Привет студент

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

ТВЕРСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

(ТвГТУ)

ФУСК

 

Кафедра «Бухгалтерский учет и финансы»

 

 

 

 

КУРСОВОЙ ПРОЕКТ
по дисциплине «Эконометрика»

 

На тему:

“Исследование мультиколлинеарности в эконометрических моделях: исключение переменной (ых) из модели”

 

Руководитель работы:

канд. тех. наук, доцент

Коновалова

 

Исполнитель:

студент группы ЭК-1315 ЭПО

Антонов

 

Тверь, 2015

 

 

 

Содержание

Введение…………………………………………………………………………...3

1.Аналитическая часть……………………………………………………………4

1.1. Обобщенные признаки мультиколлинеарности в эконометрических моделях…………………………………………………………………………….4

1.2. Основные способы устранения мультиколлинеарности в эконометрических моделях…………..…………………………………………..7

2.Проектная часть………………………………………………………………..11

2.1. Информационно-методическое обеспечение эконометрического исследования………………………………………………………………….11

2.2. Пример эконометрического исследования…………………………….17

Заключение ……………………………………………………………………....30

Список использованных источников…………………………………………...31

 

 

 

Введение

Актуальность темы работы “Исследование мультиколлинеарности в эконометрических моделях: исключение переменной (ых) из модели” обусловлена тем, что в наше время данная проблема часто встречается в прикладных эконометрических моделях.

Предмет исследования – проблема мультиколлинеарности. Объектом исследования выступают эконометрические модели.

Основная цель работы – разработка проектных решений по информационно-методическому обеспечению эконометрического исследования.

Для достижения цели поставлены и решены следующие основные задачи исследования:

1. Обобщение признаков мультиколлинеарности в эконометрических моделях.
2. Выявление основных способов устранения мультиколлинеарности.

3.Разработка информационно-методического обеспечения эконометрического исследования.

4.Апробация информационно-методического обеспечения эконометрического исследования.

 

 

 

 

1. Аналитическая часть

1.1. Обобщенные признаки мультиколлинеарности в эконометрических моделях

Мультиколлинеарность  — в эконометрике (регрессионный анализ) — наличие линейной зависимости между объясняющими переменными (факторами) регрессионной модели. При этом различают полную коллинеарность, которая означает наличие функциональной (тождественной) линейной зависимости, и частичную или просто мультиколлинеарность — наличие сильной корреляции между факторами [5].

Полная коллинеарность приводит к неопределенности параметров в линейной регрессиионной модели независимо от методов оценки. Рассмотрим это на примере следующей линейной модели:

Пусть факторы этой модели тождественно связаны следующим образом:  . Тогда рассмотрим исходную линейную модель, в которой к первому коэффициенту добавим произвольное число a, а из двух других коэффициентов это же число вычтем. Тогда имеем (без случайной ошибки):

Таким образом, несмотря на относительно произвольное изменение коэффициентов модели получается та же модель. Такая модель принципиально неидентифицируема. Неопределенность существует уже в самой модели. Если рассмотреть 3-мерное пространство коэффициентов, то в этом пространстве вектор истинных коэффициентов в данном случае не единственный, а представляет собой целую прямую линию. Любая точка этой прямой — истинный вектор коэффициентов [6].

Если полная коллинеарность приводит к неопределенности значений параметров, то частичная мультиколлинеарность приводит к неустойчивости их оценок. Неустойчивость выражается в увеличении статистической неопределенности — дисперсии оценок. Это означает, что конкретные результаты оценки могут сильно различаться для разных выборок несмотря на то, что выборки однородны.

Как известно ковариационная матрица оценок параметров множественной регрессии методом наименьших квадратов равна  . Тем самым чем «меньше» ковариационная матрица (ее определитель), тем «больше» ковариационная матрица оценок параметров, и, в частности, больше диагональные элементы этой матрицы, то есть дисперсии оценок параметров. Для большей наглядности рассмотрим на примере двухфакторной модели:

.

Тогда дисперсия оценки параметра, например, при первом факторе равна:

,

где   — выборочный коэффициент корреляции между факторами.

Здесь наглядно видно, что чем больше по модулю корреляция между факторами, тем больше дисперсия оценок параметров. При   (полная коллинеарность) дисперсия стремится к бесконечности, что соответствует сказанному ранее[4].

Таким образом, оценки параметров получаются неточными, а значит сложно будет дать интерпретацию влияния тех или иных факторов на объясняемую переменную. При этом на качество модели в целом мультиколлинеарность не сказывается — она может признаваться статистически значимой, даже тогда, когда все коэффициенты незначимы (это один из признаков мультиколлинеарности).

В линейных моделях коэффициенты корреляции между параметрами могут быть положительными и отрицательными. В первом случае увеличение одного параметра сопровождается увеличением и другого параметра. Во втором случае при повышении одного параметра происходит снижение другого.

Исходя из этого, можно установить допустимую и недопустимую мультиколлинеарность. Недопустимая мультиколлинеарность будет тогда, когда между факторами 1 и 2 существует значительная положительная корреляция и при этом влияние каждого фактора на корреляционную связь с функцией у однонаправленное, то есть увеличение обоих факторов 1 и 2 ведёт к увеличению или снижению функции у [7]. Другими словами, оба фактора действуют на функцию у одинаково, и значительная положительная корреляции между ними может позволить исключить один из них.

Допустимая мультиколлинеарность такова, при которой факторы действуют на функцию у неодинаково. Здесь возможны два случая:

а) при значительной положительной корреляции между факторами влияние каждого фактора на корреляционную связь с функцией у разнонаправленное, т.е. увеличение одного фактора ведёт к росту функции , а увеличение другого фактора приводит к уменьшению функции у.

б) при значительной отрицательной корреляции между факторами увеличение одного фактора сопровождается уменьшением другого фактора и это делает факторы разнозначными, поэтому возможен любой знак влияния факторов на функцию у [3].

На практике выделяют некоторые наиболее характерные признаки мультиколлинеарности.: 1. Небольшое изменение исходных данных (например, добавление новых наблюдений) приводит к существенному изменению оценок коэффициентов модели. 2. Оценки имеют большие стандартные ошибки, малую значимость, в то время как модель в целом является значимой (высокое значение коэффициента детерминации R 2 и соответствующей F-статистики). 3. Оценки коэффициентов имеют неправильные с точки зрения теории знаки или неоправданно большие значения[1].

Косвенными признаками мультиколлинеарности являются высокие стандартные ошибки оценок параметров модели, малые t-статистики (то есть незначимость коэффициентов), неправильные знаки оценок, при том, что модель в целом признается статистически значимой (большое значение F-статистики). О мультиколлинеарности также может свидетельствовать сильное изменение оценок параметров от добавления (или удаления) выборочных данных (если соблюдены требования достаточной однородности выборки).

Для обнаружения мультиколлинеарности факторов можно проанализировать непосредственно корреляционную матрицу факторов. Уже наличие больших по модулю (выше 0,7-0,8) значений коэффициентов парной корреляции свидетельствует о возможных проблемах с качеством получаемых оценок.

Однако, анализ парных коэффициентов корреляции недостаточен. Необходимо проанализировать коэффициенты детерминации регрессий факторов на остальные факторы ( ). Рекомендуется рассчитывать показатель  . Слишком высокие значения последнего означают наличие мультиколлинеарности.

Таким образом, главные критерии обнаружения мультиколлинеарности заключаются в следующем: высокий R² при всех незначимых коэффициентах,высокие парные коэффициенты корреляции,высокие значения коэффициента VIF [8].

 

1.2. Основные способы устранения мультиколлинеарности в эконометрических моделях

Прежде чем указать основные методы устранения мультиколлинеарности, отметим, что в ряде случаев мультиколлинеарность не является серьёзной проблемой, предполагающей существенные усилия по ее выявлению и устранению. В основном всё зависит от целей исследования.

Если основная задача модели - прогноз будущих значений регрессанда, то при достаточно большом коэффициенте детерминации R2 (> 0,9) наличие мультиколлинеарности обычно не сказывается на прогнозных качествах модели. Хотя это утверждение будет обоснованным лишь в том случае, что и в будущем между коррелированными регрессорами будут сохраняться те же отношения, что и ранее. Если же целью исследования является определение степени влияния каждого из регрессоров на регрессанд, то наличие мультиколлинеарности, приводящее к увеличению стандартных ошибок, скорее всего, исказит истинные зависимости между регрессорами. В этой ситуации мультиколлинеарность является серьезной проблемой.

Отметим, что единого метода устранения мультиколлинеарности, годного в любом случае, не существует. Это связано с тем, что причины и последствия мультиколлинеарности неоднозначны и во многом зависят от результатов выборки [2].

На практике выделяют основные методы устранения мультиколлинеарности :

1. Исключение регрессоров из модели простейшим методом устранения мультиколлинеарности является исключение из модели одной или ряда коррелированных регрессоров. Однако необходима определенная осмотрительность при применении данного метода. В этой ситуации возможны ошибки спецификации. Например, при исследовании спроса на некоторое благо в качестве объясняющих переменных можно использовать цену данного блага и цены заменителей данного блага, которые зачастую коррелируют друг с другом. Исключив из модели цены заменителей, мы, скорее всего, допустим ошибку спецификации. Вследствие этого можно получить смещенные оценки и сделать необоснованные выводы. Таким образом, в прикладных эконометрических моделях желательно не исключать регрессоры до тех пор, пока их коллинеарность не станет серьезной проблемой.
2. Получение дополнительных данных или новой выборки поскольку мультиколлинеарность напрямую зависит от выборки, то, возможно, при другой выборке мультиколлинеарности вообще не будет либо она не будет столь серьезной. Иногда для уменьшения мультиколлинеарности достаточно увеличить объем выборки. Например, при использовании ежегодных данных можно перейти к поквартальным данным. Увеличение количества данных сокращает дисперсии коэффициентов регрессии и тем самым увеличивает их статистическую значимость. Однако получение новой выборки или расширение старой не всегда возможно или связано с серьезными издержками. Кроме того, такой подход может усилить автокорреляцию. Эти проблемы ограничивают возможность использования данного метода.

III. Изменение спецификации модели В ряде случаев проблема мультиколлинеарности может быть решена путем изменения спецификации модели: либо изменяется форма модели, либо добавляются новые регрессоры, не учтенные в первоначальной модели, но существенно влияющие на зависимую переменную. Если данный метод имеет основания, то его использование уменьшает сумму квадратов отклонений, тем самым, сокращая стандартную ошибку регрессии. Это приводит к уменьшению стандартных ошибок коэффициентов.

1. Преобразование переменных в ряде случаев минимизировать либо вообще устранить проблему мультиколлинеарности можно только с помощью преобразования переменных. Исходные данные в каждом наблюдении делятся на значения одного из зависимых регрессоров в данном наблюдении. Применение метода главных компонент к факторам модели позволяет преобразовать исходные факторы и получить совокупность ортогональных (некоррелированных) факторов. При этом наличие мультиколлинеарности позволит ограничиться небольшим количеством главных компонент. Тем не менее, может возникнуть проблема содержательной интерпретации главных компонент [9].

Если по всем признакам имеется мультиколлинеарность, то среди эконометристов есть разные мнения на этот счет. При столкновении с проблемой мультиколлинеарности может возникнуть естественное желание отбросить «лишние» независимые переменные, которые, возможно, служат ее причиной. Однако следует помнить, что при этом могут возникнуть новые трудности. Во-первых, далеко не всегда ясно, какие переменные являются лишними в указанном смысле.

Мультиколлинеарность означает лишь приблизительную линейную зависимость между факторами, но это не всегда выделяет «лишние» переменные. Во-вторых, во многих ситуациях удаление каких-либо независимых переменных может значительно отразиться на содержательном смысле модели. Наконец, отбрасывание так называемых существенных переменных, т.е. независимых переменных, которые реально влияют на изучаемую зависимую переменную, приводит к смещению коэффициентов модели. На практике, обычно при обнаружении мультиколлинеарности убирают наименее значимый для анализа фактор, а затем повторяют расчеты[10].

Таким образом, на практике выделяют основные методы устранения мультиколлинеарности : изменение или увеличение выборки, исключение одной из переменной, преобразование мультиколлинеарных переменных (использовать нелинейные формы, использовать агрегаты (линейные комбинации нескольких переменных), использовать первые разности вместо самих переменных. Однако если мультиколлинеарность не устраняется, можно её игнорировать с учетом целесообразие исключения.

 

 

 

 

2. Проектная часть

2.1. Информационно-методическое обеспечение эконометрического исследования

Информационное обеспечение эконометрического исследования включает следующие сведения:

- входные сведения:

• статистические данные по социально-экономическому показателю, определяемому как зависимая переменная (факторы - результата);
• статистические данные по социально-экономическим показателям, определяемым как объясняющие переменные (факторы - признака);

- промежуточные сведения:

• модель уравнения регрессии, оцененное уравнение регрессии, показатели качества и заключение о качестве уравнения регрессии, заключение о наличии (отсутствии) проблемы мультиколлинеарности, рекомендации по применению модели;

- результативные сведения:

• оцененное уравнение регрессии, заключение о качестве уравнения регрессии, заключение о наличии (отсутствии) проблемы мультиколлинеарности, рекомендации по применению модели.

Методика эконометрического исследования заключается в следующем: спецификация; параметризация, верификация, дополнительное исследование, прогнозирование.

1.Спецификация модели уравнения регрессии включает в себя графический анализ корреляционной зависимости зависимой переменной от каждой объясняющей переменной. По результатам графического анализа делается заключение о модели уравнения регрессии линейного или нелинейного видов. Для проведения графического анализа чаще всего рекомендуют использовать инструмент «Точечная диаграмма» MsExcel. В результате этого этапа определяется модель уравнения регрессии, причем в случае нелинейного вида также определяются способы ее линеаризации.

2.Параметризация уравнения регрессии включает в себя оценку параметров регрессии и их социально-экономическую интерпретацию. Для параметризации используют инструмент «Регрессия» в составе надстроек «Анализ данных» MsExcel. По результатам автоматизированного регрессионного анализа (столбец «Коэффициенты») определяются параметры регрессии, также дается их интерпретация согласно типовому правилу:

- bj представляет собой величину, на которую в среднем изменяется значение переменной Y при увеличении независимой переменной Xj на единицу при прочих равных условиях.

- свободный член уравнения регрессии равен предсказанному значению зависимой переменной Y в случае, когда все независимые переменные равны нулю.

3.Верификация уравнения регрессии проводится на основе результатов автоматизированного регрессионного анализа (этап 2) по следующим показателям: «R-квадрат», «Значимость F», «P-значение» (по каждому параметру регрессии), а также по графикам подбора и остатков.

Определяется значимость коэффициентов и оценивается качество модели. Для этого рассматривается “Значимость F”, “P-Значение” и “R-квадрат”. Если “P-значение” меньше статического уравнения значимости, то это говорит о значимости коэффициента. Если “R-квадрат” больше 0.6, то это означает, модель регрессии хорошо описывает поведение зависимой переменной Y от факторов переменных.

Если “Значимость F” меньше статического уравнения значимости , то коэффициент детерминации(R-квадрат) признается условно статистически значимым.

График остатков позволяет оценить вариации ошибок. Если нет особых различий между ошибками, соответствующими разным значениям Xi, то есть вариации ошибок при разных значениях Хi приблизительно одинаковы и можно предположить, отсутствие проблем. График подбора позволяет сформировать суждения о базисном, предсказанных и факторных значений.

 В заключение формируется суждение о качестве уравнения регрессии.

4. Дополнительное исследование.

4.1.Обнаружение первого признака мультиколлинеарности. На основе полученных в п.2-3 результатов регрессионного анализа проверяется ситуации, при которой коэффициент детерминации имеет высокое значение (R²  >0.7) и статически значим (Значимость F <0,05), и хотя бы один из коэффициентов  регрессии  не может быть признан статистически значим (P-значение >0,05).При обнаружении, такой ситуации, делается вывод о предположении мультиколлинеарности.

4.2.Обнаружение второго признака мультиколлинеарности. На основе расчетов коэффициентов корреляции между факторными переменными определяется существенная взаимосвязь отдельных факторов. Для расчетов в MS Excel, целесообразно использовать инструмент “Анализ данных / Корреляция”. По значениям коэффициента кореляции делаются выводы: чем ближе (r) к крайним точкам (±1), тем больше степень линейной связи, если коэффициент корреляции меньше 0,5, то считается, что связь слабая. Наличие мультиколлинеарности предполагается в следующем случае, если хотя бы между двумя переменными имеется существенный коэффициент корреляции ( т.е. больше 0,7 по модулю).

4.3.Обнаружение третьего признака мультиколлинеарности. На основе оценки вспомогательных регрессий между факторными переменными, причём между переменными где имеется существенный коэффициент корреляции (п.4.2), делается вывод о наличии мультиколлинеарности, если хотя бы в одной вспомогательной регрессии является существенным и значимым. Метод дополнительных регрессий коэффициента детерминации заключается в следующем: 1) cтроятся уравнения регрессии, которые связывают каждый из регрессоров со всеми оставшимися; 2) вычисляются коэффициенты детерминации R² для каждого уравнения регрессии; 3) если уравнение и коэффициент детерминации признаётся статистически значимым, значит данный регрессор приводит к мультиколлинеарности.

4.4.Обобщение суждений.

На основе п.4.1-4.3 формируется суждение о наличии / отсутствии мультиколлинеарности и регрессоров, приводящих к мультиколлинеарности.

Далее формируется направления использования модели (в случае игнорирования или отсутствие проблемы мультиколлинеарности) или рекомендации по устранению мультиколлинеарности (на практике, исключение переменной).

При исключении переменной целесообразно использовать правило:    

- определяется коэффициент детерминации для первоначально построенного по n наблюдениям уравнения регрессии (R²₁);

- исключением из рассмотрения (k) последних переменных формируется уравнение для оставшихся факторов по первоначальным n наблюдениям и определяется для него коэффициент детерминации (R₂²);

- рассчитывается F-статистика:  где (R₁²-R₂²)- потеря уравнения в качества результате отбрасывания к переменных, (K) - число дополнительно появившихся степеней свободы, (1- R₁²)/(n-m-l) – необъясненная дисперсия первоначального уравнения;

- определяется критическое значение F_{a ,k ,n- m-1} по таблицам критических точек распределения Фишера при заданном уровне значимости а и степенях свободы v₁=k, v₂=n-m-l;

- формируется суждения о целесообразности исключении по правилу: исключение (одновременное) из уравнения k переменных считается нецелесообразным при  F > F_{a, k, n- m – 1}, в противном случае - такое исключение допустимо.

При устранении переменной, получаемая модель анализируется согласно, п.п.3-4; и сравнивается с исходной моделью, в результате выбирается «лучшая». На практике, так как мультиколлинеарность не влияет на прогнозные качества модели, эта проблема может игнорироваться.

5.Прогнозирование проводится по исходной/«лучшей» модели, выбранной в пункте 4.4, по схеме ретроспективного прогноза, при котором для прогноза используется последняя 1/3 наблюдений.

5.1. Точечный прогноз. Фактические значения факторных переменных в прогнозном периоде считаются предсказанными, прогнозные значения результативной переменной определяются как предсказанные по исходной/«лучшей» модели на основе факторных переменных в прогнозном периоде. С помощью инструмента Microsoft Excel «График» строится график фактических и предсказанных згачений результативной переменной по наблюдениям и делается вывод о близости фактических значений к прогнозным.

5.2. Интервальный прогноз предполагает расчет стандартных ошибок предсказания (с помощью фиктивных переменных Салкевера) и верхних и нижних границ прогнозных значений.

С помощью инструмента Microsoft Excel «Анализ данных/Регрессия» строится регрессия для совокупного набора данных выборки и прогнозного периода, но с добавлением фиктивных переменных D₁, D₂, ..., D_p. При этом D_i= 1 только для момента наблюдения (n + i), для всех других моментов D_i=0. Тогда коэффициент при фиктивной переменной D_i равен ошибке предсказания в момент (n + i), а стандартная ошибка коэффициента равна стандартной ошибке предсказания (S_i). Так, проводится автоматизированный регрессионный анализ модели, где в качестве значений X используются совокупные (выборочные и прогнозные) значения факторных переменных и значения фиктивных переменных Салкевера, в качестве значений Y – совокупные (выборочные и прогнозные) значения результативной переменной.

Полученные стандартные ошибки коэффициентов при фиктивных переменных Салкевера равны стандартным ошибкам предсказания. Тогда границы интервального прогноза рассчитываются по следующим формулам: Ymin_n+i=Yэмп_n+i-S_i*t_кр, Ymax_n+i=Yэмп_n+i+S_i*t_кр, где t_кр- критическое значение распределения Стьюдента, определяемое по формуле « =СТЬЮРАСПОБР(0,05; n-m-1)», m- количество объясняющих факторов в модели (Y^*_t), Yэмп_n+i- прогнозные значения результативной переменной (п.5.1).

С помощью инструмента Microsoft Excel «График» строится график по фактическим и предсказанным значениям результативной переменной, верхним и нижним границам прогноза по наблюдениям. Делается вывод о вписываемости фактических значений результативной переменной в границы интервального прогноза.

5.3. Оценка устойчивости модели с помощью теста ЧОУ проводится следующим образом:

а) с помощью инструмента Microsoft Excel «Анализ данных/Регрессия» строится регрессия, где в качестве значений X принимаются совокупные (выборочные и прогнозные) значения факторных переменных, а в качестве значений Y – совокупные (выборочные и прогнозные) значения результативной переменной. По данной регрессии определяется сумма квадратов остатков S;

б) по регрессии п.5.2 с фиктивными переменными Салкевера определяется сумма квадратов остатков Sd;

в) рассчитывается и оценивается значение Fстатистики по формуле:

F=

где p- количество прогнозных шагов. Если полученное значение больше критического значения F_кр, определяемого по формуле «=FРАСПОБР(0,05; p; n-m-1)», тогда гипотеза о стабильности модели в прогнозном периоде отклоняется, в противном случае – принимается.

5.4.Обобщение суждений о прогнозных качествах модели на основе п.5.1-5.3, в результате формируется заключение о прогнозном качестве модели и рекомендации по применению модели для прогнозирования.

Так, разработанное информационно-методическое обеспечение соответствует основным задачам эконометрического исследования проблемы мультиколлинеарности в моделях множественной регрессии.

 

2.2. Пример эконометрического исследования

 

Исследование проводится на основе данных, отражающих реальные макроэкономические показатели РФ за период 2003-2011 г.г. [http://www.gks.ru/] (табл. 1), согласно методике п.2.1.

Таблица 1

Год	Расходы дом. хозяйств (млрд.руб)[Y]	Численность населения (млн. чел)[X1]	Денежная масса (млрд.руб.)[X2]	Уровень безработицы (%)[X3]
2003	6537,4015	145	2134,4	8,2
2004	8438,4841	144,3	3212,6	7,8
2005	10652,8578	143,8	4353,9	7,1
2006	12974,7434	143,2	6032,1	7,1
2007	16031,7398	142,8	8970,7	6
2008	19966,9524	142,8	12869	6,2
2009	20985,9361	142,7	12975,9	8,3
2010	23617,6233	142,8	15267,6	7,3
2011	27192,5237	142,9	20011,9	6,5

 

1.Спецификация модели уравнения регрессии включает графический анализ корреляционной зависимости зависимой переменной Y (Расходы дом. хозяйств от объясняющей переменной X₁(Численность населения) (рис. 1), корреляционной зависимости зависимой переменной Y (Расходы дом. хозяйств от объясняющей переменной X₂ (Денежная масса) (рис. 2), корреляционной зависимости зависимой переменной Y (Расходы дом. хозяйств от объясняющей переменной X₃ (Уровень безработицы) (рис. 3).

График корреляционной зависимости между Y и X₁, представленный на рисунке 1, отражает существенную (R²=0,71) обратную линейную зависимость Y от X₁.

График корреляционной зависимости между Y и X₂, представленный на рисунке 2, отражает существенную (R²=0,98) прямую линейную зависимость Y от X₂.

График корреляционной зависимости между Y и X₃, представленный на рисунке 3, отражает несущественную (R²=0,15) обратную линейную зависимость Y от X₃.

Рисунок 1

Рисунок 2

Рисунок 3

В результате можно специфицировать модель линейной множественной регрессии Y=b₀+b₁X₁+b₂X₂ + b₃X₃ .

2.Параметризация уравнения регрессии проводится с использованием инструмента «Регрессия» в составе надстроек «Анализ данных» MsExcel (рис. 4).

Рисунок 4

Оцененное уравнение регрессии имеет вид:

= 233983,8- 1605,6Х₁ + 1,0Х₂ + 396,22X₃.

При этом коэффициенты регрессии интерпретируются следующим образом: при увеличении численности населения на 1 млн. чел расходы дом. хозяйств уменьшаются на 1605,6 млрд. руб.; при увеличении денежной массы на 1 млрд.руб. расходы дом. хозяйств увеличатся на 1,0 млрд.руб.; при увеличении уровня безработицы на 1%, расходы дом. хозяйств будут увеличиваться на 396,2 млрд.руб. При нулевых значениях факторных переменных расходы дом. хозяйств составят 233983,8 млрд.руб, что, возможно, не имеет экономической интерпретации.

 

3.Верификация уравнения регрессии проводится на основе результатов автоматизированного регрессионного анализа (этап 2).

Так, «R-квадрат» равен 0,998, т.е. уравнение регрессии описывает поведение зависимой переменной на 99%, что говорит о высоком уровне описания уравнения. «Значимость F» равна 2,14774253442155E-07, что говорит о том, что «R-квадрат» значим. «Р-Значение» для b₀ равно 0,002, что говорит о том, что данный параметр значим. «Р-Значение» для b₁ равно 0,002, что говорит о том, что данный коэффициент значим. «Р-Значение» для b₂ равно 8,29103190343224E-07, что говорит о том, что данный коэффициент значим. «Р-Значение» для b₃ равно 0,084, что говорит о том, что данный коэффициент не значим.

На основе графиков остатков остатки е представляют собой случайные величины.

На основе графиков подбора делается заключение о близости фактических и предсказанных значений по модели.

Так, модель имеет хорошее качество, при этом b₃ не значим, поэтому можно предположить наличие мультиколлинеарности.

4.Дополнительное исследование.

4.1. Обнаружение первого признака мультиколлинеарности. По данным регрессионного анализа (рисунка 5) можно сказать, что имеется первый признак мультиколлинеарности, так как выявляется высокий и значимый R², выявлено, что уравнение имеет высокий коэффициент детерминации, а также один из коэффициентов не значимый. Это позволяет предположить наличие мультиколлинеарности.

4.2.Обнаружение второго признака мультиколлинеарности.

На основе расчетов коэффициентов корреляции между факторными переменными определяется существенная взаимосвязь отдельных факторов. (табл.2). Наличие мультиколлинеарности предполагается в следующем случае, если хотя бы между двумя переменными имеется существенный коэффициент корреляции ( т.е. больше 0,5 по модулю).

Таблица 2

	[Y]	[X1]	[X2]	[X3]
[Y]	1
[X1]	-0,84243464	1
[X2]	0,993802699	-0,78815425	1
[X3]	-0,393667368	0,541329057	-0,392295701	1

 

В нашем случае существует коэффициент корреляции между Х₁ и Х₂ (-0,788), что говорит о сильной зависимости между переменными X_1, X₂, так же существует коэффициент корреляции между Х₁ и Х₃ (0,54), что говорит о сильной зависимости между переменными X_1, X_3.

В результате можно предположить наличие мультиколлинеарности.

4.3.Обнаружение третьего признака мультиколлинеарности.

Так как в п.4.2 обнаружена сильная зависимость между переменными X₁ и X_{2 ,} далее анализируется вспомогательная регрессия между этими переменными (рис. 5).

Рисунок 5

Так  как «Значимость F» равна 0,01, что говорит о том, что «R-квадрат» и  вспомогательная регрессия значимы, поэтому можно предположить, что регрессор X₂ приводит к мультиколлинеарности.

Так как в п.4.2 обнаружена выше среднего уровня зависимость между переменными X₁ и  X₃ , далее анализируется вспомогательная регрессия между этими переменными (рис. 6).

 

Рисунок 6

Так  как «Значимость F» равна 0,13, что говорит о том, что «R-квадрат» и  вспомогательная регрессия не значимы, поэтому можно предположить, что регрессор X₃  не приводит к мультиколлинеарности.

Так, согласно третьему признаку, можно предположить наличие мультиколлинеарности.

4.4.Обобщение суждений.

По данным анализа п.4.1-4.3, обнаружены все три признака мультиколлинеарности, поэтому ее можно предположить с высокой вероятностью. При этом несмотря на предположение в п.4.3 относительно регрессора, приводящего к мультиколлинеарности, можно рекомендовать исключение X₃ из исходной модели, т.к. X₃ имеет наименьший коэффициент корреляции с Y и коэффициент при этом регрессоре является незначимым в исходном уравнении. Результаты регрессионного анализа после исключения X₃ представлены на рис. 7.

Рисунок 7

При этом рассчитаем F – статистику для проверки целесообразности исключения:

F _факт  = 4,62,

причем F_табл = F_0,05;1;5 = 6,61, так как F_факт <  F_табл, то исключение допустимо для переменной X₃.

Оценка качества модели линейной множественной регрессии Y=b₀+b₁X₁+b₂X₂. «R-квадрат» равен 0,996, т.е. уравнение регрессии описывает поведение зависимой переменной на 99%, что говорит о высоком уровне описания уравнения. «Значимость F» равна 3,02415218982089E-08, что говорит о том, что «R-квадрат» значим. «Р-Значение» для b₀ равно 0,004, что говорит о том, что данный параметр значим.«Р-Значение» для b₁ равно 0,005, что говорит о том, что данный коэффициент значим. «Р-Значение» для b₂ равно 3,87838361673427E-07, что говорит о том, что данный коэффициент значим. Оцененное уравнение регрессии имеет вид:

= 201511,7 -1359,6Х₁ + 1,01Х₂

При этом коэффициенты регрессии интерпретируются следующим образом: при уменьшении численности населения на 1 млн. чел расходы дом. хозяйств уменьшаются на 1359,6 млрд. руб.; при увеличении уровня денежной массы, расходы дом. хозяйств увеличатся на 1,0) (млрд.руб). При нулевых значениях факторных переменных расходы дом. хозяйств составят 201511,7 млрд.руб, что, возможно, имеется экономическая интерпретация.

Так, модель = 201511,7 -1359,6Х₁ + 1,01Х₂  имеет хорошее качество и рекомендуется для прогнозирования в качестве «лучшей» в сравнении с исходной моделью.

5.Прогнозирование.

5.1.Точечный прогноз. Фактические значения факторных переменных в прогнозном периоде считаются предсказанными, прогнозные значения результативной переменной определяются как предсказанные по «лучшей» модели ( = 201511,7 -1359,6Х₁ + 1,01Х₂) на основе факторных переменных в прогнозном периоде. С помощью инструмента Microsoft Excel «График» строится график фактических и предсказанных згачений результативной переменной по наблюдениям и делается вывод о близости фактических значений к прогнозным.

Прогнозные значения факторных переменных представлены в табл.3.

Таблица 3

Год	[X1]	[X2]
2003	145	2134,4
2004	144,3	3212,6
2005	143,8	4353,9
2006	143,2	6032,1
2007	142,8	8970,7
2008	142,8	12869
2009	142,7	12975,9
2010	142,8	15267,6
2011	142,9	20011,9
2012	143	24483,1
2013	143,3	27405,4
2014	143,7	31404,7

 

Прогнозные значения результативной переменной определяются как предсказанные по «лучшей» модели ( = 201511,7 -1359,6Х₁ + 1,01Х₂) на основе факторных переменных в прогнозном периоде. Прогнозные значения представлены в табл.4, для сравнения добавляются фактические значения.

Таблица 4

Год	[X1]	[X2]	[Y] эмпирическое	[Y]
2003	145	2134,4	6529,137369	6537,4015
2004	144,3	3212,6	8575,775986	8438,4841
2005	143,8	4353,9	10414,55967	10652,8578
2006	143,2	6032,1	12934,51476	12974,7434
2007	142,8	8970,7	16462,43719	16031,7398
2008	142,8	12869	20421,04402	19966,9524
2009	142,7	12975,9	20665,56331	20985,9361
2010	142,8	15267,6	22856,75044	23617,6233
2011	142,9	20011,9	27538,47937	27192,5237
2012	143	24483,1	31018,8133	31018,8133
2013	143,3	27405,4	34671,9243	34671,9243
2014	143,7	31404,7	38037,185	38037,185

На рис.8 представлены фактические и прогнозные значения результативной переменной, а также нижние и верхние границы прогноза.

Рисунок 8

Согласно рис.8, прогноз сохраняет возрастающую тенденцию, а также все прогнозные значения близки к фактическим.

 

5.2. Интервальный прогноз.

С помощью инструмента Microsoft Excel «Анализ данных/Регрессия» строится регрессия для совокупного набора данных выборки и прогнозного периода, но с добавлением фиктивных переменных D₁, D₂, ..., D_p. При этом D_i= 1 только для момента наблюдения (n + i), для всех других моментов D_i=0. Данные представлены в табл.5, результат регрессии на рис.9.

Таблица 5

Год	[X1]	[X2]	D1c	D2c	D3c	[Y]сов
2003	145	2134,4	0	0	0	6537,4015
2004	144,3	3212,6	0	0	0	8438,4841
2005	143,8	4353,9	0	0	0	10652,8578
2006	143,2	6032,1	0	0	0	12974,7434
2007	142,8	8970,7	0	0	0	16031,7398
2008	142,8	12869	0	0	0	19966,9524
2009	142,7	12975,9	0	0	0	20985,9361
2010	142,8	15267,6	0	0	0	23617,6233
2011	142,9	20011,9	0	0	0	27192,5237
2012	143	24483,1	1	0	0	31018,8133
2013	143,3	27405,4	0	1	0	34671,9243
2014	143,7	31404,7	0	0	1	38037,185

 

 

Рисунок 9

Тогда стандартная ошибка коэффициента при фиктивной переменной равна стандартной ошибке предсказания (S_i): для 2012 года составит 738,5; для 2013 года составит 897,1; для 2014 года составит 1139,4.

Границы интервального прогноза рассчитываются в табл.6.

Таблица 6

Год	[Y]	[Y] эмпирическое	[Y]сов	[S] пр	[Y] min	[Y] max
2003	6537,4015	6529,137369	6537,4015
2004	8438,4841	8575,775986	8438,4841
2005	10652,8578	10414,55967	10652,8578
2006	12974,7434	12934,51476	12974,7434
2007	16031,7398	16462,43719	16031,7398
2008	19966,9524	20421,04402	19966,9524
2009	20985,9361	20665,56331	20985,9361
2010	23617,6233	22856,75044	23617,6233
2011	27192,5237	27538,47937	27192,5237
2012	31018,8133	31018,8133	31018,8133	738,578	29211,58	32826,05
2013	34671,9243	34671,9243	34671,9243	897,1519	32476,67	36867,18
2014	38037,185	38037,185	38037,185	1139,433	35249,09	40825,28

 

По данным табл. 6 с помощью инструмента Microsoft Excel «График» строится график по фактическим и предсказанным значениям результативной переменной, верхним и нижним границам прогноза по наблюдениям (рис.10).

Рисунок 10

Согласно графику, прогнозные значения вписываются в границы интервального прогноза, что говорит о хорошем качестве прогноза.

5.3. Оценка устойчивости модели с помощью теста ЧОУ проводится следующим образом:

а) с помощью инструмента Microsoft Excel «Анализ данных/Регрессия» строится регрессия (рис.11), где в качестве значений X принимаются совокупные (выборочные и прогнозные) значения факторных переменных, а в качестве значений Y – совокупные (выборочные и прогнозные) значения результативной переменной. По данной регрессии определяется сумма квадратов остатков S=2058232,333.

Рисунок 11

б) по регрессии п.3.2 с фиктивными переменными Салкевера (рис. 9) определяется сумма квадратов остатков Sd=1270272,697.

в) рассчитывается и оценивается значение Fстатистики:

F =  =1,03,

при этом F _кр = F_0,05;3;5 = 5,40, тогда полученное значение меньше критического значения F_кр и гипотеза о стабильности модели в прогнозном периоде принимается.

5.4.Обобщение суждений о прогнозных качествах модели на основе п.5.1-5.3, в результате формируется заключение о высоком прогнозном качестве модели ( = 201511,7 -1359,6Х₁ + 1,01Х₂) и даются рекомендации по применению модели для прогнозирования.

Методика п.2.1 успешно апробирована, позволяет выявить основные признаки мультиколлинеарности и может быть рекомендована для подобных исследований.

 

Заключение

Мультиколлинеарность  — в эконометрике (регрессионный анализ) — наличие линейной зависимости между объясняющими переменными (факторами) регрессионной модели. При этом различают полную коллинеарность, которая означает наличие функциональной (тождественной) линейной зависимости и частичную или просто мультиколлинеарность — наличие сильной корреляции между факторами.

Основные последствия мультиколлинеарности: большие дисперсии оценок, уменьшение t-статистик коэффициентов, оценки коэффициентов по МНК становятся неустойчивыми, затрудненное определения вклада переменных, получение неверного знака у коэффициента.

Главные критерии обнаружения мультиколлинеарности заключаются в следующем: высокий R² при незначимых коэффициентах; Высокие парные коэффициенты корреляции; высокие значения коэффициента VIF.

Основные методы устранения мультиколлинеарности: исключение переменной(ых) из модели; получение дополнительных данных или новой выборки; изменение спецификации модели; использование предварительной информации о некоторых параметрах.

Разработанное информационно-методическое обеспечение соответствует основным задачам эконометрического исследования проблемы мультиколлинеарности в моделях множественной регрессии и может быть рекомендовано для подобных исследований.

 

Список использованных источников

1. Астахов, С.Н. Эконометрика [Текст]: Учебно-методический комплекс. Казань, 2008. – 107с.
2. Бардасов, С. А. ЭКОНОМЕТРИКА [Текст]: учебное пособие. 2-е изд., пере- раб. и доп. Тюмень: Издательство Тюменского государственного университета, 2010. 264 с.
3. Бородкина, Л.И. Курс лекций [Электронный ресурс]. Режим доступа - http://www.iskunstvo.info/materials/history/2/inf/correl.htm
4. Воскобойников, Ю.Е. ЭКОНОМЕТРИКА в EXCEL Часть 1 [Текст]: учебное пособие, Новосибирск 2005,156 с.
5. Елисеева, И.И. Практикум по эконометрике: учеб. пособие для экон. вузов / Елисеева, И.И., Курышева, С.В., Гордеенко, Н.М. , [и др.] ; под ред. И.И. Елисеевой - М.: Финансы и статистика, 2001. - 191 с. - (14126-1).
6. Мультиколлинеарность [Электронный ресурс]. Режим доступа - https://ru.wikipedia.org/wiki/Мультиколлинеарность.
7. Новиков, А.И. Эконометрика [Текст]: учеб. пособие по напр. "Финансы и кредит", "Экономика" - М.: Дашков и К, 2013. - 223 с.- (93895-1).
8. Проблема мультиколлинеарности [Электронный ресурс]. Режим доступа - http://crow.academy.ru/econometrics/lectures_/lect_09_/lect_09_4.pdf .
9. Черняк, В. Прикладная эконометрика. Лекция №9 [Электронный ресурс]. Режим доступа http://www.slideshare.net/vtcherniak/lect-09.
10. ru - энциклопедический сайт [Электронный ресурс]. Режим доступа - http://kodcupon.ru/ra17syplinoe97/Мультиколлинеарность.

Скачать: kursovoy_proekt_po_ekonometrike.rar