Привет студент

Министерство образования Республики Беларусь

УО «Гродненский государственный университет имени Я. Купалы»

 

 

 

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

«ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ»

 

 

 

 

 

 

Выполнила:

студентка 3 курса

педагогического ф-та

Еремейчик Н.Д.

 

Научный руководитель:

Зданько Н.Г.

 

 

 

Гродно, 2015

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………….………..3.

ГЛАВА 1 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ЛИНИИ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ……………………………………………………………….....5.

1.1 Цели и место изучения функциональной линии…………….………5.

1.2 Анализ школьной программы……………………………………..….6.

1.3 Подходы к изучению понятия «функция»…………………………...7.

1.4 Функциональная пропедевтика……………………………………….9.

1.5 Введение понятия функции, способов её задания и исследования…………………………………………………………………….10.

ГЛАВА 2 ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ…………………………………………………………...……16.

2.1 Использование свойства монотонности функции при решении уравнений и неравенств………………………………………………………...16.

2.2 Использование ограниченности функции…………………………..18.

2.3 Использование периодичности функции…………………………...20.

2.4 Использование четности и нечетности функции…………………..23.

2.5 Использование области определения функции…………………….24.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………..26.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ……………………..27.

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Функциональная зависимость является одной из тех математических идей, которые способны объединить в единое целое все разделы математики, включенные в школьный курс. Рассмотрение функциональной содержательно-методической линии курса как одной из ведущих считается серьезным положительным достижением теории и методики обучения математике в средней школе. Фундаментальная роль функциональной линии определяет особенности изучения остальных тем и содержательных линий курса математики. Функциональная зависимость отражает практическую направленность курса математики, взаимосвязь величин в естественнонаучных дисциплинах, а также формирует функциональное мышление школьников.

В современном школьном курсе математики ведущим подходом считается генетический с добавлением элементов логического. Формирование понятий и представлений, методов и приёмов в составе функциональной линии в системе обучения строится так, чтобы внимание учащихся сосредотачивалось на:

• выделенных и достаточно четко разграниченных представлениях, связанных с функцией;
• установлении их взаимодействия при развёртывании учебного материала [5, с.33].

Не всякое уравнение или неравенство в результате преобразований или с помощью удачной замены переменной может быть сведено к уравнению (неравенству) того или иного стандартного вида, для которого существует определенный алгоритм решения. В таких случаях иногда оказывается полезным использовать другие методы решения – такие, как функциональные методы, речь о которых пойдет в данной работе. Все вышесказанное и определяет актуальность курсовой работы.

Целью работы является изучение применения функциональных методов решения уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Курсовая работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка использованной литературы. В первой главе рассмотрены теоретические основы изучения функциональной линии в школьном куре математики: цели и место изучения функциональной линии, анализ школьной программы, изучены различные подходы к изучению понятия «функция» и функциональная пропедевтика, а также основные способы задания и исследования функции, ее введения в школьный курс математики. Во второй главе изучено применение функциональных методов решения уравнений и неравенств в школьном курсе математики с использованием свойств монотонности, ограниченности, периодичности, четности и нечетности,  а также области определения функции.

 

 

 

 

 

ГЛАВА 1 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ЛИНИИ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

 

1.1 Цели и место изучения функциональной линии

 

Ни одно из других понятий не отражает явлений реальной действительности с такой непосредственностью и конкретностью, как понятие функциональной зависимости. Ученик буквально на каждом шагу встречается с разными применениями функциональной зависимости, в том числе изображённой в виде графиков и диаграмм, чтение и составление которых предполагает определённое функциональное мышление [19, с.46].

Это понятие как ни одно другое воплощает в себе черты современного математического мышления, приучает мыслить величины в их изменяемости и взаимосвязи, таким образом, идея функции способствует усвоению учащимися основ диалектического мировоззрения.

Понятие функции – это основное понятие высшей математики, поэтому качество подготовки учащихся средней школы к усвоению математики высшей школы во многом зависит от того, насколько твёрдо и полно данное понятие изучено в школе.

Многие понятия школьного курса математики строятся на понятии функции, а также решение многих задач, непосредственно не связанных с понятием функции, используют знания о ней. Идея функции может быть использована и в геометрии.

Итак, изучение понятия функции – это не только одна из важнейших целей преподавания математики в школе, но и средство, которое даёт возможность связать общей идеей разные курсы математики, установить связь с другими предметами (физикой, химией).

В школьных учебниках место изучения функций различно. В одних учебниках функциональная линия является ведущей (здесь рассмотрены понятия и функции, которым не придаётся значения в других учебниках, например, непрерывность и выпуклость, функции , , ). В других учебниках внимание уделяется другим содержательно-методическим линиям, а значение функциональной линии умеренное [14, с.98].

 

 

 

1.2 Анализ школьной программы

 

Функциональная линия – это одна из ведущих линий в школьной математике, знакомство с ней начинается в 5 классе, а заканчивается в 11 классе. В основной школе происходит изучение таких понятий, как функция, область определения функции, способы задания функции, график функции, возрастание и убывание функции, сохранение знака на промежутке, наибольшее и наименьшее значение функции, чётная и нечётная функции.

Изучаются линейная функция у = кх + b, степенные функции вида у = х², у = х³, квадратичная функция у = ах² + bх + с, обратная пропорциональность , функция, содержащая знак модуля , а также функции  и , где n – натуральное число.

Кроме того, рассматриваются простейшие преобразования графиков функций.

После изучения функциональной линии в основной школе учащиеся должны:

• понимать, что функция – это математическая модель, позволяющая описывать и изучать разнообразные зависимости между реальными величинами, что конкретные типы функций описывают большое разнообразие реальных зависимостей;
• правильно употреблять функциональную терминологию (значение функции, аргумент, график функции, область определения, возрастание и др.) и символику; понимать её при чтении текста, в речи учителя, в формулировке задач;
• находить значение функций, заданных формулой, таблицей, графиком, решать обратную задачу;
• находить по графику функции промежутки возрастания и убывания функции, промежутки знакопостоянства, находить наибольшее и наименьшее значения;
• строить графики функций – линейной, прямой и обратной пропорциональностей, квадратичной функции;
• интерпретировать в несложных случаях графики реальных зависимостей между величинами, отвечая на поставленные вопросы [11, с.28].

 

 

 

1.3 Подходы к изучению понятия «функция»

 

Выделяют два подхода к введению определения понятия функции – генетический и логический.

Генетическая трактовка понятия функции основана на разработке и методическом освоении основных черт, вошедших в понятие функции примерно до середины XIX века. Наиболее существенными понятиями, которые при этой трактовке входят в систему функциональных представлений, служат переменная величина, функциональная зависимость переменных величин, формула (выражающая одну переменную через некоторую комбинацию других переменных), правило, декартова система координат [15, с.121].

Генетическое развёртывание функции обладает рядом достоинств. В нём подчёркивается «динамический» характер понятия функциональной зависимости, легко выявляется модельный аспект понятия функции относительно изучения явлений природы. Такая трактовка естественно увязывается с остальным содержанием курса алгебры, поскольку большинство функций, используемых в нём, выражается аналитически или таблично.

Генетическая трактовка понятия функции содержит также черты, которые следует рассматривать как ограничительные. Одним из очень существенных ограничений является то, что переменная при таком подходе всегда неявно (или даже явно) предполагается пробегающей непрерывный ряд числовых значений. Поэтому в значительной степени понятие связывается только с числовыми функциями одного числового аргумента (определёнными на числовых промежутках), то есть происходит сужение объёма понятия функции.

Логическая трактовка понятия функции исходит из положения о том, что строить обучение функциональным представлениям следует на основе методического анализа понятия алгебраической системы. Функция при таком подходе выступает в виде отношения специального вида между двумя множествами, удовлетворяющего условию функциональности. Начальным этапом изучения понятия функции становится вывод его из понятия отношения. Подход основан на трактовке понятия функции более позднего времени: вторая половина XIX в. – XX в.

Логический подход охватывает множества разной природы. Такое определение по структуре простое, позволяет чётко дать некоторые определения, относящиеся к функциональной линии, которые при генетическом подходе сделать нелегко (обратная функция и так далее) [15, с.123].

Таким образом, если генетический подход оказывается недостаточным для формирования функции как обобщенного понятия, то логический обнаруживает определённую избыточность. Отметим, что различия в трактовках функции проявляется с наибольшей резкостью при введении этого понятия. В дальнейшем изучении функциональной линии различия постепенно стираются, поскольку изучается в курсах алгебры и начал анализа не само понятие функции, а в основном конкретно заданные функции и классы функций, их разнообразные приложения в задачах.

В настоящее время в школьном курсе математики используется генетический подход.

 

 

 

1.4 Функциональная пропедевтика

 

Основные задачи пропедевтики решают функциональные упражнения. Часть таких упражнений рассматривается в начальных классах, основное внимание им должно быть уделено в 5–6 классах.

Виды упражнений:

1) Упражнения с переменными, например, вычисление значений буквенных выражений при различных значениях переменных. Такие задания постепенно приводят к понятию функции и готовят учащихся к усвоению аналитического способа задания функции. При решении таких упражнений вычисления лучше записывать в форме таблицы, что готовит учеников к усвоению табличного способа задания функции.

2) Упражнения на составление формул при решении задач и наоборот задач по готовым формулам.

3) Упражнения на изменение результатов действий в зависимости от изменения компонентов, например, как изменяется сумма, если слагаемое изменяется на столько-то.

4) Упражнения на координатной прямой, координатной плоскости и в чтении графиков [18, с.47].

В 5 классе учащиеся должны уметь решать 2 задачи: изображать точку по координате и находить координату точки на луче, а в 6 классе эти задачи переносятся на координатную плоскость.

 

 

 

1.5 Введение понятия функции, способов её задания и исследования

 

Введение понятия функции ведётся по трём основным направлениям: 1) упорядочение основных представлений о функции; развёртывание системы понятий, характерных для функциональных линий (способы задания и общие свойства функций, графическое истолкование области определения, области значения, возрастания и т. д. на основе метода координат); 2) глубокое изучение отдельных функций и их классов; 3) расширения области приложения алгебры за счёт включения в нее идеи функции и разветвлённой системы действий с функцией [20, с.146].

Первое направление появляется в алгебре ранее остальных. Основной акцент – усвоение учащимися однозначности соответствия аргумента и определяемого по нему значения функции. Из разнообразных способов задания функции чаще всего используется способ задания функции формулой, остальные способы задания – подчинённые. Сопоставление различных способов задания вызвано практической потребностью и важно для усвоения всего многообразия понятия функции.

Использование перевода задания функции из одной формы представления в другую – необходимый методический приём при введении понятия функции. Реализация – система заданий, в которых представлены все случаи такого перевода. Например, при отработке формы представления можно рассмотреть задачи:

1. изобразить график функции у=4х+1 на ;
2. проверить, насколько точна таблица квадратов чисел, взяв несколько значений для аргумента и проведя расчёт: х=1.35; 2.44; 9,4; 7; 6,25;
3. по заданным точкам построить график зависимости [14, с.58].

В первом задании построение идёт по точкам, так как первоначально учащиеся не знают вида графика линейной функции. Способ построения графика функции по точкам иллюстрирует задание три, второе задание иллюстрирует связь функциональных представлений с числовой системой. Второй тип заданий – оптимизация представления функции без изменения средств представлений. Типичные задания: упростить формулу, задающую функцию. Цель таких заданий – показать, что одна и та же функция может определяться различными формулами. Связь функциональной линии с числовой системой при введении понятия функции осуществляется при вычислении её значения по формуле или словесному описанию. Учащиеся должны понимать, что если о некоторой функции известно, что она определена на множестве , то это значит, что для каждого  можно найти соответствующее значение .

Например: Функция задана формулой:. Найти её значение при . Наряду с раскрытием определения понятия уточнения общих функциональных представлений введение понятия функции требует рассмотрения нескольких конкретных примеров функций.

Таким образом, для введения понятия функции используется конкретно-индуктивный путь, поэтому полезно использовать метод проблемного изложения, разобрать несколько задач с подчёркиванием существенных признаков понятия (одна переменная зависит от другой, однозначная зависимость). Примеры должны быть разнообразными по содержанию, несущественные признаки должны варьироваться (несущественным является способ задания функции: формула, график, таблица). Необходимо подобрать контрпример для разных способов задания функции, выделить критерий, по которому можно определить, является ли зависимость функциональной (при каждом способе задания).

Критерии:

1) Если зависимость задана таблицей, то в первой строчке не должно быть одинаковых чисел.

2) В случае, когда функция задана графически, то любая прямая, параллельная оси Оу, должна пересекать график не более чем в одной точке.

3) Если функция задана аналитически, то нужно следить за единственностью значений соответствующих зависимостей, например,  [10, с.52].

При введении понятия «функция» следует обратить внимание на переход от одной формы задания функции к другой. В школе, как правило, он осуществляется по схеме: аналитическая модель ® таблица ® график. Для введения конкретных функций лучше использовать схему: словесная модель ® таблица ® график ® аналитическая модель.

Очень важно, чтобы учащиеся понимали, что одна и та же функция может быть задана и формулой, и таблицей, и графиком, но не всякая (некоторые функции, заданные графически, не могут быть заданы формулой, например, кардиограммы).

При введении записи  необходимо, чтобы учащиеся понимали смысл буквы f, которая означает закон соответствия.

Способы исследования функций.

Содержание этой учебной задачи заключается в том, чтобы средствами, которыми владеют учащиеся в это время, устанавливать все свойства функции.

Выделяют три способа исследования функции: аналитический (исследование элементарными средствами и исследование с помощью производной), графический и комбинированный метод.

Результатом аналитического метода является построение графика функции. При исследовании используются уравнения и неравенства.

При графическом методе по точкам строится график, и с него считываются свойства.

Комбинированный метод используется в двух смыслах:

а) часть свойств обосновывается аналитически, а часть – графически;

б) сначала строится график по точкам, считываются свойства, а затем они доказывается без всякой опоры на график [15, с.93].

Необходимо уже в средней школе чётко разграничивать языки, на которых рассматриваются свойства функций: словесный, графический, аналитический.

Схема для чтения свойств функции :

Свойства функции	Аналитически это означает	Графически это означает
1. Область определения	Переменная х в формуле  может принимать значения …	Это множество абсцисс…
2. Область значений	Переменная у в формуле  может принимать значения …	Это множество ординат точек графика …
3. Нули функции	при х =…(корни уравнения)	Это абсциссы точек пересечения графика с осью Ох
4. Функция принимает значения: а) больше а б) меньше а	а) , если х ... б) , если х ...	а) График расположен выше прямой у = а при х =... б) График расположен ниже прямой у = а при х =...
5. Функция принимает значения, равные значениям функции	, если х =...	График функции  пересекает график функции , при х =...
6. Функция принимает значения а) больше значений функции б) меньше значений функции	а) , если х ... б) , если х ...	а) График функции  расположен выше графика функции , при х =... б) График функции , расположен ниже графика функции , при х =...
7. а) функция возрастает на множестве М б) функция убывает на множестве М	Пусть х1, х2ÎМ, а) если , то б) если , то	а) с увеличением абсцисс точек на множестве М график функции «поднимается» вверх. б) с увеличением абсцисс точек на множестве М график функции «опускается» вниз.

 

Схема изучения конкретных функций.

1. Рассмотреть конкретные ситуации (или задачи), приводящие к данной функции.

На этом этапе изучения учащиеся должны убедиться в целесообразности изучения данной функции, исходя из соображений практики или необходимости дальнейшего развития теории.

2. Сформулировать определение данной функции, дать запись функции формулой, провести исследование входящих в эту формулу параметров.

На этом этапе изучения учащиеся получают чёткое представление о данной функции, о её характеристических свойствах, выделяющих данную функцию из множества других.

3. Ознакомить учащихся с графиком данной функции.

На этом этапе учащиеся учатся изображать изучаемую функцию графически, отличать по графику данную функцию от других, заданных графиком функций, устанавливать влияние параметров на характер графического изображения функции.

4. Исследовать функцию на основные свойства: области определения и значений, возрастание и убывание, промежутки знакопостоянства, нули, экстремумы, чётность или нечётность (или отсутствие этих свойств), периодичность, ограниченность, непрерывность.
5. Использовать изученные свойства функций при решении различных задач, в частности уравнений и неравенств [15, с.96].

Этот этап является этапом закрепления основных понятий и теоретических положений, связанных с изучаемой функцией, а также этапом формирования соответствующих умений и навыков.

Эта методическая схема является своеобразным планом – программой для изучения любой функции, но нужно иметь в виду, что содержание материала и практика обучения вносят в неё соответствующие коррективы.

Итак, при изучении функциональной линии необходимо в 5-6 классе проводить функциональную пропедевтику. Понятие «функция» лучше вводить конкретно-индуктивным путём, при использовании генетического подхода, а исследование конкретных функций проводить комбинированным методом.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ГЛАВА 2 ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

 

2.1 Использование свойства монотонности функции при решении уравнений и неравенств

 

Не всякое уравнение f(x) = g(x) или неравенство в результате преобразований или с помощью удачной замены переменной может быть сведено к уравнению или неравенству того или иного стандартного вида, для которого существует определенный алгоритм решения. В таких случаях иногда оказывается полезным использовать некоторые свойства функций, такие как монотонность, периодичность, ограниченность, четность и др.

Решение уравнений и неравенств с использованием свойства монотонности основывается на следующих утверждениях.

1. Пусть f(х) – непрерывная и строго монотонная функция на промежутке Т, тогда уравнение f(x) = С, где С – данная константа, может иметь не более одного решения на промежутке Т.
2. Пусть f(x) и g(х) – непрерывные на промежутке T функции, f(x) строго возрастает, а g(х) строго убывает на этом промежутке, тогда уравнение f(х) = =g(х) может иметь не более одного решения на промежутке Т. Отметим, что в качестве промежутка T могут быть бесконечный промежуток (-∞;+∞) , промежутки (а;+∞), (-∞; а), [а;+∞), (-∞; b], отрезки, интервалы и полуинтервалы [1, с.76].

На уроках математики учащимся можно предложить следующие уравнения, решить которые можно с применением свойства монотонности функции.

Пример 1. Решите уравнение

.                                                                                    

Решение. Очевидно, что х ≤ 0 не может являться решением данного уравнения, так как тогда . Для х > 0 функция  непрерывна и строго возрастает, как произведение двух непрерывных положительных строго возрастающих для этих х функций f(x) = х и . Значит, в области х > 0 функция  принимает каждое свое значение ровно в одной точке. Легко видеть, что х = 1 является решением данного уравнения, следовательно, это его единственное решение.

Ответ: {1}.

Пример 2. Решите неравенство

.                                                                                     

Решение. Каждая из функций у = 2^x, у = 3^x, у = 4^х непрерывная и строго возрастающая на всей оси. Значит, такой же является и исходная функция . Легко видеть, что при х = 0 функция  принимает значение 3. В силу непрерывности и строгой монотонности этой функции при х > 0 имеем , при х < 0 имеем . Следовательно, решениями данного неравенства являются все х < 0.

Ответ: (-∞; 0).

Пример 3. Решите уравнение

.                                                                              

Решение. Область допустимых значений уравнения есть промежуток . На ОДЗ функции  и  непрерывны и строго убывают, следовательно, непрерывна и убывает функция . Поэтому каждое свое значение функция h(x) принимает только в одной точке. Так как  , то х = 2 является единственным корнем исходного уравнения.

Ответ: {2}.

 

 

2.2 Использование ограниченности функции

 

При решении уравнений и неравенств свойство ограниченности снизу или сверху функции на некотором множестве часто играет определяющую роль.

Примером функции, ограниченной снизу на всей числовой оси, является функция y = x². Примером функции, ограниченной сверху на множестве (–∞; 0) является функция y = 1/x. Примером функции, ограниченной на всей числовой оси, является функция y = sin x [7, с.24].

Пример 1. Решите уравнение

sin(x³ + 2х² + 1) = х² + 2х + 2.                                                            

Решение. Для любого действительного числа х имеем sin(x³ + 2х² + 1) ≤ 1, х² + 2х + 2 = (x + 1)² + 1 ≥ 1. Поскольку для любого значения х левая часть уравнения не превосходит единицы, а правая часть всегда не меньше единицы, то данное уравнение может иметь решение только при .

При  , , т.е. при  уравнение (4) так же корней не имеет.

Ответ: Ø.

Пример 2. Решите уравнение

.                              

Решение. Очевидно, что х = 0, х = 1, х = -1 являются решениями данного уравнения. Для нахождения других решений в силу нечетности функции f(х) = = x³ - x - sin πx достаточно найти его решения в области х > 0, х ≠ 1, поскольку если x₀ > 0 является его решением, то и (-x₀) также является его решением.

Разобьем множество х > 0, х ≠ 1, на два промежутка: (0; 1) и (1; +∞).

Перепишем начальное уравнение в виде x³ - x = sin πx. На промежутке (0; 1) функция g(х) = x³ - x принимает только отрицательные значения, поскольку х³ < < х, а функция h(x) = sin πx только положительные. Следовательно, на этом промежутке уравнение не имеет решений.

Пусть х принадлежит промежутку (1; +∞). Для каждого из таких значений х функция g(х) = х³ - х принимает положительные значения, функция h(x) = sin πx принимает значения разных знаков, причем на промежутке (1; 2] функция h(x) = sin πx неположительна. Следовательно, на промежутке (1; 2] уравнение решений не имеет.

Если же х > 2, то |sin πx| ≤ 1, x³ - x = x(x² - 1) > 2∙3 = 6, а это означает, что и на промежутке (1; +∞) уравнение также не имеет решений.

Итак, x = 0, x = 1 и x = -1 и только они являются решениями исходного уравнения.

Ответ: {-1; 0; 1}.

Пример 3. Решите неравенство

.                                                                                          

Решение. ОДЗ неравенства есть все действительные x, кроме x = -1. Разобьем ОДЗ неравенства на три множества: -∞ < x < -1, -1 < x ≤ 0, 0 < x < +∞ и рассмотрим неравенство на каждом из этих промежутков.

Пусть -∞ < x < -1. Для каждого из этих x имеем g(x) = < 0, а f(x) = 2^x > 0. Следовательно, все эти x являются решениями неравенства.

Пусть -1 < x ≤ 0. Для каждого из этих x имеем g(x) = 1 - , а f(x) = 2^x ≤ 1. Следовательно, ни одно из этих x не является решением данного неравенства.

Пусть 0 < x < +∞. Для каждого из этих x имеем g(x) = 1 - , a . Следовательно, все эти x являются решениями исходного неравенства.

Ответ: .

 

2.3 Использование периодичности функции

 

Функция f (x) называется периодической с периодом T ≠ 0, если выполняются два условия:

• если , то x+ T и x – T также принадлежат области определения D (f (x));
• для любого выполнено равенство

f (x + T) = f (x).

Поскольку  , то из приведенного определения следует, что

.

Если T – период функции f (x), то очевидно, что каждое число nT, где , n ≠ 0, также является периодом этой функции.

График периодической функции

.

График периодической функции обычно строят на промежутке [x₀; x₀ + T), а затем повторяют на всю область определения.

Хорошим примером периодических функций могут служить тригонометрические функции y = sin x, y = cos x (период этих функций равен 2π), y = tg x (период равен π) и другие. Функция y = const также является периодической. Для нее периодом является любое число T ≠ 0 [11, с.63].

Пример 1. Функция  периодическая с периодом T = 5. Известно, что . Найдите

Решение. Преобразуем отдельно каждое слагаемое:

Тогда

Ответ: 2.

Пример 2. Найдите период функции

.

Решение. Преобразуем данное выражение:

 имеет период ;

 имеет период .

Тогда функция  имеет период

.

Ответ: π.

Пример 3. Пусть - периодическая функция с периодом 3 такая, что

; .

Решите уравнение:

.

График функции  на множестве [0;3) изображен на рисунке 1.

Так как 3 – период функции , то , тогда уравнение (7) примет вид , рассмотрим два случая.

 

 

y

x

Рисунок 1

 

1) пусть , т.е. , тогда уравнение примет вид:

, значит и значит, .

2) пусть то , тогда  уравнение примет вид:

 

; итак ,

т.е. , .

Ответ: .

 

 

 

2.4 Использование четности и нечетности функции

 

Исследование функций на четность облегчается следующими утверждениями.

• Сумма четных (нечетных) функций является четной (нечетной) функцией.
• Произведение двух четных или двух нечетных функций является четной функцией.
• Произведение четной и нечетной функции является нечетной функцией.
• Если функция f четна (нечетна), то и функция 1/f четна (нечетна).

Пример 1. Может ли при каком-нибудь значении а уравнение

2x⁸ – 3аx⁶ + 4x⁴ – аx² = 5

иметь 5 корней? 

Решение. Обозначим f(x) = 2х⁸ – 3ах⁶ + 4х⁴ – ах². f(x) – функция четная, поэтому, если x₀ – корень данного уравнения, то -x₀ – тоже. x = 0 не является корнем данного уравнения (0 ≠ 5). Следовательно, число корней у этого уравнения при любом действительном а четно, поэтому 5 корней оно иметь не может.

Ответ: не может.

 

 

 

2.5 Использование области определения функции

 

Область определения функции – это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция  определена. Область определения иногда еще называют областью допустимых значений функции (ОДЗ). Для нахождения ОДЗ функции нужно проанализировать данное соответствие и установить встречающиеся запретные операции (деление на нуль, возведение в рациональную степень отрицательного числа, логарифмические операции над отрицательными числами и т. п.) [21, с.91].

Иногда знание ОДЗ позволяет доказать, что уравнение (или неравенство) не имеет решений, а иногда позволяет найти решения уравнения (или неравенства) непосредственной подстановкой чисел из ОДЗ.

Пример 1. Решите уравнение

.                                                                               

Решение. ОДЗ этого уравнения состоит из всех х, одновременно удовлетворяющих условиям  и , т. е. ОДЗ есть пустое множество. Этим решение уравнения и завершается, так как установлено, что ни одно число не может являться решением, т. е. что уравнение не имеет корней.

Ответ: Ø.

Пример 2. Решите уравнение

.                                                                         

Решение. ОДЗ этого уравнения состоит из всех x, одновременно удовлетворяющих условиям , , , т. е. ОДЗ есть . Подставляя эти значения х в уравнение, получаем, что его левая и правая части равны 0, а это означает, что все , являются его решениями.

Ответ:

Пример 3. Решите неравенство

.                                                                                     

Решение. ОДЗ неравенства есть все х, удовлетворяющие условию . Ясно, что х = 1 не является решением неравенства. Для х из промежутка  имеем , а . Следовательно, все х из промежутка  являются решениями неравенства.

Ответ: .

Пример 4. Решите неравенство

.                                                                              

Решение. ОДЗ неравенства есть все х из промежутка . Разобьем это множество на два промежутка  и .

Для х из промежутка  имеем , . Следовательно,  на этом промежутке, и поэтому неравенство не имеет решений на этом промежутке.

Пусть х принадлежит промежутку , тогда  и . Следовательно,  для таких х, и значит, на этом промежутке неравенство также не имеет решений.

Итак, неравенство решений не имеет.

Ответ: Ø.

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

Функциональный метод решения уравнений и неравенств является составной частью и естественным развитием функциональной линии обучения математике. Можно выделить свойства функций, наиболее часто используемые при решении задач.

Во-первых, кусочная непрерывность и монотонность большинства алгебраических и элементарных трансцендентных функций, во-вторых, свойства четности и нечетности, периодичность функции, в-третьих, свойства ограниченности области определения или области значения функции. В случае неявного задания функции используются свойства симметрии графика относительно осей координат или начала координат и т.д. Наиболее часто при решении задач этим методом применяются методы математического анализа: использование непрерывности, дифференцируемости, монотонности, устанавливаемой с помощью тех же методов.

Однако в подавляющем большинстве случаев решение задач сводится лишь к применению свойств функции, уже заявленной в условии задачи. Это, конечно, не дает возможность самим учащимся осознать необходимость исследования функции. При современном системном подходе к обучению необходимо предоставить учащимся возможность самим почувствовать существенную необходимость в этом.

 

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ доступен в полной версии

 

Скачать: gotovaya-rabota.zip