Лабораторная работа
Численное интегрирование (интеграция)
1 Постановка задачи
Цель: освоить алгоритмы численного интегрирования.
Задание:
Вычислить интеграл заданной функции f(x) на отрезке с точностью по формулам:
1) левых, правых, средних прямоугольников;
2) трапеций;
3) Симпсона.
Какое число отрезков разбиения требуется для достижения заданной точности для каждого метода теоретически и практически?
вариант f(x) a b
1
0 1
2
1 2
3
1 2
4
2 3
5
0 1
6
1 2
7
1,2 2,2
8
0,5 1,5
9
2 3
10
3 4
11
1,1 2,1
12
-1 0
13
-0,5 0,5
14
0,1 1,1
15
0,2 1,2
16
1,5 2,5
5.2 Ход работы
5.2.1 Вычислим интеграл методом левых прямоугольников с точностью .
Вычисление интеграла по формуле левых прямоугольников производится по формуле:
(5.1)
1. Пусть начальное число отрезков разбиения n1=10, тогда h1=0,1.
Вычислим значения подынтегральной функции в узлах сетки, результаты поместим в таблицу 5.1
Таблица 5.1
i xi
0 0 0
1 0,1 0,110517092
2 0,2 0,244280552
3 0,3 0,404957642
4 0,4 0,596729879
5 0,5 0,824360635
6 0,6 1,09327128
7 0,7 1,409626895
8 0,8 1,780432743
9 0,9 2,2136428
10 1 2,718281828
В таблице 5.1 выделены те значения функции, которые используются в формуле (5.1).
Вычислим значение интеграла с шагом h1:
2. Увеличим число отрезков разбиения в два раза n2=20, тогда h2=0,05.
Вычислим значения подынтегральной функции, результаты поместим в таблицу 5.2
Таблица 5.2
i xi
0 0 0
1 0,05 0,052563555
2 0,1 0,110517092
3 0,15 0,174275136
4 0,2 0,244280552
5 0,25 0,321006354
6 0,3 0,404957642
7 0,35 0,496673642
8 0,4 0,596729879
9 0,45 0,705740483
10 0,5 0,824360635
11 0,55 0,95328916
12 0,6 1,09327128
13 0,65 1,245101539
14 0,7 1,409626895
15 0,75 1,587750012
16 0,8 1,780432743
17 0,85 1,988699824
18 0,9 2,2136428
19 0,95 2,456424176
20 1 2,718281828
В таблице 5.2 выделены те значения функции, которые используются в формуле (5.1).
Вычислим значение интеграла с шагом h2:
3. Оценим
Очевидно, что требуемая точность не достигнута. Требуется продолжить вычисления, результаты которых поместим в таблицу 5.3
Таблица 5.3
Номер итерации k Число отрезков разбиения n Шаг h Значение интеграла Ik
1 10 0,1 0,867781952 -
2 20 0,05 0,93296717 0,065185218
3 40 0,025 0,966252544 0,03328537
4 80 0,0125 0,98306851 0,016816
5 160 0,00625 0,991519811 0,008451305
6 320 0,003125 0,995756295 0,004236484
7 640 0,0015625 0,997877245 0,00212095
8 1280 0,00078125 0,998938397 0,001061152
9 2360 0,000390625 0,999469142 0,000530745
Значение интеграла с точностью методом левых прямоугольников равно 0,999469142. Результат получен за 9 итераций, шаг разбиения h9= 0,000390625.
5.2.2 Вычислим интеграл методом правых прямоугольников с точностью .
Вычисление интеграла по формуле правых прямоугольников производится по формуле:
(5.2)
1. Пусть начальное число отрезков разбиения n1=10, тогда h1=0,1.
Вычислим значения подынтегральной функции в узлах сетки, результаты поместим в таблицу 5.4
Таблица 5.4
i xi
0 0 0
1 0,1 0,110517092
2 0,2 0,244280552
3 0,3 0,404957642
4 0,4 0,596729879
5 0,5 0,824360635
6 0,6 1,09327128
7 0,7 1,409626895
8 0,8 1,780432743
9 0,9 2,2136428
10 1 2,718281828
В таблице 5.4 выделены те значения функции, которые используются в формуле (5.2).
Вычислим значение интеграла с шагом h1:
2. Увеличим число отрезков разбиения в два раза n2=20, тогда h2=0,05.
Вычислим значения подынтегральной функции, результаты поместим в таблицу 5.5
Таблица 5.5
i xi
0 0 0
1 0,05 0,052563555
2 0,1 0,110517092
3 0,15 0,174275136
4 0,2 0,244280552
5 0,25 0,321006354
6 0,3 0,404957642
7 0,35 0,496673642
8 0,4 0,596729879
9 0,45 0,705740483
10 0,5 0,824360635
11 0,55 0,95328916
12 0,6 1,09327128
13 0,65 1,245101539
14 0,7 1,409626895
15 0,75 1,587750012
16 0,8 1,780432743
17 0,85 1,988699824
18 0,9 2,2136428
19 0,95 2,456424176
20 1 2,718281828
В таблице 5.5 выделены те значения функции, которые используются в формуле (5.2).
Вычислим значение интеграла с шагом h2:
3. Оценим
Очевидно, что требуемая точность не достигнута. Требуется продолжить вычисления, результаты которых поместим в таблицу 5.6
Таблица 5.6
Номер итерации k Число отрезков разбиения n Шаг h Значение интеграла Ik
1 10 0,1 1,139610135 -
2 20 0,05 1,068881261 0,070728873
3 40 0,025 1,03420959 0,034671672
4 80 0,0125 1,017047029 0,017162561
5 160 0,00625 1,008509073 0,008537956
6 320 0,003125 1,004250926 0,004258147
7 640 0,0015625 1,00212456 0,002126366
8 1280 0,00078125 1,001062054 0,001062506
9 2360 0,000390625 1,000530971 0,000531084
Значение интеграла с точностью методом правых прямоугольников равно 1,000530971. Результат получен за 9 итераций, шаг разбиения h9= 0,000390625.
5.2.3 Вычислим интеграл методом средних прямоугольников с точностью .
Вычисление интеграла по формуле средних прямоугольников производится по формуле:
(5.3)
1. Пусть начальное число отрезков разбиения n1=10, тогда h1=0,1.
Вычислим значения подынтегральной функции в узлах сетки, результаты поместим в таблицу 5.7
Таблица 5.7
i xi
0 0,05 0,052563555
1 0,15 0,174275136
2 0,25 0,321006354
3 0,35 0,496673642
4 0,45 0,705740483
5 0,55 0,95328916
6 0,65 1,245101539
7 0,75 1,587750012
8 0,85 1,988699824
9 0,95 2,456424176
В таблице 5.7 выделены те значения функции, которые используются в формуле (5.3).
Вычислим значение интеграла с шагом h1:
2. Увеличим число отрезков разбиения в два раза n2=20, тогда h2=0,05.
Вычислим значения подынтегральной функции, результаты поместим в таблицу 5.8
Таблица 5.8
i xi
0 0,025 0,025632878
1 0,075 0,080841311
2 0,125 0,141643557
3 0,175 0,208468088
4 0,225 0,281772611
5 0,275 0,362045936
6 0,325 0,44980996
7 0,375 0,54562178
8 0,425 0,650075928
9 0,475 0,763806744
10 0,525 0,887490895
11 0,575 1,021850053
12 0,625 1,167653723
13 0,675 1,325722259
14 0,725 1,496930047
15 0,775 1,682208899
16 0,825 1,882551631
17 0,875 2,099015882
18 0,925 2,332728141
19 0,975 2,584888031
В таблице 5.8 выделены те значения функции, которые используются в формуле (5.3).
Вычислим значение интеграла с шагом h2:
3. Оценим
Очевидно, что требуемая точность не достигнута. Требуется продолжить вычисления, результаты которых поместим в таблицу 5.9
Таблица 5.9
Номер итерации k Число отрезков разбиения n Шаг h Значение интеграла Ik
1 10 0,1 0,998152388 -
2 20 0,05 0,999537918 0,001385529
3 40 0,025 0,99988447 0,00034655
Значение интеграла с точностью методом средних прямоугольников равно 0,99988447. Результат получен за 3 итерации, шаг разбиения h3= 0,025.
5.2.4 Вычислим интеграл методом трапеций с точностью .
Вычисление интеграла по формуле трапеций производится по формуле:
(5.4)
1. Пусть начальное число отрезков разбиения n1=10, тогда h1=0,1.
Вычислим значения подынтегральной функции в узлах сетки, результаты поместим в таблицу 5.10
Таблица 5.10
i xi
0 0 0
1 0,1 0,110517092
2 0,2 0,244280552
3 0,3 0,404957642
4 0,4 0,596729879
5 0,5 0,824360635
6 0,6 1,09327128
7 0,7 1,409626895
8 0,8 1,780432743
9 0,9 2,2136428
10 1 2,718281828
В таблице 5.1 выделены те значения функции, которые используются в формуле (5.4).
Вычислим значение интеграла с шагом h1:
2. Увеличим число отрезков разбиения в два раза n2=20, тогда h2=0,05.
Вычислим значения подынтегральной функции, результаты поместим в таблицу 5.11
Таблица 5.11
i xi
0 0 0
1 0,05 0,052563555
2 0,1 0,110517092
3 0,15 0,174275136
4 0,2 0,244280552
5 0,25 0,321006354
6 0,3 0,404957642
7 0,35 0,496673642
8 0,4 0,596729879
9 0,45 0,705740483
10 0,5 0,824360635
11 0,55 0,95328916
12 0,6 1,09327128
13 0,65 1,245101539
14 0,7 1,409626895
15 0,75 1,587750012
16 0,8 1,780432743
17 0,85 1,988699824
18 0,9 2,2136428
19 0,95 2,456424176
20 1 2,718281828
В таблице 5.11 выделены те значения функции, которые используются в формуле (5.4).
Вычислим значение интеграла с шагом h2:
3. Оценим
Очевидно, что требуемая точность не достигнута. Требуется продолжить вычисления, результаты которых поместим в таблицу 5.12
Таблица 5.12
Номер итерации k Число отрезков разбиения n Шаг h Значение интеграла Ik
1 10 0,1 1,003696043 -
2 20 0,05 1,000924216 0,002771828
3 40 0,025 1,000231067 0,000693149
Значение интеграла с точностью методом трапеций равно 1,000231067. Результат получен за 3 итерации, шаг разбиения h3= 0,025.
5.2.5 Вычислим интеграл методом Симпсона (парабол) с точностью .
Вычисление интеграла по формуле Симпсона производится по формуле:
(5.5)
1. Пусть начальное число отрезков разбиения n1=10, тогда h1=0,1.
Вычислим значения подынтегральной функции в узлах сетки, результаты поместим в таблицу 5.13
Таблица 5.13
i xi
0 0 0
1 0,1 0,110517092
2 0,2 0,244280552
3 0,3 0,404957642
4 0,4 0,596729879
5 0,5 0,824360635
6 0,6 1,09327128
7 0,7 1,409626895
8 0,8 1,780432743
9 0,9 2,2136428
10 1 2,718281828
В таблице 5.13 выделены те значения функции, которые используются в формуле (5.5).
Вычислим значение интеграла с шагом h1:
2. Увеличим число отрезков разбиения в два раза n2=20, тогда h2=0,05.
Вычислим значения подынтегральной функции, результаты поместим в таблицу 5.14
Таблица 5.14
i xi
0 0 0
1 0,05 0,052563555
2 0,1 0,110517092
3 0,15 0,174275136
4 0,2 0,244280552
5 0,25 0,321006354
6 0,3 0,404957642
7 0,35 0,496673642
8 0,4 0,596729879
9 0,45 0,705740483
10 0,5 0,824360635
11 0,55 0,95328916
12 0,6 1,09327128
13 0,65 1,245101539
14 0,7 1,409626895
15 0,75 1,587750012
16 0,8 1,780432743
17 0,85 1,988699824
18 0,9 2,2136428
19 0,95 2,456424176
20 1 2,718281828
В таблице 5.14 выделены те значения функции, которые используются в формуле (5.5).
Вычислим значение интеграла с шагом h2:
3. Оценим
Требуемая точность достигнута.
Значение интеграла с точностью методом Симпсона равно
1,000000273. Результат получен за 2 итерации, шаг разбиения h2= 0,05.
Скачать: