Привет студент

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

 

 

ТЕСТОВЫЕ ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ СТУДЕНТОВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

 «ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»

 

Содержание

Введение 3
1 Этапы вычислительного эксперимента 6
2 Численное решение нелинейных уравнений 11
3 Численное решение систем линейных алгебраических уравнений 21
3.1 Сведения из матричной алгебры 21
3.2 Прямые методы численного решения систем линейных алгебраических уравнений 26
3.3 Итерационные методы численного решения систем линейных алгебраиче-ских уравнений 43
4 Численное решение систем нелинейных уравнений 54
5 Численное решение проблемы собственных значений матриц 60
6 Интерполирование и аппроксимация функций 68
7 Численное интегрирование 76
8 Численное дифференцирование 86
9 Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 100
10 Численное решение уравнений конвективного переноса 118
11 Численное решение модельного уравнения диссипации, конвекции и кинети-ки 150
12 Литература, рекомендуемая для изучения дисциплины «Численные методы» 169
Приложение А Выписка из программы государственного экзамена для специ-альности 010501.65 Прикладная математика и информатика 170
Приложение Б Выписка из программы государственного экзамена для специ-альности 010503.65 Математическое обеспечение и администрирование инфор-мационных систем 172
Приложение В Карта правильных ответов 174

Введение

Дисциплина “Численные методы” для направлений подготовки, связан-ных с математическим моделированием в той или иной области, является осно-вополагающей. Она ориентирована на понимание основных идей и фундамен-тальных понятий научной области ”Вычислительная математика”, на освоение классических численных методов и технологии вычислительного эксперимента.
В результате изучения дисциплины студент должен:
 иметь представление:
• о месте и роли дисциплины;
• об области использования математических моделей и вычислительно-го эксперимента;
• об области использования того или иного метода (о совокупности решаемых задач с помощью него), о классе методов для решения по-ставленной задачи;
• о перспективах развития математического моделирования;
• о сущности и этапах вычислительного эксперимента;
- знать численные методы:
• решения нелинейных уравнений: метод бисекций, метод Ньютона, ме-тод хорд, метод простых итераций;
• решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ): пря-мые (Гаусса, LU-алгоритм, скалярной трехточечной прогонки, враще-ний, отражений) и итерационные (Якоби, Зейделя, верхней релаксации); каноническую форму записи одношаговых итерационных методов;
• решения систем нелинейных уравнений: простых итераций, покоор-динатного спуска, Ньютона и его модификаций (двухступенчатый, ап-проксимационный аналог, дискретный аналог);
• решения проблемы собственных значений матриц: степенной, ска-лярных произведений, частных Рэлея, итерационный метод вращения (Якоби), LU-алгоритм, QR-алгоритм;
• интерполирования: методы линейной и квадратичной интерполяции, глобальной интерполяции алгебраическими многочленами (методы Ла-гранжа, Ньютона), интерполирования кубическими сплайнами;
• восстановления функций: методы выбранных точек, средних, наименьших квадратов;
• интегрирования (формулы левых, правых и средних прямоугольни-ков, трапеции, Симпсона);
• дифференцирования (формулы вычисления первой и второй произ-водной таблично заданной функции с первым и вторым порядком точ-ности);
• решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных урав-нений (ОДУ): метод Эйлера, симметричная схема, предиктор-корректор, методы Рунге-Кутта;
• решения модельного уравнения конвективного переноса (явные и не-явные разностные схемы);
• решения модельного уравнения диссипации, конвекции и кинетики (явные и неявные разностные схемы).
Для каждого метода студент должен знать его основную идею, расчет-ные формулы, условия применимости, включая оценки сходимости и устойчи-вости.
После усвоения дисциплины студент должен
уметь:
• проводить сопоставление численных методов для заданного класса задач;
• выбрать или разработать дискретную модель решаемой математиче-ской задачи;
• проводить оценку погрешности и устойчивости используемого мето-да;
• проводить оценку скорости сходимости используемого численного алгоритма;
• спроектировать модельный вычислительный эксперимент;
• реализовать выбранный численный метод с использованием ПК;
• проводить интерпретацию полученного результата и его качествен-ную оценку.
В вычислительной математике важную роль играет усвоение способов действий в процессе решения той или иной задачи. Здесь знания нужно рас-сматривать не как цель обучения, а как средство, необходимое для выполнения определенной деятельности. В связи с этим не столько интересен результат ре-шения той или иной задачи, а важен процесс его получения.
В последнее время наблюдается повышенный интерес к педагогиче-ским тестам. Они рассматриваются как один из основных методов объективного контроля в учебном процессе. При правильном использовании тестов в вычис-лительной математике можно не только осуществить проверку усвоения знаний практического и теоретического материала, но и развить интуицию, логическое мышление, реализовать функцию обучения, сформировать отдельные элементы навыков исследовательской деятельности.
Данный сборник тестовых вопросов и упражнений ориентирован на самоконтроль знаний и умений студентов, приобретенных ими при теоретиче-ском и практическом освоении следующих разделов дисциплины «Численные методы»:
 Методы решения нелинейных уравнений;
 Методы решения СЛАУ;
 Методы решения систем нелинейных уравнений;
 Методы решения проблемы собственных значений матриц;
 Интерполирование и восстановление функций;
 Численное интегрирование и дифференцирование;
 Численное решение задачи Коши для ОДУ и систем ОДУ;
 Численное решение модельного уравнения конвективного переноса;
 Численное решение модельного уравнения диссипации, конвекции и кинетики.
Для освоения численных методов предлагается использовать учебники и учебные пособия [12.1, 12.2, 12.3, 12.4, 12.5], представленные в разделе реко-мендуемых источников.
Предложенные тесты помогают студентам не только осуществить само-контроль знаний студентов, но и преследуют такие цели, как:
 развитие системного мышления в области знаний «Вычислительная математика»;
 предъявление нестандартных приемов решения поставленных задач;
 формирование навыков выявления неточностей в алгоритмах;
 демонстрирование различных способов решения одной и той же за-дачи.
Сборник рекомендуется использовать для самоконтроля знаний обуча-ющихся по дисциплинам «Вычислительная математика», «Численные методы», «Методы вычислений», «Вычислительный эксперимент и методы вычислений» для студентов направлений подготовки: 010100.62 - Математика, 010300.62 – Математика. Компьютерные науки, 010400.62 – Информационные технологии, 010500.62 - Прикладная математика и информатика.

1 Этапы вычислительного эксперимента

1. Пусть x-точное решение, х* - приближенное решение, тогда предель-ная относительная погрешность – это:

а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .

2. Вычислительный эксперимент – это технология исследования сложных процессов и явлений, основанная на … и их исследовании с помощью ЭВМ.
Вставьте пропущенное:

а) описании физической модели;
б) построении математических моделей;
в) задании целевых функций;
г) выборе численных моделей;
д) ни один из перечисленных вариантов.

3. С точки зрения вычислительного эксперимента к устранимым по-грешностям относятся:
1) ошибки округления;
2) ошибка численного метода;
3) ошибки выбора или построения математической модели;
4) ошибки дискретизации.
Укажите неверные:

а) 1) и 3);
б) все устранимые;
в) 3);
г) 2);
д) 2) и 3).
4. Любой численный метод должен удовлетворять следующим требова-ниям:
1) устойчивость;
2) согласованность;
3) корректность;
4) сходимость;
5) легко реализуемость;
Укажите верный ответ:

а) 3), 5);
б) 1), 2), 4);
в) 1), 4), 5);
г) 1), 3), 4);
д) все кроме 2).

5. Задача называется …, если ее решение существует, единственно и устойчиво по исходным данным.
Вставьте пропущенное:

а) устойчивой;
б) корректно поставленной;
в) сходящейся;
г) точной;
д) легко реализуемой;
е) правильной.

6. Метод называется ... по параметру х, если его решение y непрерывно зависит от x.
Вставьте пропущенное:

а) устойчивым;
б) корректным;
в) сходящимся;
г) точным;
д) легко реализуемым;
е) правильным.

7. Метод является … , если полученное искомое решение близко к истин-ному.
Вставьте пропущенное:

а) устойчивым;
б) корректным;
в) сходящимся;
г) точным;
д) легко реализуемым;
е) правильным.

8. Метод называется устойчивым по параметру х, если …

а) малым изменениям х соответствуют малые изменения решения;
б) малым изменениям х соответствуют большие изменения реше-ния;
в) после нескольких итерации позволяет определить искомое ре-шение;
г) позволяет определить искомое решение после первой итерации;
д) позволяет определить количество итераций, необходимых для получения решения;

9. Задача называется корректно поставленной, если …

а) ее решение не существует;
б) если существует несколько ее решений;
в) ее решение существует и единственно;
г) ее решение существует, оно единственно и устойчиво по исход-ным данным.

10. Численный метод называется сходящимся, если…

а) полученное численное решение близко к истинному;
б) решение исходной математической задачи (модели) существу-ет;
в) метод реализуется за конечное число шагов;
г) решение исходной математической задачи (модели) существу-ет при определенных условиях.

11. Из ниже приведенных форм записей выбрать дискретные модели:
1) ,
, ,
;
2) ;
3) ,
, ;
4)

а) 1), 3);
б) 2), 4);
в) 2), 3);
г) 2);
д) 1), 4).

12. Установить порядок следования перечисленных этапов вычислитель-ного эксперимента:
1) выбор или построение математической модели;
2) программирование;
3) анализ объекта или явления;
4) выбор или построение численной (дискретной) модели;
5) счет и анализ результатов.
Укажите верный ответ:

а) 1), 2), 3), 4), 5);
б) 2), 3), 5), 1), 4);
в) 3), 4), 1), 2), 5);
г) 3), 1), 4), 2), 5);
д) 3), 4), 1), 5), 2);
е) ни один из перечисленных вариантов.

13 . На каком этапе вычислительного эксперимента записываются со-вокупности используемых формул, уравнений, ограничений для реализации на ЭВМ?
а) счет и анализ результатов;
б) анализ объекта или явления;
в) выбор или построение численной (дискретной) модели;
г) выбор или построение математической модели;
д) программирование.

14. Продолжите определение.
Математическая модель – это…

а) математические формулы, реализуемые с помощью ЭВМ;
б) словесное и математическое описание задачи, входных и вы-ходных данных;
в) математическое описание объектов с некоторой степенью точности, выраженное с помощью математических формул, си-стем уравнений и неравенств;
г) алгоритм реализации какого-либо метода.

15. Из ниже приведенных форм записей выбрать математические модели:
1)
, ,
;
2) ;
3)
, ;
4) .

а) 1), 3);
б) 2), 4);
в) 4);
г) 1);
д) 1), 4).

2 Численное решение нелинейных уравнений

1. Для решения уравнения

на отрезке [-1; 2] используется метод бисекций. Выполняется третий шаг. Какой из указанных интервалов будет содержать корень?

а) [0; 2];
б) [0.5; 2];
в) [0.875; 1.25];
г) [0.9; 1.25];
д) [0.5; 1.25].

2. Какое количество итераций необходимо для численного решения не-линейного уравнения с точностью  на отрезке [а; b] методом бисек-ций?

а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .

3. Определить интервал, на котором можно использовать метод бисек-ций для численного решения нелинейного уравнения
.

а) [1.5; 3);
б) [-3; -2];
в) [-4; -2];
г) (-4; -3);
д) ни один из указанных интервалов не содержит корней.

4. Каким типом сходимости обладают итерационные последовательно-сти метода бисекций?

а) квадратичным;
б) сходимостью с р-ым порядком;
в) линейным;
г) сверхлинейным;
д) сходимости нет.

5. Определить отрезок, на котором уравнение

имеет хотя бы один корень?

а) [ ; ];
б) [0.1; ];
в) [2.5; ];
г) [ ; 1.6];
д) уравнение корней не имеет.

6. Сколько итераций необходимо для решения уравнения

методом бисекций с точностью =10-6 на отрезке [-3; -1]?

а) 4;
б) 3;
в) 1;
г) 5.

7. На каком из нижеуказанных отрезков уравнение

имеет хотя бы один корень?

а) [0.5; 2];
б) [2; 3);
в) [3; 5];
г) [2.1; 2.9];
д) (2; 3];

8. Какой метод решения нелинейных уравнений наиболее чувствителен к выбору начального приближения (с точки зрения скорости сходимости)?

а) Ньютона;
б) бисекций;
в) итераций;
г) Зейделя
д) хорд.

9. Уравнение f(x)=0 в методе итераций приводится к виду . Какое условие должно выполняться для функции ?

а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) нет верного ответа.

10. Типами сходимости итерационных последовательностей при числен-ном решении нелинейных уравнений являются:

а) линейная, сверхлинейная, сходимость с p-порядком;
б) линейная, функциональная, региональная;
в) функциональная, сходимость с p-порядком;
г) локальная, глобальная, равномерная.

11. Уравнение f(x)=0 решается методом Ньютона. Какая из нижеприве-денных формул является правильной?

а) ;
б) ;
в) ;
г) .

12. Указать метод численного решения нелинейных уравнений, в кото-ром итерационная последовательность обладает сверхлинейной сходимостью.

а) метод бисекций;
б) метод итераций;
в) метод Ньютона;
г) метод хорд.

13. Какой из численных методов решения нелинейных уравнений имеет квадратичную сходимость?

а) метод бисекций;
б) метод итераций;
в) метод Ньютона;
г) метод хорд.

14. За какое количество итераций возможно решение нелинейных урав-нений методом бисекций на отрезке [0; 2] с точностью ?

а) 9;
б) 3;
в) 11;
г) 4.

15. Выражение является решением некоторого уравнения , где a>0, р - вещественное число. Восстановить исходный вид итерационной последовательности для метода Ньютона при р=2.

а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ;
е) нет верного ответа.

16. На каком из указанных интервалов возможно применение метода Ньютона для решения уравнения
?

а) [5, 6];
б) [2, 3];
в) [-3, -1];
г) [-2.1, -1.2];
д) ни на одном из указанных интервалов.

17. Численное решение нелинейных уравнений состоит из следующих этапов (порядок этапов учитывается):

а) отделение корней; уточнение корней;
б) бисекция; табулирование;
в) табулирование; графическое представление функции;
г) уточнение корней; отделение корней.

18. На каком из указанных интервалов возможно применение метода Ньютона для решения уравнения
?

а) (-; );
б) [0; 3.5 ];
в) [-1.9; 1];
г) [-3; -2];
д) ни на одном из указанных интервалов.

19. Какой тип сходимости имеет итерационная последовательность в ме-тоде хорд для решения нелинейных уравнений ?

а) линейная сходимость;
б) сверхлинейная сходимость;
в) сходимость с р-ым порядком;
г) локальная сходимость;
д) глобальная сходимость.

20 . Пусть применен один шаг метода хорд для решения нелинейного уравнения

на отрезке [2; 3]. Какой интервал получим для дальнейшего поиска корня?

а) [2.48; 3];
б) [2.09; 3];
в) [2; 2.09];
г) [2; 2.5];
д) [2; 2.48].

21. Из нижеприведенных формул выбрать ту, которая соответствует итерационному процессу вычисления корня уравнения

методом простой итерации для интервала [-3; -2].

а) ;
б) ;
в) ;
г) .

22. Какой метод решения любого нелинейного уравнения не зависит от выбора начального приближения?

а) Ньютона;
б) бисекций;
в) Зейделя;
г) итераций.

23. Построить итерационный процесс для решения уравнения
, ,
методом простых итераций без использования операции деления.

а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) итерационный процесс построить невозможно.

24. Для численного решения нелинейного уравнения

используется метод простых итераций, где
.
При каких ограничениях на , ,  итерационный процесс будет работать при любом x?

а) ,  - любое;
б) , ;
в) ,  - любые, ;
г) ,  - любое;
д) , ,  - любые.

25. Построить общую формулу метода простой итерации для решения уравнения

при х>0.

а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) итерационный процесс построить невозможно

26. Дано уравнение
сosx - x2 - x=0.
Корень находится на отрезке [0.1; 1]. Определить для него правильный вид уравнения x= :

а) ;
б) ;
в) ;
г) .

27. Дано уравнение
.
Для поиска корня используется метод простых итераций, где
.
Определить отрезок, на котором данную итерационную последовательность можно использовать.

а) [-3; -2];
б) [0.1; 0.8];
в) [-1; 1];
г) [1; 2].

28. Применен один шаг метода хорд для решения нелинейного уравне-ния

на отрезке [2; 3]. Какой интервал получим для дальнейшего поиска корня?

а) [2; 2.61];
б) [2.61; 3];
в) [2; 2.5];
г) [2.26; 3];
д) [2; 2.26].

29. В общем случае наибольшую скорость сходимости при решении не-линейных уравнений имеет метод:

а) хорд;
б) бисекций;
в) итераций;
г) Ньютона.

30. Из нижеперечисленных формул выбрать те, которые могут быть ис-пользованы для организации вычислений корней уравнения

методом простой итерации.
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) .

а) 1), 3), 5);
б) 3), 4), 5);
в) 2), 3);
г) 1), 2), 3);
д) 1), 2), 6).

31. Для нелинейного уравнения

определить отрезки, содержащие только один корень.

а) [-4; -2], [-1; 8];
б) [-4; -2], [-2; 8/3], [4; 5];
в) [-2; 10];
г) [-3; -2], [-2;-1], [2; 4];
д) [-4; 8].

3 Численное решение систем линейных алгебраических урав-нений

3.1 Сведения из матричной и векторной алгебры

1. Как связаны нормы векторов и ?

а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) нет правильного ответа.

2. Как связаны нормы векторов и ( )?

а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) нет правильного ответа.

3. Продолжите определение.
Норма матрицы считается согласованной с нормой вектора, если…

а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) нет правильного варианта ответа.

4. Дана система уравнений, записанная в виде Ax=b. Ее решение суще-ствует и единственно, если

а) detA=0;
б) detA≠0;
в) сondA=1;
г) главные миноры А не равны нулю.

5. Для вектора x его норма-сумма 1 определяется как:

а) ;
б) ;
в) ;
г) .

6. Выберите верное равенство:

а) ||E||=0;
б) ||A||=||E||||0||;
в) ||0||=1;
г) ||E||=1.

7 . Дана матрица:
.
Чему равна норма ?

а) 11;
б) 10;
в) 12;
г) 13;
д) нет правильного ответа.

8. Дана матрица:
.
Чему равна норма ?

а) 16;
б) 12;
в) 14;
г) 17;
д) нет правильного ответа.

9. Дана матрица:
.
Чему равна норма ?

а) 0;
б) 4;
в) ;
г) 16;
д) нет правильного ответа.

10. Дан вектор x=(4; -1; 3; -2; 5). Чему равна норма ||x||1?

а) 10;
б) 5;
в) 15;
г) ;
д) нет правильного ответа.

11. Дан вектор x=(0; -6; 5; 1; -1). Чему равна норма ||x||∞?

а) ;
б) 6;
в) 13;
г) 1;
д) нет правильного ответа.

12. Дан вектор x=( ; -3; -2; 0; 3). Чему равна норма ||x||Е?

а) ;
б) 5;
в) 25;
г) 3;
д) нет правильного ответа.

13. Дана матрица:
.
Чему равна норма ?

а) 5;
б) 49;
в) -7;
г) 7;
д) нет правильного ответа.

14. Продолжите определение.
Нормой вектора , где - пространство вещественных n-мерных векто-ров, называется такое действительное число , которое удовлетворяет следу-ющим условиям: …

а)
б)
в)
г)
д) верного ответа нет.

15. Вставить вместо … подходящие по смыслу пропущенные слова.
Числом обусловленности матрицы А называется величина …, которая исполь-зуется для … .

а) ,
оценки величины обратной матрицы;
б) ,
оценки погрешности решения систем линейных алгебраических уравнений;
в) ,
оценки погрешности решения систем линейных алгебраических уравнений;
г) ,
оценки величины обратной матрицы;
д) ,
выбора метода решения систем линейных алгебраических уравне-ний.

3.2 Прямые методы численного решения систем линейных алгебраи-ческих уравнений

1. Методы решения СЛАУ делятся на:

а) прямые, приближенные;
б) прямые, итерационные;
в) приближенные, итерационные;
г) уточнение корней, отделение корней.

2. Пусть дана система линейных алгебраических уравнений Ax=b. Вы-полнение detA≠0 означает, что….

а) существует множество решений СЛАУ;
б) решения СЛАУ не существует;
в) решение СЛАУ существует и оно единственно;
г) не влияет на решение СЛАУ.

3. Дана система линейных алгебраических уравнений Ax=b, с матрицей
.
Укажите вид матрицы С после выполнения прямого хода метода Гаусса с вы-бором ведущего элемента по строке (Ax=b преобразуется в Сх=у).

а) ; б) ;

в) ; г) ;
д) для данной системы метод Гаусса не применим.

4. Какое из нижеприведенных выражений характеризует трудоемкость метода Гаусса решения СЛАУ?

а) ≈ n3/3;
б) ≈n2/2;
в) ≈n;
г) ≈4n3/3.
Здесь n - число уравнений системы.

5. Дана система линейных алгебраических уравнений Ax=b с матрицей
.
Укажите вид матрицы С после выполнения прямого хода метода Гаусса с вы-бором ведущего элемента во всей матрице А (Ax=b преобразуется в Сх=у).

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) для данной системы метод Гаусса не применим.

6. Дана матрица А:
.
Используя метод Гаусса решения СЛАУ Ах=b, найти detA.

а) 0;
б) 378;
в) 577;
г) 4;
д) нет правильного ответа.

7. Дана система линейных алгебраических уравнений Ax=b с матрицей
.
Укажите вид матрицы С после выполнения прямого хода метода Гаусса (Ax=b преобразуется в Сх=у).

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) для данной системы метод Гаусса не применим.

8. Какова будет матрица L после выполнения LU – разложения матрицы А:

?

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) невозможно выполнить LU-разложение матрицы А.

9. Для каких классов матриц требования теоремы о LU-разложении за-ведомо выполняются?

а) для квадратных матриц;
б) для матриц с определителем, отличным от нуля;
в) для матриц с диагональным преобладанием;
г) для обратных матриц.

10. Дана система линейных алгебраических уравнений Ax=b с матрицей

Укажите вид матрицы С после выполнения прямого хода метода Гаусса с вы-бором ведущего элемента по столбцу (Ax=b преобразуется в Сх=у).

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) нет верного ответа.

11. Продолжите теорему:
Если все главные миноры квадратной матрицы А отличны от нуля, то суще-ствуют такие треугольные матрицы нижняя L и верхняя U, что…

а) A=LU. Если элементы диагонали одной из матриц L, U фикси-рованы, то такое разложение единственно;
б) A=UL. Если элементы диагонали матрицы А фиксированы, то такое разложение единственно;
в) уравнение Ax=b можно заменить эквивалентной системой Ly=b, Ux=y;
г) A=LU.

12. Дана система линейных алгебраических уравнений Ax=b с матрицей
.
Укажите вид матрицы С после выполнения прямого хода метода Гаусса с вы-бором ведущего элемента во всей матрице А (Ax=b преобразуется в Сх=у).

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) для данной системы метод Гаусса не применим.

13. Дана матрица А:
.
Используя метод Гаусса решения СЛАУ Ах=b, найти detA.

а) 0;
б) 71;
в) 45;
г) 56;
д) невозможно найти определитель, решая СЛАУ методом Гаус-са.

14. Дана система линейных алгебраических уравнений Ax=b с матрицей
.
Укажите вид матрицы С после выполнения прямого хода метода Гаусса (Ax=b преобразуется в Сх=у).

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) для данной СЛАУ метод Гаусса не применим.

15. Дана матрица А:
.
Какова будет матрица U после выполнения LU – разложения матрицы А?

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) невозможно выполнить LU-разложение матрицы А.

16. Дана система линейных алгебраических уравнений Ax=b с матрицей
.
Укажите вид матрицы С после выполнения прямого хода метода Гаусса (Ax=b преобразуется в Сх=у).

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) для данной системы неприменим традиционный метод Гаусса.

17. Дана СЛАУ Ax=d с трехдиагональной матрицей коэффициентов
.
Какая из нижеприведенных форм записи ей соответствует?

а) ;
, ;
;
б) , ;
в) ;
, ;
;
г) , .

18. Какова будет матрица U после выполнения LU – разложения матри-цы А:
?

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) невозможно выполнить LU-разложение матрицы А.

19. Препятствием для осуществимости процесса LU-разложения квад-ратной матрицы А при решении СЛАУ является:

а) равенство нулю всех диагональных элементов матрицы А;
б) равенство нулю всех диагональных элементов матриц U,L;
в) равенство единице главных миноров матрицы А;
г) равенство нулю главных миноров матрицы U.

20. Вычисление определителя LU-факторизованной матрицы А, где
А=(aij), i =1,..,n, j=1,..,n,

осуществляется как….

а) detA=a11a22…ann ;
б) detA=u11u22…unn;
в) detA=l11l22…lnn;
г) верного ответа нет.

21. Дана матрица А:
.
Выполнить LU-разложение матрицы А.

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

22. Дана СЛАУ Ax=b , где:
.
Выберите наиболее рациональный метод решения такой СЛАУ.

а) метод Гаусса;
б) LU-разложение;
в) метод скалярной трехточечной прогонки;
г) метод вращений.

23. Достаточным условием сходимости метода скалярной трехточечной прогонки решения СЛАУ Ах=d является:

а) главные миноры матрицы А отличны от 0;
б) диагональное преобладание в матрице А;
в) матрица А должна быть единичной;
г) матрица А должна быть верхней треугольной.

24. Решение СЛАУ вида Ах=d методом трехточечной скалярной прогон-ки состоит из следующих этапов:

а) приведение матрицы А к верхнему и нижнему треугольному ви-ду; вычисление корней;
б) приведение матрицы А к верхней треугольной матрице с еди-ничными диагональными коэффициентами; вычисление корней;
в) определение прогоночных коэффициентов; вычисление корней;
г) нет верного ответа.

25. Трудоемкость метода скалярной трехточечной прогонки оценивается как:

а) ≈5n;
б) ;
в) ;
г) .
Здесь n – число уравнений.

26. Выберите из нижеприведенных утверждений те, которые являются условиями применимости метода скалярной трехточечной прогонки для реше-ния СЛАУ :
1) А – нижняя треугольная;
2) А – верхняя треугольная;
3) А – с диагональным преобладанием;
4) А - симметричная;
5) А – трехдиагональная.

а) 1);
б) 3) и 5);
в) 4) и 5);
г) 2);
д) 5).

27. Как вычисляется коэффициент при решении СЛАУ вида
;
, ;
:
методом скалярной трехточечной прогонки:
?

а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) нет правильного варианта ответа.

28. Как вычисляется коэффициент при решения СЛАУ
;
, ;
:
методом скалярной трехточечной прогонки:
?

а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) нет правильного варианта ответа.

29. СЛАУ решается методом скалярной трехточечной прогонки. Выбрать те матрицы А, для которых указанный метод будет работать.

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) .

а) 1);
б) 2);
в) только 4);
г) 4) и 5);
д) только 5);
е) 3).

30. Из нижеприведенных формул выбрать те, которые входят в состав метода скалярной трехточечной прогонки решения СЛАУ вида

1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) .

а) 1), 2), 3);
б) 1), 2), 4);
в) 1), 2), 5);
г) только 1) и 2);
д) все верные.

31. Из нижеприведенных утверждений выбрать то, которое является условием применимости метода квадратных корней для решения СЛАУ Ах=b:

а) диагональное преобладание матрицы А;
б) равенство 0 угловых миноров матрицы А;
в) А - симметричная, положительно определенная матрица;
г) А – любая матрица.

32. Решение СЛАУ Ах=b методом квадратных корней состоит из следу-ющих этапов:

а) 1) представить А=LU;
2) Найти матрицы L,U;
3) из системы Ly=b определить у;
4) из системы Ux=y определить х.

б) 1) представить A=UTU;
2) определить матрицы U, UT ;
3) из системы UTу=b определить у;
4)из системы Ux=y определить х.

в) 1) на первом этапе из матрицы А получить верхнюю треуголь-ную матрицу с единичными диагональными элементами;
2) на втором этапе, используя полученную матрицу, опреде-лить х.

г) нет верного ответа.

33. Пусть СЛАУ вида

решается методом скалярной трехточечной прогонки, при этом используются следующие формулы
, , .
Достаточно ли этих формул для организации вычислений?

а) да;
б) нет, нужны формулы для нахождения α1, β1;
в) нет, нужны формулы для нахождения α1, β1, xn;
г) нет, нужны формулы для нахождения αn, βn, x1.

34. Вычисление определителя LU-факторизованной матрицы А, где
А=(aij), i =1,..,n, j=1,..,n,

осуществляется как….

а) detA=a11a22…ann ;
б) detA=u11u22…unn;
в) detA=l11l22…lnn;
г) верного ответа нет.

35. Система линейных алгебраических уравнений Ax=b, где
, ,
решается методом скалярной прогонки
xi=αixi+1+βi.
Чему равны коэффициенты α1 ,β1?

а) α1= 3, β1=1;
б) α1= 3, β1=4;
в) α1= -1, β1=4;
г) α1= -1/3, β1=4/3;
д) α1= -1/3, β1= - 4/3.

36. Вычисление определителя LU-факторизованной матрицы А, где
А=(aij), i =1,..,n, j=1,..,n,

осуществляется как….

а) detA=a11a22…ann ;
б) detA=u11u22…unn;
в) detA=l11l22…lnn;
г) верного ответа нет.

 

3.3 Итерационные методы численного решения систем линейных ал-гебраических уравнений

1. Вставьте пропущенное:
При решении СЛАУ Ах=b методом верхней релаксации метод сходится при любом значении параметра релаксации ω  (0; 2), если А -… матрица.

а) диагональная;
б) верхняя треугольная;
в) любого вида;
г) симметричная и положительно определенная;
д) все ответы верны.

2. Решается СЛАУ Аx=b. Выберите верные утверждения:
1) При ω=1 метод верхней релаксации превращается в метод Зейделя;
2) При ω=0.5 метод верхней релаксации превращается в метод простых итераций;
3) При ω=1 метод верхней релаксации превращается в метод Якоби;
4) Метод Якоби является модификацией метода Зейделя.

а) 1), 2), 3), 4);
б) 1);
в) 2), 3);
г) 4);
д) 3).

3. Для решения СЛАУ

используется метод простых итераций (τ = 1) с начальным приближением x=(0, 0, 0)T. За сколько итераций можно гарантировать достижение точности ε=0.001 (в качестве используется норма, согласованная с нормой максимум вектора).

а) 13;
б) 11;
в) 4;
г) 10;
д) 100.

4. Решается СЛАУ Ах=b. Выберите верные утверждения:
1) Для сходимости метода Зейделя необходимо и достаточно, чтобы все корни уравнения

были по модулю больше 1.
2) Метод Якоби сходится в том случае, когда все корни уравнения

были по модулю меньше 1.
3) Метод верхней релаксации сходится в том случае, когда все корни уравнения

были по модулю меньше 1.

а) 1), 2), 3);
б) 2), 3);
в) 1), 2);
г) только 2);
д) только 1).

5. Для решения СЛАУ

используется метод Якоби с начальным приближением х(0)=(0, 0, 0)Т. Выполне-но две итерации. Выбрать правильный вид полученного приближения.

а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) нет верного ответа.

6. Решается СЛАУ Сх=y. Используя априорную оценку погрешности
,
где - точное решение;
- решение, соответствующее k-итерации;
- решение, полученное на 1-итерации;
- начальное приближение;
,
можно после первой итерации сделать оценку …

а) числа итераций, необходимых для получения решения с задан-ной точностью ε;
б) точного решения х;
в) устойчивости метода;
г) значения приближенного решения x(k).

7. Для решения системы линейных алгебраических уравнений

используется метод Зейделя с начальным приближением х(0)=(0, 0, 0)Т. Выпол-нено две итерации. Выбрать правильный вид полученного приближения.
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) нет верного ответа

8. Дана система линейных алгебраических уравнений Ax=b, где
А=А1+D+A2,
, , .
При каких Вк и τк каноническая форма

является записью метода Зейделя?

а) τк=1, Вк=D;
б) τк=0.5, Вк=D+A2;
в) τк=1, Вк=D+A1;
г) τк=1, Вк=D+ωА;
д) τк=τ, Вк=A.

9. Для решения системы линейных алгебраических уравнений

используется метод Зейделя с начальным приближением x0=(0;0;0)T. Выполнена одна итерация. Определить правильный вид полученного приближения.

а) (10;10;-5)Т;
б) (-10;-10;5)Т;
в) (1;-2;-0.5)Т;
г) (1,-1.8,-0.98)Т;
д) (1,-1.8,0.62)Т.

10. Дана система линейных алгебраических уравнений Ax=b, где А=А1+D+A2.
, , .
При каких Вк и τк каноническая форма

является записью метода Якоби?

а) τк=τ, Вк=A;
б) τк=0.5, Вк=D+A2;
в) τк=1, Вк=D+A1;
г) τк=1, Вк=D+ωА1;
д) τк=1, Вк=D.

11. Для решения системы линейных алгебраических уравнений

используется метод Якоби с начальным приближением x0=(0; 0; 0)T. Выполнена одна итерация. Определить правильный вид полученного приближения.

а) (10;10;-5)Т;
б) (-10;-10;5)Т;
в) (1;-2;-0.5)Т;
г) (1,-1.8,-0.98)Т;
д) (1,-1.8,0.62)Т.

12. Каноническая форма метода простой итерации имеет вид:
.
Выберите условие сходимости метода.

а) если А - симметричная, положительно определенная матрица, , - наибольшее собственное число матрицы А;
б) если А - симметричная, положительно определенная матрица, , - наименьшее собственное число матрицы А;
в) для любой матрицы А, ;
г) для любой матрицы А, ;
д) если А –нижняя треугольная матрица, , - наибольшее собственное число матрицы А;

13. Какая из записей содержит полную характеристику итерационных методов с Чебышевским набором параметров?

а) одношаговые, нестационарные, явные или неявные;
б) многошаговые, стационарные, явные;
в) нестационарные, многошаговые, явные;
г) неявные, одношаговые;
д) одношаговые явные.

14. Продолжите теорему.
Если А- симметричная, положительно определенная матрица, то для метода простой итерации при , где λmax, λmin – собственные числа мат-рицы А, справедлива оценка:

а) ;
б) ;
в) ;
г) нет верного ответа.

15. Какая из приведенных функций является нормированным много-членом Чебышева?

а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .

16. СЛАУ Ах=b решается методом Якоби, где А=А1+D+A2,
, , .
Если все корни уравнения … по модулю меньше 1, то метод Якоби сходится. Вместо … указать требуемое уравнение из нижеприведенных:

а) det((A1+D)λ+A2)=0;
б) det((A1+А2)λ+D)=0;
в) det(Dλ+A1+A2)=0;
г) det(A1+Dλ+A2λ)=0;
д) det(A1+A2λ)=0.

17. При каких значениях Bk, каноническая форма

для решения СЛАУ является формой записи стационарных методов?

а) Bk=А, ;
б) Bk=Е, ;
в) Bk=const, ;
г) Bk=Е, ;
д) нет верного ответа.

18. При решении СЛАУ

с начальным приближением х0=(0; 0; 0)Т получено решение х(1)=(1; 4; 3)Т. Определите метод, который был использован?

а) верхней релаксации с ω=0.1;
б) Якоби;
в) Зейделя;
г) Гаусса;
д) нет верного ответа.

19. Системы линейных алгебраических уравнений Ах=b решаются мето-дом Якоби. Выберите те матрицы А, для которых применим указанный метод.
1) ; 2) ;
3) ; 4) .

а) 1);
б) 1), 2);
в) 2); 3);
г) 3); 4);
д) 1); 2); 3).

20. Выберите характеристики метода Якоби:

а) одношаговый, стационарный, неявный по определению, но яв-ный по реализации;
б) многошаговый, стационарный, неявный по определению, но яв-ный по реализации;
в) двухшаговый, нестационарный, неявный;
г) одношаговый, нестационарный, явный;
д) нет верного ответа.

21. Решается СЛАУ Ах=b. Выберите верные утверждения:
1) Для сходимости метода Зейделя необходимо и достаточно, чтобы все корни уравнения

были по модулю меньше 1.
2)Метод Якоби сходится в том случае, чтобы все корни уравнения

были по модулю больше 1.
3)Метод верхней релаксации сходится в том случае, чтобы все корни уравнения

были по модулю меньше 1.

а) 1), 2), 3);
б) 2), 3);
в) 1), 2);
г) только 2);
д) только 1).

22. Для решения СЛАУ

используется метод Якоби с начальным приближение x=(0, 0, 0)T. За сколько итераций можно гарантировать достижение точности ε=0.001 (в качестве используется норма, согласованная с нормой максимум вектора).

а) 13;
б) 11;
в) 4;
г) 10;
д) 7.

23. При численном решении СЛАУ Ах=b методом Зейделя она приво-дится к виду
.
Считая, что А=А1+D+A2 , где
, , ,
из предложенных ниже вариантов выберите правильный вид матрицы В.

а) В=A;
б) В= - (D+А1)-1A2;
в) В=D+A1;
г) В= - D-1 (А1+A2);
д) В=D.

24. При численном решении СЛАУ Ах=b методом Якоби она приводится к виду
.
Считая, что А=А1+D+A2 , где
, , ,
из предложенных ниже вариантов выберите правильный вид матрицы В.

а) В=A;
б) В= - (D+А1)-1A2;
в) В=D+A1;
г) В= - D-1 (А1+A2);
д) В=D.

4 Численное решение систем нелинейных уравнений

1. Система нелинейных уравнений

решается методом Ньютона:
.
Выберите правильный вид матрицы Аk.

а) ;
б) ;
в) ;
г) .

2. Какой из нижеприведенных методов является наиболее оптимальным для решения системы:

а) метод скалярной трехточечной прогонки;
б) метод Гаусса;
в) метод Ньютона;
г) метод QR-разложений;
д)нет верного ответа.

3. Продолжите теорему. Пусть функция f(x) и замкнутое множество таковы, что:
1) ;
2) .
Тогда…

а) f(x) имеет в М единственную неподвижную точку ; последо-вательность {х(k)}, определяемая методом простых итераций, при сходится к и справедливы следующие оценки ;

б) если центр и радиус шара S таковы, что , то справедливо заключение теоремы с M=S;

в) f(x) удовлетворяет на множестве М условию Липшица ;

г) f(x) имеет в М единственную неподвижную точку , для ко-торой выполняется условие Липшица ;

д) если центр и радиус шара S таковы, что , то функция f(x) имеет в М единственную точку , последовательность определяемая методом про-стых итераций при сходится к при М=S.

4. Даны следующие шаги алгоритма решения систем нелинейных урав-нений методом Ньютона:
1) вычислить матрицу ;
2) выбрать начальное приближение ;
3) вычислить ;
4) если , то корень , иначе k:=k+1 и выполнить шаги 1, 3;
5) k:=0 (номер итерации).
Выбрать правильную последовательность их реализации.

а) 2), 5), 1), 3), 4);
б) 1), 2), 3), 4), 5);
в) 2), 3), 4), 1), 5);
г) 4), 3), 1), 2), 4);
д) 5), 4), 2), 1), 3).

5. Из нижеперечисленных групп методов решения систем нелинейных уравнений выберите ту, в которой все методы обладают квадратичной скоро-стью сходимости…

а) метод Ньютона, аппроксимационный аналог метода Ньюто-на, модифицированный метод Ньютона (когда матрица Якоби вычисляется 1 раз в начальном приближении);

б) модифицированный метод Ньютона (когда матрица Якоби вычисляется 1 раз в начальном приближении), дискретный (раз-ностный) аналог метода Ньютона;

в) метод Ньютона, аппроксимационный аналог метода Ньюто-на;

г) метод Ньютона, модифицированный метод Ньютона (когда матрица Якоби вычисляется 1 раз в начальном приближении), двухступенчатый метод Ньютона;

д) нет верного ответа.

6. В чем заключается сущность дискретной модификации метода Ньютона?

а) замена элементов матрицы Якоби разностными отношениями;
б) вычисление матрицы Якоби один раз, используя начальное при-ближение;
в) вычисление и обращение матриц Якоби не на каждом итера-ционном шаге, а через несколько шагов;
г) приведение матрицы Якоби к верхнему диагональному виду;
д) все ответы верны.

7. Аналогом какого метода в одномерном случае является разностный (дискретный) метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений?

а) метода простых итераций решения нелинейных уравнений;
б) метода Ньютона решения нелинейных уравнений;
в) метода хорд;
г) метода касательных;
д) метода бисекций.

8. Какой порядок сходимости имеет дискретный аналог (дискретная мо-дификация) метода Ньютона решения СНУ?

а) ;
б) квадратичный;
в) сверхлинейный;
г) кубический.

9. Выберите правильное название метода для следующего алгоритма:
1) выбрать начальное приближение ;
2) k:=0 (номер итерации);
3) вычислить матрицу ;
4) вычислить ;
5) вычислить ;
6) вычислить ;
7) если , то корень ,иначе k:=k+1 и выполнить шаги 4, 5,6;

а) метод Ньютона решения нелинейных уравнений;
б) метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений;
в) аппроксимационный аналог метода Ньютона решения систем нелинейных уравнений;
г) двухступенчатый метод Ньютона решения систем нелинейных алгебраических уравнений;
д) нет верного ответа.

10. Дана неупорядоченная совокупность шагов решения систем нелиней-ных уравнений двухступенчатым методом Ньютона:
1) вычислить матрицу ;
2) выбрать начальное приближение ;
3) вычислить ;
4) если , то корень ,иначе k:=k+1 и выполнить шаги 1, 3, 6;
5) k:=0 (номер итерации);
6) вычислить ;
Выберите правильную последовательность их реализации.

а) 2), 3), 4), 1), 5), 6);
б) 1), 2), 6), 3), 4), 5);
в) 2), 5), 1), 3), 6), 4);
г) 4), 3), 1), 2), 4), 5);
д) 5), 4), 2), 1), 3), 6).

11. Даны следующие шаги алгоритма решения систем нелинейных урав-нений методом простых итераций:
1) ;
2) k:=0 (номер итерации);
3) если , то корень ,иначе k:=k+1 и выполнить шаги 1, 3;
4) выбрать начальное приближение .
Выбрать правильную последовательность их реализации.

а) 1), 2), 3), 4);
б) 4), 3), 2), 1);
в) 4), 2), 1), 3);
г) 4), 3), 1), 2).

12. Выберите правильное название метода решения систем нелинейных уравнений для следующего алгоритма:
1) выбрать начальное приближение ;
2) k:=0 (номер итерации);
3) i:=0 (счетчик);
4) если i>n (n – размерность матрицы), то выполнить шаг 7, иначе вы-полнить шаг 5;
5) если i>=k, то , иначе ;
6) i:=i+1;
7) если , то корень ,иначе k:=k+1 и перейти к шагу 3;

а) метод Ньютона решения нелинейных уравнений;
б) метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений;
в) метод покоординатного спуска;
г) двухступенчатый метод Ньютона решения систем нелинейных алгебраических уравнений;
д) предложенный алгоритм не является методом решения систе-мы нелинейных уравнений.

5 Численное решение проблемы собственных значений матриц

1. Для матрицы

найти ее собственные числа.

а) 1, 2, 3;
б) 2, 3, 4;
в) 0, 1, 2;
г) 3, 2, 0.

2. Определить спектральный радиус матрицы

.
а) 4;
б) 3;
в) 7;
г) 1.

3. Продолжите определение. Собственным числом λ матрицы А называ-ется такое число, для которого существует…

а) ненулевая матрица А, удовлетворяющая условию Аλ=х2;
б) ненулевой вектор х, удовлетворяющий условию Ах=λх;
в) ненулевой вектор х, удовлетворяющий условию Аλ=х2;
г) ненулевая матрица А, удовлетворяющая условию Ах=λх.

4. Пусть λ1, λ2, …, λn – вещественные собственные числа квадратной мат-рицы (n>4) и |λ1|>|λ2|>…>|λn|, a x1, x2, …, xn – соответствующие им собственные векторы. К какому числу λi сойдется степенной метод, если в качестве начально-го приближения выбрать вектор 2х3+4х4? (Погрешность округления считать равной нулю)

а) λ2;
б) λ3;
в) λ4;
г) λn.

5. Пусть собственная пара матрицы А. Из перечисленных ниже пар выберите те, которые тоже будут являться собственными для матрицы А.

а) ;
б) , ;
в) , ;
г) ;
д) все ответы верны.

6. Даны следующие неупорядоченные шаги алгоритма решения частич-ной проблемы собственных чисел матрицы А методом скалярных произведе-ний:
1) вычислить ;
2) вычислить ;
3) если то , иначе , шаг 5;
4) ввести симметричную матрицу А ( ), - точность;
5) вычислить ;
6) задать , вычислить
7) вычислить
8) вычислить ;
9) k:=2 (номер итераций );
Выбрать правильную последовательность их реализации.

а) 1), 2), 3), 4), 5), 6), 7), 8), 9);
б) 4), 6), 1), 7), 9), 5), 8), 2), 3);
в) 6), 5), 4), 3), 2), 1), 9), 8), 7);
г) 4), 6), 1), 9), 5), 7), 8) 3), 2);
д) 5), 1), 4), 2), 3), 6), 9), 7), 8).

7. Для матрицы

вычислить собственные числа.

а) 1, 0, 1;
б) 2, 0, 1;
в) 1, 3, 5;
г) 1, 9, 25;
д) для матриц такого вида собственных чисел не существует.

8. Какой по типу должна быть матрица, чтобы ее собственные числа можно было находить методом скалярных произведений?

а) единичная;
б) верхняя треугольная;
в) с диагональным преобладанием;
г) симметричная положительно определенная;
д) произвольная.

9. Дана матрица
.
Какой из ниже приведенных методов подходит для определения наибольшего по модулю собственного числа?

а) степенной;
б) частных Рэлея;
в) скалярных произведений;
г) квадратных корней;
д) Якоби.

10. Для решения полной проблемы собственных значений матрицы А используется следующий алгоритм
1) А0:=А;
2) к:=0 (номер итерации);
3) представить Ак=ВкСк;
4) вычислить Ак+1=СкВк;
5) к:=к+1;
6) выполнять шаги 3, 4, 5 до тех пор пока Ак+1 не будет треугольной.
Выберите правильное название алгоритма и характеристику, используемых матриц.

а) QR-алгоритм, Ск - ортогональная матрица, Вк – правая тре-угольная матрица;
б) LR-алгоритм, Ск - ортогональная матрица, Вк – правая тре-угольная матрица;
в) LR-алгоритм, Ск - правая треугольная матрица, Вк – левая треугольная матрица;
г) QR-алгоритм, Ск - правая треугольная матрица, Вк – левая треугольная матрица;
д) итерационный метод вращений.

11. Дана матрица
.
Какой из нижеприведенных методов для определения наибольшего по модулю собственного числа, является наиболее оптимальным?

а) скалярных произведений;
б) квадратных корней;
в) степенной;
г) Зейделя;
д) Якоби.

12. Для матрицы

вычислить собственные числа.

а) 1, 0, 13;
б) 15, 9, 7;
в) 15, 13, 1;
г) 7, 12, 1;
д) для матриц такого вида собственных чисел не существует.

13. Пусть λ1, λ2, …, λn – вещественные собственные числа квадратной матрицы (n>6) и |λ1|>|λ2|>…>|λn|, a x1, x2, …, xn – соответствующие им собствен-ные векторы. К какому числу λi сойдется степенной метод, если в качестве начального приближения выбрать вектор 4х5+3х6? (Погрешность округления считать равной нулю)

а) λ1;
б) λ4;
в) λ5;
г) λ6.

14. Дана матрица
.
Для λ=2 найти нормированный собственный вектор (использовать евклидову норму).

а) (7;1)Т;
б) (28;1)Т ;
в) (0;1)Т;
г) (1;0)Т;
д) (1;1)Т.

15. Дана матрица
.
Какой из ниже приведенных методов можно использовать для определения наибольшего по модулю собственного числа?

а) степенной;
б) частных Рэлея;
в) скалярных произведений;
г) квадратных корней;
д) Якоби.

16. Для решения полной проблемы собственных значений матрицы А используется LU- алгоритм, где
, .
Какой вид будет иметь матрица А, после преобразований?

а) ; б) ;
в) ; г) .

17. Пусть собственная пара матрицы А. Из перечисленных ниже пар выберите те, которые тоже будут являться собственными для матрицы А+5Е.

а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) все ответы верны.

18. Для решения полной проблемы собственных значений матрицы А используется следующий алгоритм:
1) А0:=А;
2) к:=1 (номер итерации);
3) вычислить Ак+1=СкВк;
4) представить Ак+1=ВкСк;
5) к:=к+1;
6) выполнять шаги 4, 5 пока Ак+1 не будет не треугольная.
Выберите правильное название алгоритма и характеристику, используемых матриц

а) QR-алгоритм, Ск - ортогональная матрица, Вк – правая тре-угольная матрица;
б) LR-алгоритм, Ск - ортогональная матрица, Вк – правая тре-угольная матрица;
в) LR-алгоритм, Ск - правая треугольная матрица, Вк – левая треугольная матрица;
г) QR-алгоритм, Ск - правая треугольная матрица, Вк – левая треугольная матрица;
д) с помощью данного алгоритма нельзя решить поставленную задачу.

19. Продолжите определение. Отношением Рэлея для матрицы А(nxn) называется функционал …, определенный на множестве ненулевых n-мерных векторов х.

а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) нет верного ответа.

6 Интерполирование и аппроксимация функций

1. Какую максимальную степень будет иметь интерполяционный много-член Лагранжа, для функции, заданной таблично в (n+1) точке?

а) n+1;
б) n;
в) n-1;
г) n+2.

2. Что влияет на точность интерполяции при использовании интерполя-ционного многочлена Лагранжа?

а) степень гладкости функции, число узлов интерполирования;
б) число узлов интерполирования (n→∞);
в) положение точки, в которой осуществляется интерполирова-ние;
г) все ответы верны.

3. Пусть имеется табличное представление функции:

x x0 x1 x2
y y0 y1 y2

Для 3 узлов интерполяции полином Лагранжа имеет вид:

а) ;

б) ;

в) ;

г)

4. Как повлияет дополнительная n+1 точка исходных данных внутри от-резка на точность интерполяции (если общее количество точек не вели-ко)? Функция обладает требуемой степенью гладкости.

а) увеличится;
б) уменьшится;
в) не изменится;
г) нет верного ответа.

5. Конечную разность какого наивысшего порядка можно получить по n исходным точкам?

а) n+1;
б) n;
в) n-1;
г) 2n.

6. Как выражается конечная разность k-го порядка?

а) ;
б) ;
в) ;
г) .

7. Используя интерполяционные формулы Ньютона запишите многочлен для таблично заданной функции y=f(x).

х 1 2 4
у 3 5 6

а) Н2=2х2+х;
б) Н2= -0.5х2+3.5х;
в) Н2=2.5х3-х2+3х;
г) Н2= -3х3-х2+2х;
д) Н2=-х+4.

8. Для функции заданной таблицей:

х 0.5 1 1.5 2 3
у 0.125 0.5 1.125 2 4.5

Подберите для у(х) подходящий вид аппроксимационной функции Р(х).

а) Р(x)=ax+b;
б) Р(x)=axb;
в) Р(x)=a+b/x;
г) Р(x)=1/(a+bx).

9. Для функции y=3x2-2 запишите конечную разность второго порядка.

а) Δ2y=3(x32-2x22+x12);
б) Δ2y=3(x32+2x22-x12+8);
в) Δ2y=2(1,5x32-x22+x12-4);
г) Δ2y=3(x3-2x2+x1)2;
д) Δ2y=3x32-3x12.

10. Используя интерполяционные формулы Лагранжа запишите много-член для таблично заданной функции y=f(x).

х 1 2 4
у 3 5 6

а) L2=2х2+х;
б) L2= -0.5х2+3.5х;
в) L2=2.5х3-х2+3х;
г) L2= -3х3-х2+2х;
д) L2=-х+4.

11. Построить кубический интерполяционный сплайн для функции, за-данной таблично:

х 0 0.1 0.2
у 1 1.011 1.048

с краевыми условиями

а) ;
б) ;
в) ;
г) .

12. Для таблично заданной функции построить многочлен Лагранжа

хi 0 2 3
yi 6 2 3

а) L2 =(x-2)(x-3)+(x-3)x+x(x-2);
б) L2 =x2-4x+6;
в) L2 =6x(x-2)+2(x-2)(x-3)+3(x-2)x;
г) L2 = x3+x2+4x+6;
д) построить по трем точкам нельзя.

13. Дана таблично заданная функция:

x -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4
y 1.6 1.4 1.2 1 1.2 1.4 1.6 1.8

Наилучшей интерполяционной функцией для нее будет:

а) Ln (n≥5);
б) H4;
в) L3;
г) линейная;
д) Sc.,
где Hn - многочлен Ньютона, Ln - многочлен Лагранжа, Sc. – сплайн.

14. Таблично заданную функцию аппроксимировать с помощью метода наименьших квадратов многочленов первой степени P(x)=p0+p1x. Какой вид будет иметь система уравнений для определения коэффициентов p0, p1?

xi 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
y(xi) 0.21 0.23 0.31 0.29 0.42 0.35 0.58 0.61 0.59 0.66

а) 0.9p0+4.5p1=4.25
4.5p0+2.85p1=2.356;
б) 10p0+4.5p1=4.25
4.5p0+2.85p1=2.356;
в) 10p0+2.85p1=4.25
2.85p0+2.025p1=2.356;
г) 0.9p0+2.85p1=4.25
2.85p0+4.5p1=2.356;
д) 0.9p0+4.5p1=4.25
0.9p0+2.85p1=2.356.

15. Количество точек таблично заданной функции не превышает 7. Счи-тая, что функция достаточно гладкая, определить какой интерполяционный многочлен будет для нее наиболее оптимальным

а) L7;
б) H4;
в) L3;
г) H6;
д) Sc.,
где Hn - многочлен Ньютона, Ln - многочлен Лагранжа, Sc. – сплайн.

16. Таблично заданную функцию аппроксимировать с помощью метода наименьших квадратов многочленов первой степени P(x)=p0+p1x. Какой вид будет иметь система уравнений для определения коэффициентов p0, p1?

xi 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
y(xi) 0.11 0.13 0.21 0.19 0.32 0.25 0.48 0.51 0.49 0.56

а) 0.9p0+4.5p1=3.25
4.5p0+2.85p1=1.906;
б) 10p0+4.5p1=3.25
4.5p0+2.85p1=1.906;
в) 10p0+2.85p1=3.25
2.85p0+2.025p1=1.906;
г) 0.9p0+2.85p1=3.25
2.85p0+4.5p1=1.906;
д) 0.9p0+4.5p1=3.25
0.9p0+2.85p1=1.906.

17. Оценить погрешность интерполяционной формулы Лагранжа при вычислении функции в точке x*=10, если выбраны узлы интерполяции х0=4, х1=12, х2=15.

а)
б)
в)
г)

18. Дана таблично заданная функция

х 2 3 3.2 4 5 6
у 4 4.5 4.7 5.2 5.5 6

Используя линейную интерполяцию найти значение функции в точке х=3.5.

а) 4.89;
б) 5;
в) 7;
г) 4.85.
19. Для таблично заданной функции

х у у'
0 0 π
0.5 1 0
1 0 - π

построить кубический эрмитов сплайн.

а)
б)
в)
г)

20. Построить кубический интерполяционный сплайн для функции, за-данной таблично:

х 0 0.1 0.2
у 1 1.301 1.608

с краевыми условиями

а) ;
б) ;
в) ;
г) .

21. Для функции y=3x3-2 запишите разделенную разность второго по-рядка f(x1, x2, x3).

а) f(x1, x2, x3)=3(x33-2x23+x13);
б) f(x1, x2, x3)=3(x32+2x22-x12+8);
в) f(x1, x2, x3)=3(x3+ x2+x1);
г) f(x1, x2, x3)=3x33+3x23+3x13.

7 Численное интегрирование

1.Требуется вычислить

c точностью ε=10-3 на сетке из 11 точек. Какой метод следует использовать?

а) средних прямоугольников;
б) трапеций;
в) Симпсона;
г) на указанной сетке точность не достигается;
д) левых прямоугольников.

2. Вычислите значение интеграла

по формуле трапеций с шагом 0.2.

а) 0.6956;
б) 0.7456;
в) 0.6456;
г) 0.6919;
д) нет верного ответа.

3.Требуется вычислить

c точностью ε=10-2 на сетке с шагом 0.25. Какой метод следует использовать?

а) средних прямоугольников;
б) трапеций;
в) Симпсона;
г) на указанной сетке точность не достигается;
д) левых прямоугольников.

4.Требуется вычислить

c точностью ε=10-3 на сетке из 41 точки. Какой метод следует использовать?

а) средних прямоугольников;
б) трапеций;
в) Симпсона;
г) на указанной сетке точность не достигается;
д) левых прямоугольников.

5. Вычислите значение интеграла

по формуле левых прямоугольников с шагом 0.2.

а) 0.6956;
б) 0.7456;
в) 0.6456;
г) 0.6919;
д) нет верного ответа.

6. Укажите составную формулу метода левых прямоугольников для чис-ленного нахождения интеграла

с шагом . Где введены обозначения: . ( количество точек разбиения интервала).

а)
б)
в)
г)
д)

7. Вычислите значение интеграла

по формуле правых прямоугольников с шагом 0.2.

а) 0.6956;
б) 0.7456;
в) 0.6456;
г) 0.6919;
д) нет верного ответа.

8. Вычислите значение интеграла

по формуле средних прямоугольников с шагом 0.2.

а) 0.6856;
б) 0.7456;
в) 0.6456;
г) 0.6919;
д) нет верного ответа.

9. Вычислите значение интеграла

по формуле Симпсона с шагом 0.2.

а) 0.6500;
б) 0.7456;
в) 0.6456;
г) 0.7500;
д) нет верного ответа.

10. Определите значение главного члена погрешности при численном нахождении значения интеграла

с шагом 0.2 методом средних прямоугольников.

а) 72·10-5;
б) 1.05·10-5;
в) 36·10-5;
г) 0.045;
д) нет верного ответа.

11. Какой из указанных ниже подходов используется при выводе фор-мул Ньютона-Котеса:

а) метод неопределенных коэффициентов;
б) отрезок интегрирования разбивается на n частей;
в) отрезок интегрирования разбивается на n частей, подынте-гральная функция аппроксимируется по методу наименьших квадратов в полученных точках;
г) подынтегральная функция заменяется интерполяционным мно-гочленом;
д) подынтегральная функция заменяется линейной функцией.

12. При выводе формулы Симпсона подынтегральная функция заменяет-ся …

а) интерполяционным многочленом 1 степени;
б) интерполяционным многочленом 0 степени;
в) интерполяционным многочленом 2 степени;
г) интерполяционным многочленом 3 степени.

13. Определите метод численного интегрирования (формулу Ньютона-Котеса), при выводе которого для аппроксимации подынтегральной функции использовался интерполяционный многочлен 1 степени

а) левых прямоугольников;
б) трапеций;
в) парабол;
г) средних прямоугольников.

14. Требуется вычислить интеграл

с шагом 0.1 методом средних прямоугольников. Выберите последовательность точек xi, которые будут использованы в формуле:

а) 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0, 1.1, 1.2;
б) 0.25, 0.35, 0.45, 0.55, 0.65, 0.75, 0.85, 0.95, 1.05, 1.15, 1.25;
в) 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0, 1.1, 1.2;
г) 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0, 1.1;
д) 0.25, 0.35, 0.45, 0.55, 0.65, 0.75, 0.85, 0.95, 1.05, 1.15.

15. Из перечисленных ниже названий методов численного интегрирова-ния выберите те, которые имеют одинаковый порядок точности

а) трапеций, Симпсона, прямоугольников;
б) трапеций, Симпсона;
в) Симпсона, прямоугольников;
г) трапеций, средних прямоугольников;
д) нет методов, имеющих одинаковый порядок точности.

16. Из приведенных ниже классов формул выберите те, использование которых, дает устойчивый численный процесс

а) формулы численного дифференцирования;
б) формулы численного интегрирования и дифференцирования;
в) формулы Ньютона-Котеса численного интегрирования;
г) все ответы верны;
д) нет верного ответа.

17. Определите, с каким шагом нужно вычислить интеграл

методом трапеций, чтобы достичь точности 10-3.

а) 0.44;
б) 0.06;
в) 0.6;
г) 0.05;
д) 0.04.

18. Требуется вычислить интеграл

с шагом 0.1 методом левых прямоугольников. Выберите последовательность точек xi, которые будут использованы в формуле:

а) 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0, 1.1, 1.2;
б) 0.25, 0.35, 0.45, 0.55, 0.65, 0.75, 0.85, 0.95, 1.05, 1.15, 1.25;
в) 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0, 1.1, 1.2;
г) 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0, 1.1;
д) 0.25, 0.35, 0.45, 0.55, 0.65, 0.75, 0.85, 0.95, 1.05, 1.15.

19. Определите, с каким шагом нужно вычислить интеграл

методом средних прямоугольников, чтобы достичь точности 10-3.

а) 0.4;
б) 0.063;
в) 0.63;
г) 0.08;
д) 0.085.
20. Из приведенных ниже формул выберите ту, которая является оцен-кой погрешности метода Симпсона в целом. (Мi - максимальное значение i-ой производной подынтегральной функции, h – шаг интегрирования, a, b – грани-цы отрезка интегрирования)

а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .

21. Из приведенных ниже методов численного интегрирования, выберите те, которые имеют первый порядок точности:
1) левых прямоугольников;
2) правых прямоугольников;
3) средних прямоугольников;
4) трапеций;
5) парабол.

а) 1), 2), 3);
б) 3), 4);
в) 4);
г) 5);
д) 1), 2) .

22. Укажите составную формулу метода правых прямоугольников для численного нахождения интеграла

с шагом . Где введены обозначения: . ( количество точек разбиения интервала).

а)
б)
в)
г) .

23. Вычислите значение интеграла

с точностью Е ≤ 0.01, используя формулу левых прямоугольников с начальным шагом h=0.2. Далее при каждой итерации шаг уменьшается в 2 раза.

а) 0.745635;
б) 0.699436;
в) 0.718771;
г) 0.705803;
д) 0.696282 .

24. Приближенное значение интеграла

вычисленное по формуле левых прямоугольников, равно 0.696282. Начальный шаг h=0.2. При каждой следующей итерации он уменьшается в 2 раза. Опреде-лите номер итерации, на которой было получено данное значение.

а) 1;
б) 2;
в) 3;
г) 4;
д) 5 .

25. Приближенное значение интеграла

вычисленное по формуле левых прямоугольников, равно 0.696282. Начальный шаг h=0.2. При каждой следующей итерации шаг уменьшается в 2 раза. Опре-делите шаг интегрирования, с которым было получено данное значение.

а) 0.2;
б) 0.1;
в) 0.05;
г) 0.025;
д) 0.0125.

26.Требуется вычислить

c точностью ε=10-3 на сетке из 11 точек. Какой метод следует использовать?

а) средних прямоугольников;
б) трапеций;
в) Симпсона;
г) на указанной сетке точность не достигается;
д) левых прямоугольников.

27.Требуется вычислить

c точностью ε=10-3 на сетке из 41 точки. Какой метод будет наиболее оптималь-ным?

а) трапеций;
б) правых прямоугольников;
в) Симпсона;
г) на указанной сетке точность не достигается;
д) левых прямоугольников.

28.Требуется вычислить

c точностью ε=10-4 на сетке из 81 точки. Какой метод следует использовать?

а) средних прямоугольников;
б) трапеций;
в) правых прямоугольников;
г) на указанной сетке точность не достигается;
д) левых прямоугольников.

29.Требуется вычислить

c точностью ε=10-3 на сетке из 41 точки. Какой метод будет наиболее оптималь-ным?

а) правых прямоугольников;
б) трапеций;
в) Симпсона;
г) на указанной сетке точность не достигается;
д) левых прямоугольников.

30. Из перечисленных ниже формул выберите ту, которая является в ма-лом оценкой погрешности для метода трапеций. (Мi - максимальное значение i-ой производной подынтегральной функции, h – шаг интегрирования, a, b – границы отрезка интегрирования)
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .

8 Численное дифференцирование

1. Какая из формул дает вычисление f ' (xi) со вторым порядком точности (сетка равномерная, h-шаг)?

а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .

2. Какая из формул дает вычисление f ' (xi) с первым порядком точности (сетка равномерная, h-шаг)?

а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .

3. Какая из формул дает вычисление f ''(xi) со вторым порядком точности (сетка равномерная, h-шаг)?

а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .

4. Найдите значение первой производной функции, заданной таблично:

xi 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30
f(xi) 1.10 1.16 1.20 1.28 1.33

в точке х = 0.2, используя направленные разности «вперед» с первым порядком точности.

а) 1.6;
б) 0.8;
в) 1.2;
г) 0.85;
д) 16.

5. Найдите значение второй производной функции, заданной таблично:

xi 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30
f(xi) 1.10 1.16 1.20 1.28 1.33

в точке х = 0.2.

а) 1.6;
б) 0.8;
в) 1.2;
г) 0.85;
д) 16.

6. Найдите значение первой производной функции, заданной таблично:

xi 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30
f(xi) 1.10 1.16 1.20 1.28 1.33
в точке х = 0.2, используя направленные разности «назад» с первым порядком точности.

а) 1.6;
б) 0.8;
в) 1.2;
г) 0.85;
д) 16.

7. Найдите значение первой производной функции, заданной таблично:

xi 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30
f(xi) 1.10 1.16 1.20 1.28 1.33

в точке х = 0.2, используя симметричную аппроксимацию.

а) 1.6;
б) 0.8;
в) 1.2;
г) 0.85;
д) 16.

8. Функция f(x) задана таблично:

xi х0 х1 … хn
f(xi) y0 y1 … yn

Для нахождения f ´(xi+2) используется метод неопределенных коэффициентов
.
Чему равны коэффициенты с0, с1?

а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .

9. Для вычисления f '(xi) используется метод неопределенных коэффици-ентов:

Из приведенных ниже вариантов выберите для этой формулы главный член по-грешности.

а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .

10. Для функции, заданной таблично:

xi 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0
f(xi) 10 10.5 11.1 11.7 12.3 12.9 13.6 14.3 15.0 15.7 16.5

требуется вычислить первую производную в точке 2.5 со вторым порядком точности. Определите формулу, которая позволит достичь требуемого резуль-тата.

а) ;
б) ;
в) ;
г) ;

11. Для функции, заданной таблично, выберите формулу для вычисле-ния y´(xi+2). (h - шаг)

а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .

12. Пусть функция f(x) задана таблично

xi х0 … хn
f(xi) y0 … yn

 

Для нахождения y´(xi+3) используется метод неопределенных коэффициентов:
.
Определите вид коэффициентов с0, с1, с2?

а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .

13. Пусть функция f(x) задана таблично:

xi х0 … хn
f(xi) y0 … yn

Требуется вычислить f ´(xn) с первым порядком точности. Какие формулы чис-ленного дифференцирования для этого следует использовать?

а) направленные разности «вперед»;
б) направленные разности «назад»;
в) симметричная аппроксимация;
г) направленные разности «вперед», симметричная аппроксима-ция;
д) любой метод подходит.

14. Пусть функция f(x) задана таблично:

xi 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50
f(xi) 0.10 0.21 0.41 0.52 0.68

Требуется вычислить значение производной в точке x= 0.35 со вторым поряд-ком точности. Какие методы численного дифференцирования для этого следует использовать?
1) двухточечные направленные разности «вперед»;
2) двухточечные направленные разности «назад»;
3) симметричная аппроксимация;
4) трехточечные направленные разности «вперед».

а) только 1);
б) только 2);
в) только 3);
г) 1), 2);
д) 3), 4).

15. Пусть функция f(x) задана таблично. Требуется определить произ-водную во внутренних узлах сетки со вторым порядком точности. Какие мето-ды для этого следует использовать?
1) двухточечные направленные разности «вперед»;
2) двухточечные направленные разности «назад»;
3) симметричная аппроксимация;
4) трехточечные направленные разности «вперед»;
5) трехточечные направленные разности «назад».

а) 1), 2);
б) 3), 4), 5);
в) 3);
г) 4), 5);
д) 1), 2), 3).

16. Из приведенных ниже вариантов выберите формулы, являющиеся в общем случае (при любом шаге h) неустойчивыми.

а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) нет верного ответа.

17. Из ниже приведенных формул выберите ту, которая является глав-ным членом погрешности аппроксимации f '(xi) на основе симметричной разно-сти.

а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .

18. Для функции y=x3+7x, которая задана таблично с шагом h=0.1, вы-числяется первая производная в точке х=1 на основе симметричной аппрокси-мации. Чему равна погрешность?

а) Е ≤ 0.01;
б) Е ≤ 0.3;
в) Е ≤ 0;
г) Е ≤ 0.02;
д) Е ≤ 0.003.

19. Пусть функция f(x) задана таблично. Требуется определить произ-водную во всех узлах сетки со вторым порядком точности. Какие из приведен-ных формул для этого следует использовать?
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) .

а) 1), при i=0, … , n;
2), при i=0, … , n;
б) 3), при i=0,…, n;
в) 3), при i=1, …, n-1;
4), при i=0;
5), при i=n;
г) 4), при i=0, … , n;
д) 5), при i=0, … , n.

20. Найдите значение первой производной функции, заданной таблично:

xi 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30
f(xi) 1.10 1.16 1.20 1.28 1.33

в точке х = 0.2, используя направленные разности «вперед» со вторым поряд-ком точности.

а) 1.6;
б) 1.9;
в) 1.2;
г) 0.85;
д) 16.

21. Найдите значение первой производной функции, заданной таблично:

xi 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30
f(xi) 1.10 1.16 1.20 1.28 1.33

в точке х = 0.2, используя направленные разности «назад» со вторым порядком точности.

а) 1.6;
б) 0.8;
в) 1.2;
г) 0.85;
д) 0.6.

22. Пусть функция f(x) задана таблично:

xi 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50
f(xi) 0.10 0.21 0.41 0.52 0.68

 

Требуется вычислить значение f '(xi) в точке xi = 0.3 со вторым порядком точно-сти. Какие формулы численного дифференцирования для этого следует исполь-зовать?
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) .

а) только 1);
б) только 2);
в) только 3);
г) 3), 4), 5);
д) 4), 5).

23. Для вычисления производной таблично заданной функции в узлах используется численный процесс:
.
Чему равен главный член погрешности?

а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д)

24. Какая из формул дает вычисление f ' (xi) со вторым порядком точно-сти (сетка равномерная, h-шаг)?

а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .

25. Какая из формул дает вычисление f ' (xi) со вторым порядком точно-сти (сетка равномерная, h-шаг)?

а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .

26. Пусть функция f(x) задана таблично:

xi 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50
f(xi) 0.10 0.21 0.41 0.52 0.68

Требуется вычислить значение f '(xi) в точке xi = 0.40 со вторым порядком точ-ности. Какие формулы численного дифференцирования для этого следует ис-пользовать?
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) .

а) только 1);
б) только 3);
в) 3), 5);
г) 3), 4), 5);
д) 4), 5).

27. Пусть функция f(x) задана таблично:

xi 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50
f(xi) 0.10 0.21 0.41 0.52 0.68

Требуется вычислить значение f '(xi) в точке xi = 0.2 со вторым порядком точно-сти. Какие формулы численного дифференцирования для этого следует исполь-зовать?
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) .

а) 1);
б) 2);
в) 3);
г) 3), 4), 5);
д) 3), 4).

28. Для функции y=x3+7x, заданной таблично с шагом h=0.1, вычисляет-ся вторая производная в точке х=1. Чему равна погрешность?

а) ε ≤ 0.01;
б) ε ≤ 0.3;
в) ε ≤ 0;
г) ε ≤ 0.02;
д) ε ≤ 0.003.

29. Для функции y=x3+7x, заданной таблично с шагом h=0.1, вычисляет-ся первая производная в точке х=1 с использованием направленной разности «вперед» с первым порядком точности. Чему равна погрешность?

а) ε ≤ 0.01;
б) ε ≤ 0.3;
в) ε ≤ 0.02;
г) ε ≤ 0.0001;
д) ε ≤ 0.003.

30. Для функции y=x3+7x, заданной таблично с шагом h=0.1, вычисляет-ся первая производная в точке х=1 с использованием направленной разности «вперед» со вторым порядком точности. Чему равна погрешность?

а) ε ≤ 0.01;
б) ε ≤ 0.3;
в) ε ≤ 0.02;
г) ε ≤ 0.0001;
д) ε ≤ 0.003.

31. Пусть функция f(x) задана таблично. Требуется определить произ-водную во всех узлах сетки со вторым порядком точности. Какие из приведен-ных формул для этого следует использовать?
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) .

а) 1), при i=0, … , n;
2), при i=0, … , n;
б) 3), при i=0,…, n-1;
в) 4), при i=0;
5), при i=1, …, n;
г) 4), при i=0, … , n-2;
5), при i=n-1, n;
д) 5), при i=0, … , n.

9 Численное решение задачи Коши для обыкновенных диффе-ренциальных уравнений (ОДУ)

1. Требуется численно решить задачу Коши
, , t>0
со вторым порядком точности. Какой метод будет оптимальным для использо-вания?

а)

б)

в)

г)

д) правильного ответа нет.

2. Требуется численно решить задачу Коши
, , t>0
с первым порядком точности. Какой метод будет оптимальным для использо-вания?

а)

б)
в)
г)
д) данная точность недостижима.

3. Требуется численно решить задачу Коши
, , t>0
со вторым порядком точности. Какой метод будет оптимальным для использо-вания?

а)
б)
в)
г)
д) правильного ответа нет

4. Выберите расчетные формулы, которые являются методом предиктор-корректор численного решения задачи Коши
, , t>0.

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

5. Выберите таблицу, являющуюся решением задачи Коши
,
методом Эйлера на отрезке [0; 1] с шагом 0.2.

а)
t 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
u(t) 1 1.44 2.1041 3.1183 4.6747 7.04272
б)
t 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
u(t) 1 1.4 1.976 2.8304 4.10656 6.005184
в)
t 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
u(t) 1 1.4977 2.2783 3.5202 5.4895 8.5836
г)
t 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
u(t) 1 1.4923 2.2466 3.4176 5.2288 8.0032

6. Выберите таблицу, являющуюся решением задачи Коши
, , , h=0.2
методом Эйлера.

а)
x 0 0.2 0.4
y 0 0 0.05
б)
x 0 0.2 0.4
y 0 0.05 0.2
в)
x 0 0.2 0.4
y 0 0.022 0.122

7. Требуется численно решить задачу Коши
, , t>0.
Выберите методы, позволяющие найти решение со вторым порядком точности.
1) . ;
2) . ;
3) . ;

а) 1), 2), 3);
б) 2);
в) 3);
г) 2), 3);
д) 1), 3).

8. Выберите таблицу, являющуюся решением задачи Коши
. , , h=0.2
методом предиктор-корректор.

а)
x 0 0.2 0.4
y 0 0 0.05
б)
x 0 0.2 0.4
y 0 0.05 0.2
в)
x 0 0.2 0.4
y 0 0.022 0.122

9. Для численного решения задачи Коши
. . t>0
используется метод Эйлера. Выберите главный член ошибки аппроксимации метода.

а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .

10. Требуется численно решить задачу Коши
. . t>0
с первым порядком точности. Какие из перечисленных методов для этого сле-дует использовать:

а) Эйлера, предиктор-корректор;
б) Эйлера;
в) предиктор-корректор, двухэтапный метод Рунге-Кутта;
г) двухэтапный метод Рунге-Кутта;
д) нет верного ответа.

11. Выберите таблицу, являющуюся решением задачи Коши
, y(0)=1.3
методом Эйлера на отрезке [0;1] с шагом h=0.2.

а)
хi 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
yi 1.3 1.35 1.52 1.77 2.09 2.47
б)
хi 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
yi 1.35 1.52 1.77 2.09 2.47 2.99
в)
хi 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
yi 1.3 1.3 1.35 1.52 1.77 2.09
г)
хi 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
yi 1.52 1.77 2.09 2.77 2.99 3.01

12. Найдите значения y(0.1), z(0.1) численного решения задачи Коши из системы дифференциальных уравнений
,
y(0)=0.5, z(0)=1
методом Эйлера с шагом h=0.1.

а) y(0.1)=1.15, z(0.1)=0.53;
б) y(0.1)=0.846, z(0.1)=1.15;
в) y(0.1)=1.15, z(0.1)=0.846;
г) y(0.1)=0.63, z(0.1)=0.846;
д) y(0.1)=0.53, z(0.1)=1.15.

13. Найдите значение y(0.2) из численного решения дифференциального уравнения

методом Эйлера с шагом h=0.1. Начальные условия y(0)=1, y´(0)=0.

а) 1;
б) 0;
в) 1.02;
г) 0.2;
д) 0.04.

14. Найдите значение y(2.2) из численного решения дифференциального уравнения

методом Рунге-Кутта IV порядка точности с использованием схемы:
.
Начальные условия y(2)=1.2, шаг h=0.2.

а) 3.44;
б) 2.72;
в) 2;
г) 1.9;
д) 4.7.

15. Из ниже перечисленных методов решения ОДУ выберите те, которые являются явными
а) Адамса-Моултона, Эйлера;
б) Адамса-Башфорта, предиктор-корректор;
в) Адамса-Моултона, Адамса-Башфорта;
г) нет верного ответа;

16. Выберите расчетные формулы для численного решения задачи Коши
, , t>0
методом Адамса-Башфорта со вторым порядком точности.

а)

б)

в)

г)

д) .

17. При численном решении задачи Коши

методом Эйлера с начальным шагом 0.2 было получено решение у(2.2)=3.656. Определите шаг, с которым было получено это решение.

а) 0.2;
б) 0.05;
в) 0.1;
г) 0.4;
д) 0.025.

18. Выберите расчетные формулы для численного решения задачи Коши
. . t>0
методом Адамса-Моултона с третьим порядком точности.

а)

б)

в)

г)

д)

19. Для задачи
.
постройте трехточечную разностную схему второго порядка точности.

а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .

20. Из перечисленных ниже вариантов выберите основные этапы вывода формул метода Адамса-Башфорта решения задачи Коши:
, , t>0.

а) 1. Интегрирование дифференциального уравнения на проме-жутке [ti;ti+1];
2. Замена функции интерполяционным многочленом Ньютона требуемой степени.

б) 1. Интегрирование дифференциального уравнения на проме-жутке [ti;ti+1];
2. Аппроксимация направленной разностью «вперед» от-носительно i-го узла с шагом .

в) 1. Аппроксимация направленной разностью «вперед» от-носительно i-го узла с шагом ;
2. Вычисление значений функции ui+1 через ui.

г) 1. Интегрирование дифференциального уравнения на проме-жутке [ti;ti+1];
2. Замена функции интерполяционным многочленом Ла-гранжа требуемой степени.

д) нет верного ответа.

21. Требуется решить задачу Коши

методом Адамса-Башфорта со вторым порядком точности, h=0.05. Из ниже пе-речисленных вариантов выберите правильную формулу для у(0.1).

а) ;
б) ;
в) ;
г)
д) нет верного ответа.

22. Требуется решить задачу Коши

методом Рунге-Кутта IV порядка точности с использованием схемы:
.
Вычислите k1, k2, k3, k4 в точке x=0.1 при h=0.1.

а) k1=1.1, k2=1.105, k3=1.2105, k4=1.3;
б) k1=1, k2=1.1, k3=1.2, k4=1.3;
в) k1=0.1, k2=1, k3=1.1, k4=1.105;
г) k1=1, k2=1.1, k3=1.105, k4=1.2105;
д) k1=0, k2=0.1, k3=1, k4=1.1.

23. Продолжите предложение.
Зафиксируем точку ti и введем последовательность разностных сеток . Численное решение задачи Коши
, , t>0
сходится в точке ti , если …

а) он сходится в каждой точке расчетной области;
б) , где τ – шаг сетки, ui – решение дискретной зада-чи, u(ti) – точное решение;
в) , где τ – шаг сетки, ui – решение дискретной зада-чи, u(ti) – точное решение;
г) нет верного ответа.

24. Для решения задачи Коши

используется метод Адамса-Моултона со вторым порядком точности, h=0.05. Из ниже перечисленных вариантов выберите правильную формулу для у(0.1).

а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .

25. Требуется численно решить задачу Коши
. . t>0
со вторым порядком точности. Какие из перечисленных методов для этого можно использовать:

а) предиктор-корректор, Рунге-Кутта;
б) Эйлера;
в) предиктор-корректор;
г) Рунге-Кутта;
д) нет верного ответа.

26. Задача Коши для ОДУ
. . t>0
решается с помощью схемы второго порядка точности:
,
где .
Выпишите систему для нахождения α, β, σ1, σ2.

а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) нет верного ответа.

27. Для численного решения задачи Коши
, , t>0
используется метод предиктор-корректор. Чему равен главный член ошибки аппроксимации метода?

а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .

28. Исследуется ошибка аппроксимации метода предиктор-корректор. Определите пропущенные члены в записи:

а) , ;
б) , ;
в) ;
г) ;
д) запись верна, ничего не пропущено.

29. Требуется численно решить задачи Коши для ОДУ
. . t>0.
Каким интерполяционным многочленом, аппроксимируется функция в методе Адамса-Башфорта 2 порядка точности?

а) интерполяционным многочленом Ньютона 2 степени;
б) интерполяционным многочленом Лагранжа 1 степени;
в) интерполяционным многочленом Ньютона 1 степени;
г) интерполяционным многочленом Лагранжа 3 степени.

30. Продолжите определение.
Погрешностью аппроксимации разностной схемы на решении называют…

а) сеточную функцию, полученную при подстановке точного ре-шения в разностную задачу и характеризующую степень близости дифференциального и разностного уравнений;
б) сеточную функцию, получающуюся при подстановке прибли-женного значения в разностную задачу;
в) сеточную функцию, получающуюся при подстановке прибли-женного значения в дифференциальное уравнение;
г) нет верного ответа.

31. На последовательности сеток с шагами: h1=0.02, h2=0.01, h3=0.005, h4=0.0025 методом Эйлера были получены решения двух задач Коши:
1) , у(2.6)=1.8;
2) , у(2)=1.2.

Для первой задачи:
х 2.6 2.62 2.64 2.66 2.68 2.7
yh1 1.8 1.711506 1.642442 1.588062 1.545009 1.510836
yh2 1.8 1.716422 1.650115 1.59716 1.554696 1.520585
yh3 1.8 1.718611 1.653581 1.601318 1.559171 1.525133
yh4 1.8 1.719649 1.655233 1.603312 1.561326 1.527332

Для второй задачи:
х 2 2.02 2.04 2.06 2.08 2.1
yh1 1.2 1.3568 1.530041 1.722519 1.9377 2.17993
yh2 1.2 1.36084 1.539205 1.738236 1.961872 2.215127
yh3 1.2 1.362971 1.544063 1.746613 1.974839 2.234149
yh4 1.2 1.364067 1.546567 1.750944 1.981566 2.244057

Определите, какой из численных процессов сходится.

а) сходится решение первой задачи;
б) сходится решение второй задачи;
в) сходятся решения первой и второй задач;
г) оба решения не сходятся.

32. Из перечисленных ниже вариантов выберите систему, которая будет эквивалентна указанному дифференциальному уравнению:
.

а) ;
б) ;
в) ;
г) .

33. Для двух задач Коши:
1) , у(2)=1.2;
2) , у(4)=2.6.
на последовательности сеток с шагами h1=0.02, h2=0.01 методом Эйлера были получены решения:
Для первой задачи:
х 2 2.02 2.04 2.06 2.08 2.1
yh1 1.2 1.3568 1.530041 1.722519 1.9377 2.17993
yh2 1.2 1.36084 1.539205 1.738236 1.961872 2.215127

Для второй задачи:
х 4 4.02 4.04 4.06 4.08 4.1
yh1 2.6 3.68608 7.389582 39.66715 5107.483 10910
yh2 2.6 4.22731 21.37929 291.6102 41552.11 11599.11

Определите правильность и сходимость полученных численных реше-ний.
1) верно решение первой задачи, численный процесс сходится;
2) неверно решение первой задачи, численный процесс расходится;
3) верно решение второй задачи, численный процесс сходится;
4) неверно решение второй задачи, численный процесс расходится;
5) неверно решение первой задачи, численный процесс сходится;

а) 1), 3);
б) 2), 3);
в) 4), 5);
г) 3), 5);
д) 1), 4).

34. Задача Коши для ОДУ
. . t>0
решается с помощью схемы:
.
Определите вид функции , при котором указанная схема определяет классический метод Рунге-Кутта четвертого порядка.

а)

б)

в)

г)

д) все ответы верны.

10 Решение уравнений конвективного переноса

1. Какой из приведенных ниже методов будет разностной схемой урав-нения

имеющей 2-ой порядок точности по пространству и являющейся абсолютно устойчивой?

а)
б)
в)
г)
д)

2. Какая из приведенных ниже разностных схем для уравнения

является явной и неустойчивой?

а)
б)
в)
г)
3. Какой из приведенных ниже методов будет разностной схемой для уравнения

имеющей 1-ой порядок точности по пространству и являющейся абсолютно устойчивой?

а)
б)
в)
г)
д)

4. Какая из приведенных ниже разностных схем построена на основе шаблона, приведенного на рисунке 1,

 

 

 

и может быть использована для решения уравнения

а)
б)
в)
г)

5. Продолжите предложение. Шаблон схемы – это…

а) количество слоев, использованных в построении разностной схемы;
б) расчетная область, покрытая разностной сеткой;
в) совокупность узлов разностной сетки, расположенных на од-ном слое;
г) точки разностной сетки, использованные в записи разностной схемы.

6. Какая из приведенных ниже разностных схем построена на основе шаблона, приведенного на рисунке 2,

 

 

 

и может быть использована для решения уравнения

а)
б)
в)
г)

7. Из шаблонов, перечисленных на рисунке 3, выберите те, на основании которых можно построить явные разностные схемы, используемые для реше-ния и уравнения конвективного переноса, и уравнения диссипации, конвекции и кинетики.

 
а) 1), 2), 3), 4), 5);
б) 1), 4);
в) 2), 3), 5);
г) 1), 3);
д) 5).

8. Для решения уравнения

используется следующая разностная схема:
.
Какими свойствами она обладает?

а) явная, двухслойная, абсолютно устойчивая, имеет первый по-рядок точности по времени;
б) неявная, двухслойная, условно устойчивая, имеет первый поря-док точности по пространству;
в) явная, трехслойная, абсолютно устойчивая, имеет второй по-рядок точности по времени;
г) явная, двухслойная, условно устойчивая, имеет второй порядок точности по пространству;
д) неявная, трехслойная, условно устойчивая, имеет второй поря-док точности по пространству.

9. Разностная схема

используется для решения уравнения
.
Выберите для нее условие устойчивости.

а) абсолютно устойчива;
б) устойчива при к≤1, где ;
в) схема не устойчива;
г) устойчива при к≤1, где , а>0;

10. Разностная схема

используется для решения уравнения

Из ниже приведенных записей выберите ту, которая содержит члены, характе-ризующие главную часть ошибки аппроксимации данной схемы.

а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ,

11. Из шаблонов, перечисленных на рисунке 4, выберите те, на основа-нии которых можно построить неявные разностные схемы, используемые для решения уравнения конвективного переноса.

 

 

 

 

 

 

 

 

а) 1), 2), 3) 4), 5);
б) 1), 4);
в) 2), 3), 5);
г) 1), 3);
д) 5).

12. Для решения уравнения

используется разностная схема
.
Укажите самый существенный недостаток данной схемы.

а) ;
б) схема неустойчивая;
в) схема первого порядка точности по времени;
г) для применения данной схемы необходимо использовать допол-нительные сеточные граничные условия;
д) схема имеет разные порядки точности по пространству и времени.

13. Для решения уравнения

используется разностная схема
.
Определите условия ее применимости.

а) τ≤ h ;
б) τ≈h2;
в) τ≤ h2;
г) ;
д) нет верного ответа.

14. Требуется решить уравнение

со вторым порядком точности. Какие разностные схемы могут быть использо-ваны для решения поставленной задачи?
1)
2)
3)
4)
5)

а) 2), 3) 4), 5);
б) 1), 4);
в) 2), 3), 5);
г) 1), 3);
д) 2), 5).

15. Требуется решить уравнение

с первым порядком точности. Какие разностные схемы могут быть использова-ны для решения поставленной задачи?
1)
2)
3)
4)
5)
6)

а) 1), 2), 3) 4), 5);
б) 1), 6);
в) 2), 3), 5);
г) 1), 2);
д) 1), 2), 6).

16. Уравнение конвективного переноса

u(0,x)=φ(x), u(t,0)=ψ(t)
решается в области с использованием разностной схе-мы:
.
Как получить решение на правой границе области (в точках )?

 

 

а) значения в указанных точках должны быть заданы в граничных условиях задачи;
б) привлечь для вычисления дополнительную разностную схему:
;
в) привлечь для вычисления дополнительную разностную схему:
;
г) использовать указанную разностную схему для m=M.

17. Выберите таблицу, являющуюся решением уравнения конвективного переноса

в области
при u(0,x)=1,
u(t,0)=1
с использованием явной разностной схемы «левый уголок». ( )

а)
0 0.1 0.2 0.3
0 1 1 1 1
0.1 1 1.01 1.02 1.03

 

б)
0 0.1 0.2 0.3
0 1 1 1 1
0.1 1 1.015 1.025 1.035

в)
0 0.1 0.2 0.3
0 1 1 1 1
0.1 1.015 1.025 1.035 1

г)
0 0.1 0.2 0.3
0 1.1 1.2 1.3 1
0.1 1 1 1 1

18. Уравнение конвективного переноса

решается в области
при u(0,x)=3х2,
u(t,0)=0
с использованием явной разностной схемы «левый уголок». Найти u(0.2,0.8), при .

а) 0.172;
б) 1.758;
в) 1.92;
г) 3;
д) 2.092.

19. Уравнение конвективного переноса

решается в области
при u(0,x)=3х2,
u(t,0)=0
с использованием разностной схемы Лакса. Найти u(0.2,0.2), при .

а) 0;
б) 0.25;
в) 0.337;
г) 0.12;
д) 3.

20. Уравнение конвективного переноса

решается в области
при u(0,x)=φ(x),
u(t,0)=ψ(t)
с использованием разностной схемы «крест», с точностью 10-8 . Известно, что все значения производных функции u не больше 1. Выберите возможные начальные значения , позволяющие решить поставленную задачу.

а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .

21. Уравнение конвективного переноса

решается в области
при u(0,x)=φ(x),
u(t,0)=ψ(t)
с использованием явной разностной схемы «левый уголок». Известно, что . Выберите возможные наибольшие значения так, чтобы ошибка аппроксимации была не больше 10-3?

а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) нет верного ответа.

22. Уравнение конвективного переноса

решается в области
при u(0,x)=φ(x),
u(t,Х)=ψ(t)
с использованием разностной схемы Лакса. Как найти значения u(t,0)?

а) значения в указанных точках заданы в граничных условиях;
б) с помощью явной разностной схемы «правый уголок»;
в) с помощью явной разностной схемы «левый уголок»;
г) с помощью разностной схемы «тренога»;
д) в этих точках невозможно найти решение.

23. Для аппроксимации уравнения

в области
при условиях u(0,x)=φ(x),
u(t,0)=ψ(t)
используется разностная схема «крест». Из предложенных ниже вариантов вы-берите алгоритм численного решения поставленной задачи.

а) 1. Вычислить M=X/h, N=T/τ;
2. При
2.1 Вычислить
2.2 Вывод
3. Для
3.1 При m=0 вычислить
3.2 При найти значения функции по раз-ностной схеме Лакса
3.3 При m=M найти значение функции по явной разност-ной схеме «левый уголок»
3.4 При вывод
4. Для
4.1 При m=0 вычислить
4.2 При найти значения функции по раз-ностной схеме «крест»
4.3 При m=M найти значения функции по явной раз-ностной схеме «левый уголок»
4.4 При вывод

б) 1. Вычислить M=X/h, N=T/τ;
2. При
2.1 Вычислить
2.2 Вывод
3. Для
3.1 При m=0 вычислить
3.2 При найти значения функции по раз-ностной схеме «тренога»
3.3 При m=M найти значение функции по явной разност-ной схеме «левый уголок»
3.4 При вывод
4. Для
4.1 При m=0 вычислить
4.2 При найти значения функции по раз-ностной схеме «крест»
4.3 При m=M найти значения функции по явной раз-ностной схеме «левый уголок»
4.4 При вывод

в) 1. Вычислить M=X/h, N=T/τ;
2. При
2.1 Вычислить
2.2 Вывод
3. Для
3.1 При m=0 вычислить
3.2 При найти значения функции по раз-ностной схеме «крест»
3.3 При m=M найти значения функции по явной раз-ностной схеме «левый уголок»
3.4 При вывод

г) 1. Вычислить M=X/h, N=T/τ;
2. При
2.1 Вычислить
2.2 Вывод
3. Для
3.1 При m=M найти значение функции
3.2 При найти значения функции по раз-ностной схеме Лакса
3.3 При m=0 вычислить по явной разностной схеме «пра-вый уголок»
3.4 При вывод
4. Для
4.1 При m=M найти значения функции
4.2 При найти значения функции по раз-ностной схеме «крест»
4.3 При m=0 вычислить по явной разностной схеме «правый уголок»
4.4 При вывод

д) нет верного ответа.

24. Уравнение конвективного переноса

решается в области
при u(0,x)=φ(x),
u(t,0)=ψ(t)
Считая равными 0.01, выберите формулу для расчета u во внутренних точках области ( ) с использованием неявной разност-ной схемы «левый уголок».

а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) нет верного ответа.

25. Уравнение конвективного переноса

решается в области
при u(0,x)=0,
u(t,1)=t.
Считая равными 0.1, вычислите u(0.1, 0.9) с помощью неявной разностной схемы «правый уголок».

а) 0;
б) 1;
в) 0.09;
г) 0.1;
д) нет верного ответа.

26. Уравнение конвективного переноса

решается в области
при u(0,x)=φ(x),
u(t,Х)=ψ(t).
Считая равными 0.1, выберите формулу для расчета u во внутренних точ-ках области ( )с помощью неявной разностной схемы «правый уголок».

а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) нет верного ответа.

27. Уравнение конвективного переноса

решается в области
при u(0,x)= x,
u(t,0)=0.
Используется разностная схема
.
Из приведенных ниже алгоритмов выберите алгоритм ее реализации. Считать равными 0.2.

а) 1. Вычислить M=X/h, N=T/τ
2. При
2.1 Вычислить
2.2 Вывод
3. Для
3.1 Вычислить
3. 2 При решить систему уравнений вида

методом скалярной трехточечной прогонки
где
3.3 При вывод

б) 1. Вычислить M=X/h, N=T/τ
2. При
2.1 Вычислить
2.2 Вывод
3. Для
3.1 Вычислить
3. 2 При вычислить

3.3 При вывод

в) 1. Вычислить M=X/h, N=T/τ
2. При
2.1 Вычислить
2.2 Вывод
3. Для
3.1 Вычислить
3. 2 При вычислить

3.3 При m=M вычислить
3.4 При вывод ;

г) 1. Вычислить количество точек сетки M=X/h, N=T/τ
2. При
2.1 Вычислить
2.2 Вывод
3. Для
3.1 Вычислить
3. 2 При решить систему уравнений вида

методом скалярной трехточечной прогонки
где
3.3 При вывод
д) нет верного ответа.

28. Уравнение конвективного переноса
,
решается в области .
при u(0,x)=2,
u(t,0)=2.
Считая равными 0.2, и используя разностную схему
,
определите значения прогоночных коэффициентов α0, β0 при t=τ.

а) α0= - 0.05, β0= 2.1021;
б) α0= 0.05, β0= - 2.1021;
в) α0= 2.1168, β0=-0.05;
г) α0= - 0.05, β0=2.1168;
д) нет верного ответа.

29. Уравнение конвективного переноса
,
решается в области .
при u(0,x)=φ(x),
u(t,0)=ψ(t)
Из предложенных ниже вариантов выберите алгоритм разностной схемы «пря-моугольник», считая, что заданы (выбраны из требований заданной точно-сти).

а) 1. Вычислить M=X/h, N=T/τ;
2. При
2.1 Вычислить
2.2 Вывод
3. Для
3.1 При m=0 вычислить
3.2 При вычислить
3.3 При вывод

б) 1. Вычислить M=X/h, N=T/τ;
2. Для
3.1 При вычислить
3.2 При вывод

в) 1. Вычислить M=X/h, N=T/τ;
2. При
2.1 Вычислить
2.2 Вывод
3. Для
3.1 При m=0 вычислить
3.2 При вычислить
3.3 При вывод

г) 1. Вычислить M=X/h, N=T/τ;
2. При
2.1 Вычислить
2.2 Вывод
3. Для
3.1 При m=M вычислить
3.2 При вычислить
3.3 При вывод

д) нет верного ответа.

30. Для решения уравнения

используется следующая разностная схема:



Какими свойствами обладает данная схема?

а) неявная, двухслойная, абсолютно устойчивая, имеет первый порядок точности по времени и второй по пространству, одно-шаговая;
б) неявная, двухслойная, условно устойчивая, имеет второй поря-док точности по пространству и по времени, двухшаговая;
в) явная, трехслойная, абсолютно устойчивая, имеет второй по-рядок точности по времени, двухшаговая;
г) явная, двухслойная, условно устойчивая, имеет второй порядок точности по пространству и первый по времени, одношаговая;
д) явная, двухслойная, условно устойчивая, имеет второй порядок точности по пространству и по времени, двухшаговая.

31. Для решения уравнения

используется следующая разностная схема:
.
Какими свойствами обладает данная схема?

а) явная, двухслойная, абсолютно устойчивая, имеет первый по-рядок точности по времени;
б) неявная, двухслойная, абсолютно устойчивая, имеет первый порядок точности по времени и второй по пространству;
в) явная, трехслойная, абсолютно устойчивая, имеет второй по-рядок точности по времени;
г) неявная, двухслойная, абсолютно устойчивая, имеет второй порядок точности по пространству и по времени;
д) неявная, трехслойная, условно устойчивая, имеет второй поря-док точности по пространству.

32. Уравнение конвективного переноса

решается в области
при u(0,x)=φ(x),
u(t,Х)=ψ(t)
с использованием разностной схемы:
.
Как получить решение на левой границе области (в точках )?

 

 

 

а) значения в указанных точках должны быть заданы в граничных условиях;
б) привлечь для вычисления дополнительную разностную схему:
;
в) привлечь для вычисления дополнительную разностную схему:
;
г) в этих точках невозможно найти решение.

33. Какая из приведенных ниже разностных схем для уравнения

является неявной и абсолютно устойчивой?

а)
б)
в)
г)

34. Уравнение конвективного переноса

решается в области
при u(0,x)=2,
u(t,0)=2
используется разностная схема:
.
Для ее реализации составлена система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):
,
где
Выберите оптимальный метод решения данной СЛАУ.

а) Гаусса;
б) LU-разложение;
в) Зейделя;
г) скалярная трехточечная прогонка;
д) нет верного ответа.

35. Из перечисленных ниже названий разностных схем, аппроксимиру-ющих уравнение конвективного переноса, выберите те, которые обладают свой-ством позитивности.
а) схема Лакса, «крест»;
б) «крест», явный «правый уголок», «тренога»;
в) явный «правый уголок», неявный «правый уголок»;
г) явный «левый уголок», «прямоугольник»;
д) все существующие схемы обладают указанным свойством.

36. Для численного решения уравнения конвективного переноса исполь-зуется разностная схема Лакса, укажите ν в ее первом дифференциальном при-ближении:
.

а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .

37. Из перечисленных ниже названий разностных схем, аппроксимиру-ющих уравнение конвективного переноса, выберите те, которые обладают свой-ством монотонности.

а) схема Лакса, «крест»;
б) неявный «левый уголок», неявный «правый уголок»;
в) «крест», неявный «левый уголок», «тренога»
г) явный «левый уголок», «прямоугольник»;
д) все существующие схемы обладают указанным свойством.

38. Для численного решения уравнения конвективного переноса исполь-зуется неявная разностная схема «правый уголок», укажите ν в ее первом диф-ференциальном приближении:
.

а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .

39. Уравнение конвективного переноса

решается в области
при u(0,x)=0,
u(t,1)=1.
Из перечисленных ниже названий разностных схем, выберите те, которые поз-воляют решить поставленную задачу?

а) неявный «левый уголок», явный «левый уголок»;
б) неявный «правый уголок», явный «правый уголок»;
в) «крест», «Лакса»;
г) «прямоугольник», явный «левый уголок»;
д) «Лакса», явный «правый уголок»

40. Выберите таблицу, являющуюся решением уравнения конвективного переноса

в области
при u(0,x)=2х,
u(t,2)=2t+4
с использованием явной разностной схемы «правый уголок». ( )

а)
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4
0.2 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4.4

б)
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4
0.2 2.024 2.465 2.901 3.355 3.74 4.4

в)
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4
0.2 2.032 2.472 2.912 3.352 3.792 4.4

г)
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4
0.2 2.2 2.64 3.08 3.52 3.96 4.4

д) нет верного решения.

41. Уравнение конвективного переноса

решается в области
при u(0,x)=2х,
u(t,1)=t+2
с использованием неявной разностной схемы «левый уголок». Найти u(0.4,1.2) при .

а) 0;
б) 1.12;
в) 2.88;
г) 3.454;
д) нет верного ответа.
42. Для уравнения конвективного переноса

в области
была получена таблица значений искомой функции на 2 первых слоях:

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0 0 0 0 0 0 0
0.2 0.4 0.44 0.48 0.52 0.56 0.6
0.4 0.8

Используя разностную схему «крест», заполните третий слой (во внутренних точках области).

а)
0 0.2 0.4 0.6 0.8
0.4 0.8 0.444 0.484 0.524 0.526

б)
0 0.2 0.4 0.6 0.8
0.4 0.8 0.81 0.82 0.83 0.84

в)
0 0.2 0.4 0.6 0.8
0.4 0.8 0.8876 0.968 1.014 1.056

г)
0 0.2 0.4 0.6 0.8
0.4 0.8 0.88 0.96 1.04 1.12

д) нет верного решения.

43. Пространственным профилем решения u(t,x) называется … при … .
Вставьте пропущенное:

а) график функции u(t,x), х - фиксированном;
б) таблица значений функции u(t,x), t - заданном;
в) таблица значений функции u(t,x), х - фиксированном;
г) таблица значений u'х(t,x), х - фиксированном;
д) график функции u(t,x), t - фиксированном.
44. Продолжите формулировку свойства.
Если во всей области правая часть уравнения

неотрицательна, начальные и граничные значения также неотрицательны, то ...

а) решение искомой функции u(t,x) будет монотонно возрастать в области G;
б) искомая функция u(t,x) не принимает отрицательных значений в области G;
в) искомая функция u(t,x) имеет точки разрыва в области G ;
г) то уравнение имеет единственное решение в области G.

45. Из перечисленных ниже вариантов, выберите тот, который является характеристической формой уравнения
.

а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) нет верного ответа.

46. Из приведенных ниже записей выберите те, которые являются свой-ствами решения уравнения конвективного переноса.
1) позитивность;
2) монотонность;
3) принцип максимума;
4) образование и распространение особенностей во внутрь области;
5) стабилизация.

а) 1), 2), 3), 4), 5);
б) 1), 3), 4), 5);
в) 2),3), 4);
г) 3), 4), 5);
д) 1), 2), 4).

47. Выписать математическую модель для задачи одномерного переноса тепла средой, движущейся со скоростью в положительном направлении оси х.
1) ;
2) ;
3) u(t0,x)=φ(x);
4) u(t,x0)=ψ1(t);
5) u(t,X)=ψ2(t) ;
6) ;
7) .

а) 1), 2), 3), 4), 5);
б) 1), 6), 2), 3), 4);
в) 1), 7), 2), 3), 5);
г) 1), 6), 2), 3), 5);
д) 1), 7), 2), 3), 4).

48. Дано уравнение
,
которое является математической моделью процесса одномерного переноса тепла средой при пренебрежении … и с учетом … . Где - … .
Вставьте пропущенное:

а) вещества, интенсивности возможных источников или стоков, температура;
б) вещества, диффузии, скорость;
в) кондуктивной теплопроводностью, интенсивности возможных источников или стоков, скорость;
г) кондуктивной теплопроводностью, диффузии, температура;
д) нет верного ответа.

49. Уравнение конвективного переноса
,
решается в области .
при u(0,x)=φ(x),
u(t,Х)=ψ(t)
Из предложенных ниже вариантов выберите алгоритм разностной схемы «пря-моугольник», считая, что заданы (выбраны из требований заданной точно-сти).

а) 1. Вычислить M=X/h, N=T/τ;
2. При
2.1 Вычислить
2.2 Вывод
3. Для
3.1 При m=0 вычислить
3.2 При вычислить
3.3 При вывод

б) 1. Вычислить M=X/h, N=T/τ;
2. Для
3.1 При вычислить
3.2 При вывод

в) 1. Вычислить M=X/h, N=T/τ;
2. При
2.1 Вычислить
2.2 Вывод
3. Для
3.1 При m=0 вычислить
3.2 При вычислить
3.3 При вывод

г) 1. Вычислить M=X/h, N=T/τ;
2. При
2.1 Вычислить
2.2 Вывод
3. Для
3.1 При m=M вычислить
3.2 При вычислить
3.3 При вывод
д) нет верного ответа.

50. Дано уравнение
,
которое является математической моделью процесса одномерного переноса ве-щества средой при пренебрежении … и с учетом … . Где - … .
Вставьте пропущенное:

а) диффузии, интенсивности возможных источников или стоков, температура;
б) диффузии, интенсивности возможных источников или стоков, скорость;
в) кондуктивной теплопроводностью, интенсивности возможных источников или стоков, скорость;
г) кондуктивной теплопроводностью, диффузии, температура;
д) нет верного ответа.

 

11 Численное решение модельного уравнения диссипации, конвекции и кинетики

1. Какой из приведенных ниже методов будет явной разностной схемой для уравнения
,
имеющей 2-ой порядок точности по времени и пространству и являющейся аб-солютно устойчивой?

а)
б)
в)
г)
д) все явные разностные схемы условно устойчивы.

2. Из приведенных ниже разностных схем для решения уравнения

выберите те, которые являются явными и условно устойчивыми
1)
2)
3)
4)
5)

а)1), 2), 3), 4), 5);
б) 1), 4);
в) 2), 3), 5);
г) 1), 2);
д) 5).

3. Из шаблонов, перечисленных на рисунке 7, выберите те, на основании которых можно построить явные разностные схемы, используемые для реше-ния уравнения диссипации, конвекции и кинетики

а)1), 2), 3), 4), 5);
б) 1), 4);
в) 2), 3), 5);
г) 1), 2),4);
д) 5).

4. Какие из приведенных ниже разностных схем построены на основе шаблона, приведенного на рисунке 8

 

 

и могут быть использованы для решения уравнения

1)
2)
3)
4)
5)

а)1), 2), 3), 4), 5);
б) 1), 4);
в) 1), 2), 4);
г) 1), 2);
д) 3),5).

5. Из шаблонов, перечисленных на рисунке 9, выберите те, на основании которых можно построить разностные схемы, используемые для решения и уравнения конвективного переноса, и уравнения диссипации, конвекции и кине-тики.

 

 

 

 

 

 

 

а) 1), 2), 3), 4), 5);
б) 1), 4);
в) 1), 3), 4), 5);
г) 1), 3);
д) таких шаблонов нет.

6. Для решения уравнения

используется следующая разностная схема:
.
Какими свойствами обладает данная схема?

а) явная, двухслойная, абсолютно устойчивая, имеет второй по-рядок точности по времени и по пространству, ;
б) неявная, двухслойная, условно устойчивая, имеет первый поря-док точности по пространству;
в) явная, трехслойная, абсолютно устойчивая, имеет второй по-рядок точности по пространству и по времени, ;
г) неявная, двухслойная, абсолютно устойчивая, имеет второй порядок точности по пространству и по времени;
д) явная, трехслойная, устойчивая, имеет второй порядок точ-ности по времени и первый по пространству, аппроксимирующая.

7. Какие из приведенных ниже разностных схем для уравнения

являются абсолютно устойчивыми?
1)
2)
3)
4)
5)

а) 3), 5);
б) 1), 2), 3);
в) 1), 2), 3), 4);
г) 1), 2), 3), 4), 5);
д) 5).

8. Для решения уравнения

используется следующая разностная схема:

Какими свойствами обладает данная схема?

а) явная, двухслойная, абсолютно устойчивая, имеет первый по-рядок точности по времени;
б) неявная, двухслойная, условно устойчивая, имеет первый поря-док точности по пространству;
в) явная, трехслойная, абсолютно устойчивая, имеет второй по-рядок точности по пространству и по времени;
г) неявная, двухслойная, абсолютно устойчивая, имеет второй порядок точности по пространству и по времени;
д) явная, трехслойная, устойчивая, имеет второй порядок точ-ности по времени и первый по пространству.

9. Для решения уравнения

используется следующая разностная схема:
.
Укажите недостаток данной схемы.

а) схема неустойчивая;
б) схема условно устойчивая;
в) схема условно аппроксимирующая, ;
г) условно устойчивая ;
д) схема условно аппроксимирующая, .

10. Какие из приведенных ниже разностных схем построены на основе шаблона, изображенного на рисунке 10

 

 

 

и могут быть использованы для решения уравнения

1)
2)
3)
4)
5)

а)1), 2), 3), 4), 5);
б) 5);
в) 2), 5);
г) 1), 2);
д) 2).

11. Из нижеприведенных записей выберите те, которые фиксируют свой-ства решения модельного уравнения диссипации, конвекции и кинетики.
1) внутренняя гладкость решения;
2) монотонность;
3) принцип максимума;
4) образование и распространение особенностей во внутрь области;
5) характеристическая форма исходного уравнения ;
6) позитивность;
7) стабилизация.

а) 1), 2), 3), 4), 5), 6), 7);
б) 1), 3), 4), 5);
в) 2),3), 4);
г) 1),3), 6), 7);
д) 2), 5),7).

12. Выписать математическую модель для задачи одномерного распро-странения тепла в ограниченной среде, при заданных значениях температур на границе.
1) ;
2) ;
3) u(t0,x)=φ(x);
4) u(t,x0)=ψ1(t), u(t,X)=ψ2(t);
5) ;
6) ;

а) 1), 2), 3), 4);
б) 1), 2), 3), 6);
в) 1), 2), 3), 5);
г) 1), 2), 3), 5), 6);
д) 1), 3), 4).

13. Дано уравнение

u(t,x) – температура.
Дайте физическую интерпретацию следующим обозначениям:

а) 1) конвективный перенос,
2) перенос тепла теплопроводностью;
б) 1) перенос тепла теплопроводностью,
2)конвективный перенос;
в) 1) перенос за счет внешних источников и стоков,
2) перенос вещества диффузией;
г) 1) перенос вещества диффузией,
2) источник, пропорциональный температуре.

14. Одномерный перенос тепла (или вещества) теплопроводностью (для вещества соответственно диффузией) и конвекцией описывается дифференци-альным уравнением …

а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .

15. Выписать математическую модель для задачи одномерного распро-странения тепла в ограниченной среде, при заданных значениях тепловых по-токов на границе.
1) ;
2) ;
3) u(t0,x)=φ(x);
4) u(t,x0)=ψ1(t), u(t,X)=ψ2(t);
5) ;
6) ;

а) 1), 2), 3), 4);
б) 1), 2), 3), 6);
в) 1), 2), 3), 5);
г) 1), 2), 3), 5), 6);
д) 1), 3), 4).

16. Для решения уравнения

используется следующая разностная схема:
.
Укажите самый существенный недостаток данной схемы.

а) схема неустойчивая;
б) схема условно устойчивая;
в) схема имеет разный порядок точности по пространству и времени;
г) для применения данной схемы необходимо использовать допол-нительные схемы;
д) схема условно аппроксимирующая, необходимо, чтобы .

17. Для решения уравнения

используется следующая разностная схема:

Какими свойствами обладает данная схема?

а) явная, двухслойная, абсолютно устойчивая, имеет первый по-рядок точности по времени;
б) неявная, двухслойная, условно устойчивая, имеет первый поря-док точности по пространству;
в) явная, трехслойная, абсолютно устойчивая, имеет второй по-рядок точности по пространству и по времени;
г) неявная, двухслойная, абсолютно устойчивая, имеет второй порядок точности по пространству и по времени;
д) неявная, трехслойная, абсолютно устойчивая, имеет второй порядок точности по времени и по пространству.

18. Для решения уравнения

используется следующая разностная схема:




Вставьте пропущенные члены разностной схемы.

а) , , ;
б) , , ;
в) , , ;
г) , ;
д) , , .

19. Какая из приведенных ниже разностных схем построена на основе шаблона, приведенного на рисунке 11,

 

 

и может быть использована для решения уравнения

а) ;

б) ;

в) ;
г) ;

д) .

20. Выберите из приведенных ниже записей те, которые соответствуют разностной схеме с «весами» для уравнения:

1)

2)

3) ;

4) ;

5) .

а)1), 2), 3), 4), 5);
б) 1), 4);
в) 1), 2), 4);
г) 1), 2);
д) 5).

21. Модельное уравнение диссипации, конвекции и кинетики

решается в области
при u(0,x)=φ(x),
u(t,0)=ψ1(t)
u(t,Х)=ψ2(t).
Из предложенных ниже вариантов выберите алгоритм неявной четырехточеч-ной схемы, считая, что заданы (выбраны из требований заданной точно-сти).

а) 1. Вычислить M=X/h, N=T/τ;
2. При
2.1 Вычислить
2.2 Вывод
3. Для
3.1 При m=0 вычислить
3.2 При вычислить

3.3 При m=М вычислить
3.4 При вывод

б) 1. Вычислить M=X/h, N=T/τ;
2. При
2.1 Вычислить
2.2 Вывод
3. Для
3.1 При m=0 вычислить
3.2 При m=М вычислить
3.3 При решить систему уравнений вида

методом скалярной трехточечной прогонки
3.4 При вывод

в) 1. Вычислить M=X/h, N=T/τ;
2. При
2.1 Вычислить
2.2 Вывод
3. Для
3.1 При m=0 вычислить
3.2 При вычислить

3.3 При m=М вычислить
3.4 При вывод

г) 1. Вычислить M=X/h, N=T/τ;
2. При
2.1 Вычислить
2.2 Вывод
3. Для
3.1 При m=0 вычислить
3.2 При вычислить

3.3 При m=М вычислить
3.4 При вывод
д) нет верного ответа.

22. Из приведенных ниже утверждений выберите верные:
Для решения уравнения диссипации, конвекции и кинетики…
1) все явные схемы являются условно устойчивыми;
2) все неявные схемы условно аппроксимирующие;
3) при значении весового параметра s=0.5 схема «с весами» превращает-ся в шеститочечную схему;
4) все неявные схемы являются абсолютно устойчивыми;
5) схема Дюффорта-Франкела условно устойчивая.

а)1), 2), 3), 4), 5);
б) 1), 2);
в) 1), 2), 4);
г) 3), 4);
д) 5).

23. Модельное уравнение диссипации, конвекции и кинетики

решается в области
при u(0,x)=φ(x),
u(t,0)=ψ1(t)
u(t,Х)=ψ2(t).
Из предложенных ниже вариантов выберите алгоритм схемы Дюффорта-Франкела, считая, что заданы (выбраны из требований заданной точности).

а) 1. Вычислить M=X/h, N=T/τ;
2. При
2.1 Вычислить
2.2 Вывод
3.Для
3.1 При m=0 вычислить
3.2 При найти значения функции с помо-щью явной четырехточечной схемы второго порядка точ-ности по пространству и времени
3.3 При m=M найти значение функции по схеме явный «левый уголок»
3.4 При вывод
4. Для
4.1 При m=0 вычислить
4.2 При найти значения функции по схеме Дюффорта-Франкела
4.3 При m=M найти значения функции по схеме явный «левый уголок»
4.4 При вывод
б) 1. Вычислить M=X/h, N=T/τ;
2. При
2.1 Вычислить
2.2 Вывод
3. Для
3.1 При m=0 вычислить
3.2 При найти значения функции по схеме Дюффорта-Франкела
3.3 При m=М вычислить
3.4 При вывод

в) 1. Вычислить M=X/h, N=T/τ;
2. При
2.1 Вычислить
2.2 Вывод
3. Для
3.1 При m=0 вычислить
3.2 При найти значения функции с помо-щью явной четырехточечной схемы второго порядка точ-ности по пространству и времени
3.3 При m=М вычислить
3.4 При вывод
4. Для
4.1 При m=0 вычислить
4.2 При найти значения функции по схеме Дюффорта-Франкела
4.3 При m=М вычислить
4.4 При вывод

г) 1. Вычислить количество точек сетки M=X/h, N=T/τ;
2. При
2.1 Вычислить
2.2 Вывод
3. Для
3.1 При m=0 вычислить
3.2 При найти значения функции по схеме Дюффорта-Франкела
3.3 При m=М вычислить по схеме явный «левый уголок»
3.4 При вывод

д) нет верного ответа.

24. Какие из приведенных ниже разностных схем построены на основе шаблона, приведенного на рисунке 12,

 

 

и могут быть использованы для решения уравнения
.

1)

2)

3)

4)

5)
а)1), 2), 3), 4), 5);
б) 2), 3), 5);
в) 1), 2), 4);
г) 2), 3);
д) 3), 4).

25. Какие из приведенных ниже разностных схем построены на основе шаблона, приведенного на рисунке 13

 

 

и могут быть использованы для решения уравнения

1)
2)
3)
4)
5)

а)1), 2), 3), 4), 5);
б) 1), 2);
в) 1), 2), 4);
г) 1), 4);
д) 3),5).

 

12 Литература, рекомендуемая для изучения дисциплины «Численные методы»

12.1 Самарский, А.А. Численные методы математической физики: учебное пособие для вузов/ А.А.Самарский, А.В. Гулин. - М.: Научный мир, 2000. – 316 с.
12.2 Вержбицкий, В.М. Основы численных методов: учебник для вузов. / В.М. Вержбицкий. – М.: Высш. шк., 2002. – 840с. с ил.
12.3 Бахвалов, Н.С. Численные методы: учеб пособие для вузов/ Н.С. Ба-хвалов, Н.П.Житков, Г.М. Кобельков. – 3-е изд. перераб. и доп.-М: Бином, 2003. –632 с. с ил.
12.4 Костомаров, Д.Г. Вводные лекции по численным методам: учебное по-собие/ Д.Г. Костомаров, А.П. Фаворский. – М.: Логос, 2004. – 184с.
12.5 Самарский, А.А. Введение в численные методы: учебное пособие для вузов/ А.А. Самарский. – М.: Наука, 1987. – 287с.
12.6 Бахвалов, Н.С. Численные методы в задачах и упражнениях: учеб по-собие/ Н.С. Бахвалов, А.В. Лапин, Е.В. Чижонков. – М.: Высш.шк., 2000. –190с.
12.7 Самарский, А.А. Задачи и упражнения по численным методам: учебное пособие/А.А. Самарский. – М.: Эдиториал УРСС, 2000. – 208 с.
12.8 Влацкая, И.В. Программа итоговой аттестации выпускников по специ-альности 010503 Математическое обеспечение и администрирование инфор-мационных систем/ И.В. Влацкая, Т.П. Петухова, А.Е. Шухман. – Оренбург: ИПК ГОУ ОГУ, 2007. – 44с.
12.9 Болодурина И.П. Программа итоговой аттестации выпускников по специальности 010501.65 Прикладная математика и информатика/ И.П. Бо-лодурина, С.В. Ханжин. - Оренбург: ИПК ГОУ ОГУ, 2007. – 74с.

Приложение А
(справочное)

Выписка из программы государственного экзамена для специально-сти 010501.65 Прикладная математика и информатика

Студенты специальности 010501.65 Прикладная математика и ин-форматика сдают итоговый междисциплинарный экзамен по трем блокам:
• I –математические и общие естественнонаучные дисциплины,
• II – компьютерные дисциплины,
• III – дисциплины специализации.
Вопросы по дисциплине «Численные методы» относятся к первому блоку и включают в себя следующие материалы:
• приближенное решение нелинейных уравнений: постановка зада-чи, отделение корней, уточнение корней (методы бисекций, Нью-тона, хорд, простых итераций). Алгоритм и расчетные формулы, геометрическая интерпретация, сходимость методов, сопоставле-ние методов. Численное решение систем нелинейных уравнений. Методы простой итерации, Ньютона и их модификации. Ско-рость сходимости методов;
• численное решение СЛАУ. Обусловленность СЛАУ, устойчи-вость по правой части и устойчивость по матрице коэффициентов. Прямые методы решения СЛАУ: основные идеи методов, условия применимости, вычислительные затраты. Контроль точности ре-шения СЛАУ. Итерационные методы решения СЛАУ: примеры методов, каноническая форма записи одношаговых итерацион-ных методов, условия сходимости, оценка скорости сходимости;
• численные методы решения частичной и полной проблемы соб-ственных значений. Методы: степенной, скалярных произведений, частных Рэлея; их сопоставление. Обратные итерации. Основные сведения о преобразовании подобия матриц. Итерационные ме-тоды: вращений (Якоби), QR-алгоритм, LU-алгоритм, их недо-статки и преимущества;
• численное интегрирование и дифференцирование. Квадратурные формулы прямоугольников, трапеции, Симпсона. Погрешность квадратурных формул, принцип Рунге. Метод неопределенных коэффициентов построения формул численного дифференциро-вания. Оценка погрешности. Устойчивость формул численного интегрирования и дифференцирования;
• интерполирование функций. Глобальная интерполяция алгебраи-ческими многочленами (многочлены Лагранжа и Ньютона). По-грешность интерполяционных формул, сходимость интерполяци-онного процесса. Интерполирование сплайнами. Локальные и не-локальные кубические сплайны;

• численное решение задачи Коши для дифференциальных уравне-ний первого порядка: метод Эйлера и его модификации, метод «предиктор-корректор», методы Рунге-Кутта;
• численное решение уравнения теплопроводности. Основные по-нятия теории разностных схем. Построение и исследование раз-ностных схем для параболических уравнений. Численное реше-ние двумерных стационарных уравнений в частных производных методом установления.

Приложение Б
(справочное)

Выписка из программы государственного экзамена для специально-сти 010503.65 Математическое обеспечение и администрирование
информационных систем

Студенты специальности 010503.65 Математическое обеспечение и администрирование информационных систем сдают итоговый междисципли-нарный экзамен по трем блокам:
• I – общие математические и естественнонаучные дисциплины,
• II – общепрофессиональные дисциплины специальности,
• III – дисциплины специальности.
Вопросы по дисциплине «Вычислительная математика» относятся к первому блоку и включают в себя знания следующего материала:
• приближенное решение нелинейных уравнений: постановка зада-чи, отделение корней, уточнение корней (методы бисекций, Ньютона, хорд, простых итераций). Алгоритм и расчетные формулы, геометриче-ская интерпретация, сходимость методов, сопоставление методов. Чис-ленное решение систем нелинейных уравнений. Методы простой итера-ции, Ньютона и их модификации. Скорость сходимости методов;
• численное решение СЛАУ. Обусловленность СЛАУ, устойчи-вость по правой части и устойчивость по матрице коэффициентов. Пря-мые методы решения СЛАУ: основные идеи методов, условия примени-мости, вычислительные затраты. Контроль точности решения СЛАУ. Итерационные методы решения СЛАУ: примеры методов, каноническая форма записи одношаговых итерационных методов, условия сходимо-сти, оценка скорости сходимости;
• численное интегрирование и дифференцирование. Квадратурные формулы прямоугольников, трапеции, Симпсона. Погрешность квадра-турных формул, принцип Рунге. Метод неопределенных коэффициентов построения формул численного дифференцирования. Оценка погрешно-сти. Устойчивость формул численного интегрирования и дифференци-рования;
• интерполирование функций. Глобальная интерполяция алгебраи-ческими многочленами (многочлены Лагранжа и Ньютона). Погреш-ность интерполяционных формул, сходимость интерполяционного про-цесса. Интерполирование сплайнами. Локальные и нелокальные кубиче-ские сплайны;
• численное решение задачи Коши для дифференциальных уравне-ний первого порядка: метод Эйлера и его модификации, метод «предик-тор-корректор», методы Рунге-Кутта;
• численное решение уравнения теплопроводности. Основные по-нятия теории разностных схем;

• численное решение двумерных стационарных уравнений в част-ных производных методом установления.
В экзаменационных билетах вопросы по области знаний «Вычисли-тельная математика» объединены с вопросами по дисциплинам «Дифферен-циальные уравнения» и «Уравнения математической физики». Например:
1) Задачи Коши для дифференциальных уравнений первого поряд-ка. Численные методы решения задачи Коши для дифференциальных уравнений первого порядка.
2) Задача о распространении тепла в неограниченном стержне и ее решение методом разделения переменных. Интеграл Пуассона и его вы-числение. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности. чис-ленное решение уравнения теплопроводности. Основные понятия теории разностных схем.
3) Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге методом разделения переменных. Формула Пуассона. Ядро Пуассона и его свой-ства. Численное решение двумерных стационарных уравнений в частных производных методом установления.

 

Приложение В
(справочное)
Карта правильных ответов

1 Этапы вычислительного эксперимента

№ вопроса 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
ответ г б в г б а в а г а в г в в г

2 Численное решение нелинейных уравнений
№ вопроса 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
ответ в б д в а в г в б а в
№ вопроса 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
ответ г в в в а а в б б а б
№ вопроса 23 24 25 26 27 28 29 30 31
ответ в а в б б г г д б

3 Численное решение систем линейных алгебраических уравнений
3.1 Сведения из матричной и векторной алгебры

№ вопроса 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
ответ г а в б а г в а б в б б г г б

3.2 Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений

№ вопроса 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
ответ б в б а д д д в в а а
№ вопроса 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
ответ а б в в а а д б б б в
№ вопроса 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
ответ б в а б а а г б в б в
№ вопроса 34 35 36
ответ в г в

3.3 Итерационные методы решения систем линейных алгебраических урав-нений

№ вопроса 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
ответ г б а г в а д в г д в
№ вопроса 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
ответ а а а а в в д в а д д
№ вопроса 23 24
ответ б г

4 Численное решение систем нелинейных уравнений

№ вопроса 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
ответ б в а а в а в в в в в д

5 Численное решение проблемы собственных значений матриц

№ вопроса 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
ответ а в б б а б в г а в а
№ вопроса 12 13 14 15 16 17 18 19
ответ в в а а б в д а

6 Интерполирование и аппроксимация функций

№ вопроса 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
ответ б а в а в г б б а б в
№ вопроса 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
ответ б г б г б а а а б в

7 Численное интегрирование

№ вопроса 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
ответ г а в в б в в г д в г
№ вопроса 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
ответ в б д г в д г б в д а
№ вопроса 23 24 25 26 27 28 29 30
ответ б д д в а а б в

8 Численное дифференцирование

№ вопроса 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
ответ в а г а д б в а г в б
№ вопроса 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
ответ а б в б а а а в б д г
№ вопроса 23 24 25 26 27 28 29 30 31
ответ д в а в д в б в г

9 Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)

№ вопроса 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
ответ в в г в б а г в а б а
№ вопроса 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
ответ д в а б б б д д а а г
№ вопроса 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
ответ б в а в б а в а в б д
№ вопроса 34
ответ а

10 Численное решение уравнений конвективного переноса

№ вопроса 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
ответ в б б б г в б г б а в
№ вопроса 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
ответ б г д г б а д в г а б
№ вопроса 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
ответ а б в г а г а д г в б
№ вопроса 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
ответ г в а б в а г в г д б
№ вопроса 45 46 47 48 49 50
ответ г д б в г б

 

11 Численное решение модельного уравнения диссипации, конвекции и кине-тики

№ вопроса 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
ответ в г б в в в а г д в г
№ вопроса 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
ответ а б г в б д а д г б г
№ вопроса 23 24 25
ответ в г г

 

 

Скачать: itogovyy_sbornik.doc