Пособие к лабораторному практикуму для

студентов по направлению подготовки

 Электроэнергетика и электротехника

 

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ

 

 

Рекомендовано Ученым  советом федерального государственного бюджетного  образовательного учреждения высшего профессионального образования в качестве учебного пособия к лабораторному практикуму для студентов, обучающихся по программам высшего профессионального образования по направлению подготовки Электроэнергетика и электротехника

 

Содержание

1 Лабораторная работа № 1 Гармонический анализ несинусоидального напряжения  4

2 Лабораторная работа № 2. Исследование переходных процессов в электрических цепях с сосредоточенными параметрами с одним реактивным элементом.. 19

3 Лабораторная работа №3. Исследование нелинейных  цепей постоянного тока  53

4 Лабораторная работа №4. Исследование катушки с ферромагнитным сердечником   66

5 Лабораторная работа №5.  Исследование пассивного  четырёхполюсника. 78

6 Лабораторная работа №6. Исследование модели  длинной линии. 86

7 Лабораторная работа № 7. Моделирование плоскопараллельного  электростатического поля в проводящем листе. 100

Список использованных источников. 115

 

1 Лабораторная работа № 1 Гармонический анализ

 несинусоидального напряжения

 

Цель работы: произвести экспериментально, аналитически и графически спектральный анализ несинусоидального напряжения.

 

1.1 Краткие теоретические и практические сведения

1.1.1 Аналитическое разложение периодической несинусоидальной функции в тригонометрический ряд

Несинусоидальными периодическими ЭДС, напряжениями и токами называют такие e, u, i - мгновенные значения  которых изменяются во времени по не гармоническому закону, повторяющиеся через равные промежутки времени, называемые периодом - Т, как это показано на рисунке 1.1.

Рисунок 1.1 – График мгновенной несинусоидальной ЭДС

Несинусоидальные ЭДС, напряжения и токи возникают в следующих случаях:

а) при включении в цепь переменного тока элемента с насыщенным стальным (ферромагнитным) сердечником;

б) при наличии нелинейных сопротивлений  в цепи;

в) если источник  энергии генерирует  несинусоидальное напряжение или ток.

Из курса высшей математики известно, что любая периодическая функция  с периодом , удовлетворяющая условиям Дирихле (то есть имеющая на конечном интервале  конечное число максимумов, минимумов и разрывов первого рода), может быть разложена в ряд Фурье. Практически все периодические функции, используемые в электротехнике, условиям Дирихле  удовлетворяют.

Периодическая несинусоидальная ЭДС в общем случае может быть представлена тригонометрическим рядом Фурье:

  (1.1)

где  - постоянная составляющая;

- первая (основная) гармоническая составляющая,        имеющая частоту ;

 - высшие гармонические составляющие (гармоники) при ;

 - амплитуда k -й гармоники;

   - начальная фаза k -й гармоники;

k - номер гармоники.

Из уравнения (1.1) следует, что любой  несинусоидальный источник ЭДС  можно представить  в виде постоянного источника ЭДС и совокупности синусоидальных источников ЭДС, имеющих разные значения частоты,  рисунок 1.2.

 

Рисунок 1.2

Совокупность постоянной составляющей, основной гармоники и высших гармонических составляющих называют спектром несинусоидальной величины.

Тригонометрический ряд Фурье, как правило, быстро сходится, поэтому для инженерных расчетов количество гармоник ограничивают, учитывая только первые 3 – 5 гармоник ряда.

Второй вид ряда Фурье может быть получен из первого путём тригонометрических преобразований:

.

В результате получаем:

    ,                  (1.2)

где  - синусная составляющая k-ой гармоники;

        - косинусная составляющая k-ой гармоники;

 и  - коэффициенты разложения.

Для определения постоянной составляющей и коэффициентов разложения используют следующие формулы:

                                                                        (1.3)

                                                        (1.4)

                          (1.5)

Зная значения  и , можно определить  и  ^{(формулы перехода от второго вида ряда Фурье (1.2) к первому (1.1)}:

.                               (1.6)

Определение амплитуд и начальных фаз гармонических составляющих ряда можно упростить, если воспользоваться комплексными изображениями синусоидальных величин. Так как комплексная амплитуда гармоники кратности «k»  может быть представлена как:

то ряд Фурье несинусоидальной ЭДС может быть записан в виде:

Комплексные амплитуды гармонических составляющих определяют по следующей формуле:

                                                             (1.7)

 

1.1.2 Графическое разложение несинусоидальной функции в ряд

Фурье

Если кривая исследуемой несинусоидальной величины  не имеет аналитического выражения и задана графиком, например, рисунок 1.3, то разложение ее в ряд Фурье производится графически.

Рисунок 1.3

Графический метод разложения несинусоидальных кривых в ряд Фурье основан на замене интегралов в выражениях (1.3), (1.4), (1.5), (1.7) приближенными суммами. В этом случае от бесконечно малых приращений угла  переходят к конечным , то есть период несинусоидальной величины, делят на m равных частей (рисунок 1.3) и составляют соответствующие выражения с приближенными суммами. Для постоянной составляющей по выражению (1.3) имеем

                                                                                         (1.8)

а для комплексных амплитуд гармоник напряжения по выражению (1.7)

                                                                 (1.9)

В этих выражениях s - номер деления, - значение несинусоидальной величины напряжения, соответствующее делению с номером s.  На рисунке 1.3 период несинусоидальной кривой разделен на 12 частей. Точность расчета зависит от числа делений. При практических расчетах обычно берут
m=12 или 24. Точность расчета можно повысить, если значения несинусоидальной величины брать не в конце интервалов, как показано на рисунке 1.3, а в их середине (средние значения).

Для определения геометрической суммы ,  выражение (1.9), при практических расчетах можно рекомендовать следующий алгоритм:

1. На комплексной плоскости проводят окружность с центром в начале осей координат, рисунок 1.4, и делят ее на m частей, начиная от оси мнимых величин (в нашем случае m = 12). Угол между радиусами, проведенными к точкам делений на окружности, при этом будет равен .

 

           Рисунок 1.4                                               Рисунок 1.5

2. Измеряют значения u₁; u₂;… u_s; …; u_m, по графику несинусоидальной величины, рисунок 1.3, и откладывают их последовательно по радиусам (в направлении от центра), отстоящим от оси мнимых величин на угол , рисунок 1.4. При этом необходимо учитывать знак измеренных  мгновенных значений несинусоидальной величины. Положительные мгновенные значения откладываются по радиусам, соответствующим номеру интервала, а отрицательные – по противоположным.
3. Находят геометрическую сумму отложенных векторов, то есть вектор :

положение которого относительно действительной оси определяет начальную фазу «k» -й гармоники. На рисунке 1.5 показано определение вектора  для вычисления амплитуды первой гармоники несинусоидальной кривой, представленной на рисунке 1.3 (масштаб уменьшен в 2 раза).

 

4. Для определения амплитуды «k» -ой гармоники необходимо, в соответствии с уравнением (1.9), модуль найденного вектора умножить на :

.

Примечание: если несинусоидальная функция симметрична относительно оси абсцисс, то построение и расчет амплитудных значений «k»-х гармоник производится за положительную половину периода. В этом случае в формуле (1.9) перед знаком суммы будет стоять множитель не  , а    .

 

1.1.3 Графоаналитический метод разложения несинусоидальной функции в ряд Фурье

Графоаналитический метод разложения несинусоидальных функций в ряд Фурье, аналогично, как и графический метод, основан на замене интегралов  приближенными суммами. В этом случае выражения (1.4), (1.5) примут вид:

                                   

        ,    (1.10)

 

       ,           (1.11)

Алгоритм нахождения коэффициентов ряда Фурье следующий:

1) Полный период заданной периодической несинусоидальной функции  u(ωt), рисунок 1.3,  делят на  m  интервалов.

2) Определяют для каждого интервала соответствующие ординаты несинусоидальной функции  u(ωt):   u₁; u₂;… u_s; …; u_m .

3) В соответствии с формулами (1.8), (1.10) и (1.11) определяют постоянную составляющую U₀ и амплитудные значения синусных B_(k)m и косинусных C_(k)m гармонических составляющих ряда Фурье.

4) Используя формулы (1.6) определяют амплитудные значения  «k» -х гармоник U_(k)m и их фазы Ψ_(k) заданной несинусоидальной функции напряжения u(ωt).

5) Записывают ряд Фурье, подставляя найденные значения U₀, U_(k)m, Ψ_(k)  в формулу (1.1).

 

1.1.4 Максимальное, действующее и среднее по модулю значения несинусоидальной величины.

Периодическую несинусоидальную величину (например, ток) обычно характеризуют следующими значениями: максимальным , действующим , средним по модулю  и постоянной составляющей .

Максимальное значение – это наибольшее мгновенное значение несинусоидальной величины. При этом различают положительный и отрицательный максимумы.

Действующее значение несинусоидального тока определяется его среднеквадратическим (эффективным) значением за период:

.                                           (1.12)

Если ряд Фурье для тока ограничить конечным числом членов , то выражение (1.12) после интегрирования принимает вид:

.                            (1.13)

Так как действующее значение гармонической составляющей , то:

,                                    (1.14)

где  - постоянная составляющая,

     , ,  - действующие значения гармоник тока.

Аналогичное выражение имеет действующее значение напряжения:

.                                       (1.15)

Таким образом, действующее значение несинусоидальной величины равно корню квадратному из суммы квадратов постоянной составляющей и действующих значений всех гармоник. Оно не зависит от начальных фаз гармоник.

Наряду с действующим значением в электротехнике используют понятие среднего по модулю значения функции. Оно, например, для тока, выражается интегралом вида:

.

Постоянная составляющая представляет собой среднее значение функции за период:

 .

Электроизмерительные приборы различных систем при измерении несинусоидальных токов и напряжений дают различные показания. Приборы электродинамической, электромагнитной и тепловой систем показывают действующее значение измеряемой величины, магнитоэлектрической системы - постоянную составляющую, магнитоэлектрической системы  с выпрямителем – среднее по модулю значение, а амплитудные электронные приборы – максимальное значение.

 

1.1.5 Коэффициенты, характеризующие формы кривых несинусоидальных периодических величин

Кривые мгновенных значений несинусоидальных периодических токов и напряжений часто характеризуются коэффициентами амплитуды, формы искажения и гармоник, по значениям которых можно судить о форме несинусоидальных кривых.

Коэффициент амплитуды  равен отношению максимального значения электрической величины (например, напряжения) к ее действующему значению:

.

Для синусоидальных величин . Заметим, что чем острее несинусоидальная кривая, тем больше значение .

Коэффициенты формы  равен отношению действующего значения электрической величины  к ее среднему по модулю значению:

.

Для синусоидальных величин .

Коэффициент гармоник   равен отношению действующего значения высших гармонических составляющих к действующему значению первой гармоники:

                                              .

Коэффициент искажения К_и определяется отношением действующего значения первой гармоники к действующему значению всей несинусоидальной  кривой:

.

Для синусоидальной функции К_и = 1.

Для количественной характеристики несинусоидальности напряжения в энергетических цепях введено понятие степени несинусоидальности напряжения, которое определяется как:

где  - действующие значения второй, третьей и т.д. гармоник напряжения.

Если , то напряжение считается практически синусоидальным. Степень несинусоидальности в относительных единицах и коэффициент искажения связаны следующим выражением:

.

 

1.2 Описание лабораторной установки

Источником  синусоидального напряжения является  генератор сигналов Г3-123. Для искажения синусоидального напряжения источника в электрическую схему включают диод. Для зарисовки несинусоидального напряжения на резисторе используют осциллограф С1-83. В качестве  нагрузки в работе используются резистор R. Максимальное, действующее значения и постоянная составляющая несинусоидального  напряжения измеряется мультиметром ВР-11А.

 

1.3 Рабочее задание

1.3.1 Собрать электрическую  цепь по схеме, изображенную на рисунке 1.6. Частоту питающего напряжения установить равной 1000 Гц, активное сопротивление выбрать в пределах 100÷200 Ом.

Рисунок 1.6

 

1.3.2 Изменяя напряжение генератора от 0 до 20 В установить в цепи ток не более 0,2 А.

1.3.3 Настроив осциллограф, получить на его экране четкое изображение кривой несинусоидального напряжения на сопротивлении R. Записать установленные на осциллографе масштабы напряжения и времени. Зарисовать форму кривой напряжения, приложив к экрану осциллографа лист кальки.

1.3.4 По осциллограмме определить максимальное значение напряжения и записать его в таблицу 1.1.

 

Таблица 1.1 - Экспериментальные данные исследования несинусоидального напряжения

Схема
	В	В	В
С выпрямителем
С нелинейной катушкой

 

1.3.5 Записать в таблицу 1.1 показания вольтметра для двух режимов его работы:

- в режиме измерения переменного напряжения (вольтметр покажет действующее значение измеряемого напряжения);

- в режиме измерения постоянного напряжения (вольтметр покажет постоянную составляющую  измеряемого напряжения).

1.3.6 Заменить выпрямитель на катушку с ферромагнитным сердечником. Повторить опыты, указанные в пунктах 1.3.2 - 1.3.5. Измеренные экспериментальные данные записать в таблицу 1.1.

 

1.4 Обработка результатов эксперимента

1.4.1 Разложить в ряд Фурье несинусоидальное напряжение, полученное с помощью выпрямителя, аналитически с помощью программы Mathcad, графическим и графоаналитическим методами. Результаты вычислений записать в таблицу 1.2.

Таблица 1.2 - Разложение в ряд Фурье несинусоидального напряжения (схема с выпрямителем)

 

Метод разложения  в ряд Фурье								U
	В	В	град	В	град	В	град	В
аналитический
графический
графоаналитический

 

1.4.2 Разложить в ряд Фурье несинусоидальное напряжение, полученное с помощью нелинейной индуктивности, графическим и графоаналитическим методами. Результаты вычислений записать в таблицу 1.3.

1.4.3 Записать исследуемые несинусоидальные напряжения в виде рядов Фурье.

 

 

Таблица 1.3 - Разложение в ряд Фурье несинусоидального напряжения (схема с нелинейной катушкой)

Метод разложения в ряд Фурье								U
	В	В	град	В	град	В	град	В
графически
графоаналитически

 

 

1.4.4 Вычислить действующие значения несинусоидального напряжения для схем с выпрямителем и нелинейной катушкой по результатам, полученным разными методами разложения. Результаты вычислений занести в таблицы 1.2 и 1.4, сравнить с экспериментальными  данными.

1.4.5 По данным таблицы 1.2 на одном графике построить постоянную составляющую и три гармонические составляющие исследуемого несинусоидального напряжения. Определить результирующую кривую несинусоидального напряжения, сравнить ее с кривой, зарисованной на кальку с экрана осциллографа в п. 1.4.3. Определить по результирующей кривой напряжения его максимальное значение. Сравнить полученное значение с экспериментальным U_max.

1.4.6 По данным таблиц 1.2 и 1.3 вычислить коэффициенты амплитуды, формы, искажения и степень несинусоидальности напряжения.

 

1.5 Контрольные вопросы

 

1) Что такое спектр несинусоидальной величины и как определить его составляющие аналитически?

2) Какие существует виды симметрии кривых несинусоидальных величин и каковы особенности их спектра при этих видах симметрии?

3) В каких случаях и как производится графическое определение составляющих спектра несинусоидальной величины?

4) Что такое максимальное, действующее и среднее по модулю значения несинусоидальной величины и как их определить аналитически?

5) Какие системы амперметров и вольтметров применяются для измерения максимального, действующего и среднего по модулю значений и постоянной составляющей несинусоидальных напряжений и токов?

6) Какими коэффициентами характеризуются формы кривых мгновенных значений несинусоидальных напряжений, токов и как вычислить эти коэффициенты?

7) Что такое степень несинусоидальности напряжения?

 

2 Лабораторная работа № 2. Исследование переходных

процессов в электрических цепях с сосредоточенными

параметрами с одним реактивным элементом

Цель работы: Экспериментально исследовать переходной процесс в разветвленной электрической цепи с одной индуктивностью или с одной емкостью. Результаты проведенного опыта проверить  расчетным путем.

 

2.1 Краткие теоретические и практические сведения

Установившимся режимом называют длительно существующий режим работы цепи без изменений. Установившиеся режимы в электрических цепях характеризуются тем, что токи и напряжения теоретически могут существовать неограниченно долго, не изменяя своего характера, и при заданных конфигурации цепи и ее параметрах определяются только видом действующих в цепи источников энергии: постоянных, синусоидальных, несинусоидальных.

Под переходным процессом в электрической цепи  понимают процесс перехода от одного установившегося энергетического состояния к другому.

Переходные процессы в электрических цепях могут возникать по разным причинам. Их можно условно разделить на три группы. Первая – связана с изменением конфигурации схемы цепи, например, подключение или отключение ветви. Вторая группа – причины, связанные с изменением режима работы источника энергии, например, отключение или подключение источника электрической энергии. Третья -  связана с изменением параметров схемы. Все причины, вызывающие переходной процесс, называют коммутацией.

Под коммутацией будем понимать любое скачкообразное изменение в цепи, приводящее к нарушению установившегося режима. Коммутация (от лат. Commutatio – изменение, перемена) в электрической цепи осуществляется при помощи ключей (контакторов, реле и др. устройств).

На схеме замыкание и размыкание ключей  обозначают,  как показано на рисунке 2.1.

 

 

 

 

                    замыкание                                              размыкание

 Рисунок 2.1 – Обозначение в электрической схеме замыкания и размыкания ключей

 

Графически переходной процесс может быть представлен, как показано на рисунке 2.2, где ∆t  – длительность коммутации. На рисунке 2.2. а, длительность коммутации отлична от нуля, в действительности ∆t  стремится к нулю, что соответствует рисунку 2.2.б;

t = 0  – начальный момент коммутации;

t = 0_-  –  время непосредственно  до коммутации;

t = 0₊  – время непосредственно после коммутации.

 В дальнейшем t=0_-  будем называть начальным моментом до коммутации, а  t = 0₊  –   начальным моментом после коммутации;

Т – длительность (период) переходного процесса, которая определяется конфигурацией и параметрами цепи. Обычно переходной процесс длится  доли секунды, однако его  расчет имеет большое значение, так как в этот период в цепи могут возникать большие напряжения (перенапряжения) или большие токи (сверхтоки).

Физически переходные процессы  представляют собой процессы перехода от энергетического состояния, соответствующего докоммутационному режиму, к энергетическому состоянию, соответствующему послекоммутационному режиму. Докоммутационный и послекоммутационный режимы являются установившимися (принужденными).

 

 

Рисунок 2.2 а) – Кривая переходного процесса, Dt > 0

 

 

Рисунок 2.2 б) - Кривая переходного процесса, Dt = 0

 

Каждому принужденному режиму соответствует определенный запас магнитной W_м и электрической энергии  W_э в цепи. При переходе к другому принужденному режиму запас магнитной и электрической энергии должен изменяться. Так как в реальных цепях энергия электромагнитного поля  является непрерывной функцией времени (магнитная и электрическая энергия в цепи мгновенно измениться не могут), следовательно, магнитная (электрическая) энергия в начальный момент до коммутации должна быть равна магнитной (электрической) энергии в начальный момент после коммутации уравнения 2.1, 2.2:

                      W_м(t=0-) =   W_м(t=0+);                                               (2.1)

                     W_э(t=0-) =   W_э(t=0+).                                                 (2.2)

 

Запасенная в цепи магнитная энергия определяется суммарными потокосцеплениями (магнитными потоками) всех катушек, а электрическая - зарядами всех конденсаторов. Как известно, из курса физики, магнитная и электрическая энергии определяются как:

                                                  .        (2.3)

Считая неизменными (постоянными) величинами  значения индуктивностей и конденсаторов, можно заключить, что для выполнения равенства уравнений 2.1, 2.2 необходимо осуществление равенства следующих соотношений:

  или    ;

q(0_-) =  q(0₊)   или   .

Приведенные выражения являются математической записью законов коммутации, которые применяются при расчете переходного процесса.

 

2.1.1 Законы коммутации

Первый закон:

В начальный момент времени после коммутации  ток в ветви с индуктивностью имеет такие же значения, как  и  в начальный момент до коммутации,  и  с  этого  значения  плавно  изменяется.

                                             .                                    (2.4)

Второй закон:

В начальный момент времени после коммутации  напряжение на конденсаторе имеет такое же значение, как  и  в начальный момент до коммутации, и с этого значения плавно изменяется: 

                                           .                                  (2.5)

Эти законы используются при формировании начальных условий для определения постоянных интегрирования системы дифференциальных уравнений, описывающих состояние в электрической цепи. Законы коммутации позволяют найти напряжения на конденсаторах  и токи в катушках в момент коммутации u_C (0), i_L(0)  и в начальный момент после коммутации u_C (0₊), i_L(0₊), рассматривая состояние цепи до коммутации. Для других величин – токов и напряжений на резисторах, токов в конденсаторах и напряжений на катушках – непрерывность  этих значений в момент коммутации в общем случае не имеет места.

 

2.1.2 Основные режимы переходного процесса

Переходной процесс в электрической цепи с сосредоточенными параметрами описывается системой неоднородных или однородных дифференциальных уравнений с постоянными  коэффициентами. Из высшей математики известно, что решение неоднородного дифференциального уравнения складывается из частного решения дифференциального неоднородного уравнения и общего решения дифференциального однородного. Используя данную теорию для расчета переходных процессов в электрических цепях, получим  структуру для их расчета, рисунок 2.3.

Рисунок 2.3 - Трансформация решения неоднородных дифференциальных уравнений к расчету переходных процессов в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

 

Из рисунка 2.3 можно заключить следующее:

1) Частное решение неоднородного дифференциального уравнения определяет напряжения и токи в принужденном режиме, обозначают u_пр(t) или u_пр, i_пр(t) или  i_пр.

Принужденные составляющие напряжений, токов определяются любым  символическим методом расчета электрической цепи в установившемся режиме после коммутации.

2) Общее решение однородного дифференциального уравнения определяет токи и напряжения свободного процесса, которые обозначают u_св(t) или u_св, i_св(t) или  i_св.

Свободный процесс возникает в самый момент коммутации, он описывается однородным дифференциальным уравнением. Так как правая часть однородного дифференциального уравнения равна нулю, следовательно, на основании второго закона Кирхгофа можно утверждать, что однородные дифференциальные уравнения описывают процесс в электрической цепи с исключенными внешними источниками электрической энергии. Таким образом, можно заключить, что свободный процесс возникает в электрической цепи за счет запаса энергии в электрических и магнитных полях (внутренней энергии цепи).

Свободный процесс с течением времени затухает из-за наличия рассеивания энергии в активных сопротивлениях, поэтому напряжения u_св(t) и  токи i_св(t) с течением времени уменьшаются до нуля. Когда завершится свободный процесс и станут равными нулю u_св и i_св закончится и  переходной процесс, наступит новый принужденный режим.

Свободные составляющие могут определяться либо классическим, либо операторным методами.

3) Общее решение неоднородного дифференциального уравнения определяет  общие (полные) токи и напряжения в переходном процессе, их называют переходными токами и переходными напряжениями, обозначают  i(t) или i  и u(t) или u.

На основании вышеизложенного следует, что переходной процесс определяется путем наложения свободного процесса на принужденный, а общее его решение имеет вид:

                                           .                                         (2.6)

 

2.1.3 Начальные условия

Начальными условиями называются значения токов, напряжений и их производных в начальный момент переходного процесса в схеме при t = 0.

Начальные условия обозначают: .

Имеет смысл соотношение, полученное на основании системы (2.6):

                                                                                                              (2.7)

Начальные условия делятся на независимые и зависимые начальные условия. В свою очередь независимые начальные условия подразделяются на независимые начальные условия общие (полные) и независимые начальные условия для свободных составляющих.

Независимые начальные условия общие - это значения тока через индуктивность  и напряжение на емкости , определяемые из законов коммутации, рассчитываемые при t = 0_-  .

Независимые начальные условия для свободных составляющих определяются из системы (2.7):

                                      

                                      .                             (2.8)

Зависимые начальные условия – начальные значения всех остальных токов, напряжений и их производных. Зависимые начальные условия также подразделяются на зависимые начальные условия общие (полные) и зависимые начальные условия для свободных составляющих.

Для определения зависимых начальных условий общих решают систему дифференциальных уравнений цепи при , составленную по законам Кирхгофа в послекоммутационном режиме с учетом независимых начальных условий i_L(0)  и  u_C(0).

Зависимые начальные условия для свободных составляющих определяют  из  системы дифференциальных уравнений цепи при , составленную по законам Кирхгофа в послекоммутационном режиме для схемы с исключенными источниками энергии с учетом i_Lсв(0)  и  u_Cсв(0). 

Рассмотрим, как рассчитываются начальные условия на примере.

Пример 2.1:

Рисунок 2.4

Дано:  E = const, R, L, C.

Определить: независимые начальные условия.

Решение:

• Независимые начальные условия общие определяем из законов коммутации. Схему рассматриваем до коммутации.

Рисунок 2.5

По закону Ома определяем ток до коммутации

.

На основании первого закона коммутации

, Þ     .

Так как до коммутации ключ находился в разомкнутом положении, то ветвь с конденсатором отсутствовала. Следовательно, на основании второго закона коммутации

,

напряжение на конденсаторе равно нулю:

u_C(0) = 0.

• Определим принужденные составляющие. Для этого рассмотрим режим работы цепи после коммутации, рисунок 2.6. Так как в схеме действует постоянный источник ЭДС путь прохождения тока будет таким, как показано на рисунке (ток в ветви с конденсатором равен нулю i_C(0) = 0.

Рисунок 2.6

3) Независимые начальные условия для свободных составляющих определяем из уравнений  переходного процесса, система (2.6).

                                                                               (2.9)

 

 

2.1.4 Расчет переходных процессов классическим методом

Классический метод расчета переходных процессов состоит в составлении интегрально-дифференциальных уравнений для мгновенных значений токов и напряжений в послекоммутационной схеме, их решении и определении показателей затухания и постоянных интегрирования из начальных условий.

Показатели затухания определяются из характеристического уравнения переходного процесса, составленного для электрической цепи после коммутации.

Способы составления характеристического уравнения

          Существуют три способа составления характеристического уравнения:

         1) По алгебраизированному уравнению, полученному путем исключения неизвестных кроме одного из системы дифференциальных уравнений (приведение уравнения к нормальной форме – форма Коши).

         2) По главному определителю алгебраизированной системы дифференциальных уравнений.

         3) По оператору входного сопротивления.

         Рассмотрим более подробно третий способ.

Составление характеристического уравнения по оператору входного сопротивления.

Данный способ составления характеристического уравнения является самым простым и наиболее чаще употребляемым. Сущность способа заключается в следующем:

1) Записывают выражение входного сопротивления электрической схемы с исключенными источниками энергии (источники ЭДС замкнуты, ветви с источниками тока разомкнуты) на переменном токе  относительно точек разрыва любой ветви в послекоммутационном режиме (Z(jω)) .

2) Полученное выражение алгебраизируют: заменяют jω на p
 (Z(jω)® Z(p)).

3) Выражение Z(p) приравнивают к нулю Z(p) = 0.

Если разветвленная цепь имеет лишь один источник ЭДС, то выражение для входного сопротивления удобнее составлять относительно ветви с источниками ЭДС. Если в схеме имеется источник тока, характеристическое сопротивление нельзя составлять относительно ветви с источником тока. Его следует рассчитывать относительно любой другой ветви схемы, полагая при этом ветвь с источником тока разомкнутой.

         Примечание:     Для переходных процессов характерно, что показатели затухания  р одинаковы для всех свободных составляющих схемы, т.к. вся цепь охвачена единым процессом. Исключения составляют идеализированные случаи, когда сопротивление проводов между источником энергии и приемником равно «0». В этом случае характеристическое уравнение составляется для каждой ветви в отдельности.

Пример 2.2:

Составить характеристическое уравнение по оператору входного сопротивления для цепи, представленной на рисунке 2.10.

Рисунок 2.10

Решение:

1) Схема, соответствующая электрической схеме, рисунок 2.10, с исключенным источником ЭДС и осуществленной заменой jω на p, представлена на рисунке 2.11.

Рисунок 2.11

2) Составим выражение входного сопротивления электрической схемы относительно разомкнутых зажимов:

.

3) Из высшей математики известно, дробь равна нулю, когда числитель равен нулю:

                                  .

Полученное выражение и является характеристическим уравнением.           

 

Постоянная времени и ее влияние на длительность переходного процесса

         Постоянная времени τ – это величина обратная корню характеристического уравнения по модулю. Если корни вещественные, постоянная времени определяется как: . Чем больше τ, тем больше время переходного процесса. Обычно период переходного процесса равен  
Т_ПП = (4 – 5) τ.

 

Построение графиков свободных составляющих  переходного процесса

         Если корень характеристического уравнения вещественный, то выражение для свободной  составляющей имеет вид:

.

Очень часто в расчетах используют приближенный метод построения экспоненциальных кривых, при котором значение  е считают равным трем, а по оси абсцисс (ось времени) задаются значениями t  кратными соответствующим значениям τ: t = 0; t; 2t; 3t; 4t…. В этом случае для кривой вида  получают:

                                     ;

                   t = τ                     ;

                   t = 2 τ                 ;  

                   t =3 τ                  ;                             t =4 τ                   ,

что соответствует графику, показанному на рисунке 2.12.

Рисунок 2.12

 

Алгоритмы  расчета  переходных  процессов классическим методом

Первый  вариант

1) Расчет принужденных составляющих: тока через катушку индуктивности и  напряжения на конденсаторе.

              1.1) Определение тока через катушку индуктивности и  напряжения на конденсаторе как функций времени для схемы после коммутации  i_Lпр (t),  u_Cпр(t).

             1.2) Определение принужденных составляющих тока через катушку индуктивности и напряжения на конденсаторе при t = 0 : i_Lпр(0),  u_Cпр(0).

2) Определение независимых начальных условий.

              2.1) Расчет независимых начальных условий общих из законов коммутации i_L(0) и  u_C(0).

              2.2) Расчет независимых начальных условий для свободных составляющих тока через катушку индуктивности и  напряжения на конденсаторе :

,

.

3) Определение свободных составляющих.

              3.1) Составление характеристического уравнения.

              3.2) Определение корней характеристического уравнения.

               3.3) Запись выражений для свободных составляющих в зависимости от вида корней.

             3.4) Определение постоянных интегрирования.

4)  Составление искомого выражения для функций переходного процесса: .

5) Построение графиков переходного процесса по их составляющим.

 

Второй вариант

1) Расчет принужденных составляющих для всей схемы и определение их в момент времени  t = 0₊  -  x _пр(0₊).

2) Расчет независимых начальных условий по законам коммутации i_L(0) и u_C(0).

3) Расчет цепи непосредственно после коммутации при t = 0₊, определение начальных условий  x (0₊).

4) Определение независимых начальных условий для свободных составляющих при t = 0₊  :

5) Определение свободных составляющих как функция от времени.

               5.1) Составление характеристического уравнения.

               5.2) Определение корней характеристического уравнения.

      5.3) Запись выражений для свободных составляющих в зависимости от вида корней.

              5.4) Определение постоянных интегрирования.

6) Составление искомого выражения.

7) Построение графиков переходного процесса по их составляющим.

 

         Второй алгоритм расчета переходных процессов классическим методом более универсальный, т.к. позволяет рассчитать одновременно токи и напряжения в любой ветви схемы, в отличие от первого, которым можно непосредственно определить только токи и напряжения на катушке индуктивности и емкости.

Пример 2.3:

Определить закон изменения напряжения на конденсаторе и тока в нем при переводе ключа из положения «1» в положение «2», рисунок 2.13, если

E = 100 В, R₁ = R₂ = 100  Ом, C = 20 мкФ.

Рисунок 2.13

Первый вариант решения:

1) Принужденная составляющая напряжения на конденсаторе равна нулю,

u_Cпр(t) = u_Cпр(0) = 0,

т.к. при переводе ключа в положение «2» цепь CR₂ станет обесточенной, рисунок 2.14, б.

                                                                           

                                                                   

 

 

 

 

                          а)                                                                                    б)

Рисунок 2.14

 

2) По второму закону коммутации определим u_C (0).

До коммутации, ключ находился в положении «1», рисунок 2.14, а. В этом случае считают, что цепь разомкнута, так как ветвь с конденсатором на постоянном токе терпит разрыв, следовательно, напряжение  на зажимах конденсатора равнялось значению источника ЭДС, т.е.

Тогда

                   u_Cсв(0) = u_C(0) – u_Спр(0) = 100 – 0 = 100 В  ,                       (2.10)

3) Характеристическое уравнение для данной цепи:

,

откуда

 с^-1.

      Корень характеристического уравнения вещественный, действительный, следовательно, свободная составляющая u_Cсв(t) имеет вид

                                                    .                                               (2.11)

         Для определения постоянной интегрирования A запишем выражение (2.11) при t = 0, получим

.

         С учетом (2.10) A = 100, тогда

, В.

Окончательное выражение для переходного напряжения на емкости представляет собой сумму принужденной и свободной составляющих, т.е.

, В.

         График u_C(t) показан на рисунке 2.15.

Рисунок 2.15

Из курса физики известно, что ток , продифференцировав по времени выражение для u_C(t), получим:

                    А.

 

Второй вариант  решения:

1) Определим принужденные составляющие при t = 0₊ , рисунок 2.14, б:

u_Cпр (0) = 0;        i_Cпр (0) = 0.

2) Независимые начальные условия:

 В.

3) Составив систему уравнений по законам Кирхгофа для схемы, рисунок 2.13,:

,

перепишем ее при .

.

Из нее определим .

;

 А.

4) Найдем свободные составляющие при  t = 0₊.

, A.

, В.

5) Характеристическое уравнение имеет вид:

, его корень

.

Свободные составляющие тока и напряжения имеют вид:

,  ,

так как        , , то

                   , А

                   , В.

6) Выражения для искомых величин следующие:

, А.

 , В.

 

2.1.5 Операторный метод расчета переходных процессов. Сущность операторного метода расчета переходных процессов

 

Сущность операторного метода заключается в том, что вместо искомых напряжений u(t) и токов i(t), которые называют оригиналами, в расчете используют их операторные изображения U(p) и I(p) называемые, соответственно, операторными напряжениями и токами. Переход от оригинала к изображению осуществляется с помощью, так называемого прямого преобразования Лапласа, уравнение (2.12)

                                                       ,                                    (2.12)

где    f(t)     - функция оригинала;

         F(p)   - операторное изображение функции;

         p = δ + jω   - комплексный параметр.

 Благодаря этому переходу решение из области функций действительного переменного (временной области) переносится в область функций комплексного переменного p =δ + jω, где математические операции принимают более простой вид, а именно: операции дифференцирования и интегрирования заменяются алгебраическими действиями умножения и деления. В результате исходная система интегродифференциальных уравнений относительно оригиналов заменяется системой алгебраических уравнений относительно изображений.

При решении полученной системы алгебраических уравнений определяются изображения искомых функций (токов или напряжений), а затем с помощью обратного преобразования Лапласа, уравнение (3.13) осуществляется переход от изображения к оригиналам, т.е. определяют искомые токи и напряжения.

                                                                    (2.13)

Возможность упрощения решения путем алгебраизации системы интегродифференциальных уравнений является несомненным достоинством операторного метода. К недостаткам его следует отнести меньшую наглядность по сравнению с классическим, а также трудность перехода от изображений к оригиналам.

Операторный метод может быть эффективно использован при расчете переходных процессов в электрических цепях, описываемых дифференциальными уравнениями третьего, четвертого порядка.

Операторные схемы замещения

В электротехнике переход из области оригиналов в область изображений осуществляется путем составления операторных схем замещения, в которых элементы электрической цепи заменяются их операторными изображениями, таблица 2.1.

 

Таблица 2.1 – Операторные схемы замещения

Элемент электрической цепи	Уравнения, описывающие элемент цепи (дифференциальная и операторная форма записи)	Операторные изображения элемента цепи
1	2	3
1.Источник ЭДС	Постоянные источники энергии
2. Источник тока	Синусоидальные источники энергии или
3. Резистор		б
4. Индуктивный элемент
5. Емкостной элемент

 

 

 

 

Закон Ома  в операторной форме

         Рисунок 2.16 – Участок активной электрической ветви

Операторная схема замещения заданного участка активной электрической ветви имеет вид:

Рисунок 2.17 – Операторная схема замещения участка активной электрической ветви.

Закон Ома в операторной форме для активной ветви запишется как:

,

где  – операторное сопротивление участка цепи между точками a и b;

        ,  - внутренние (расчетные) операторные ЭДС катушки индуктивности и емкости, соответственно.            

 

 

 

Законы Кирхгофа в операторной форме

Первый закон Кирхгофа в операторной форме

         Для любого узла разветвленной цепи

,                                                      (2.14)

где  I_k(p) - операторное изображение тока i_k(t) k–го проводника, присоединенного к рассматриваемому узлу;

          n - число ветвей, присоединенных к узлу.

 

Второй закон Кирхгофа в операторной форме

         Для любого замкнутого контура, состоящего из  n -ветвей

                         ,                 (2.15)

где i_k (0), u_Ck (0) – независимые начальные условия, определяемые из законов коммутации для k – ой ветви;

- операторное сопротивление k - ой ветви.

         При ненулевых независимых начальных условиях: i_k ≠ 0 , u_Ck ≠ 0, в каждой ветви действует не только внешняя операторная ЭДС Е_k (p), но и внутренние (расчетные) операторные ЭДС:  и u_Ck(0). Направление внутренней ЭДС Li_k (0) совпадает с положительным направлением тока в этой ветви. Эта ЭДС характеризует накопление магнитной энергии в катушке индуктивности. Направление внутренней ЭДС u_Ck(0) не совпадает  с положительным направлением тока в этой ветви. Эта ЭДС характеризует накопление электрической энергии на конденсаторе.

         При нулевых начальных условиях формула (3.15) принимает более простой вид:

                                           ,                                 (2.16)

         Примечание:

         Выражения (2.15) и (2.16) применимы для электрических схем, не имеющих индуктивно связанных элементов.

 

Пример 2.4

Для заданной схемы, рисунок 2.18, представить операторную схему замещения, составить уравнения по 1-му и 2-му законам Кирхгофа в операторной форме.

Рисунок 2.18

         Операторная схема замещения, рисунок 2.19, составленная по правилам, приведенным выше, имеет вид:

Рисунок 2.19

         В соответствии с этой схемой уравнения по законам Кирхгофа запишутся в  виде:

 .

         Все методы расчета электрических цепей выводятся из законов Ома и Кирхгофа, поэтому для расчета изображений какого-либо тока или напряжения в конкретной операторной схеме замещения можно воспользоваться методами контурных токов, узловых потенциалов, эквивалентных преобразований, активного двухполюсника и т.д.

 

Алгоритм расчета переходных процессов операторным методом

1. Определение независимых начальных условий i_L(0), u_C(0) из законов коммутации;
2. Составление операторной схемы замещения;
3. Расчет операторной схемы замещения относительно изображений искомых функций;
4. Определение оригиналов искомых функций с помощью таблицы соответствия или теоремы разложения.

 

Теорема разложения

В электротехнике обратный переход из области изображений в область оригиналов осуществляется либо с помощью таблиц соответствия, представленных в [3, 4], либо с помощью теоремы разложения.

         Теорему разложения применяют в том случае, если найденное операторное изображение искомой функции представляет собой несократимую рациональную дробь.

.

 

         Уравнение  называют характеристическим. В зависимости  от  типа корней многочлена  возможны различные виды разложения. В электрических схемах с одним реактивным элементом возможны два типа корней, таблица 2.2.

 

Таблица 2.2

Вид корней характеристического уравнения	Формула разложения
1. Корень один, вещественный
2. Два корня, один из корней равен нулю

        

Порядок применения теоремы разложения

1. Найти искомое изображение в виде рациональной дроби:

.

2. Приравнять знаменатель к нулю, который является характеристическим уравнением: F₂(p)=0 .
3. Определить корни характеристического уравнения.
4. Найти производную от характеристического уравнения F₂^′(p).
5. Записать оригинал искомой функции в зависимости от типа корней, см. таблицу 2.2.

Пример 2.5:

Определить напряжение на конденсаторе u_C(t) и токи i₂(t); i_C(t) после коммутации операторным методом, для схемы, изображенной на рисунке 2.20, если , ; .

Рисунок 2.20

         Решение:

1) Определяем независимое начальное условие u_C(0) из второго закона коммутации:

.

До коммутации ключ находился в разомкнутом положении, схема имела вид, рисунок 2.21:

 

 

 

 

                                                  

Рисунок 2.21

Так как источник ЭДС постоянный, следовательно

u_C(0) = Е = 100 В.

 

2) Составляем операторную схему замещения, рисунок 2.22.

Рисунок 2.22

3) По методу двух узлов определяем

.

4) Находим корни характеристического уравнения F₂(p) = 0

 

;          (1/с).

5) Выражение для производной полинома F₂^′(p) имеет вид

F₂^′(p)=.

6) Используя теорему разложения, соотношение 2 таблицы 2.2, имеем

,  В.

7) Ток , определяем по закону Ома в операторной форме

.

 

         Так как выражение знаменателя F₂(p) осталось таким же, как и у U₁₂(p) , следовательно, корни p₀  и  p₁ и производная  будут такими же. В результате оригинал тока  можно представить как

,  А.

8) Ток  определяется как:

, А.

9) Кривые переходного напряжения u_C(t) и токов i₂(t),  представлены на рисунке 2.23.

Рисунок 2.23 – Кривые переходных напряжения и токов.

 

 

2.2 Описание лабораторной установки

Источником  прямоугольных импульсов напряжения является генератор сигналов Г5-63. Для зарисовки напряжения используют осциллограф С1-83.

 

2.3 Рабочее задание

а)  с конденсатором

б) с катушкой

                                  

Рисунок 2.24 – Исследуемые электрические схемы

 

2.3.1 Подключить генератор прямоугольных импульсов Г5-63 к сети. Основное напряжение генератора подать на осциллограф. При подключении зажима «вход» осциллографа к зажиму «2» генератора напряжение второго полупериода должно быть положительным. Установить удобное для проведения опытов вертикальное усиление осциллографа. Прикладывая к экрану осциллографа лист кальки, снять кривую напряжения на зажимах генератора.

2.3.2 По указанию преподавателя собрать одну из схем, изображенных на рисунке 2.24 и подключить ее к выходным зажимам генератора.

2.3.3 Подключить поочередно входные зажимы осциллографа к зажимам сопротивлений r₁ ,  r₂ ,  r₃ , конденсатора C (катушки индуктивности L) и, регулируя горизонтальное усиление, добиться того, чтобы кривая переходного процесса во втором полупериоде занимала основную часть экрана, при этом установившееся значение напряжения (тока) первого полупериода должно быть отчетливо видно. Прикладывая к экрану осциллографа листы кальки, снять кривые переходных напряжений на сопротивлениях r₁ ,  r₂ ,  r₃ , конденсатора C при исследовании схемы 2.24, а  и переходных токов в каждой ветви и напряжения на катушке индуктивности L при исследовании схемы 2.24, б.

2.3.4. Записать в таблицу 2.3:

- значение напряжения генератора прямоугольных импульсов  Г5-63 во втором полупериоде;

- величины сопротивлений r₁ ,  r₂ ,  r_{3 ,} конденсатора C (катушки индуктивности L).

 

Таблица 2.3 – Экспериментальные данные

 

U, B	mu	mt	R1, Ом	R2, Ом	R3, Ом	L, Гн	C, мкФ

 

2.3.5. Определить масштабы напряжения m_u и времени m_t, выставленные на осциллографе, и занести в таблицу 2.3.

 

2.4 Обработка результатов экспериментов

2.4.1 На снятых на кальку кривых переходных напряжений (токов) на сопротивлениях r₁ ,  r₂ ,  r_{3 ,} конденсатора C (катушки индуктивности L) провести оси координат и нанести на них шкалы напряжения и времени.

Пользуясь снятыми кривыми, определить постоянную времени  и начальные значения переходных, принужденных и свободных значений напряжений (токов). Записать найденные значения в таблицы 2.4, 2.5.

2.4.2 По данным таблиц 2.4, 2.5:

- записать выражения для переходных напряжений (токов) в таблицу 2.6 (2.7);

- проверить соблюдение законов коммутации и законов Кирхгофа.

 

 

Таблица 2.4 – Исследование переходного процесса в линейной цепи с конденсатором, схема 2.24, а

Напряжения в момент коммутации		1 ветвь	2 ветвь	3 ветвь
	В
	В
	В
	В
	В
	В

 

Таблица 2.5 – Исследование переходного процесса в линейной цепи с катушкой индуктивности, схема 2.24, б

Напряжения в момент коммутации		1 ветвь	2 ветвь	3 ветвь
i (0)	А
iпр (0)	А
iсв (0)	А
uL (0)	А
uLпр (0)	А
uLсв (0)	А

 

Таблица 2.6 – Сводная таблица выражений для переходных напряжений при исследовании схемы с конденсатором

 

Переходные напряжения	Эксперимент	Расчет
		Классический метод	Операторный метод
uR1
uR2
uR3
uC

 

 

 

Таблица 2.7 – Сводная таблица выражений для переходных токов и напряжения при исследовании схемы с катушкой индуктивности

 

Переходные токи и напряжение	Эксперимент	Расчет
		Классический метод	Операторный метод
iR1
iR2
iR3
uL

 

 

2.3.3 Считая заданными параметры цепи и величины ЭДС: Е₁ , Е₂, равные напряжениям генератора в первом и во втором полупериодах, рассчитать переходной процесс в исследуемой цепи классическим и операторным методами.

2.3.4 По результатам расчета построить в масштабе кривые переходных напряжений (токов) на сопротивлениях r₁ ,  r₂ ,  r_{3 ,} емкости С (катушки индуктивности L). Произвести качественное и количественное сравнение расчетных и экспериментальных кривых переходных напряжений (токов), а также постоянной времени .

 

2.5 Контрольные вопросы

1) В чем заключается причины возникновения переходных процессов?

2) Как формулируются законы коммутации?

3) Какие способы составления характеристического уравнения Вы знаете?

4) В чем сущность метода входного сопротивления составления характеристического уравнения?

5) Чем определяется характер свободного процесса?

6) В чем сущность операторного метода расчета переходного процесса?

7) Какие начальные условия называются независимыми и зависимыми?

8) Как определяются независимыми и зависимыми начальные условия?

9) Запишите закон Ома в операторной форме.

10) Запишите законы Кирхгофа в операторной форме.

11) Зарисуйте операторную схему замещения катушки индуктивности.

12) Что характеризует с физической точки зрения внутренний источник катушки индуктивности в операторной схеме замещения.

13) Зарисуйте операторную схему замещения конденсатора.

 

 

3 Лабораторная работа №3. Исследование нелинейных
 цепей постоянного тока

 

Цель работы: Ознакомиться с вольтамперными характеристиками некоторых нелинейных сопротивлений и методикой их опытного определения. Произвести экспериментальную проверку графических расчётов нелинейных цепей.

3.1 Основные  теоретические положения

Нелинейные электрические цепи – это цепи, содержащие хотя бы один нелинейный элемент, то есть элемент, параметры которого зависят от значений или направлений тока, напряжения, потока, заряда на этом элементе цепи.

 

Рисунок 3.1 – Вольтамперные характеристики неуправляемых резисторов

Нелинейные резистивные элементы в отличие от линейных обладают криволинейными вольтамперными характеристиками и могут быть подразделены на две большие группы: неуправляемые и управляемые. В неуправляемых нелинейных элементах вольтамперная характеристика изображается одной кривой, а в управляемых – семейством кривых.

В группу неуправляемых нелинейных резистивных элементов входят лампы накаливания, электрическая дуга, бареттер, газотрон, стабиловольт, тиритовые сопротивления, полупроводниковые выпрямители (диоды) и некоторые другие.

На рисунке  3.1 изображены вольтамперные характеристики наиболее часто встречающихся неуправляемых резисторов.

Вольтамперную характеристику показанную на рисунке 3.1,а имеют, например, лампы накаливания с металлической нитью. Чем больше протекающий ток через нить, тем сильнее нагревается нить и тем больше становиться ее сопротивление.

Вольтамперной характеристикой (рисунок 3.1,б) обладают варисторы, некоторые типы терморезисторов и лампы накаливания с угольной нитью. Для данной группы характерно, что с увеличением протекающего тока сопротивление их уменьшается.

Вольтамперной характеристикой (рисунок 3.1,в) обладает, например, бареттер. Бареттер выполняют в виде спирали из стальной проволоки, помещенной в стеклянный сосуд, заполненный водородом под давлением. В определенном диапазоне изменения тока вольтамперная характеристика бареттера расположена почти горизонтально.

Вольтамперной характеристикой (рисунок 3.1,г) обладают полупроводниковые диоды (кремниевые, германиевые), широко применяемые для преобразования переменного тока в постоянный. Они способны пропускать ток практически только в одном, проводящем направлении. Широко используют их также в различных датчиках и преобразователях устройств автоматики.

Вольтамперные характеристики (рисунок 3.1,д) имеют электрическая дуга с разнородными электродами, газотрон и некоторые типы терморезисторов. Если напряжение повышать, начиная с нуля, то сначала ток растет, но остается весьма малым, после достижения напряжения  (напряжения зажигания) происходит резкое увеличение тока в цепи и снижение напряжения на электрической дуге или газотроне. Участок вольтамперной характеристики верхнего участка кривой рисунок 3.1,д называют  падающим участком вольтамперной характеристики, который характеризуется тем, что положительному приращению тока через нелинейный элемент соответствует отрицательное приращение напряжения на нём.

Электрическая дуга между электродами, выполненными из одного и того же материала и находящимися в одинаковых условиях, имеет вольтамперную характеристику изображенную на рисунке 3.1,е.

В группу управляемых нелинейных элементов входят трехэлектродные (и более) лампы, транзисторы, тиристоры, терморезисторы, фоторезисторы, фотодиоды, магниторезисторы, магнитодиоды, магнитотранзисторы и другие элементы.

Электрическое и магнитное состояние нелинейной цепи постоянного тока (потока) описывается системой нелинейных алгебраических уравнений, не имеющих общих аналитических методов решений.

К частным методам анализа режимов нелинейных цепей относятся: графический метод, метод аналитической аппроксимации.

При расчете сложной разветвленной цепи, содержащей нелинейные элементы, следует обратить внимание, на то, что с линейной частью цепи, можно осуществлять любые эквивалентные преобразования, если они облегчают расчет всей сложной схемы, например, преобразование «треугольник сопротивлений» в « звезду» и обратно и так далее. Из методов расчета применяемых для линейных цепей, к нелинейным цепям применимы следующие методы: метод двух узлов, замена нескольких параллельно включенных ветвей одной эквивалентной, метод эквивалентного генератора.

В основе графического метода расчета нелинейных электрических цепей лежит решение нелинейных уравнений, описывающих электрическое состояние цепи, путем графических построений.

Исходными данными для такого решения являются параметры (, , ) линейных элементов и вольтамперные характеристики нелинейных элементов, заданные в виде графиков и (или) таблиц.

Пример 3.1.

Рассмотрим установившийся процесс в цепи, содержащей один нелинейный элемент (рисунок 3.2,а).

 

              а)                                                                  б)     

Рисунок 3.2 – Схема и вольтамперная характеристика нелинейного
резистора

 

Дано: ; ВАХ нелинейного элемента, рисунок 3.2 б.

Требуется определить значение тока в цепи.

Решение:

• Согласно уравнению , находим точку пересечения Е с  U(I)  рисунок  2,б);
• Опустив перпендикуляр из точки пересечения на ось ординат определяем значение тока .

 

Пример 3.2

Два нелинейных элемента соединены последовательно, известны ВАХ резисторов и величина приложенного напряжения, рисунок 3.3, а. Требуется определить величину тока в цепи.

 

а)                                                                         б)

Рисунок 3.3  -  Схема и вольтамперная характеристика двух последовательно соединенных нелинейных элементов

Решение:

1. Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для заданной цепи

.

Графическим решением  полученного уравнения является точка пересечения  кривой левой части с кривой правой части уравнения.

2. Для получения кривой правой части уравнения суммируем две ВАХ нелинейных резисторов (рисунок 3.3, б). При сложении учтём, что при последовательном соединении ток имеет одно и то же значение, поэтому суммируем напряжения на нелинейных элементах при одинаковом значении тока. В результате получаем зависимость U(I);
3. Откладываем величину приложенного напряжения U;
4. Определяем точку пересечения U с кривой U(I);
5. Из точки пересечения опускаем перпендикуляр к оси тока и определяем ток в цепи I.

Пример 3.3

Два нелинейных элемента соединены параллельно, рисунок 5.4 а), их вольтамперные характеристики показаны на рисунке 5.4 б).

Требуется определить значение тока в неразветвленной части цепи.

                               а)                                                                б)

Рисунок 3.4 – Схема и вольтамперная характеристика двух параллельно соединенных нелинейных элементов

Решение:

1. Запишем уравнение по первому закону Кирхгофа:

;

2. Суммируем характеристики нелинейных элементов по току, т.к. элементы соединены параллельно. Получаем зависимость U_ab(I);
3. Откладываем величину приложенного напряжения U;
4. Определяем точку пересечения U с кривой U_ab(I) ;
5. Из точки пересечения опускаем перпендикуляр на ось тока и определяем ток в цепи I.

 

Помимо графоаналитического метода для расчёта электрических цепей с нелинейными элементами применяют метод аналитической аппроксимации.

В основе метода лежит представление вольтамперной характеристики нелинейного элемента аналитической функцией, приближенно описывающей эту характеристику. Анализ режимов проводят аналитически с применением известных методов из теории линейных электрических цепей.

Алгоритм решения:

1) представить вольтамперную характеристику нелинейного элемента в виде аналитической функции;

2) составить систему уравнений по расчету заданной электрической цепи;

3) решить полученную систему уравнений, подставив численное значение параметров и заменив неизвестные токи (напряжения) на нелинейном элементе, аппроксимирующей функцией;

4) проверить правильность решения с помощью уравнения баланса мощностей цепи.

Рассмотрим пример (рисунок 3.5):

Рисунок 3.5

Дано:  В;  Ом. Вольтамперная характеристика нелинейного элемента задана аппроксимирующей аналитической функцией: .

Найти токи цепи и напряжения на ее участках.

Решение:

Согласно второму закону Кирхгофа: .

Подставляя численное значение параметров, получаем квадратное уравнение:

.

Решая полученное квадратное уравнение, получаем два корня:

 А;  А.

Так как в рассчитываемой цепи ток не может быть направлен против направления, указанного на схеме, то значение  А не удовлетворяет условию задачи.

При токе  А  напряжения  В,  В.

Баланс мощностей:

25 Вт = 25 Вт.

 

Свойства нелинейного резистора могут быть охарактеризованы либо его ВАХ, либо зависимостями его статического и дифференциального сопротивлений от тока.

Статическое сопротивление  характеризует поведение нелинейного резистора в режиме неизменного тока. Оно равно отношению напряжения на нелинейном резисторе к протекающему по нему току:

.

Сопротивление численно равно тангенсу угла между осью ординат и прямой, идущей в рабочую точку, умноженному на отношение масштабов по осям:

При переходе от одной точки вольтамперной характеристики к другой статическое сопротивление изменяется.

Под дифференциальным сопротивлением понимают отношение приращения напряжения на нелинейном резисторе к приращению тока:

.

 

Рисунок 3.6 – Графическое определение статического и дифференциального сопротивлений

Дифференциальное сопротивление численно равно тангенсу угла наклона касательной к вольтамперной характеристике в рабочей точке, умноженному на отношение масштабов по осям:

.

Дифференциальное сопротивление характеризует поведение нелинейного резистора при малых отклонениях от предыдущего состояния.

Таким образом, статическое сопротивление – это сопротивление нелинейного резистора по постоянному току, а дифференциальное сопротивление – по малой переменной составляющей. Величины статического и дифференциального сопротивлений зависят от положения рабочей точки на вольтамперной характеристике. При этом статическое сопротивление всегда положительно, а дифференциальное сопротивление может иметь и положительный, и отрицательный знак. Если  заранее известно, что область работы нелинейного элемента не выходит за пределы небольшого участка вольтамперной характеристики, который может быть с некоторой степенью приближения заменён отрезком прямой, то нелинейный резистор может быть заменен эквивалентным линейным сопротивлением и источником ЭДС. Если рабочая точка перемещается по небольшому линейному участку характеристики около точки а, то для этого участка выразим из треугольника:

где x – длина гипотенузы. Выразим x и приравняем выражения

Выразим напряжение

.

Полученному уравнению удовлетворяет участок цепи (рисунок 3.7).

Рисунок 3.7

На нём  и линейное сопротивление .

Замена нелинейного резистора линейным сопротивлением и источником ЭДС удобна тем, что после неё вся схема становится линейной и её работа может быть описана методами, применяемыми для линейных цепей.

 

3.2 Описание лабораторной установки

Источником питания является источник постоянного тока Б5-4А. Нелинейные элементы расположены на рабочей панели стенда.

 

 

3.3 Рабочее задание

1) Собрать схему, изображенную на рисунке 3.8.

 

Рисунок 3.8

2) Подключить к зажимам  НЭ1 и после проверки электрической цепи преподавателем включить питание переключателем П1. Плавно регулируя напряжение источника снять 6-7 значений тока и напряжения на НЭ1. Результаты измерений занести в таблицу 3.1.

3) Повторить опыт, включив в электрическую цепь взамен НЭ1 нелинейный элемент - НЭ2.

Таблица 3. 1 – Результаты измерений и вычислений опытов

НЭ1	, В
	, mА
	,Ом
НЭ2	, В
	, mА
	,Ом
Неразветвленная цепь с НЭ1 и НЭ2	, В
	, mА
	,Ом
Разветв-ленная цепь с НЭ1 и НЭ2	, В
	, mА
	,Ом

 

4) Собрать электрическую цепь, содержащую последовательное соединение НЭ1 и НЭ2. Экспериментально снять эквивалентную вольтамперную характеристику неразветвленной электрической цепи. Результаты измерений занести в таблицу 3.1.

5) Собрать электрическую цепь с параллельно соединенными НЭ1 и НЭ2 и повторить опыт.

 

3.4 Обработка результатов экспериментов

1) Для каждой точки ВАХ рассчитать статическое сопротивление. Используя опытные данные, построить в одних координатах графики вольтамперных характеристик НЭ1 и НЭ2, а также эквивалентные вольтамперные характеристики последовательного и параллельного соединения нелинейных элементов.

2) Провести анализ графического метода расчета неразветвленной и разветвленной электрических цепей, проверив правильность выполнения законов Кирхгофа в нелинейных цепях, т.е. графически сложить ВАХ НЭ1 и НЭ2 при последовательном и параллельном соединении.

3)  Проанализировать проведенные построения.

 

3.5 Контрольные вопросы

 

• Что такое вольтамперная характеристика?
• Какие сопротивления называют линейными и какие нелинейными?
• Что такое статическое сопротивление?
• Что такое дифференциальное сопротивление?
• Какие нелинейные сопротивления называются управляемыми, а какие – неуправляемыми?
• Каков порядок расчёта нелинейной цепи постоянного тока с одним источником при последовательном соединение нелинейных элементов?
• Каков порядок расчёта нелинейной цепи постоянного тока с одним источником при параллельном соединение нелинейных элементов?
• В чуть суть метода аналитической аппроксимации? Порядок расчёта.
• Два одинаковых нелинейных элемента, вольтамперная характеристика которых изображена на графике, соединены параллельно. Определить статическое сопротивление цепи, если напряжение источника равно 20 В. Приведите схему данной цепи.
• Три лампы с одинаковыми вольтамперными характеристиками соединены по смешанной схеме. Определить напряжение на входе цепи, если ток в первой ветви равен 0,4 А. Вольтамперная характеристика лампы приведена на графике.

 

 

 

4 Лабораторная работа №4. Исследование катушки

с ферромагнитным сердечником
 

Цель работы: Изучить электромагнитные явления в катушке с ферромагнитным сердечником и зависимость её параметров от величины приложенного синусоидального напряжения и величины воздушного зазора.

4.1 Основные  теоретические положения

4.1.1 Основные характеристики ферромагнитных материалов

Магнитные цепи – это устройства или их совокупность, содержащая ферромагнитные материалы, предназначенные для создания магнитного потока в определённой части пространства.

Ферромагнитные материалы классифицируются по значениям коэрцитивной силы -  (рисунок 4.1). Если её значение меньше 4 кА/м, то материал называют магнитомягким, в противном случае магнитотвердым.

Магнитомягкие материалы перемагничиваются при малых значениях напряженности магнитного поля, как правило, они имеют небольшие значения , т.е. незначительную остаточную намагниченность, небольшую площадь петли гистерезиса (явление гистерезиса – отставание изменения магнитной индукции В от изменения напряженности магнитного поля Н). К магнитомягким материалам относятся электротехнические стали, пермаллои и ферриты. Их применяют во всех устройствах, которые работают или могут работать при периодически изменяющемся магнитном потоке (трансформаторах, электрических двигателях и генераторах, индуктивных катушках и т. п.).

Для магнитомягких материалов форма петли не имеет существенного значения, так как петля очень узкая, поэтому они характеризуются основной кривой намагничивания, и зависимостью удельных потерь энергии (площадь петли гистерезиса) от магнитной индукции.

Магнитотвердые материалы имеют значительную остаточную намагниченность и применяются для изготовления постоянных магнитов. Свойства магнитотвердых  материалов существенно зависят от формы петли гистерезиса. Обычно постоянные магниты в устройствах находятся в таких условиях, что магнитное состояние материала приближенно может быть описано участком, лежащим на кривой  размагничивания  петли гистерезиса – участок петли во втором квадранте между точками  и  (рисунок 4.1).

С целью увеличения индуктивности катушек их обмотку располагают на замкнутом сердечнике из ферромагнитного материала, обладающего высокой магнитной проницаемостью. В виду того, что для ферромагнитных материалов зависимость индукции B от напряженности магнитного поля H нелинейная, индуктивность катушек с ферромагнитными сердечниками непостоянна и может быть представлена функцией приложенного к зажимам катушки напряжения или протекающего по ней тока (L=f(u) или L=f(i)). Кроме того, в таких катушках необходимо считаться с потерями в сердечниках на вихревые токи и гистерезис.

 

4.1.2 Потери на гистерезис и вихревые токи

Периодическое перемагничивание ферромагнитных сердечников катушек при переменных токах сопровождается потерями энергии на гистерезис.

При протекании по обмотке катушки переменного тока в сердечнике возникает магнитное поле, которое наводит в нём вихревые токи, замыкающиеся в плоскостях, перпендикулярных направлению линий магнитной индукции. Наличие в сердечнике вихревых токов вызывает потери энергии (нагревание сердечника) и размагничивающий эффект («экранирующие действие» вихревых токов), обусловленный тем, что магнитные потоки, создаваемые вихревыми токами, направлены встречно потоку, создаваемому током в обмотке.

Для уменьшения потерь на вихревые токи и снижения их экранирующего действия ферромагнитные сердечники катушек собирают из электрически изолированных друг от друга листов электротехнической стали. С этой же целью увеличивают удельное сопротивление стали за счёт добавления примесей при её выплавке.

Потери энергии на гистерезис и на вихревые токи в сердечниках катушек называют потерями в стали:

                                              .                                              (4.1)

Общие потери в катушке с ферромагнитным сердечником складываются из потерь в стали Р_ст и потерь в меди обмотки катушки Р_м

                                                  ,                                              (4.2)

где

                                                            ;                                                   (4.3)

           r  – активное сопротивление провода катушки индуктивности.

Часто потерями в стали можно пренебречь ввиду их малости.

 

4.1.3 Формы кривых тока и напряжения в цепях с нелинейными катушками индуктивности

Пусть к зажимам нелинейной катушки, имеющей W витков, приложено синусоидальное напряжение

.

Протекающий по обмотке ток создает в сердечнике магнитный поток. Большая часть этого потока – поток Ф – замыкается по сердечнику, а меньшая часть – поток  – по воздуху. Поток  Ф называют основным потоком, а поток   - потоком рассеяния.

Если пренебречь активным сопротивлением обмотки и потоком рассеяния (идеальная катушка), рисунок 4.2,а, то приложенное к зажимам катушки напряжение будет уравновешиваться только ЭДС самоиндукции катушки, то есть

,

где Ф – основной магнитный поток в сердечнике.

Рисунок 4.2

Из этого соотношения можно определить магнитный поток:

,

где .

Полученное выражение для магнитного потока позволяет сделать следующие выводы:

1) при синусоидальном напряжении на зажимах катушки её магнитный поток также синусоидальный;

2) амплитуда магнитного потока прямо пропорциональна величине приложенного напряжения;

3) магнитный поток в сердечнике катушки по фазе отстает от приложенного напряжения на угол .

Необходимо заметить, что при синусоидальном приложенном напряжении и синусоидальном магнитном потоке, форма тока в катушке будет несинусоидальной. Однако, чтобы применить символические методы и векторные диаграммы для расчета нелинейных катушек, осуществляют замену несинусоидального тока катушки эквивалентным синусоидальным, рисунок 4.3. Условием эквивалентной замены является равенство действующих значений токов (несинусоидального и синусоидального) и равенство потерь в

стали при обеих формах кривой тока.

 

Рисунок 4.3 – Кривые мгновенных значений: напряжения u(---), магнитного потока Ф(t)(¾), мгновенного значения тока
i_ф(-·-·-) и эквивалентного синусоидального тока i_{ф эк}(----)

 

Эквивалентная синусоида тока по фазе будет отставать от синусоиды приложенного напряжения на угол  и опережать синусоиду магнитного потока на угол , который называется углом потерь, или углом магнитного запаздывания. Величина угла потерь определяется потерями в стали

.

                                                  .                                             (4.4)

Приложенное напряжение к зажимам реальной катушки, рисунок 4.2 б) компенсирует падение напряжения на активном сопротивлении обмотки  и уравновешивает две ЭДС самоиндукции, одна из которых создаётся основным магнитным потоком в сердечнике , а другая – потоком рассеяния , то есть

                                         .                                       (4.5)

Если учесть, что поток рассеяния, замыкающийся в основном по воздуху, прямо пропорционален току, то создаваемую им ЭДС самоиндукции в расчёте можно учесть произведением линейного индуктивного сопротивления  (сопротивления рассеяния) и значения тока: . Напряжение, уравновешивающее ЭДС, создаваемую основным магнитным потом обозначают U_ф .

В результате, считая ток синусоидальным, уравнение (4.5) можно записать в следующей символической форме

.

(4.6)

 Последнее слагаемое в уравнение (4.6) является нелинейной зависимостью от тока -

 

4.1.4 Векторная диаграмма нелинейной катушки индуктивности

Если известны действующие значения тока I, напряжения U и активной мощности P катушки с ферромагнитным сердечником, то построение векторной диаграммы, рисунок 4.4, можно провести следующим образом:

1. Примем в качестве исходного - положение вектора основного магнитного потока .
2. Отложим вектор приложенного напряжения , он будет опережать вектор на угол .
3. Построим вектор тока , для этого сначала определим углы φ и α, см. параграф 4.1.3:

.

Вектор тока строится по известной величине его действующего значения  и рассчитанной величине угла потерь .

4. Определим составляющие вектора тока , см. рисунок 4.4:

-  – ток потерь, обусловленный потерями энергии в сердечнике на вихревые токи и на гистерезис

;

-  – намагничивающий ток, создающий основной магнитный поток в сердечнике катушки.

Как было отмечено выше, ток катушки , а, следовательно, и его составляющие  и , находятся в нелинейной зависимости от напряжения .

5. Определим комплексное значение напряжения на активном сопротивлении провода катушки

и отложим вектор  как показано на диаграмме (вектор  параллелен вектору тока ; конец вектора   совпадает с концом вектора приложенного напряжения ).

6. Рассчитаем действующее значение U_Ф:

,

где r_o - активное сопротивление, характеризующее потери в стали магнитопровода, которое определяется как

.

На основании формул (4.2) и (4.3) потери в стали могут быть определены как:

7. Для определения положения векторов - напряжение на сопротивлении рассеяния () и напряжения применим метод засечек.

Из начала вектора  проведем окружность радиусом действующего значения , а из начала вектора  под углом 90⁰ прямую (напряжение на индуктивном сопротивлении X_S опережает ток на 90⁰); точка пересечения окружности и прямой определяет положение вектора  и величину вектора .

 

4.1.5 Определение параметров схемы замещения катушки с ферромагнитным сердечником

Построенной векторной диаграмме, рисунок 4.4, соответствует схема, изображенная на рисунке 4.5,а, которая называется схемой замещения или эквивалентной схемой катушки с ферромагнитным сердечником. В схеме замещения  и  – активная и реактивная нелинейные проводимости, обусловленные активной составляющей (током потерь) и реактивной составляющей (намагничивающим током), тока катушки.

 

Рисунок 4.5

Параллельное соединение  и  можно заменить эквивалентным последовательным соединением  и . В этом случае получим схему, изображенную на рисунке 4.5,б, где

Замена катушки с ферромагнитным сердечником схемой замещения применяется для упрощения расчёта цепи, в которую включена катушка.

Параметры схемы замещения катушки можно определить из опыта при помощи схемы, представленной на рисунке 4.6. Активное сопротивление обмотки  и сопротивление рассеяния  (если они учитываются) должны быть известны заранее.

 

 

 

 

Рисунок 4.6

 

Измеряются приложенное напряжение , ток  и мощность , а затем вычисляются:

;           ,

;           ;         ;        

 

4.1.6 Влияние воздушного зазора на параметры катушки с ферромагнитным сердечником

Если активное сопротивление обмотки  и сопротивление рассеяния   катушки незначительны, то падением напряжения на этих сопротивлениях можно пренебречь, и считать, что  практически равно приложенному напряжению .

Вследствие значительного увеличения магнитного сопротивления сердечника за счёт воздушного зазора сильно увеличивается намагничивающая составляющая тока катушки . При неизменной величине приложенного напряжения величина магнитного потока также остается неизменной, в следствии чего потери в стали сердечника также не изменяются и, следовательно, активная составляющая тока катушки , определяемая потерями в стали, остаётся прежней.

Таким образом, увеличение воздушного зазора приводит к уменьшению угла потерь a и снижению эквивалентных активного и индуктивного сопротивлений катушки.

Вольтамперная характеристика катушки при этом становится более пологой и постепенно приближается к прямой линии.

 

4.2 Описание лабораторной установки

В качестве источника питания использовать лабораторный автотрансформатор (ЛАТР) с возможностью изменения напряжения в пределах от 0 до 220 В. Амперметры с возможностью измерения тока от 0 до 1 А и от 0 до 2 А. Мультиметр ВР-11А для измерения сопротивления обмотки.

 

 

4.3 Рабочее задание

 

4.3.1 Записать указанные на катушке число витков обмотки - W и определить с помощью мультиметра величину её активного сопротивления - r. Занести данные в таблицу 4.1.

 

Таблица 4.1

Число витков обмотки  - W
Активное сопротивление  - r, Ом

 

4.3.2 Собрать схему, изображенную на рисунке 4.7. Установить воздушный зазор  равным нулю и, изменяя величину приложенного напряжения в пределах, указанных на  лабораторном стенде, снять показания приборов для 8-10 значений напряжения. Результаты измерений записать в таблицу 4.2.

Рисунок 4.7

Таблица 4.2

№ измерения	Измеренные			Вычисленные
	, В	, А	, Вт	, Вт	, Вт	, Ом	, Ом

 

4.3.3 В собранной схеме установить напряжение равным 150-200 В. Поддерживая установленное напряжение неизменным и изменяя величину воздушного зазора (с помощью прокладок, укладываемых одновременно с обеих сторон ярма сердечника), снять показания приборов для 5 - 7 значений воздушного зазора,  = 0; 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; 3. Результаты измерений записать в таблицу 4.3.

 

Таблица 4.3

№ измерения	Измеренные				Вычисленные
	, мм	, В	, А	, Вт		, Вт	, Вт	, Ом	, Ом

 

 

4.4 Обработка результатов экспериментов

4.4.1 По результатам измерений пункта 4.3.2 вычислить величины, указанные в таблице 4.2, и на одном графике построить зависимости тока , потребляемой катушкой мощности , мощности потерь в сердечнике  и обмотке , эквивалентных активного и реактивного сопротивлений и коэффициента мощности катушки от величины приложенного напряжения.

4.4.2 Для одного значения приложенного напряжения (по указанию преподавателя) построить векторную диаграмму катушки и определить параметры её схемы замещения, пренебрегая магнитным потоком рассеяния.

4.4.3 По результатам, измерений пункта 4.3.3 вычислить величины, указанные в таблице 4.3, и на одном графике построить зависимости тока, потребляемой катушкой мощности, мощности потерь в стали и обмотке, эквивалентных активного и реактивного сопротивлении и коэффициента мощности катушки от величины воздушного зазора.

4.4.4  Проанализировать построенные графические зависимости.

 

4.5 Контрольные вопросы

1) Какова физическая сущность потерь в стали катушек с ферромагнитными сердечниками, и каковы пути их снижения?

2) В чём заключается "экранирующий" эффект вихревых токов и как его снизить?

3) От чего зависят потери на вихревые токи и на гистерезис в ферромагнитных сердечниках катушек

4) Каковы будут формы кривых магнитного потока и тока катушки с ферромагнитным сердечником при синусоидальном приложенном напряжении, если пренебречь активным сопротивлением обмотки и магнитным потоком рассеяния?

5) С какой целью при анализе электромагнитного процесса несинусоидальный ток катушки с ферромагнитным сердечником заменяют эквивалентной синусоидой?

6) В чем заключается условие эквивалентной замены несинусоидального тока катушки с ферромагнитным сердечником синусоидальным током?

7) Что такое угол потерь катушки с ферромагнитным сердечником?

8) Как строится векторная диаграмма катушки с ферромагнитным сердечником?

9) Какова схема замещения катушки с ферромагнитным сердечником и как опытным путём определить её параметры?

 

 

5 Лабораторная работа №5.  Исследование пассивного
четырёхполюсника

 

Цель работы: Исследование режимов работы и экспериментальное определение постоянных четырёхполюсника.

 

• Основные теоретические положения

5.1.1 Основные понятия и определения

Четырёхполюсником называется часть электрической цепи, рассматриваемая по отношению к двум парам её выводов.

К четырёхполюснику, как к промежуточному звену, могут быть отнесены такие части электрической цепи, как двухпроводная линия, соединяющая источник с нагрузкой, мостовая схема, трансформатор, электрический фильтр, усилитель и т.д.

Пассивный четырёхполюсник не содержит источников электрической энергии, активный имеет внутри источники энергии.

Четырёхполюсник считается обратимым, если выполняется теорема обратимости, т.е. передаточное сопротивление входного и выходного контуров не зависит от того, какая пара из двух выводов является входной и какая выходной. Пассивные линейные четырёхполюсники обратимы.

Четырёхполюсник называют симметричным в том случае, когда перемена местами его входных и выходных зажимов не изменяет токов и напряжений в цепи, с которой он соединен.

Теория четырёхполюсника позволяет, пользуясь некоторыми обобщёнными параметрами, связать между собой напряжения и токи на входе и на выходе, не производя расчёта токов и напряжений в схеме самого четырёхполюсника. Так, напряжение и ток на входе пассивного линейного четырёхполюсника (рисунок 5.1) связаны с током и напряжением на выходе следующими уравнениями:

                                              (5.1)

где A, B, C, D – постоянные четырёхполюсника.

В общем случае это комплексные величины. А и D – безразмерные величины, В имеет размерность сопротивления, С – проводимости.

Рисунок 5.1

Они связаны между собой соотношением:

                                                  (5.2)

При питании четырёхполюсника  со стороны вторичных зажимов, основные уравнения имеют вид:

                                                (5.3)

Из определения симметричного четырёхполюсника непосредственно следует дополнительное условие:

                                                          (5.4)

При известных параметрах коэффициенты A, B, C, D четырёхполюсника можно определить, пользуясь схемами замещения Т- или П-образного типа.

              а)                                                                      б)

Рисунок 5.2 – Схемы четырёхполюсников

 

 

Так, при Т-образной схеме (рисунок 5.2, а)

                                         (5.5)

При П-образной схеме (рисунок 5.2,б)

                                         (5.6)

Если параметры неизвестны, то постоянные четырёхполюсника определяются на основании опытов холостого хода и короткого замыкания при любой схеме соединений внутри четырёхполюсника.

Измеряя напряжение и ток на входе (зажимы 1-1’),  при холостом ходе (при отсутствии нагрузки, присоединенной к зажимам 2-2’) и коротком замыкании  четырёхполюсника (зажимы 2-2’ соединены ) на выходе, получим

                                                         (5.7)

Аналогичным образом, поставив опыты холостого хода и короткого замыкания на зажимах 1-1’ и измеряя ток и напряжение со стороны зажимов 2-2’, получим

                                             (5.8)

Пользуясь этими выражениями и принимая во внимание связь

Можно вычислить все постоянные по результатам опытов холостого хода и короткого замыкания

                                            (5.9)

При этом следует иметь в виду, что из четырёх упомянутых опытов необходимы лишь три, а четвертый опыт, если он произведен, является контрольным. Этот контроль можно осуществить, проверив правильность соотношения

                                                  (5.10)

Если известны постоянные четырёхполюсника, из формул (5.5) и (5.6) можно найти сопротивления для Т-образной схемы замещения

                                                 (5.11)

Для П-образной схемы замещения

                                            (5.12)

 

5.1.2 Круговая диаграмма четырехполюсника

Если напряжение , подведенное к входным зажимам четырёхполюсника неизменно по величине, фазе и частоте, а нагрузка

на выходе изменяется только по модулю (угол остаётся постоянным), то для тока , напряжения  и тока  могут быть построены круговые диаграммы.

Уравнения для тока на входе четырёхполюсника можно представить в следующей форме:

                             (5.13)

что свидетельствует о том, что геометрическим местом концов вектора  является дуга окружности. В выражении (5.13)

- ток на входе четырёхполюсника при холостом ходе;

- ток на входе четырёхполюсника при коротком замыкании;

   - сопротивление нагрузки;

          - входное сопротивление четырёхполюсника при обратном коротком замыкании.

Рисунок 5.3

Построение круговой диаграммы (рисунок 5.3) выполняют в следующем порядке:

• В выбранном масштабе m_u откладывается вектор ;
• Выбирается масштаб m_I и откладываются токи  (отрезок ОХ) и  (отрезок ОК );
• Соединяя точки Х и К получают хорду ХК;
• В выбранном масштабе m_Z откладывают на хорде ХК отрезок XF=Z_2K/m_Z ;
• Проводят прямую изменяющегося параметра FN` под углом к хорде ХК, рассматриваемой как отрезок, имеющий направление от точки Х к точке К ( построение круговой диаграммы произведено для случая, когда угол , и поэтому на рисунке 5.3 этот угол отложен относительно ХК против направления движения часовой стрелки);
• Проводят прямую XD перпендикулярно FN`;
• На пересечении перпендикуляра к середине хорды с линией XD находим центр С круговой диаграммы.

Для любого значения  можно отложить отрезок FN=Z₂/m_Z  и на пересечении линии ХN  с круговой диаграммой в точке М найти положение конца вектора тока .

 

5.2 Описание лабораторной установки

Пассивный четырёхполюсник собирается из элементов рабочей панели стенда (рисунок 5.4, а, б), причём сопротивления .

Напряжения на входе и выходе четырёхполюсника измеряются с помощью мультиметра.

 

 

                          а)                                                         б)

Рисунок 5.4 – Схемы четырёхполюсника

В качестве нагрузки используйте переменное сопротивление, расположенное на рабочей панели стенда.

5.3 Рабочее задание 

5.3.1 Собрать цепь по схеме на рисунке 5.5. Схема четырёхполюсника показана на рисунке 5.4. Вариант схемы указывается преподавателем. Значения ,  и внутреннего сопротивления катушки измерить мультиметром;

5.3.2 После проверки схемы преподавателем провести опыт прямого холостого хода. Результаты этого и последующих опытов занести в таблицу 5.1;

Рисунок 5.5

5.3.3 Замкнуть выходные зажимы 2-2’ четырёхполюсника через миллиамперметр, провести опыт прямого короткого замыкания;

5.3.4 Подключить нагрузку  к выходным зажимам четырёхполюсника и меняя сопротивление (2-3 значения) записать показания приборов в таблицу 5.1;

5.3.5 Поменять местами проводники схемы (рисунок 5.5), подходящие к зажимам 1-1’ и зажимам 2-2’ четырёхполюсника. В результате такого переключения получилась схема для исследования режима обратного холостого хода. Записать показания приборов в таблицу 5.1;

5.3.6 Замкнуть выходные зажима четырёхполюсника 1-1’ через миллиамперметр, провести опыт обратного короткого замыкания;

 

5.4 Обработка результатов экспериментов

 5.4.1 Рассчитать по опытным данным значение  ёмкости или индуктивности и  постоянные А, В, С, D четырёхполюсника;

5.4.2 Построить круговую диаграмму четырёхполюсника по данным таблицы 5.1.

 

 

Таблица 5.1

Опыт
				А	В	Вт	А	В	Вт
Питание на входных зажимах	Холостой ход						0		-
	Короткое замыкание							0	-
	Нагрузочный режим	, Ом
		,Ом
		, Ом
Питание на выходных зажимах	Холостой ход			0		-
	Короткое замыкание				0	-

 

5.5 Контрольные вопросы

 

• Дайте определения многополюсника, четырёхполюсника?
• Какие существуют схемы замещения четырёхполюсников?
• Запишите основные системы уравнений четырёхполюсников.
• Что называется симметричным четырёхполюсником?
• Что называется пассивным четырёхполюсником?
• Что называется активным четырёхполюсником?
• Какой четырёхполюсник считается обратимым?
• Как определить постоянные четырёхполюсника, если известны параметры схемы замещения?
• Как определить постоянные четырёхполюсника, если параметры схемы замещения не известны?
• Порядок построения круговой диаграммы.

 

6 Лабораторная работа №6. Исследование модели
 длинной линии

 

Цель работы: Исследование установившихся электромагнитных процессов в длинных линиях. Изучение влияния величины и характера нагрузки на режим работы длинной линии.

6.1 Основные теоретические положения

В мощных линиях передачи электрической энергии на большие расстояния, в телефонных и телеграфных линиях, в антеннах радиотехнических устройств и других аналогичных установках, линейные размеры которых соизмеримы с длиной волны электромагнитного колебательного процесса, все изменения и превращения энергии электромагнитного поля распределены вдоль всей линии. Такие электрические цепи, в отличие от цепей с сосредоточенными параметрами, называются цепями с распределёнными параметрами.

Практически приходится иметь дело с однородными линиями, параметры которых (активное сопротивление линии, индуктивность, ёмкость, активная проводимость между проводами) равномерно распределены вдоль линии и постоянны на единицу её длины.

Параметры линии зависят от типа линии (воздушная, кабельная), геометрических размеров и расположения её проводов, их материала и частоты приложенного напряжения.

Основными характеристиками цепей с распределёнными параметрами являются волновое сопротивление Z_в, коэффициент распространения g, коэффициент затухания a и коэффициент фазы b. Эти величины могут быть определены, если известны сопротивление r₀, проводимость g₀, емкость С₀ и индуктивность L₀, отнесённые к единице длины линии. Значения r₀, g₀, С₀ и L₀ даются в справочниках.

 

 

Волновое (характеристическое) сопротивление линии равно

                                  (6.1)

Коэффициент распространения g  зависит от параметров линии и частоты

                       (6.2)

Вещественная часть комплекса (6.2) называется коэффициентом затухания и равна

                      (6.3)

Коэффициент затухания показывает относительное уменьшение действующего значения тока или напряжения на единицу длины линии.

Мнимая часть комплекса (6.2) называется коэффициентом фазы и характеризует изменение фазы напряжения и тока на единицу длины линии.

                     (6.4)

Однородная линия представляет собой частный случай симметричного пассивного четырёхполюсника, поэтому напряжения и токи в ней подчиняются основным уравнениям четырёхполюсника. Можно доказать, что уравнения четырёхполюсника

                                                      (6.5)

                                                       (6.6)

тождественны с основными уравнениями однородной линии с распределёнными параметрами, которые в общем случае имеют вид:

                                                     (6.7)

                                                   (6.8)

и для однородной линии могут быть преобразованы следующим образом:

;                                (6.9)

.                                   (6.10)

Из уравнений (6.5), (6.6), (6.9) и (6.10) видно, что

;

;                                              (6.11)

,

где l – длина линии с распределенными параметрами;

Вследствие равномерного распределения по всей длине значений r₀,  g₀, С₀ и L₀ напряжение и ток вдоль линии неодинаковы. Определить их значения в любой точке линии, если известны ток  и напряжение  в начале линии, можно по формулам:

;

,                              (6.12)

где х – расстояние от начала линии до точки, в которой определяется ток или напряжения. Отсчитывается х от начала линии.

Если заданы ток  и напряжение  в конце линии, то отсчёт расстояний х целесообразно вести от конца линии. Это можно сделать, заменив х на . Тогда уравнения для определения тока или напряжения в любой точки линии будут иметь вид:

;

.                                    (6.13)

В случае питания линии синусоидальным напряжением, в установившимся режиме мгновенные значения тока и напряжения в любой точке линии можно представить в виде двух синусоидальных затухающих волн, перемещающихся вдоль линии навстречу друг другу. Волны, бегущие от начала линии к её концу, называются прямыми или падающими, мгновенные значения которых определяются как

,

рисунок 6.1.

 

 

Рисунок 6.1 - Распределение напряжения вдоль линии

 

Скорость распространения этой волны постоянна и равна

,

где , и   - коэффициент фазы.  Так как при этой скорости остается неизменной фаза колебания, то её называют фазовой скоростью волны.

Волны, идущие от конца линии к её началу, называются отраженными, мгновенные значения которых определяются как:

                       (6.14)

Они перемещается вдоль линии от конца к началу (навстречу волне ) с той же скоростью. Её затухание определяется множителем , то есть волна имеет возрастающую амплитуду в направлении от начала линии к её концу.

Аналогичные рассуждения можно привести и относительно тока. Таким образом, весь процесс распределения напряжения и тока вдоль линии можно представить как наложение двух синусоидальных затухающих волн – падающей и отраженной.

Условия отражения волны от конца линии, а, следовательно, и распределение напряжения и тока вдоль линии, зависят от того, в каком режиме работает линия, то есть на какое сопротивление замкнута линия на конце.

Холостой ход - конец линии разомкнут: ; .

В этом случае, при питании линии синусоидальным током и известном напряжении в конце линии, закон распространения волн тока и напряжения вдоль линии можно определить по формулам:

                        (6.15)

Здесь мы имеем наложение двух незатухающих бегущих волн с одинаковыми амплитудами в результате чего, получаются так называемые стоячие волны.

Короткое замыкание линии на её конце: ; . В этих условиях при питании линии синусоидальным током и известном токе  в конце линии, ток и напряжение в любой точке линии равны

                                            (6.16)

Здесь мы имеем наложение двух незатухающих бегущих волн с одинаковыми амплитудами, то есть, как  и при холостом ходе, образуются стоячие волны.

Наложением режимов холостого хода и короткого замыкания можно получить любой рабочий режим линии.

Напряжение и ток в любой точке линии определяется при этом как сумма двух составляющих.

                                               (6.17)

где  и   - ток и напряжение холостого хода в точке линии;

 и   - ток и напряжение короткого замыкания в этой же точке линии.

Стоячие волны напряжения и тока всегда сдвинуты по отношению друг к другу во времени и в пространстве. Сдвиг во времени между стоячими волнами напряжения и тока равен , сдвиг в пространстве – четверти длины волны. Точки линии, где периодическая функция координаты проходит через нуль, называют узлами, а точки линии, в которых периодическая функция координаты принимает максимальные значение – пучностями. При возникновении стоячих волн электромагнитная энергия от начала линии к концу не передается. Однако на каждом отрезке линии, равном четверти длины волны, запасена некоторая электромагнитная энергия. Эта энергия периодически переходит от одного вида (энергия электрического поля) к другому (энергия магнитного поля).

Если однородная линия в конце замкнута на нагрузку, сопротивление которой равно характеристическому (волновому) сопротивлению линии (), то отражения волн не будет. В этом случае напряжение и ток падающей волны по мере передвижения от начала к концу линии монотонно убывают по величине (вследствие потерь), одновременно с этим у них будет изменяться фаза в сторону отставания. Мгновенные значения тока и напряжения в любой точке линии при этом равна

                              (6.18)

В любой точке линии отношение напряжения к току постоянно и равно волновому сопротивлению:

 .                                  (6.19)

Важной характеристикой линии с распределёнными параметрами является её входное сопротивление , равное отношению напряжения к току в начале линии. Зная входное сопротивление линии, определённое при холостом ходе  и при коротком замыкании , можно найти волновое сопротивление линии  и коэффициент распространения .

Из опыта холостого хода при ;

Из опыта короткого замыкания при ;

Тогда

                                            (6.20)

Длиной бегущей по линии волны  l называют расстояние между двумя точками, в которых фаза напряжения или тока отличается на 2p.

                                 (6.21)

Наиболее интересным является случай, когда длина линии равна или кратна четверти длины волны.

В этом случае , и напряжение и ток в начале линии при холостом ходе равно

                                            (6.22)

При этом

.

Распределение волн напряжения и тока вдоль линии для случая  показано на рисунке 6.2.

 

Рисунок 6.2 – Распределение волн тока и напряжения

При отсутствии в линии потерь, когда r₀ и g₀ равны нулю, a=0, волны по мере их распространения в линии не затухают по величине, а изменяются только по фазе. Во всех случаях, когда сопротивление нагрузки Z_Н отлично от волнового сопротивления (имеет место отражение волн), напряжение и ток вдоль линии, даже при отсутствии потерь, не остаются постоянными и изменяются вдоль линии по синусоидальному закону:

                           .

Входное сопротивление в этом случае:

;

.

 

6.2 Описание лабораторной установки

В лабораторных условиях исследование волновых процессов проводится на схеме замещения однородной линии, выполненной в виде цепочки четырёхполюсников. Каждое звено цепочки заменяет собой какой-то малый участок однородной линии с параметрами, указанными на стенде. Всего звеньев в схеме замещения 16. Источником синусоидального напряжения служит генератор сигналов ГЗ-123, позволяющий изменять частоту питающего напряжения в диапазоне частот  от 10 Гц до 200 кГц. При изменении частоты питающего напряжения можно добиться изменения длины волны так как , где . Здесь v - фазовая скорость распространения волны вдоль линии.

Напряжения в узловых точках схемы замещения, соответствующих точкам по длине линии, измеряются электронным мультиметром ВР-11А.

6.3 Рабочее задание

6.3.1 Перед началом выполнения лабораторной работы необходимо:

• рассчитать волновое (характеристическое) сопротивление и коэффициент фазы для одного звена цепочки линии на частоте f=10 кГц при заданных параметрах, указанных на схеме;
• определить параметры (длину l, волновое сопротивление Z_B и коэффициент фазы b) линии, эквивалентной одному четырёхполюснику и длину линии, эквивалентной цепочке из 16 звеньев; при расчёте полагать, что фазовая скорость волны в линии равна скорости света (воздушная линия), а , т.е. величиной r₀ можно пренебречь;
• построить распределение действующего значения напряжения вдоль линии, эквивалентной цепочке из 16 звеньев при согласованной нагрузке (пример выполнения расчёта приведён в конце описания работы). При выполнении работы в лаборатории на этот график будут наноситься экспериментальные точки, поэтому его рекомендуется строить на миллиметровке. По оси ординат отложить напряжение в данной точке. На оси абсцисс отметить и пронумеровать точки соединения звеньев (точку включения нагрузки считать нулевой);
• построить на другом чертеже, аналогично предыдущему пункту, распределение действующего значения напряжения в режиме холостого хода и короткого замыкания.

6.3.2 Выделить из цепочки (рисунок 6.3) один четырёхполюсник – звено, сняв перемычку. Измерить напряжение на входе и выходе звена в режиме холостого хода при частоте f=10 кГц. По полученным данным подсчитать коэффициент фазы  и сравнить с результатом предварительного расчёта.

Рисунок 6.3 - Схема четырёхполюсника – одного звена длинной линии

 

Рисунок 6.4 - Схема длинной линии

 

6.3.3 Собрать цепочку четырёхполюсников, установив перемычку (рисунок 6.4). Измерить распределение действующего значения напряжения вдоль цепочки в режиме согласованной нагрузки. Результаты измерений занести в таблицу 6.1.

Экспериментально полученные точки нанести на графики, построенные при подготовке к работе.

 

Таблица 6.1

Точки (число звеньев)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Напряжение при согласованной нагрузке, В
Напряжение при холостом ходе, В
Напряжение при коротком замыкании, В

 

6.3.4 Измерить распределение действующего значения напряжения цепочки в режиме холостого хода и короткого замыкания. Результаты измерений занести в таблицу 6.1. Нанести экспериментально полученные точки на графики, построенные при подготовке к работе.

6.3.5 По результатам измерений проанализировать полученные графики распределения напряжения вдоль линии и рассчитать входное сопротивление линии для и для , пользуясь формулами ;

.

 

 

6.5 Пример выполнения расчёта

6.4 Контрольные вопросы

 

1) Почему длинная линия называется цепью с распределёнными параметрами?

2) Почему напряжение и ток в длинной линии являются функцией не только времени, но и расстояния вдоль линии?

3) Что такое волновое сопротивление линии и в каких единицах оно измеряется?

4) Каков физический смысл коэффициентов затухания и фазы? В каких единицах они измеряются?

5) Что понимается под фазовой скоростью волны?

6) По каким формулам определяется длина волны, фазовая скорость, коэффициент фазы, волновое сопротивление линии?

7) Каковы основные характеристики линии без потерь?

8) При каких условиях в длинной линии возникает согласованный режим?

9) Существуют ли в действительности в длиной линии падающие и отраженные волны?

10) Запишите уравнения для определения  и в любой точке линии.

11) При каких условиях в длинной линии образуются стоячие волны?

 

 

7 Лабораторная работа № 7. Моделирование плоскопараллельного  электростатического поля в проводящем листе

 

Цель работы: Построить графическую картину силовых линий моделируемого электростатического поля, определить его напряженность в отдельных точках.

 

7.1 Краткие теоретические и практические сведения

7.1.1 Электростатическое поле

Электростатическое поле (ЭСП) является частным случаем электромагнитного. Электростатическим полем  называют поле, образованное системой неподвижных в пространстве (относительно наблюдателя) и неизменных во времени зарядов, при отсутствии токов и намагниченных тел. Непосредственно на органы чувств человека ЭСП поле не воздействует, но ему присуща способность воздействовать с механической силой на помещенный в него электрический заряд. Это воздействие и положено в основу обнаружения электростатического поля, которое выражено в известном законе Кулона:

                                                                                       ,                                                 (7.1)

где   [Ф/м] - диэлектрическая  проницаемость вакуума;

         ε - относительная диэлектрическая  проницаемость  среды,  показывающая во сколько раз проницаемость данной среды больше проницаемости вакуума;

r – расстояние между зарядами q₁ и  q₂;

         r₀   - единичный радиус-вектор, направленный по радиусу от заряда, если q > 0, рисунок 7.1, и к заряду, если q < 0. 

 

Рисунок 7.1

Основными величинами, характеризующими свойства ЭСП являются его напряженность Е и потенциал φ. ЭСП определено, если известен закон изменения напряженности или потенциала во всех точках этого поля.

Напряженность ЭСП – силовая характеристика поля, является векторной величиной. Если в электростатическое поле поместить настолько малый  заряд, что он своим присутствием не исказит его, то на него будет действовать сила F. Отношение этой силы к величине заряда и даст напряженность поля 

                                             .                                                       (7.2)

Если q = 1, то  .  Отсюда следует, что напряженность поля равна силе, действующей на единичный положительный заряд, она характеризует интенсивность поля. Единица измерения напряженности

С учетом уравнения (7.1)  уравнение (7.2) примет вид:

                                                                                  .                                                          (7.3)

Если электростатическое поле создается системой зарядов, то к расчету вектора напряженности  применим принцип наложения, т.е. результирующее значение вектора напряженности поля в произвольной точке пространства будет равно геометрической сумме составляющих этого вектора от каждого точечного заряда в отдельности:

 .

На рисунке 7.2 электростатическое поле создается системой из двух точечных  зарядов (q₁ > 0  и   q₂ <  0 ). Модуль результирующего вектора напряженности Е в точке «п» можно определить по формуле, вытекающей из теоремы косинусов:

Рисунок 7.2

Потенциал – энергетическая характеристика ЭСП, является скалярной величиной.

Пусть точечный заряд  q перемещается в  электростатическом поле из точки 1 в точку 2 по произвольной траектории «1 а 2», рисунок 7.3.

Рисунок 7.3

При перемещении заряда будет совершаться некоторая работа:

                                              .                       (7.4)

Под разностью потенциалов  φ₁ – φ₂  принято понимать работу, затрачиваемую силами поля при переносе единичного заряда (q=1) из начальной точки «1» в конечную «2»:

                   ,                                       (7.5)

тогда с учетом уравнения (9.4) можно утверждать, что напряжением между точками 1 и 2 называется отношение работы по перемещению заряда из точки 1 в точку 2 к величине заряда q:

                                                                                                (7.6)

 

Если переместить заряд обратно в точку 1 по некоторой новой траектории «2 b 1», то согласно закону сохранения энергии суммарная работа по перемещению заряда будет равна нулю:

                                               (7.7)  

Из полученного выражения следует, что:

циркуляция вектора напряженности поля Е вдоль любого замкнутого контура всегда равна нулю:

                                                .                                                  (7.8)

Физически это объясняется тем, что при движении вдоль замкнутого пути одновременно совершается определенная работа как силами  поля, так и внешними силами, против сил ЭСП. Уравнение (7.8) выражает основное свойство ЭСП, на основании которого считают, что ЭСП является потенциальным полем.

Если в уравнении (9.5) принять потенциал точки 2 равным нулю φ₂ = 0, то оно примет вид:

                                              .                                                  (7.9)

За точку поля, имеющую φ = 0, может быть принята любая точка  ЭСП. Если такая точка определена, то потенциалы всех  других точек определяются однозначно. Чаще всего считают, что точка  с нулевым потенциалом находится на поверхности Земли.

Определим предел уравнения (9.9) при :

                                          .                                          (7.10)

Выражение, стоящее в левой части уравнения, называется ротором вектора , который обозначают как , в этой связи  уравнение (7.10) можно записать как:

                                                .                                                 (7.11)

Ротор («roto» [лат.] – вращение, вихрь). 

Физический смысл (7.11) заключается в том, что электростатическое поле является безвихревым полем.

7.1.2 Силовые и эквипотенциальные линии

 

ЭСП можно характеризовать совокупностью силовых и эквипотенциальных линий. Силовая линия – мысленно проведенная в поле линия, начинающаяся на положительно заряженном заряде и оканчивающаяся на отрицательно заряженном заряде. Проводится она таким образом, что касательная к ней в любой точке дает направление вектора напряженности ЭСП в этой точке. Так как положительный и отрицательный заряды не могут быть в одной точке, следовательно, силовые линии не могут быть замкнутыми сами на себя, рисунок 7.4.

Под эквипотенциальной поверхностью (линией) понимают совокупность точек поля, имеющих один и тот же потенциал. Из определения, следует, что перемещение по эквипотенциальной линии не вызовет изменение потенциала. Эквипотенциальные линии в отличии от силовых, являются замкнутыми сами на себя, рисунок 7.4.

Рисунок 7.4 – Графическая картина  ЭСП.

Эквипотенциальные и силовые линии в любой точке ЭСП пересекаются под прямым углом.

 

9.2.3 Cвязь между напряженностью поля и потенциалом

Выявленная ранее взаимосвязь напряженности и потенциала называется интегральной. На практике же чаще используется дифференциальная связь между этими величинами. С этой целью возьмем частную производную по dℓ от уравнения (7.9):

                                                     ,                                          (7.12)

где α -  угол между направлением вектора  и касательной к пути ℓ.

Рассмотрим частные случаи:

1. α = 90⁰, тогда уравнение (7.12) примет вид: .

Если производная какой-либо величины равна нулю, следовательно, данная величина есть постоянная, а именно, в нашем случае: φ=const, следовательно, перемещение в данном частном случае осуществляется по эквипотенциальным линиям.

2. α = 0. В этом случае уравнение (7.12) примет вид:

, или   .                                           (7.13) 

 

Знак «минус» в уравнении (7.13) показывает, что вектор напряженности  всегда направлен в сторону убывания потенциала φ.

Уравнение (7.13) в соответствии с материалом теории поля может быть записано как:

                                        E= - grad φ.                                                (7.14)

Градиент (gradiens (лат.) – шагающий) – мера изменения в пространстве какой-либо физической величины при перемещении на единицу длины.

Составляющие градиента φ по осям в декартовой системе координат представляют собой частные производные:

.

Пример.

В электростатическом поле потенциал  φ изменяется по закону

φ = 10 х²- 25х. Определить закон изменения напряженности E.

Решение:

E= - grad φ= .

7.1.4 Теорема Гаусса в интегральной форме (3 формы записи)

Теорема Гаусса является одной из важнейших теорем электростатики. Она может быть сформулирована и записана тремя способами.

1. Поток вектора напряженности электрического поля сквозь любую замкнутую поверхность в однородной и изотропной среде равен отношению суммы свободных зарядов, находящихся внутри этой поверхности, к абсолютной диэлектрической проницаемости среды ε·ε₀ .

                                                                                  (7.15)

Разделим обе части уравнения (7.15) на Δ V и найдем предел, к которому стремится отношение, когда Δ V →0.  Имеем

  .

Выражение, стоящее в левой части уравнения, называется расхождением, или дивергенцией, вектора  и кратко обозначают . В правой части получаем объемную плотность ρ электрического заряда в данной точке пространства, деленную на абсолютную диэлектрическую проницаемость среды ε·ε₀.Таким образом, теорема Гаусса в дифференциальной форме принимает вид 

                                                .                                             (7.16)

2. Так как , то теорему Гаусса можно записать как:

                                          ,                                        (7.17)

т.е. поток вектора электрического смещения через любую замкнутую поверхность, окружающую некоторый объем равен алгебраической сумме свободных зарядов, находящихся внутри этой поверхности.

В дифференциальной форме уравнение (7.17) записывается в виде:

                                             .                                                      (7.18)

Обе формы записи на практике находят широкое применение.  Необходимо заметить, что поток вектора напряженности (электрического смещения) зависит лишь от суммы зарядов и не зависит от расположения зарядов внутри замкнутой поверхности.

Отметим, что теорема Гаусса применима не только к ЭСП, но и при определенных условиях к переменному электромагнитному полю. Распространил теорему Гаусса   на переменное электромагнитное поле Д. Максвелл, в честь которого вторую форму записи теоремы Гаусса в технической литературе называют постулатом Максвелла.                                      

3. Для поляризованной среды теорема Гаусса записывается в виде:

                              ,                             (7.19)

поток вектора напряженности через любую замкнутую поверхность в поляризованной среде создается не только суммой свободных зарядов, но и суммой связанных зарядов, находящихся внутри этой поверхности.

7.1.5 Уравнения Пуассона и Лапласа

Уравнения Пуассона и Лапласа выводятся из теоремы Гаусса в дифференциальной форме и основного соотношения ЭСП:

                                                ,                                                (7.20)

                                          E= - grad φ  ,                                       (7.21)

 

Подставим уравнение (7.20) в (7.21), получим:

.

Вынесем минус за знак дивергенции:

                                        .                                       (7.22)

Уравнение (7.22) называют уравнением Пуассона. Частный вид уравнения Пуассона (ρ_своб. = 0) называют уравнением Лапласа:

                                                 .                                        (7.23)

Исторически самым первым уравнением было уравнение Лапласа.

Используя терминологию и обозначения теории поля уравнения (7.22) и (7.23) записывают как:

                                                ,                                          (7.24)

                                                       ,                                             (7.25)

где  - набло.

Оператор  называют еще оператором Лапласа, или лапласианом, обозначая символом Δ. Поэтому уравнения (7.22) и (7.23) можно записывать в виде:

                                                ,                                            (7.26)

                                                      .                                                (7.27)

7.1.6 Основные уравнения электростатического поля

Для расчета простейших задач, связанных с возбуждением ЭСП с симметричными системами заряженных тел обычно пользуются уравнениями в интегральной форме, а для расчета сложных задач ЭСП применяются уравнения в дифференциальной форме.

Основные уравнения ЭСП в интегральной и дифференциальной формах представлены в таблице 7.1

 

 

Таблица 7.1 – Основные уравнения ЭСП

Наименование	Уравнения в интегральной форме	Уравнения в дифференциальной форме
1 Основное свойство ЭСП
2 Связь между потенциалом и вектором напряженности		E= - grad φ
3 Поток вектора поляризации
4 Вектор электрического смещения для изотропной среды
5 Вектор электрического смещения для анизотропной среды
6  Теорема Гаусса (1 форма записи)
7 Теорема Гаусса (2 форма записи)
8 Теорема Гаусса (3 форма записи)
9 Уравнение Пуассона
10 Уравнение Лапласа

 

 

7.2 Описание лабораторной установки

Известно, что электростатическое поле в области, где нет свободных зарядов, как было отмечено в п. 7.1.5 описывается уравнением Лапласа:

.

Поскольку уравнение Лапласа имеет единственное решение при заданных граничных условиях, то при подобных граничных условиях в диэлектрике и в проводящей среде распределение потенциала будет одинаковым в обеих средах. Это подобие позволяет моделировать электростатические поля полем электрического тока в проводящей среде. Соблюдение подобных граничных условий сводится к геометрическому подобию областей, в которых исследуется поле.

Установка для моделирования ЭСП включает в себя: источник постоянного тока Б5-44А, цифровой мультиметр ВР-11А, планшет (плоский проводящий лист).

Каждой бригаде преподавателем выдается индивидуальный планшет, рисунок 7.5.

Рисунок 7.5 – Виды планшетов, используемые для моделирования ЭСП полем электрического тока в проводящей среде

 

 

7.3 Рабочее задание

1) Подключите к выданному преподавателем планшету (планшеты 1, 2, 3 или 4) источник постоянного напряжения и цифровой мультиметр в режиме вольтметра, как показано на рисунке 7.6.

 

Рисунок 7.6 - Установка для моделирования ЭСП

2) Приготовьте рисунок с координатной сеткой (взять у преподавателя).

3) Включите  источник постоянного напряжения и убедитесь, что один из электродов имеет потенциал, равный нулю, а другой – потенциал, равный напряжению источника питания.

4) Выберите напряжение питания U в пределах от 10 до 15 В и шаг изменения потенциала  (например 1; 2; или 2,5 В), чтоб на картине поля получилось 7…10 эквипотенциальных линий.

5) Перемещая зонд от точки нулевого потенциала по оси симметрии к другому электроду, отмечайте на приготовленном рисунке с координатной сеткой измеренные значения напряжений точек планшета.

Примечание: В каждом варианте проводящего листа имеются одна или две оси симметрии, поэтому можно ограничиться исследованием половины или четверти проводящей области листа.

7.4 Обработка результатов опытов

7.4.1 Определите на рисунке с координатной сеткой точки равного потенциала, соедините их плавной кривой. Аналогично постройте другие эквипотенциальные линии.

7.4.2 Пользуясь известными правилами графического построения картины поля, по эквипотенциальным линиям электростатического поля постройте силовые линии напряженности поля.

7.4.3 Вычислите напряженность электростатического поля в двух – трех точках проводящего листа и покажите направление вектора напряженности в этих точках на рисунке ).

7.5 Контрольные вопросы

1) Что такое электростатическое поле?

2) Какой физический смысл придаётся вектору напряженности электрического поля и потенциалу?

3) Какая интегральная и дифференциальная связь существует между ними?

4) Что понимают под силовой линией и что под  эквипотенциальной поверхностью?

5) Могут ли быть замкнутыми силовые линии в электростатическом поле?

6) Приведите три формы записи теоремы Гаусса.

7) Дайте физическое толкование понятиям градиента и дивергенции.

 

Список использованных источников

 

1 Бессонов, Л. А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи.: учебник для вузов/ Л. А. Бессонов.- 11-е изд., испр. и доп. - М. : Гардарики, 2006. - 701 с. - ISBN 5-8297-0159-6.

2 Демирчян, К. С. Теоретические основы электротехники: в 3 т.: учебник для вузов/ К. С. Демирчян, Л. Р. Нейман, Н.В. Коровкин, В.Л. Чечурин - СПб.: Питер, 2003.- т.1 - 463 с. ISBN 5-94723-620-6.

3 Бронштейн, И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов / И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. – М.: Наука, 1986. – 544 с.

4 Диткин, В.А. Интегральные преобразования и операционные исчисления / В.А. Диткин, А.П. Прудников. – М.: Высш. шк., 1975. – 408 с.

5 Татур, Т.А. Установившиеся и переходные процессы в электрических цепях: учебное пособие для вузов/ Т.А. Татур, В.Е. Татур – М.: Высшая школа, 2001.- 407 с.

6 Огорелков, Б.И. Линейные электрические цепи с сосредоточенными параметрами : метод. указания к лаб. работам по «Теоретическим основам электротехники» для студентов электротехн. фак. Ч. 2 / Б. И. Огорелков, Н. И. Доброжанова. - Орлов : ОрПИ, 1987. - 107 с.

7 Семенова, Н.Г. Переходные процессы в линейных целях с сосредоточенными параметрами. [Текст]: Задания и методические указания к выполнению расчетно-графического задания № 6 по ТОЭ / Н.Г.Семенова, Н.Ю.Ушакова.– Орлов: ГОУ ОГУ, 2009. –  27с.

8 Резников, А.А. Модель длинной линии: руководство к лабораторной работе по теоретическим основам электротехники/ А.А. Резников, Т.И. Курманалиев, В.Д. Шабалин - Фрунзе: ФПИ, 1983. - 11 с.

 

Скачать: up-k-lr-toe.-ch.2.docx