Привет студент

Цель: получить навыки и умения применения дисперсионного анализа при построении однофакторного и двухфакторного комплекса.

Задачи:

1 изучить теоретические аспекты однофакторного и двухфакторного дисперсионного анализа;

2 используя пример выполнения работы, выявить влияние одного фактора на исследуемый признак;

3 используя пример выполнения работы, выявить влияние двух факторов «А» и «В» на исследуемый признак.

2.1 Однофакторный дисперсионный анализ

Пусть имеется четыре партии сырья для текстильной промышленности. Из каждой партии отобрано по пять образцов и проведены испытания на определение величины разрывной нагрузки. Требуется выяснить, существенно ли влияние различных партий сырья на величину разрывной нагрузки.

1 Запишем матрицу наблюдений (таблица 2.1)

Таблица 2.1 — Матрица наблюдений

2 Находим среднее арифметическое значение по каждой строке:

3 Среднее арифметическое всей совокупности наблюдений:

4 Вычисляем :

5 Вычисляем :

6 Вычисляем :

7 Результаты вычислений заносим в сводную таблицу 2.2.

Таблица 2.2 — Результаты однофакторного дисперсионного анализа

8 Рассчитываем — критерий ().

9 По таблице, представленной в приложении В, находим — критерий (табличный) (α=0,01).

Так как вычисленное значение — критерия меньше табличного значения, то можно утверждать, что различие между сырьем в партиях не влияет на величину разрывной нагрузки.

2.2 Двухфакторный дисперсионный анализ

1 Запишем матрицу наблюдений (таблица 2.3).

Таблица 2.3 — Матрица наблюдений

2 Найдем по формулам:

3 Найдем дисперсии:

4 Найдем расчетное значение F — критерия:

5 Табличное значение F — критерия (приложение В): ; .

6 Сравним табличное значение F — критерия с расчетным:

(фактор «А» — влияет);

(фактор «В» — не влияет).

3 Корреляционный анализ

3.1 Группируем первичные данные в виде таблицы для расчета коэффициента корреляции (таблица 3.1):

Таблица 3.1 — Данные для расчета коэффициента корреляции

3.2 Определяем суммы квадратов отклонений по формулам:

3.3 Используя формулу определяем коэффициент корреляции:

Полученная величина указывает на наличие положительной средней силы корреляционной связи между исследуемыми признаками.

3.4 Группируем первичные данные в виде таблицы 4.2 для расчета корреляционного отношения:

Таблица 3.2 — Данные для расчета корреляционного отношения

3.5 Находим среднее значение в каждой группе (таблица 3.3)

Таблица 3.3 — Расчет среднего значения в группе

3.6 Находим общее среднее:

3.7Рассчитаем общую дисперсию:

3.8 Рассчитаем межгрупповую дисперсию:

3.9 Найдем коэффициент детерминации:

3.10 Найдем эмпирическое корреляционное отношение:

Таким образом, рассчитанное эмпирическое корреляционное отношение свидетельствует о достаточно высокой статистической связи между x и y.

4 Регрессионный анализ

Связь между величинами — линейная (в таблице 5.1 представлены исходные данные для расчета)

1 Система нормальных уравнений имеет вид:

Таблица 4.1 — Данные для расчета линейной регрессии

Подставляем полученные суммы в систему и решаем ее:

Таким образом, мы получили линейное уравнение регрессии, которое имеет следующий вид:

Строим эмпирическую и теоретическую линии регрессии (рисунок 4.1):

Рисунок 4.1 — Эмпирическая и теоретическая линии регрессии

Аналогичным способом выполняем другие виды аппроксимации.

2 Расчёт эмпирического уравнения для множественной линейной регрессии

Найти эмпирическое уравнение регрессии между значениями у, z и x Данные о корреляционной зависимости между этими признаками приведены в таблице 4.2.

Предполагая линейный характер связи между этими признаками, и учитывая их буквенные обозначения, возьмем за исходное уравнение регрессии вида:

которому отвечает система нормальных уравнений:

Необходимые суммы представлены в таблице 5.2. Подставляем их в уравнения системы:

Чтобы решить эту систему относительно параметров а, b и с, разделим каждое уравнение на коэффициент при а, что дает:

Затем, вычитая первое уравнение из второго, а второе — из третьего, получим:

Разделим каждое уравнение на коэффициент при b и найдем разность между полученными уравнениями:

Отсюда Подставляя в одно из этих уравнений вместо с его значение, находим , откуда .

В первое (исходное) уравнение вместо b и c подставляем их значения:

Отсюда:

В итоге получим:

Подставляя в это уравнение задаваемые значения переменных y и z, можно определить ожидаемую величину переменной x.

Найденное эмпирическое уравнение регрессии показывает, что при изменении x на 1 число y при постоянном z изменится в среднем на 1,60, а число z при постоянной величине y изменится в среднем на 0,43.

Таблица 2.20 — Данные для расчета множественной линейной регрессии

Продолжение таблицы 2.20- Данные для расчета множественной линейной регрессии

3 Расчёт эмпирического уравнения для параболы второго порядка.

Y изменяется по X следующим образом (таблица 2.21). Из таблицы видно, что значения зависимой переменной Y сначала возрастают, а затем начинают убывать. Это признак параболической зависимости между переменными Y и X. Найдем эмпирическое уравнение этой зависимости. Предварительно рассчитаем вспомогательные величины и др. Расчет приведен в таблице 2.21.

Составим систему нормальных уравнений:

Решая эту систему относительно коэффициентов а, b и с, находим: а= 21,6; b = 0,17 и с = 0,032. Отсюда эмпирическое уравнение параболы второго порядка таково:

Таблица 2.21 — Данные для расчета параболы второго порядка

Продолжение таблицы 2.21 — Данные для расчета параболы второго порядка

4 Расчёт эмпирического уравнения для гиперболы первого порядка

Зависимость величины «у» от исследуемого признака характеризуется следующими величинами (таблица 2.22).

Если эти данные изобразить графически в системе прямо­угольных координат, можно убедиться в том, что они выглядят в виде гиперболической зависимости между переменными Y и X. Необходимые суммы для вычисления параметров a и b по уравнению содержатся в таблице 2.22. Подставляя эти данные в формулы:

Находим:

Отсюда уравнение регрессии Y по X:

Таблица 2.22 — Данные для расчета гиперболы первого порядка

Продолжение таблицы 2.22 — Данные для расчета гиперболы первого порядка