Дипломная работа
Абстрактные три-ткани и свойства их координатных квазигрупп и луп
Аннотация
В данной ВКР рассмотрены основные вопросы геометрии абстрактных три-тканей, исследованы геометрические и алгебраические свойства абстрактных три-тканей и их взаимосвязи, рассмотрены специфические свойства абстрактных три-тканей.
Работа состоит из трех глав. В первой главе рассматриваются квазигруппы и абстрактные три-ткани. Здесь приведены основные определения и факты теории абстрактных три-тканей.
Во второй главе рассмотрены фигуры замыкания на абстрактных три-тканях. Выявлены связи между различными типами три-тканей и квазигрупп.
В третьей главе в качестве примера рассматриваются геометрические три-ткани на плоскости.
Работа содержит 43 страниц с использованием шестнадцати источников.
Abstract
This SRS provides basic information about the geometry of abstract three-webs studied geometric and algebraic properties of abstract three-webs and their relationships are discussed specific properties of abstract three-webs.
The work consists of three chapters. In the first chapter of the quasigroup and abstract three-webs. Here are some basic definitions and facts from the theory of abstract three-webs.
The second chapter describes the figure fault abstract three-webs. The relationships between the various types of three-webs and quasigroups.
The third chapter, an example consider three geometric tissue plane.
The work contains 43 pages with sixteen sources.
Содержание
|
Введение………………………………………………………………………… 1 Квазигруппы и абстрактные три-ткани…………………………………….. 1.1 Определение квазигруппы и лупы………………………………………... 1.2 Изотопия квазигрупп и луп………………………………………………... 1.3 Квазигруппы и лупы с тождествами……………………………………… 1.4 Абстрактные три-ткани и их координатные квазигруппы и лупы……… 2 Фигуры замыкания на абстрактных три-тканях…………………………… 3 Геометрические три-ткани на плоскости…………………………………… 3.1 Определение три-ткани……………………………………………………. 3.2 Эквивалентные три-ткани…………………………………………………. 3.3 Функция ткани……………………………………………………………… 3.4 Шестиугольные ткани……………………………………………………... 3.5 Прямолинейные три-ткани………………………………………………… Заключение……………………………………………………………………… Список использованных источников………………………………………….. |
68 8 10 15 18 22 28 28 30 32 36 38 42 43 |
Введение
Основы дифференциально-геометрической теории три-тканей были заложены участниками гамбургского геометрического семинара, руководимого Вильгельмом Бляшке (1926-1928 годы). Бляшке, его ученики и коллеги, среди которых наиболее известны имена Бола, Рейдмейстера и Томсона, определили различные типы конфигураций на криволинейной ткани и показали, что каждой конфигурации соответствует некоторое алгебраическое тождество. Основные результаты этого исследования были опубликованы в книге [9],а также в многочисленных обзорах, см., например, [8].
Указанные геометрические и алгебраические конструкции были позже обобщены С. Черном и М.А. Акивисом для многомерных три-тканей образованных тремя -мерными слоениями на дифференцируемом многообразии размерности , см. [6].
Три-тканям посвящено большое число работ В. Бляшке, его учеников и сотрудников, опубликованных в 30-х и 40-х годах, а также книга «Геометрия тканей» (1938), написанная Бляшке совместно с Г. Болем. В своих работах Бляшке отмечает связь теории тканей со многими разделами геометрии, в частности, с проективной геометрией [9].
Одним из стимулов для изучения многомерных три-тканей послужила их связь с различными алгебраическими структурами, в первую очередь с квазигруппами. По сути три-ткань и квазигруппа – алгебраическая и геометрическая интерпретация одного и того же объекта – функции двух переменных. Теория квазигрупп и луп была построена В.Д. Белоусовым [7, 14]. Значение этой теории, а, следовательно, и теории три-тканей, существенно возросло после того, как многочисленные не ассоциативные структуры были обнаружены в различных разделах физики. В 1955 году появилась статья А.И. Мальцева [14], в которой было положено начало систематическим исследованиям аналитических квазигрупп и луп, близких в том или ином смысле к группам Ли, но, вообще говоря, не ассоциативным. Их исследование возможно как алгебраическими, так и геометрическими методами. Мощные методы современной дифференциальной геометрии позволяют глубоко проникнуть в структуру таких объектов, описать их свойства, провести классификацию и т. п.
Первые работы по теории многомерных три-тканей, образованных слоениями одинаковой размерности, принадлежат Болу, который рассмотрел три-ткани на четырехмерном многообразии, и С.С. Черну, который ввел дифференциальные инварианты многомерной три-ткани, образованной на -мерном многообразии тремя -мерными слоениями [11, 16].
После этих работ долгое время не появлялось публикаций, посвященных теории многомерных три-тканей. Их изучение было продолжено лишь с конца 60-х годов. В 1969 году появилась статья М.А, Акивиса [6], за которой последовала большая серия работ, как его самого, так и его учеников. Примерно с этого времени под руководством Акивиса в Московском институте стали и сплавов начинает работать геометрический семинар, на котором обсуждаются важнейшие проблемы теории тканей [1, 2, 3, 4,5,6].
В данной работе рассматриваются абстрактные три-ткани. И для примера рассматриваются три-ткани на плоскости.
Актуальность, рассматриваемой темы, определяется многочисленными связями теории тканей с различными разделами дифференциальной геометрии, теории дифференциальных уравнений и математической физики [2].
Теория тканей имеет богатое приложение в разных разделах математики и физики, см. об этом в [9]. Наиболее важные приложения связаны с тем обстоятельством, что три-ткань представляет собой геометрический аналог локальной гладкой квазигруппы или лупы, вообще говоря, не ассоциативной. Это позволило применить методы и результаты теории тканей в тех разделах математики и физике, где активно используются не ассоциативные структуры [12].
Целью данной дипломной работы являлось исследование некоторых вопросов геометрии и алгебры абстрактных три-ткани. На основании поставленной цели были выделены следующие задачи:
1) определение абстрактной три-ткани и рассмотрение ее свойств;
2) исследование взаимосвязи геометрических и алгебраических свойств абстрактной три-ткани.
Глава 1 Квазигруппы и абстрактные три-ткани
1.1 Определение квазигруппы и лупы
Множество вместе с заданной на нем бинарной операцией называется группоидом.
Определение 1. Группоид называется квазигруппой, если выполняются следующие два условия:
- для любых двух элементов и из существует единственный элемент , принадлежащий , такой, что ;
- для любых двух элементов и из существует единственный элемент , принадлежащий , такой, что
Элемент называется произведением элементов и , и обозначается также через ; квазигруппа обозначается также .
Условия а) и b) из определения (9) означают, что уравнения
, , (1.1)
однозначно разрешимы в квазигруппе .
Может оказаться, что в квазигруппе существует элемент , такой, что . Тогда называется левой единицей. Если , то элемент называется правой единицей. Если в квазигруппе есть правая и левая единица, то они совпадают, т. к. .
Тогда элемент называется единицей.
Определение 2. Квазигруппа с единицей называется лупой.
Пример 1. Пусть . Зададим операцию таблицей умножения:
Таблица 1-Таблица (А) умножения квазигруппы
|
АA) |
aa |
bb |
Cc |
|
aa |
cc |
aa |
Bb |
|
bb |
bb |
cc |
Aa |
|
cc |
aa |
bb |
Cс |
Таблица 2-Таблица (B) умножения квазигруппы
|
BB) |
aa |
bb |
cc |
|
aa |
cc |
aa |
bb |
|
bb |
bb |
aa |
cc |
|
cc |
aa |
bb |
cc |
Таблица 3-Таблица (C) умножения квазигруппы
|
CC) |
aa |
bb |
cc |
|
aa |
bb |
cc |
aa |
|
bb |
cc |
aa |
Bb |
|
cc |
aa |
bb |
Cc |
Где в левом столбце стоит первый, а в верхней строке-второй сомножители произведения. Например, . Так как в каждой строке и в каждом столбце все элементы различны, то свойства а) и б) определения 2 выполняются, и таблица (А) определяет квазигруппу, состоящую из трех элементов. Эта квазигруппа обладает левой единицей е = с, но правой единицей элемент не будет. Значит, рассматриваемая квазигруппа не является лупой.
Напротив, бинарная операция, заданная таблицей (В), не определяет на множестве квазигруппу, так как , т.е. существует два различных решения уравнения .
Пример лупы с единицей дает таблица (С).
Точно так же с помощью таблицы умножения можно задать квазигруппу (или лупу), состоящую из четырех, пяти и т.д. элементов. Такие таблицы называются таблицами Кэли.
Пример 2. Пусть - пятимерное евклидово пространство.
Определим операцию следующим образом:
- точки из , если
Так как эти уравнения однозначны разрешимы относительно переменных , то они определяют квазигруппу. Докажем, что это лупа. Найдем координаты единицы лупы.
Очевидно, что тогда удовлетворяет определению единицы, следовательно, - лупа.
В дальнейшем, нам понадобиться следующее обобщенное понятие квазигруппы.
Определение 3. Пусть - три множества и отображение , обладает свойствами, аналогичными (1.1):
, ! ;
, ! .
Тройка множеств вместе с отображением называется трехбазисной квазигруппой.
Из определения следует, что множества равномощны (в частности, если они конечны, то состоят из одинакового числа элементов). В самом деле, положим в равенстве , где – фиксированный элемент. Тогда есть биекция . Аналогично, отображение представляет собой биекцию .
Если в определении (3)
,
то трехбазисная квазигруппа превращается в обычную (однобазисную) квазигруппу.
1.2 Изотопия квазигрупп и луп
Пусть и – группоиды, и пусть – биекции .
Определение 4. Тройка биекций называется изотопическим отображением группоида на группоид , если для любых элементов и из выполняется равенство
. (1.2)
В этом случае квазигруппы и называются изотопными.
Если , изотопическое отображение называется изоморфизмом.
Теорема 1. Всякий группоид, изотопный квазигруппе, сам является квазигруппой.
Теорема Алберта. Если лупа изотопна группе, то она ей изоморфна, и, следовательно, является группой.
Из этой теоремы следует, что если две группы изотопны, то они изоморфны, и поэтому изотопия не нужна в теории групп.
Рассмотрим две квазигруппы и , определенные на одном и том же множестве , и пусть и – биекции .
Определение 5. Изотопия вида ( тождественное отображение) квазигруппы на квазигруппу называется главной изотопией.
Обоснованием для введения понятия главной изотопии служит следующее утверждение:
Всякая изотопия есть композиция главной изотопии и изоморфизма. В самом деле,
.
Теорема 2. Всякая квазигруппа главноизотопна некоторой лупе. Доказательство. Пусть и – биекции , заданные
уравнениями:
, ,
где и – два фиксированных элемента квазигруппы . Эти биекции называются, соответственно, правым и левым сдвигами.
Определим на множестве новую операцию , полагая ,
где
, . (1.3)
Построенная квазигруппа будет главным изотопом квазигруппы причем, так как в силу (1.3)
, , то , , .
Докажем, что – лупа с единицей . В самом деле, положим в (1.3) , тогда и .
Точно также, полагая , из (1.3) найдем, что и .
Теорема доказана.
Задача. Построим главный изотоп квазигруппы , заданной следующей таблицей умножения (таблица 4).
Таблица 4- Таблица умножения квазигруппы
|
|
фa |
иb |
сc |
вd |
|
aa |
cc |
dd |
aa |
bb |
|
bb |
aa |
bb |
dd |
cc |
|
cc |
dd |
cc |
bb |
Aa |
|
dd |
bb |
aa |
cc |
Dd |
Решение. При главной изотопии первый сомножитель произведения (т. е. элемент первого столбца в таблице умножения) преобразуется сдвигом
:
.
Второй сомножитель произведения (т. е. элемент первой строки таблицы) преобразуется левым сдвигом .
В результате получится таблица 5.
Таблица 5- Таблица (A) умножения квазигруппы
|
FA) |
Dd |
cc |
b b |
a |
|
иb |
сc |
bd |
Da |
cb |
|
ac |
da |
cb |
Bd |
ac |
|
aa |
dd |
cc |
Bb |
aa |
|
dd |
bb |
aa |
Cc |
dd |
Таблица 2 определяет лупу с единицей .
Элементы во внутренних клетках таблицы 2 остались те же, что и в заданной таблице умножения, так как при главной изотопии произведения не меняются .
Изменим порядок следования элементов в таблице 2, переставив единицу на первое место. В результате получим таблицу 6.
Таблица 6- Таблица (B) умножения квазигруппы
|
|
aa |
bb |
cc |
Dd |
|
Aa |
aa |
bb |
cc |
Dd |
|
Bb |
bb |
aa |
dd |
Cc |
|
Cc |
cc |
dd |
bb |
Aa |
|
Dd |
dd |
cc |
aa |
Bb |
Докажем, что: а) при изоморфизме лупа переходит в лупу; б) если изотопическое отображение лупы на лупу Обладает тем свойством, что , то это отображение будет изоморфизмом.
Понятие изотопии имеет смысл и для трехбазисных квазигрупп. Пусть - две трехбазисные квазигруппы. Тройка биекций
, где , таких, что выполняется тождество называется изотопическим отображением трехбазисной квазигруппы на трехбазисную квазигруппу
Для трехбазисной квазигруппы определяются левые и правые сдвиги по тем же формулам, что и для однобазисной квазигруппы:
При этом, так как элементы принадлежат множеству , то на нем с помощью формул (1.3) вводится новая операция , вместе с которой множество (согласно теореме 2) будет лупой. Таким образом, теорема 2 сохраняет свой смысл и для трехбазисных квазигрупп.
Пример 6. Докажите, что лупа 6.8 изоморфна лупе
(1.4)
Решение. Положим
(1.5)
где
Совокупность уравнений (1.5) определяет изоморфизм лупы (1.4) на лупу
(1.6)
где
Перепишем уравнение (1.6) в эквивалентной форме, умножив их на :
Полагая в этих уравнениях
(1.7)
получим:
(1.8)
Уравнения (1.7) определяют изоморфизм лупы (1.6) на лупу (1.8). Положим теперь в уравнениях (1.8)
(1.9)
Получим
(1.10)
где
Уравнения (1.9) устанавливают изоморфизм между лупами (1.8) и (1.10). Следовательно, изоморфизм переводит данную лупу (1.4) в лупу (1.10). Так как уравнения (1.10) совпадают с уравнениями лупы в 6.8 в [3], то задача решена.
Следующая теорема показывает, почему мы использовали именно сдвиги для построения лупы , главноизотопной заданной квазигруппе
Теорема 3. Любая главная изотопия квазигруппы на лупу имеет вид , т. е. определяется сдвигами.
Доказательство. Пусть - главная изотопия Тогда, согласно определению 4, для любых имеем равенство .
Так как - лупа, то в ней существует единица Пусть Тогда из равенств
аходим, что
Следовательно, Точно так же доказывается, что , где
Теорема доказана.
1.3 Квазигруппы и лупы с тождествами
Пусть – квазигруппа. Словом длинны называется произведение элементов квазигруппы , взятых в определенном порядке и при определенной расстановке скобок. Примеры слов:
, , , , , , , , .
Произвольное слово будем записывать в виде . Если элементы считать переменными, то слово можно рассматривать как сложную функцию – композицию некоторого числа функций .
Пусть и – два слова от одних и тех же переменных на квазигруппе . Вообще говоря, , например,
, , , и т. д. но, как известно, в группах равенство
, выполняется тождественно (т. е. для любых элементов и из группы). В коммутативных группах кроме тождества ассоциативности выполняется еще и тождество коммутативности .
Мы будем рассматривать лупы, на которых выполняется какое-либо тождество. Вот наиболее известные из таких луп (таблица 7).
Таблица 7- Соотношения луп и тождеств
|
|
Название лупы |
Тождество, выполняемое в лупе |
|
11 |
Группа |
|
|
22 |
Коммутативная |
|
|
33 |
Моноассоциативная |
|
|
44 |
Правоальтернативная |
|
|
55 |
Левоальтернативная |
|
|
66 |
Эластичная |
|
|
77 |
Лупа Муфанг |
|
|
88 |
Левая лупа Боля |
|
|
09 |
Правая лупа Боля |
Если в лупе выполняются оба условия 4 и 5, то она называется альтернативной.
Задача. Докажем, что лупа Муфанг: а) эластична; б) левоальтернативна.
Доказательство. Эластичность мы получим, полагая в тождестве Муфанг . Затем, полагая в этом же тождестве , получим .
В силу эластичности , поэтому имеем: .
Обозначая , из последнего равенства находим ,
что и требовалось доказать.
Задача. Докажем, что правоальтернативная левая лупа Боля есть лупа Муфанг.
Доказательство. Пусть -левая лупа Боля. Положим в соответствующем тождестве , получим тождество .
Так как по условию задачи лупа правоальтернативная, последнее тождество можно переписать так:
Положив теперь , имеем
Итак, рассматриваемая левая лупа Боля эластична, и следовательно, является лупой Муфанг.
Задача. Для лупы 6.4 в [3] а) найдем левый и правый обратные элементы для и покажем, что они совпадают; б) выясним, является ли эта лупа коммутативной, эластичной, лево- или правоальтернативной, ассоциативной, лупой Муфанг, лупой Боля (левой и правой).
Решение. Легко видеть, что единица лупы имеет координаты (0,0,0,0,0). Поэтому уравнения , из которых мы должны найти координаты элемента , имеют вид:
Отсюда находим, что Чтобы найти координаты элемента , рассмотрим систему , или
Отсюда находим, что Мы видим, что координаты элементов совпадают, следовательно, .
Выясним, является ли рассматриваемая лупа левоальтернативной. Для этого найдем координаты элементов Имеем:
Вычислим координаты элемента :
И элемента :
Мы видим, что , значит, Поэтому рассматриваемая лупа не является левоальтернативной, а, следовательно, и лупой Боля, и тем более не является лупой Муфанг или группой.
1.4 Абстрактные три-ткани и их координатные квазигруппы и лупы
Пусть дано множество , элементы которого будем называть точками, и множества , , , элементы которых будем называть линиями первого, второго и третьего семейства, соответственно. Эти множества предполагаются не пустыми и не имеющими общих элементов.
Определение 6. Говорят, что множества , , , образуют абстрактную три-ткань если элементы этих множеств связаны отношением инцидентности, которое определяется следующими аксиомами:
А1. Каждая точка множества инцидентна в точности трем линиям, взятым по одной из семейств , , .
А2. Каковы бы ни были две линии, взятые из разных семейств, существует единственная точка из множества инцидентная этим линиям.
Далее отношение инцидентности обозначаем знаком . Если точка инцидентна линиям и , то говорят, что линии и пересекаются в точке , или проходят через точку .
Отметим, что определение 6 похоже на определение 7 три-ткани, образованной линиями на плоскости, которую, в отличие от абстрактной три-ткани, будем называть геометрической тканью. Для геометрических тканей не выполняется, вообще говоря, аксиома 2. Именно поэтому не всякая геометрическая три-ткань является абстрактной тканью.
С абстрактной три-тканью можно связать бинарную операцию
, если линия третьего семейства проходит через точку пересечения линий и , таких, что , . Из определения 14 вытекает, что - трехбазисная квазигруппа. Эта квазигруппа называется координатной квазигруппой абстрактной три-ткани.
Так как через каждую точку множества проходит в точности по одной линии из первых двух семейств линий ткани , то этой точке ставится в соответствие пара , , . Следовательно, множество можно рассматривать как прямое произведение , а линии ткани – как множества точек. При этом линии первого семейства образованы точками вида , где – фиксированы элемент из , а пробегает все значения из . Линия второго семейства есть множество всех пар вида ; на линии третьего семейства лежат точки , такие, что (мы обозначаем через ).
Из этих рассуждений видно, что по заданной квазигруппе .
Можно построить абстрактную три-ткань на прямом произведении Действительно, назовем «точками» пары – элементы множества ; «линией первого семейства» – множество точек вида , где – фиксированы элемент; «линией второго семейства» – множество точек , где фиксировано ; «линией третьего семейства» – множество точек , таких, что .
Так как в квазигруппе уравнение однозначно разрешимо относительно и , то для построенных множеств будут выполняться аксиомы А1 и А2, и поэтому мы получим абстрактную три-ткань. Исходная квазигруппа будет координатной квазигруппой этой ткани.
Итак, доказано, что со всякой абстрактной три-тканью связана ее координатная трехбазисная квазигруппа , и обратно: всякая трехбазисная квазигруппа порождает абстрактную три-ткань, для которой является координатной квазигруппой.
Если задана однобазисная квазигруппа , то абстрактную три-ткань можно построить на множестве подобно тому, как мы сделали это только что на множестве для трехбазисной квазигруппы . Рассмотрим, например, квазигруппу , заданную на множестве следующей таблицей умножения (таблица 8).
Таблица 8- Таблица умножения квазигруппы
|
|
aa |
bb |
cc |
|
aa |
cc |
aa |
bb |
|
bb |
bb |
cc |
aa |
|
cc |
aa |
bb |
cc |
|
(c,c) |
|
(c,b) |
|
(b,b) |
|
(a,a) |
|
(b,a) |
|
(a,b) |
|
(b,c) |
|
(a,c) |
|
(c,a) |
Рисунок 1-Определение три-ткани на множестве .
Три-ткань на множестве определяется так, как указано на рисунке 1. Ее линии содержат по три точки. Например, линия состоит из трех точек , и . Линии третьего и второго семейств ткани изображены горизонтальными и вертикальными отрезками, а линии третьего семейства – наклонными.
Так как все три семейства линий ткани равноправны, то с ней, кроме квазигруппы , можно связать еще пять координатных квазигрупп, которые называются парастрофами квазигруппы . Если обозначить , то парастрофы , определяются следующим образом: и ,
если .
Кроме того, .
Квазигруппы и называются соответственно, правой и левой обратными квазигруппами для квазигруппы и обозначаются еще так:
, .
Операция в квазигруппе обозначается знаком /, а в квазигруппе – знаком \, так что , .
Все шесть координатных квазигрупп три-ткани равноправны, поэтому все сказанное выше о квазигруппе можно повторить и для любой из них. В дальнейшем мы будем рассматривать как правило только квазигруппу .
Задача. Постройте абстрактную три-ткань, координатной квазигруппой которой будет квазигруппа, заданная следующей таблицей Кэли:
Таблица 9-Таблица Кэли
|
|
aa |
bb |
Cc |
dd |
|
aa |
bb |
aa |
Dd |
cc |
|
db |
cc |
db |
Aa |
dd |
|
cc |
aa |
dd |
Cc |
db |
|
dd |
dd |
cc |
Bb |
aa |
Сравнивая определение координатной квазигруппы абстрактной три-ткани с определением 9 функции геометрической три-ткани, мы видим, что они совпадают, если для геометрической три-ткани выполнены все аксиомы абстрактной ткани.
Пусть и – эквивалентные геометрические ткани, обладающие этим свойством. По теореме 12 функции и таких тканей также эквивалентны, т. е. существуют преобразования вида (3.14), при которых функция переходит в . Но, с другой стороны, преобразования 14 определяют изотопическое отображение координатной квазигруппы ткани на координатную квазигруппу ткани . Отсюда вытекает:
Эквивалентным три-тканям соответствуют изотопные квазигруппы.
С каждой трехбазисной квазигруппой связаны лупы , определенные на множестве , и главноизотопные квазигруппе . Если – координатная квазигруппа абстрактной три-ткани , то главные изотопы квазигруппы будем называть координатными лупами ткани .
Глава 2 Фигуры замыкания на абстрактных три-тканях
На абстрактных три-тканях так же, как и на геометрических, можно рассматривать различные фигуры замыкания – шестиугольные фигуры, фигуры Томсена и другие. Оказывается, что замыканию фигур определенного типа на ткани соответствует некоторое тождество, выполняемое в координатных лупах этой ткани – главных изотопах координатной квазигруппы .
Шестиугольные три-ткани – это три-ткани, на которых замыкаются все шестиугольные фигуры (фигуры ), составленные из точек и линий ткани. В этом случае говорят, что на ткани выполняется условие замыкания ( ). Рассмотрим фигуру , изображенную на рисунке 4.
|
С |
|
E |
|
G |
|
D |
|
F |
|
A |
|
В |
Рисунок 2 – Шестиугольная фигура
Т. к. точки D и E лежат на линии третьего семейства, то в координатной квазигруппе рассматриваемой шестиугольной ткани имеет место равенство (здесь, как и раньше, ). Из того, что точки лежат на одной линии третьего семейства, следуют равенства . Так как фигура замыкается, то точки и лежат на одной линии третьего семейства, что дает соотношение . Поэтому условие замыкания рассматриваемой фигуры можно записать следующим образом:
. (2.1)
Поскольку на шестиугольной ткани замыкаются все фигуры , то запись (2.1) представляет собой следующее утверждение: если элементы удовлетворяют равенствам и , то они удовлетворяют и равенству . Это утверждение называется условным тождеством. Итак, условию замыкания , выполняемому на три-ткани , соответствует условное тождество (2.1), выполняемое в координатной квазигруппе этой ткани.
Три-тканями (Томсена) называются три-ткани, на которых замыкаются все фигуры (рисунок 3), т. е. выполняется условие замыкания :
. (2.2)
Рисунок 3 – Фигура Томсена
Три-тканями (Рейдемейстера) называются ткани, на которых замыкаются все фигуры Рейдемейстера (рисунок 4):
. (2.3)
Рисунок 4 – Фигура Рейдемейстера
Три-тканями (Боля ) называются три-ткани, на которых замыкаются все фигуры (левые фигуры Боля – рисунок 5):
. (2.4)
Рисунок 5 – Левая фигура Боля
Три-тканями (Боля) называются три-ткани, на которых замыкаются все фигуры (правые фигуры Боля – рисунок 6)
. (2.5)
Рисунок 6 – Правая фигура Боля
Три-ткани (Боля) называются три-ткани, на которых замыкаются все фигуры (средние фигуры Боля – рисунок 7)
. (2.6)
Рисунок 7 – Средняя фигура Боля
Найдем теперь тождества, которые выполняются в координатных лупах перечисленных тканей. При этом воспользуемся геометрическим изображением умножением в лупе .
Теорема 4. Координатные лупы три-ткани и только такой ткани называются группами.
Доказательство. Пусть – точка три-ткани , которая координатизированна с помощью квазигруппы ; – координатная лупа этой ткани, и – произвольные элементы в (т. е. линии третьего семейства ткани ). Построим в последовательно произведения . Построенные линии образуют фигуру Рейдемейстера. Замыканию этой фигуры соответствует условие ассоциативности
, (2.7)
в лупе . Но ассоциативная лупа есть группа. Теорема доказана.
Теорема 5. Рассмотрим три-ткань и на ней – произвольную фигуру Рейдемейстера , образованную линиями ткани. Докажем, что эта фигура замыкается, т. е. точки и лежат на одной линии третьего семейства. Построим точки . Так как мы рассматриваем ткань , то на ней замыкаются фигуры и . Поэтому точки и лежат на одной линии первого семейства, а точки и – на одной линии второго семейства. Рассмотрим теперь фигуру . Так как она должна замыкаться, то точки и лежат на одной линии третьего семейства, т. е. замыкается и фигура .
Теорема 6. Координатные лупы три-ткани и только такой ткани являются абелевыми группами.
Доказательство. Рассмотрим ткань , и пусть – ее координатная лупа. Построим в произведения и . Условие замыкания эквивалентно равенству
. (2.8)
Так как на ткани замыкаются все фигуры , то равенство (2.8) выполняется в лупе тождественно.
По теореме 5 на рассматриваемой ткани замыкаются и фигуры . Поэтому в силу теоремы 4 и равенства (2.8) лупа является абелевой группой. Теорема доказана.
Теорема 7. Координатные лупы три-тканей , и только таких тканей, являются левоальтернативными лупами.
Теорема 8. Координатные лупы три-тканей , и только таких тканей, являются правоальтернативными лупами.
Теорема 9. Координатные лупы шестиугольных тканей, и только таких тканей, моноассоциативны.
Теорема 10. В координатных лупах тканей , и только таких тканей, выполняется тождество
. (2.9)
Доказательство. Пусть в координатных лупах ткани выполняется тождество (2.9). Пользуясь рисунками 2, 3, 4 построим последовательно элементы . В результате получим фигуру , которая замыкается в силу условия (2.9). Теорема доказана.
Геометрически, условия замыкания и равноправны в следующем смысле.
Фигура Боля, изображенная на рисунке 5, может быть по-разному расположена относительно линии ткани – в зависимости от того, к какому из трех семейств линий, образующих ткань , принадлежит ось . Обозначения и для тканей Боля связаны с выбором координатной квазигруппы. Фигуры Боля, изображенные на рисунках 3, 4 и рисунке 5, будут, соответственно левой, правой и средней относительно квазигруппы , поэтому правильнее было бы обозначить их через и . На рисунке 6 изображена фигура – правая относительно квазигруппы , а на рисунке 7 – фигура , левая относительно квазигруппы . Сравнивая рисунки 6 и 7, на котором изображена фигура , находим следующую зависимость между условиями замыкания:
. (2.10)
Условия замыкания Боля не являются независимыми, а именно: из выполнения двух из них следует выполнение и третьего.
Глава 3 Геометрические три-ткани на плоскости
3.1 Определение три-ткани
Под термином «кривая» всюду в дальнейшем будем подразумевать гладкую кривую. Последняя может быть задана на плоскости уравнением:
, (3.1)
причем функция обладает непрерывными частными производными. Будем считать также, что в каждой точке кривой, заданной уравнением (3.1), выполняется хотя бы одно из неравенств:
. (3.2)
Условие (3.2) означает, что для каждой точки кривой существует окрестность, внутри которой эта кривая представляет собой график гладкой функции.
Рассмотрим линии уровня функции , определяемые уравнением:
, (3.3)
где параметр принимает значения из некоторого действительного интервала . Пусть точка принадлежит кривой, определяемой уравнением:
.
Тогда уравнение (3.3) в некоторой окрестности точки определяет правильное семейство кривых, то есть через каждую точку этой окрестности проходит одна кривая семейства (3.3).
Обозначим через некоторое открытое множество на плоскости и дадим следующее определение.
Определение 7. Пусть на множестве заданы три семейства кривых , такие, что для каждой точки из множества существует окрестность , в которой:
а) каждое из семейств является правильным;
б) никакие две линии из разных семейств не касаются и пересекаются не более чем в одной точке. Тогда говорят, что кривые семейств образуют на множестве три-ткань.
В дальнейшем вместо термина «множество » будем писать «область D», подразумевая под этим названием область определения три-ткани. Каждое из семейств может быть задано согласно (3.3) уравнением
. (3.4)
При этом в силу условия б) определения 7, в каждой точке области нормальные векторы:
,
к кривым семейств , проходящим через точку , не коллинеарны, т. е. выполняются неравенства
. (3.5)
С другой стороны, если в некоторой области плоскости заданы три семейства линий (3.4), причем функции удовлетворяют условиям (3.5), то по теореме о неявной функции система уравнений: , при локально однозначно разрешима относительно переменных и . Таким образом, выполнены условия а) и б) определения 1, т. е. уравнения (3.4) определяют в области три-ткань.
Три-ткань обозначается обычно через .
Пример 1. Пусть – три семейства параллельных прямых на плоскости:
причем постоянные и удовлетворяют условию:
при ; .
Семейства образуют в области три-ткань, которая называется параллельной и обозначается .
Пример 2. Рассмотрим на плоскости три пучка прямых, вершины которых не лежат на одной прямой. Тогда в области , состоящей из семи связных областей, эти пучки образуют три-ткань. Пусть – уравнение прямой , , . Тогда уравнения пучков можно записать в виде: , , , где - параметры пучков.
Пример 3. Пусть – круг радиуса с центром в начале координат. Через каждую точку , лежащую вне круга , проходят три прямые и две касательные к окружности . Поэтому в области возникает три-ткань: первое семейство линий ткани – пучок прямых с вершиной в начале координат, а два других образованы касательными к окружности . Уравнения этих семейств можно записать следующим образом:
, .
Много интересных три-тканей образованы пучками окружностей.
Обозначим через и окружности, определяемые уравнениями:
, где .
Пучком окружностей называется однопараметрическое семейство окружностей, определяемое уравнением:
.
Действительное число называется параметром пучка, окружности и называются базисными окружностями пучка.
Если окружности и пересекаются в точках и (они называются вершинами пучка), то через эти точки проходят все окружности пучка.
Если базисные окружности и пучка касаются в точке , то и все окружности пучка касаются друг друга в этой точке. Такой пучок называется параболическим, а точка называется его вершиной.
Пусть и – две окружности нулевого радиуса, т.е. точки:
; .
Пучок, определяемый такими окружностями, называется гиперболическим, а точки и – его вершинами. Никакие две окружности из гиперболического пучка не пересекаются – иначе он не мог бы содержать точки и .
Эллиптический и гиперболический пучки окружностей с общими вершинами называются сопряженными. Произвольная окружность эллиптического пучка ортогональна любой из окружностей сопряженного гиперболического пучка.
3.2 Эквивалентные три-ткани
Всякое отображение , где и – области на плоскости, может быть задано уравнениями
, , (3.6)
где
, , .
Допустимое отображение должно обладать, по крайней мере, следующими двумя свойствами.
Во-первых, так как линиями ткани являются гладкие кривые, отображение должно быть гладким (т. е. функции и должны быть непрерывно дифференцируемыми).
Во-вторых, из определения три-ткани следует, что отображение должно быть биективным, т. е. для каждой точки области должна существовать окрестность , такая, что ограничение будет биекцией окрестности на ее образ .
Объединяя эти два условия, мы получим, что отображение должно быть локальным диффеоморфизмом. Гладкое отображение является локальным диффеоморфизмом тогда и только тогда, когда в каждой точке области якобиан отображения отличен от нуля, т. е.
. (3.7)
Определение 8. Три-ткань , определенная в области , и три-ткань , определенная в области , называются эквивалентными, если существует локальный диффеоморфизм: , который отображает линии ткани в линии ткани .
Более подробно: если , то у точки существует такая окрестность , что отображения , переводят линии ткани в линии ткани .
Локальный диффеоморфизм не является, вообще говоря, диффеоморфизмом «в целом», так как условие (7) не гарантирует взаимной однозначности отображения на всей области . Но локальный диффеоморфизм сохраняет свойства ткани «в малом».
Теорема 11. Всякая три-ткань (локально) эквивалентна три-ткани, два семейства линий которой образованы координатными прямыми , .
Доказательство. Пусть три-ткань задана уравнениями:
, (3.4)
для которых имеют место условия
. (3.5)
Рассмотрим преобразование
, . (3.8)
В силу условия (3.5) это преобразование является локальным диффеоморфизмом и поэтому определяет в области изменения переменных три-ткань , эквивалентную ткани .
При этом согласно (3.4) линии семейств, образующих ткань , определяются уравнениями:
(3.9)
где функция получается из в результате замены переменных по формулам (8).
Замечание 1. Можно считать, что формулы (3.6) определяют преобразование координат в некоторой окрестности области . Тогда уравнения (3.8) имеют следующий смысл: они определяют в окрестности переход к новым криволинейным координатам , причем координатными линиями будут линии первых двух семейств ткани .
Замечание 2. Два правильных семейства линий, заданных в области и удовлетворяющих условиям а) и б) определения 7, образуют два-ткань или сеть. Из теоремы следует, что всякая сеть локально эквивалентна (в смысле определения 8) декартовой сети , , свойства которой тривиальны.
3.3 Функция ткани
Пусть три-ткань задана уравнениями:
. (3.4)
Исключив из этих уравнений переменные и , получим уравнение
, (3.10)
которое связывает параметры линий ткани, проходящих через точку .
Определение 9. Уравнение:
, (3.10)
называется уравнением три-ткани , а функция – функцией ткани .
В частности, если линии три-ткани и заданы уравнениями (3.9), то уравнение ткани записывается так: , но так как линии первых двух семейств ткани – координатные линии, то это уравнение привычнее записывать в виде:
. (3.11)
При этом условия (3.5) принимают вид:
, . (3.12)
Функция три-ткани определяется не однозначно, т. е. ткани соответствует много функций ткани. Во-первых, уравнение (3.10) эквивалентно уравнениям:
а) , где в области ;
б) где .
При преобразовании а) функция ткани принимает вид: ,
при преобразовании б) – .
Во-вторых, мы можем по-другому параметризовать семейства линий , образующих три-ткань . Замена параметров определяется уравнениями:
, (3.13)
где – диффеоморфизмы. При этом функция три-ткани изменится следующим образом:
.
Итак, функция ткани допускает три вида преобразований:
а)
где в области
б)
где
в)
где (3.14)
Определение 10. Преобразования (3.14) называются допустимыми преобразованиями функции три-ткани. Функции, получающиеся одна из другой с помощью преобразований (3.14), называются эквивалентными.
Теорема 12. Пусть и – функции тканей и соответственно. Тогда .
Доказательство. Пусть ~ , причем три-ткань задана уравнениями (3.4). Согласно определению (3.2), уравнения линий три-ткани получаются из уравнений (3.4) заменой переменных по формулам:
, , (3.6')
которые мы получили из (3.6), разрешив их относительно и . Поэтому линии три-ткани определяются уравнениями:
. (3.4')
Уравнение три-ткани (т. е. ) мы получим, исключая из уравнений (3.4) переменные и , а уравнение три-ткани – исключая из (3.4') переменные и . Но последнее преобразование можно провести в два этапа: сначала из уравнений (3.4') исключить и с помощью уравнений (3.6'), тогда получим уравнения (3.4), а затем из (3.4) исключить переменные и . Поэтому ~ .
Обратно, пусть теперь ~ . Вместо тканей и рассмотрим им эквивалентные ткани ~ и ~ , у которых первые два семейства линий параллельны осям координат. Пусть и – функции тканей и . Из первой части теоремы следует, что ~ , ~ , поэтому ~ . Используя преобразования (3.14), добьемся того, чтобы = . Но тогда линии третьего три-тканей и определяются одним и тем же уравнением: . Поэтому три-ткань переходит в три-ткань , если положить , . Эти уравнения определяют допустимое преобразование для тканей, поэтому ~ , а значит и ~ .
Отношение эквивалентности три-ткани имеет следующий геометрический смысл: допустимые преобразования тканей сохраняют линии ткани и их точки пересечения. Поэтому эти преобразования сохраняют фигуры, образованные линиями ткани и их точками пересечения.
Задача 1. Найдем функцию параллельной ткани . Так как , то согласно (3.9) можно положить , .
Это преобразование является допустимым и переводит данную три-ткань в ей эквивалентную , семейства линий которой определяются уравнениями: , , где . Исключая из этих уравнений и , найдем функцию ткани .
После допустимой замены , , .
Уравнение три-ткани примет вид:
. (3.15)
Таким образом, уравнение три-ткани всегда может быть приведено к виду (3.15).
Задача 2. Найдем функцию ткани 1,2 в [3]. Чтобы исключить из уравнений семейств переменные и , перемножим эти уравнения. В результате получим: .
Логарифмируя эти соотношения и полагая , придем к уравнению , которое в точности совпадает с уравнением (3.15). Поэтому по теореме 12 рассматриваемая три-ткань эквивалентна параллельной ткани .
Определение 11. Три-ткани, эквивалентные ткани , называются параллелезуемыми.
Таким образом, ткань, образованная тремя пучками прямых, является параллелезуемой.
Задача. Пусть , , - три точки плоскости, лежащие на окружности . Эллиптические пучки , , образуют три-ткань в области . Докажем, что эта ткань является параллелезуемой. Пусть - произвольная точка внутри круга и , , - проходящие через окружности пучков , , соответственно. Параметризуем пучки следующим образом: параметром окружности в пучке будем считать , параметром окружности в пучке – , параметром окружности в пучке – . Углы , , связаны очевидным соотношением .
Это и будет уравнение рассматриваемой три-ткани. Полагая теперь
, , ,
придем к уравнению .
Следовательно, рассматриваемая ткань эквивалентна ткани , т. е. является параллелезуемой.
Определение 12. Три-ткань, образованная тремя семействами прямых линий, называется прямолинейной тканью. Всякая три-ткань, эквивалентная прямолинейной, называется спрямляемой.
3.4 Шестиугольные ткани
Пусть – произвольная точка области , в которой задана три-ткань ; , , – линии ткани , проходящие через , и – достаточно близкая к точка линии . Проведем через точку линии двух других семейств и обозначим через и точки их пересечения с линиями и . Далее проведем через и линии первого семейства, получим на и точки и . Затем через проведем линию второго семейства, а через линию третьего семейства, которые пересекут в точках и . Если три-ткань – произвольна, то точки и , вообще говоря, не совпадут. Если же они совпадут, то говорят, что замыкается шестиугольная фигура , образованная линиями три-ткани.
Определение 13. Три-ткань называется шестиугольной, если на ней замыкаются все достаточно малые шестиугольные фигуры, образованные линиями ткани. В этом случае будем говорить, что на три-ткани выполняется условие замыкания .
Параллельная три-ткань является шестиугольной. Отсюда вытекает, что всякая параллелезуемая три-ткань является шестиугольной. В самом деле, поскольку локальный диффеоморфизм , который переводит параллельную три-ткань в параллелезуемую, является биекцией, то он переводит замкнутые шестиугольники в замкнутые.
Теорема 13. Всякая шестиугольная три-ткань на плоскости является параллелезуемой.
Доказательство. Рассмотрим треугольник , образованный линиями ткани, и впишем в него ломаную , также составленную из линий ткани. Если точку двигать по линии ткани в сторону точки , то точка будет двигаться в направлении точки . В силу непрерывности функций, определяющих ткань, наступит момент, когда точки и совпадут. Таким образом, существует , образованный линиями ткани, вписанный в треугольник .
Пусть теперь – шестиугольная три-ткань и – произвольная шестиугольная фигура, образованная линиями этой ткани. Припишем линиям , , первого семейства значения параметра , линиям , , второго семейства – значения параметра соответственно. Договоримся каждой точке приписывать координаты , если лежит на пересечении линии первого семейства с параметром и линии второго семейства с параметром . Тогда точки , , , , , , , , получат целочисленные координаты, причем точки, лежащие на фиксированной линии третьего семейства, имеют одну и ту же сумму координат. Точки с целочисленными координатами мы сможем получить всюду в области определения ткани. Например, точка пересечения линий и имеет координаты . Если через нее провести линию третьего семейства, то пересечение последней с линиями , , , первых двух семейств и другими даст новые точки с целочисленными координатами. Ввиду шестиугольности ткани все точки с целочисленными координатами, для которых , будут лежать на одной и той же линии третьего семейства.
Впишем теперь в треугольник треугольник . Продолжив линии и , получим на и точки и . В силу шестиугольности ткани фигура замыкается, т. е. точки и лежат на одной линии третьего семейства. Продолжая теперь стороны шестиугольника и пользуясь снова шестиугольностью рассматриваемой ткани , мы впишем новые треугольники во все уже имеющиеся.
Припишем теперь линиям и параметр , тогда точки и будут иметь следующие координаты:
, .
Эти координаты удовлетворяют уравнению .
Точно также доказывается, что все новые точки имеют координаты вида
, где и – целые числа, и для каждой из вновь проведенных линий третьего семейства сумма координат любой лежащей на ней точки есть величина постоянная: .
Далее вписываем в еще один треугольник и с его помощью производим разбиение уже имеющихся треугольников на более мелкие. Последовательно получаем точки с координатами
, и т. д. …
и всегда для линий третьего семейства будет иметь место соотношение . Так как ткань непрерывна и точки образуют на плоскости всюду плотное множество, то уравнению ,
будет удовлетворять каждая линия третьего семейства ткани. Итак, для рассматриваемой три-ткани линии первого семейства определяются уравнением , второго – , третьего – . Сравнивая это уравнение с уравнением (15), получаем, что ткань параллелезуема.
Определение 14. Фигура из линий ткани, изображенная на рисунке 1, называется фигурой Томсена. Три-ткань , на которой замыкаются все достаточно малые фигуры Томсена, называется тканью Томсена. В этом случае говорят, что на ткани выполняется условие замыкания .
Рисунок 8 – Фигура Томсена
Теорема 14. Три-ткань на плоскости тогда и только тогда является тканью Томсена, когда она является шестиугольной.
Доказательство. Шестиугольная фигура является частным случаем фигуры Томсена, поэтому, если на ткани замыкаются все фигуры Томсена, то замыкаются и все шестиугольные фигуры. Обратно, пусть ткань является шестиугольной. Тогда по теореме 13 эта ткань эквивалентна параллельной три-ткани . На ткани фигуры Томсена замыкаются. Так как допустимые преобразования сохраняют свойства фигур, образованных линиями ткани, то три-ткань , эквивалентная ткани , также будет тканью .
3.5 Прямолинейные три-ткани
Прямолинейные три-ткани, определенные в п. 3 в [3], тесно связаны с номографией – разделом математики, в котором изучаются способы графического изображения функции с помощью так называемых номограмм. Построим простейшую номограмму. Проведем на плоскости достаточно много линий уровня функции , определяемых уравнением
, т. е. снабженных числовыми отметками. Получим номограмму, изображенную на рисунке 9. Эта номограмма называется «декартов абак». Она дает возможность по известным значениям двух из трех переменных , , найти с определенной степенью точности значение третьего переменного.
|
x |
|
0 |
|
z=c |
|
Y |
|
b |
|
X |
Рисунок 9 – «Декартов абак»
Функция определяет целый класс эквивалентных три-тканей, поэтому для нее можно построить сколько угодно различных номограмм.
Теорема 15. (Графа-Зауэра) Прямолинейная три-ткань является шестиугольной тогда и только тогда, когда она образована прямыми, принадлежащими кривой третьего класса.
Определение. Тангенциальными координатами прямой называются числа , , . Семейство прямых, тангенциальные координаты которых связаны однородным уравнением степени , проходит прямых (не обязательно действительных), принадлежащих этой кривой.
Пусть – кривая третьего класса и – некоторая точка плоскости, через которую проходят три действительные прямые, принадлежащие кривой . Тогда в подходящей окрестности точки определена прямолинейная три-ткань, образованная прямыми этой кривой.
Теорема 16 (Шаля). Если кривая третьего класса содержит восемь из девяти прямых, образующих фигуру Томсена, то она содержит и девятую прямую. При этом существует однопараметрическое семейство таких кривых .
Доказательство. Уравнение произвольной кривой третьего класса имеет вид:
(3.16)
где переменные – тангенциальные координаты текущей прямой кривой . В этом однородном уравнении третьей степени общего вида десять однородных (или девять неоднородных) коэффициентов. Поэтому можно сказать, что множество всех кривых третьего класса зависит от девяти параметров.
Пусть , – девять каких-либо прямых на плоскости. Требуя, чтобы прямые принадлежали кривой , определяемой уравнением (3.16), мы получим девять линейных соотношений на коэффициенты . Если эти соотношения независимы, то из них величины определяются с точностью до общего множителя. Таким образом, существует единственная кривая третьего класса, содержащая девять заданных прямых общего положения.
Если потребовать, чтобы кривой принадлежали восемь прямых общего положения, то мы получим на коэффициенты восемь соотношений (вообще говоря, независимых). Поэтому существует (пучок) кривых третьего класса, каждая из которых содержит восемь заданных прямых
Рассмотрим теперь девять прямых, образующих фигуру Томсена . Обозначим вершины этой фигуры через , , и докажем, что уравнение кривой , содержащей девять прямых фигуры , можно записать в виде:
(3.17)
Уравнение (3.17) обращается в тождество, если положить, например,
, .
Но эти равенства означают, что прямая, определяемая уравнением
, проходит через точки и . Ввиду этого уравнению (3.17) удовлетворяют все девять прямых фигуры . Но пучок кривых третьего класса задается восемью независимыми соотношениями на коэффициенты
. Докажем, что эти восемь соотношений можно получить, требуя принадлежности кривой , определенной уравнением (3.16), каких либо восьми из девяти прямых, образующих фигуру Томсена.
Предположим противное: пусть среди условий принадлежности кривой восьми прямых фигуры , не более семи независимых. Тогда существует двухпараметрическое семейство кривых третьего класса, содержащих указанные восемь прямых. Потребуем теперь, чтобы кривые этого семейства содержали еще и некоторую прямую , проходящую, например, через точку . Таких кривых будет однопараметрическое семейство, которое обозначим через .
С другой стороны, поскольку через точку проходят четыре прямые, принадлежащие кривым из , то последние распадаются на пучок прямых с вершиной (обозначим его ), и кривую второго класса , содержащую те пять из девяти прямых, которые не проходят через . При этом кривая определяется однозначно, а значит, семейство состоит из единственной кривой , , а не представляет собой пучок (т. е. кривых), как было показано выше. Полученное противоречие доказывает теорему.
Так как шестиугольная фигура является частным случаем фигуры Томсена, то теорема Шаля верна и для шестиугольных фигур.
Заключение
В ходе изучения геометрических три-тканей на плоскости в данной работе был освоен математический аппарат теории абстрактных три-тканей, исследованы и систематизированы геометрические и алгебраические свойства три-тканей. Рассмотрены фигуры замыкания на абстрактных три-тканях и соответствующие им тождества в координатных квазигруппах и лупах ткани. Решены конкретные задачи геометрической теории три-тканей на плоскости. Выявлены взаимосвязи геометрических и алгебраических свойств три-ткани на плоскости.
Список использованных источников
- Акивис, М.А. Многомерные ткани Боля. / М.А. Акивис, С.А. Герасименко // Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР: Проблемы геометрии. – 1986. – Вып. 18. – С. 73-104.
- Акивис, М.А. О многомерных три-тканях, образованных поверхностями разных размерностей. / М.А. Акивис, В.В. Гольдберг // Тр. Геометр. сем. ВИНИТИ АН СССР. –1973. – Вып. 4. – С. 179-204.
- Акивис, М.А. Введение в теорию три-тканей : учеб. пособие / Акивис, М.А., Шелехов, А.М. – Калинин: КГУ. – 1985. – 84 с.
- Акивис, М.А. Локальные аналитические квазигруппы и лупы. / Акивис М.А., Шелехов А.М. Калинин: КГУ. – 1980 – 112 с.
- Акивис, М.А. Многомерные три-ткани и их приложения: Монография. / Акивис М.А., Шелехов А.М. – Тверь: Твер. гос. ун-т – 2010. – 308 с.
- Акивис, М.А. О три-тканях многомерных поверхностей / Акивис М.А. // Тр. Геометр. сем. ВИНИТИ АН СССР. – 1969. – Вып. 2. – С. 7-31.
- Белоусов, В.Д. Основы теории квазигрупп и луп / В.Д. Белоусов. – М.: Наука. – 1967 – 223 с.
- Белоусов, В.Д. Геометрия тканей. Алгебра. Геометрия. Топология. / Белоусов В.Д., Рыжков В.В. // Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР. – – Вып. 10 – С. 159-188.
- Бляшке, В. Введение в геометрию тканей / В. Бляшке. – М.: Физматгиз, 1959. – 144 с.
- Бляшке (Blaschke, W.): Thomsens Sechseckgewebe / W. Blaschke // Zueinander diagonal Netze. Math. – 1928. – z. 28. – С. 150-157.
- Бол (Bol, G): Über zwei Kurvenscharen and eine Flächenschar / G. Bol. – Hamburg: Abh. Math. Sem. Univ. – 1932. –327 p.
- Герасименко, С.А. О некоторых фигурах замыкания на многообразиях с симметрией/ С.А. Герасименко// Ткани и квазигруппы. – Калинин, 1982, с. 7-11.
- Дуюнова, А.А. Три-ткани, определяемые обыкновенными дифференцальными уравнениями/ А.А. Дуюнова // Фундаментальная и прикладная математика, т. 16. – Москва: МГУ, 2010. – с. 13-31.
- Мальцев, А.И. Аналитические лупы. / А.И. Мальцев// Мат. сб. – 1955. – Вып. 3. – С. 569-575.
- Томсен (Tomsen, G.). Un teoreme topologico sulle schiere di curve e una caratterizzazione geometrica delle superficie isotermo-asintotiche. / G. Tomsen // Boll. Un. Mat. Ital. Bologna. – 1927. – 6. – P. 80-85.
- Черн (Chern, S.S.). Eine Invariantentheory der Dreigewebe aus r-diminsionalen Mannigfaltigkeiten in . / S.S. Chern. – Hamburg: Abh. Math. Sem. Univ. – 1936. – 418 p.
Скачать: