Содержание

 

Аннотация. 3

Введение. 4

1 Аналитическая часть. 7

1.1         Техническое проектирование. 7

1.2  Используемые программные средства. 10

1.2.1  Matlab & Simulink. 10

1.2.2  Mathcad. 11

2 Практическая часть. 12

2.1 Постановка задачи. 12

2.2 Разработка математической модели системы.. 13

2.3 Построение модели в  пакете Simulink  программы Matlab. 16

2.6  Модель системы в переменных состояния. 18

2.7  Управляемость системы.. 19

2.8 Наблюдаемость системы.. 20

2.9  Оценка устойчивости системы.. 21

2.10 Динамические характеристики. 22

2.11 Показатели качества переходного процесса. 26

2.12 Преобразование исследуемой системы с помощью синтеза корректирующего устройства (П, ПИ и ПИД регулятора) 27

2.13 Моделирование  нелинейной системы.. 30

Показатели качества переходного процесса нелинейной системы: 31

2.14 Оптимизация нелинейных систем. 31

2.15 Цифровая реализация непрерывного регулятора. 32

Список использованных источников. 35

 

 

1 Аналитическая часть

 

1.1      Техническое проектирование

 

Техническое проектирование – основная задача деятельности инженера. Это сложный процесс, в котором главная роль принадлежит творческим навыкам и умению анализиро­вать.

Проектирование – это процесс придумывания или изобретения таких компо­нентов системы, которые позволяли бы ей выполнять определенные задачи.

Процесс проектирования подразумевает планирование деятельности по созданию некоторого изделия или системы. В результате этой инновационной деятельности инже­нер творчески применяет свои знания и навыки для определения типа системы, ее функ­ционального назначения и составных элементов. Основными этапами проектирования яв­ляются:

1) определение запроса на создание системы, основанного на оценках мнений раз­личных общественных групп — от политиков до рядовых потребителей;

2) детальная проработка возможного решения проблемы на основе объединения раз­личных мнений;

3) оценка альтернативных вариантов решения проблемы, удовлетворяющих выдви­нутым требованиям;

4) выбор конкретного варианта и его реализация.

В реальной жизни проектирование ведется с учетом ряда ограничений, одним из ко­торых является фактор времени. Проектирование обычно ведется по жестко установлен­ному графику, поэтому, в конечном счете, выбирается такой вариант системы, который не является идеальным, но может рассматриваться как достаточно хороший. Во многих слу­чаях выигрыш во времени является единственным  определяющим фактором.

Главная задача проектировщика – составить перечень требований, которым должно удовлетворять техническое устройство. Под требованиями имеются в виду точ­ные формулировки того, каким должно быть устройство и что оно должно делать. Техни­ческая система проектируется таким образом, чтобы удовлетворялись все выдвинутые требования. При этом неизбежно приходится иметь дело с такими объективными факто­рами, как сложность проектирования, возможные компромиссы, расхождения с практи­кой в процессе проектирования, а также определенные риски.

Сложность проектирования обусловлена широким диапазоном используемых для этого методов, знаний и литературы. И здесь при определении требований к системе не­обходимо учитывать очень много факторов, не только классифицируя их по относитель­ной важности, но также задавая их либо в числовой форме, либо в виде словесного описа­ния, либо обоими этими способами.

Под компромиссом понимают возможность выбора между двумя конфликтующими критериями проектирования, каждый из которых является приемлемым.

При создании технического устройства его окончательный вид бывает далеко не по­хож на то, как оно было задумано. Например, наше умозрительное представление о проб­леме, подлежащей решению, не всегда совпадает с ее словесным описанием, в конечном счете, выливающимся в задание требований к системе. Эти различия внутренне присущи процессу движения от абстрактной идеи к ее практической реализации.

Отсутствие абсолютной уверенности в том, что проектируемый технологический объект будет функционировать заранее предсказанным образом, есть причина для неко­торой неопределенности. Эта неопределенность связана с возможностью появления непредвиденных последствий, или риска. Следовательно, процесс проектирования систе­мы есть деятельность, сопряженная с риском.

Сложность, компромисс, расхождение с практикой и риск – всё это факторы, неотъ­емлемые от процесса создания новых систем и устройств. Иногда влияние этих факторов на процесс проектирования можно свести к минимуму, но исключить их полностью не­возможно.

В процессе технического проектирования участвуют два типа мышлении – анализ и синтез, между которыми имеется принципиальное отличие. При анализе основное внима­ние уделяется построению моделей физических систем. Целью здесь является более глу­бокое понимание процессов, происходящих в этих системах, и указание путей уточнения их моделей. Напротив, синтез – это деятельность, в результате которой создаются новые физические структуры.

Процесс проектирования может идти по многим направлениям, прежде чем оконча­тельно будет выбрано какое-то одно из них. Это тщательно продуманный процесс, с помощью которого проектировщик создает нечто новое, удовлетворяющее определенным потребностям, несмотря на практические ограничения. По своей природе этот процесс яв­ляется итерационным. Опытные инженеры обычно прибегают к упрощению сложных систем с целью их анализа и синтеза. При этом неиз­бежно возникает различие между сложной реальной системой и ее моделью. Подобные различия объективно присутствуют на всём пути от исходной концепции до конечного изделия. Интуитивно понятно, что намного проще постепенно совершенствовать исход­ную концепцию, чем пытаться сразу создать конечное изделие. Иными словами, техниче­ское проектирование никогда не идет по жестко установленному пути. Это – итерацион­ный, нелинейный, творческий процесс.

Основной метод, используемый в большинстве задач технического проектирова­ния, — это метод анализа и оптимизации параметров. Он основан на идентификации ключевых параметров, формировании конфигурации системы и оценке того, на­сколько данная конфигурация отвечает предъявляемым к системе требованиям. Эти три этапа образуют замкнутый цикл. Как только установлены ключевые параметры и синте­зирована структура системы, проектировщик может приступить к оптимизации парамет­ров. На практике число таких настраиваемых параметров обычно стремятся свести к ми­нимуму.

Синтез системы управления – это уникальный пример технического проектирования. Цель проектирования состоит в определении конфигурации сис­темы, требований, которым она должна удовлетворять, и задании основных параметров, удовлетворяющих предъявляемым к системе требованиям.

Первый шаг процесса синтеза –  это определение назначения системы. Целью управления является стабилизация позиционной следящей системы.

Второй шаг –  это указать те переменные, которые подлежат управлению (в нашем случае это напряжение). На третьем шаге нужно предъявить требования к точности. Последнее определяет выбор датчика, с помощью которого измеряется переменная, подлежащая управлению. Первое, что мы должны сделать, — это попытаться создать конфигурацию системы, которая обладала бы желаемым качеством. Такая конфи­гурация обычно включает в себя датчик, объект управления, исполнительное устройство и регулятор. Следующий шаг состоит в выборе кандидата на роль исполнительного устройства. Принятие решения здесь зависит от типа объекта управления, но в любом случае выбранное устройство должно быть способным эффективно влиять на поведение объекта управления. И в конце мы должны получить модель для каждого из этих элементов.

Следующий шаг состоит в выборе регулятора, который часто представляет собой сумматор, выполняющий операцию сравнения желаемого и действительного значений выходной переменной объекта, и следующий за ним усилитель сигнала ошибки.

Заключительный шаг процедуры синтеза состоит в настройке параметров системы, которые обеспечивали бы желаемые показатели качества. Если в результате подбора па­раметров мы сможем достигнуть желаемого качества, то процесс синтеза на этом закан­чивается и нам остается оформить рабочую документацию. В противном случае, возмож­но, потребуется заменить конфигурацию системы или выбрать исполнительное устройст­во и датчик с улучшенными характеристиками. После этого мы должны будем повторять все этапы синтеза до тех пор, пока не будут удовлетворены требования, предъявляемые к системе, или пока мы не решим, что эти требования являются слишком жесткими и их не­обходимо ослабить. Процесс синтеза системы управления наглядно изображен на рис.

Требования к качеству замкнутой системы управления должны затрагивать ее основ­ные характеристики, к которым относятся хорошая компенсация возмущений, же­лаемый вид реакции на задающее входное воздействие, адекватные выходные сигналы исполнительного устройства, малая чувствительность к изменению параметров и робастность.

На техническое проектирование сильное влияние оказало появление мощных и сравнительно недорогих компьютеров, а также высокопроизводительных программных средств анализа и синтеза систем управления.

Если качество системы не удовлетворяет предъявляемым требованиям, изменить ее конфигурацию и, возможно, выбрать другое исполнительное устройство.

Если качество системы удовлетворяет предъявляемым требованиям, закончить процедуру синтеза.

Следящая система управления — это система автоматического управления, в которой управляемая величина воспроизводит произвольно изменяющееся задающее воздействие.

Пример следящей системы — радиолокационная станция, в её задачи входит сопровождение цели с заранее неизвестным законом движения.

О динамических свойствах следящей системы можно судить по величине ошибки. Также сигнал ошибки в следящих системах является сигналом, в зависимости от величины и «характера» которого осуществляется управление объектом. Различают системы статические и астатические. Статические системы управляются значением ошибки: есть ошибка - есть управление в системе, больше величина ошибки - сильнее реакция системы. Так, если целью сопровождения радиолокационной станции является неподвижно висящий вертолёт, то станция, отработав ошибку, "замирает". Если цель-вертолёт начнёт движение, то появится ошибка и система "оживёт". Если траектория движения цели будет круговой с постоянной скоростью, на постоянной высоте с центром в точке, где находится радиолокационная станция, то ошибка (её "характер") будет постоянной. Системы способные автоматически выполнять свои функции при наличии ошибки постоянной величины называют астатическими.

Следящая система может быть реализована с любым фундаментальным принципом управления и отличается от аналогичной системы программного управления тем, что вместо датчика программы в ней будет размещено устройство слежения за изменениями внешних воздействий.
В следящих системах управляющее воздействие также является величиной переменной, но математическое описание его во времени не может быть установлено, так как источником сигнала служит внешнее явление, закон изменения которого заранее неизвестен.

Так как следящие системы предназначены для воспроизведения на выходе управляющего воздействия с возможно большей точностью, то ошибка, так же как и в случае систем программного регулирования, является той характеристикой, по которой можно судить о динамических свойствах следящей системы. Ошибка в следящих системах, как и в системах программного регулирования, является сигналом, в зависимости от величины которого осуществляется управление исполнительным двигателем.

 

1.2  Используемые программные средства

 

1.2.1  Matlab & Simulink

Одним из средств  для получения перечисленных теоретических знаний и приобретения практических навыков  является система MATLAB, созданная специалистами фирмы Math Work, Inc.  как язык программирования высокого уровня для технических  вычислений. MATLAB это алгоритмы матричных операций, лежащие в основе большинства средств  исследования сложных систем. Система MATLAB это комплекс пакетов для создания удобных и наглядных визуально-ориентированных средств анализа, идентификации, построения и моделирования систем и устройств в самых разных областях науки и техники - вплоть до сложных систем, используемых в экономике, энергетике и промышленности. MATLAB используется для:

-математических вычислений;

-создания алгоритмов;

-моделирования;

-анализа данных, исследования и визуализации;

-научной и инженерной графики;

-разработки приложений, включая создание графического интерфейса.

Современные версии MATLAB поставляются вместе с пакетом расширения Simulink, предназначенным для моделирования динамических систем, модели которых составляются из отдельных блоков(компонентов).

В курсовом проекте рассматриваются основы применения MATLAB для математического моделирования элементов и систем управления. А так же построения структур линейных и нелинейных систем, исследование    во временной и частотной областях для решения основных задач проектирования- анализа и синтез систем управления

 

1.2.2  Mathcad

 

MathCad– универсальный математический пакет для работы с интерактивно (в диалоговом режиме) вычисляемыми формулами, текстами и графиками. Он легок в освоении и удобен в использовании, обладаетмощными вычислительными и графическими возможностями, способностью производить аналитические преобразования (символьные вычисления – решение алгебраических и трансцендентных уравнений, вычисление пределов, дифференцирование и интегрирование).

         MathCad позволяет записывать на экране компьютера формулы в их

привычном виде, как их печатают в книгах или пишут на доске, подбирает раз-

меры для дробных черт, скобок и других математических символов. С его по-

мощью можно решить множество математических задач аналитически или чис-

ленно. Можно размещать текст в любых местах вокруг уравнений, чтобы доку-

ментировать процесс решения, рисовать двумерные и трехмерные графики. Па-

кет позволяет работать с комплексными числами, тригонометрическими, сте-

пенными, гиперболическими, специальными функциями, а также векторами и

матрицами. MathCad пересчитывает результаты сразу после внесения любых

изменений в рабочий документ, не дожидаясь особых указаний пользователя.

         Выражение на экране можно редактировать, устанавливая в нужном месте

указатель и вводя новые символы, цифры. Греческие буквы и многие математи-

ческие символы могут быть напечатаны с помощью специальных панелей – па-

литр символов.

         MathCad обладает развитой справочной системой и многочисленными

примерами применения – шпаргалками QuickSheets. Пользовательский интер-

фейс системы создан так, что пользователь, имеющий элементарные навыки

работы с Windows-приложениями, может сразу начать работу с MathCad.

 

 

2 Практическая часть

 

         2.1 Постановка задачи

 

Данные системы применяются для дистанционного управления различными объектами наведения (оптическими телескопами, радиолокационными антеннами, стволами орудий и т.д.).

Принципиально-функциональная схема следящей системы изображена на рисунке 1.

Рисунок 1 – Схема следящей системы

 

Система содержит: исполнительный двигатель постоянного тока (Д), соединенный с нагрузкой (Н) через редуктор, усилитель мощности, в качестве которого используется электромашинный усилитель (ЭМУ), и регулятор (Р). На регулятор помимо сигнала  с измерителя рассогласования, в качестве которого используется сельсинная пара СД-СП, могут подаваться: напряжение  с тахогенератора, пропорциональное скорости вращения двигателя; напряжение  c делителя R₁, R₂, пропорциональное напряжению с выхода ЭМУ; напряжение , пропорциональное якорному току двигателя.

Система работает следующим образом. Входной вал системы поворачивается по заданному закону . При этом вращается сельсин-датчик СД, жестко связанный с входным валом. С выходной осью системы жестко связан сельсин-приемник СП. При появлении рассогласования между СД и СП  с выходной обмотки сельсин-приемника снимается напряжение , пропорциональное этому рассогласованию. Это напряжение усиливается и преобразуется в регуляторе, после чего с помощью ЭМУ усиливается по мощности и подается на исполнительный двигатель, который начинает вращаться таким образом, чтобы уменьшить имеющееся рассогласование. После окончания переходного процесса система отслеживает заданную программу движения, так что выходной вал системы поворачивается по закону , близкому к заданному .

 

2.2 Разработка математической модели системы

 

Даны основные характеристики объектов системы и исходные данные для построения математических моделей и компонентов системы (Таблица 1).

 

Таблица 1 – Основные данные

 

 

 В качестве объекта управления принят исполнительный двигатель с редуктором и усилителем мощности. Моментом сопротивления на валу двигателя отсутствует.

 При составлении математической модели объекта управления приняли, что ЭМУ представляется апериодическом звеном с постоянной времени  и коэффициентом передачи .

 При нахождении параметров регулятора (при синтезе закона управления) считаем, что задающее воздействие  принадлежит к классу неопределенных и задается предельными характеристиками  и .

 При анализе временных показателей качества (при построении переходного процесса) принят закон изменения входного воздействия в виде

Для более наглядного представления системы была составлена функциональная схема на рисунке 2.

Рисунок 2 – Функциональная схема системы

 

• Измеритель рассогласования.

Измеритель рассогласования, выполненный на сельсинах, будем считать безынерционным, т.к. его постоянная времени на несколько порядков меньше постоянных времени остальных звеньев. Следовательно, уравнение измерителя рассогласования можно записать в виде

                                 ,                    

где  К up – коэффициент передачи измерителя рассогласования, имеющий размерность В/рад. При этом, передаточная функция измерителя рассогласования имеет вид:

                                                    =70 рад/с.                                              

  

Сельсины являются индукционными машинами, которые позволяют при постоянном напряжении  на входе на выходных обмотках систему напряжений, амплитуда и фаза которых определяются угловым положением ротора. Сельсины позволяют преобразовать такую систему напряжений и соответствующее ей угловое положение ротора или в напряжение, фаза и амплитуда которого является функцией системы входных напряжений и угла поворота ротора. Сельсины применяются в качестве измерителей рассогласования следящих систем. При помощи сельсинов могут быть построены системы дистанционных передач индикаторного (ИДП) и трансформаторного (ТДП) типов, вследствие чего различают индикаторный и трансформаторный режимы их работы.

 

• Усилитель мощности.

На выходе формирующих блоков системы устанавливается исполнительный усилитель, выполняющий функции усилителя мощности выходного сигнала формирующего блока. Усилитель по существу является промежуточным реле.

Передаточная функция усилителя может быть записана в виде:

Уравнение “вход-выход” УМ представлено в виде

• Редуктор.

Редуктор (механический) — механизм, передающий и преобразующий крутящий момент, с одной или более механическими передачами. Основные характеристики редуктора — КПД, передаточное отношение, передаваемая мощность, максимальные угловые скорости валов , количество ведущих и ведомых валов, тип и количество передач и ступеней.

Пренебрегая нелинейностями, связанными с люфтом и сухим трением, можно считать редуктор линейным безынерционным звеном с передаточной функцией:

 =1/100=0,01

где   – передаточное число редуктора.         

 

• Двигатель постоянного тока.

Двигатель постоянного тока — электрическая машина, машина постоянного тока, преобразующая электрическую энергию постоянного тока в механическую энергию.

Электродвигатели постоянного тока применяют в тех электроприводах, где требуется большой диапазон регулирования скорости, большая точность поддержания скорости вращения привода, регулирования скорости вверх от номинальной.

Работа электрического двигателя постоянного тока основана на явлении электромагнитной индукции. Из основ электротехники известно, что на проводник с током, помещенный в магнитное поле, действует сила, определяемая по правилу левой руки.

T_я = L_я/r_я=0

T_M = Jr_я/C_MC_e=0,016*2,8/0,25*0,25=0,7168

K_дв = 1/С_е=1/0,25=4

Передаточная функция:

W_g(P) = (K_g/T_яТ_Мp₂ + T_M*p+1)=4/(0,7168р+1)

 

• Тахогенератор.

Тахогенератор — измерительный генератор постоянного или переменного тока, предназначенный для преобразования мгновенного значения частоты (угловой скорости) вращения вала в пропорциональный электрический сигнал.

Величина сигнала (ЭДС) прямо пропорциональна частоте вращения.

Сгенерированный сигнал подаётся для непосредственного отображения на специально проградуированный вольтметр (тахометр) либо на вход автоматических устройств, отслеживающих частоту вращения. Передаточная функция выглядит так:

W(P) = K=0,2

 

2.3 Построение модели в  пакете Simulink  программы Matlab 

 

C помощью программы  Simulink была построена модель исследуемой системы. Графическое представление модели представлено на рисунке 3.

 

Рисунок 3 –Схема системы в Simulink

 

Используя элемент scope получен график переходного процесса исследуемой системы представлен на рисунке 4

 

Рисунок 4 – График переходного процесса

 

Передаточная функция системы была получена путем анализа обработки его поэлементной математической модели. Порядок составления передаточной функции системы пошагово представлен на рисунке 5.

 Пример script-файла используемого при нахождении передаточной функции представлен на рисунке 6.

 

Рисунок 5 – Порядок сбора передаточной функции системы

 

 

 

 

Рисунок 6 - Script-файл используемый при нахождении передаточной функции

Таким образом передаточная функция имеет вид:

 

.

 

 

2.6  Модель системы в переменных состояния

 

Использование преобразований Лапласа даёт возможность получать передаточные функции линейных стационарных систем, описанных обыкновенными дифференциальными уравнениями. Этот метод дает практическое средство анализа и синтеза  систем и позволяет использовать структурные схемы для установления связей между подсистемами. Существует альтернативный способ моделирования систем, основанный на их представлении во временной области. Физические системы описываемые дифференциальными уравнениями n-го порядка, могут быть переведены в системе из n дифференциальных 1-го порядка. Каждое уравнение является переменной состояния. Эти уравнения записываются в матричной форме.

Модель 1-го порядка в виде передаточной функции в s-области выглядит следующим образом:

 

 

Более точное и наглядное решение, чем ручной расчет может продемонстрировать программный пакет Matlab. С помощью него был произведен анализ модели в переменных состояния.

Состояние системы – это совокупность таких переменных, знание которых, наряду с входными функциями и уравнениями, описывающими динамику системы, позволяет определить ее будущее состояние и выходную переменную. Для  динамической системы ее состояние описывается набором переменных состояния [x₁(t), x₂(t), …, x_n(t)].  Переменные состояния описывают поведение системы в будущем, если известны текущее состояние, внешнее воздействия и уравнения динамики системы.

           Состояние системы описывается дифференциальными уравнениями первого порядка относительно каждой переменной состояния. Эти уравнения можно записать в матричной форме:

,

Матрица-столбец, состоящая из переменных состояния, называется вектором состояния и имеет вид:

,                                                           

Вектор входных сигналов обозначается как u. Тогда систему можно описать в компактном виде дифференциальным уравнением состояния:

,                                                    

Уравнение состояния связывает скорость изменения состояния системы с самим состоянием и входными сигналами. В общем случае выходные сигналы линейной системы связаны с переменными состояния и входными сигналами уравнением выхода:

   ,                                                    

Где y – совокупность выходных сигналов, представленная в виде вектора-столбца.

       С помощью программы Mathlab, зная передаточную функцию системы, определим уравнения системы в переменных состояния представленной на рисунке 7

Рисунок 7 - Script-файл используемый при определении уравнения системы в переменных состояния

 

2.7  Управляемость системы

 

Для того чтобы система была вполне управляемой по состоянию, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы управляемости по состоянию 

                                      ,                                      

равнялся размерности вектора состояния:

 

С помощью программы Matlab получен ранг матрицы управляемости. Script-файл используемый при расчете ранг матрицы управляемости представлен на рисунке 8.

Рисунок 8 - Script-файл используемый при расчете ранга матрицы управляемости

         Ранг матрицы управляемости по состоянию равен размерности вектора состояния, поэтому можно говорить об управляемости по состоянию.

         Ранг матрицы управляемости по выходу равен размерности вектора выхода, поэтому можно судить об управляемости по выходу.

 

2.8 Наблюдаемость системы

 

Для того чтобы система была вполне наблюдаемой, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы наблюдаемости 

,                                 

равнялся размерности вектора состояния:

                                                                 

С помощью программы Matlab получен ранг матрицы наблюдаемости. Script-файл используемый при расчете ранг матрицы наблюдаемости представлен на рисунке 9.

 

Рисунок 9 - Script-файл используемый при расчете ранг матрицы наблюдаемости

                                                    

                                                       

Ранг матрицы наблюдаемости равен размерности вектора состояния, поэтому можно говорить о наблюдаемости системы.

 

2.9  Оценка устойчивости системы

 

Для того чтобы система была устойчива по критерию Рауса-Гурвица необходимо и достаточно, чтобы главные определители матрицы Рауса-Гурвица были положительны. Расчет произведен в системе Mathcad.

Характеристический полином синтезируемой системы:

Тогда, матрица Рауса-Гурвица будет выглядеть следующим образом:

 

Рисунок 10 - Матрица Рауса-Гурвица

 

Определители матрицы:

Рисунок 11 – Определители матрицы Рауса-Гурвица

 

Все определители матрицы положительны, поэтому можно говорить об устойчивости системы по критерию Рауса-Гурвица.

 

2.10 Динамические характеристики

 

     Работа проводилась в программной среде Matlab.

     Создаём LTI-объект с именем f. Script-файл используемый при создании LTI-объекта представлен на рисунке 12.

 

         Рисунок 12 - Script-файл используемый при создании LTI-объекта

        

 Нулями называются корни числителя, полюсами – корни знаменателя.

Устойчивость системы не зависит от расположения нулей, но они существенно влияют на переходные процессы. Найдем полюса и нули передаточной функции с использованием команд pole, zero. Script-файл используемый при нахождении полюса и нулей передаточной функции представлен на рисунке 13.

 

 

Рисунок 13 - Script-файл используемый при нахождении полюса и нулей передаточной функции

 

Исследуем разомкнутую систему, отсоединив обратные связи, модель системы показана на рисунке 14.

Рисунок 14- Cхема нелинейной системы

 

 Построим корневой годограф командой sisotool. Корневой годограф представлена на рисунке 15.

              

 

Рисунок 15 – Корневой годограф

 

Замкнутая система является устойчивой, если её полюса лежат в левой полуплоскости плоскости корней.

Диаграмму Боде получим, используя команду bode. Логарифмические частотные характеристики представлены на рисунке 16.

 

 

Рисунок 16– Логарифмические частотные характеристики.

 

Логарифмическая амплитудно-фазовая частотная характеристика (ЛАФЧХ) - представление частотного отклика линейной стационарной системы в логарифмическом масштабе.

         ЛАФЧХ строится в виде двух графиков: логарифмической амплитудно-частотной характеристики и фазо-частотной характеристики, которые обычно располагаются друг под другом.

         Анализ систем с помощью ЛАФЧХ весьма прост и удобен, поэтому находит широкое применение в различных отраслях техники, таких как цифровая обработка сигналов, электротехника и теория управления.

         Анализ графика логарифмической амплитудно-частотной характеристики показывает, что амплитуда и частота имеют обратную зависимость, чем больше частота – тем меньше амплитуда.

         Анализ графика фазо-частотной характеристики показывает, что фаза меняется в диапазоне от 0 до – 180. Фаза достигает максимальных значений при не больших частотах, при увеличении частоты фаза уменьшается.

Чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы сдвиг фазы на частоте единичного усиления системы W(jw) не достигал значения    -180°. Если система условно устойчивая, то при модулях больших единицы, фазовый сдвиг может достигать значения -180° четное число раз.

Частота единичного усиления на графике обозначается как 10⁰. Так как графики ЛАЧХ (верхний) и ЛФЧХ (нижний) не достигают в точке единичного усиления значения -180⁰, можно говорить об устойчивости системы.

         Определим частотный годограф Найквиста, выполнив команду nyquist: >>nyquist (tf(num,den)).  Частотный годограф представлен на рисунке 17.

 

Рисунок 17 – Частотный годограф.

 

Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) — удобное представление частотного отклика линейной стационарной динамической системы в виде графика в полярных координатах. На таком графике частота выступает в качестве параметра кривой, фаза и амплитуда системы на заданной частоте представляется углом и длиной радиус-вектора каждой точки характеристики. По сути такой график объединяет на одной плоскости амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики.

Переходим к анализу. В теории написано, что для того, чтобы система в замкнутом состоянии была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы при изменении ώ от -∞ до +∞ годограф разомкнутой системы W(jw) (АФХ), поворачиваясь вокруг начала координат по часовой стрелке, охватил точку   (-1, j0) столько раз, сколько корней в правой полуплоскости содержит знаменатель W(jw). Также есть замечания:

Если корней в правой полуплоскости нет, то годограф W(jw) не должен охватить точку (-1, j0).

Неустойчивая система в разомкнутом состоянии может быть устойчивой в замкнутом состоянии. И наоборот.

Так как рассматриваемая система является разомкнутой, следовательно, годограф должен охватывать точку (-1, j0). Судя по графику, мы можем смело судить о высокой устойчивости системы, так как график не проходит через значение (-1) по вещественной оси значений. Более того он находится на достаточно большом расстоянии от границы устойчивости (-1).

 

2.11 Показатели качества переходного процесса

 

Максимальное  отклонение  управляемой  величины,  соответствующее  времени tm, от установившегося значения:

,                                        

где tm    −  время  установления  первого  максимума  управляемой  величины, характеризующее скорость изменения ее в переходном процессе;

∆дин - динамическая  ошибка,  определяющая  точность системы в переходном процессе.

        

                             

Перерегулирование, равное отношению максимального значения управляемой величины в переходном процессе к установившемуся значению:

             

                                   

Перерегулирование  характеризует  склонность  системы  к  колебаниям,  то  есть близость  системы  к  колебательной  границе  устойчивости.  В  конечном  итоге характеризует запасы устойчивости. Считается, что запас устойчивости достаточен, если σ лежит в пределах от 10 до 30%.

 

                                     

Время регулирования (протекания переходного процесса) tр. Позволяет оценить быстродействие системы управления. 

Учитывая,  что  полное  затухание  в  системе  происходит  лишь  при t→∞,

длительность переходного процесса ограничивают тем моментом времени, когда

,                                            

где ∆ - допустимое значение установившейся ошибки, обычно составляющее ±5% от y(∞). tр=2 с.

                                                     

 

2.12 Преобразование исследуемой системы с помощью синтеза корректирующего устройства (П, ПИ и ПИД регулятора)

 

Синтез корректирующего устройства проводится для обеспечения оптимальных показателей качества регулирования САУ путем настройки ее на технический оптимум.

Преобразование исследуемой системы с помощью П регулятора.

C помощью программы  Simulink была построена модель исследуемой системы с П регулятором. Графическое представление модели представлено на рисунке 18.

Коэффициент усиления (К) П регулятора:

 К=4.

Рисунок 18 – Модель истемы в Simulink

 

Используя элемент scope получен график переходного процесса исследуемой системы с П регулятором представленным на рисунке 18.

 

Рисунок 18 – График переходного процесса

 

Определим показатели качества переходного процесса исследуемой системы с П регулятором:

Перерегулирование

                                                                      

 Время регулирования

                                                            tp=2.5c                                                  

Преобразование исследуемой системы с помощью ПИ регулятора.

C помощью программы  Simulink была построена модель исследуемой системы с ПИ регулятором. Графическое представление модели представлено на рисунке 19.

Коэффициенты усиления (К₁ и К₂) ПИ регулятора:

К₁=4;

К₂=4. 

 

Рисунок 19 – Модель истемы в Simulink

 

Используя элемент scope получен график переходного процесса исследуемой системы с ПИ регулятором представленный на рисунке 20.

 

Рисунок 20 – График переходного процесса

 

Определим показатели качества переходного процесса исследуемой системы с ПИ регулятором:

Перерегулирование

                                                                           

Время регулирования

                                                         tp=2.1c                                                       

 

Преобразование исследуемой системы с помощью ПИД регулятора

C помощью программы  Simulink была построена модель исследуемой системы с ПИД регулятором. Графическое представление модели представлено на рисунке 21.

Коэффициенты усиления (К₁, К₂ и К₃) ПИД регулятора:

К₁=4;

К₂=4;

К₃=4. 

 

Рисунок 21 – Модель системы в Simulink

 

Рисунок 22- График переходного процесса

Определим показатели качества переходного процесса исследуемой системы с ПИД регулятором:

Перерегулирование

                                                                           

Время регулирования

                                                         tp=8c         

При изменении коэффициентов в П-регуляторе регулирование уменьшается и время регулирования тоже уменьшается.

 

 

Рисунок 23 – График с измененными коэффициентами

 

Применение П, ПИ или ПИД регулятора позволяет обеспечить необходимый вид переходной характеристики. Изменяя настройки регулятора (коэффициент усиления) можно подобрать требуемый показатель переходного процесса.

Наименьшее время регулирования достигается при введение в исследуемую систему ПИ регулятора, также наименьшее перерегулирование достигается при введение в исследуемую систему ПИД регулятора.

 

 

2.13 Моделирование  нелинейной системы

 

Схема привода нелинейной системы показана на рисунке 24.

Рисунок 24 – Модель привода

 

Полученная модель представлена на рисунке 25

Рисунок 25 – Модель системы в Simulink

 

Результаты показаны на рисунке 26.

 

 

Рисунок 26 – Показания осцилографа

 

Показатели качества переходного процесса нелинейной системы:

Перерегулирование

                                                                           

Время регулирования

                                                         tp=2.25c  

Показатели качества переходного процесса нелинейной системы:

Перерегулирование

                                                                           

Время регулирования

                                                         tp=2.55c  

 

Ввод нелинейной системы с измененным приводом и ПИ-регулятором вносит изменения в работу системы увеличивая перерегулирование и увеличивая время перерегулирования.

 

2.14 Оптимизация нелинейных систем

 

Создадим систему с компенсацией, для этого изменим модель привода ( Рисунок 27)

Рисунок 27 – Модель нелинейного привода

Система выглядит следующим образом ( Рисунок 28):

                                          

Рисунок 28 – Модель системы в Simulink

 

Показания осциллографа представлены на рисунке 29.

 

Рисунок 29 – Показания осцилографа

 

Из показаний видно, что система с компенсацией улучшает работу системы, она приходит раньше к устойчивому состоянию, время регулирования составляет 2 с, перерегулирование 14 %.

Что по обоим показателям лучше системы с Пи регулятором и нелинейной системы.

 

2.15 Цифровая реализация непрерывного регулятора

 

Регулятор в расчетной схеме заменяется не последовательное соединение трех звеньев:

• импульсного элемента, который выбирает из непрерывного сигнала значения  в моменты квантования  (при целых ); импульсный элемент моделирует аналого-цифровой преобразователь (АЦП);
• линейного цифрового фильтра, который преобразует дискретную последовательность в управляющую последовательность ; передаточная функция этого фильтра определяет закон  управления;
• восстанавливающее устройство (экстраполятор), которое восстанавливает непрерывный сигнал управления из последовательности ; экстраполятор моделирует цифро-аналоговый преобразователь (ЦАП), чаще всего используется фиксатор нулевого порядка, который удерживает постоянное значение  в течение очередного интервала квантования:

.

Цифровые регуляторы обладают многими преимуществами в сравнении с классическими (непрерывными):

• отсутствует дрейф параметров элементов
• в цифровой форме можно реализовать сложные законы управления
• цифровые регуляторы легко перестраивать, настройка сводится к просто к замене алгоритма обработки измеряемых сигналов

В то же время между моментами квантования система ведет себя как разомкнутая. Это может привести к потере устойчивости и скрытым колебаниям (колебаниям непрерывного сигнала, которые не проявляются в моменты квантования).

Для построения дискретной модели  ПИ-регулятора используется преобразование Тастина:

,

соответствующее интегрированию по методу трапеций. Для рассматриваемого ПД-регулятора такая замена дает:

,

где коэффициенты равны

,   ,   ,   .

Для построения дискретной передаточной функции интегрального канала применяется метод интегрирования Эйлера (метод прямоугольников).

 

Рисунок 30 – Модель системы в Simulink

 

Рисунок 31 – Модель подсистемы в цифровой системе

 

Рисунок 32 – Показания осцилогрофа при интервале квантования 1

 

Рисунок 33 – Показания осцилогрофа при интервале квантования 5

 

 

 

 

Список использованных источников

 

 

• Р. Дорф, Р.Бишоп. Современные системы управления. Лаборатория Базовых Знаний, 2002
• Тюкин В.Н. Теория управления: Конспект лекций. Часть 1.         Обыкновенные  линейные системы управления. – 2-е изд., испр.   и доп. - Вологда : ВоГТУ, 2000. - 200 с.
• Никульчев Е.В.  Практикум  по  теории  управления  в  среде
• MATLAB: Учебное пособие. – М.: МГАПИ, 2002. – 88 с.
• Алпатов Ю.Н. Синтез систем управления методом структурных графов. – Иркутск: Издательство Иркутск. ун-та, 1988
• Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления. –М.: Наука, 1989.-304 с.
• Воронов А.А. Основны теории автоматического управления. Особые линейные и нелинейные системы.- М.: Энергоизд . 1981. – 304с

     8 А.А. Красовский. Системы автоматического управления полётом и их аналитическое конструирование.- Издательство “Наука” .Москва 1973.-560с

     9 Теория автоматического управления : Справочные издания - http://win-web.ru/uchebniki/view/uchtau.html , 2001.

    10 Теория автоматического управления : Основы - http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B0%D0%B2%D1%82%D0%BE%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F, 2011.

   11 Меррием Ч.У. Теория оптимизации и расчет систем управления с обратной связью. Пер. с англ. М.,Мир, 1967, 549 с.

  12 Емельянов В.С.Системы автоматического управления с переменной структурой.М.,Наука, 1967.336с.

 

 

Скачать: kursovaya-tau.doc