Расчет плоских ферм

0

                                         Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Южно-Уральский государственный университет»

(национально-исследовательский университет)

Кафедра «Двигатели летательных аппаратов»

 

                                                 Курсовая работа

                                               Расчет плоских ферм

 

                                                                 

 

 

 

                                                                     Группа:

Выполнил:

«__» __________201г.

Проверил:

«__» __________201г.

 

 

  • РАСЧЕТ ПЛОСКИХ ФЕРМ

1.1 Ручной расчет трехстержневой фермы

Ферменная конструкция (рис. 1) состоит из трех стержней, каждый из которых одним концом закреплен в неподвижном шарнире, а другим связан шарнирно с остальными стержнями. К свободному узлу 2 приложена вертикальная сила , направление которой указано на рисунке. Расстояние  стержни изготовлены из стали 12Х18Н10Т ( ) одинакового поперечного сечения.

Рисунок 1 – Расчётная схема

 

Запишем матрицы узловых перемещений и усилий:

 

Поскольку узлы 1, 3 и 4 неподвижны, матрица неизвестных перемещений узлов конструкции будет содержать только две ненулевых компоненты:

 

Тогда матрицу сил в основной системе координат, принятой для конструкции на рис. 1 можно записать в виде:

Матрица жёсткости в общем виде:

Запишем матрицу коэффициентов жесткости в основной системе координат:

Матричное уравнение  будет таким образом содержать два уравнения:

 

 

 

 

 

Для отыскания элементов этой матрицы рассмотрим жесткостные характеристики стержней в местных координатах.

Для определённости будем принимать, что местная ось  направлена от узла с меньшим номером к узлу с большим номером (рис.2).

 

 

Рисунок 2 – Стержни в общих и местных системах координатах

 

 

         

Длины всех стержней, а также косинусы углов между местными и общими осями представленных в таблице 1.

 

 

 

 

 

 

Таблица 1 - Геометрические параметры стержней

Стержень

1

     2

    3

 

0,5а

1,5а

2,5а

 

а

–а

–а

 

1,118а

1,803a

2,693а

 

0,447

0,832

0,928

 

0,894

-0,555

-0,371

 

Коэффициенты жёсткости в местной системе координат определяются по формуле:

где i – номер стержня.

Находим матрицы жесткости стержней в местных осях:

 

Запишем матрицы направляющих косинусов  для стержней:

Используем формулу перевода матриц жесткости из местной СК в общую СК  для каждого стержня, получаем:

Для первого стержня:

,

Для второго стержня:

,

Для третьего стержня:

,

 

Цифры внизу и сбоку матриц означают номера соответствующих сил и перемещений.

  Сформируем матрицу жесткости K. Для этого просуммируем соответствующие элементы матриц жесткости отдельных стержней, стоящие на пересечении строк и столбцов с индексами ненулевых смещений, то есть с индексами 3 и 4. В результате получим:

Записываем систему уравнений  относительно ненулевых  и  в общей системе координат:

Решая эту систему уравнений:

Получим перемещение узла 2 в направлениях 3 и 4:

Знак «-» означает, что перемещение узла осуществляется в отрицательном направлении оси x (рис. 2).

Матрицы перемещений стержней в общей системе координат:

,   ,   .

Теперь определим перемещения в местных системах координат:

 

 

где .

Находим перемещения в местных координатах:

Отрицательные знаки в матрицах свидетельствуют о том, что перемещения направлены в стороны обратные принятым направлениям местных осей.

Наконец по формуле  вычисляем узловые силы, действующие на каждый стержень вдоль его оси, то есть в местных системах  координат:

Как видно из рис.2, для растянутого стержня первый элемент матрицы  является отрицательным, а второй – положительным и наоборот. Таким образом, стержень 1 сжат, а стержни 2 и 3 растянуты.

Осевые силы в этих стержнях соответственно равны:

По известным усилиям определим толщину стенок трубчатых стержней с постоянным внешним радиусом .

При сжатии стержня (1) критическая сила равна:

,

где  I - момент инерции полого круглого сечения:

.

Условие прочности (устойчивости) при сжатии:

,

где =4 – коэффициент запаса при потере устойчивости,

P – действующая сила.

Из приведенных выше формул выразим внутренний радиус r:

Вычислим  из условия, что

>0;

.

Теперь определим :

;

.

Толщина стенки:

.

 

Для растянутого стержня условие прочности запишется через напряжения:

,

где  - коэффициент запаса прочности при растяжении;

 - действующее на стержень напряжение;

 - допустимое напряжение.

Для второго стержня:

;

;

.

Толщина стенки:

.

Для третьего стержня:

;

;

.

Толщина стенки:

.

Масса стержней определяется по формуле:

.

где  - площадь i – го стержня;

 - плотность материала.

 

;

;

.

Масса всей конструкции:

1.2 Расчет трехстержневой фермы в MathCAD

Исходные данные:

Запишем матрицы с координатами стержней:

Составим матрицу-таблицу с параметрами стержней:

Матрицы из направляющих косинусов:

 

 

Для перевода в общую систему координат:

Матрицы жесткости в общей системе координат:

 

Матрица, сформированная с учетом закрепления узлов конструкции:

 

Матрица сил:

Матрицы перемещений в общей системе координат:

 

 

Найдем перемещения в местных координатах:

 

 

 

 

 

 
 
 
 

 

 

 

 

Матрицы жесткости стержней в местных СК:

 

 

 

 
 

 

Вычислим узловые силы, действующие на каждый стержень вдоль его оси, то есть в местных системах координат:

 
 

 

 

 

 

 

Вычислим диаметры и толщины стержней:

 
 
 
 
 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
 
 
 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислим массы стержней и всей конструкции целиком:

 
 
 
 
 
 
 
 

 

 

 

 

 

 

 

1.3 Расчет трехстержневой фермы в ANSYS 14.0

Подходящими КЭ для стержней плоских ферм являются стержневые элементы LINK1. Узлы конечно-элементной модели будут совпадать с узлами фермы, а каждый стержень будет отдельным КЭ. Для КЭ LINK1 требуется задать по крайней мере одно материальное свойство (модуль Юнга ЕХ) и одну константу КЭ (площадь поперечного сечения AREA). Эти константы произвольны, и значения этих параметров в данной задаче не будут влиять на искомые величины, подлежащие определению.

Описание процедуры решения.

1) Определение типа КЭ.

а) Выбираем Main menu→ Preprocessor→ Element type→ Add/Edit/Delete Появляется диалоговое окно Element Types.

б) Нажимаем  Add. Появляется диалоговое окно Library of Elements.

в) В прокручиваемом списке слева, выбираем Structural Link.

г) Выбираем 3D finit stn 180 в прокручиваемом списке справа и нажмите на OK.

д) Нажимаем Close в диалоговом окне Element Types.

2) Задание наборов реальных констант для выбранных типов КЭ.

а) Выбираем Main menu→ Preprocessor→ Real Constants→ Add/Edit/Delete. Появляется диалоговое окно Real Constants.

б) Нажимаем  Add. Появляется диалоговое окно Element Type for Real Constants.

в) Выбираем Type 1Link 180 и нажимаем OK.

г) Открывается окно Real Constants Set Number 1, for Link 180. Задаем площадь в строке Cross-sectional area равную 0,0128112. Нажимаем OK.

д) Закрываем диалоговое окно Close.

3) Задание свойств материала.

а) Выбираем Main Menu → Preprocessor → Material Props → Material Models. Появляется диалоговое окно Define Material Model Behavior .

б) В окне Material Models Available  выбираем  Favorites Linear static→ Linear Isotropic.

в) Вводим 1.98E11 для EX, 0.29 для PRXY и нажимаем OK.

г) Закрываем диалоговое окно.

4) Создание геометрии.

а) Выбираем  Main Menu → Preprocessor → Modeling →  Create →Nodes→ In Active CS.  Появляется диалоговое окно dводим следующие значения:

Node 1 (0;0) →Apply

Node 2 (4.6;1) →Apply

Node 3 (2;0) →Apply

Node 4 (3;0) →Apply

б) Выбираем Main Menu → Preprocessor → Modeling  →  Create → Elements →User numbered → Thru Nodes.

Соединяем полученные узлы и нажимаем OK.

5) Разбиение ранее заданного объекта на конечное количество элементов.

а)Выбираем Main Menu → Preprocessor → Meshing → Mesh Attributes → All Lines. В открывшимся окне Line Attributes нажимаем OK.

б) Выбираем Meshing → Size Cntrls → Manual Size → Lines → All lines. В строке NDIV задаем количество элементов 1.

в) Mesh → Lines. С помощью Shift выделяем все линии и нажимаем OK.

6) Задание граничных условий.

а) Закрепление ненагруженных узлов. Main Menu → Preprocessor → Define Loads → Apply → Structural→ Displacement → On Nodes. Выделяем три узла 1, 3, 4 и нажимаем OK.

Выбираем All DOF, то есть закрепляем по всем осям, и нажимаем OK для сохранения выбора и возврата в меню выбора.

7) Задание сил.

Main Menu → Preprocessor → Define Loads → Apply → Structural→  Force/Moment→ On Nodes.

Указываем узел, на который нужно приложить силу и нажимаем OK.

В открывшемся окне Apply F/M on KPs выбираем направление FX и задаем величину VALUE. Нажимаем OK.

Знак «-» означает, что направление силы противоположно направлению оси.

Геометрическая модель и нагрузка изображены на рис. 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 3 - КЭ модель со связями и нагрузкой

8) Формирование и решение системы линейных алгебраических уравнений МКЭ.

Выбираем Main menu → Solution → Solve → Current LS → ОК

 

Просмотр результатов расчета.

Текстовый результат.

а) Расчет усилий в элементах:

Main menu → General PostProc → List Result → Element Solution → Favorites → Element Solution → Element Solution

б) Расчет перемещений в элементах:

Main menu →General PostProc → List Result → Nodal Solution → Favorites → Nodal Solution → Displacement vector sum

Просмотр деформированного состояния (рис. 4):

Рисунок 4 – Деформированное и недеформированное состояние КЭ модели

 

 

Рисунок 5 – Эпюра нормальных сил

 

 

Таблица 2 - Силы в стержнях

Элемент

Сила, кН

1

-4,788

2

-5,133

3

3,864

 

Таблица 3 - Перемещения узлов

Узел

     

2

   

0

 

Сравним результаты вычислений ручным счетом с каждым из использованных методов машинного счета

Таблица 6 – Результаты вычислений

 

Ручной счет

MathCad

%

ANSYS

%

Vx, м

   

0,44

 

0,44

Vy, м

   

3,2

 

3,2

P1

-

-4788

0,04

-4788

0,04

P2, Н

5130

5133

0,05

-5133

0,05

P3, Н

3860

3864

0,1

3864

0,1

 

Вывод. По всем сравниваемым параметрам погрешность не превышает 3,2%. Это говорит о правильности решения.

 

 

  • РАСЧЕТ МНОГО СТЕРЖНЕВОЙ ФЕРМЫ В ANSYS 14.0

Геометрию задачи задаем аналогично предыдущему пункту 1.3

Рисунок 6 - КЭ модель со связями и нагрузкой

 

Рисунок 7 – Деформированное и недеформированное состояние КЭ модели

Рисунок 8 – Эпюра нормальных сил

3 РАСЧЁТ ОБЪЁМНЫХ ТЕЛ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ УСЛОВИЯХ НАГРУЖЕНИЯ

Для пластины (рис. 6) толщиной , изготовленной из сплава АМг ) рассмотреть три случая нагружения:

  1. а) На пластину действуют растягивающие силы, величина которых . Определить максимальные и минимальные напряжения и и координаты точек с этими напряжениями. Определить коэффициент концентрации .

б) Определить координаты сечений и , в которых напряжения изменяется менее чем на 5% по сравнению с .

  1. Определить максимальные и минимальные напряжения и и коэффициент концентрации  при нагреве пластины на , помещенной между двумя плоскостями (плитами) без трения.
  2. Определить максимальные и минимальные напряжения и и коэффициент концентрации  для диска, профилем которого является данная пластина, при вращении его вокруг правого края с частотой .

Рисунок 8 – Заданная пластина с размерами

 

3.1 Расчёт пластины на растяжение в Ansys 14.0

Построение КЭ модели:

  • Определяем тип используемых КЭ. Для этого заходим в Main menu → Preprocessor → Element type → Add/Edit/Delete→ Add → Solid → Quad 4 mode 82 → OK. Параметры типа элемента: Option → КЗ → Plane stress w/thk → Element type → Close.
  • Задаем толщину пластины: Main menu → Preprocessor → Real Constants → Add → OK → Thickness → THK 0.005 → OK.
  • Задание свойств материала производится в Material Props → Material models → Favorites → Linear Isotropic → OK →

EX 2.1У11→ OK;

PRXY, 0.25→ ОК.

  • Создаем геометрическую модель. Для этого задаём координаты точек фигуры, соединяем эти точки прямыми. По контуру создаём область: Main menu → Preprocessor → Modelling → Create → Keypoints. Вводим координаты точек контуров, соединяем точки линиями и строим области (Areas) «по линиям». Строим точки на окружности и на грани детали так, чтобы деталь состояла из двух четырёхугольников. «Сшиваем» линии с помощью функции Concatenate (Meshing). Затем создаём области: Areas → Arbitrary → By lines. Сшиваем две области в одну с помощью функции Concatenate (Meshing).

Создание сетки КЭ:

  • Для начала создаем свободную сетку (форма элементов стремится к форме правильных многоугольников): Meshing →Size Cntrls→ Manual Size → Areas → Picked Areas → Size001 → OK; Meshing → Mesh → Areas →Free. В графическом окне указываем область, подлежащую разбиению. В результате получаем приблизительно регулярную сетку, которой можно пользоваться для расчетов (рисунок 8).

Рисунок 9 – Расчетная КЭ модель

 

 

  • Определение типа анализа и задание условий закрепления и силовых факторов.

Тип анализа:

Main menu → Solution → Analysis Type → New Analysis → Static

Условия закрепления:

Main menu → Solution → Define Loads → Apply → Structural → Displacement → Symmetry B.C. → On Lines

В графическом окне указываем линии симметрии детали.

Задание давления на торце детали:

Main menu → Solution → Define Loads → Apply → Structural → Pressure → On Lines → Pressure Value →-220E6→OK   

Запуск решателя:

Main menu → Solution → Solve → Current LS → Close

  • Просмотр результатов расчета.

Посмотрим деформированное состояние детали (рис. 10):

Рисунок 10 – Пластина после деформации

    Рисунок 11 – Пластина после деформации c учащенной вдвое сеткой

 

Рисунок 12 –Напряжения на пластине

Рисунок 13 – Напряжения на пластине с вдвое учащенной сеткой

Рисунок 13 – Перемещения в узлах пластины по оси Х

Рисунок 14 – Перемещения в узлах пластины по оси Х с вдвое учащенной сеткой

Максимальное напряжение

 

Минимальное напряжение

 

 

 Определение коэффициента концентрации напряжений:

.

и

Исходя из вышеприведенных иллюстраций определяем значения величин            

3.2 Расчет пластины при термическом расширении в Ansys 14.0

Определим максимальные и минимальные напряжения, а также коэффициент концентрации  при нагреве пластины из материала AM6 на , помещенной между двумя плоскостями (плитами) без трения.

Создаем модель аналогичную пункту 2.1 с учетом величин l01 и l02.

При подготовке КЭ модели в свойствах материала дополнительно указываем коэффициент температурного расширения:

Material Props → Material models → Favorites → Thermal Expansion → ALPX 11.3E-6

Условия закрепления:

Main menu → Solution → Define Loads → Apply → Structural → Displacement → Symmetry B.C. →On Lines

В графическом окне указываем линии симметрии детали.

Displacement → On Lines →

В графическом окне указываем на линии левого торца детали.

Lab2 → UX

Задание воздействия (температура):

Main menu → Solution → Define Loads → Apply → Structural → Temperature →On Areas → Temperature Value →330

Формирование и решение системы линейных алгебраических уравнений МКЭ и просмотр результатов выполняем по аналогии с пунктом 2.1.

Рисунок 15 – Деформированное состояние пластины

 

 

 

 

Рисунок 16 – Напряжения вызванные тепловым расширением пластины

Рисунок 17 – Напряжения выведенные буквенными обозначениями

Рисунок 18 – Перемещения узлов пластины по оси Х

Максимальное напряжение

 

Минимальное напряжение

 

 

 Определение коэффициента концентрации напряжений:

.

3.3 Расчёт диска при вращении

Найдём напряжения в диске с профилем, определённым в пункте 2.1 и вычислим коэффициент концентрации напряжений. Диск изготовлен из материала АМг, вращается со скоростью 10 об/с.

Расчёт проводим в ANSYS 13:

Тип используемых КЭ Solid 20 node 95. В свойствах материала по сравнению с предыдущим пунктом задаем дополнительно плотность (Density) равной .

  • Построение геометрической модели. При построении модели проводятся те же операции, что и в предыдущих пунктах: задание точек, соединение их линиями, создания области и прокручивания её вокруг оси, в конце построения получаем четверть диска.
  • Создание КЭ модели. Для построения сетки используем функцию SWEEP, предварительно задав размер ячейки в пункте: Main menu → Preprocessor → Meshing → Size Cntrls → Manual Size → Global → Size

Задаём размер 0,002; уменьшение размера ячейки приводит к увеличению размера требуемой памяти и невозможности решить данную задачу на ПК. В результате получим сетку (рис. 20).

Рисунок 19 – Деформированное состояние пластины при вращении

  • Определение граничных условий. На верхней и торцевых поверхностях сектора назначаем симметрию. Задаём вращение сектора со скоростью
  • Произведём расчёт.
  • Обработка результатов.

Распределение напряжений по радиусу диска, а так же их числовые значения  показаны на рисунке 20.

 

Рисунок 20 – Распределение напряжения в теле вращения

 

 Определение коэффициента концентрации напряжений:

.

 

 

 

 

Вывод

В ходе расчетов были определены реакции и перемещения в стержневой конструкции, максимальные напряжения и перемещения в пластине при ее растяжении, нагреве, а так же в диске при его вращении. Были найдены значения коэффициента концентрации напряжения. Расчеты велись в ручном счете, в программах Ansys и MathCAD.

 

Скачать:  У вас нет доступа к скачиванию файлов с нашего сервера. КАК ТУТ СКАЧИВАТЬ

Категория: Курсовые / Курсовые по авиации

Уважаемый посетитель, Вы зашли на сайт как незарегистрированный пользователь.
Мы рекомендуем Вам зарегистрироваться либо войти на сайт под своим именем.