Контрольная работа по курсу «Эконометрика»
Классическая модель линейной регрессии. Реализация типовых заданий
- Рассчитать параметры линейного уравнения множественной регрессии с полным перечнем факторов по данным о деятельности крупнейших компаний США в 2007 г.
Имеются данные о деятельности 25 крупнейших компаний США (таблица 1.1).
Таблица 1.1 – Исходные данные для проведения корреляционного и регрессионного анализа
|
№ п/п |
Пол руководителя компании |
||||||
|
1 |
2,5 |
38,1 |
5,2 |
16,4 |
29,3 |
1,1 |
муж |
|
2 |
3,3 |
20,2 |
3,7 |
24,8 |
28,9 |
1,9 |
муж |
|
3 |
2,3 |
11,3 |
5 |
9,1 |
27,3 |
0,8 |
муж |
|
4 |
3,3 |
16,8 |
1,2 |
19,2 |
26,9 |
1,2 |
муж |
|
5 |
4,2 |
26,8 |
6 |
40,7 |
25,7 |
1,5 |
муж |
|
6 |
2,9 |
21,8 |
1,5 |
37,1 |
14,9 |
0,2 |
жен |
|
7 |
5,7 |
143 |
27,4 |
133,4 |
25,4 |
2,5 |
муж |
|
8 |
3,2 |
24,7 |
5,5 |
32,8 |
25,2 |
1,2 |
муж |
|
9 |
8,5 |
172,2 |
16,7 |
286,4 |
24,7 |
2,2 |
муж |
|
10 |
2 |
8,8 |
0,3 |
1,5 |
23,7 |
0,9 |
жен |
|
11 |
2,9 |
13,6 |
2,1 |
10,2 |
23,7 |
1,4 |
жен |
|
12 |
3,5 |
33 |
5,2 |
16,3 |
23,4 |
1,7 |
муж |
|
13 |
3,5 |
20,2 |
3,6 |
23,7 |
14,6 |
1,8 |
жен |
|
14 |
3 |
16,6 |
3,4 |
81,4 |
21,5 |
1,2 |
жен |
|
15 |
2 |
26,3 |
3,3 |
40,3 |
21,1 |
1,4 |
жен |
|
16 |
2,4 |
13,6 |
0,8 |
12,8 |
20,5 |
0,1 |
жен |
|
17 |
3,4 |
33,8 |
3,5 |
54,5 |
18,9 |
1 |
муж |
|
18 |
2,5 |
19,2 |
1,8 |
36,8 |
18,2 |
1,6 |
жен |
|
19 |
2,7 |
24,5 |
4,1 |
53,7 |
13,8 |
2 |
жен |
|
20 |
3,5 |
19,5 |
3,2 |
22,7 |
17,7 |
2 |
муж |
|
21 |
0,7 |
28,2 |
0,3 |
50,3 |
17,6 |
1,3 |
муж |
|
22 |
2,9 |
20,3 |
2,3 |
27,1 |
17,6 |
1,7 |
жен |
|
23 |
3,6 |
20,2 |
3,1 |
25,1 |
17,5 |
1,9 |
муж |
|
24 |
2,2 |
11 |
0,4 |
8,8 |
16,3 |
1,2 |
жен |
|
25 |
2,3 |
22,3 |
1,5 |
31 |
15,6 |
1,9 |
жен |
где y – чистый доход, млрд. долл.; x1 – оборот капитала, млрд. долл.; x2 – использованный капитал, млрд. долл.; x3 – численность служащих, тыс. чел.; x4 – рыночная капитализация компаний, млрд. долл.; x5 – заработная плата служащих, тыс. долл.
Построим уравнение множественной линейной регрессии следующего вида:.
Для этого проведем регрессионный анализ данных факторов с помощью табличного редактора МС Excel. В главном меню выберите Сервис/Анализ данных/Регрессия.
Рисунок 1.2 – Результат применения инструмента Регрессия для факторов
Составим уравнение множественной регрессии: .
Коэффициенты регрессии показывают среднее изменение результативного признака с изменением на 1 единицу своего измерения данного фактора при условии постоянства всех остальных.
Таким образом:
1) Коэффициент регрессии при x1 показывает, что с увеличением оборотного капитала на 1 млрд. долл. чистый доход увеличится в среднем на 0,004 млрд. долл., при фиксированном значении остальных факторов.
2) Коэффициент регрессии при x2 показывает, что с увеличением использованного капитала на 1 млрд. долл. чистый доход увеличится в среднем на 0,042 млрд. долл., при фиксированном значении остальных факторов.
3) Коэффициент регрессии при x3 показывает, что с увеличением численности слуащих на 1 млрд. долл. чистый доход увеличится в среднем на 0,014 млрд. долл., при фиксированном значении остальных факторов.
4) Коэффициент регрессии при x4 показывает, что с увеличением рыночной капиталиации компании на 1 млрд. долл. чистый доход увеличится в среднем на 0,038 млрд. долл., при фиксированном значении остальных факторов.
5) Коэффициент регрессии при x5 показывает, что с увеличением заработной платы служащих на 1 млрд. долл. чистый доход увеличится в среднем на 0,32 млрд. долл., при фиксированном значении остальных факторов.
Параметр экономического смысла не имеет.
- Дать сравнительную оценку силы связи факторов с результатом с помощью средних (общих) коэффициентов эластичности.
Средние коэффициенты эластичности показывают, на сколько процентов от значения своей средней изменяется результат при изменении фактора на 1 % от своей средней и при фиксированном воздействии на y всех прочих факторов, включенных в уравнение регрессии. Для линейной зависимости: , где - коэффициент регрессии при в уравнении множественной регрессии.
Рисунок 1.4 – Результат применения инструмента «Описательная статистика»
Здесь ,
,
,
,
.
По значениям средних коэффициентов эластичности можно сделать вывод о более сильном влиянии на результат y признаков факторов и, чем признаков факторов , и .
Таким образом:
1) Средний коэффициент эластичности , показывает, что с увеличением оборотного капитала на 1 %, чистый доход увеличивается в среднем на 0,04 %, при условии, что другие факторы остаются постоянными.
2) Средний коэффициент эластичности , показывает, что с увеличением оборотного капитала на 1 %, чистый доход увеличивается в среднем на 0,06 %, при условии, что другие факторы остаются постоянными.
3) Средний коэффициент эластичности , показывает, что с увеличением оборотного капитала на 1 %, чистый доход увеличивается в среднем на 0,2 %, при условии, что другие факторы остаются постоянными.
4) Средний коэффициент эластичности , показывает, что с увеличением оборотного капитала на 1 %, чистый доход увеличивается в среднем на 0,3 %, при условии, что другие факторы остаются постоянными.
5) Средний коэффициент эластичности , показывает, что с увеличением оборотного капитала на 1 %, чистый доход увеличивается в среднем на 0,14 %, при условии, что другие факторы остаются постоянными.
- Оценить с помощью F-критерия Фишера-Снедекора значимость уравнения линейной регрессии и показателя тесноты связи.
Оценку надежности уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи дает F-критерий Фишера: .
Для проверки значимости уравнения выдвигаем две гипотезы: Н0: уравнение регрессии статистически не значимо; Н1: уравнение регрессии статистически значимо.
По данным таблиц дисперсионного анализа, представленным на рисунке 1.2, =12,56. Вероятность случайно получить такое значение F-критерия составляет 0,0000, что не превышает допустимый уровень значимости 5 %; об этом свидетельствует величина P – значение из этой же таблицы. Следовательно, полученное значение не случайно, оно сформировалось под влиянием существенных факторов, т.е. подтверждается статистическая значимость всего уравнения и показателя тесноты связи .
- Оценить статистическую значимость коэффициентов регрессии с помощью t- критерия Стьюдента.
Выдвигаем две гипотезы: Н0: коэффициенты регрессии статистически не значим, т.е. равны о; Н1: коэффициенты регрессии статистически значимы, т.е. отличны от нуля.
Значения случайных ошибок параметров с учетом округления равны:
Они показывают, какое значение данной характеристики сформировались под влиянием случайных факторов. Эти значения используются для расчета t-критерия Стьюдента: .
Значения t-критерия больше 2,09, можно сделать вывод о существенности параметра, который формируется под воздействием неслучайных причин. Здесь все параметры являются статистически не значимыми.
На это же указывает показатель вероятности случайных значений параметров регрессии: если α меньше принятого нами уровня (обычно 0,1; 0,05 или 0,01), делают вывод о неслучайной природе данного значения параметра, т.е. о том, что он статистически значим и случайной природе значения коэффициентов уравнения.
- Оценить качество уравнения через среднюю ошибку аппроксимации.
Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации по формуле средней арифметической простой:
Таким образом, фактические значения результативного признака отличаются от теоретических значений на 27,16 %. Следовательно, построенная модель является удовлетворительной.
- Рассчитать матрицу парных коэффициентов корреляции и отберите информативные факторы в модели. Укажите коллинеарные факторы.
Значения линейных коэффициентов парной корреляции определяют тесноту попарно связанных переменных, использованных в данном уравнении множественной регрессии.
Парные коэффициенты корреляции рассчитываются по формулам:
; .
Матрицу парных коэффициентов корреляции переменных можно рассчитать, используя инструмент анализа данных Корреляция.
Рисунок 1.6 – Матрица коэффициентов парной корреляции
Из матрицы можно заметить, что факторы и , и мультиколлинеарны, т.к. коэффициенты корреляции превышают 0,75. Таким образом, можно сказать, что они дублируют друг друга.
При отборе факторов в модель предпочтение отдается фактору, который при достаточно тесной связи с результатом имеет наименьшую тесноту связи с другими факторами. В нашем примере получаем, информативными факторами являются: и .
Построим новое уравнение множественной регрессии с информативными факторами.
- Постройть модель в естественной форме только с информативными факторами и оцените ее Построим уравнение множественной линейной регрессии следующего вида: .
Параметры вычисляем аналогично пункту 1 (рисунок 1.7).
Рисунок 1.7 – Результат применения инструмента «Регрессия»
Построим уравнение множественной линейной регрессии следующего вида: .
Получаем уравнение следующего вида: .
Уравнение в целом, а также его параметры являются статистически значимыми.
- Постройть модель в стандартизованном масштабе и проинтерпретируйте ее параметры.
Уравнение в стандартизованном масштабе имеет вид: .
Расчет β – коэффициентов выполним по формулам:
; .
Парные коэффициенты корреляции берутся из матрицы (рисунок 1.6):
;
.
Получим уравнение: .
Стандартизованные коэффициенты регрессии показывают, на сколько сигм изменится в среднем результативный признак, если соответствующий фактор изменится на 1 сигму при неизменном среднем уровне других факторов.
В нашем случае, при увеличении использования капитала на 1 сигму чистый доход увеличится на 0,34 сигм, при условии, что численность служащих остаются на прежнем уровне. Аналогично вывод для .
- Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение факторов составляют 80% от их максимальных значений.
Рассчитаем ожидаемое прогнозное значение чистого дохода как точечный прогноз путем подстановки в уравнение регрессии прогнозные значения факторов:
- найдем максимальное значение для фактора (рисунок 4): ;
- найдем максимальное значение для фактора : ;
- найдем прогнозные значения факторов: для фактора : ; для фактора : ;
- подставим прогнозные значения факторов в уравнение: .
В результате получим: 05.
Таким образом, при прогнозных значениях использованного капитала 22 млдр. долл. и численности служащих 229,1 тыс. чел. чистый доход крупнейших компаний США составит 7,47 млрд. долл.
- Рассчитать ошибки и доверительный интервал прогноза для уровня значимости .
Доверительный интервал прогноза имеет следующий вид: где - средняя ошибка прогнозируемого значения ; - вектор-столбец прогнозных значений факторов; - стандартная ошибка .
Рассчитаем доверительный интервал прогноза по следующим этапам:
- составим вектор-столбец:
|
|
1 |
5,2 |
16,4 |
|
|
1 |
3,7 |
24,8 |
|
|
1 |
5 |
9,1 |
|
|
1 |
1,2 |
19,2 |
|
|
1 |
6 |
40,7 |
|
|
1 |
1,5 |
37,1 |
|
|
1 |
27,4 |
133,4 |
|
|
1 |
5,5 |
32,8 |
|
|
1 |
16,7 |
286,4 |
|
|
1 |
0,3 |
1,5 |
|
|
1 |
2,1 |
10,2 |
|
|
1 |
5,2 |
16,3 |
|
Х= |
1 |
3,6 |
23,7 |
|
|
1 |
3,4 |
81,4 |
|
|
1 |
3,3 |
40,3 |
|
|
1 |
0,8 |
12,8 |
|
|
1 |
3,5 |
54,5 |
|
|
1 |
1,8 |
36,8 |
|
|
1 |
4,1 |
53,7 |
|
|
1 |
3,2 |
22,7 |
|
|
1 |
0,3 |
50,3 |
|
|
1 |
2,3 |
27,1 |
|
|
1 |
3,1 |
25,1 |
|
|
1 |
0,4 |
8,8 |
|
|
1 |
1,5 |
31 |
- найдем транспонируемый вектор-столбец:.
- из рисунка 4
- найдем стандартную ошибку
- составим матрицу X - 25 наблюдаемых значений независимых переменных и , размер которой 253 (добавлен единичный столбец для определения a0):
1
0,8*х2 max
0,8*x3 max
- найдем произведение :
|
|
25 |
111,1 |
1096,1 |
|
Хт*Х= |
111,1 |
1292,85 |
10530,86 |
|
|
1096,1 |
10530,86 |
127345,49 |
|
|
|
|
|
|
А = |
4226513323 |
|
|
- найдем
|
|
1295,85 |
10530,86 |
|
|
111,1 |
1056,1 |
|
|
111,1 |
1292 |
|
|
25* |
|
|
- |
111,1* |
|
|
+ |
1096,1* |
|
|
= 4226513323 |
|
|
1096,1 |
127345,5 |
|
|
1096,1 |
127345,5 |
|
|
1096,1 |
10530,86 |
|
- j. по таблицам распределения Стьюдента находим табличное значение при уровне значимости 0,05 и числе степеней свободы 22:
- k. составляем доверительный интервал:.
Значит, с вероятность 95 % можно сказать, что чистый доход будет колебаться от до 8,61 млрд. долл. при использованном капитале в 21,92 млрд. долл. и численности служащих 229,12 тыс. чел.
- По проделанной работе можно сделать следующие выводы:
При проведение регрессионного анализа коэффициенты при х1(х2,х3,х4,х5) показали, что с увеличением оборотного капитала на 1 млрд. долл. чистый доход увеличился в среднем на 0,04 млрд. долл., а параметры линейного уравнения множественной регрессии не имеют смысла.
При сравнительной оценке силы связи факторов с результатом по значениям средних коэффициентов эластичности можно сделать вывод о больном сильном влиянии на рез-т у признаков факторов х4 (0,254) и х5 (0,145),чем признаков факторов х1, х2, х3. Коэффициент эластичности показал, что с увеличением оборотного капитала на 1 % чистый доход увеличится на 0,04 % при условии, что другие факторы постоянны.
Оценка значимости уравнения линейной регрессии и показатель тесноты связи полученные с помощью F-критерия Фишера-Снедекора равна 12,56. Полученное значение не случайно, оно сформировалось под влиянием существенных факторов, то есть подтверждается значимость всего уравнения и показателя тесноты связи.
При оценке стат. значимости коэфф. значение t-критерия Стьюдента больше 2,09,отсюда вывод о существенности параметра, который формируется под воздействием неслучайных причин, все параметры статистически не значимы.
Средняя ошибка аппроксимации рассчитанная по формуле средней арифметической простой равна 27,16, и сл-но построенная модель является удовлетворительной (фактические значения результативного признака отличаются от теор. значения).
При расчете матрицы парных коэффициентов корреляции коэфф. корреляции превысили 0,75, то есть факторы х1 и х2, х1 и х3 мультиколлинеарны и они дублируют друг друга.
Построенное уравнение множественной регрессии с информативными факторами (в нашем случае х2 и х3), а также его параметры статистически значимы.
При построении модели в стандартизованном масштабе коэффициенты регрессии показали,что при увеличении использования капитала на 1 сигму чистый доход увеличится на 0,34 сигм, при условии, что численность служащих остаются на прежнем уровне. Аналогично вывод для .
Ожидаемое прогнозное значение чистого дохода равно 7,4705 при значениях использованного капитала в 21,92 млрд. долл. И численности служащих 229,12 тыс. чел.
Лабораторная работа № 2
Регрессионные модели с переменной структурой
Задание По данным лабораторной работы 1:
1 Оцените линейную регрессию, включив в модель фиктивную переменную
2 Проверти данные на наличие структурного сдвига при помощи теста Чоу.
Реализация типовых заданий
Задание 1 По исходным данным из лабораторной работы №1, включив фиктивную переменную (таблица 2.1), построим матрицу парных коэффициентов корреляции (таблица 2.2).
Таблица 2.1 – Исходные данные для построения объединенной модели с фиктивными переменными
|
№ п/п |
Пол руководителя компании |
D |
||||||
|
1 |
2,5 |
38,1 |
5,2 |
16,4 |
29,3 |
1,1 |
муж |
1 |
|
2 |
3,3 |
20,2 |
3,7 |
24,8 |
28,9 |
1,9 |
муж |
1 |
|
3 |
2,3 |
11,3 |
5 |
9,1 |
27,3 |
0,8 |
муж |
1 |
|
4 |
3,3 |
16,8 |
1,2 |
19,2 |
26,9 |
1,2 |
муж |
1 |
|
5 |
4,2 |
26,8 |
6 |
40,7 |
25,7 |
1,5 |
муж |
1 |
|
6 |
2,9 |
21,8 |
1,5 |
37,1 |
14,9 |
0,2 |
жен |
0 |
|
7 |
5,7 |
143 |
27,4 |
133,4 |
25,4 |
2,5 |
муж |
1 |
|
8 |
3,2 |
24,7 |
5,5 |
32,8 |
25,2 |
1,2 |
муж |
1 |
|
9 |
8,5 |
172,2 |
16,7 |
286,4 |
24,7 |
2,2 |
муж |
1 |
|
10 |
2 |
8,8 |
0,3 |
1,5 |
23,7 |
0,9 |
жен |
0 |
|
11 |
2,9 |
13,6 |
2,1 |
10,2 |
23,7 |
1,4 |
жен |
0 |
|
12 |
3,5 |
33 |
5,2 |
16,3 |
23,4 |
1,7 |
муж |
1 |
|
13 |
3,5 |
20,2 |
3,6 |
23,7 |
14,6 |
1,8 |
жен |
0 |
|
14 |
3 |
16,6 |
3,4 |
81,4 |
21,5 |
1,2 |
жен |
0 |
|
15 |
2 |
26,3 |
3,3 |
40,3 |
21,1 |
1,4 |
жен |
0 |
|
16 |
2,4 |
13,6 |
0,8 |
12,8 |
20,5 |
0,1 |
жен |
0 |
|
17 |
3,4 |
33,8 |
3,5 |
54,5 |
18,9 |
1 |
муж |
1 |
|
18 |
2,5 |
19,2 |
1,8 |
36,8 |
18,2 |
1,6 |
жен |
0 |
|
19 |
2,7 |
24,5 |
4,1 |
53,7 |
13,8 |
2 |
жен |
0 |
|
20 |
3,5 |
19,5 |
3,2 |
22,7 |
17,7 |
2 |
муж |
1 |
|
21 |
0,7 |
28,2 |
0,3 |
50,3 |
17,6 |
1,3 |
муж |
1 |
|
22 |
2,9 |
20,3 |
2,3 |
27,1 |
17,6 |
1,7 |
жен |
0 |
|
23 |
3,6 |
20,2 |
3,1 |
25,1 |
17,5 |
1,9 |
муж |
1 |
|
24 |
2,2 |
11 |
0,4 |
8,8 |
16,3 |
1,2 |
жен |
0 |
|
25 |
2,3 |
22,3 |
1,5 |
31 |
15,6 |
1,9 |
жен |
0 |
|
Итого |
79 |
806 |
111,1 |
1096,1 |
530 |
35,7 |
- |
- |
где y – чистый доход, млрд. долл.; x1 – оборот капитала, млрд. долл.; x2 – использованный капитал, млрд. долл.; x3 – численность служащих, тыс. чел.; x4 – рыночная капитализация компаний, млрд. долл.; x5 – заработная плата служащих, тыс. долл.
Таблица 2.2 - Матрица парных коэффициентов корреляции по объединенной подвыборке
|
|
y |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
d |
|
y |
1,00 |
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
0,85 |
1,00 |
|
|
|
|
|
|
x2 |
0,76 |
0,90 |
1,00 |
|
|
|
|
|
x3 |
0,83 |
0,91 |
0,71 |
1,00 |
|
|
|
|
x4 |
0,27 |
0,25 |
0,35 |
0,12 |
1,00 |
|
|
|
x5 |
0,50 |
0,50 |
0,54 |
0,43 |
-0,03 |
1,00 |
|
|
d |
0,38 |
0,36 |
0,40 |
0,23 |
0,57 |
0,25 |
1,00 |
По матрице коэффициентов корреляции видно, что фиктивная переменная не коллинеарна с отобранными в лабораторной работе №1 факторными переменными х2 и х3 (соответствующие коэффициенты составили 0,40 и 0,23). Следовательно можно построить модель множественной регрессии, включив эти факторы. Результаты регрессионного анализа представлены в таблице 2.3.
Модель примет вид: . Уравнение регрессии значимо по F – критерию на 5% уровне значимости. Оно показывает, что при одном и том же объеме использованного капитала и численности служащих, у предприятий руководителями которых являются мужчины, чистый доход больше в среднем на 0,522 млрд. долл., чем у остальных компаний. Однако, коэффициент при D статистически незначим (уровень значимости составил 0,118 > 0,05). Следовательно, влияние фактора «пол» оказалось несущественно, и есть основание считать, что модель одна и та же для компаний с руководителями мужчинами и женщинами.
Таблица 2.3 – Вывод итогов регрессионного анализа
|
Регрессионная статистика |
|
|
Множественный R |
0,873 |
|
R-квадрат |
0,761 |
|
Нормированный R-квадрат |
0,727 |
|
Стандартная ошибка |
0,752 |
|
Наблюдения |
25,000 |
|
Дисперсионный анализ |
|||||
|
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|
Регрессия |
3,000 |
37,856 |
12,619 |
22,337 |
0,000 |
|
Остаток |
21,000 |
11,864 |
0,565 |
||
|
Итого |
24,000 |
49,720 |
|
||
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t - статистика |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
|
2,00 |
0,23 |
8,62 |
0,00 |
1,52 |
2,49 |
|
|
0,35 |
0,33 |
1,05 |
0,31 |
-0,34 |
1,03 |
|
|
0,07 |
0,04 |
1,80 |
0,09 |
-0,01 |
0,16 |
|
|
0,01 |
0,00 |
3,90 |
0,00 |
0,01 |
0,02 |
Задание 2. Используя критерий Г. Чоу, выясним, можно ли считать одной и той же линейную регрессию для компаний с руководителями мужчинами и женщинами.
По 13 наблюдениям для компаний, руководителями которых являются мужчины, построим уравнение регрессии от факторов х2 и х3. Исходные данные представлены в таблице 2.4.
Таблица 2.4 – Исходные данные для построения модели по первой подвыборке (руководитель компании – мужчина)
|
№ п.п. |
№ предприятия |
y |
x2 |
x3 |
||
|
1 |
1 |
2,5 |
5,2 |
16,4 |
2,9 |
0,177 |
|
2 |
2 |
3,3 |
3,7 |
24,8 |
3,0 |
0,116 |
|
3 |
3 |
2,3 |
5 |
9,1 |
2,8 |
0,242 |
|
4 |
4 |
3,3 |
1,2 |
19,2 |
2,7 |
0,348 |
|
5 |
5 |
4,2 |
6 |
40,7 |
3,4 |
0,704 |
|
6 |
7 |
5,7 |
27,4 |
133,4 |
6,2 |
0,264 |
|
7 |
8 |
3,2 |
5,5 |
32,8 |
3,2 |
0,000 |
|
8 |
9 |
8,5 |
16,7 |
286,4 |
8,0 |
0,273 |
|
9 |
12 |
3,5 |
5,2 |
16,3 |
2,9 |
0,337 |
|
10 |
17 |
3,4 |
3,5 |
54,5 |
3,4 |
0,000 |
|
11 |
20 |
3,5 |
3,2 |
22,7 |
2,9 |
0,367 |
|
12 |
21 |
0,7 |
0,3 |
50,3 |
3,2 |
6,003 |
|
13 |
23 |
3,6 |
3,1 |
25,1 |
2,9 |
0,454 |
|
Итого |
- |
47,7 |
- |
- |
47,449 |
9,286 |
Результаты регрессионного анализа представлены в таблице 2.5.
Таблица 2.5 – Вывод итогов регрессионного анализа по первой подвыборке
|
Регрессионная статистика |
|
|
Множественный R |
0,878 |
|
R-квадрат |
0,771 |
|
Нормированный R-квадрат |
0,725 |
|
Стандартная ошибка |
0,963 |
|
Наблюдения |
13,000 |
Дисперсионный анализ
|
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|
Регрессия |
2,000 |
31,156 |
15,578 |
16,802 |
0,001 |
|
Остаток |
10,000 |
9,272 |
0,927 |
||
|
Итого |
12,000 |
40,428 |
|
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
|
2,326 |
0,368 |
6,323 |
0,000 |
1,506 |
3,146 |
|
|
0,064 |
0,053 |
1,208 |
0,255 |
-0,054 |
0,181 |
|
|
0,016 |
0,005 |
3,215 |
0,009 |
0,005 |
0,028 |
Уравнение примет вид: . Расчетные значения по нему представлены в таблице 2.5, графа 6.
Построим модель регрессии по 12 предприятиям руководителями, которых являются женщины (исходные данные представлены в таблице 2.6).
Таблица 2.6 – Исходные данные для построения модели для второй подвыборке (руководитель компании – женщина)
|
№ п.п. |
№ предприятия |
y |
x2 |
x3 |
||
|
1 |
6 |
2,9 |
1,5 |
37,1 |
2,449 |
0,204 |
|
2 |
10 |
2 |
0,3 |
1,5 |
2,284 |
0,081 |
|
3 |
11 |
2,9 |
2,1 |
10,2 |
2,665 |
0,055 |
|
4 |
13 |
3,5 |
3,6 |
23,7 |
2,964 |
0,288 |
Продолжение таблицы 2.6
|
5 |
14 |
3 |
3,4 |
81,4 |
2,745 |
0,065 |
|
6 |
15 |
2 |
3,3 |
40,3 |
2,846 |
0,716 |
|
7 |
16 |
2,4 |
0,8 |
12,8 |
2,363 |
0,001 |
|
8 |
18 |
2,5 |
1,8 |
36,8 |
2,517 |
0,000 |
|
9 |
19 |
2,7 |
4,1 |
53,7 |
2,987 |
0,082 |
|
10 |
22 |
2,9 |
2,3 |
27,1 |
2,660 |
0,058 |
|
11 |
24 |
2,2 |
0,4 |
8,8 |
2,285 |
0,007 |
|
12 |
25 |
2,3 |
1,5 |
31 |
2,467 |
0,028 |
|
Итого |
- |
31,3 |
- |
- |
31,231 |
1,585 |
Результаты регрессионного анализа представлены в таблице 2.7.
Таблица 2.7 – Вывод итогов регрессионного анализа по второй подвыборке
Регрессионная статистика
|
Множественный R |
0,549 |
|
R-квадрат |
0,302 |
|
Нормированный R-квадрат |
0,147 |
|
Стандартная ошибка |
0,420 |
|
Наблюдения |
12,000 |
Дисперсионный анализ
|
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|
Регрессия |
2,000 |
0,685 |
0,343 |
1,946 |
0,198 |
|
Остаток |
9,000 |
1,584 |
0,176 |
||
|
Итого |
11,000 |
2,269 |
|
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
|
2,221 |
0,243 |
9,152 |
0,000 |
1,672 |
2,770 |
|
|
0,226 |
0,139 |
1,627 |
0,138 |
-0,088 |
0,540 |
|
|
-0,003 |
0,008 |
-0,349 |
0,735 |
-0,021 |
0,015 |
Модель регрессии примет вид: . Теоретические значения по уравнению представлены в графе 6 таблицы 2.6.
По всем 25 предприятиям (таблица 2.8) рассчитаем уравнение регрессии для объединенной выборки.
Результаты регрессионного анализа представлены в таблице 2.9.
Таблица 2.8 – Исходные данные для построения объединенной модели с фиктивными переменными
|
№ предприятия |
y |
x2 |
x3 |
||
|
1 |
2,5 |
5,2 |
16,4 |
2,83 |
0,110 |
|
2 |
3,3 |
3,7 |
24,8 |
2,83 |
0,223 |
|
3 |
2,3 |
5 |
9,1 |
2,71 |
0,164 |
|
4 |
3,3 |
1,2 |
19,2 |
2,53 |
0,598 |
|
5 |
4,2 |
6 |
40,7 |
3,27 |
0,871 |
|
6 |
2,9 |
1,5 |
37,1 |
2,82 |
0,006 |
|
7 |
5,7 |
27,4 |
133,4 |
6,52 |
0,670 |
|
8 |
3,2 |
5,5 |
32,8 |
3,10 |
0,009 |
|
9 |
8,5 |
16,7 |
286,4 |
7,88 |
0,381 |
|
10 |
2 |
0,3 |
1,5 |
2,18 |
0,033 |
|
11 |
2,9 |
2,1 |
10,2 |
2,47 |
0,185 |
|
12 |
3,5 |
5,2 |
16,3 |
2,83 |
0,448 |
|
13 |
3,5 |
3,6 |
23,7 |
2,80 |
0,486 |
|
14 |
3 |
3,4 |
81,4 |
3,65 |
0,424 |
|
15 |
2 |
3,3 |
40,3 |
3,03 |
1,052 |
|
16 |
2,4 |
0,8 |
12,8 |
2,40 |
0,000 |
|
17 |
3,4 |
3,5 |
54,5 |
3,26 |
0,021 |
|
18 |
2,5 |
1,8 |
36,8 |
2,84 |
0,117 |
|
19 |
2,7 |
4,1 |
53,7 |
3,30 |
0,355 |
|
20 |
3,5 |
3,2 |
22,7 |
2,75 |
0,558 |
|
21 |
0,7 |
0,3 |
50,3 |
2,91 |
4,904 |
|
22 |
2,9 |
2,3 |
27,1 |
2,74 |
0,025 |
|
23 |
3,6 |
3,1 |
25,1 |
2,78 |
0,672 |
|
24 |
2,2 |
0,4 |
8,8 |
2,30 |
0,010 |
|
25 |
2,3 |
1,5 |
31 |
2,73 |
0,184 |
|
Итого |
79 |
111,1 |
1096,1 |
79 |
12,510 |
Модель примет вид: . Теоретические значения по данной модели представлены в графе 5 таблицы 2.8.
Таблица 2.9 – Вывод итогов регрессионного анализа по всей совокупности
|
Регрессионная статистика |
|
|
Множественный R |
0,865 |
|
R-квадрат |
0,749 |
|
Нормированный R-квадрат |
0,726 |
|
Стандартная ошибка |
0,753 |
|
Наблюдения |
25,000 |
Дисперсионный анализ
|
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|
Регрессия |
2,000 |
37,233 |
18,616 |
32,798 |
0,000 |
|
Остаток |
22,000 |
12,510 |
0,568 |
||
|
Итого |
24,000 |
49,720 |
|
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
|
2,134 |
0,197 |
10,813 |
0,000 |
1,725 |
2,543 |
|
|
0,087 |
0,038 |
2,304 |
0,031 |
0,009 |
0,166 |
|
|
0,015 |
0,004 |
3,818 |
0,001 |
0,007 |
0,022 |
Рассчитываем F- критерий по формуле:
, где - сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от теоретических для объединенной выборки (таблица 2.8, итог графы 6);
- сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от расчетных для первой подвыборки (таблица 2.4, итог графы 7);
- сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от расчетных для второй подвыборки (таблица 2.6, итог графы 7).
Табличное значение критерия Фишера составило 3,13. Так как расчетное значение критерия меньше табличного, то влияние фактора «пол» несущественно, и в качестве оценки регрессионной модели можно рассматривать уравнение регрессии, полученное по объединенной выборке.
Лабораторная работа № 2
Регрессионные модели с переменной структурой
Реализация типовых заданий
Задание 1. По исходным данным из лабораторной работы №1, включив фиктивную переменную (таблица 1.1), построим матрицу парных коэффициентов корреляции (таблица 2.2).
Таблица 2.2 - Матрица парных коэффициентов корреляции по объединенной подвыборке
По матрице коэффициентов корреляции видно, что фиктивная переменная не коллинеарна с отобранными в лабораторной работе №1 факторными переменными х2 и х3 (соответствующие коэффициенты составили 0,36 и 0,18). Следовательно можно построить модель множественной регрессии, включив эти факторы. Результаты регрессионного анализа представлены в таблице 2.3.
Модель примет вид: . Уравнение регрессии значимо по F – критерию на 5% уровне значимости. Оно показывает, что при одном и том же объеме использованного капитала и численности служащих, у предприятий руководителями которых являются мужчины, чистый доход больше в среднем на 0,522 млрд. долл., чем у остальных компаний. Однако, коэффициент при D статистически незначим (уровень значимости составил 0,118 > 0,05). Следовательно, влияние фактора «пол» оказалось несущественно, и есть основание считать, что модель одна и та же для компаний с руководителями мужчинами и женщинами.
Таблица 2.3 – Вывод итогов регрессионного анализа
|
Регрессионная статистика |
|
|
Множественный R |
0,881 |
|
R-квадрат |
0,777 |
|
Нормированный R-квадрат |
0,745 |
|
Стандартная ошибка |
0,727 |
|
Наблюдения |
25 |
|
Дисперсионный анализ |
|||||
|
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|
Регрессия |
3 |
38,633 |
12,878 |
24,391 |
0,000 |
|
Остаток |
21 |
11,087 |
0,528 |
||
|
Итого |
24 |
49,72 |
|
||
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t - статистика |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
|
1,877 |
0,244 |
7,687 |
0,000 |
1,369 |
2,385 |
|
|
0,522 |
0,321 |
1,628 |
0,118 |
-0,145 |
1,190 |
|
|
0,066 |
0,039 |
1,691 |
0,106 |
-0,015 |
0,147 |
|
|
0,015 |
0,004 |
4,125 |
0,000 |
0,008 |
0,023 |
Задание 2. Используя критерий Г. Чоу, выясним, можно ли считать одной и той же линейную регрессию для компаний с руководителями мужчинами и женщинами.
По 15 наблюдениям для компаний, руководителями которых являются мужчины, построим уравнение регрессии от факторов х2 и х3. Исходные данные представлены в таблице 2.4.
Таблица 2.4 – Исходные данные для построения модели по первой подвыборке (руководитель компании – мужчина)
|
№ п.п. |
№ предприятия |
y |
x2 |
x3 |
||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
1 |
1 |
2,5 |
5,3 |
16,5 |
3,0 |
0,219 |
|
2 |
2 |
3,3 |
3,8 |
24,9 |
3,0 |
0,084 |
|
3 |
3 |
2,3 |
5,1 |
9,2 |
2,8 |
0,288 |
|
4 |
4 |
3,3 |
1,3 |
19,3 |
2,8 |
0,289 |
|
5 |
5 |
4,2 |
6,1 |
40,8 |
3,4 |
0,620 |
|
6 |
7 |
5,7 |
27,5 |
133,5 |
6,3 |
0,314 |
|
7 |
8 |
3,2 |
5,6 |
32,9 |
3,3 |
0,003 |
|
8 |
9 |
8,5 |
16,8 |
286,5 |
8,1 |
0,183 |
|
9 |
12 |
3,5 |
5,3 |
16,4 |
3,0 |
0,285 |
|
10 |
13 |
3,5 |
3,7 |
23,8 |
3,0 |
0,264 |
Продолжение таблицы 2.4
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
11 |
17 |
3,4 |
3,6 |
54,6 |
3,5 |
0,006 |
|
12 |
20 |
3,5 |
3,3 |
22,8 |
2,9 |
0,308 |
|
13 |
21 |
0,7 |
0,4 |
50,4 |
3,2 |
6,304 |
|
14 |
22 |
2,9 |
2,4 |
27,2 |
3,0 |
0,004 |
|
15 |
23 |
3,6 |
3,2 |
25,2 |
3,0 |
0,388 |
|
Итого |
54,1 |
- |
- |
54,1 |
9,559 |
|
Результаты регрессионного анализа представлены в таблице 2.5.
Таблица 2.5 – Вывод итогов регрессионного анализа по первой подвыборке
|
Регрессионная статистика |
|
|
Множественный R |
0,876 |
|
R-квадрат |
0,767 |
|
Нормированный R-квадрат |
0,728 |
|
Стандартная ошибка |
0,892 |
|
Наблюдения |
15 |
Дисперсионный анализ
|
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|
Регрессия |
2 |
31,431 |
15,715 |
19,730 |
0,000 |
|
Остаток |
12 |
9,559 |
0,797 |
||
|
Итого |
14 |
40,989 |
|
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
|
2,368 |
0,316 |
7,493 |
0,000 |
1,679 |
3,056 |
|
|
0,063 |
0,048 |
1,297 |
0,219 |
-0,043 |
0,168 |
|
|
0,016 |
0,005 |
3,441 |
0,005 |
0,006 |
0,027 |
Уравнение примет вид: . Расчетные значения по нему представлены в таблице 2.5, графа 6.
Построим модель регрессии по 10 предприятиям руководителями, которых являются женщины (исходные данные представлены в таблице 2.6).
Таблица 2.6 – Исходные данные для построения модели для второй подвыборке (руководитель компании – женщина)
|
№ п.п. |
№ предприятия |
y |
x2 |
x3 |
||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
1 |
6 |
2,9 |
1,6 |
37,2 |
2,5 |
0,133 |
|
2 |
10 |
2 |
0,4 |
1,6 |
2,3 |
0,063 |
|
3 |
11 |
2,9 |
2,2 |
10,3 |
2,3 |
0,333 |
|
4 |
14 |
3 |
3,5 |
81,5 |
2,9 |
0,013 |
Продолжение таблицы 2.6
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
5 |
15 |
2 |
3,4 |
40,4 |
2,6 |
0,316 |
|
6 |
16 |
2,4 |
0,9 |
12,9 |
2,3 |
0,003 |
|
7 |
18 |
2,5 |
1,9 |
36,9 |
2,5 |
0,001 |
|
8 |
19 |
2,7 |
4,2 |
53,8 |
2,7 |
0,001 |
|
9 |
24 |
2,2 |
0,5 |
8,9 |
2,3 |
0,012 |
|
10 |
25 |
2,3 |
1,6 |
31,1 |
2,5 |
0,035 |
|
Итого |
24,9 |
- |
- |
24,9 |
0,911 |
|
Результаты регрессионного анализа представлены в таблице 2.7.
Таблица 2.7 – Вывод итогов регрессионного анализа по второй подвыборке
Регрессионная статистика
|
Множественный R |
0,520 |
|
R-квадрат |
0,271 |
|
Нормированный R-квадрат |
0,062 |
|
Стандартная ошибка |
0,361 |
|
Наблюдения |
10 |
Дисперсионный анализ
|
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|
Регрессия |
2 |
0,338 |
0,169 |
1,298 |
0,331 |
|
Остаток |
7 |
0,911 |
0,130 |
||
|
Итого |
9 |
1,249 |
|
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
|
2,239 |
0,218 |
10,272 |
0,000 |
1,723 |
2,754 |
|
|
0,001 |
0,156 |
0,009 |
0,993 |
-0,367 |
0,370 |
|
|
0,008 |
0,008 |
0,943 |
0,377 |
-0,012 |
0,028 |
Модель регрессии примет вид: . Теоретические значения по уравнению представлены в графе 6 таблицы 2.6.
По всем 25 предприятиям (таблица 2.8) рассчитаем уравнение регрессии для объединенной выборки.
Результаты регрессионного анализа представлены в таблице 2.9.
Таблица 2.8 – Исходные данные для построения объединенной модели с фиктивными переменными
|
№ предприятия |
y |
x2 |
x3 |
||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
1 |
2,5 |
5,3 |
16,5 |
2,8 |
0,107 |
|
2 |
3,3 |
3,8 |
24,9 |
2,8 |
0,232 |
|
3 |
2,3 |
5,1 |
9,2 |
2,7 |
0,163 |
|
4 |
3,3 |
1,3 |
19,3 |
2,5 |
0,611 |
|
5 |
4,2 |
6,1 |
40,8 |
3,3 |
0,902 |
|
6 |
2,9 |
1,6 |
37,2 |
2,8 |
0,009 |
|
7 |
5,7 |
27,5 |
133,5 |
6,5 |
0,590 |
|
8 |
3,2 |
5,6 |
32,9 |
3,1 |
0,012 |
|
9 |
8,5 |
16,8 |
286,5 |
7,8 |
0,550 |
|
10 |
2 |
0,4 |
1,6 |
2,2 |
0,033 |
|
11 |
2,9 |
2,2 |
10,3 |
2,5 |
0,188 |
|
12 |
3,5 |
5,3 |
16,4 |
2,8 |
0,455 |
|
13 |
3,5 |
3,7 |
23,8 |
2,8 |
0,499 |
|
14 |
3 |
3,5 |
81,5 |
3,6 |
0,378 |
|
15 |
2 |
3,4 |
40,4 |
3,0 |
1,017 |
|
16 |
2,4 |
0,9 |
12,9 |
2,4 |
0,000 |
|
17 |
3,4 |
3,6 |
54,6 |
3,2 |
0,028 |
|
18 |
2,5 |
1,9 |
36,9 |
2,8 |
0,107 |
|
19 |
2,7 |
4,2 |
53,8 |
3,3 |
0,329 |
|
20 |
3,5 |
3,3 |
22,8 |
2,7 |
0,572 |
|
21 |
0,7 |
0,4 |
50,4 |
2,9 |
4,804 |
|
22 |
2,9 |
2,4 |
27,2 |
2,7 |
0,029 |
|
23 |
3,6 |
3,2 |
25,2 |
2,8 |
0,689 |
|
24 |
2,2 |
0,5 |
8,9 |
2,3 |
0,009 |
|
25 |
2,3 |
1,6 |
31,1 |
2,7 |
0,173 |
|
Итого |
79 |
113,6 |
1098,6 |
79 |
12,487 |
Модель примет вид: . Теоретические значения по данной модели представлены в графе 5 таблицы 2.8.
Таблица 2.9 – Вывод итогов регрессионного анализа по всей совокупности
|
Регрессионная статистика |
|
|
Множественный R |
0,865 |
|
R-квадрат |
0,749 |
|
Нормированный R-квадрат |
0,726 |
|
Стандартная ошибка |
0,753 |
|
Наблюдения |
25 |
Дисперсионный анализ
|
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|
Регрессия |
2 |
37,233 |
18,616 |
32,798 |
0,000 |
|
Остаток |
22 |
12,487 |
0,568 |
||
|
Итого |
24 |
49,720 |
|
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
|
2,124 |
0,198 |
10,704 |
0,000 |
1,712 |
2,535 |
|
|
0,087 |
0,038 |
2,304 |
0,031 |
0,009 |
0,166 |
|
|
0,015 |
0,004 |
3,818 |
0,001 |
0,007 |
0,022 |
Рассчитываем F- критерий по формуле:
,
где - сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от теоретических для объединенной выборки (таблица 2.8, итог графы 6);
- сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от расчетных для первой подвыборки (таблица 2.4, итог графы 7);
- сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от расчетных для второй подвыборки (таблица 2.6, итог графы 7).
Табличное значение критерия Фишера составило 3,127. Так как расчетное значение критерия меньше табличного, то влияние фактора «пол» несущественно, и в качестве оценки регрессионной модели можно рассматривать уравнение регрессии, полученное по объединенной выборке.
Лабораторная работа № 3
Нарушения допущений классической модели
линейной регрессии
Задания
- Проведите графический анализ остатков. Проверьте остатки на гетероскедастичность с помощью:
- графического анализа,
- теста Голдфелда-Квандта,
- теста ранговой корреляции Спирмена,
- теста Уайта (White test).
- Если будет обнаружена гетероскедастичность остатков, примените для исходных данных ОМНК, предполагая, что .
- Проверить остатки на наличие автокорреляции первого порядка, используя метод рядов, критерий Дарбина – Уотсона и Q- статистику Льюинга – Бокса. Если гипотеза об отсутствии автокорреляции первого порядка не будет отвергнута, то применить ОМНК для оценивания параметров уравнения регрессии.
Реализация типовых заданий
- Провести графический анализ остатков
В лабораторной работе № 1 выявили, что на чистый доход (y) предприятий оказывают влияния такие факторы, как использованный капитал (x2) и численность служащих (x3).
Для нахождения остатков можно воспользоваться инструментом анализа данных Регрессия. Порядок действий следующий:
а) в главном меню выберите Сервис/Анализ данных/Регрессия. Щелкните по кнопке ОК;
б) заполните диалоговое окно ввода данных и параметров ввода как показано на рисунке 3.1:
Входной интервал Y – диапазон, содержащий данные результативного признака;
Входной интервал Х – диапазон, содержащий данные всех пяти факторов;
Метки – флажок, который указывает, содержит ли первая строка названия столбцов или нет;
Константа – ноль – флажок, указывающий на наличие или отсутствие свободного члена в уравнении;
Выходной интервал – достаточно указать левую верхнюю ячейку будущего диапазона;
Новый рабочий лист - можно задать произвольное имя нового листа;
Остаток - флажок, указывает вывод остатков и теоретические значения результативного признака.
Рисунок 3.1 – Регрессия с остатками
Результаты регрессионного и корреляционного анализа, а также вспомогательные характеристики представлены на рисунке 3.2.
|
ВЫВОД ОСТАТКА |
|
|
|
|
|
|
|
Наблюдение |
Предсказанное Y |
Остатки |
|
1 |
2,826964 |
-0,32696 |
|
2 |
2,81806 |
0,48194 |
|
3 |
2,703333 |
-0,40333 |
|
4 |
2,518199 |
0,781801 |
|
5 |
3,250229 |
0,949771 |
|
6 |
2,80471 |
0,09529 |
|
7 |
6,467996 |
-0,768 |
|
8 |
3,091662 |
0,108338 |
|
9 |
7,758046 |
0,741954 |
|
10 |
2,182173 |
-0,18217 |
|
11 |
2,465955 |
0,434045 |
|
12 |
2,825509 |
0,674491 |
|
13 |
2,793327 |
0,706673 |
|
14 |
3,614922 |
-0,61492 |
|
15 |
3,008511 |
-1,00851 |
|
16 |
2,390182 |
0,009818 |
|
17 |
3,232481 |
0,167519 |
|
18 |
2,826559 |
-0,32656 |
|
19 |
3,27327 |
-0,57327 |
|
20 |
2,743836 |
0,756164 |
|
21 |
2,891819 |
-2,19182 |
|
22 |
2,729187 |
0,170813 |
|
23 |
2,77 |
0,83 |
|
24 |
2,297066 |
-0,09707 |
|
25 |
2,716004 |
-0,416 |
Рисунок 3.2 – Вывод остатков
Проверим остатки полученного уравнения регрессии на гетероскедастичность.
Графический анализ остатков
Построим графики остатков для каждого уравнения (рисунок 3.3 и 3.4)
Рисунок 3.3 – График остатков для фактора х2
Рисунок 3.4 – График остатков для фактора х3
Как видно на рисунке отклонения не лежат внутри полуполосы постоянной ширины, это говорит, о зависимости дисперсионных остатков от величины х3 и о их непостоянстве, т.е. о наличии гетероскедастичности.
Так же как видно по рисунку 3.3 отклонения не лежат внутри полуполосы постоянной ширины, следовательно это говорит о зависимости дисперсионных остатков от величины x2 и о их непостоянстве, т.е о наличии гетероскедастичности.
Тест Голфелда-Квандта
- Все n наблюдений упорядочиваются по величине X2 и X3.
Таблица 3.1 – Упорядоченные значения по фактору х2
|
№п/п |
||
|
1 |
2 |
0,4 |
|
2 |
0,7 |
0,4 |
|
3 |
2,2 |
0,5 |
|
4 |
2,4 |
0,9 |
|
5 |
3,3 |
1,3 |
|
6 |
2,9 |
1,6 |
|
7 |
2,3 |
1,6 |
|
8 |
2,5 |
1,9 |
|
9 |
2,9 |
2,2 |
|
10 |
2,9 |
2,4 |
|
11 |
3,6 |
3,2 |
|
12 |
3,5 |
3,3 |
|
13 |
2 |
3,4 |
|
14 |
3 |
3,5 |
|
15 |
3,4 |
3,6 |
|
16 |
3,5 |
3,7 |
|
17 |
3,3 |
3,8 |
|
18 |
2,7 |
4,2 |
|
19 |
2,3 |
5,1 |
|
20 |
2,5 |
5,3 |
|
21 |
3,5 |
5,3 |
|
22 |
3,2 |
5,6 |
|
23 |
4,2 |
6,1 |
|
24 |
8,5 |
16,8 |
|
25 |
5,7 |
27,5 |
Таблица 3.2 – Упорядоченные значения по фактору х3
|
№п/п |
у |
Х3 |
|
1 |
2 |
1,6 |
|
2 |
2,2 |
8,9 |
|
3 |
2,3 |
9,2 |
|
4 |
2,9 |
10,3 |
|
5 |
2,4 |
12,9 |
|
6 |
3,5 |
16,4 |
|
7 |
2,5 |
16,5 |
|
8 |
3,3 |
19,3 |
|
9 |
3,5 |
22,8 |
|
10 |
3,5 |
23,8 |
|
11 |
3,3 |
24,9 |
|
12 |
3,6 |
25,2 |
|
13 |
2,9 |
27,2 |
|
14 |
2,3 |
31,1 |
|
15 |
3,2 |
32,9 |
|
16 |
2,5 |
36,9 |
|
17 |
2,9 |
37,2 |
|
18 |
2 |
40,4 |
|
19 |
4,2 |
40,8 |
|
20 |
0,7 |
50,4 |
|
21 |
2,7 |
53,8 |
|
22 |
3,4 |
54,6 |
|
23 |
3 |
81,5 |
|
24 |
5,7 |
133,5 |
|
25 |
8,5 |
286,5 |
- Исключим С центральных наблюдений, разобьем совокупность на две части: а) со значениями x ниже центральных; б) со значениями x выше центральных.
Пусть С=5, это наблюдения с порядковыми номерами 11-15.
- Оцениваются отдельные регрессии для первой подвыборки (10 первых наблюдений) и для третьей подвыборки (10 последних наблюдений). Если предположение о пропорциональности дисперсий отклонений значениям X верно, то дисперсия регрессии по первой подвыборке (сумма квадратов отклонений ) будет существенно меньше дисперсии регрессии по третьей подвыборке (суммы квадратов отклонений ).
- По каждой части находим уравнение регрессии (рисунок 3.5)
Рисунок 3.5 – Вывод итогов для подвыборок для фактора х2
5) Для сравнения соответствующих дисперсий строится следующая F-статистика:
При сделанных предположениях относительно случайных отклонений построенная F-статистика имеет распределение Фишера с числами степеней свободы v1=v2=(n-C-2m)/2.
6) Если , то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности отклоняется (- выбранный уровень значимости).
По проведенным расчетам мы получили, что следовательно в ряду остатков обнаружена гетероскедастичность.
Аналогично проводится анализ для фактора х3.
5) Для сравнения соответствующих дисперсий строится следующая F-статистика:
При сделанных предположениях относительно случайных отклонений построенная F-статистика имеет распределение Фишера с числами степеней свободы v1=v2=(n-C-2m)/2.
6) Если , то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности отклоняется (- выбранный уровень значимости).
По проведенным расчетам мы получили, что следовательно в ряду остатков обнаружена гетероскедастичность.
Тест ранговой корреляции Спирмена
Значения хi и ui ранжируются (упорядочиваются по величинам). Затем определяется коэффициент ранговой корреляции:
где di - разность между рангами хi и ui, i = 1, 2, ..., n;
n - число наблюдений.
Рассчитаем теоретические значения по уравнению регрессии и найдем остатки. Ранжируем совокупность по возрастанию (рисунок 3.6).
Рисунок 3.6 – Расчетная таблица для проведения теста Спирмена Х2
Рисунок 3.6 – Расчетная таблица для проведения теста Спирмена Х3
Тогда
Для х3:
Если коэффициент корреляции для генеральной совокупности равен нулю, то статистика
имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы v=n-2. Следовательно, если наблюдаемое значение t-статистики превышает табличное, то необходимо отклонить гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции , а следовательно, и об отсутствии гетероскедастичности.
В нашем примере статистика Стьюдента по х3 равна:
Для х2:
Табличное значение статистики Стьюдента составит t(0,05; 23)=2,0687.
Таким образом, мы получили, что расчетное значение по х3 больше табличного, следовательно, гипотеза об отсутствии гетероскедастичности не принимается, а по х2 меньше, сл-но, гипотеза об отсутствии гетероскедастичности принимается на уровне значимости 5%.
Тест Уайта (White test).
Тест Уайта позволяет оценить количественно зависимость дисперсии ошибок регрессии от значений фактора x, используя квадратичную функцию:
,
где - нормально распределенная ошибка.
Рисунок 3.7 – Вывод итогов вспомогательной регрессии теста Уайта
Проводится этот тест следующим образом:
- Получаем регрессионные остатки ui;
- Оцениваем вспомогательную регрессию;
Гипотеза об отсутствии гетероскедастичности принимается в случае незначимости регрессии в целом.
- В нашем примере вспомогательная регрессия принимает вид:
Уравнение статистически незначимо на уровне значимости . Следовательно, гипотеза об отсутствии гетероскедастичности принимается.
- По всем проведенным тестам можно сделать вывод о гомоскедастичности регрессионных остатков. В противном случае для устранения гетероскедастичности необходимо применить к исходным данным обобщенный метод наименьших квадратов в предположении, что .
Исходное уравнение преобразуем делением правой и левой частей на x2: . К нему применим МНК. Полученное уравнение имеет вид: . Получены новые оценки параметров линейного уравнения, в котором смягчена гетероскедастичность.
Задание 3
Метод рядов
Последовательно определяются знаки остатков .
Ряд определяется как непрерывная последовательность одинаковых знаков. Количество знаков в ряду называется длиной ряда.
Пусть n — объем выборки;
n1 — общее количество знаков «+» при n наблюдениях;
n2 — общее количество знаков «-» при n наблюдениях;
k — количество рядов.
Если при достаточно большом количестве наблюдений (n1>10, n2>10) количество рядов k лежит в пределах от k1 до k2:
то гипотеза об отсутствии автокорреляции не отклоняется.
Рисунок 3.9 – Расчет характеристик метода рядов
Найдя знаки отклонений теоретических уровней от фактических, мы получили, что в анализируемой выборке содержится 15 рядов, т.е. k=15 (рисунок 3.9). Общее количество знаков «+» n1=14, количество знаков «-» n2=11.
Подставим найденные значения в формулу, получим, что k1=7,8, k2=19,22. Следовательно, гипотеза об отсутствии автокорреляции не отклоняется.
Критерий Дарбина – Уотсона
Для проверки автокорреляции первого порядка необходимо рассчитать критерий Дарбина—Уотсона. Он определяется так:
Выдвигается гипотеза Н0 об отсутствии автокорреляции остатков. При сравнении расчетного значения статистики (DW<2) с dl и du возможны следующие варианты.
- Если DW< dl , то гипотеза Н0 отвергается
- Если DW > du, то гипотеза Н0 не отвергается.
- Если dl< DW< du, то нельзя сделать определенного вывода по имеющимся исходным данным (зона неопределенности).
При DW > 2, то с табличными значениями сравнивается величина (4-DW).
Рисунок 3.10 – Расчет критерия Дарбина – Уотсона
В результате проведенных расчетов получено значение критерия Дарбина - Уотсона DW=2,2032 (рисунок 3.10). Так как оно больше 2, то с критическими значением сравниваем величину 4-DW=1,8. Оно больше du следовательно мы не можем отвергнуть гипотезу Н0 – в ряду остатков отсутствует автокорреляция первого порядка.
Q-тест Льюинга – Бокса
Использование данного теста предполагает использование Q- статистики, значение которой определяется по формуле:
где - выборочные значения автокорреляционной функции;
- величина лага;
n – число наблюдений.
Q- статистика имеет - распределение с степенями свободы. Если Q - статистика меньше табличного , то гипотеза об отсутствии автокорреляции принимается.
Рассчитаем для нашей задачи Q- статистику. Для этого необходимо определить коэффициенты автокорреляции. Максимальная величина лага не должна превышать ¼ числа наблюдений, т.е. в рассматриваемом примере . Следовательно нужно определить автокорреляции до шестого порядка. Для этого используем функцию Excel сервис–анализ данных –корреляция (рисунок 3.11).
Рисунок 3.11 – Расчет Q-статистики Льюинга - Бокса
|
0,4819402 |
-0,3269635 |
Сервис-Анализ-Корреляция |
|
Столбец 1 |
Столбец 2 |
|
-0,4033333 |
0,4819402 |
|
Столбец 1 |
1 |
|
|
0,7818014 |
-0,4033333 |
|
Столбец 2 |
-0,11462 |
1 |
|
0,9497712 |
0,7818014 |
|
|
|
|
|
0,0952898 |
0,9497712 |
|
|
|
|
|
-0,767996 |
0,0952898 |
|
|
|
|
|
0,1083377 |
-0,767996 |
|
|
|
|
|
0,7419544 |
0,1083377 |
|
|
|
|
|
-0,1821729 |
0,7419544 |
|
|
|
|
|
0,4340453 |
-0,1821729 |
|
|
|
|
|
0,6744907 |
0,4340453 |
|
|
|
|
|
0,7066734 |
0,6744907 |
|
|
|
|
|
-0,6149217 |
0,7066734 |
|
|
|
|
|
-1,0085115 |
-0,6149217 |
|
|
|
|
|
0,009818 |
-1,0085115 |
|
|
|
|
|
0,1675191 |
0,009818 |
|
|
|
|
|
-0,3265588 |
0,1675191 |
|
|
|
|
|
-0,5732698 |
-0,3265588 |
|
|
|
|
|
0,7561635 |
-0,5732698 |
|
|
|
|
|
-2,191819 |
0,7561635 |
|
|
|
|
|
0,1708126 |
-2,191819 |
|
|
|
|
|
0,83 |
0,1708126 |
|
|
|
|
|
-0,0970661 |
0,83 |
|
|
|
|
|
-0,4160045 |
-0,0970661 |
|
|
|
|
Подставив полученное значение в формулу, получим:
.
Табличное значение .
Фактическое значение статистики меньше критического, следовательно, гипотеза принимается, т.е. в ряду остатков отсутствует автокорреляция.
Скачать: