Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

0

Контрольная работа 

Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

6.1 Постановка задачи

Цель: освоить алгоритмы методов решения задачи Коши для ОДУ.

 

Задание:

  1. Найти численное решение задачи Коши

методами Рунге-Кутта 3 и 4 порядков на сетках с шагом τ = 0,1; τ = 0,05; τ = 0,025, соответственно, согласно выбранному варианту.

  1. На последовательности указанных сеток проверить сходимость полученного решения для указанных методов.
  2. Для сопоставления методов вычислить

, где

 - точное решение

 

вариант

f(t,u)

t0

T

u0

U(t) точное решение

1

 

0,1

1,1

0,3314113

 

2

 

0

0,9

-1

 

3

 

0

0,9

0

 

4

 

0

0,9

0

 

5

 

0

0,9

0

 

6

 

0

0,9

1

 

7

 

0

0,9

3,4

 

8

 

0

1

0

 

9

 

0

1

1

 

10

 

0

1

1

 

 

6.2 Ход работы

Решим задачу Коши для дифференциального уравнения

/Точное решение

6.2. Методы Рунге-Кутта

Метод Рунге-Кутта III порядка

Метод Рунге-Кутта III порядка точности можно выполнить по следующим формулам:

  (1)        (2)

Проведем вычисления, используя формулы (1), которые применительно к нашему уравнению примут вид:

При τ = 0,1 для  t1=0,1  получим

 

для следующей точки сетки  t1=0,2  получим

результаты дальнейших вычислений поместим в таблицу 6.1

Аналогичные действия выполняются на сетках с шагами  τ = 0,05 и  τ = 0,025, результаты вычислений приведены в таблицах 6.2, 6.3, соответственно.

 

Метод Рунге-Кутта IV порядка

Метод Рунге-Кутта IV порядка точности можно выполнить по следующим формулам:

  (3)       (4)

Проведем вычисления, используя формулы (3), которые применительно к нашему уравнению примут вид:

При τ = 0,1 для  t1=0,1  получим

 

для следующей точки сетки  t1=0,2  получим

 

результаты дальнейших вычислений поместим в таблицу 6.1

Аналогичные действия выполняются на сетках с шагами  τ = 0,05 и  τ = 0,025, результаты вычислений приведены в таблицах 6.2, 6.3, соответственно

 

 

Таблица 6.1 τ = 0,1

i

ti

ui(1)

Метод Рунге-Кутта III порядка

Метод Рунге-Кутта IV порядка

Точное решение

 

0

0

1

1

1

1

0,1

1,1111293

1,1111112

1,1111111

2

0,2

1,2500445

1,2500003

1,2500000

3

0,3

1,4286573

1,4285723

1,4285714

4

0,4

1,6668231

1,6666689

1,6666667

5

0,5

2,0002894

2,0000057

2,0000000

6

0,6

2,5005744

2,500016

2,5000000

7

0,7

3,3346467

3,3333868

3,3333333

8

0,8

5,0039483

5,0002546

5,0000000

9

0,9

10,022309

10,0027518

10,000000

 

 

Таблица 6.2 τ = 0,05

i

ti

ui(2)

Метод Рунге-Кутта III порядка

Метод Рунге-Кутта IV порядка

Точное решение

 

0

0

1

1

1

1

0,05

1,0526327

1,05263158

1,0526316

2

0,10

1,1111135

1,111111115

1,1111111

3

0,15

1,1764745

1,176470597

1,1764706

4

0,20

1,2500058

1,250000017

1,2500000

5

0,25

1,3333415

1,333333364

1,3333333

6

0,30

1,4285827

1,428571481

1,4285714

7

0,35

1,5384769

1,538461626

1,5384615

8

0,40

1,6666875

1,66666681

1,6666667

9

0,45

1,8182101

1,818182052

1,8181818

10

0,50

2,0000389

2,000000384

2,0000000

11

0,55

2,2222767

2,222222865

2,2222222

12

0,60

2,5000784

2,50000111

2,5000000

13

0,65

2,8572600

2,857144864

2,8571429

14

0,70

3,3335177

3,333337208

3,3333333

15

0,75

4,0003118

4,000008219

4,0000000

16

0,80

5,0005861

5,000020041

5,0000000

17

0,85

6,667967

6,666727534

6,6666667

18

0,9

10,0038618

10,000272049

10

 

Таблица 6.3 τ = 0,025

i

ti

ui(3)

Метод Рунге-Кутта III порядка

Метод Рунге-Кутта IV порядка

Точное решение

 

0

0

1

1

1

1

0,025

1,025641092

1,025641026

1,025641026

2

0,05

1,052631717

1,052631579

1,052631579

3

0,075

1,081081297

1,081081081

1,081081081

4

0,1

1,111111413

1,111111111

1,111111111

5

0,125

1,142857539

1,142857143

1,142857143

6

0,15

1,176471089

1,176470589

1,176470588

7

0,175

1,212121829

1,212121213

1,212121212

8

0,2

1,250000746

1,250000001

1,25

9

0,225

1,290323472

1,290322582

1,290322581

10

0,25

1,333334388

1,333333335

1,333333333

11

0,275

1,379311585

1,379310347

1,379310345

12

0,3

1,42857288

1,428571432

1,428571429

13

0,325

1,481483175

1,481481486

1,481481481

14

0,35

1,538463511

1,538461544

1,538461538

15

0,375

1,600002297

1,600000007

1,6

16

0,4

1,666669342

1,666666676

1,666666667

17

0,425

1,739133555

1,739130447

1,739130435

18

0,45

1,818185465

1,818181834

1,818181818

19

0,475

1,90476618

1,904761925

1,904761905

20

0,5

2,000005031

2,000000026

2

21

0,525

2,105269107

2,105263191

2,105263158

22

0,55

2,222229299

2,222222265

2,222222222

23

0,575

2,352949653

2,352941232

2,352941176

24

0,6

2,500010236

2,500000073

2,5

25

0,625

2,666679147

2,666666765

2,666666667

26

0,65

2,857158246

2,857142991

2,857142857

27

0,675

3,076942306

3,076923262

3,076923077

28

0,7

3,33335774

3,333333594

3,333333333

29

0,725

3,636395199

3,636364013

3,636363636

30

0,75

4,000041746

4,00000056

4

31

0,775

4,444501197

4,444445309

4,444444444

32

0,8

5,000079829

5,000001396

5

33

0,825

5,714402972

5,714288103

5,714285714

34

0,85

6,666848923

6,666671074

6,666666667

35

0,875

8,000305882

8,000009011

8

36

0,9

10,000572906

10,000021333

10

 

 

Проверка  сходимости полученного решения для указанных методов.

Для проверки сходимости методов Рунге-Кутта вычислим максимальную разность между соответствующими значениями функции на сетках ui(1), ui(2), ui(3), т.е. maxi /u2i(2)- ui(1)/, maxi /u2i(3)- ui(2)/. Результаты вычислений приведены в таблицах 6.4, 6.5.

 

 

Таблица 6.4

i

ti

/u2i(2)- ui(1)/

Метод Рунге-Кутта III порядка

Метод Рунге-Кутта IV порядка

0

0

0

0

1

0,1

1,58E-05

8,5E-08

2

0,2

3,87E-05

2,83E-07

3

0,3

7,46E-05

8,19E-07

4

0,4

0,0001356

2,09E-06

5

0,5

0,0002505

5,316E-06

6

0,6

0,000496

1,489E-05

7

0,7

0,001129

4,9592E-05

8

0,8

0,0033622

0,000234559

9

0,9

0,0184472

0,002479751

maxi

0,0184472

0,002479751

 

Таблица  6.5

i

ti

/u2i(3)- ui(2)/

Метод Рунге-Кутта III порядка

Метод Рунге-Кутта IV порядка

0

0

0

0

1

0,05

9,83E-07

1E-09

2

0,10

2,087E-06

4E-09

3

0,15

3,411E-06

8E-09

4

0,20

5,054E-06

1,6E-08

5

0,25

7,112E-06

2,9E-08

6

0,30

9,82E-06

4,9E-08

7

0,35

1,3389E-05

8,2E-08

8

0,40

1,8158E-05

1,34E-07

9

0,45

2,4635E-05

2,18E-07

10

0,50

3,3869E-05

3,58E-07

11

0,55

4,7401E-05

6E-07

12

0,60

6,8164E-05

1,037E-06

13

0,65

0,000101754

1,873E-06

14

0,70

0,00015996

3,614E-06

15

0,75

0,000270054

7,659E-06

16

0,80

0,000506271

1,8645E-05

17

0,85

0,001118077

5,646E-05

18

0,9

0,003288894

0,000250716

maxi

0,003288894

0,000250716

 

Полученные данные о максимальных разностях внесем в отдельную таблицу 6.6.

 

Таблица 6.6

maxi /u2i(k)- ui(k-1)/

Метод Рунге-Кутта III порядка

Метод Рунге-Кутта IV порядка

maxi /u2i(2)- ui(1)/

0,0184472

0,002479751

maxi /u2i(3)- ui(2)/

0,003288894

0,000250716

 

Из таблицы 6.6 видно, что рассматриваемая нами величина maxi /u2i(k)- ui(k-1)/для каждого метода уменьшается, а это характерно для сходящегося процесса.

 

 

Сопоставление  методов

 

Для сопоставления методов необходимо вычислить

, где

 - точное решение

Используя данные таблиц 6.1, 6.2, 6.3 вычислим , результаты представим в таблицах 6.7, 6.8, 6.9.

 

 

Таблица 6.7 τ = 0,1

i

ti

 

Метод Рунге-Кутта III порядка

Метод Рунге-Кутта IV порядка

0

0

0

0

1

0,1

1,82E-05

1E-07

2

0,2

4,45E-05

3E-07

3

0,3

8,59E-05

9E-07

4

0,4

0,0001564

2,2E-06

5

0,5

0,0002894

5,7E-06

6

0,6

0,0005744

1,6E-05

7

0,7

0,0013134

5,35E-05

8

0,8

0,0039483

0,0002546

9

0,9

0,022309

0,0027518

maxi

0,022309

0,0027518

 

 

Таблица 6.8 τ = 0,05

i

ti

 

Метод Рунге-Кутта III порядка

Метод Рунге-Кутта IV порядка

0

0

0

0

1

0,05

1,1E-06

2E-08

2

0,10

2,4E-06

1,5E-08

3

0,15

3,9E-06

3E-09

4

0,20

5,8E-06

1,7E-08

5

0,25

8,2E-06

6,4E-08

6

0,30

1,13E-05

8,1E-08

7

0,35

1,54E-05

1,26E-07

8

0,40

2,08E-05

1,1E-07

9

0,45

2,83E-05

2,52E-07

10

0,50

3,89E-05

3,84E-07

11

0,55

5,45E-05

6,65E-07

12

0,60

7,84E-05

1,11E-06

13

0,65

0,0001171

1,964E-06

14

0,70

0,0001844

3,908E-06

15

0,75

0,0003118

8,219E-06

16

0,80

0,0005861

2,0041E-05

17

0,85

0,0013003

6,0834E-05

18

0,9

0,0038618

0,000272049

maxi

0,0038618

0,000272049

 

 

Таблица 6.9 τ = 0,025

i

ti

 

Метод Рунге-Кутта III порядка

Метод Рунге-Кутта IV порядка

0

0

0

0

1

0,025

6,6E-08

0

2

0,05

1,38E-07

0

3

0,075

2,16E-07

0

4

0,1

3,02E-07

0

5

0,125

3,96E-07

0

6

0,15

5,01E-07

1E-09

7

0,175

6,17E-07

1E-09

8

0,2

7,46E-07

1E-09

9

0,225

8,91E-07

1E-09

10

0,25

1,055E-06

2E-09

11

0,275

1,24E-06

2E-09

12

0,3

1,451E-06

3E-09

13

0,325

1,694E-06

5E-09

14

0,35

1,973E-06

6E-09

15

0,375

2,297E-06

7E-09

16

0,4

2,675E-06

9E-09

17

0,425

3,12E-06

1,2E-08

18

0,45

3,647E-06

1,6E-08

19

0,475

4,275E-06

2E-08

20

0,5

5,031E-06

2,6E-08

21

0,525

5,949E-06

3,3E-08

22

0,55

7,077E-06

4,3E-08

23

0,575

8,477E-06

5,6E-08

24

0,6

1,0236E-05

7,3E-08

25

0,625

1,248E-05

9,8E-08

26

0,65

1,5389E-05

1,34E-07

27

0,675

1,9229E-05

1,85E-07

28

0,7

2,4407E-05

2,61E-07

29

0,725

3,1563E-05

3,77E-07

30

0,75

4,1746E-05

5,6E-07

31

0,775

5,6753E-05

8,65E-07

32

0,8

7,9829E-05

1,396E-06

33

0,825

0,00011726

2,389E-06

34

0,85

0,00018226

4,407E-06

35

0,875

0,00030588

9,011E-06

36

0,9

0,00057291

2,1333E-05

maxi

0,00057291

2,1333E-05

 

 

 

Полученные данные для  внесем в таблицу 6.10.

Таблица 6.10

 

Метод Рунге-Кутта III порядка

Метод Рунге-Кутта IV порядка

τ = 0,1

0,022309

0,0027518

τ = 0,05

0,0038618

0,000272049

 τ = 0,025

0,00057291

2,1333E-05

 

 Скачать:  У вас нет доступа к скачиванию файлов с нашего сервера. КАК ТУТ СКАЧИВАТЬ

Категория: Контрольные работы / Контрольные по математике

Уважаемый посетитель, Вы зашли на сайт как незарегистрированный пользователь.
Мы рекомендуем Вам зарегистрироваться либо войти на сайт под своим именем.