким образом, в общем случае максимальную информацию (в квантомеханическом смысле), которую можно получить о системе. Дают собственные значения ,… полного набора коммутирующих наблюдаемых, полученных в результате измерения. Если над системой приведен полный эксперимент, то можно с уверенностью утверждать, что состояние системы действительно точно совпадает с соответствующим собственным состоянием набора операторов ,…, сопоставляемых измеряемым собственным значениям ,… . тогда система полностью определяется вектором состояния , который ставится ей в соответствии.

Необходимое и достаточное условие, определяющее состояние с «максимальной информацией», состоит в существование такого набора экспериментов, для которого результаты могут быть предсказаны с полной определенностью. Состояния с максимальной информацией называюся чистыми состояниями.

Чистые состояния представляют собой предельно допускаемый принципом неопределенности результат, получаемого с помощью точного наблюдения; такие состояния являются квантомеханическим аналогом классических состояний, для которых известны все координаты и импульсы всех частиц.

Рассмотрим два набора наблюдаемых ,… с собственными состояниями и ,… с собственными состояниями , где по крайней мере один из операторов не коммутируют операторами из первого: набора. Если данная система описывается вектором состояния , то всегда можно записать в виде линейной комбинации всех собственных состояний операторов

                                                                                           (22)

где n нумерует различные собственные состояния. Формула (22) является математическим выражением принципа суперпозиции.

Отдельные состояния , использованные в разложении (22), называются «базисными состояниями»; при этом говорят, что состояние записано в - представлении. Мы будем всегда предполагать, что базисные состояния являются ортонормированными:

                                                                                            (23)

и составляют полную систему:

                                                                                           

Из свойства (23а) непосредственно вытекает, что коэффициенты разложения даются выражением

                                                                                              (24)

Выберем нормировку так, чтобы

                                                                                      (25)

где использована формула (23а) совместно с разложением

                                                                                              (26)

для сопряженного состояния .

Напомним, что квадраты модулей дают вероятности того, что при измерении система будет обнаружена в n-м собственном состоянии.

Из формулы (22) следует, что чистое состояние можно охарактеризовать двумя способами. Можно , например, описать его, задав все собственные значения ,… для полного набора операторов, но можно и задать также амплитуды , определяющие состояния через собственные состояния другого набора наблюдаемых. Обычно второй способ оказывается более удобным.

Практически полного приготовления системы редко удается достичь, и в большинстве случаев измеряемые при этом динамические переменные составляют полного набора. В результате состояния системы не является чистым и его нельзя представить одним вектором состояния. Такое состояние можно описать, указав, что система имеет определенные вероятности находятся в чистых состояниях соответственно. В случае неполного приготовления необходимо использовать статистическое описание в том же смысле, что и в классической статистической механике.

Системы, которые нельзя охарактеризовать одним вектором состояния, называются статистическими смесями.

Рассмотрим ансамбль частиц в чистом состоянии . Если это состояние не является одним из собственных состояний для наблюдаемых , то измерения соответствующей физической величины дадут набор результатов, каждый из которых является собственным значением . Если бы такие измерения были бы проведены над очень большим числом частиц, которые все находятся в одном и том же состоянии , то, вообще говоря, были бы получены все возможные собственные значения . Среднее от полученных результатов дается средним значением наблюдаемой , которое определяется матричным элементом

                                                                                              (27)

при условии нормировки (25).

Для получения в случае смеси следует вычислить среднее значение для каждой компоненты (чистых состояний) и затем усреднить их, суммирую по всем чистым состояниям (предварительно умножив их на соответствующий статистический вес ):

                                                                                (28)

Следует отметить, что статистика входит в (28) двумя путями: прежде всего через квантомеханическое среднее значение , а кроме того, через среднее по ансамблю этих значений с весами . Первое усреднение связано с возмущением системы во время измерения и поэтому внутреннее заложено в самой идеи квантования. Второе усреднение вводится ввиду отсутствия информации о том, в каком именно из ряда чистых состояний может находиться система. Последний тип усреднения очень сходен с использованием в классической статистической механике; его добно проводить с помощью техники матрицы плотности.

 

 

1.2.3 Матрица плотности и ее основные свойства

 

 

Рассмотрим систему независимых состояний со статистическими весами . Эти состояния не обязательно должны быть ортонормированны по отношению друг другу. Оператор плотности, описывающий систему, определяется следующим образом:

                                                                                      (29)

где суммирование введется по всем состояниям, имеющимся в системе; называют также статистическим оператором.

Чтобы представить оператор (22) в матричной форме, следует прежде всего выбрать удобный набор базисных состояний, например , который удовлетворяет условию (22). Используя принцип суперпозиции, имеем

                                                          (30)

тогда выражение (22) принимает вид

                                                                       (31)

Взяв матричные элементы выражения (31) между состояниями и и применяя условие ортонормировки (23а), получаем

                                                                          (32)

Набор всех элементов (32) где i и j пробегают по всем базисным состояниям, которые включены в сумму (30), дает явное матричное представление оператора (29), или так называемую матрицу плотности. Поскольку при этом использованы базисные состояния , принято говорить, что набор (32) дает элементы матрицы плотности в - представлении.

Теперь введем и обобщим некоторые важные свойства матрицы плотности. Прежде всего из формулы (32), видно, что представляет собой эрмитов оператор; это означает, что для матрицы (32) выполняется следующее условие:

                                                                                 (33)

Далее, поскольку вероятность обнаружить систему в состоянии равна и поскольку вероятность того, что можно обнаружить в (чистом) состоянии , равна , вероятность обнаружить систему в состоянии дается диагональным элементом

                                                                                       (34)

Это выражение позволяет дать физическую интерпретацию диагональных элементов . Поскольку вероятности – положительные числа, из выражения (34) следует, что

                                                                                                  (34а)

Можно показать, что вероятность найти систему в состоянии после измерения дается матричным элементом

                                                                                    (35)

при условии нормировки (2). Это становится очевидным, если подставить выражение (29) для в (35):

и интерпретировать коэффициенты согласно формуле (24).

След оператора представляет собой константу, не зависящую от представления. Из условия нормировки (25) и условия

                                                                                                  (36а)

следует, что

                                                                    (36)

Среднее любого оператора равно следу произведения операторов и :

              (37)

При получении (37) мы сначала подставили (30) в формулу (28) и затем использовали (32). В более общем случае, если отказаться от условия нормировки (36), величина дается выражением

                                                                                          (37а)

Выражение (37) представляет собой важный результат. Так как согласно квантовой механике, всю информацию о поведении данной системы можно выразить через среднее значение соответственно подобранных операторов. Таким образом, основная проблема состоит в вычисление средних значений. Поскольку среде значение любого оператора может быть получено с помощью (37), матрица плотности содержит всю физически существенную информацию о системе [26].

До сих пор матрица плотности была определена соотношением (32). В общем случае, однако, удобнее считать, что определяется выражением (37) следующим образом. Следует выбрать столько операторов , сколько имеется независимых параметров у операторов . Среднее значение операторов представляет собой начальную информацию о системе. Соответствующую матрицу плотности можно найти, решив систему уравнений

Если матрица плотности определена таким образом, любое другое среднее значение можно получить, применяя выражение (37).

Рассмотрим число независимых параметров, необходимое для определения данной матрицы плотности. Оно зависит от число ортогональных состояний, по котором производится суммирование в выражениях (30). Вообще говоря, это число бесконечно, однако часто оно становится конечным, когда интерес представляет какое либо одно частное свойство системы (например, спин), а зависимость от всех остальных переменных может быть опущена.

Если данная система находится в чистом состоянии, представляемом вектором состояния , то соответствующий оператор плотности имеет вид

                                                                                            (38)

Матрицу плотности можно построить в представлении, в котором является одним из базисных состояний. Например, можно выбрать набор ортонормированных состояний . В этом представление все элементы матрицы будут, очевидно, равны нулю, кроме элемента на пересечении первой строки и первого столбца. Тогда, как не трудно видеть,

                                                                                            (39)

Рассмотрим теперь обратную задачу, состоящую в определении того, описывает ли данная матрица плотности чистое состояние или нет. Эту задачу можно решить, преобразовав матрицу плотности к диагональному виду. Если такое преобразование сделано и при этом обнаружено, что все элементы матрицы обращаются в нуль, кроме одного (например, i-го диагонального элемента), то система находится в чистом состоянии, представляемом i-ом базисном вектором. Однако диагонализация часто утомительна, поэтому полезно вывести условие, которое проще применять.

Прежде всего докажем, что соотношение

                                                                                          (40)

справедливо в общем случае. Рассмотрим произвольную матрицу плотности, которая преобразована к диагональной форме, с диагональными элементами . Тогда

                         ,                                (41а,б)

Ввиду того что вероятности - положительные числа, отсюда непосредственно следует справедливость неравенства (40) для диагонального представления. Поскольку численное значение следа остается неизменным при преобразовании базисных состояний, неравенство (40) справедливо в любом представлении, а не только в диагональном.

Положим теперь, что в (40) имеет место знак равенства. В диагональном представлении отсюда в соответствии с (41) следует условие

Последнее условие может удовлетворяться, только если все вероятности , обратятся в нуль. Следовательно, содержит только один отличный от нуля диагональный элемент в диагональном представлении, и система находится в чистом состоянии, представленным i-ом базисным вектором.

Итак, соотношение (39), как мы доказали, является необходимым и достаточным условием того. Что данная матрица плотности описывает чистое состояние [25].

 

 

 

 

 

1.2.4 Приведенная матрица плотности

 

 

Рассмотрим две (или более) взаимодействующие квантовые систем. Во многих случаях интерес представляет только одна из двух подсистем, а другие не подвергаются наблюдению. Обозначим состояния интересующей нас системы , состояния всей остальной (не подвергаемой наблюдению) системы в совокупности через , а элементы матрицы плотности , описывающую полную систему в момент времени t, через .

Рассмотрим оператор , действующие только на переменные системы ; его матричные элементы даются выражением

                                                         (42)

Причем предполагается ортогональность состояний . Среднее значение можно найти, используя выражения (37) и (42):

                  (43)

Определив элементы матрицы следующим образом

                                                        (44)

Можно записать соотношение (43) в форме

                              (45)

совпадающей по виду с (37).

Вся информация относительно системы может быть выражена через средние значения того числа операторов, которое необходимо для ее описания. Из соотношения (45) следует, что любое из этих средних значении можно найти, если известна матрица . В указанном смысле матрица содержит всю информацию о системе .

Матрицу .называют обычно приведенной, или редуцированной, матрицей плотности [25]. Как видно из выражения (44), эта матрица получается путем взятия тех матричных элементов полной матрицы плотности , которые диагональны по не подвергаемой наблюдению переменной i, с последующим их суммированием по всем значениям i. Таким путем можно исключить все несущественные индексы. Фактически вычисляется полная матрица плотности , которая затем проектируется на интересующее нас пространство. В этом состоит наиболее ценное свойство матрицы плотности.

                                                                            (46)

где - указывает на взятие следа по всем переменным, не подвергаемым наблюдению [25].

 

 

1.2.5 Гамильтониан магнитных взаимодействий

 

 

Спиновый гамильтониан – это оператор энергии спиновой подсистемы атомов, ионов, молекул и твёрдых тел, выражающийся через операторы спина электронов и нуклонов, составляющих эти физические объекты. Спиновый гамильтониан для атома водорода проще, чем спин-гамильтонианы для других атомов или молекул, поскольку атом водорода обладает сферической симметрией [27, 28].

 

 

1.2.5.1 Зеемановское взаимодействие

 

 

Взаимодействие ядра и электрона с постоянным магнитным полем описывается гамильтонианом

                                                                              (47)

И носит название зеемановское взаимодействие. Энергия взаимодействия с магнитным полем в случае ядер гораздо меньше, чем для электронов. Величины и являются -факторами электрона и ядра соответственно. Допустим, что в атоме водорода равен -фактору свободного электрона, т.е. 2,0023 [27].

 

 

1.2.5.2 Сверхтонкое взаимодействие

 

 

Магнитные моменты электронов и ядер взаимодействуют друг с другом по механизму так называемого контактного взаимодействия. Этому виду взаимодействия, идею которого впервые изложил Ферми для объяснения сверхтонкой структуры атомных спектров, отвечает энергия ядерного момента в магнитном поле, создаваемом на ядрах электронным спином. Контактное взаимодействие записывается в форме

                                                           (48)

Константа сверхтонкого взаимодействия пропорциональна квадрату модуля волновой функции электрона в месте расположения ядра; имеет размерность энергии

                                                                          (49)

А также может быть выражена в единицах частоты . В другом рассмотрении используют -функцию Дирака и представляют оператор в виде

                                                                        (50)

-Функция обеспечивает условие при интегрирование по координатам электрона. Следовательно, контактное взаимодействие возможно только тогда, когда электронная плотность на ядрах отлична от нуля; так как электроны и т.д. имеют в месте расположения ядра нулевое значение волновой функции, то только электрон в s-состоянии может обеспечивать контактное взаимодействие. В атоме водорода неспаренный электрон находится на 1s-орбитали. Волновая функция 1s-электрона имеет вид

                                                                                       (51)

где - радиус боровской орбиты, равный 0,52918 Å. Подстановка этой волновой функции в выражении (49) дает значение , равное 1422,74 МГц; однако экспериментальное значение намного меньше, а именно 1420,406 МГц, что обусловлено необходимостью различных поправок к теории Ферми [27].

 

 

2 Теоретическое исследование влияния магнитного поля на

спин-селективную рекомбинацию атома водорода

 

2.1 Энергетические уровни и спиновые состояния атомов водорода в магнитном поле

 

 

Гамильтониан атомов водорода в магнитном поле Н [27, 28]

где

Базисные состояния: , , , .

Действия гамильтониана на эти базисные состояния:

Эти выражения позволяют легко найти матричные элементы гамильтониана

В итоге этих расчетов матрица гамильтониана принимает вид

Собственные значения гамильтониана – это уровни энергии , которые находятся как корни характеристического уравнения

Из этого уравнения сразу же следует, что

Этому собственному значению соответствует собственное состояние

Другому собственному значению

соответствует собственное состояние

Остальные собственные значения находятся как корни характеристического уравнения матрицы

Их удобно находить с помощью подстановок

где

Следовательно,

          

В результате этих подстановок матрица принимает вид

Дальнейшие упрощения получаются после замены

Характеристическое уравнение принимает вид

Решения этого простого уравнения

позволяют определить остальные собственные значения гамильтониана, то есть энергии подуровней основного состояния атома водорода, находящегося в магнитном поле

        

          

        

В магнитном поле Н самому нижнему подуровню – основному состоянию – соответствует значение Е₃.

Теперь можно найти спиновое состояние атома водорода, находящегося на этом подуровне, которое удобно представить в виде

.

Используем это выражение и значение для нахождения стационарных спиновых состояний атома водорода

Можем сократить на

В результате получаем,

Следовательно, основным является состояние

Для нахождения другого собственного состояния спинового гамильтониана используем значение . Проделав аналогичные расчеты, получим собственное состояние

Следовательно, магнитное поле изменяет спиновое состояние основного нижнего уровня и спиновое состояние одного из возбужденных подуровней атома водорода. Эти спиновые состояния могут быть представлены как суперпозции синглетного и триплетного состояний

 

 

2.2 Рекомбинация атомарного водорода в магнитном поле

 

 

В отсутствии магнитного поля атомы водорода могут находится в основном чистом синглетном состоянии с антипараллельными ориентациями электронного и ядерного спина

Магнитное поле приводит к смешиванию синглетных и триплетных состояний. Нижнее основное состояние первого и второго атома водорода представить как суперпозицию:

Состояние системы, состоящей из двух атомов водорода, например, контактного комплекса, образование которого предшествует рекомбинации, описывается прямым произведением этих векторов

Здесь спиновые состояния S и T, отмеченные индексами относятся к электронным и ядерным спиновым состояниям объединенной системы        (Н + Н). Видно, что объединенная система находится в состоянии, описываемом как суперпозиция триплетных и синглетных электронных состояний. Примечательно, что электронные и ядерные спиновые состояния объединенной системы скоррелированы: каждому электронному спиновому состоянию соответствует только одно ядерное спиновое состояние. Вероятности этих состояний определяются коэффициентами и .

Выражение для вектора состояния позволяет построить матрицу плотности ρ объединенной системы (Н + Н):

Видно, что эта матрица плотности описывает чистое состояние, поскольку

Рекомбинировать могут только пары в синглетном электронном состоянии, которое описывается матрицей плотности . Эта матрица получается в результате проектирования исходной матрицы плотности на синглетное состояние электронных спинов с помощью оператора проектирования Р_S.

Здесь и .

,

В результате этих преобразований получаем

Если при столкновениях рекомбинируют все синглетные контактные пары, вероятность рекомбинации равна

.

Следовательно, вероятность рекомбинации определяется коэффициентами с₁ и с₂. определяющими суперпозиционное основное состояние атомарного водорода в магнитном поле. При с₁=0 или с₂=0 рекомбинация запрещена. Зависимость вероятности рекомбинации от напряженности магнитного поля описывается выражением

График зависимости W_S от отношения представлен на рисунке 5.

Рисунок 5 - Зависимость вероятности рекомбинации от напряженности магнитного поля

 

Увеличение напряженности магнитного поля уменьшает вероятность спинселективной рекомбинации атомарного водорода. В пределе сверхсильных магнитных полей вероятность рекомбинации W_S стремится к нулю. Именно это свойство использовалось при попытках накопить большое количество атомарного водорода при сверхнизких температурах для получения бозе-эйнштейновской конденсации реальных атомов [24].

В момент рекомбинации спины не меняются, поэтому в образующих молекулах Н₂ ориентации электронных и ядерных спинов не меняются и остаются такими же, какими они были в контактном комплексе (Н+Н). Следовательно, спиновое состояние молекул Н₂ описывается матрицей плотности

Получается, что синглетное состояние электронных спинов жестко связано с синглетным состоянием ядерных спинов в молекуле Н₂. Это означает, что образуются только молекулы пара-водорода p-Н₂ с антипараллельными ядерными спинами.

Триплетные пары (Н, Н) не рекомбинируют и распадаются на отдельные атомы Н. Матрица плотности триплетных пар:

-оператор проектирования в триплетные состояния.

Матрица плотности пар, находящихся в триплетных состояниях, неспособных к рекомбинации, имеет вид

Эта матрица плотности может быть приведена к виду, где вместе «скомпанованы» спиновые переменные первого и второго атомов

,

где

Строго говоря, величина - это символическое обозначение фрагмента проекции матрицы плотности на подпространство; она не является истинным квантовомеханическим вектором состояния, поскольку не нормирована на единицу.

Состояния атомов водорода, покидающих триплетные контактные комплексы, описываются редуцированными матрицами плотности. Например, после взятия следа матрицы плотности по спиновым переменным второго атома водорода получается матрица плотности первого атома.

В результате преобразований коэффициентов этой матрицы плотности

И векторов состояния атома

Получаем матрицу плотности атомов водорода после «неудачных» попыток рекомбинации в триплетных контактных комплексах   ( Н + Н)

Замечательной особенностью этой матрицы плотности является то, что она содержит слагаемые, описывающие не только нижнее основное состояние , но и возбужденные сверхтонкие состояния атома водорода , и . Здесь следует напомнить, что в процессы рекомбинации вступали только атомы водорода, находящиеся в нижнем основном состоянии . Очевидно, что единственной причиной появления возбужденных атомов может быть только обмен электронных спинов в триплетных контактных парах ( Н + Н).

Вероятности возбуждения и  подуровней атомарного водорода одинаковы; вероятность возбуждения подуровня     в 5 раз больше, чем вероятность возбуждения подуровней   и  .

Вероятность появления возбужденных состояний равна

Зависимость вероятности от магнитного поля показана на рисунке 6.

Рисунок 6 - Зависимость вероятности появления возбужденных состояний

 

Видно, что с ростом напряженности магнитного поля вероятность возбуждения уменьшается вплоть до нуля в сверхсильных магнитных полях, существенно больших константы СТВ МГц э.

 

 

2.3 Радиоизлучение атомарного водорода

 

 

Спиновый гамильтониан атома водорода совместно с результатами, полученными в данной квалификационной работе, позволяет оценить особенности радиоизлучений рекомбинационно возбужденных атомов в магнитном поле

Собственные значения гамильтониана – это уровни энергии ,

В магнитном поле Н самому нижнему подуровню – основному состоянию – соответствует значение Е₃. Эти энергетические уровни и излучательные переходы показаны на рисунке 7

Рисунок 7 - Энергии и излучательные переходы сверхтонких подуровней атомов водорода в магнитном поле

 

В нулевом магнитном поле все переходы с верхних триплетных подуровней на нижний основной уровень характеризуются одной и той же частотой. Магнитное поле снимает вырождение уровней, поэтому переходы с верхних подуровней на нижний будут отличаться по частоте. Частоты переходов

Интенсивности излучательных переходов зависят от вероятностей этих переходов и от населенностей соответствующих подуровней. В разреженном космическом газе атомарного водорода происходят только спонтанные переходы с верхних подуровней на нижний. Поэтому интенсивность излучения на разных частотах будет пропорциональна населенностям соответствующих верхних подуровней. Коэффициенты населенностей уровней в выражении для спиновой матрицы плотности рекомбинационно-возбужденных атомов водорода позволяют оценить отношения этих интенсивностей I(ω_ij)

Для рекомбинационно возбужденного водорода самым интенсивным должен быть переход I(ω₄₃) с частотой. Отклонения от этого соотношения будет свидетельствовать о существовании иных механизмов возбуждения атомарного водорода.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

 

Действие магнитного поля приводит к смешиванию синглетных и триплетных подуровней основного состояния атомов водорода и уменьшает вероятность спинселективной рекомбинации атомов водорода, находящихся в нижнем, основном состоянии. В результате такой рекомбинации образуются исключительно молекулы р–водорода с антипараллельными ядерными спинами.

Вероятность рекомбинации в магнитном поле:

Сильное магнитное поле способно полностью «выключить» рекомбинацию атомов водорода

В результате «неудачных» попыток рекомбинации образуются атомы водорода и на нижнем, и на возбужденных (триплетных) подуровнях основного состояния. Вероятность такого возбуждения сверхтонких подуровней атомарного водорода

Сильное магнитное поле уменьшает населенности подуровней возбужденных состояний атомарного водорода. Подавление спин-селективной рекомбинации магнитным полем одновременно подавляет образование возбужденных атомов Н.

Сопоставим рисунки 5 и 6 - синхронное изменение вероятности рекомбинации и вероятности появление возбужденных состояний однозначно доказывает, что появление возбужденных атомов есть «неудачная» попытка рекомбинации.

Различия интенсивности компонент радиоизлучения атомарного водорода позволит оценить магнитное поле в космическом пространстве и вблизи звездных скоплений.

 

Список используемых источников

 

 

1. Бучаченко, А.Л. Спиновая химия–«новая земля» в науке./ А.Л. Бучаченко, В.Л. Бердинский, – РФФИ, 2001 г.
2. Иродов, И.Е. Квантовая физика. Основные законы./ И.Е. Иродов – М.: Лаборатория базовых знаний, 2001, – 272с.
3. http://www.nscience.ru/chemistry/inorganic/hydrogen/
4. http://www.fxyz.ru/ формулы по химии/периодическая система элементов таблица Менделеева/водород/.
5. http://chem100.ru/elem.php?n=1
6. Некрасов, Б. Водород Курс общей химии, 14 изд.,/ Б. Некрасов, 1962.
7. Краткая химическая энциклопедия, т. 1, М., 1961, с. 619—24.
8. Silvera I. F. The Stabilization of Atomic Hydrogen. – Scientific American, January 1982,/ Silvera I. F., Walraven J v. 246, pp. 56–
9. http://skywatching.net/astro/vselenn_vodorod.php
10. http://skywatching.net/astro/vselenn_mpole.php
11. Салихов К.М. 10 лекций по спиновой химий./ К.М. Салихов – Казань: УНИПРЕСС, 2000, – 152с.
12. http://ru.wikipedia.org/wiki/Молекула_водорода
13. Каплан С.А. Физика межзвездной среды,/ С.А. Каплан, С.Б. Пикельнер – М., 1979.
14. Сороченко Р.Л. Излучение радиолиний возбужденного водорода, / Р.Л. Сороченко. - ВестникАН СССР, т. 39, № 4, 1969.
15. Einstein A./ Einstein A – Preuss. Akad. Wiss. 3 18 (1925)
16. Masuhara N. Phys. Rev. Lett. / Masuhara N, Doyle J M, Sandberg J C, Kleppner D, Greytak T J, Hess H F, Kochanski G P 61 935 (1988).
17. Ketterle W. In Advances in Atomic, Molecular, and Optical Physics Vol. 37/ Ketterle W, van Druten N. J. – Physics Publ.(1996) p. 181.
18. Walraven J.T.M., in Quantum Dynamics of Simple Systems/ Walraven J T M GL Oppo, S.M. Barnett, E. Riis, M. Wilkinson – Physics Publ., (1996)      p. 315.
19. Hecht C.E. Physica 25 1159 (1959).
20. Stwalley W.C., Phys. Rev. Lett. Stwalley WC, Nosanow L H 36 910 (1976).
21. Silvera F. Phys. Rev. Lett. / Silvera I. F., Walraven J. T.M.44. 164 (1980).
22. Cline R.W. Rev. Lett. / Cline R.W., Smith D.A., Greytak T. J., Kleppner D. 45. 2117 (1980).
23. Fried D.G. Rev. Lett. /Fried D G, Killian T C, Willmann L, Landhuis D, Moss S C, Kleppner D, Greytak T J 81 3811 (1998).
24. Кеттерле В. УФН, Декабрь 2003 г. Когда атомы ведут себя как волны. Бозе-эйнштейновская конденсация и атомный лазер,/ В. Кеттерле Том 173, № 12. С. 1339–1342.
25. Блум К. Теория матрицы плотности и ее приложения. Пер. с англ./ Блум К. – М.: «Мир», 1983. –248 с.
26. Ландау Л.Д. Теоретическая физика в 10 томах./ Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшиц – М.: «Наука», 1989. –767 с.
27. Керрингтон А. Магнитный резонанс и его применение в химии./ А. Керрингтон, Э. Мак-Лечлан – М.: «Мир» 1970, –448с.
28. Драго Р. Физические методы в химии, т. 2./ Р. Драго М.: «Мир», 1981. – 457с.