Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет
Кафедра Теоретической механики
Курсовая работа
«Динамика»
Вариант 1-21
Проверил: Горбаненко В.М
Выполнил: студент гр. АС-202
2013 г.
Содержание
- Предварительный расчет I 4
- Теорема о движении центра масс . 6
- Теорема о движении центра масс. 9
- Предварительный расчет II 10
- Дифференциальные уравнения движения. 11
6 Теорема об изменении кинетической энергии механической системы.. 17
7 Общее уравнение динамики. 19
8 Уравнение Лагранжа 2-го рода. 21
Задания на курсовую работу.
Рис.1
Исходные данные:
; ;
; ; ;
, ;
, ;
, ;
; β = ; ;
Радиусы инерции блоков и катков вычислять по формуле ;
Коэффициент трения качения для катка определять как ;
Коэффициент трения скольжения тела 1 принять f = 0,1
1. Предварительный расчет I
Определить направление движения системы тел 1 и 2 относительно призмы 3. Для этого составить уравнения равновесия (условно считая их находящимися в равновесии на неподвижной призме 3) тел 1, 2 и блока А и блока В. Из этих уравнений определить силы натяжения нитей и по сумме моментов этих сил относительно оси вращения одного из блоков А (или В) определить направление вращения этого блока. Для катящегося без скольжения катка уравнение условного равновесия составлять в виде суммы моментов относительно точки его соприкосновения с поверхностью призмы 3; трением качения на данном этапе можно пренебречь.
Тело 1:
1) (1.1)
2) (1.2)
Блок А:
(1.3)
Блок В
(1.4)
Тело 2:
(1.5)
Из этих уравнений определяем силы натяжения нити T1 и Т2, реакции рейки Fp. По сумме моментов этих сил относительно оси вращения блока В определяем вращение этого блока.
Подставляем полученные значения в уравнение (1.4)
Учтем тела 1 и катка 2, получим уравнения:
Для тела 1:
(1.6)
(1.7)
Блок А:
(1.8)
Блок В
(1.9)
Тело 2:
(1.10)
Из(1.6)
Из (1.8)
Из (1.10)
Подставим полученные значения в (1.9).
Момент сил блока В относительно оси вращения отрицателен, а значит он вращается по часовой стрелке, система движется вниз.
2. Теорема о движении центра масс .
Определив, в каком направлении будут перемещаться тела 1 и 2, составить уравнения кинематических связей, то есть уравнения, связывающие между собой относительные (по отношению к призме 3) линейные скорости центров масс тел 1 и 2 системы и угловые скорости блоков A и B, а также катка 2, совершающего плоскопараллельное движение. Обозначить относительное перемещение тела 1 как S1r,, найти через него, используя уравнения кинематических связей, относительное перемещение S2r тела 2. Затем с помощью закона сохранения движения центра масс, записанному в проекциях на горизонтальную ось Ox, найти абсолютное перемещение S3 тела 3 по идеально гладкой горизонтальной поверхности, выразив его как функцию S1r .(Схема 2)
Возьмем точку D на ободе меньшего радиуса катка 2. Скорость, а следовательно, и направление движения будет совпадать со скоростью катка 2.
Зададимся V1r.
Составим уравнения кинематических связей:
;
;
=
= ;
;
Найдем выражения для S1r, S2r, , , :
;
;
;
;
Найдем выражения для :
;
;
;
Теорема о движении центра масс.
Продифференцируем дважды по времени:
Так как:
=0
Следовательно: => =0 =>
Обозначим: , = , = ( + + )
=
При t=0:
Подставиим значения:
При некотором t:
Подставив значения и получим:
Приравняв уравнения при t=0 и при некотором t получим:
( )* =
Решив данное уравнение получим:
(4.2.9)
Подставив числовые значения для , получим:
3. Теорема о движении центра масс
Расположив на горизонтальной поверхности упор, ограничивающий перемещение тела 3, написать теорему о движении центра масс системы в проекциях на ось Ox. Далее используя связь между ускорениями тела 1 и тела 2, полученную дифференцированием, уравнения связи между соответствующими скоростями, определить горизонтальную реакцию Rx этого упора, выразив ее как функцию ускорения тела 1. (Схема 3)
Теорема о движении центра масс.
Продифференцируем дважды по времени:
Для системы:
Обозначим: , = , = ( + + )
Подставив значение получим:
Перемещения тел вдоль оси Ox:
Продифференцируем дважды по времени:
Подставив получим:
Подставим числовые значения:
4. Предварительный расчет II
В данном пункте и во всех последующих считать призму 3 неподвижным основанием. Движение всех остальных тел по призме рассматривать происходящим при действии их сил тяжестей, а также силы F и момента M. Для выяснения направления движения системы тел выполнить предварительный условно статический расчет. (Схема 4)
Предположим, что тело 1 совершает поступательное движение вниз по наклонной плоскости, каток 2 движется плоскопараллельно в строну движения рейки (влево).
Составим уравнения равновесия без учета сил трения и без момента качения, но с учетом силы F приложенной к телу 1 и момента М приложенного к телу 2
Для тела 1:
(4.1)
(4.2)
Блок А:
(4.3)
Блок В
(4.4)
Тело 2:
(4.5)
(4.1) → =1000+150*9,8*0,707=1039.45 H
(4.5) →
(4.3) →
Определим вращение блока В:
(4.4) →
Следовательно, предположение оказалось верным.
Найдем силы натяжения нитей и рейки с учетом силы трения первого и моментом качения второго тел.
Для тела 1:
(4.6)
(4.7)
Блок А:
(4.8)
Блок В
(4.9)
Тело 2:
(4.10)
(4.11)
(4.12)
(4.6)→
(4.10) →
(4.8) →
Для проверки правильности выбора направления движения подставим значения в формулу (4.9) получим:
*2- *1.25 = -1552,351 Следовательно, предположение оказалось верным
5. Дифференциальные уравнения движения
Составить дифференциальные уравнения движения каждого из тел системы и из их совместного решения найти скорость и ускорение центра масс тела 1, силы натяжения каждого из участков нити, силу трения сцепления катка 1 (или 2).
Тело 1:
Блок A:
(5.3)
Блок B:
(5.4)
Каток 2:
Умножим на и выразим
(5.8)
Выразим из уравнения
(5.9)
Приравняв (5.8) и (5.9) получим:
;
(5.10)
Из уравнения выразим
Из уравнения (5.3) найдем силу натяжения нити :
(5.11)
Подставим в (5.11) найденное выражение для :
(5.12)
В уравнение (5.4) подставим найденные силы натяжения
Преобразуем используя кинематические связи для , , получим:
Перенесем в левую часть все члены уравнения, содержащие , и вынесем общий множитель:
(5.14)
(5.15)
Подставим числовые значения в (5.15), используя значения из пункта 6 для , и , из пункта 4:
(5.16)
С помощью найденного ускорения найдем силы натяжения нитей
Из (5.10), подставив числовые значения:
Из (5.2) подставив числовые значения:
Из (5.11) подставив числовые значения:
Из (5.5) определим силу трения сцепления катка:
150,431
Определим коэффициент трения катка 2:
Или
Определим скорость центра масс тела 1 как функцию его перемещения.
Проинтегрируем выражения для ускорения первого тела (5.16):
(5.17)
Из (5.17): , так как при , а следовательно и .
Итак (5.17) запишем в виде:
6 Теорема об изменении кинетической энергии механической системы
Найти скорость как функцию перемещения и ускорение центра масс тела 1 с помощью теоремы об изменении кинетической энергии механической
системы.(Схема 6)
Теорема об изменении кинетической энергии:
Для данной системы:
В момент времени :
Тогда теорема примет вид:
Полная кинетическая энергия в конечном положении:
,
где , , моменты инерций блоков А,В и катка 2
Используя выражения для кинематических связей между скоростями из пункта 2, получим:
(6.4)
Представим выражение (6.5) в виде : ,
где
(6.6)
Подставим числовые данные в выражение (6.6)
Следовательно (6.5) примет вид:
(6.7)
Распишем левую часть (6.1):
(6.8)
Используя кинематические связи из пункта 2 подставляем их в (6.8)
имеем:
(6.9)
Вынесем за скобку общий множитель , тогда (4.6.10) примет вид:
Обозначим как D (6.10)
Тогда (6.9) преобразуется:
Подставив числовые значения в (6.10) получим:
Следовательно, мы подтвердили результат расчета пункта 4
Тогда (6.9) примет вид: (6.10)
Приравняв друг другу выражения (6.7) и (6.10) получим следующее соотношение:
= (6.11)
Продифференцируем (6.11):
.
7 Общее уравнение динамики.
Найти ускорение центра масс тела 1 с помощью общего уравнения динамики.(Схема 7)
Для данной системы общего уравнения динамики имеет вид:
(7.1)
Где элементарные работы активных сил и сил инерции на возможных перемещениях.
Где (7.2)
(7.3)
Силы и моменты инерции тел 1,А,В и 2 соответственно равны:
; ; ; ;
Выразим возможные перемещения системы через перемещения тела 1.Из кинематики для системы с одной степенью свободы известным выражением:
;
;
;
Подставим в (7.1):
Преобразуем выражение сократив все члены уравнения на и перенеся в правую часть члены, содержащие :
(7.4)
Подставим числовые значения в (7.4) :
[ ]
8 Уравнение Лагранжа 2-го рода.
Найти ускорение центра масс тела 1 с помощью уравнения Лагранжа 2-го рода. (Схема 7)
Уравнение Лагранжа второго рода.
(8.1)
полная кинетическая энергия системы
– обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате
Блоки А и В и каток 2 считаем однородными цилиндрами.
Найдем полную кинетическую энергию системы:
,
Используя числовые данные , полученные из (4.5.4) для моментов инерций блоков А и В, катка 2, а также выражения для кинематических связей между скоростями (4.2.2), получим:
(8.4)
Вынесем в за скобку общий множитель:
Так как , то получим частную производную кинетической энергии из по обобщенной .
, так как не присутствует явной координаты.
Дифференцируем по времени :
(8.7)
(8.8)
полная работа всех активных сил и моментов. Каждый из элементов получит возможные перемещения:
, , , ,
(8.9)
Кинематическая связь между возможными перемещениями:
;
;
; (8.10)
;
Найдем работу всех активных сил и моментов для каждого тела:
(8.11)
Тогда, подставив в (8.8) используя (8.10) :
Или:
Подставив в уравнение Лагранжа второго рода (8.1) (8.7) и , получим:
Подставим числовые значения в
Список литературы
- Колесников К.С. Курс теоретической механики. М.: МГТУ им. Н.Э.Баумана. 2005 -736 с.
- Никитин Н.Н. Курс теоретической механики. М.: Высш. школа. 2003.-719 с.
- Тарг С.М. Курс теоретической механики. М.: Высшая школа. 2004.-416 с.
- Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механики. СПб.:«Лань», 2006, -768 с.
- М.И. Бать, Г.Ю. Джанелидзе, А.С. Кельзон. Теоретическая механика в примерах и задачах. Т.1, СПб.:«Лань», 2010, 624с.
- . Динамика механической системы. –Задание 3Д. Методические указания к решению задач и курсовые задания по теоретической механике. УГАТУ; Сост. Ковган С.Т. – Уфа, 2010. – 29с.
- . Аналитические методы динамики. – Задание 4Д. Методические указания к решению задач и курсовые задания по теоретической механике. УГАТУ; Сост. Ковган С.Т. – Уфа, 2010. – 26с.
Скачать: