Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное
Учреждение высшего профессионального образования
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
(ТУСУР)
Кафедра телекоммуникаций и основ радиотехники (ТОР)
ДИСКРЕТНАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ И ЦИФРОВАЯ
ФИЛЬТРАЦИЯ
Пояснительная записка к курсовой работе по дисциплине
«Радиотехнические цепи и сигналы»
Студент гр. 123-3
_________ Д.Н. Румянцева
« ___»____________ 2015 г.
Руководитель
|
______ |
Д-р техн. наук, проф.
|
оценка |
_________ В.А. Краковский
« ___»____________ 2015 г.
Томск 2015
Реферат
Курсовая работа, 42 с., 17 рис., 3 табл., 1 источник, 1 прилож.
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ, ЧАСТОТА ДИСКРЕТИЗАЦИИ, ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ, РЯД КОТЕЛЬНИКОВА, ЦИФРОВОЙ ФНЧ ЧЕБЫШЕВА, ОБРАТНОЕ Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
Объектом исследования является заданный аналоговый сигнал.
Цель работы – дискретная и цифровая обработка заданного сигнала. Синтез и анализ цифрового фильтра на основе заданного аналогового фильтра-прототипа (фильтр нижних частот (ФНЧ) Чебышева).
При написании данной работы использовались следующие программные средства: Microsoft Office Word 2013, Mathcad 15.
В результате проведенной работы была изучена дискретная обработка аналогового сигнала, установлены связи между результатом Z-преобразования и спектральной плотностью дискретной последовательности, спектром исходного периодического аналогового сигнала и дискретными отсчетами его спектральной плотности. Также был синтезирован цифровой фильтр Чебышева по заданной амплитудно-частотной характеристике (АЧХ) фильтра-прототипа, рассчитаны его АЧХ, фазо-частотная характеристика (ФЧХ), импульсная и переходная характеристики, определен вид дискретного сигнала на выходе фильтра.
Оглавление
1 Введение. 2
2 Дискретная обработка аналогового сигнала. 2
2.1 Математическое описание аналогового сигнала. 2
2.2 Расчет спектральной плотности аналогового сигнала. 2
2.3 Дискретизация аналогового сигнала по времени. 2
2.4 Восстановление аналогового сигнала с использованием ряда Котельникова 2
2.5 Расчет спектральной плотности дискретизированного сигнала. 2
2.6 Z-преобразование дискретной последовательности. 2
2.7 Расчет коэффициентов Cn с помощью дискретного преобразования Фурье (ДПФ) 2
2.8 Восстановление исходного сигнала по ДПФ.. 2
2.9 Выводы по дискретной обработке аналогового сигнала. 2
3 Синтез цифрового фильтра по заданной АЧХ (Фильтр Чебышева) 2
3.1 Определение параметров АЧХ цифрового фильтра. 2
3.2 Определение параметров АЧХ аналогового фильтра-прототипа. 2
3.3 Анализ аналогового фильтра Чебышева. 2
3.4 Синтез цифрового фильтра Чебышева. 2
3.5 Вывод по второй части работы.. 2
Список использованных источников. 2
Приложение А.. 2
1 Введение
Одним из новых и перспективных направлений современной обработки радиосигналов является цифровая фильтрация. В ее основе лежит преобразование аналоговых сигналов в последовательность чисел и обработка этой последовательности в цифровом вычислительном устройстве.
Цифровые методы обработки информации все более широко внедряются во многие области техники связи и управления. По сравнению с аналоговыми фильтрами цифровые фильтры обладают рядом важных достоинств. К ним, прежде всего, относятся высокая стабильность и точность, не зависящие от воздействия внешних условий, простота изменения характеристик и возможность использования в качестве адаптивных устройств; при эксплуатации цифровых фильтров не возникают задачи согласования нагрузок, они могут работать в диапазоне сверхнизких частот; они могут обладать линейными фазовыми характеристиками и т.д.
Важно отметить, что цифровые фильтры практически реализуются на интегральных цифровых логических элементах, вследствие чего они могут быть компактными, недорогими и высоконадежными устройствами. Однако, следует отметить, что в отличие от аналоговых цифровым фильтрам присущи некоторые специфические погрешности, обусловленные дискретизацией и квантованием аналоговых сигналов (при выполнении арифметических операций в вычислительных устройствах).
Данная курсовая работа состоит из двух частей:
- Первая часть – анализ аналогового сигнала, нахождение его спектра, нахождение минимального количества степеней свободы для описания заданного сигнала в дискретной форме, анализ выборки сигнала, нахождение его спектра с помощью Z-преобразования, нахождение комплексных коэффициентов дискретного преобразования Фурье, восстановление сигнала с использованием теоремы Котельникова и по Фурье.
- Вторая часть - синтез фильтра Чебышева по заданной АЧХ цифрового фильтра, определение порядка фильтра, его расчет и синтез методом билинейного Z- преобразования, а также методом дискретной свертки находится отклик полученного фильтра на дискретный сигнал.
2 Дискретная обработка аналогового сигнала
2.1 Математическое описание аналогового сигнала
Параметры сигнала:
, В – входное напряжение;
, мкс – интервал описания сигнала;
, мкс – импульс сигнала;
, мкс – импульс сигнала;
Исходный аналоговый сигнал представлен на рисунке 2.1.
Рисунок 2.1 – Исходный аналоговый сигнал
Описание сигнала с помощью функции Хэвисайда:
Поинтервальное описание сигнала выглядит следующим образом:
2.2 Расчет спектральной плотности аналогового сигнала
Спектральная плотность является комплексной величиной. Модуль спектральной плотности аналогового сигнала называют его амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), аргумент спектральной плотности – фазо-частотной характеристикой (ФЧХ).
Выражение спектральной плотности сигнала, изображенного на рисунке 2.1, взятое из [1, 7 с., формула (3.1)], выглядит следующим образом:
|
(2.1) |
Рисунок 2.2 – Модуль спектральной плотности
Рисунок 2.3 – Аргумент спектральной плотности (в градусах)
2.3 Дискретизация аналогового сигнала по времени
Выбор частоты дискретизации я выполнила на основе теоремы Котельникова: произвольный сигнал, спектр которого не содержит частот выше fв, может быть полностью восстановлен, если известны отсчетные значения этого сигнала, взятые через равные промежутки времени , такие промежутки времени называются временем дискретизации Tdis.
При выборе верхней частоты был использован пороговый критерий: для частоты выше «верхней» модуль спектральной плотности не превышает уровня 0.1 от максимального значения модуля спектральной плотности (рис.2.2). В программной среде MathCAD аналитически была определена с помощью функции root, получилось . Отсюда я выразила частоту дискретизации
Далее я использовала для определения периода дискретизации сигнала [1, 11 с.]
(2.2)
Вычислила, подставив имеющееся значение частоты дискретизации: Tdis=0.086 [с].
Строго говоря, все реальные сигналы имеют конечную длительность и, следовательно, бесконечно протяжённый спектр. Однако, начиная с некоторого значения частоты, спектральные составляющие становятся настолько малы, что ими можно пренебречь.
Сигнал может быть приближенно описан конечным числом выборочных значений. Число выборочных значений, которыми полностью описывается сигнал, называют числом степеней свободы сигнала.
Число степеней свободы N будет равно:
(2.3)
В формулу (2.3) были подставлены необходимые данные. Таким образом, я определила, что .
Далее я округлила N в большую сторону: N=41. Время дискретизации, соответственно, изменяется и принимает значение: Tdis = 0.085 [с], а становится равным 36.802.
На рисунке 2.4 приведены отсчеты исходного аналогового сигнала.
Рисунок 2.4 – Аналоговый сигнал S(t), отсчеты исходного аналогового сигнала с приведенными координатами точек
2.4 Восстановление аналогового сигнала с использованием ряда Котельникова
|
(2.4) |
Восстановление аналогового сигнала по заданным отсчетам я произвела, используя ряд Котельникова, а именно [1, 15 с., формула (3.29)]:
Из формулы (2.4) следует, что непрерывный сигнал S(t), ширина спектральной плотности которого ограничена верхней частотой , может быть полностью восстановлен по его дискретным отсчетам, взятым с интервалом дискретизации. Это положение доказано В.А. Котельниковым в 1933 году и называется теоремой Котельникова.
Рисунок 2.5 – Аналоговый сигнал S(t), восстановленный с помощью ряда Котельникова, отcчеты исходного аналогового сигнала
Значение исходного сигнала и восстановленного совпадают в точках отcчета, что означает правильность проведения восстановления по ряду Котельникова.
2.5 Расчет спектральной плотности дискретизированного сигнала
|
(2.5) |
Для нахождения спектральной плотности дискретизированного сигнала было применено прямое дискретное преобразование Фурье (ПДПФ). [1, 13 с., формула (3.20)]
Рисунок 2.6 – Модули спектральных плотностей дискретизированного и нормированного исходного сигналов
2.6 Z-преобразование дискретной последовательности
Прямое Z-преобразование последовательности определяется следующими формулами [1, 21 с.]:
,
|
(2.6) |
|
(2.7) |
Рисунок 2.7 – Спектральная плотность последовательности
2.7 Расчет коэффициентов Cn с помощью дискретного преобразования Фурье (ДПФ)
|
(2.8) |
С помощью ПДПФ была установлена связь между временными отсчетами сигнала и отсчетами его спектральной плотности. Коэффициенты были вычислены по формуле [1, 18 с., формула (3.33)]:
Рисунок 2.8 – Отсчеты спектральной плотности, полученные по ДПФ
Таблица 2.1 – Значения коэффициентов Cn и их модулей
|
Отсчеты |
Cn |
|Cn| |
Отсчеты |
Cn |
|Cn| |
|
0 |
0.025 |
0.025 |
21 |
-0.016+0.019i |
0.025 |
|
1 |
0.112-0.032i |
0.117 |
22 |
0.021+0.012i |
0.024 |
|
2 |
-0.046-0.151i |
0.158 |
23 |
7.083∙10-3-0.024i |
0.025 |
|
3 |
-0.115+0.056i |
0.128 |
24 |
-0.026-2.861 i∙10-3 |
0.026 |
|
4 |
0.056+0.060i |
0.082 |
25 |
1.733 10-3+0.026i |
0.026 |
|
5 |
0.030-0.053i |
0.061 |
26 |
0.025-7.186i 10-3 |
0.026 |
|
6 |
-0.049-0.023i |
0.055 |
27 |
-0.013-0.025i |
0.028 |
|
7 |
-0.016+0.046i |
0.049 |
28 |
-0.024+0.018i |
0.030 |
|
8 |
0.043+2.057i∙10-3 |
0.043 |
29 |
0.023+0.020i |
0.031 |
|
9 |
-8.151∙10-3-0.038i |
0.039 |
30 |
0.015-0.028i |
0.032 |
|
10 |
-0.033+0.012i |
0.035 |
31 |
-0.033-0.012i |
0.035 |
|
11 |
0.015+0.028i |
0.032 |
32 |
-8.151∙10-3+0.038i |
0.039 |
|
12 |
0.023-0.020i |
0.031 |
33 |
0.043-2.057i∙10-3 |
0.043 |
|
13 |
-0.024-0.018i |
0.030 |
34 |
-0.016-0.046i |
0.049 |
|
Таблица 2.1 – Продолжение таблицы |
|||||
|
14 |
-0.013+0.025i |
0.028 |
35 |
-0.049+0.023i |
0.055 |
|
15 |
0.025+7.186i 10-3 |
0.026 |
36 |
0.030+0.053i |
0.061 |
|
16 |
1.733 10-3-0.026i |
0.026 |
37 |
0.056-0.060i |
0.082 |
|
17 |
-0.026+2.861 i∙10-3 |
0.026 |
38 |
-0.115-0.056i |
0.128 |
|
18 |
7.083∙10-3+0.024i |
0.025 |
39 |
-0.046-0.151i |
0.158 |
|
19 |
0.021-0.012i |
0.024 |
40 |
0.112-0.032i |
0.017 |
|
20 |
-0.016-0.019i |
0.025 |
- |
- |
- |
2.8 Восстановление исходного сигнала по ДПФ
Если на основании совокупности отсчетов S0, S1, S2, … , SN-1 некоторого сигнала найдены коэффициенты ДПФ: C0, C1, C2,…, CN-1, то по ним всегда можно восстановить исходный сигнал S(t) с ограниченным спектром, который был подвергнут дискретизации.
|
(2.9) |
Ряд Фурье такого сигнала принимает вид конечной суммы [1, 20 с., формула (3.38)]:
,
где ;
– фазовый угол коэффициента ДПФ.
На рис. 2.9 представлен результат восстановления сигнала по отсчетам его спектральной плотности:
Рисунок 2.9 – Аналоговый периодический сигнал, восстановленный по коэффициентам ДПФ, исходный сигнал S(t), отсчеты исходного аналогового сигнала
Восстановленный сигнал является периодической функцией времени. При большем значении N восстановление будет точнее.
2.9 Выводы по дискретной обработке аналогового сигнала
Исходя из произведенной дискретной обработки сигнала, можно сформулировать некоторые выводы:
- Как видно из рисунков 2.2, 2.6, 2.7 спектр дискретизированного сигнала является периодическим повторением спектра непрерывного сигнала.
- Число отсчётов зависит от ширины спектра аналогового сигнала (согласно теореме Котельникова).
- При восстановлении сигнала по Котельникову получившийся аналоговый сигнал проходит через отсчёты, что является доказательством его правильного восстановления.
- При дискретизации аналогового сигнала во времени спектр аналогового сигнала становится периодическим с интервалом повторения, равным частоте дискретизации.
- Дискретный периодический сигнал обладает дискретным периодическим спектром. Отсчеты во временной и частотной областях связаны парой ДПФ. ПДПФ позволяет по N дискретным отсчетам получить N дискретно нормированных отсчетов спектральной плотности. ОДПФ позволяет найти N отсчетов сигнала по N нормированным отсчетам спектральной плотности. Дискретные отсчеты спектральной плотности исходного периодического аналогового сигнала являются выборкой из спектра исходного периодического аналогового сигнала с интервалом дискретизации, равным .
- Из Z-образа дискретной последовательности всегда можно найти ее спектр при помощи замены вида .
3 Синтез цифрового фильтра по заданной АЧХ (Фильтр Чебышева)
3.1 Определение параметров АЧХ цифрового фильтра
Согласно заданию, цифровой фильтр с частотой среза ωц1 должен удовлетворять двум условиям:
- неравномерность АЧХ в полосе пропускания не более 2.5 дБ для 0 ≤ ω < ωц3, где ωц3=0.8∙ωц1;
- затухание АЧХ в полосе задерживания не менее 26 дБ на частотe ωц2=2∙ωц1. [1, 34 с.]
При выборе частоты среза цифрового фильтра необходимо предусмотреть, что ωц1 ≤ 0.25∙ωdis.
Исходя из условия, что , ωц1 ≤ 0.25∙ωdis, была выбрана частота .
Далее считаем ωц2 и ωц3:
,
3.2 Определение параметров АЧХ аналогового фильтра-прототипа
Я произвела пересчет частот, соответствующих ЦФ ωц1, ωц2 и ωц3, в частоты аналогового фильтра. Для этого воспользовалась следующим соотношением [1, 80 с.]:
.
|
(3.1) |
Отсюда получила следующее:
;
;
.
Значение частоты аналогового фильтра, нормированное относительно частоты среза, равно
.
3.3 Анализ аналогового фильтра Чебышева
3.3.1 Определение порядка фильтра Чебышева
|
(3.2) |
На данном этапе я определила порядок фильтра Чебышева. Он зависит лишь от величины необходимого затухания на удвоенной частоте среза. Данное условие представляется в виде неравенства [1, 87 с.]:
АЧХ аналогового фильтра Чебышева описывается следующим выражением [1, 87 с.]:
,
|
(3.3) |
где ε – параметр, характеризующий неравномерность АЧХ в полосе пропускания, ,
Tn(x) – полином Чебышева первого рода порядка n.
Если β=2.5 дБ, тогда ε=0.882. Чтобы обеспечить затухание α=26 дБ, необходимо выбрать фильтр порядка n=3:
;
;
.
Таким образом, фильтр Чебышева третьего порядка полностью удовлетворяет вышеуказанным требованиям.
Рисунок 3.1 – АЧХ фильтра Чебышева третьего порядка
3.3.2 Передаточная функция аналогового фильтра Чебышева.
|
(3.4) |
Фильтр Чебышева низких частот третьего порядка имеет следующее выражение передаточной функции цепи [1, 89 с.]:
,
где b0 – вещественный коэффициент, равный ,
p1, p2, p3 – полюса функции K(pn).
Для рассматриваемого фильтра третьего порядка полюса операторного коэффициента передачи имеют следующие значения:
,
.
Поэтому
.
3.3.3 Расчет и построение временных характеристик аналогового фильтра Чебышева
Для расчета временных характеристик необходимо перейти от pn к p, для этого необходимо воспользоваться подстановкой .
Далее, чтобы построить график переходной характеристики h(t), нужно произвести обратное преобразование Лапласа. Это можно сделать с помощью вычетов, а можно применить стандартную символьную операцию Mathcad – invlaplace к функции Результат выполнения этого действия приведен в Приложении А из-за его большой длины. В итоге я получила нормированный относительно график, представленный на рис. 3.2.
Рисунок 3.2 – Переходная характеристика фильтра Чебышева
Импульсная характеристика g(t) находится как обратное преобразование Лапласа от функции K(p). Данное выражение также представлено в Приложении А. В итоге я получила нормированную импульсную характеристику фильтра, представленную на рис. 3.3.
Рисунок 3.3 – Импульсная характеристика фильтра
3.4 Синтез цифрового фильтра Чебышева
3.4.1 Расчет системной функции ЦФ
|
(3.5) |
При синтезе цифрового фильтра методом билинейного Z-преобразования его системную функцию K(z) определяют, исходя из коэффициента передачи K(p) аналогового фильтра-прототипа. При этом производится замена следующего вида [1, 91 с.]:
которая приводит к изменению масштаба частоты:
Таблица 3.1а – Коэффициенты an и bn цифрового фильтра
|
0.283 |
1 |
1 |
1 |
15.076 |
-12.811 |
4.618 |
Структура ЦФ приведена на рис. 3.4а.
Рисунок 3.4а – Структурная схема цифрового фильтра Чебышева
Из структуры системной функции видно, что полученный ЦФ является фильтром третьего порядка. С технической точки зрения, реализация сумматора как элемента ЦФ проще, чем реализация линии задержки, поэтому целесообразно представить ЦФ в виде каскадного соединения двух фильтров первого и второго порядков:
Таблица 3.1б – Коэффициенты an и bn каскадного цифрового фильтра
|
0.031 |
1 |
0.681 |
2 |
1 |
0.967 |
-0.743 |
Структура каскадного ЦФ приведена на рис. 3.4б.
Рисунок 3.4б – Структурная схема цифрового фильтра Чебышева
3.4.2 Получение АЧХ цифрового фильтра Чебышева
|
(3.6) |
Чтобы от системной функции цифрового фильтра перейти к его АЧХ, достаточно сделать замену следующего вида [1, 92 с.]:
В итоге я получила:
На рис. 3.5 приведена АЧХ цифрового фильтра Чебышева.
Рисунок 3.5 – АЧХ цифрового фильтра
3.4.3 Расчет импульсной характеристики Чебышева
Для расчёта импульсной характеристики цифрового фильтра необходимо произвести обратное Z-преобразование системной функции ЦФ. Я сделала это с помощью стандартной символьной операции invztrans библиотеки Mathcad, примененной к функции K(z). Результат представлен в Приложении А.
Далее был построен график дискретной импульсной характеристики, представленный на рис. 3.6.
Рисунок 3.6 – Отсчёты импульсной характеристики ЦФ
3.4.4 Прохождение дискретного сигнала через ЦФ Чебышева
Проводя параллель между цифровыми и аналоговыми цепями, отклик на выходе ЦФ можно получить двумя способами: перемножив Z-образ сигнала на входе фильтра с системной функцией цепи, получить Z-образ выходного сигнала. Затем с помощью обратного Z-преобразования перейти к выходной дискретной последовательности.
Либо воспользоваться аналогом временной свертки, т.е. дискретной сверткой, получив при этом значения отсчетов выходного сигнала. Рассмотрим подробно второй способ для расчета на выходе ЦФ, полученных разными способами.
Сигнал на выходе фильтра определим, воспользовавшись дискретной свёрткой [1, 43 с., формула (4.42)]:
|
(3.7) |
На вход фильтра подадим сигнал, который рассматривался в разделе 2:
Рисунок 3.7 – Результат прохождения сигнала через ЦФ Чебышева
3.5 Вывод по второй части работы
Фильтр Чебышева— один из типов цифровых фильтров, отличительной особенностью которого является более крутой спад АЧХ и существенные пульсации АЧХ на частотах полос пропускания.
Во второй части работы был проведен синтез ЦФ, анализ частотных и временных характеристик ЦФ и расчет отклика ЦФ в виде выходной дискретной последовательности. Фильтр Чебышева в данной работе синтезируется на основе заданных параметров АЧХ коэффициента передачи.
В соответствии с этими заданными параметрами, была получена АЧХ фильтра, которая имеет равноволновое приближение к АЧХ идеального ФНЧ. АЧХ фильтра тем ближе к идеальной, чем больше его порядок, но при увеличении порядка фильтра увеличивается и число элементов, используемых в фильтре.
Список использованных источников
- Каратаева, Н. А. Радиотехнические цепи и сигналы. Методические указания по выполнению курсовой работы / Н. А. Каратаева. – Томск 2002. – 94 с.
Приложение А
(обязательно)
Листинг программы
Приложение Б
(обязательно)
Последовательность отсчетов аналогового сигнала S(t)
|
Отсчеты |
Координата точки |
|
0 |
0 |
|
1 |
0.085 |
|
2 |
0.171 |
|
3 |
0.256 |
|
4 |
0.341 |
|
5 |
0.427 |
|
6 |
0.512 |
|
7 |
0.598 |
|
8 |
0.683 |
|
9 |
0.768 |
|
10 |
0.854 |
|
11 |
0.939 |
|
12 |
-0.967 |
|
13 |
-0.854 |
|
14 |
-0.740 |
|
15 |
-0.626 |
|
16 |
-0.512 |
|
17 |
-0.398 |
|
18 |
-0.285 |
|
19 |
-0.171 |
|
20 |
-0.057 |
|
21-40 |
0 |
Приложение В
(обязательно)
Последовательность отсчетов импульсной характеристики ЦФ
|
Отсчеты |
Координата точки |
Отсчеты |
Координата точки |
|
0 |
0.031 |
21 |
|
|
1 |
0.144 |
22 |
0.010 |
|
2 |
0.287 |
23 |
|
|
3 |
0.317 |
24 |
|
|
4 |
0.194 |
25 |
|
|
5 |
0.020 |
26 |
|
|
6 |
-0.078 |
27 |
|
|
7 |
-0.059 |
28 |
|
|
8 |
0.022 |
29 |
|
|
9 |
0.080 |
30 |
|
|
10 |
0.071 |
31 |
|
|
11 |
0.016 |
32 |
|
|
12 |
-0.033 |
33 |
|
|
13 |
-0.040 |
34 |
|
|
14 |
-0.013 |
35 |
|
|
15 |
0.019 |
36 |
|
|
16 |
0.029 |
37 |
|
|
17 |
0.014 |
38 |
|
|
18 |
39 |
||
|
19 |
-0.017 |
40 |
|
|
20 |
-0.011 |
- |
- |
Скачать: