Лабораторная работа
Метод наименьших квадратов
Цель: освоить метод аппроксимации функции (МНК).
Задание
Построить точечный график по заданной таблице . Подобрать наиболее подходящие по внешнему виду приближающие функции. Оценить, используя метод наименьших квадратов, какое из приближений лучше. На том же чертеже построить графики рассчитанных приближающих функций.
Варианты заданий:
|
Вариант |
|
||||||
|
1 |
x |
0,0 |
0,5 |
1,0 |
11,5 |
2,0 |
2,5 |
|
|
y |
-13,65 |
-5,77 |
-0,07 |
6,95 |
12,05 |
18,97 |
|
|
x |
3,0 |
3,5 |
4,0 |
4,5 |
5,0 |
5,5 |
|
|
y |
25,67 |
31,57 |
38,44 |
46,20 |
51,33 |
58,83 |
|
2 |
x |
-4,0 |
-3,5 |
-3,0 |
-2,5 |
-2,0 |
-1,5 |
|
|
y |
7,49 |
6,95 |
5,95 |
5,93 |
5,42 |
4,99 |
|
|
x |
-1,0 |
-0,5 |
0,0 |
0,5 |
1,0 |
1,5 |
|
|
y |
4,45 |
3,90 |
3,85 |
2,91 |
2,41 |
1,40 |
|
3 |
x |
-5,0 |
-4,5 |
-4,0 |
-3,5 |
-3,0 |
-2,5 |
|
|
y |
54,98 |
45,52 |
37,00 |
29,53 |
23,00 |
17,53 |
|
|
x |
-2,0 |
-1,5 |
-1,0 |
-0,5 |
0 |
0,5 |
|
|
y |
12,97 |
9,49 |
7,034 |
5,50 |
4,98 |
5,32 |
|
4 |
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
y |
0 |
2,0 |
2,297 |
2,491 |
2,639 |
2,759 |
|
|
x |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
|
|
y |
2,861 |
2,95511 |
3,031 |
3,104 |
3,169 |
3,231 |
|
5 |
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
y |
0 |
10,00 |
14,114 |
17,32 |
20,00 |
22,36 |
|
|
x |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
|
|
y |
24,49 |
26,45 |
28,28 |
30,00 |
31,62 |
33,16 |
|
6 |
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
y |
1,0 |
0,707 |
0,577 |
0,500 |
0,447 |
0,408 |
|
|
x |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
|
y |
0,377 |
0,353 |
0,333 |
0,316 |
0,301 |
0,288 |
|
7 |
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
y |
10 |
9,33 |
8,95 |
8,70 |
8,51 |
8,36 |
|
|
x |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
|
y |
8,23 |
8,12 |
8,03 |
7,94 |
7,86 |
7,80 |
|
8 |
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
y |
-2,00 |
-3,38 |
-4,19 |
-4,77 |
-5,22 |
-5,58 |
|
|
x |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
112 |
|
|
y |
-5,89 |
-6,16 |
-6,39 |
-6,60 |
-6,79 |
-6,96 |
|
9 |
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
y |
5,50 |
5,25 |
5,16 |
5,112 |
5,10 |
5,08 |
|
|
x |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
|
y |
5,07 |
5,07 |
5,05 |
5,05 |
5,04 |
5,04 |
|
10 |
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
y |
0,17 |
0,25 |
0,30 |
0,33 |
0,36 |
0,37 |
|
|
x |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
|
y |
0,39 |
0,40 |
0,41 |
0,42 |
0,42 |
0,43 |
Ход выполнения работы:
Построим приближающую функцию методом наименьших квадратов для зависимости, заданной таблицей 8.1.
|
x |
1,1 |
1,7 |
2,4 |
3,0 |
3,7 |
4,5 |
5,1 |
5,8 |
|
f(x) |
0,3 |
0,6 |
1,1 |
1,7 |
2,3 |
3,0 |
3,8 |
4,6 |
Точечный график изображен на рисунке 8.1
Рисунок 1 – График функции f(x)
Полученный график сравниваем по внешнему виду с графиками, построенными при помощи известных формул. Вид приближающей кривой не очевиден, поэтому рассмотрим два способа приближения заданной функции: в виде прямой и в виде степенной функции Находим значения параметров и m найдем суммы квадратов отклонений
и по их значениям установим какое из двух приближений лучше.
Обозначим
Составим систему:
Проделав необходимые вычисления, получаем:
Т.е. приближающее линейное уравнение запишется в виде
Рассмотрим функцию Обозначим
Решаем систему любым численным методом. Находим параметры c и m степенной функции:
После расчётов получим:
Таким образом, уравнение имеет вид:
Как видно, сумма квадратов абсолютных погрешностей для линейной функции составляет, для степенной функции —
Рисунок 2 – Приближения функции
Видно, что приближение в виде линейной функции в данном случае предпочтительнее.
Скачать: