Модель Колмогорова

0

Модель Колмогорова

 

История Колмогорова

Андрей Николаевич Колмогоров родился 25 (12) апреля 1903 года в Тамбове. Он рос без отца и матери, хотя круглым сиротой не был. Перед рождением сына Мария Яковлевна Колмогорова, мама А. Н. Колмогорова, отправилась к родителям в имение своего отца, в Туношну под Ярославлем. По дороге она заехала к подруге в Тамбов, и Андрею Николаевичу суждено было родиться именно там, а сама Мария Яковлевна умерла при родах. Ранее она говорила, что если будет мальчик, то она назовет его Андреем в честь Андрея Болконского, ее любимого литературного героя романа А. Н. Толстого. Отец -- Николай Матвеевич Катаев -- участия в его воспитании не принимал. Так как Мария и Николай обвенчаны не были, то родившийся у них мальчик (Андрей) считался незаконнорожденным и не имел права ни на отчество по родному отцу, ни на фамилию его. И лишь после Октябрьской революции по новым законам он смог получить фамилию мамы и отчество по отцу.

Заботы об Андрее взяла на себя сестра его мамы - Вера Яковлевна, усыновившая мальчика. Большое участие в его воспитании принимали и другие сестры Марии, особенно Надежда Яковлевна Колмогорова. Первые годы жизни Андрей провел в имении деда - Туношне, расположенном на берегу одного из притоков Волги недалеко от Ярославля. Тетушки одарили мальчика любовью, лаской, вниманием, заботой о его интеллектуальном и нравственном воспитании. Все старались развить в ребенке любознательность и интерес к книгам, наукам, природе. Тетушки Андрея в своем доме организовали школу для детей разного возраста, которые жили поблизости, занимались с ними -- десятком ребятишек -- по рецептам новейшей педагогики того времени. Для ребят издавался рукописный журнал «Весенние ласточки». В нем публиковались творческие работы учеников -- рисунки, стихи, рассказы. В нем же появлялись и «научные работы» Андрея -- придуманные им арифметические задачи. Здесь же мальчик опубликовал в пять лет свою первую научную работу по математике - придуманные им арифметические задачи.

Например:

1)На пуговке имеется четыре дырки, спрашивается: сколькими способами можно пришить пуговку к рубашке так, чтобы не осталось на пуговке свободных дырок и от каждой дырки тянулись одна или две ниточки?...

2) … 1 + 2 + 3 + … + 100 = (1 + 3 + 5 + … 99) + ( 2 + 4 + … + 100) = 502 + 502 + 50 = 2500 + 2500 + 50 = 5050 …

Как тут не вспомнить маленького Карла Гаусса, великого немецкого математика XIX века, который в том же возрасте вывел аналогичную формулу:

1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2,

В семь лет Колмогорова определили в частную гимназию. Она была организована кружком московской прогрессивной интеллигенции и все время находилась под угрозой закрытия. Андрей Николаевич уже в те годы обнаруживал замечательные математические способности. Он самостоятельно переоткрыл представление квадратов целых чисел в виде суммы простых:

22 = 1 + 3

32 = 1 + 3 +5

1 + 3 + 5 + … + (2n - 1) = n2

Это известная математическая закономерность, но она была подмечена мальчиком самостоятельно, без чьей - либо помощи.В двенадцать лет Андрей начал изучать высшую математику. Немного позже, в средних классах школы, победили уже совсем другие увлечения - в частности, историей Новгорода, где он сделал важное открытие. Возврат к математике произошёл в самых последних классах средней школы.

В 1910 году Вера Яковлевна с Андреем переехала в Москву. Они жили на проценты от капитала, полученного по наследству. Андрей поступил в частную гимназию Репман. «Эта гимназия была организована кружком демократической интеллигенции (из частных гимназий она была одной из самых дешёвых по размерам платы за учение). Классы были маленькие (15--20 человек). Значительная часть учителей сама увлекалась наукой (иногда это были преподаватели университета, наша преподавательница географии сама участвовала в интересных экспедициях и т.д.). Многие школьники состязались между собой в самостоятельном изучении дополнительного материала, иногда даже с коварными замыслами посрамить своими знаниями менее опытных учителей. Делался опыт ввести в традицию публичную защиту кончающими учащимися выпускных сочинений (типа вузовской дипломной работы)», - вспоминал впоследствии А. Н. Колмогоров. После революции в 1917 году гимназию переименовали в двадцать третью школу второй ступени. В 1918-1920 годах жизнь в Москве была нелёгкой. В школах серьёзно занимались, совмещая учебу с работой, только самые настойчивые ученики. В это время Андрею Николаевичу, вместе со старшими, пришлось уехать на постройку железной дороги Казань-Екатеринбург. Одновременно с работой он продолжал заниматься самостоятельно, готовясь сдать экзамены экстерном за среднюю школу. По возвращении в Москву он испытал некоторое разочарование: удостоверение об окончании школы ему выдали, даже не потрудившись проэкзаменовать. И в Туношне и в Москве Андрей Колмогоров получил самое прогрессивное в те годы воспитание и образование. После окончания гимназии в 1920 году, Андрей Николаевич не сразу решил стать математиком.

Когда в 1920 году Андрей Колмогоров стал думать о поступлении в институт, перед ним возник вечный вопрос: чему себя посвятить, какому делу? Время было голодное и тревожное. Юноше хотелось получить не только знания, но и профессию, ремесло. Влекло его на математическое отделение университета, но были и сомнения: здесь чистая наука, а техника -- дело, пожалуй, более серьезное. Поступив на физико-математический факультет Московского университета в 1920 году, он окончательно связывает свою жизнь с математикой. "Я поступил в Московский университет с довольно большими знаниями по математике... Многие вопросы я изучал по энциклопедии Брокгауза и Эфрона, восстанавливая самостоятельно то, что в этих статьях написано слишком кратко". Доказательством того, что Андрей Колмогоров разносторонним человеком, служит то, что в первые студенческие годы, кроме математики, Колмогоров занимался самым серьёзным образом в семинаре по древнерусской истории профессора С. Б. Бахрушина. Андрей не бросал мысль о технической карьере, его увлекала металлургия, и, параллельно с университетом, он поступил на металлургическое отделение Химико-технологического института им. Менделеева и некоторое время там проучился. Но вскоре ему становится ясно, что чистая наука тоже очень актуальна. Вот как он сам впоследствии вспоминал об этом периоде своей жизни: «Техника тогда воспринималась как что-то более серьезное и необходимое, чем чистая наука. Одновременно с математическим отделением университета (куда принимали всех желающих без экзаменов) я поступил на металлургический факультет Менделеевского института (где требовался вступительный экзамен по математике)». Но скоро интерес к математике превысил сомнения в актуальности профессии математика. И вот семнадцатилетний юноша выстукивает деревянными подошвами самодельных башмаков два маршрута по московским мостовым: в Московский университет и в Менделеевский институт. В первые же месяцы студент Колмогоров сдал экзамены за первый курс. А как студент второго курса, он получает право на «стипендию»: шестнадцать килограммов хлеба и килограмм масла в месяц--это настоящее благополучие в те годы.

«Цель жизни подросток или юноша должен, мне кажется, найти себе сам. Старшие могут этому лишь помочь», считал А. Н. Колмогоров. «Задумав заниматься серьезной наукой, я, конечно, стремился учиться у лучших математиков», -- вспоминал позднее ученый. Одним из его педагогов был профессора Московского университета Николай Николаевич Лузин. У него было редкое чувство аудитории. Он, как настоящий актер, выступающий на театральной сцене и прекрасно чувствующий реакцию зрительного зала, имел постоянный контакт со студентами. Профессор умел приводить студентов в соприкосновение с математической мыслью, открывая таинства своей научной лаборатории. Он умел зажечь молодежь желанием научного подвига, привить веру в собственные силы, и через это чувство приходило понимание необходимости полной отдачи любимому делу.

Колмогоров впервые обратил на себя внимание профессора на одной лекции. Лузин, как всегда, вел занятия, постоянно обращаясь к слушателям с вопросами, заданиями. И когда он сказал: «Давайте строить доказательство теоремы, исходя из следующего предположения…» -- в аудитории поднялась рука Андрея Колмогорова: «Профессор, оно ошибочно…» За вопросом «почему» последовал краткий ответ первокурсника. Довольный Лузин кивнул: «Что ж, приходите на кружок, доложите нам свои соображения более развернуто». «Хотя мое достижение было довольно детским, оно сделало меня известным в «Лузитании», -- вспоминал Андрей Николаевич. Но через год серьезные результаты, полученные восемнадцатилетним второкурсником Андреем Колмогоровым, обратили на себя настоящее внимание его учителя. С некоторой торжественностью Николай Николаевич предложил Колмогорову приходить в определенный день и час недели, предназначенный для учеников его курса. Подобное приглашение, по понятиям «Лузитании», следовало расценивать как присвоение почетного звания ученика, как признание способностей.

Первую свою статью "Доклад математическому кружку о квадрильяже" Андрей Колмогоров написал в восемнадцатилетнем возрасте в 1921 году. Многие годы Андрей Николаевич тесно и плодотворно сотрудничал А. Я. Хинчиным (другим учеником Н. Н. Лузиным), который в то время начал разработку вопросов теории вероятностей. Она и стала областью совместной деятельности ученых. Первая статья по теории вероятностей "О сходимости рядов, члены которых определяются случаем" была написана вместе с Н.Н.Лузиным. Наука о «случае» или теория вероятности получила современный вид благодаря научным трудам Андрея Николаевича в 1929 - 1933 гг. Он до конца своих дней считал теорию вероятностей главной своей специальностью, хотя областей математики, в которых он работал, можно насчитать порядка двух десятков. Но тогда только начиналась дорога Колмогорова и его друзей в науке. Они много работали и не теряли чувства юмора. В шутку называли уравнения с частными производными «уравнениями с несчастными производными», а теория вероятностей -- в «теорию неприятностей».

В 1931 году А. Н. Колмогоров (в 28 лет) стал профессором Московского университета, где он возглавлял в разное время три кафедры, создал несколько научных школ и основал школу-интернат при МГУ. В 1931 году вышла его фундаментальная статья «Об аналитических методах в теории вероятностей», а еще через два года -- главный труд его жизни, монография «Основные понятия теории вероятностей». Эти работы дали Колмогорову мировую известность в области теории вероятностей. Далее последовали работы по случайным процессам, турбулентности, алгебраической топологии и многие другие. В 1933 году (в возрасте 30 лет!) его назначали директором Института математики и механики при МГУ. Под его началом находилась и вся аспирантура. Можно ли себе реально представить, что он в качестве директора этого института встречался и беседовал со всеми аспирантами мехмата, интересовался их делами, спрашивал о научных задачах, давал различные советы, говорил о новых задачах. Андрей Николаевич любил приглашать своих учеников к себе на дачу в Комаровку - деревню в излучине реки Клязьма. Там Колмогоров А. Н. с учениками - аспирантами и студентами, совершали на 2 - 3 часа «бросок в природу», а после обеда погружались в научную работу. « А после легкого ужина все присутствовавшие часто слушали по приемнику (это был редкий тогда "Телефункен"), а в более поздние годы - в хорошей записи на пластинках, классическую музыку. В этой области оба хозяина дачи были не только высокими ценителями, но, не побоимся сказать и большими знатоками. Во всяком случае, Павел Сергеевич Александров не раз проводил для студентов циклы бесед и прослушиваний по творчеству многих композиторов. Вообще дружба этих двух больших математиков была одним из самых главных их достояний в течение всей жизни», - вспоминает Г. И Китаев (родственник А.Н., преподаватель ФМШ и физфака МГУ). Большинству аспирантов тех лет беседы с Андреем Николаевичем запоминались на всю жизнь и, нередко, открывали путь в большую науку.

Великая Отечественная война заставила А. Н. Колмогорова прервать свою исследовательскую работу и обратиться к оборонной тематике. Советские математики по заданию Главного артиллерийского управления армии вели сложные работы в области баллистики и составили таблицы для бомбометания с малых высот на низких скоростях. Колмогоровым была рассчитана наилучшая крутизна нарезки ствола орудия для обеспечения кучности стрельбы и устойчивости снаряда при полете; выполнена работа о наиболее выгодном рассеивании снарядов при стрельбе по площадям, рассчитана наибольшая вероятность попадания в цель при торпедном залпе. Вместе с Математическим институтом Колмогоров находился в эвакуации в Казань, но вскоре вернулся в Москву к своим обязанностям академика-секретаря Физико-математического отделения Академии и для выполнения работ оборонного характера. Одновременно он читал курс математической теории стрельбы в университете, который считался обязательным для студентов, выбравших своей специальностью теорию вероятностей. Помимо академических дел и работ оборонного характера, Андрей Николаевич занимался организацией деятельности механико-математического факультета теми немногими силами, что еще оставались в Москве. Он успевал курировать математические журналы (журналом “Успехи математических наук” руководил с момента создания и создает первый математический журнал “Теория вероятностей и ее применения”), продолжал активную деятельность и в своем первом Институте математики и механики. В первые военные годы, когда, казалось бы, и час трудно выделить для собственно математического творчества, Андрей Николаевич опубликовал статьи, которые заложили основы теории турбулентности. “Серия работ, опубликованных в 1941 г.,- писал У. Фриш в книге “Турбулентность. Наследие Колмогорова” (1998 г.), - до сих пор оказывает свое влияние на изучение турбулентности”.

В 1943 г. сорокалетний Андрей Николаевич впервые решается вести дневник, на первой странице которого он записал две цитаты из Гёте и посвящение:

«Посвящается мне самому к моему восьмидесятилетию с пожеланием сохранить к этому времени достаточно смысла хотя бы для того, чтобы понимать писания себя самого - сорокалетнего - и судить их с сочувствием, но и со строгостью».

« Пережитое дорого каждому, а особенно - тому, кто вспоминает и размышляет о нем на склоне лет в отрадной уверенности, что этого-то у него уж никто не отнимет».

« Все стоящее уже давно придумано, надо только не бояться попробовать перепридумать это еще раз». (Переводы Б.Заходера.)

Есть в этом дневнике замечательная страница, которую Колмогоров озаглавил:«Конкретный план того, как сделаться великим человеком, если на это хватит охоты и усердия».

Андрей Николаевич Колмогоров был одним из самых выдающихся представителей современной математики. И это находит свое выражение и в том, что А.Н. Колмогорову принадлежит первое место среди всех советских математиков по числу иностранных академий и научных сообществ, избравших его своим сочленом, а также университетов, сделавших его своим почетным доктором.

Колмогоров был членом практически всех авторитетных научных сообществ мира:

действительный член (академиком) АН СССР, членом Президиума АН, академиком-секретарем Отделения физико-математических наук (1939 год)

Почетный доктор Парижского университета (1955 год)

Почетный член Королевского Статистического общества Великобритании (1956 год)

Почетный член Международного статистического института (1957 год)

Почетный член Американской академии искусств и наук, г. Бостон, США (1959 год)

Член Германской академии естествоиспытателей "Леопольдина"(1959 год)

Почетный доктор наук Стокгольмского университета (Швеция) (1960 год)

  1. Иностранный член Американского Философского общества в Филадельфии (США) (1961 год)

Почетный доктор наук Индийского статистического института в г. Калькутта и почетный член математического общества Индии (1961 год)

Почетный член Американского Метеорологического общества (1962 год)

Почетный член Лондонского математического общества (1962 год)

Иностранный член Нидерландской Королевской академии наук (1963 год)

Президент Московского математического общества (1964 год)

член Лондонского Королевского общества (1964 год)

1965 год. Почетный член Румынской академии наук и академии наук Венгрии (1965 год)

действительный член Академии педагогических наук СССР (1966 год)

член Национальной академии наук США (1967 год)

иностранный член Академии наук Франции(1968 год)

Почетный член Международной академии истории наук,

Иностранный член Академии наук ГДР (1977 год)

иностранный член Общества ордена "Пур ля Мерит" ФРГ (1977 год)

член Академии наук Финляндии (1985 год).

В мировой науке, чтобы отметить достижения в тех областях, которые не охватываются Нобелевскими премиями, были учреждены Бальцмановские премии. В 1963 г. состоялось первое присуждение Бальцмановской премии по математике, и ее лауреатом стал А. Н. Колмогоров. Это была высшая оценка вклада А. Н. Колмогорова в мировую науку. Международная премия имени Н.И.Лобачевского Академии наук СССР присуждена Андрею Николаевичу в 1987 году, а международная премия по математике Фонда Вольфа в 1980 году. А.Н. Колмогоров был лауреатом Ленинской премии (1965 г., за работы по классической механике), Государственной (Сталинской) премии (1941 г., за работы по теории случайных процессов), премии им. Чебышева АН СССР (1949г.). Ему было присвоено звание Героя Социалистического Труда (1963 г.), он был награжден семью орденами Ленина, другими орденами и медалями СССР, а также венгерским орденом Знамени, медалью им. Гельмгольца Академии наук ГДР, золотой медалью Американского метеорологического общества.

В 1994 году Российская академия наук установила премию имени самого А. Н. Колмогорова, вручаемую «За выдающиеся результаты в области математики»

Гениальный Учёный, великий Просветитель, замечательный Человек - имя Андрея Николаевича Колмогорова золотыми буквами вписано в плеяду величайших людей планеты. "Колмогоров был не просто ученый, он был глубокий мыслитель. Для него процесс постоянного поиска нового результата, метода, идеи был равносилен самой жизни" - писал Б. В. Гнеденко. «Я, во всяком случае, жил всегда руководствуясь тем тезисом, что ИСТИНА - главное, что наш долг - находить и отстаивать её, независимо от того, приятна она или неприятна. Во всяком случае, в своей сознательной жизни я всегда исходил из таких положений» - писал Андрей Николаевич Колмогоров. В дни своего 80-летия тяжело больной Андрей Николаевич, вспоминая прожитые годы, произнес: "Жизнь моя была преисполнена счастья!"

 

Модель Колмогорова

Модель "хищник-жертва" в общем случае (без учета возрастной структуры) имеет следующий вид:

 

При этом F1 убывает с ростом N1 (такое условия позволяет учесть внутривидовую конкуренцию популяции жертвы), F2 возрастает с ростом N1 (хищник питается только жертвой).
Будем рассматривать модель Колмогорова следующего вида:

   

L(N1) - трофическая функция, которая не зависит от численности хищника, что соответствует отсутствию внутривидовой конкуренции популяции хищника; k1(N1) - коэффициент прироста жертвы в отсутствие хищника. Поедание жертвы хищником учитывается слагаемым L(N1)N2. k2(N1) - коэффициент прироста хищником, не зависящий от N2 (значит, нет внутривидовой конкуренции в популяции хищника).

Отметим качественные свойства функций k1, k2, L:
1. Функции определены на множестве N1 ≥ 0, непрерывно-дифференцируемы для N1 ≥ 0.
2. Функция k1(N1) учитывает внутривидовую конкуренцию, является убывающей, меняет свои значения с положительных на отрицательные:

 

Такое поведение характерно для модели Ферхюльста-Пирла.
3. Функция k2(N1) - возрастающая, ее производная по N1 положительна. Функция меняет свои значения с отрицательных на положительные:

 
  1. L(0) = 0; L(N1) >0 для любого N1> 0

В настоящее время задачи экологии имеют первостепенное значение. Важным этапом решения этих задач является разработка математических моделей экологических систем.

Одной из основных задач экологии па современном этапе является изучение структуры и функционирования природных систем поиск общих закономерностей. Большое влияние на экологию оказала математика способствующая становлению математической экологии особенно такие её разделы как теория дифференциальных уравнений теория устойчивости и теория оптимального управления.

Одной из первых работ в области математической экологии была работа А.Д. Лотки (1880 - 1949) который первый описал взаимодействие различных популяций связанных отношениями хищник - жертва. Большой вклад в исследование модели хищник -жертва внесли В. Вольтерра (1860 - 1940) В.А. Костицин (1883-1963) В настоящее время уравнения описывающие взаимодействие популяций называются уравнениями Лотки — Вольтерра.

Уравнения Лотки - Вольтерра описывают динамику средних величин - численности популяции. В настоящее время на их основе построены более общие модели взаимодействия популяций описываемые интегро-дифференциальными уравнениями исследуются управляемые модели хищник - жертва.

Одной из важных проблем математической экологии является проблема устойчивости экосистем управления этими системами. Управление может осуществляться с целью перевода системы из одного устойчивого состояния в другое с целью её использования или восстановления.

 

 ПАРАМЕТРЫ И ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ МОДЕЛИ ХИЩНИК-ЖЕРТВА

Попытки математического моделирования динамики как отдельных биологических популяций так и сообществ включающих взаимодействующие популяции различных видов предпринимались давно. Одна из первых моделей роста изолированной популяции (2.1) была предложена еще в 1798 г. Томасом Мальтусом:

                                                                                      

Данная модель задается следующими параметрами:

N — численность популяции;

 — разность между коэффициентами рождаемости и смертности.

Интегрируя это уравнение получаем:

                                                                         

где N(0) – численность популяции в момент t = 0. Очевидно что модель Мальтуса при   > 0 дает бесконечный рост численности что никогда не наблюдается в природных популяциях где ресурсы обеспечивающие этот рост всегда ограничены. Изменения численности популяций растительного и животного мира нельзя описывать простым законом Мальтуса на динамику роста влияют многие взаимосвязанные причины – в частности размножение каждого вида саморегулируется и видоизменяется так чтобы этот вид сохранялся в процессе эволюции. [1]

Математическим описанием этих закономерностей занимается математическая экология – наука об отношениях растительных и животных организмов и образуемых ими сообществ между собой и с окружающей средой.

Наиболее серьезное исследование моделей биологических сообществ включающих в себя несколько популяций различных видов было проведено итальянским математиком Вито Вольтерра:

где  — численность популяции;

 — коэффициенты естественного прироста (или смертности) популяции;  — коэффициенты межвидового взаимодействия. В зависимости от выбора коэффициентов модель описывает либо борьбу видов за общий ресурс либо взаимодействие типа хищник — жертва когда один вид является пищей для другого. Если в работах других авторов основное внимание уделялось построению различных моделей то В. Вольтерра провел глубокое исследование построенных моделей биологических сообществ. Именно с книги В. Вольтерра по мнению многих ученых началась современная математическая экология.


 

КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МОДЕЛИ «ХИЩНИК-ЖЕРТВА»

2.1 Модель трофического взаимодействия по типу «хищник—жертва»

Рассмотрим модель трофического взаимодействия по типу «хищник—жертва» построенную В. Вольтерром. Пусть имеется система состоящая из двух видов из которых один поедает другой.

Рассмотрим случай когда один из видов является хищником а другой — жертвой и будем считать что хищник питается только жертвой. Примем следующую простую гипотезу:

 — коэффициент прироста жертвы;

— коэффициент прироста хищника;

 — численность популяции жертвы;

 — численность популяции хищника;

— коэффициент естественного прироста жертвы;

 — скорость потребления жертвы хищником;

— коэффициент смертности хищника в отсутствие жертвы;

 — коэффициент «переработки» хищником биомассы жертвы в собственную биомассу.

Тогда динамика численности популяций в системе хищник — жертва будет описываться системой дифференциальных уравнений (2.1):

                                                                  

где все коэффициенты положительные и постоянные.

Модель имеет равновесное решение (2.2):

                                                                          

По модели доля хищников в общей массе животных выражается формулой

                                               

Анализ устойчивости состояния равновесия по отношению к малым возмущениям показал что особая точка (2.2) является «нейтрально» устойчивой (типа «центр») т. е. любые отклонения от равновесия не затухают но переводят систему в колебательный режим с амплитудой зависящей от величины возмущения. Траектории системы на фазовой плоскости   имеют вид замкнутых кривых расположенных на различных расстояниях от точки равновесия (рис. 1).

Рис. 1 – Фазовый «портрет» классической вольтерровой системы «хищник-жертва»


Разделив первое уравнение системы (2.1) на второе получим дифференциальное уравнение (2.4) для кривой на фазовой плоскости  .

                                                       

Интегрируя данное уравнение получим:

                                                               (

где   - постоянная интегрирования где 

Несложно показать что движение точки по фазовой плоскости будет происходить только в одну сторону. Для этого удобно сделать замену функций   и  перенеся начало координат на плоскости  в стационарную точку (2.2) и введя затем полярные координаты:

                                                      

В таком случае подставив значения системы будем иметь:

 


Умножив первое уравнение на   а второе — на   и сложив их получим:

                                      

После аналогичных алгебраических преобразований получим уравнение для  :

                

Величина   как видно из (4.9) всегда больше нуля. Таким образом   не меняет знака и вращение все время идет в одну сторону.

Интегрируя (2.9) найдем период:

                            

Когда   мало то уравнения (2.8) и (2.9) переходят в уравнения эллипса. Период обращения в этом случае равен:

                                                 

Исходя из периодичности решений уравнений (2.1) можно получить некоторые следствия. Представим для этого  в виде:


                                                                           

и проинтегрируем по периоду:

                                                                  

Так как подстановки от   и   в силу периодичности обращаются в нуль средние по периоду оказываются равными стационарным состояниям:

                                                                               

Простейшие уравнения модели «хищник—жертва»  обладают рядом существенных недостатков. Так в них предполагается неограниченность пищевых ресурсов для жертвы и неограниченный рост хищника что противоречит экспериментальным данным. Кроме того как видно из рис. 1 ни одна из фазовых кривых не выделена с точки зрения устойчивости. При наличии даже небольших возмущающих воздействий траектория системы будет все дальше уходить от положения равновесия амплитуда колебаний расти и система достаточно быстро разрушится.

Несмотря на недостатки модели  представления о принципиально колебательном характере динамики системы «хищник— жертва» получили широкое распространение в экологии. Взаимодействиями «хищник—жертва» объясняли такие явления как колебания численности хищных и мирных животных в промысловых зонах колебания в популяциях рыб насекомых и т. д. На самом деле колебания численности могут быть обусловлены и другими причинами.

Предположим что в системе хищник — жертва происходит искусственное уничтожение особей обоих видов и рассмотрим вопрос о том каким образом уничтожение особей влияет на средние значения их численности если осуществляется пропорционально этой численности с коэффициентами пропорциональности   и   соответственно для жертвы и хищника. С учетом сделанных предположений систему уравнений перепишем в виде:

                                     

Предположим что   т. е. коэффициент истребления жертвы меньше коэффициента ее естественного прироста. В этом случае также будут наблюдаться периодические колебания численности. Вычислим средние значения численностей:

                                                                   


Таким образом если   то средняя численность популяций жертвы возрастает а хищника — убывает.

Рассмотрим случай когда коэффициент истребления жертвы больше коэффициента ее естественного прироста т. Е  . В этом случае   при любых   и следовательно решение первого уравнения (2.15) ограничено сверху экспоненциально убывающей функцией   т. е.  при  .

Начиная с некоторого момента времени t при котором   решение второго уравнения (2.15) также начинает убывать и при  стремится к нулю. Таким образом в случае  оба вида исчезают.

2.1 Обобщенные модели Вольтера типа «хищник-жертва»

Первые модели В. Вольтерра естественно не могли отражать все стороны взаимодействия в системе хищник — жертва поскольку они были в значительной мере упрощены относительно реальных условий. Например если численность хищника   равна нулю то из уравнений (1.4) следует что численность жертвы неограниченно возрастает что не соответствует действительности. Однако ценность этих моделей состоит именно в том что они были основой на которой быстрыми темпами начала развиваться математическая экология.

Появилось большое число исследований различных модификаций системы хищник — жертва где были построены более общие модели учитывающие в той или иной степени реальную ситуацию в природе.

В 1936 г. А.Н. Колмогоров предложил использовать для описания динамики системы хищник — жертва следующую систему уравнении:


                                                

где   убывает с возрастанием численности хищников а   возрастает с увеличением численности жертвы.

Эта система дифференциальных уравнений в силу ее достаточной общности позволяет хорошо учитывать реальное поведение популяций и вместе с тем проводить качественный анализ ее решений.

Позднее в своей работе Колмогоров исследовал подробно менее общую модель:

                                                    

Различные частные случаи системы дифференциальных уравнений  исследовались многими авторами. В таблице приведены различные частные случаи функций      .

Таблица 1 - Различные модели сообщества «хищник-жертва»

     

Авторы

     

Вольтерра-Лотка

     

Гаузе

     

Пислоу

     

Холинг

     

Ивлев

     

Рояма

     

Шимазу

     

Мэй

математическое моделирование хищник жертва


ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ МОДЕЛИ ХИЩНИК-ЖЕРТВА

Рассмотрим математическую модель совместного существования двух биологических видов (популяций) типа "хищник - жертва" называемую моделью Вольтерра - Лотки.

Пусть два биологических вида совместно обитают в изолированной среде. Среда стационарна и обеспечивает в неограниченном количестве всем необходимым для жизни один из видов который будем называть жертвой. Другой вид - хищник также находится в стационарных условиях но питается лишь особями первого вида. Это могут быть караси и щуки зайцы и волки мыши и лисы микробы и антитела и т. д. Будем для определенности называть их карасями и щуками.

Заданы следующие начальные показатели:

Наименование показателя

Щуки

Караси

 — начальная численность популяции

10000

800

 — коэффициент естественного прироста/смертности

1,1

0,001

— коэффициенты межвидового взаимодействия

0,0001

0,0001

Со временем число карасей и щук меняется но так как рыбы в пруду много то не будем различать 1020 карасей или 1021 и поэтому будем считать   и  непрерывными функциями времени t. Будем называть пару чисел (   ) состоянием модели.

Очевидно что характер изменения состояния (   ) определяется значениями параметров. Изменяя параметры и решая систему уравнений модели можно исследовать закономерности изменения состояния экологической системы во времени.

В экосистеме скорость изменения численности каждого вида также будем считать пропорциональной его численности но только с коэффициентом который зависит от численности особей другого вида. Так для карасей этот коэффициент уменьшается с увеличением числа щук а для щук увеличивается с увеличением числа карасей. Будем считать эту зависимость также линейной. Тогда получим систему из двух дифференциальных уравнений:

Эта система уравнений и называется моделью Вольтерра-Лотки. Числовые коэффициенты         - называются параметрами модели. Очевидно что характер изменения состояния (   ) определяется значениями параметров. Изменяя эти параметры и решая систему уравнений модели можно исследовать закономерности изменения состояния экологической системы.

Проинтегрируем оба уравнения систему по t которое будет изменяться от   - начального момента времени до   где T – период за который происходят изменения в экосистеме. Пусть в нашем случае период равен 1 году. Тогда система принимает следующий вид:

;


;

Принимая  =  и  =  приведем подобные слагаемые получим систему состоящую из двух уравнений:

Подставив в полученную систему исходные данные получим популяцию щук и карасей в озере спустя год:

 

 

 

Уравнения Колмогорова. Предельные вероятности состояний

Рассмотрим математическое описание марковского процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем на примере случайного процесса из задачи 1, граф которого изображен на рис. 1. Будем полагать, что все переходы системы из состояния Si в Sj происходят под воздействием простейших потоков событий с интенсивностями lij(i, j=0,1,2,3); так, переход системы из состояния S0в S1 будет происходить под воздействием потока отказов первого узла, а обратный переход из состояния S1 в S0 — под воздействием потока «окончаний ремонтов» первого узла и т.п. 
Граф состояний системы с проставленными у стрелок интенсивностями будем называть размеченным (см. рис. 1). Рассматриваемая система S имеет четыре возможных состояния: S0, S1, S2, S3
Вероятностью i-го состояния называется вероятность pi(t) того, что в момент t система будет находиться в состоянии SiОчевидно, что для любого момента t сумма вероятностей всех состояний равна единице: 
.                                                                   (8) 
Рассмотрим систему в момент t и, задав малый промежуток Dt, найдем вероятность p0(t+Dt) того, что система в момент t+ Dt будет находиться в состоянии S0. Это достигается разными способами. 
1. Система в момент t с вероятностью p0(t) находилась в состоянии S0, а за время Dt не вышла из него.
Вывести систему из этого состояния (см. граф на рис. 1) можно суммарным простейшим потоком с интенсивностью (l01+l02), т.е. в соответствии с (15.7), с вероятностью, приближенно равной (l01+l02)Dt. А вероятность того, что система не выйдет из состояния S0, равна [1-(l01+l02)Dt]. Вероятность того, что система будет находиться в состоянии S0, по первому способу (т.е. того, что находилась в состоянии S0 и не выйдет из него за время Dt), равна по теореме умножения вероятностей: 

2. Система в момент с вероятностями р1(t) (или p2(t)) находилась в состоянии S1 или S2 и за время Dtперешла в состояние S0
Потоком интенсивностью l10 (или l 20 — см. рис. 1) система перейдет в состояние S0 с вероятностью, приближенно равной l10Dt (или l20Dt). Вероятность того, что система будет находиться в состоянии S0 по этому способу, равна р1(t)×l10D(или р2(t)×l20Dt). 
Применяя теорему сложения вероятностей, получим 

откуда 

Переходя к пределу при Dt®0 (приближенные равенства, связанные с применением формулы (7), перейдут в точные), получим в левой части уравнения производную p’0(t) (обозначим ее для простоты p’0): 

Получили дифференциальное уравнение первого порядка, т.е. уравнение, содержащее как саму неизвестную функцию, так и ее производную первого порядка. 
Рассуждая аналогично для других состояний системы S, можно получить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний: 
                                                 (9) 
           Сформулируем правило составления уравнений Колмогорова. В левой части каждого из них стоит производная вероятности i-го состояния. В правой части — сумма произведений вероятностей всех состояний (из которых идут стрелки в данное состояние) на интенсивности соответствующих потоков событий, минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящих систему из данного состояния, умноженная на вероятность данного (i-го состояния). 
В системе (9) независимых уравнений на единицу меньше общего числа уравнений. Поэтому для решения системы необходимо добавить уравнение (8). 
Особенность решения дифференциальных уравнений вообще состоит в том, что требуется задать так называемые начальные условия, т.е. в данном, случае вероятности состояний системы в начальный момент t = 0. Так, например, систему уравнений (9) естественно решать при условии, что в начальный момент оба узла исправны и система находилась в состоянии S0, т.е. при начальных условиях p0(0)=1, p1(0)=p2(0)=p3(0)=0. 
Уравнения Колмогорова дают возможность найти все вероятности состояний как функции времени.Особый интерес представляют вероятности системы pi(t) в предельном стационарном режиме, т.е. при t® ¥, которые называются предельными (или финальными) вероятностями состояний. 
В теории случайных процессов доказывается, что если число состояний системы конечно и из каждого из них можно (за конечное число шагов) перейти в любое другое состояние, то предельные вероятности существуют. 
Предельная вероятность состояния Si имеет четкий смысл: она показывает среднее относительное время пребывания системы в этом состоянии. Например, если предельная вероятность состояния S0, т.е. p0=0,5, то это означает, что в среднем половину времени система находится в состоянии S0
Так как предельные вероятности постоянны, то, заменяя в уравнениях Колмогорова их производные нулевыми значениями, получим систему линейных алгебраических уравнений, описывающих стационарный режим. Для системы S с графом состояний, изображенном на рис. 1, такая система уравнений имеет вид: 
(10) 
Систему (10) можно составить непосредственно по размеченному графу состояний, если руководствоваться правилом, согласно которому слева в уравнениях стоит предельная вероятность данного состояния pi, умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, ведущих из данного состояния, а справа — сумма произведений интенсивностей всех потоков, входящих в i-е состояние, на вероятности тех состояний, из которых эти потоки исходят.

Задача 2. Найти предельные вероятности для системы S задачи 1, граф состояний которой приведен на рис. 1, при l01=1, l02=2, l10=2, l13=2, l20=3, l23=1, l31=3, l32=2. 
Решение. Система алгебраических уравнений, описывающих стационарный режим для данной системы, имеет вид (10) или 
                                                                                            (11) 
(Здесь мы вместо одного "лишнего" уравнения системы (10) записали нормировочное условие (8)). 
Решив систему (11), получим p0=0,40, p1=0,20, p2=0,27, p3=0,13, т.е. в предельном, стационарном режиме система S в среднем 40% времени будет находиться в состоянии S0 (оба узла исправны), 20% — в состоянии S1 (первый узел ремонтируется, второй работает), 27% — в состоянии S2 (второй узел ремонтируется, первый работает) и 13% времени — в состоянии S3 (оба узла ремонтируются).

Задача 3. Найти средний чистый доход от эксплуатации в стационарном режиме системы S в условиях задач 1 и 2, если известно, что в единицу времени исправная работа первого и второго узлов приносит доход соответственно в 10 и 6 ден.ед., а их ремонт требует затрат соответственно в 4 и 2 ден.ед. Оценить экономическую эффективность СМО имеющейся возможности уменьшения вдвое среднего времени ремонта каждого из двух узлов, если при этом придется вдвое увеличить затраты на ремонт каждого узла (в единицу времени). 
Решение. Из задачи 2 следует, что в среднем первый узел исправно работает долю времени, равную p0+p3=0,40+0,27=0,67, а второй узел — p0+p1=0,40+0,20=0,60. В то же время первый узел находится в ремонте в среднем долю времени, равную p1+p3=0,20+0,13=0,33, а второй узел – p2+p3=0,27+0,13=0,40. Поэтому средний чистый доход в единицу времени от эксплуатации системы, т.е. разность между доходами и затратами, равен  
Д=0,67 ×10+0,60×6-0,33 ×4-0,40×2=8,18 ден.ед. 
Уменьшение вдвое среднего времени ремонта каждого из узлов в соответствии с (6) будет означать увеличение вдвое интенсивностей потока "окончаний ремонтов" каждого узла, т.е. теперь l10=4, l20=6, l31 =6, l32=4 и система линейных алгебраических уравнений (10), описывающая стационарный режим системы вместе с нормировочным условием (8) примет вид: 
 
Решив систему, получим p0=0,60, p1=0,15, p2=0,20, p3=0,05. 
Учитывая, что p0+p2=0,60+0,20=0,80, p0+p1=0,60+0,15=0,75, p1+p3=0,15+0,05=0,20, p2+p3=0,20+0,05=0,25, а затраты на ремонт первого и второго узла составляют теперь соответственно 8 и 4 ден. ед., вычислим средний чистый доход в единицу времени:Д1=0,80 ×10+0,75×6-0,20 ×8-0,25×4=9,9 ден.ед. 
Так как Д1 больше Д (примерно на 20%), то экономическая целесообразность ускорения ремонтов узлов очевидна.

ПРИМЕР. Техническое устройство может находиться в одном из трех состояний S0, S1, S2. Интенсивность потоков, переводящих устройство из состояния, заданы в таблице.


Задача


Интенсивности потоков


λ01


λ02


λ10


λ12


λ20


λ21


78


2


2


1


2


3


0


Необходимо построить размеченный граф состояний, записать систему уравнений Колмогорова, найти финальные вероятности и сделать анализ полученных решений. 
Размеченный граф состояний имеет вид.


По графу запишем систему уравнений Колмогорова в общем виде: 
 
 
 
p0(t) + p1(t) + p2(t) = 1

Вместо интенсивности потоков λij запишем их конкретные значения и получим искомую систему: 
 
 
 
p0(t) + p1(t) + p2(t) = 1

Чтобы найти финальные вероятности состояний, в уравнениях Колмогорова отбросим первое уравнения, а по остальным составим систему алгебраических уравнений: 
2p0-3p1 = 0 
2p0+2p1-3p2=0 
p0 + p1 + p2 = 1 
Решим СЛАУ с помощью метода Гаусса. 
Вывод: При достаточно большом времени работы техническое устройство с вероятностью p0 = 0.36 будет находиться в состоянии S0, с вероятностью p1 = 0.24 в состоянии S1 и с вероятностью p2 = 0.4 в состоянии S2.

Процесс гибели и размножения

В теории массового обслуживания широкое распространение имеет специальный класс случайных процессов — так называемый процесс гибели и размножения. Название этого процесса связано с рядом биологических задач, где он является математической моделью изменения численности биологических популяций. 
Граф состояний процесса гибели и размножения имеет вид, показанный на рис. 4. 
 
Рис. 4 
Рассмотрим упорядоченное множество состояний системы S0, S1, S2, …, Sk. Переходы могут осуществляться из любого состояния только в состояния с соседними номерами, т.е. из состояния Skвозможны переходы только либо в состояние Sk-1, либо в состояние Sk+1. (При анализе численности популяций считают, что состояние Sk соответствует численности популяции, равной k, и переход системы из состояния Sk в состояние Sk+1 происходит при рождении одного члена популяции, а переход в состояние Sk-1, — при гибели одного члена популяции). 
Предположим, что все потоки событий, переводящие систему по стрелкам графа, простейшие с соответствующими интенсивностями lk, k+1 или lk+1, k
По графу, представленному на рис. 4, составим и решим алгебраические уравнения для предельных вероятностей состояний (их существование вытекает из возможности перехода из каждого состояния в каждое другое и конечности числа состояний). 
В соответствии с правилом составления таких уравнений (см. 13) получим: для состояния S0 
                                                                       (12) 
для состояния S1 – ( l12+l 10)p1=l01 p0+l21p2, которое с учетом (12) приводится к виду 
                                                                (13) 
Аналогично, записывая уравнения для предельных вероятностей других состояний, можно получить следующую систему уравнений: 
                                                                                        (14) 
к которой добавляется нормировочное условие 
                                                                       (15) 
Решая систему (14), (15), можно получить                                     (16) 
                     (17) 
Легко заметить, что в формулах (17) для p1, p2, …, pn коэффициенты при p0 есть слагаемые, стоящие после единицы в формуле (16). Числители этих коэффициентов представляют произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих слева направо до данного состояния Sk (k=1, 2, …, n), а знаменатели — произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих справа налево до состояния Sk.

Задача 4.Процесс гибели и размножения представлен графом (рис. 5). Найти предельные вероятности состояний. 
 
Рис. 5

Решение. По формуле (16) найдем 
 
по (17) –   т.е. в установившемся, стационарном режиме в среднем 70,6% времени система будет находиться в состоянии S0, 17,6% — в состоянии S1 и 11,8% — в состоянии S2.

 

Скачать:  У вас нет доступа к скачиванию файлов с нашего сервера. КАК ТУТ СКАЧИВАТЬ

Категория: Курсовые / Курсовые по математике

Уважаемый посетитель, Вы зашли на сайт как незарегистрированный пользователь.
Мы рекомендуем Вам зарегистрироваться либо войти на сайт под своим именем.