ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО
ТРАНСПОРТА
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)
Кафедра «Экономика, организация производства и менеджмент»
По дисциплине «Управление качеством»
На тему: «Анализ надежности и точности технологического процесса механической обработки статистическим методом».
Выполнил ст. гр.
Принял преподаватель
Канивец Р.Ф.
Москва 2014
АНАЛИЗ НАДЕЖНОСТИ И ТОЧНОСТИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА МЕХАНИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ СТАТИСТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ.
Цель работы: овладение практическими навыками анализа точности технологических процессов механической обработки деталей в условиях крупносерийного производства с использованием методов математической статистики.
Задачи работы:
-определение статистических характеристик точности технологического процесса;
- определение количества вероятного брака;
- Статистический анализ точности технологического процесса механической обработки.
При обработке деталей на станках их размеры колеблются в определенных пределах, отличаясь друг от друга и от контролируемого размера на величину случайной погрешности. В результате этого образуется рассеяние размеров деталей, обработанных при одинаковых условиях. Для изучения и анализа закономерностей распределения размеров деталей при их рассеянии применяют методы математической статистики, в основе которых лежит использование выборочной совокупности или выборки.
Выборочной совокупностью называется часть деталей, которые отбираются из генеральной совокупности (общей партии) для получения достоверных сведений о всей генеральной совокупности. Генеральной называется совокупность всех возможных деталей, изготовляемых на данной операции и объединенных каким-либо признаком, который отражает интересующий технолога контролируемый параметр.
Причем, выборка должна быть представительной (репрезентативной), чтобы результаты выборки можно было использовать для анализа точности технологических процессов в условиях массового производства.
Число деталей n в выборке составляет ее объем. Большой выборочной совокупностью считается выборка при n>30, а малой n<30. От объема выборки зависит точность результата. Обычно в производственных условиях объем больших выборок, которые используются для анализа технологических процессов, составляет 50-200 штук деталей.
1.2. Построение эмпирической кривой распределения.
В табл.1 приведены результаты измерений наружного диаметра партии (выборки) деталей после токарной обработки, значения которого носят случайный характер Di. При этом, детали считаются пригодными, если их размеры укладываются в интервал 100÷100,5 мм.
Вариант 7.
|
№п/п |
D,мм |
№п/п |
D,мм |
№п/п |
D,мм |
№п/п |
D,мм |
№п/п |
D,мм |
|
1 |
100,30 |
11 |
100,22 |
21 |
100,22 |
31 |
100,19 |
41 |
100,18 |
|
2 |
100,25 |
12 |
100,13 |
22 |
100,31 |
32 |
100,12 |
42 |
100,25 |
|
3 |
100,24 |
13 |
100,18 |
23 |
100,31 |
33 |
100,10 |
43 |
100,22 |
|
4 |
100,33 |
14 |
100,28 |
24 |
100, 09 |
34 |
100,29 |
44 |
100,25 |
|
5 |
100,32 |
15 |
100,14 |
25 |
100,21 |
35 |
100,16 |
45 |
100,27 |
|
6 |
100,17 |
16 |
100,12 |
26 |
100,23 |
36 |
100,17 |
46 |
100,25 |
|
7 |
100,14 |
17 |
100,25 |
27 |
100,15 |
37 |
100,00 |
47 |
100,09 |
|
8 |
100,21 |
18 |
100,18 |
28 |
100,05 |
38 |
100,27 |
48 |
100,23 |
|
9 |
100,20 |
19 |
100,19 |
29 |
100,24 |
39 |
100,23 |
49 |
100,16 |
|
10 |
100,22 |
20 |
100,15 |
30 |
100,26 |
40 |
100,40 |
50 |
100,20 |
Расположив полученные действительные размеры Di в порядке возрастания их значений, получим ранжированный ряд случайных дискретных величин. Разность между наибольшим и наименьшим значением этого ряда определяет величину эмпирического поля рассеивания действительных размеров или размах значений выборки R, т.е.:
=100,4-100=0,4 (1)
Для сокращения времени расчетов поле рассеивания результатов измерений можно разбить на k интервалов, количество которых определяется по формуле Хайнкольда:
(2)
Ширина интервала можно определить по формуле:
(3)
При этом границы одинаковых интервалов выбирают так, чтобы значение Dmin попало в первый интервал, а Dmax – в последний.
Число деталей, попавшее в каждый интервал, называется частотой mj . При определении значений частот придерживаются следующего правила: все значения размеров, попавшие на границы интервалов, должны учитываться в последующем интервале. Иногда при анализе значений выборки используют относительную величину частоты, т.е. частость, равную
В табл. 2. (столбцы 1-5) представлено эмпирическое распределение размеров деталей по данным табл.1.
Характер распределения значений случайной величины, которой является действительный размер обрабатываемой детали, более наглядно демонстрируется графически гистограммой или эмпирической кривой распределения. Для построения гистограммы, используя данные табл.2., по оси абсцисс в масштабе откладывается значения размеров интервалов, а по оси ординат – соответствующие им частоты или частости . В результате построения получается ступенчатая линия. Если последовательно соединить между собой точки, соответствующие ординатам середин каждого интервала, то образующаяся ломанная линия представляет собой эмпирической кривой распределения (рис.1.).
Таблица 2.
Распределение размеров деталей
|
№ интервала |
Интервал действительных размеров, Di, мм |
Частота, mj, шт. |
Значения середин интервалов, Хj, мм |
Частость, |
Отклонения от моды, Uj =xj -Dр |
|
||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
|
1 |
100,00-100,057 |
2 |
100,0285 |
0,04 |
-0,171 |
0,02924 |
0,05848 |
-0,342 |
-0,00684 |
|
|
2 |
100,057-100,114 |
3 |
100,0855 |
0,06 |
-0,114 |
0,01299 |
0,03897 |
-0,342 |
-0,00684 |
|
|
3 |
100,114-100,171 |
11 |
100,1425 |
0,22 |
-0,057 |
0,00325 |
0,03575 |
-0,627 |
-0,01254 |
|
|
4 |
100,171-100,228 |
13 |
100,1995 |
0,26 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
5 |
100,228-100,285 |
14 |
100,2565 |
0,28 |
0,057 |
0,00325 |
0,0455 |
0,798 |
0,01596 |
|
|
6 |
100,285-100,342 |
6 |
100,3135 |
0,12 |
0,114 |
0,01299 |
0,07794 |
0,0684 |
0,01368 |
|
|
7 |
100,342-100,399 |
1 |
100,3705 |
0,02 |
0,171 |
0,02924 |
0,02924 |
0,171 |
0,00342 |
|
|
ИТОГО |
|
|
|
|
|
0,28588 |
|
0,00684 |
|
|
Модальным интервалом является интервал №5, а его середина Мo =100,2565 –модальным значением.
1.3. Определение статистических характеристик технологического процесса.
По истинным величинам размеров деталей рассчитывают статистические характеристики, которые можно разделить на меры положения и меры рассеивания.
Меры положения позволяют оценить среднее значения случайной величины вдоль оси абсцисс. С их помощью выявляют наиболее вероятные значения размеров. К мерам положения относят: среднее арифметическое значение Dср, медиану и моду Мо. Среднее арифметическое значение Dср определяется по формуле:
, (4)
где Хj - значение середин интервалов;
mj – частота каждого j-того интервала;
n – объем выборки.
Величина Dср называется средневзвешенной, т.е. характеризующей центр тяжести площади под кривой распределения.
Медианой называют срединное значение в ранжированном ряде измеренных значений размеров деталей, упорядоченных по их возрастанию или убыванию. Медиана предпочтительна для анализа малых выборок.
Модой эмпирического распределения называют значения размера детали, соответствующего наибольшей ординате эмпирической кривой распределения. Из данных, приведенных в табл.2 и рис.1 следует, что величина моды Мо=100,2565. Эта величина равна значению середины интервала, характеризующего наибольшей частотой, то есть:
Мо= Х(5)=100,2565; mj=m(5)=14.
Меры рассеивания характеризуют разброс или поле рассеивания размеров деталей. С их помощью оценивают точность работы оборудования, рассчитывают технологически возможный допуск на данной операции и т.д. К мерам рассеивания относят: эмпирическое среднее квадратичное отклонение S и размах R.
Эмпирическое среднее квадратичное отклонение характеризует рассеяние значений случайных величин в выборке относительно эмпирического центра группирования (Dср) и при n> 25 определяется по формуле:
(5)
При n<25 сумма под корнем делится на n-1.
Вычисление статистических характеристик Dср и S несколько упростится, если отсчет значений Xj вести от выбранного начала отсчета, значение которого на практике обычно принимают равной значению моды М0 . Тогда линейная зависимость:
Хj=М0+UJ
позволяет расчетные формулы (4) и (5) получить в виде:
Dср=М0 +Uср (6)
где Uср= ; (7)
А формула для расчета эмпирического средне квадратичного отклонения принимает вид: (8)
Данные для расчета Dср и S по формулам (6) и (8) удобно представить в табличной форме (табл. 2, столбцы 3,6,7,8,9). Для данного примера:
Uср=-0,171*0,04+(-0,114)*0,06+ (-0,057)*0,22+ 0,057*0,28+0,114*0,12+0,171*0,02=0,00684;
Тогда:
Dср=100,2565+0,00684=100,26334;
=0,0753
1.4. Определение теоретического закона распределения случайных величин.
При увеличении объема выборки и количества интервалов разбиения ломаная линия эмпирической кривой распределения становится более плавной, т.е. при n®¥ кривая приближается к теоретической кривой распределения. Уравнение, описывающее кривую теоретического распределения, называется законом распределения.
Для эффективного анализа точности технологического процесса необходимо установить теоретический закон распределения данных выборочной совокупности. Затем, производя замену выборочного распределения теоретическим законом, свойства которого можно перенести на распределение выборки, облегчить работу технолога по анализу причин, формирующих качество контролируемых показателей.
Экспериментально установлено, что около 60% всех выходных технологических параметров обработки подчиняются закону нормального распределения, т.е. закону Гаусса. Этому же закону подчиняется и рассеяние размеров деталей, анализу которого посвящена данная самостоятельная работа.
Уравнение кривой нормального распределения имеет вид:
,
Где У –плотность вероятности;
М0 и s - параметры закона распределения;
Хi – аргумент функции плотности вероятности, который представляет собой время безотказной работы;
е –основание натурального логарифма.
Кривая плотности вероятности нормального распределения (рис.1) симметрична относительно максимальной ординаты. Параметр представляет собой абсциссу, соответствующую оси симметрии кривой нормального распределения и называется математическим ожиданием. Этот параметр является теоретическим аналогом среднего арифметического значения Dср. Параметр s называется теоретическим средним квадратичного отклонением и является теоретическим аналогом эмпирического (выборочного) среднего квадратичного отклонения S .
Положение и форма кривой зависят от величины и s. При изменении форма кривой остается прежней, смещаясь при этом по оси абсцисс. Величина s оказывает влияние на форму кривой распределения. Так, например, при уменьшении величины среднего квадратичного отклонения кривая «сжимается» по оси абсцисс и «вытягивается» вдоль оси ординат.
На теоретической кривой нормального распределения выделяют 5 характерных точек. Максимальную ординату кривой, соответствующую (точка 3, рис.1) определяют по формуле:
(10)
На расстоянии ±s от вершины кривая имеет две точки перегиба (точки 2 и 4, рис. 1) ординаты которой равны:
(11)
Кривая асимптотически приближается к оси абсцисс. На расстоянии ±3s от положения вершины кривой ее ветви так близко подходят к оси абсцисс, что в этих пределах оказывается 99,73% всей площади, т.е. практически 100% . Возникающая при этом погрешность 0,27% существенного значения для инженерных расчетов не имеет. Поэтому можно принять, что У1,5=0.
Величина w=6s является фактическим полем рассеяния размеров деталей. Следует различать эмпирическое и фактическое поле рассеяния. Эмпирическое – определяется размахом R. Величина фактического поля рассеяния определяется для генеральной совокупности в предположении, что n®¥ . Исходя из этого всегда w>R, причем разница w-R уменьшается с увеличением объема выборки.
Теоретический закон распределения оценивает генеральную совокупность. Если из этой совокупности берется представительная выборка, то на основании теории больших чисел можно считать, что распределение размеров деталей в выборке будет отражать характер распределения всей генеральной совокупности, тогда при статистических расчетах с некоторыми допущениями можно принять:
»Dср ; а s»S.
Погрешность соответствия s и S зависит от числа элементов выборки n и учитывается поправочным коэффициентом Р, приведенным в табл.3.
Таблица 3.
Значения поправочного коэффициента Р в зависимости от объема выборки n
|
Значения коэф-та Р |
Объем выборки n |
|||||||||||
|
20 |
25 |
30 |
40 |
50 |
60 |
80 |
100 |
200 |
300 |
400 |
500 |
|
|
1,46 |
1,4 |
1,37 |
1,31 |
1,28 |
1,25 |
1,22 |
1,20 |
1,16 |
1,14 |
1,12 |
1,10 |
|
Тогда: s=р*S=1,28*0,075=0,096 (12)
На практике фактическое поле рассеяния определяется с учетом погрешности по формуле:
=0,96*6=0,576 (13)
Определение w является важнейшей задачей анализа технологических процессов, поскольку только фактическое поле рассеяния размера деталей объективно отражает точность контролируемого параметра в реальных производственных условиях. Для построения теоретической кривой распределения для рассматриваемого примера необходимо значения ординат характерных точек выразить в единицах частоты, т.е.:
(14)
(15)
Абсциссы соответствующих точек равны:
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
Полученные точки соединяют плавной кривой (рис. 1, кривая 3.).
1.5. Определение надежности обработки деталей без брака.
Надежность обеспечения требуемой точности технологической операции характеризуется коэффициентом запаса точности y, который определяется по формуле:
, (21)
где Т- величина поля допуска,
ω- фактическое поле рассеяния.
При y<1 брак деталей является весьма вероятным. Когда y>1 – обработка деталей при соответствующей настройке станка может быть осуществлена без брака. Если y>1,2 процесс обработки считается надежным.
Для рассматриваемого примера коэффициент запаса точности технологического процесса равен:
(22)
т.е. брак деталей возможен.
При рассеянии размеров, подчиняющемся закону нормального распределения, обработка деталей без брака может быть осуществлена при условии 6s<T. (при настройке станка, обеспечивающей совмещение вершины кривой распределения с серединой поля допуска). Если станок настроен так, что середина поля рассеяния размеров Dср партии обработанных деталей не совпадает с серединой поля допуска Dдоп(ср) , то условие обработки без брака можно представить в следующем виде:
, (22)
где ΔН –погрешность (смещение) настройки станка, равная:
(23)
Причем, при расчете по формуле 23 величину ΔН принимают положительной при смещении вершины кривой распределения вправо от середины поля допуска и отрицательной в противном случае.
Если при значениях коэффициента запаса точности y >1,2 условие 22 не выполняется, требуется вмешательство наладчика.
1.6. Расчет количества вероятного брака.
Для расчета вероятного количества годных деталей при нормальном законе распределения используется функция Лапласа:
(24).
Значения этой функции табулированы в зависимости от параметра t и приведены в приложении 1. Величина t представляет собой нормированный параметр распределения и называется коэффициентом риска, величина которых определяется по формулам:
(25)
Здесь ХА и ХВ – часть поля допуска от Dср до соответствующей границы поля допуска.
В случае симметричного расположения поля рассеяния относительно поля допуска имеет место:
ХА = ХВ=Х0=0,5Т, (26)
А при наличии погрешности (смещении) настройки станка:
ХА =0,5Т+ΔН; (27)
ХВ =0,5Т-ΔН; (28)
В зависимости от коэффициента риска tА и tВ по таблицам (приложение 1.) определяют значения функции Лапласа Ф(tА) и Ф(tВ) в долях единиц или в процентах. Общее количество вероятного брака в процентах рассчитывают по формуле:
(29)
Количество деталей в процентах, вышедших за пределы поля допуска влево и вправо по оси абсцисс, могут быть определены по площади, занимаемым соответственно зонами А1 и В1.
(30)
(31)
В нашем случае погрешность (смещение) настройки станка вычисляется по формуле:
По таблице значений функции Лапласа (приложение 1)получаем:
Ф(tА)=0,49693 ; Ф(tВ)=0,49343;
Следовательно, процент годных деталей, попавших в зоны А и В площади кривой распределения, составит соответственно 49,69 и 49,34., а общее количество вероятного вычисляемое по формуле (29) составит:
При этом количество деталей с размерами меньше допускаемых (неисправимый брак для наружных поверхностей) составит (формула 30):
Скачать: