Привет студент

Лабораторная работа

 

Нарушения допущений классической модели

линейной регрессии

 

Задания

1. Проведите графический анализ остатков. Проверьте остатки на гетероскедастичность с помощью:

- графического анализа,

- теста Голдфелда-Квандта,

- теста ранговой корреляции Спирмена,

- теста Уайта (White test).

2. Если будет обнаружена гетероскедастичность остатков, примените для исходных данных ОМНК, предполагая, что .
3. Проверить остатки на наличие автокорреляции первого порядка, используя метод рядов, критерий Дарбина – Уотсона и Q- статистику Льюинга – Бокса. Если гипотеза об отсутствии автокорреляции первого порядка не будет отвергнута, то применить ОМНК для оценивания параметров уравнения регрессии.

 

Реализация типовых заданий

 

1. Провести графический анализ остатков

 

В лабораторной работе № 1 выявили, что на чистый доход (y) предприятий оказывают влияния такие факторы, как использованный капитал (x₂) и численность служащих (x₃).

Для нахождения остатков  можно воспользоваться инструментом анализа данных Регрессия. Порядок действий следующий:

а) в главном меню выберите Сервис/Анализ данных/Регрессия. Щелкните по кнопке ОК;

б) заполните диалоговое окно ввода данных и параметров ввода как показано на рисунке 3.1:

Входной интервал Y – диапазон, содержащий данные результативного признака;

Входной интервал Х – диапазон, содержащий данные всех пяти факторов;

Метки – флажок, который указывает, содержит ли первая строка названия столбцов или нет;

Константа – ноль – флажок, указывающий на наличие или отсутствие  свободного члена в уравнении;

Выходной интервал – достаточно указать левую верхнюю ячейку будущего диапазона;

Новый рабочий лист - можно задать произвольное имя нового листа;

Остаток - флажок, указывает вывод остатков  и теоретические значения результативного признака.

 

 

Рисунок 3.1 – Регрессия с остатками

 

Результаты регрессионного и корреляционного анализа, а также вспомогательные характеристики представлены на рисунке 3.2.

 

 

 

ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки
1	2,826964	-0,32696
2	2,81806	0,48194
3	2,703333	-0,40333
4	2,518199	0,781801
5	3,250229	0,949771
6	2,80471	0,09529
7	6,467996	-0,768
8	3,091662	0,108338
9	7,758046	0,741954
10	2,182173	-0,18217
11	2,465955	0,434045
12	2,825509	0,674491
13	2,793327	0,706673
14	3,614922	-0,61492
15	3,008511	-1,00851
16	2,390182	0,009818
17	3,232481	0,167519
18	2,826559	-0,32656
19	3,27327	-0,57327
20	2,743836	0,756164
21	2,891819	-2,19182
22	2,729187	0,170813
23	2,77	0,83
24	2,297066	-0,09707
25	2,716004	-0,416

 

Рисунок 3.2 – Вывод остатков

Проверим остатки полученного уравнения регрессии на гетероскедастичность.

Графический анализ остатков

 

Построим графики остатков для каждого уравнения (рисунок 3.3 и 3.4)

 

Рисунок 3.3 – График остатков для фактора х₂

Рисунок 3.4 – График остатков для фактора х₃

 

Как видно на рисунке отклонения не лежат внутри полуполосы постоянной ширины, это говорит, о зависимости дисперсионных остатков от величины х₃ и о их непостоянстве, т.е. о наличии гетероскедастичности.

         Так же как видно по рисунку 3.3 отклонения не лежат внутри полуполосы постоянной ширины, следовательно это говорит о зависимости дисперсионных остатков от величины x2 и о их непостоянстве, т.е о наличии гетероскедастичности.

 

Тест Голфелда-Квандта

 

• Все n наблюдений упорядочиваются по величине X₂ и X₃.

 

Таблица 3.1 – Упорядоченные значения по фактору х₂

№п/п
1	2	0,4
2	0,7	0,4
3	2,2	0,5
4	2,4	0,9
5	3,3	1,3
6	2,9	1,6
7	2,3	1,6
8	2,5	1,9
9	2,9	2,2
10	2,9	2,4
11	3,6	3,2
12	3,5	3,3
13	2	3,4
14	3	3,5
15	3,4	3,6
16	3,5	3,7
17	3,3	3,8
18	2,7	4,2
19	2,3	5,1
20	2,5	5,3
21	3,5	5,3
22	3,2	5,6
23	4,2	6,1
24	8,5	16,8
25	5,7	27,5

 

Таблица 3.2 – Упорядоченные значения по фактору х₃

 

№п/п	у	Х3
1	2	1,6
2	2,2	8,9
3	2,3	9,2
4	2,9	10,3
5	2,4	12,9
6	3,5	16,4
7	2,5	16,5
8	3,3	19,3
9	3,5	22,8
10	3,5	23,8
11	3,3	24,9
12	3,6	25,2
13	2,9	27,2
14	2,3	31,1
15	3,2	32,9
16	2,5	36,9
17	2,9	37,2
18	2	40,4
19	4,2	40,8
20	0,7	50,4
21	2,7	53,8
22	3,4	54,6
23	3	81,5
24	5,7	133,5
25	8,5	286,5

 

• Исключим С центральных наблюдений, разобьем совокупность на две части: а) со значениями x ниже центральных; б) со значениями x выше центральных.

Пусть С=5, это наблюдения с порядковыми номерами 11-15.

• Оцениваются отдельные регрессии для первой подвыборки (10 первых наблюдений) и для третьей подвыборки (10 последних наблюдений). Если предположение о пропорциональности дисперсий отклонений значениям X верно, то дисперсия регрессии по первой подвыборке (сумма квадратов отклонений ) будет существенно меньше дисперсии регрессии по третьей подвыборке (суммы квадратов отклонений ).
• По каждой части находим уравнение регрессии (рисунок 3.5)

 

 

Рисунок 3.5 – Вывод итогов для подвыборок для фактора х₂

 

  

5) Для сравнения соответствующих дисперсий строится следующая F-статистика:

        

При сделанных предположениях относительно случайных отклонений построенная F-статистика имеет распределение Фишера с числами степеней свободы v₁=v₂=(n-C-2m)/2.

6) Если , то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности отклоняется (- выбранный уровень значимости).

По проведенным расчетам мы получили, что  следовательно в ряду остатков обнаружена гетероскедастичность.

Аналогично проводится анализ для фактора х₃.

 

 

 

  

 

5) Для сравнения соответствующих дисперсий строится следующая F-статистика:

 

При сделанных предположениях относительно случайных отклонений построенная F-статистика имеет распределение Фишера с числами степеней свободы v₁=v₂=(n-C-2m)/2.

6) Если , то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности отклоняется (- выбранный уровень значимости).

По проведенным расчетам мы получили, что  следовательно в ряду остатков обнаружена гетероскедастичность.

 

Тест ранговой корреляции Спирмена

 

Значения х_i и u_i ранжируются (упорядочиваются по величинам). Затем определяется коэффициент ранговой корреляции:

где d_i - разность между рангами х_i и u_i, i = 1, 2, ..., n;

n - число наблюдений.

Рассчитаем теоретические значения  по уравнению регрессии и найдем остатки. Ранжируем совокупность по возрастанию (рисунок 3.6).

Рисунок 3.6 – Расчетная таблица для проведения теста Спирмена Х2

Рисунок 3.6 – Расчетная таблица для проведения теста Спирмена Х3

 

Тогда

Для х3:

 

Если коэффициент корреляции  для генеральной совокупности равен нулю, то статистика

имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы v=n-2. Следовательно, если наблюдаемое значение t-статистики превышает табличное, то необходимо отклонить гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции , а следовательно, и об отсутствии гетероскедастичности.

В нашем примере статистика Стьюдента по х3 равна:

Для х2:

Табличное значение статистики Стьюдента составит t(0,05; 23)=2,0687.

Таким образом, мы получили, что расчетное значение по х3 больше табличного, следовательно, гипотеза об отсутствии гетероскедастичности не принимается, а по х2 меньше, сл-но, гипотеза об отсутствии гетероскедастичности принимается на уровне значимости 5%.

 

 

 

Тест Уайта (White test).

 

Тест Уайта позволяет оценить количественно зависимость дисперсии ошибок регрессии от значений фактора x, используя квадратичную функцию:

,

где - нормально распределенная ошибка.

 

Рисунок 3.7 – Вывод итогов вспомогательной регрессии теста Уайта

 

Проводится этот тест следующим образом:

1. Получаем регрессионные остатки u_i;
2. Оцениваем вспомогательную регрессию;

Гипотеза об отсутствии гетероскедастичности принимается в случае незначимости регрессии в целом.

3. В нашем примере вспомогательная регрессия принимает вид:

Уравнение статистически незначимо на уровне значимости . Следовательно, гипотеза об отсутствии гетероскедастичности принимается.

 

2. По всем проведенным тестам можно сделать вывод о гомоскедастичности регрессионных остатков. В противном случае для устранения гетероскедастичности необходимо применить к исходным данным обобщенный метод наименьших квадратов в предположении, что .

Исходное уравнение преобразуем делением правой и левой частей на x₂: . К нему применим МНК. Полученное уравнение имеет вид: . Получены новые оценки параметров линейного уравнения, в котором смягчена гетероскедастичность.

 

Задание 3

Метод рядов

Последовательно определяются знаки остатков .

Ряд определяется как непрерывная последовательность одинаковых знаков. Количество знаков в ряду называется длиной ряда.

Пусть n — объем выборки;

n₁ — общее количество знаков «+» при n наблюдениях;

n₂ — общее количество знаков «-» при n наблюдениях;

k — количество рядов.

Если при достаточно большом количестве наблюдений (n₁>10, n₂>10) количество рядов k лежит в пределах от k₁ до k₂:

 

 

то гипотеза об отсутствии автокорреляции не отклоняется.

Рисунок 3.9 – Расчет характеристик метода рядов

 

Найдя знаки отклонений теоретических уровней от фактических, мы получили, что в анализируемой выборке содержится 15 рядов, т.е. k=15 (рисунок 3.9). Общее количество знаков «+» n₁=14, количество знаков «-» n₂=11.

Подставим найденные значения в формулу, получим, что k₁=7,8, k₂=19,22. Следовательно, гипотеза об отсутствии автокорреляции не отклоняется.

 

Критерий Дарбина – Уотсона

Для проверки автокорреляции первого порядка необходимо рассчитать критерий Дарбина—Уотсона. Он определяется так:

Выдвигается гипотеза Н₀ об отсутствии автокорреляции остатков. При сравнении расчетного значения статистики (DW<2) с d_l и d_u возможны следующие варианты.

1. Если DW< d_l , то гипотеза Н₀ отвергается
2. Если DW > d_u, то гипотеза Н₀ не отвергается.
3. Если d_l< DW< d_u, то нельзя сделать определенного вывода по имеющимся исходным данным (зона неопределенности).

При DW > 2, то с табличными значениями сравнивается величина (4-DW).

Рисунок 3.10 – Расчет критерия Дарбина – Уотсона

 

В результате проведенных расчетов получено значение критерия Дарбина - Уотсона DW=2,2032 (рисунок 3.10). Так как оно больше 2, то с критическими значением сравниваем величину 4-DW=1,8. Оно больше d_u следовательно мы не можем отвергнуть гипотезу Н₀ – в ряду остатков отсутствует автокорреляция первого порядка.

 

Q-тест Льюинга – Бокса

 

Использование данного теста предполагает использование Q- статистики, значение которой определяется по формуле:

где - выборочные значения автокорреляционной функции;

 - величина лага;

n – число наблюдений.

Q- статистика имеет  - распределение с  степенями свободы. Если Q - статистика меньше табличного , то гипотеза об отсутствии автокорреляции принимается.

Рассчитаем для нашей задачи Q- статистику. Для этого необходимо определить коэффициенты автокорреляции. Максимальная величина лага не должна превышать ¼ числа наблюдений, т.е. в рассматриваемом примере . Следовательно нужно определить автокорреляции до шестого порядка. Для этого используем функцию Excel сервис–анализ данных –корреляция (рисунок 3.11).

Рисунок 3.11 – Расчет Q-статистики Льюинга - Бокса

 

0,4819402	-0,3269635	Сервис-Анализ-Корреляция		Столбец 1	Столбец 2
-0,4033333	0,4819402		Столбец 1	1
0,7818014	-0,4033333		Столбец 2	-0,11462	1
0,9497712	0,7818014
0,0952898	0,9497712
-0,767996	0,0952898
0,1083377	-0,767996
0,7419544	0,1083377
-0,1821729	0,7419544
0,4340453	-0,1821729
0,6744907	0,4340453
0,7066734	0,6744907
-0,6149217	0,7066734
-1,0085115	-0,6149217
0,009818	-1,0085115
0,1675191	0,009818
-0,3265588	0,1675191
-0,5732698	-0,3265588
0,7561635	-0,5732698
-2,191819	0,7561635
0,1708126	-2,191819
0,83	0,1708126
-0,0970661	0,83
-0,4160045	-0,0970661

 

Подставив полученное значение в формулу, получим:

.

Табличное значение .

Фактическое значение статистики меньше критического, следовательно, гипотеза принимается, т.е. в ряду остатков отсутствует автокорреляция.

 

Скачать: lr-3.doc