МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Преддипломная практика
Построение модели зависимости
процессов охлаждения и нагревания
Содержание
Введение…………………………………………………………………………...4
- Виды критериев……..……………………………………………………...6
- Критерий согласия………………………………………………….7
- Непараметрические критерии.……………………………………..8
- Параметрические критерии..………………………………………..9
- Практическая часть……………………………………………………….11
- Расчет критерия Стьюдента……………………………………….11
- Расчет критерия Фишера………………………………………….14
Вывод……………………………………………………………………………..16
Используемая литература……………………………………………………….17
Введение
Целью данной преддипломной практики является построения модели зависимости процессов охлаждения и нагревания.
Основной целью построения статистической модели является строгое математическое правило, по которому принимается или отвергается та или иная статистическая гипотеза с известным уровнем значимости. Построение критерия представляет собой выбор подходящей функции от результатов наблюдений (ряда эмпирически полученных значений признака), которая служит для выявления меры расхождения между эмпирическими значениями и гипотетическими.
При проведении статистического анализа исследователь всегда должен представить какое количество объектов ему достаточно исследовать для получения картины об исследуемом процессе. Кроме того, необходимо четко определить достаточное количество параметров для описания процесса или явления.
Для решения всех задач статистического анализа существуют специальные разделы статистики:
- Корреляционный анализ – аппарат позволяющий определить существует ли между параметрами статистическая зависимость и каков характер статистической связи между параметрами.
- Регрессионный анализ. Исходя из предположений полученных связей между параметрами выявить вид аналитической зависимости одного из параметров относительно других.
- Факторный анализ – в случае большого количества параметров, описывающих данный процесс или явление, перейти от наблюдаемых параметров к факторам.
Это переход, например, в методе главных компонент позволяет существенно уменьшить количество параметров.
- Дисперсионный анализ – позволяющий моделировать процессы или явления на основе оценки дисперсии исследованных признаков.
- Кластерный анализ, суть которого сводиться к разбиению всех параметров на группы, внутри которых будут находиться параметры, имеющие между собой тесные статистические связи.
- Виды критериев
Статистический критерий — строгое математическое правило, по которому принимается или отвергается та или иная статистическая гипотеза с известным уровнем значимости. Построение критерия представляет собой выбор подходящей функции от результатов наблюдений (ряда эмпирически полученных значений признака), которая служит для выявления меры расхождения между эмпирическими значениями и гипотетическими.
Пусть даны выборка из неизвестного совместного распределения , и семейство статистических гипотез ….. Тогда статистическим критерием называется функция, устанавливающая соответствие между наблюдаемыми величинами и возможными гипотезами:
.
Таким образом, каждой реализации выборки статистический критерий сопоставляет наиболее подходящую с точки зрения этого критерия гипотезу о распределении, породившем данную реализацию.
Виды критериев:
Статистические критерии подразделяются на следующие категории:
- Критерии значимости. Проверка на значимость предполагает проверку гипотезы о численных значениях известного закона распределения : — нулевая гипотеза. или — конкурирующая гипотеза.
- Критерии согласия. Проверка на согласие подразумевает проверку предположения о том, что исследуемая случайная величина подчиняется предполагаемому закону. Критерии согласия можно также воспринимать, как критерии значимости.
Критерии на однородность. При проверке на однородность случайные величины исследуются на факт взаимного соответствия их законов распределения (подчиняются ли эти величины одному и тому же закону). Используются в факторном (дисперсионном) анализе для определения наличия зависимостей.
Это разделение условно, и зачастую один и тот же критерий может быть использован в разных качествах.
- Критерии согласия
Критериями согласия являются:
- Критерий Пирсона
- Критерий Колмогорова-Смирнова
- Z-тест (англ.)
- Критерий Андерсона-Дарлинга (англ.)
- Критерий Жака-Бера (англ.)
- Критерий Шапиро-Уилка (англ.)
- График нормальности (англ.) — не столько критерий, сколько графическая иллюстрация: точки специально построенного графика должны лежать почти на одной прямой.
- Непараметрические критерии
Группа статистических критериев, которые не включают в расчёт параметры вероятностного распределения и основаны на оперировании частотами или рангами.
- Q-критерий Розенбаума
- U-критерий Манна-Уитни
- Критерий Уилкоксона
- Критерий Пирсона
- Критерий Колмогорова-Смирнова
- Параметрические критерии
Группа статистических критериев, которые включают в расчет параметры вероятностного распределения признака (средние и дисперсии).
- t-критерий Стьюдента
- Критерий Фишера
- Критерий отношения правдоподобия
- Критерий Романовского
Критерий Стьюдента (t-критерий)
t-критерий был разработан Уильямом Госсетом (1876-1937) для оценки качества пива на пивоваренных заводах Гиннесса в Дублине (Ирландия). В связи с обязательствами перед компанией по неразглашению коммерческой тайны (руководство Гиннесса считало таковой использование статистического аппарата в своей работе), статья Госсета вышла в 1908 году в журнале «Биометрика» под псевдонимом «Student» (Студент).
Критерий Стьюдента направлен на оценку различий величин средний значений двух выборок, которые распределены по нормальному закону. Одним из главных достоинств критерия является широта его применения. Он может быть использован для сопоставления средних у связных и несвязных выборок, причем выборки могут быть не равны по величине.
Для применения t-критерия Стьюдента необходимо соблюдать следующие условия:
- Измерение может быть проведено в шкале интервалов и отношений.
- Сравниваемые выборки должны быть распределены по нормальному закону.
Критерий позволяет найти вероятность того, что оба средних значения в выборке относятся к одной и той же совокупности. Данный критерий наиболее часто используется для проверки гипотезы: «Средние двух выборок относятся к одной и той же совокупности».
При использовании критерия можно выделить два случая. В первом случае его применяют для проверки гипотезы о равенстве генеральных средних двух независимых, несвязанных выборок (так называемый двухвыборочный t-критерий). В этом случае есть контрольная группа и экспериментальная (опытная) группа, количество испытуемых в группах может быть различно.
Во втором случае, когда одна и та же группа объектов порождает числовой материал для проверки гипотез о средних, используется так называемый парный t-критерий. Выборки при этом называют зависимыми, связанными.
а) случай независимых выборок
Статистика критерия для случая несвязанных, независимых выборок равна:
(1)
где , — средние арифметические в экспериментальной и контрольной группах,
- стандартная ошибка разности средних арифметических. Находится из формулы:
, (2)
где и соответственно величины первой и второй выборки.
Если = , то стандартная ошибка разности средних арифметических будет считаться по формуле:
(3)
где n - величина выборки.
Подсчет числа степеней свободы осуществляется по формуле:
k = + – 2. (4)
При численном равенстве выборок k = 2n - 2.
Далее необходимо сравнить полученное значение с теоретическим значением t—распределения Стьюдента. Если < , то гипотеза принимается, в противном случае нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная гипотеза.
б) случай связанных (парных) выборок
В случае связанных выборок с равным числом измерений в каждой можно использовать более простую формулу t-критерия Стьюдента.
Вычисление значения t осуществляется по формуле:
(5)
где — разности между соответствующими значениями переменной и переменной , а - среднее этих разностей;
вычисляется по следующей формуле:
(6)
Число степеней свободы определяется по формуле . Рассмотрим пример использования — критерия Стьюдента для связных и, очевидно, равных по численности выборок.
Если < , то нулевая гипотеза принимается, в противном случае принимается альтернативная.
F — критерий Фишера
Критерий Фишера предназначен для сопоставления двух выборок по частоте встречаемости интересующего исследователя эффекта.
Критерий оценивает достоверность различий между процентными долями двух выборок, в которых зарегистрирован интересующий нас эффект.
Суть углового преобразования Фишера состоит в переводе процентных долей в величины центрального угла, который измеряется в радианах. Большей процентной доле будет соответствовать больший угол φ, а меньшей доле - меньший угол, но соотношения здесь не линейные: φ = 2*arcsin(), где P - процентная доля, выраженная в долях единицы.
При увеличении расхождения между углами φ1 и φ2 и увеличения численности выборок значение критерия возрастает. Чем больше величина φ*, тем более вероятно, что различия достоверны.
: Доля лиц, у которых проявляется исследуемый эффект, в выборке 1 не больше, чем в выборке 2.
: Доля лиц, у которых проявляется исследуемый эффект, в выборке 1 больше, чем в выборке 2.
- Ни одна из сопоставляемых долей не должна быть равной нулю. Формально нет препятствий для применения метода φ в случаях, когда доля наблюдений в одной из выборок равна 0. Однако в этих случаях результат может оказаться неоправданно завышенным (Гублер Е.В., 1978, с. 86).
- Верхний предел в критерии φ отсутствует - выборки могут быть сколь угодно большими.
Нижний предел - 2 наблюдения в одной из выборок. Однако должны соблюдаться следующие соотношения в численности двух выборок:
а) если в одной выборке всего 2 наблюдения, то во второй должно быть не менее 30: n1=2 -> n2≥30;
б) если в одной из выборок всего 3 наблюдения, то во второй должно быть не менее 7: n1=3 -> n2≥7;
в) если в одной из выборок всего 4 наблюдения, то во второй должно быть не менее 5: n1=4 -> n2≥5;
г) при n1, n2≥5 возможны любые сопоставления.
В принципе возможно и сопоставление выборок, не отвечающих этому условию, например, с соотношением n1=2, n2=15 но в этих случаях не удастся выявить достоверных различий .
Критерий Фишера позволяет сравнивать величины выборочных дисперсий двух независимых выборок. Для вычисления нужно найти отношение дисперсий двух выборок, причем так, чтобы большая по величине дисперсия находилась бы в числителе, а меньшая – в знаменателе. Формула вычисления критерия Фишера такова:
(8)
где , — дисперсии первой и второй выборки соответственно.
Так как, согласно условию критерия, величина числителя должна быть больше или равна величине знаменателя, то значение всегда будет больше или равно единице.
Число степеней свободы определяется также просто:
для первой выборки (т.е. для той выборки, величина дисперсии которой больше) и для второй выборки.
Если , то нулевая гипотеза принимается, в противном случае принимается альтернативная.
- Практическая часть
- Расчет критерии Стьюдента
В ходе данной работы были рассчитаны критерий Стьюдента с помощью Excel
Рисунок 1 – Результат расчета критерия Стьюдента
Средние арифметические по составляют , а по - .
Разница по абсолютной величине между средними
Подсчет выражения (3) дает:
Тогда значение , вычисляемое по формуле (1), таково:
Критические значения:
Построение оси значимости:
Рисунок 2 – Ось значимости
Полученное эмпирическое значение t(38,7) находиться в зоне значимости.
|
1 |
Полученное значение находиться в зоне значимости |
|
|
2 |
|
Полученное значение находиться в зоне значимости |
|
3 |
|
Полученное значение находиться в зоне значимости |
|
4 |
Полученное значение находиться в зоне значимости |
|
|
5 |
|
Полученное значение находиться в зоне значимости |
|
6 |
|
Полученное значение находиться в зоне значимости |
|
7 |
|
Полученное значение находиться в зоне значимости |
|
8 |
|
Полученное значение находиться в зоне значимости |
Таблица 1 - результаты расчета критерия Стьюдента
2.2 Критерий Фишера
Рисунок 3 – Результат расчета критерия Фишера
=20,222
где , — дисперсии первой и второй выборки соответственно.
=0,73026
=250,5
Так как, согласно условию критерия, величина числителя должна быть больше или равна величине знаменателя, то значение всегда будет больше или равно единице.
Число степеней свободы определяется также просто:
для первой выборки (т.е. для той выборки, величина дисперсии которой больше) и для второй выборки.
Критические значения:
Построение оси значимости:
Рисунок 4 – Ось значимости
|
1 |
Полученное значение находиться в зоне значимости |
|
|
2 |
|
Полученное значение находиться в зоне значимости |
|
3 |
|
Полученное значение находиться в зоне значимости |
|
4 |
Полученное значение находиться в зоне значимости |
|
|
5 |
|
Полученное значение находиться в зоне значимости |
|
6 |
|
Полученное значение находиться в зоне значимости |
|
7 |
|
Полученное значение находиться в зоне значимости |
|
8 |
|
Полученное значение находиться в зоне значимости |
Таблица 2 - результаты расчета критерия Фишера
Скачать: