МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛЕНИНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ ПО ЭКОНОМЕТРИКЕ

0

ДЛЯ СТУДЕНТОВ СПЕЦИАЛЬНОСТИ «ФИНАНСЫ И КРЕДИТ», «БУХГАЛТЕРСКИЙ УЧЕТ, АНАЛИЗ И АУДИТ»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПО ВЫПОЛЕНИНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ

ПО ЭКОНОМЕТРИКЕ

Стр.

Лабораторная работа № 1 Классическая модель линейной регрессии

Лабораторная работа № 2 Регрессионные модели с переменной структурой

Лабораторная работа № 3 Нарушения допущений классической модели линейной регрессии

Лабораторная работа № 4 Нелинейная регрессия и способы линеаризации

Лабораторная работа № 5 Моделирование одномерных временных рядов

Лабораторная работа № 6 Системы линейных одновременных уравнений

Список использованной литературы

Введение

Современная ситуация в России предъявляет высокие требования к содержанию и качеству подготовки экономистов, в том числе и в области статистики. Современный экономист должен уметь использовать в своей ежедневной практике статистические подходы к исследованию социально-экономических явлений и процессов:

- методы статистического наблюдения за явлениями социальной и экономической жизни, сбора и измерения статистической информации;

- методы обработки статистической информации, такие как метод сводки и группировки, ряды распределения, табличный и графический методы;

- методы анализа с помощью обобщающих показателей: абсолютных, относительных, средних величин и индексных систем;

- статистические методы изучения динамики процессов, выявления взаимосвязей явлений посредством реализации корреляционно-регрессионного анализа.

Именно для овладения студентами необходимыми основами статистических знаний разработано данное учебное пособие по выполнению лабораторных работ по дисциплине “Теория статистики”.

Учебное пособие составлено в соответствии с учебной программой курса и предназначено для студентов специальностей 080601 “Статистика”, 080105 “Финансы и кредит”. Дисциплина “Теория статистики” базируется на предшествующем ей курсе “Информатика”, в связи с этим при составлении учебного пособия предполагалось, что студенты владеют необходимыми навыками работы в ППП Microsoft Word и ППП Microsoft Excel.

В данном учебном пособии изложен теоретический материал к лабораторным работам, приведены задания к лабораторному практикуму, вопросы к защите лабораторных работ, а также указания о порядке их выполнения с использованием ППП Microsoft Excel.

Задания к лабораторным работам составлены по основным темам курса: “Статистическое наблюдение”, “Сводка и группировка статистических данных”, “Абсолютные и относительные величины”, “Средние величины”, “Показатели вариации”, “Статистическое изучение динамики социально-экономических явлений и процессов”, “Индексы”, “Статистическое изучение взаимосвязи социально – экономических явлений”.

При составлении задач к лабораторным работам были использованы статистические материалы Росстата и Территориального органа Федеральной службы государственной статистики по Оренбургской области. Использование реальных статистических данных при выполнении заданий лабораторных работ позволит студентам овладеть основами статистической науки, развить навыки применения статистических методов, научиться анализировать и интерпретировать полученные результаты, а также понять, что они считали и для чего.

Применение современных пакетов прикладных программ при изучении дисциплины “Статистика”, таких как ППП Microsoft Excel, дает возможность студентам повысить темп решения задач, и сосредоточить их внимание на понимании экономического смысла исчисленных показателей, на объяснении полученных результатов и формулировании выводов.

При изучении данной дисциплины студенты приобретают не только умения и навыки применения статистических методов, которые могут пригодиться в любом направлении деятельности экономиста, но также у них закладываются элементы статистического мышления.1 Требования к выполнению лабораторных работ

Выполнение лабораторной работы включает:

1) ознакомление с заданием на лабораторную работу и вопросами к ее защите;

2) проработку теоретического материала;

3) выполнение индивидуальных вариантов заданий с применением ППП Microsoft Excel;

4) подготовку письменного отчета, который должен содержать:

а) задание на лабораторную работу, при этом задачи следует решать в том порядке, в каком они даны в задании к лабораторной работе;

б) результаты вычислений, сопровождаемые необходимыми формулами, подробными расчетами и краткими пояснениями. Результаты вычислений, по возможности, следует оформлять в виде таблицы и представлять графически. Произведенные расчеты нужно проверять взаимосвязью между исчисленными показателями. Все расчеты относительных показателей нужно производить с принятой в статистике точностью до 0,001, а проценты до 0,1;

в) анализ полученных результатов и выводы, которые раскрывают экономическое содержание и значение исчисленных показателей;

5) защиту лабораторной работы.

Лабораторная работа должна быть выполнена с использованием современного табличного процессора Microsoft Excel и представлена к защите в срок, установленный преподавателем. Описанию работы в ППП Microsoft Excel, в том числе со статистическими функциями, посвящены работы многих авторов [12, 13, 14 и др.]. В указанных работах достаточно подробно изложены сведения о порядке и правилах работы с Microsoft Excel, рассмотрены многочисленные примеры, даны практические рекомендации. В связи с этим автор учебного пособия не увидела необходимости в рассмотрении и описании статистических функций Microsoft Excel, тем не менее, в указаниях к каждой лабораторной работе приведены ссылки на источники, в которых студент может найти необходимую информацию по использованию табличного процессора Microsoft Excel для статистического анализа данных.

Лабораторная работа должна быть оформлена аккуратно, разборчиво, без помарок и зачеркиваний в соответствие СТП 101 – 00.

В конце работы должен быть приведен список использованных источников.

Студенты, не получившие зачета по лабораторным работам, к экзамену не допускаются. Если выполнение лабораторных работ вызывает затруднения, следует обратиться за консультацией к преподавателю.

Каждая лабораторная работа состоит из восьми вариантов. Выбор варианта определяется начальной буквой фамилии студента (таблица 1.1):

Таблица 1.1

Начальные буквы фамилии студента	Номер выполняемого варианта
А, И, С	Первый
Б, К, Т, Э	Второй
В, Л, У, Ю	Третий
Г, М, Ф, Я	Четвёртый
Д, Н, Х, Щ	Пятый
Е, О, Ц	Шестой
Ж, П, Ч	Седьмой
З, Р, Ш	Восьмой

8.2 Лабораторная работа № 1

Тема «Классическая модель линейной регрессии»

Задания По данным приложения А:

рассчитайте параметры линейного уравнения множественной регрессии с полным перечнем факторов по данным о деятельности крупнейших компаний США в 2007 г.
дайте сравнительную оценку силы связи факторов с результатом с помощью средних (общих) коэффициентов эластичности.
оцените с помощью F-критерия Фишера - Снедекора значимость уравнения линейной регрессии и показателя тесноты связи.
оцените статистическую значимость коэффициентов регрессии с помощью t- критерия Стьюдента.
оцените качество уравнения через среднюю ошибку аппроксимации.
рассчитайте матрицу парных коэффициентов корреляции и отберите информативные факторы в модели. Укажите коллинеарные факторы.
постройте модель в естественной форме только с информативными факторами и оцените ее параметры.
постройте модель в стандартизованном масштабе и проинтерпретируйте ее параметры.
рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение факторов составляют 80% от их максимальных значений.
рассчитайте ошибки и доверительный интервал прогноза для уровня значимости .
по полученным результатам сделайте экономический вывод.

Реализация типовых заданий

Рассчитайте параметры линейного уравнения множественной регрессии с полным перечнем факторов по данным о деятельности крупнейших компаний США в 2007 г.

Имеются данные о деятельности 25 крупнейших компаний США (таблица 8.2.1).

Построим уравнение множественной линейной регрессии следующего вида:

.

Для этого проведем регрессионный анализ данных факторов с помощью табличного редактора МС Excel.

Таблица 8.2.1 – Исходные данные для проведения корреляционного и регрессионного анализа

№ компании
1	2	3	4	5	6	7
1	2,5	38,2	5,3	16,5	29,4	1,2
2	3,3	20,3	3,8	24,9	29	2
3	2,3	11,4	5,1	9,2	27,4	0,9
4	3,3	16,9	1,3	19,3	27	1,3
5	4,2	26,9	6,1	40,8	25,8	1,6
6	2,9	21,9	1,6	37,2	15	0,3
7	5,7	144	27,5	133,5	25,5	2,6
8	3,2	24,8	5,6	32,9	25,3	1,3
9	8,5	172,3	16,8	286,5	24,8	2,3
10	2	8,9	0,4	1,6	23,8	1
11	2,9	13,7	2,2	10,3	23,8	1,5
12	3,5	34	5,3	16,4	23,5	1,8
13	3,5	20,3	3,7	23,8	14,7	1,9
14	3	16,7	3,5	81,5	21,6	1,3
15	2	26,4	3,4	40,4	21,2	1,5
16	2,4	13,7	0,9	12,9	20,6	0,2
17	3,4	33,9	3,6	54,6	19	1,1
18	2,5	19,3	1,9	36,9	18,3	1,7
19	2,7	24,6	4,2	53,8	13,9	2,1
20	3,5	19,6	3,3	22,8	17,8	2,1
21	0,7	28,3	0,4	50,4	17,7	1,4
22	2,9	20,4	2,4	27,2	17,7	1,8
23	3,6	20,3	3,2	25,2	17,6	2
24	2,2	11,1	0,5	8,9	16,4	1,3
25	2,3	22,4	1,6	31,1	15,7	2

где y – чистый доход, млрд. долл.

x₁ – оборот капитала, млрд. долл.

x₂– использованный капитал, млрд. долл.

x₃ – численность служащих, тыс. чел.

x₄– рыночная капитализация компаний, млрд. долл.

x₅ – заработная плата служащих, тыс. долл.

Для построения модели можно воспользоваться инструментом анализа данных Регрессия. Порядок действий следующий:

а) в главном меню выберите Сервис/Анализ данных/Регрессия. Щелкните по кнопке ОК;

б) заполните диалоговое окно ввода данных и параметров ввода (рисунок 8.2.1):

Рисунок 8.2.1 – Диалоговое окно ввода параметров инструмента «Регрессия»

Входной интервал Y – диапазон, содержащий данные результативного признака;

Входной интервал Х – диапазон, содержащий данные всех пяти факторов;

Метки – флажок, который указывает, содержит ли первая строка названия столбцов или нет;

Константа – ноль – флажок, указывающий на наличие или отсутствие свободного члена в уравнении;

Выходной интервал – достаточно указать левую верхнюю ячейку будущего диапазона;

Новый рабочий лист - можно задать произвольное имя нового листа.

Результаты регрессионного анализа представлены на рисунке 8.2.2.

Рисунок 8.2.2 – Результат применения инструмента Регрессия для факторов

Составим уравнение множественной регрессии:

.

Коэффициенты регрессии показывают среднее изменение результативного признака с изменением на 1 единицу своего измерения данного фактора при условии постоянства всех остальных.

Таким образом, коэффициент регрессии при показывает, что с увеличением оборотного капитала на 1 млрд. долл. чистый доход увеличится в среднем на 0,0039 млрд. долл., при фиксированном значении остальных факторов. Аналогичным образом делаются выводы по остальным коэффициентам регрессии.

Параметр экономического смысла не имеет.

Дайте сравнительную оценку силы связи факторов с результатом с помощью средних (общих) коэффициентов эластичности.

Средние коэффициенты эластичности показывают, на сколько процентов от значения своей средней изменяется результат при изменении фактора на 1 % от своей средней и при фиксированном воздействии на y всех прочих факторов, включенных в уравнение регрессии. Для линейной зависимости

,

где - коэффициент регрессии при в уравнении множественной регрессии.

Средние значения признаков могут быть получены с помощью инструмента анализа данных Описательная статистика. Для этого выполните следующие шаги:

введите исходные данные или откройте существующий файл, содержащий анализируемые данные;
в главном меню выберите последовательно пункты Сервис / Анализ данных / Описательная статистика, после чего щелкните по кнопке ОК;
заполните диалоговое окно ввода данных и параметров вывода (рисунке 8.2.3).

Рисунок 8.2.3 – Диалоговое окно ввода параметров инструмента «Описательная статистика»

Результаты вычисления соответствующих показателей для каждого признака представлены на рисунке 8.2.4.

Рисунок 8.2.4 – Результат применения инструмента «Описательная статистика»

Здесь ,

,

.

По значениям средних коэффициентов эластичности можно сделать вывод о более сильном влиянии на результат y признаков факторов и , чем признаков факторов , и .

Средний коэффициент эластичности , показывает, что с увеличением оборотного капитала на 1 %, чистый доход увеличивается в среднем на 0,04 %, при условии, что другие факторы остаются постоянными. Аналогично делаются выводы по другим коэффициентам.

Оцените с помощью F-критерия Фишера-Снедекора значимость уравнения линейной регрессии и показателя тесноты связи.

Оценку надежности уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи дает F-критерий Фишера:

.

Для проверки значимости уравнения выдвигаем две гипотезы:

Н₀: уравнение регрессии статистически не значимо;

Н₁: уравнение регрессии статистически значимо.

По данным таблиц дисперсионного анализа, представленным на рисунке 8.2.2, =12,56. Вероятность случайно получить такое значение F-критерия составляет 0,0000, что не превышает допустимый уровень значимости 5 %; об этом свидетельствует величина P – значение из этой же таблицы. Следовательно, полученное значение не случайно, оно сформировалось под влиянием существенных факторов, т.е. подтверждается статистическая значимость всего уравнения и показателя тесноты связи .

Оцените статистическую значимость коэффициентов регрессии с помощью t- критерия Стьюдента.

Выдвигаем две гипотезы:

Н₀: коэффициенты регрессии статистически не значим, т.е. равны о;

Н₁: коэффициенты регрессии статистически значимы, т.е. отличны от нуля.

Значения случайных ошибок параметров с учетом округления равны (рисунок 8.2.2):

Они показывают, какое значение данной характеристики сформировались под влиянием случайных факторов. Эти значения используются для расчета t-критерия Стьюдента (рисунок 8.2.2):

.

Если значения t-критерия больше 2,09, можно сделать вывод о существенности параметра, который формируется под воздействием неслучайных причин. Здесь все параметры являются статистически не значимыми.

На это же указывает показатель вероятности случайных значений параметров регрессии: если α меньше принятого нами уровня (обычно 0,1; 0,05 или 0,01), делают вывод о неслучайной природе данного значения параметра, т.е. о том, что он статистически значим и надежен. В противном случае принимается гипотеза о случайной природе значения коэффициентов уравнения.

Оцените качество уравнения через среднюю ошибку аппроксимации.

Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации по формуле средней арифметической простой:

Таблица 8.2.2 – Данные для расчета средней ошибки аппроксимации

№ п/п
1	2	3	4
1	2,50	3,04	0,22
2	3,30	3,27	0,01
3	2,30	2,66	0,15
4	3,30	2,77	0,16
5	4,20	3,36	0,20
6	2,90	2,26	0,22
7	5,70	6,29	0,10
8	3,20	3,10	0,03
9	8,50	7,91	0,07
10	2,00	2,24	0,12
11	2,90	2,62	0,10
12	3,50	2,99	0,14

Продолжение таблицы 8.2.2

1	2	3	4
13	3,50	2,67	0,24
14	3,00	3,50	0,17
15	2,00	3,03	0,51
16	2,40	2,05	0,15
17	3,40	3,04	0,10
18	2,50	2,84	0,14
19	2,70	3,16	0,17
20	3,50	2,82	0,19
21	0,70	2,88	3,11
22	2,90	2,75	0,05
23	3,60	2,81	0,22
24	2,20	2,17	0,01
25	2,30	2,76	0,20
Итого	79,00	79,00	6,79

Таким образом, фактические значения результативного признака отличаются от теоретических значений на 27,16 %. Следовательно, построенная модель является удовлетворительной.

Рассчитайте матрицу парных коэффициентов корреляции и отберите информативные факторы в модели. Укажите коллинеарные факторы.

Значения линейных коэффициентов парной корреляции определяют тесноту попарно связанных переменных, использованных в данном уравнении множественной регрессии.

Парные коэффициенты корреляции рассчитываются по формулам:

; .

Матрицу парных коэффициентов корреляции переменных можно рассчитать, используя инструмент анализа данных Корреляция. Для этого:

1) в главном меню последовательно выберите пункты Сервис / Анализ данных / Корреляция. Щелкните по кнопке ОК;

2) заполнит диалоговое окно ввода данных и параметров вывода (рисунок 8.2.5);

3) результаты вычислений – матрица коэффициентов парной корреляции – представлены на рисунке 8.2.6.

Рисунок 8.2.5 - Диалоговое окно ввода параметров инструмента Корреляция

Рисунок 8.2.6 – Матрица коэффициентов парной корреляции

Из матрицы можно заметить, что факторы и , и мультиколлинеарны, т.к. коэффициенты корреляции превышают 0,75. Таким образом, можно сказать, что они дублируют друг друга.

При отборе факторов в модель предпочтение отдается фактору, который при достаточно тесной связи с результатом имеет наименьшую тесноту связи с другими факторами. В нашем примере получаем, информативными факторами являются: и .

Построим новое уравнение множественной регрессии с информативными факторами.

Постройте модель в естественной форме только с информативными факторами и оцените ее параметры.

Построим уравнение множественной линейной регрессии следующего вида:

.

Параметры вычисляем аналогично пункту 1 (рисунок 8.2.7).

Рисунок 8.2.7 – Результат применения инструмента «Регрессия»

Получаем уравнение следующего вида: .

Уравнение в целом, а также его параметры являются статистически значимыми.

Постройте модель в стандартизованном масштабе и проинтерпретируйте ее параметры.

Уравнение в стандартизованном масштабе имеет вид: .

Расчет β – коэффициентов выполним по формулам

; .

Парные коэффициенты корреляции берутся из матрицы (рисунок 8.2.6):

Получим уравнение .

Стандартизованные коэффициенты регрессии показывают, на сколько сигм изменится в среднем результативный признак, если соответствующий фактор изменится на 1 сигму при неизменном среднем уровне других факторов.

В нашем случае, при увеличении использования капитала на 1 сигму чистый доход увеличится на 0,34 сигм, при условии, что численность служащих остаются на прежнем уровне. Аналогично вывод для .

Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение факторов составляют 80% от их максимальных значений.

Рассчитаем ожидаемое прогнозное значение чистого дохода как точечный прогноз путем подстановки в уравнение регрессии прогнозные значения факторов:

найдем максимальное значение для фактора (рисунок 8.2.4):
найдем максимальное значение для фактора (рисунок 8.2.4):
найдем прогнозные значения факторов:

для фактора :

подставим прогнозные значения факторов в уравнение

.

В результате получим:

Таким образом, при прогнозных значениях использованного капитала 22 млдр. долл. и численности служащих 229,2 тыс. чел. чистый доход крупнейших компаний США составит 7,47 млрд. долл.

Рассчитайте ошибки и доверительный интервал прогноза для уровня значимости .

Доверительный интервал прогноза имеет следующий вид:

где - средняя ошибка прогнозируемого значения ;

- вектор-столбец прогнозных значений факторов;

- стандартная ошибка .

Рассчитаем доверительный интервал прогноза по следующим этапам:

составим вектор-столбец
найдем транспонируемый вектор-столбец
из рисунка 4
найдем стандартную ошибку
составим матрицу X - 25 наблюдаемых значений независимых переменных и , размер которой 253 (добавлен единичный столбец для определения a₀)
найдем произведение
найдем
найдем выражение
вычислим среднюю ошибку прогнозируемого значения
по таблицам распределения Стьюдента находим табличное значение при уровне значимости 0,05 и числе степеней свободы 22.
составляем доверительный интервал:

Значит, с вероятность 95 % можно сказать, что чистый доход будет колебаться от 6,33 до 8,61 млрд. долл. при использованном капитале в 22 млрд. долл. и численности служащих 229,2 тыс. чел.

По полученным результатам сделайте экономический вывод.

Делается общий вывод по проделанной работе.

8.3 Лабораторная работа № 2

Тема «Регрессионные модели с переменной структурой»

Задания По данным лабораторной работы № 1:

1) Оцените линейную регрессию, включив в модель фиктивную переменную

2) Проверти данные на наличие структурного сдвига при помощи теста Чоу.

Реализация типовых заданий

Оцените линейную регрессию, включив в модель фиктивную переменную.

По исходным данным из лабораторной работы № 1, включив фиктивную переменную (таблица 8.3.1), построим матрицу парных коэффициентов корреляции (таблица 8.3.2).

Таблица 8.3.1 – Исходные данные для построения объединенной модели с фиктивными переменными

№ предприятия	y	x1	x2	x3	x4	x5	Пол руководителя компании	D
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	2,5	38,2	5,3	16,5	29,4	1,2	муж.	1
2	3,3	20,3	3,8	24,9	29	2	муж.	1
3	2,3	11,4	5,1	9,2	27,4	0,9	муж.	1
4	3,3	16,9	1,3	19,3	27	1,3	муж.	1
5	4,2	26,9	6,1	40,8	25,8	1,6	муж.	1
6	2,9	21,9	1,6	37,2	15	0,3	жен.	0
7	5,7	144	27,5	133,5	25,5	2,6	муж.	1
8	3,2	24,8	5,6	32,9	25,3	1,3	муж.	1
9	8,5	172,3	16,8	286,5	24,8	2,3	муж.	1
10	2	8,9	0,4	1,6	23,8	1	жен.	0
11	2,9	13,7	2,2	10,3	23,8	1,5	жен.	0
12	3,5	34	5,3	16,4	23,5	1,8	муж.	1
13	3,5	20,3	3,7	23,8	14,7	1,9	муж.	1
14	3	16,7	3,5	81,5	21,6	1,3	жен.	0
15	2	26,4	3,4	40,4	21,2	1,5	жен.	0
16	2,4	13,7	0,9	12,9	20,6	0,2	жен.	0
17	3,4	33,9	3,6	54,6	19	1,1	муж.	1

Продолжение таблицы 8.3.1

1	2	3	4	5	6	7	8	9
18	2,5	19,3	1,9	36,9	18,3	1,7	жен.	0
19	2,7	24,6	4,2	53,8	13,9	2,1	жен.	0
20	3,5	19,6	3,3	22,8	17,8	2,1	муж.	1
21	0,7	28,3	0,4	50,4	17,7	1,4	муж.	1
22	2,9	20,4	2,4	27,2	17,7	1,8	муж.	1
23	3,6	20,3	3,2	25,2	17,6	2	муж.	1
24	2,2	11,1	0,5	8,9	16,4	1,3	жен.	0
25	2,3	22,4	1,6	31,1	15,7	2	жен.	0
Итого	79	810,3	113,6	1098,6	532,5	38,2	-	-

Таблица 8.3.2 - Матрица парных коэффициентов корреляции по объединенной подвыборке

	y	x1	x2	x3	x4	x5	d
y	1,00
x1	0,85	1,00
x2	0,76	0,90	1,00
x3	0,83	0,91	0,71	1,00
x4	0,27	0,25	0,35	0,12	1,00
x5	0,50	0,50	0,54	0,43	-0,03	1,00
d	0,39	0,31	0,36	0,18	0,40	0,35	1,00

По матрице коэффициентов корреляции видно, что фиктивная переменная не коллинеарна с отобранными в лабораторной работе №1 факторными переменными х₂и х₃ (соответствующие коэффициенты составили 0,36 и 0,18). Следовательно, можно построить модель множественной регрессии, включив эти факторы. Результаты регрессионного анализа представлены в таблице 8.3.3.

Модель примет вид: . Уравнение регрессии значимо по F – критерию на 5% уровне значимости. Оно показывает, что при одном и том же объеме использованного капитала и численности служащих, у предприятий руководителями которых являются мужчины, чистый доход больше в среднем на 0,522 млрд. долл., чем у остальных компаний. Однако, коэффициент при D статистически незначим (уровень значимости составил 0,118 > 0,05). Следовательно, влияние фактора «пол» оказалось несущественно, и есть основание считать, что модель одна и та же для компаний с руководителями мужчинами и женщинами.

Таблица 8.3.3 – Вывод итогов регрессионного анализа

Регрессионная статистика
Множественный R							0,881
R-квадрат							0,777
Нормированный R-квадрат							0,745
Стандартная ошибка							0,727
Наблюдения							25
Дисперсионный анализ
		df	SS		MS			F		Значимость F
Регрессия		3	38,633		12,878			24,391		0,000
Остаток		21	11,087		0,528
Итого		24	49,72
	Коэффициенты	Стандартная ошибка		t - статистика		P-Значение			Нижние 95%	Верхние 95%
	1,877	0,244		7,687		0,000			1,369	2,385
	0,522	0,321		1,628		0,118			-0,145	1,190
	0,066	0,039		1,691		0,106			-0,015	0,147
	0,015	0,004		4,125		0,000			0,008	0,023

Проверти данные на наличие структурного сдвига при помощи теста Чоу.

Используя критерий Г. Чоу, выясним, можно ли считать одной и той же линейную регрессию для компаний с руководителями мужчинами и женщинами.

По 15 наблюдениям для компаний, руководителями которых являются мужчины, построим уравнение регрессии от факторов х₂и х₃. Исходные данные представлены в таблице 8.3.4.

Таблица 8.3.4 – Исходные данные для построения модели по первой подвыборке (руководитель компании – мужчина)

№ п/п	№ предприятия	y	x₂	x₃
1	2	3	4	5	6	7
1	1	2,5	5,3	16,5	3,0	0,219
2	2	3,3	3,8	24,9	3,0	0,084
3	3	2,3	5,1	9,2	2,8	0,288
4	4	3,3	1,3	19,3	2,8	0,289
5	5	4,2	6,1	40,8	3,4	0,620
6	7	5,7	27,5	133,5	6,3	0,314

Продолжение таблицы 8.3.4

1	2	3	4	5	6	7
7	8	3,2	5,6	32,9	3,3	0,003
8	9	8,5	16,8	286,5	8,1	0,183
9	12	3,5	5,3	16,4	3,0	0,285
10	13	3,5	3,7	23,8	3,0	0,264
11	17	3,4	3,6	54,6	3,5	0,006
12	20	3,5	3,3	22,8	2,9	0,308
13	21	0,7	0,4	50,4	3,2	6,304
14	22	2,9	2,4	27,2	3,0	0,004
15	23	3,6	3,2	25,2	3,0	0,388
Итого		54,1	-	-	54,1	9,559

Результаты регрессионного анализа представлены в таблице 8.3.5.

Таблица 8.3.5 – Вывод итогов регрессионного анализа по первой подвыборке

Регрессионная статистика
Множественный R	0,876
R-квадрат	0,767
Нормированный R-квадрат	0,728
Стандартная ошибка	0,892
Наблюдения	15

Дисперсионный анализ

	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	31,431	15,715	19,730	0,000
Остаток	12	9,559	0,797
Итого	14	40,989

Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
2,368	0,316	7,493	0,000	1,679	3,056
0,063	0,048	1,297	0,219	-0,043	0,168
0,016	0,005	3,441	0,005	0,006	0,027

Уравнение примет вид: . Расчетные значения по нему представлены в таблице 8.3.5, графа 6.

Построим модель регрессии по 10 предприятиям руководителями, которых являются женщины (исходные данные представлены в таблице 8.3.6).

Таблица 8.3.6 – Исходные данные для построения модели для второй подвыборке (руководитель компании – женщина)

№ п.п.	№ предприятия	y	x2	x3
1	2	3	4	5	6	7
1	6	2,9	1,6	37,2	2,5	0,133
2	10	2	0,4	1,6	2,3	0,063
3	11	2,9	2,2	10,3	2,3	0,333
4	14	3	3,5	81,5	2,9	0,013
5	15	2	3,4	40,4	2,6	0,316
6	16	2,4	0,9	12,9	2,3	0,003
7	18	2,5	1,9	36,9	2,5	0,001
8	19	2,7	4,2	53,8	2,7	0,001
9	24	2,2	0,5	8,9	2,3	0,012
10	25	2,3	1,6	31,1	2,5	0,035
Итого		24,9	-	-	24,9	0,911

Результаты регрессионного анализа представлены в таблице 8.3.7.

Таблица 8.3.7 – Вывод итогов регрессионного анализа по второй подвыборке

Регрессионная статистика

Множественный R	0,520
R-квадрат	0,271
Нормированный R-квадрат	0,062
Стандартная ошибка	0,361
Наблюдения	10

Дисперсионный анализ

	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	0,338	0,169	1,298	0,331
Остаток	7	0,911	0,130
Итого	9	1,249

Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
2,239	0,218	10,272	0,000	1,723	2,754
0,001	0,156	0,009	0,993	-0,367	0,370
0,008	0,008	0,943	0,377	-0,012	0,028

Модель регрессии примет вид: . Теоретические значения по уравнению представлены в графе 6 таблицы 8.3.6.

По всем 25 предприятиям (таблица 8.3.8) рассчитаем уравнение регрессии для объединенной выборки.

Результаты регрессионного анализа представлены в таблице 8.3.9.

Таблица 8.3.8 – Исходные данные для построения объединенной модели с фиктивными переменными

№ предприятия	y	x2	x3
1	2	3	4	5	6
1	2,5	5,3	16,5	2,8	0,107
2	3,3	3,8	24,9	2,8	0,232
3	2,3	5,1	9,2	2,7	0,163
4	3,3	1,3	19,3	2,5	0,611
5	4,2	6,1	40,8	3,3	0,902
6	2,9	1,6	37,2	2,8	0,009
7	5,7	27,5	133,5	6,5	0,590
8	3,2	5,6	32,9	3,1	0,012
9	8,5	16,8	286,5	7,8	0,550
10	2	0,4	1,6	2,2	0,033
11	2,9	2,2	10,3	2,5	0,188
12	3,5	5,3	16,4	2,8	0,455
13	3,5	3,7	23,8	2,8	0,499
14	3	3,5	81,5	3,6	0,378
15	2	3,4	40,4	3,0	1,017
16	2,4	0,9	12,9	2,4	0,000
17	3,4	3,6	54,6	3,2	0,028
18	2,5	1,9	36,9	2,8	0,107
19	2,7	4,2	53,8	3,3	0,329
20	3,5	3,3	22,8	2,7	0,572
21	0,7	0,4	50,4	2,9	4,804
22	2,9	2,4	27,2	2,7	0,029
23	3,6	3,2	25,2	2,8	0,689
24	2,2	0,5	8,9	2,3	0,009
25	2,3	1,6	31,1	2,7	0,173
Итого	79	113,6	1098,6	79	12,487

Модель примет вид: . Теоретические значения по данной модели представлены в графе 5 таблицы 8.3.8.

Таблица 8.3.9 – Вывод итогов регрессионного анализа по всей совокупности

Регрессионная статистика
Множественный R	0,865
R-квадрат	0,749
Нормированный R-квадрат	0,726
Стандартная ошибка	0,753
Наблюдения	25

Дисперсионный анализ

	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	37,233	18,616	32,798	0,000
Остаток	22	12,487	0,568
Итого	24	49,720

Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
2,124	0,198	10,704	0,000	1,712	2,535
0,087	0,038	2,304	0,031	0,009	0,166
0,015	0,004	3,818	0,001	0,007	0,022

Рассчитываем F- критерий по формуле:

,

где - сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от теоретических для объединенной выборки (таблица 8.3.8, итог графы 6);

- сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от расчетных для первой подвыборки (таблица 8.3.4, итог графы 7);

- сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от расчетных для второй подвыборки (таблица 8.3.6, итог графы 7).

Табличное значение критерия Фишера составило 3,127. Так как расчетное значение критерия меньше табличного, то влияние фактора «пол» несущественно, и в качестве оценки регрессионной модели можно рассматривать уравнение регрессии, полученное по объединенной выборке.

8.4 Лабораторная работа № 3

Тема «Нарушения допущений классической модели линейной регрессии»

Задания

Проведите графический анализ остатков. Проверьте остатки на гетероскедастичность с помощью:

- графического анализа,

- теста Голдфелда-Квандта,

- теста ранговой корреляции Спирмена,

- теста Уайта (White test).

Если будет обнаружена гетероскедастичность остатков, примените для исходных данных ОМНК, предполагая, что .
Проверить остатки на наличие автокорреляции первого порядка, используя метод рядов, критерий Дарбина – Уотсона и Q- статистику Льюинга – Бокса. Если гипотеза об отсутствии автокорреляции первого порядка не будет отвергнута, то применить ОМНК для оценивания параметров уравнения регрессии.

Реализация типовых заданий

Провести графический анализ остатков

В лабораторной работе № 1 выявили, что на чистый доход (y) предприятий оказывают влияния такие факторы, как использованный капитал (x₂) и численность служащих (x₃).

Для нахождения остатков можно воспользоваться инструментом анализа данных Регрессия. Порядок действий следующий:

а) в главном меню выберите Сервис/Анализ данных/Регрессия. Щелкните по кнопке ОК;

б) заполните диалоговое окно ввода данных и параметров ввода как показано на рисунке 8.4.1:

Входной интервал Y – диапазон, содержащий данные результативного признака;

Входной интервал Х – диапазон, содержащий данные всех пяти факторов;

Метки – флажок, который указывает, содержит ли первая строка названия столбцов или нет;

Константа – ноль – флажок, указывающий на наличие или отсутствие свободного члена в уравнении;

Выходной интервал – достаточно указать левую верхнюю ячейку будущего диапазона;

Новый рабочий лист - можно задать произвольное имя нового листа;

Остаток - флажок, указывает вывод остатков и теоретические значения результативного признака.

Рисунок 8.4.1 – Регрессия с остатками

Результаты регрессионного и корреляционного анализа, а также вспомогательные характеристики представлены на рисунке 8.4.2.

Рисунок 8.4.2 – Вывод остатков

Проверим остатки полученного уравнения регрессии на гетероскедастичность.

Графический анализ остатков

Построим графики остатков для каждого уравнения (рисунок 8.4.3 и 8.4.4)

Рисунок 8.4.3 – График остатков для фактора х₂

Рисунок 8.4.4 – График остатков для фактора х₃

Как видно на рисунке отклонения не лежат внутри полуполосы постоянной ширины, это говорит, о зависимости дисперсионных остатков от величины х₃ и о их непостоянстве, т.е. о наличии гетероскедастичности.

Тест Голфелда-Квандта

Все n наблюдений упорядочиваются по величине X₂и X₃.

Таблица 8.4.1 – Упорядоченные значения по фактору х₂

№ п/п
1	2	0,4
2	0,7	0,4
3	2,2	0,5
4	2,4	0,9
5	3,3	1,3
6	2,9	1,6
7	2,3	1,6
8	2,5	1,9
9	2,9	2,2
10	2,9	2,4
11	3,6	3,2
12	3,5	3,3
13	2	3,4
14	3	3,5
15	3,4	3,6
16	3,5	3,7
17	3,3	3,8
18	2,7	4,2
19	2,3	5,1
20	3,5	5,3
21	2,5	5,3
22	3,2	5,6
23	4,2	6,1
24	8,5	16,8
25	5,7	27,5

Таблица 8.4.2 – Упорядоченные значения по фактору х₃

№ п/п
1	2	3
1	1,6	2
2	8,9	2,2
3	9,2	2,3
4	10,3	2,9
5	12,9	2,4
6	16,4	3,5
7	16,5	2,5

Продолжение таблицы 8.4.2

1	2	3
8	19,3	3,3
9	22,8	3,5
10	23,8	3,5
11	24,9	3,3
12	25,2	3,6
13	27,2	2,9
14	31,1	2,3
15	32,9	3,2
16	36,9	2,5
17	37,2	2,9
18	40,4	2
19	40,8	4,2
20	50,4	0,7
21	53,8	2,7
22	54,6	3,4
23	81,5	3
24	133,5	5,7
25	286,5	8,5

Исключим С центральных наблюдений, разобьем совокупность на две части: а) со значениями x ниже центральных; б) со значениями x выше центральных.

Пусть С=5, это наблюдения с порядковыми номерами 11-15.

Оцениваются отдельные регрессии для первой подвыборки (10 первых наблюдений) и для третьей подвыборки (10 последних наблюдений). Если предположение о пропорциональности дисперсий отклонений значениям X верно, то дисперсия регрессии по первой подвыборке (сумма квадратов отклонений ) будет существенно меньше дисперсии регрессии по третьей подвыборке (суммы квадратов отклонений ).
По каждой части находим уравнение регрессии (рисунок 8.4.5)

Рисунок 8.4.5 – Вывод итогов для подвыборок для фактора х₂

5) Для сравнения соответствующих дисперсий строится следующая F-статистика:

При сделанных предположениях относительно случайных отклонений построенная F-статистика имеет распределение Фишера с числами степеней свободы v₁=v₂=(n-C-2m)/2.

6) Если , то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности отклоняется (- выбранный уровень значимости).

По проведенным расчетам мы получили, что следовательно в ряду остатков обнаружена гетероскедастичность.

Аналогично проводится анализ для фактора х₃.

Тест ранговой корреляции Спирмена

Значения х_i и u_i ранжируются (упорядочиваются по величинам). Затем определяется коэффициент ранговой корреляции:

где d_i - разность между рангами х_i и u_i, i = 1, 2, ..., n;

n - число наблюдений.

Рассчитаем теоретические значения по уравнению регрессии и найдем остатки. Ранжируем совокупность по возрастанию (рисунок 8.4.6).

Рисунок 8.4.6 – Расчетная таблица для проведения теста Спирмена

Тогда .

Если коэффициент корреляции для генеральной совокупности равен нулю, то статистика

имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы v=n-2. Следовательно, если наблюдаемое значение t-статистики превышает табличное, то необходимо отклонить гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции , а следовательно, и об отсутствии гетероскедастичности.

В нашем примере статистика Стьюдента равна:

Табличное значение статистики Стьюдента составит t_{(0,05; 23)}=2,0687.

Таким образом, мы получили, что расчетное значение меньше табличного, следовательно, гипотеза об отсутствии гетероскедастичности принимается на уровне значимости 5%.

Аналогично проводится анализ для фактора х₃.

Тест Уайта (White test).

Тест Уайта позволяет оценить количественно зависимость дисперсии ошибок регрессии от значений фактора x, используя квадратичную функцию:

,

где - нормально распределенная ошибка.

Рисунок 8.4.7 – Вывод итогов вспомогательной регрессии теста Уайта

Проводится этот тест следующим образом:

Получаем регрессионные остатки u_i;
Оцениваем вспомогательную регрессию;

Гипотеза об отсутствии гетероскедастичности принимается в случае незначимости регрессии в целом.

В нашем примере вспомогательная регрессия принимает вид:

Уравнение статистически незначимо на уровне значимости . Следовательно, гипотеза об отсутствии гетероскедастичности принимается.

Если будет обнаружена гетероскедастичность остатков, примените для исходных данных ОМНК, предполагая, что .

По всем проведенным тестам можно сделать вывод о гомоскедастичности регрессионных остатков. В противном случае для устранения гетероскедастичности необходимо применить к исходным данным обобщенный метод наименьших квадратов в предположении, что .

Исходное уравнение преобразуем делением правой и левой частей на x₂: . К нему применим МНК. Полученное уравнение имеет вид: . Получены новые оценки параметров линейного уравнения, в котором смягчена гетероскедастичность.

Рисунок 8.4.8– Вывод итога ОМНК

Проверить остатки на наличие автокорреляции первого порядка, используя метод рядов, критерий Дарбина – Уотсона и Q- статистику Льюинга – Бокса. Если гипотеза об отсутствии автокорреляции первого порядка не будет отвергнута, то применить ОМНК для оценивания параметров уравнения регрессии.

Метод рядов

Последовательно определяются знаки остатков .

Ряд определяется как непрерывная последовательность одинаковых знаков. Количество знаков в ряду называется длиной ряда.

Пусть n — объем выборки;

n₁ — общее количество знаков «+» при n наблюдениях;

n₂ — общее количество знаков «-» при n наблюдениях;

k — количество рядов.

Если при достаточно большом количестве наблюдений (n₁>10, n₂>10) количество рядов k лежит в пределах от k₁ до k₂:

то гипотеза об отсутствии автокорреляции не отклоняется.

Рисунок 8.4.9 – Расчет характеристик метода рядов

Найдя знаки отклонений теоретических уровней от фактических, мы получили, что в анализируемой выборке содержится 15 рядов, т.е. k=15 (рисунок 8.4.9). Общее количество знаков «+» n₁=14, количество знаков «-» n₂=11.

Подставим найденные значения в формулу, получим, что k₁=7,5, k₂=19,13. Следовательно, гипотеза об отсутствии автокорреляции не отклоняется.

Критерий Дарбина – Уотсона

Для проверки автокорреляции первого порядка необходимо рассчитать критерий Дарбина—Уотсона. Он определяется так:

Выдвигается гипотеза Н₀ об отсутствии автокорреляции остатков. При сравнении расчетного значения статистики (DW<2) с d_l и d_u возможны следующие варианты.

Если DW< d_l , то гипотеза Н₀ отвергается
Если DW > d_u, то гипотеза Н₀не отвергается.
Если d_l< DW< d_u, то нельзя сделать определенного вывода по имеющимся исходным данным (зона неопределенности).

При DW > 2, то с табличными значениями сравнивается величина (4-DW).

Рисунок 8.4.10 – Расчет критерия Дарбина – Уотсона

В результате проведенных расчетов получено значение критерия Дарбина - Уотсона DW=2,2032 (рисунок 8.4.10). Так как оно больше 2, то с критическими значением сравниваем величину 4-DW=1,7967. Оно больше d_u следовательно мы не можем отвергнуть гипотезу Н₀ – в ряду остатков отсутствует автокорреляция первого порядка.

Q-тест Льюинга – Бокса

Использование данного теста предполагает использование Q- статистики, значение которой определяется по формуле:

где - выборочные значения автокорреляционной функции;

- величина лага;

n – число наблюдений.

Q- статистика имеет - распределение с степенями свободы. Если Q - статистика меньше табличного , то гипотеза об отсутствии автокорреляции принимается.

Рассчитаем для нашей задачи Q- статистику. Для этого необходимо определить коэффициенты автокорреляции. Максимальная величина лага не должна превышать ¼ числа наблюдений, т.е. в рассматриваемом примере . Следовательно нужно определить автокорреляции до шестого порядка. Для этого используем функцию Excel сервис–анализ данных –корреляция (рисунок 8.4.11).

Рисунок 8.4.11 – Расчет Q-статистики Льюинга - Бокса

Подставив полученное значение в формулу, получим:

.

Табличное значение .

Фактическое значение статистики меньше критического, следовательно, гипотеза принимается, т.е. в ряду остатков отсутствует автокорреляция.

8.5 Лабораторная работа № 4

Тема «Нелинейная регрессия»

Задания

Проверить наличие нелинейной связи между результативным признаком и незначимыми факторами по исходным данным лабораторной работы № 1 и рассчитайте параметры уравнений:
- степенной;
- показательной;
- гиперболической регрессии.
Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
Дайте с помощью среднего коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.
Оцените с помощью F-критерия статистическую надежность результатов регрессионного моделирования.
По значениям характеристик, рассчитанных в 4, 5, 6 пунктах выберете лучшее уравнение регрессии.

Реализация типовых заданий

Проверить наличие нелинейной связи между результативным признаком и незначимыми факторами по исходным данным лабораторной работы № 1 и рассчитайте параметры уравнений: степенной; показательной; гиперболической регрессии.

Степенная модель регрессии

Уравнение степенной модели имеет вид: . Для оценивания параметров необходимо провести процедуру линеаризации переменных путем логарифмирования обеих частей уравнения: . Введем новые переменные: . Тогда уравнение примет вид множественной линейной регрессии: . Для нахождения параметров данного уравнения воспользуемся инструментом анализа данных Регрессия (см. лабораторную работу № 1).

Для расчетов параметров используем данные следующей таблицы (рисунок 8.5.1).

Рисунок 8.5.1 – Исходные данные для степенной модели

Результаты регрессионного анализа представлены на рисунке 8.5.2.

Рисунок 8.5.2 – Результат применения инструмента Регрессия

Полученное уравнение множественной линейной регрессии будет иметь следующий вид: .

Оценивая параметры данного уравнения, замечаем, что статистически значимым является параметр при X1, (об этом свидетельствует величина р – значение из рисунка 8.5.2) следовательно, целесообразно строить уравнение степенной регрессии только с данным фактором. В результате получаем равнение следующего вида: (рисунок 8.5.3).

Рисунок 8.5.3 – Результат применения инструмента Регрессия

Потенцируя параметр уравнения, получим a=0,93. Следовательно, уравнение примет вид: .

Подставляя в данное уравнение фактические значения x₁, получаем теоретические значения результата (рисунок 8.5.1 графа 10). По ним рассчитаем показатели:

- тесноты связи – индекс корреляции ;

- коэффициент эластичности ;

- среднюю ошибку аппроксимации ;

- F-критерий Фишера .

Индекс корреляции (рисунок 8.5.3) - связь между признаками средняя.

Коэффициент эластичности .

Ошибка аппроксимации (рисунок 8.5.1 графа 11) .

F-критерий Фишера (рисунок 8.5.3) .

Полученные характеристики указывают, что данная модель является удовлетворительной, но по F-критерию статистически значимой и теснота связи между признаками средняя.

Показательная модель регрессии

Построению уравнения показательной кривой предшествует процедура линеаризации переменных при логарифмировании обеих частей уравнения:

,

где .

Значения параметров уравнения регрессии определим аналогично степенной модели. Для их расчета используем данные таблицы (рисунок 8.5.4):

Рисунок 8.5.4 – Исходные данные для построения показательной модели

Результаты регрессионного анализа представлены на рисунке 8.5.5.

Рисунок 8.5.5 – Результат применения инструмента Регрессия

Получено уравнение множественной линейной регрессии: .

Оценивая параметры данного уравнения, замечаем, что статистически значимым является параметр при X1, (об этом свидетельствует величина р – значение из рисунка 8.5.5) следовательно, целесообразно строить уравнение показательной регрессии только с данным фактором. В результате получаем равнение следующего вида: (рисунок 8.5.6).

Рисунок 8.5.6 – Результат применения инструмента Регрессия

Произведем потенцирование полученного уравнения и запишем его в обычном виде: .

Подставляя в данное уравнение фактические значения x₁, получаем теоретические значения результата (рисунок 8.5.4 графа 7). По ним рассчитаем показатели:

- индекс корреляции составит (рисунок 8.5.6): - связь между признаками средняя;

- коэффициент эластичности ;

- средняя ошибка аппроксимации (рисунок 8.5.4, графа 8)

;

- F-критерий (рисунок 8.5.6).

Данная модель также статистически значима и имеет удовлетворительное качество.

Гиперболическая модель регрессии

Уравнение данной модели имеет вид: .

Для оценивания параметров модели проводят замену переменных: .

Получим уравнение множественной линейной регрессии: .

Для построения уравнения используем данные таблицы (рисунок 8.5.7):

Рисунок 8.5.7 – Исходные данные для построения гиперболической модели

Результаты регрессионного анализа представлены на рисунке 8.5.8.

Рисунок 8.5.8 - Результат применения инструмента Регрессия

Получено уравнение множественной линейной регрессии: .

Оценивая параметры данного уравнения, замечаем, что статистически значимым является параметр при X1, (об этом свидетельствует величина р – значение из рисунка 8.5.8) следовательно, целесообразно строить уравнение гиперболической регрессии только с данным фактором. В результате получаем равнение следующего вида: (рисунок 8.5.9).

Рисунок 8.5.9 - Результат применения инструмента Регрессия

Следовательно, получим уравнение регрессии: .

Подставляя в данное уравнение фактические значения x₁, получаем теоретические значения результата (рисунок 8.5.7 графа 9). По ним рассчитаем показатели:

- индекс корреляции составит (рисунок 8.5.9): - связь между признаками средняя;

- коэффициент эластичности ;

- средняя ошибка аппроксимации (рисунок 8.5.7, графа 10)

;

- F-критерий (рисунок 8.5.9).

Данная модель также статистически значима и имеет удовлетворительное качество.

8.6 Лабораторная работа 5

Тема «Моделирование одномерных временных рядов»

Цель изучения темы: научиться определять тип тенденции и выявлять наличие периодической составляющей во временном ряду, а также оценивать уровень сезонности, осуществлять фильтрацию периодических составляющих временного ряда и их моделирование. Получить навыки идентификации и применения различных моделей стационарных временных рядов для прогнозирования экономических процессов в профессиональной деятельности.

Задания Для временного ряда финансового или социально-экономического показателя с помесячной или поквартальной динамикой требуется:

1) на основе графического анализа провести исследование компонентного состава временного ряда;

2) при обнаружении тенденции во временном ряду оценить параметры линейного и параболического тренда;

3) построить тренд – сезонную аддитивную или мультипликативную модель;

4) построить модель регрессии с включением фактора времени и фиктивных переменных;

5) на основе анализа АКФ и ЧАКФ выбрать порядок модели AR(p), оценить параметры выбранной модели;

Для всех построенных моделей с помощью средней относительной ошибки аппроксимации оценить их качество и дать прогноз на следующие два периода.

Решение типовых заданий

На основе графического анализа провести исследование компонентного состава временного ряда.

Графический анализ исходного временного ряда (рисунок 8.6.1) свидетельствует о наличии трендовой компоненты, характер которой близок к линейному развитию: имеется устойчивая, ярко выраженная тенденция роста доходов бюджета Оренбургской области. Кроме того в ряду наблюдается сезонная составляющая с периодичностью 1 год (наименьшие значения доходов бюджета в январе каждого года).

При обнаружении тенденции во временном ряду оценить параметры линейного и параболического тренда.

Аналитическое выравнивание по прямолинейному тренду

Уравнение прямолинейного тренда имеет вид: .

При начале отсчета времени от середины ряда система нормальных уравнений упрощается и параметры уравнения определяют по формулам:

(5.1)

(5.2)

Необходимые расчеты представлены в таблице 5.1 (столбцы 3-5).

Тогда значения параметров составят:

Рисунок 8.6.1 - Динамика доходов бюджета Оренбургской области

Уравнение тренда примет вид: . Согласно этой модели средний доход бюджета за анализируемый период составил 1846,79 млн. р., а среднемесячный прирост доходов 34,53 млн. р.

Таблица 8.6.1 – Расчет параметров линейного и параболического тренда

Период		Доход, млн. р,	t
1		2	3	4	5	6	7
1	январь	1119,3	-35,5	-39735,15	1260,25	1410597,83	1588230,06
	февраль	352,2	-34,5	-12150,90	1190,25	419206,05	1416695,06
	март	1006,9	-33,5	-33731,15	1122,25	1129993,53	1259445,06
	апрель	1177,8	-32,5	-38278,50	1056,25	1244051,25	1115664,06
	май	1084,4	-31,5	-34158,60	992,25	1075995,90	984560,06
	июнь	891,4	-30,5	-27187,70	930,25	829224,85	865365,06
	июль	928,2	-29,5	-27381,90	870,25	807766,05	757335,06
	август	1178,4	-28,5	-33584,40	812,25	957155,40	659750,06
	сентябрь	989,4	-27,5	-27208,50	756,25	748233,75	571914,06
	октябрь	932,2	-26,5	-24703,30	702,25	654637,45	493155,06
	ноябрь	1080,4	-25,5	-27550,20	650,25	702530,10	422825,06
	декабрь	1243,5	-24,5	-30465,75	600,25	746410,88	360300,06
…	…	…	…	…	…	…	…
6	январь	1573	24,5	38538,50	600,25	944193,25	360300,06
	февраль	1521,5	25,5	38798,25	650,25	989355,38	422825,06
	март	3215,2	26,5	85202,80	702,25	2257874,20	493155,06
	апрель	2872,5	27,5	78993,75	756,25	2172328,13	571914,06
	май	3792,4	28,5	108083,40	812,25	3080376,90	659750,06
	июнь	2721,7	29,5	80290,15	870,25	2368559,43	757335,06
	июль	3097,2	30,5	94464,60	930,25	2881170,30	865365,06
	август	4229,2	31,5	133219,80	992,25	4196423,70	984560,06
	сентябрь	2119,6	32,5	68887,00	1056,25	2238827,50	1115664,06
	октябрь	3756,5	33,5	125842,75	1122,25	4215732,13	1259445,06
	ноябрь	3416,1	34,5	117855,45	1190,25	4066013,03	1416695,06
	декабрь	3478,7	35,5	123493,85	1260,25	4384031,68	1588230,06
Итого		132968,70	-	1073969,25	31098,00	62210860,98	24170920,50
В среднем		1846,79	-	14916,24	431,92	864039,74	335707,23

Аналитическое выравнивание по полиному второй степени

Данная модель имеет вид:

Для оценивания параметров тренда при , применяют формулы (5.3) – (5.5). Тогда система примет вид (необходимые расчеты представлены в таблице 8.6.1 столбцы 3-7):

(5.3).

(5.4)

(5.5)

В результате решения системы получаем уравнение: . Параметр характеризует расчетное значение при t=0, т.е. расчетное значение составило 1654,56 млн. р. Величина соответствует среднему абсолютному приросту уровней временного ряда, а параметр - половина абсолютного ускорения. Следовательно, можно сделать вывод, что в анализируемом периоде доходы бюджета возрастали в среднем за год на 34,53 млн. р. с абсолютным ускорением 0,9 млн. р.

3. Построить тренд – сезонную аддитивную или мультипликативную модель. Для всех построенных моделей с помощью средней относительной ошибки аппроксимации оценить их качество и дать прогноз на следующие два периода.

Прогнозирование по тренд – сезонной аддитивной модели

Проведем сглаживание временного ряда с помощью центрированной скользящей средней по формуле (период скольжения равен 1 году, т.е. для нашего примера он равен 12):

Рассчитаем абсолютные показатели сезонности по формуле . Результаты расчетов скользящей средней и показателя сезонности представлены в таблице 8.6.2.

Таблица 8.6.2 - Расчет абсолютного показателя сезонности

Период		Доход, млн.руб.,
1	январь	1119,3	-	-
	февраль	352,2	-	-
	март	1006,9	-	-
	апрель	1177,8	-	-
	май	1084,4	-	-
	июнь	891,4	-	-
	июль	928,2	988,1	-59,9
	август	1178,4	1004,5	174,0
	сентябрь	989,4	1037,1	-47,7
	октябрь	932,2	1059,9	-127,7
	ноябрь	1080,4	1085,9	-5,5
	декабрь	1243,5	1098,6	144,9
…	…	…	…	…
6	январь	1573	2801,8	-1228,8
	февраль	1521,5	2888,0	-1366,5
	март	3215,2	2940,6	274,6
	апрель	2872,5	3007,2	-134,7
	май	3792,4	3035,8	756,6
	июнь	2721,7	2992,0	-270,3
	июль	3097,2	-	-
	август	4229,2	-	-
	сентябрь	2119,6	-	-
	октябрь	3756,5	-	-
	ноябрь	3416,1	-	-
	декабрь	3478,7	-	-

Определим средние показатели сезонности по формуле: , т.е. для января средний показатель сезонности составит:

,

для февраля:

Аналогично рассчитывают для других месяцев (таблица 8.6.3, гр.2).

Так как сумма средних показателей сезонности не равна нулю, проведем их корректировку по формуле:

.

Скорректированный показатель сезонности для января составит:

и т.д.

Результаты расчетов средних и скорректированных показателей сезонности заносим в таблицу 8.6.3.

Таблица 8.6.3 - Оценивание сезонной компоненты в аддитивной модели

Номер месяца
1	-695,758	-687,967
2	-683,237	-675,445
3	173,242	181,033
4	325,588	333,379
5	166,228	174,019
6	-305,443	-297,652
7	67,574	75,366
8	158,569	166,361
9	-197,898	-190,106
10	22,658	30,449
11	461,548	469,340
12	413,429	421,221
Итого	-93,501	0

Таблица 8.6.4 - Прогнозирование объема продаж с помощью аддитивной тренд – сезонной модели

Период		Доход, млн.р.			t
1	январь	1119,3	-687,967	1807,267	1	686,484	-1,483	100,132
	февраль	352,2	-675,445	1027,645	2	719,168	43,723	87,586
	март	1006,9	181,033	825,867	3	751,852	932,885	7,351
	апрель	1177,8	333,379	844,421	4	784,536	1117,915	5,085
	май	1084,4	174,019	910,381	5	817,220	991,239	8,591
	июнь	891,4	-297,652	1189,052	6	849,904	552,252	38,046
	июль	928,2	75,366	852,834	7	882,588	957,954	3,205
	август	1178,4	166,361	1012,039	8	915,272	1081,633	8,211
	сентябрь	989,4	-190,106	1179,506	9	947,956	757,850	23,403
	октябрь	932,2	30,449	901,751	10	980,640	1011,089	8,462
	ноябрь	1080,4	469,340	611,060	11	1013,324	1482,664	37,232
	декабрь	1243,5	421,221	822,279	12	1046,008	1467,229	17,991
…	…	…	…	…	…	…	…	…
6	январь	1573	-687,967	2260,967	61	2647,524	1959,557	24,574
	февраль	1521,5	-675,445	2196,945	62	2680,208	2004,763	31,762
	март	3215,2	181,033	3034,167	63	2712,892	2893,925	9,992
	апрель	2872,5	333,379	2539,121	64	2745,576	3078,955	7,187
	май	3792,4	174,019	3618,381	65	2778,260	2952,279	22,152
	июнь	2721,7	-297,652	3019,352	66	2810,944	2513,292	7,657
	июль	3097,2	75,366	3021,834	67	2843,628	2918,994	5,753
	август	4229,2	166,361	4062,839	68	2876,312	3042,673	28,055
	сентябрь	2119,6	-190,106	2309,706	69	2908,996	2718,890	28,273
	октябрь	3756,5	30,449	3726,051	70	2941,680	2972,129	20,880
	ноябрь	3416,1	469,340	2946,760	71	2974,364	3443,704	0,808
	декабрь	3478,7	421,221	3057,479	72	3007,048	3428,269	1,449

Продолжение таблицы 8.6.4

7*	январь*	-	-687,967	-	73	3039,732	2351,765	-
	февраль*	-	-675,445	-	74	3072,416	2396,971	-
	март*	-	181,033	-	75	3105,100	3286,133	-
	апрель*	-	333,379	-	76	3137,784	3471,163	-
Итого		-	-	-	-	145322,2	144473,2	1352,313
В среднем		-	-	-	-	-	-	18,78
* - прогнозируемый уровень

Рисунок 8.6.2 - Фактические и прогнозные значения доходов бюджета Оренбургской области по аддитивной тренд -сезонной модели

На следующем этапе определим десезоналированный ряд доходов бюджета: из исходных уровней вычитаем скорректированную сезонную компоненту: . По десезоналированному временному ряду проводим аналитическое выравнивание по линейному тренду и рассчитываем тренд с учетом сезонности: . Уравнение тренда примет вид: =653,8+32,684t (R² = 0,736). Результаты расчетов представлены в таблице 5.4.

Ожидаемые поступления в бюджет Оренбургской области в январе 2007 года составят 2351,756 млн. р., в феврале 2396,971 млн. р., в марте 3286,133 млн. р., в апреле 3471,163 млн. р.

Качество построенной модели оценивается как хорошее: средняя относительная ошибка аппроксимации составила 18,78 %.

Прогнозирование по тренд – сезонной мультипликативной модели

Так как амплитуда сезонных колебаний постепенно увеличивается, то для описания и прогнозирования динамики временного ряда можно использовать мультипликативную модель.

На первом этапе, как и при построении аддитивной модели, проведем сглаживание временного ряда с помощью центрированной скользящей средней по формуле.

На следующем этапе рассчитаем коэффициенты сезонности по формуле

=.

Результаты расчетов скользящей средней и коэффициента сезонности представлены в таблице 8.6.5.

Определяем средние показатели сезонности для одноименных кварталов (месяцев):

.

т.е. для января средний коэффициент сезонности составит:

,

для февраля:

Аналогично рассчитывают для других месяцев (таблица 8.6.6).

Таблица 8.6.5 - Разложение уровней ряда по мультипликативной модели

Период		Доход, млн.р.,					t
1	январь	1119,3	-	-	0,645	1734,231	1	701,513	452,8
	февраль	352,2	-	-	0,664	530,643	2	733,336	486,7
	март	1006,9	-	-	1,073	938,471	3	765,159	821,0
	апрель	1177,8	-	-	1,229	958,401	4	796,982	979,4
	май	1084,4	-	-	1,065	1018,228	5	828,805	882,7
	июнь	891,4	-	-	0,842	1058,642	6	860,628	724,7
	июль	928,2	988,1	0,9	1,050	883,612	7	892,451	937,5
	август	1178,4	1004,5	1,2	1,099	1072,686	8	924,274	1015,4
	сентябрь	989,4	1037,1	1,0	0,898	1102,290	9	956,097	858,2
	октябрь	932,2	1059,9	0,9	1,034	901,691	10	987,920	1021,3
	ноябрь	1080,4	1085,9	1,0	1,192	906,045	11	1019,743	1216,0
	декабрь	1243,5	1098,6	1,1	1,209	1028,410	12	1051,566	1271,5
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
6	январь	1573	2801,8	0,6	0,645	2437,189	61	2610,893	1685,1
	февраль	1521,5	2888,0	0,5	0,664	2292,373	62	2642,716	1754,0
	март	3215,2	2940,6	1,1	1,073	2996,696	63	2674,539	2869,6
	апрель	2872,5	3007,2	1,0	1,229	2337,415	64	2706,362	3325,9
	май	3792,4	3035,8	1,2	1,065	3560,983	65	2738,185	2916,1
	июнь	2721,7	2992,0	0,9	0,842	3232,338	66	2770,008	2332,4
	июль	3097,2	-	-	1,050	2948,421	67	2801,831	2943,2
	август	4229,2	-	-	1,099	3849,798	68	2833,654	3112,9
	сентябрь	2119,6	-	-	0,898	2361,446	69	2865,477	2572,0
	октябрь	3756,5	-	-	1,034	3633,557	70	2897,300	2995,3
	ноябрь	3416,1	-	-	1,192	2864,810	71	2929,123	3492,8
	декабрь	3478,7	-	-	1,209	2876,985	72	2960,946	3580,2
7*	январь*	-	-	-	0,645	-	73	2992,769	1931,6
	февраль*	-	-	-	0,664	-	74	3024,592	2007,5
	март*	-	-	-	1,073	-	75	3056,415	3279,3
	апрель*	-	-	-	1,229	-	76	3088,238	3795,2
Итого		132968,7	-		-	-	-	-	-
В среднем		-	-		-	-	-	-	-

Так как сумма средних коэффициентов сезонности не равна 12, проведем их корректировку по формуле:

.

Так скорректированный коэффициент сезонности для января составит:

и т.д.

Результаты расчетов средних и скорректированных показателей сезонности заносим в таблицу 8.6.6.

Таблица 8.6.6 - Оценивание сезонной компоненты в мультипликативной модели

№ месяца
1	0,643	0,645
2	0,661	0,664
3	1,069	1,073
4	1,224	1,229
5	1,061	1,065
6	0,839	0,842
7	1,046	1,050
8	1,094	1,099
9	0,894	0,898
10	1,030	1,034
11	1,188	1,192
12	1,205	1,209
Итого	11,954	12,000

На следующем этапе определим десезоналированный ряд объема производства:

.

По десезоналированному временному ряду проводим аналитическое выравнивание по линейному тренду. Уравнение тренда имеет вид:

=669,69+31,823t (R² = 0,777).

Затем рассчитываем тренд с учетом сезонности:

.

Результаты расчетов представлены в таблице 8.6.5.

Ожидаемый доход бюджета в январе 2007 г. составит 1931,6 млн. р., в феврале 2007,5 млн.р., в марте 3279,3 млн.р., в апреле 3795,2 млн.р.

Качество построенной модели оценивается как хорошее, т.к. средняя относительная ошибка аппроксимации составила 14,42%.

4. Построить модель регрессии с включением фактора времени и фиктивных переменных. Для всех построенных моделей с помощью средней относительной ошибки аппроксимации оценить их качество и дать прогноз на следующие два периода.

Прогнозирование по модели регрессии

с включением фактора времени и фиктивных переменных

Спрогнозируем объем производства с помощью модели регрессии с включением фактора времени и фиктивных переменных. Модель для помесячной динамики имеет вид:

где

.

Занесем значение фиктивных переменных и фактора времени в таблицу (таблица 8.6.7).

Таблица 8.6.7 - Исходные данные для расчета параметров уравнения регрессии с фиктивными переменными во временном ряду доходов бюджета, (млн.р.)

Период		Доход, млн.руб.	t	x1	x2	x3	…	x9	x10	x11
1		2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1	январь	1119,3	1	1	0	0		0	0	0	124,4
	февраль	352,2	2	0	1	0		0	0	0	43,3
	март	1006,9	3	0	0	1		0	0	0	895,2
	апрель	1177,8	4	0	0	0		0	0	0	1078,1
	май	1084,4	5	0	0	0		0	0	0	965,5
	июнь	891,4	6	0	0	0		0	0	0	572,0
	июль	928,2	7	0	0	0		0	0	0	938,5
	август	1178,4	8	0	0	0		0	0	0	1214,3
	сентябрь	989,4	9	0	0	0		1	0	0	589,1
	октябрь	932,2	10	0	0	0		0	1	0	1072,8
	ноябрь	1080,4	11	0	0	0		0	0	1	1412,4

Продолжение таблицы 8.6.7

1		2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1	декабрь	1243,5	12	0	0	0		0	0	0	1414,2
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
6	январь	1573	61	1	0	0		0	0	0	2098,1
	февраль	1521,5	62	0	1	0		0	0	0	2016,9
	март	3215,2	63	0	0	1		0	0	0	2868,8
	апрель	2872,5	64	0	0	0		0	0	0	3051,7
	май	3792,4	65	0	0	0		0	0	0	2939,1
	июнь	2721,7	66	0	0	0		0	0	0	2545,7
	июль	3097,2	67	0	0	0		0	0	0	2912,1
	август	4229,2	68	0	0	0		0	0	0	3187,9
	сентябрь	2119,6	69	0	0	0		1	0	0	2562,7
	октябрь	3756,5	70	0	0	0		0	1	0	3046,4
	ноябрь	3416,1	71	0	0	0		0	0	1	3386,0
	декабрь	3478,7	72	0	0	0		0	0	0	3387,8
7*	январь	-	73	1	0	0		0	0	0	2492,8
	февраль	-	74	0	1	0		0	0	0	2411,6
	март	-	75	0	0	1		0	0	0	3263,5
	апрель	-	76	0	0	0		0	0	0	3446,4

Оценим параметры уравнения традиционным МНК с помощью табличного редактора Excel (таблица 8.6.8).

Уравнение регрессии примет вид:

.

Параметры , характеризуют отклонения уровней временного ряда от уровней, учитывающих сезонные воздействия в декабре. Величина параметра говорит о том, что в среднем за месяц происходит увеличение доходов бюджета на 32,89 млн.р. (рисунок 8.6.3).

Чтобы получить прогнозные значения доходов бюджета на следующие 4 месяца 7 года необходимо в уравнение регрессии подставить следующие значения фактора времени t.

Так прогноз на январь составит:

;

на февраль:

;

на март: ;

на апрель:

.

Таблица 8.6.8 - Результаты оценивания регрессионной модели с фиктивными переменными

Регрессионная статистика
Множественный R	0,898
R-квадрат	0,800
Нормированный R-квадрат	0,760
Стандартная ошибка	440,663
Наблюдения	72

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	12	46001035	3833420	19,74	0,000
Остаток	59	11456867	194184,2
Итого	71	57457903

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
a	1019,50	209,02	4,88	0,00	601,24	1437,75
b	32,89	2,53	12,98	0,00	27,82	37,96
c₁	-927,95	255,94	-3,63	0,00	-1440,09	-415,82
c₂	-1042,01	255,68	-4,08	0,00	-1553,62	-530,41
c₃	-223,02	255,44	-0,87	0,39	-734,15	288,11
c₄	-73,02	255,22	-0,29	0,78	-583,72	437,68
c₅	-218,44	255,03	-0,86	0,40	-728,77	291,88
c₆	-644,82	254,87	-2,53	0,01	-1154,82	-134,83
c₇	-311,25	254,73	-1,22	0,23	-820,97	198,47
c₈	-68,38	254,62	-0,27	0,79	-577,87	441,12
c₉	-726,47	254,53	-2,85	0,01	-1235,78	-217,15
c₁₀	-275,65	254,47	-1,08	0,28	-784,83	233,54
c₁₁	31,04	254,43	0,12	0,90	-478,07	540,16

Рисунок 8.6.3 - Моделирование сезонных колебаний доходов бюджета с помощью фиктивных переменных

На основе анализа АКФ и ЧАКФ выбрать порядок модели AR(p), оценить параметры выбранной модели. Для всех построенных моделей с помощью средней относительной ошибки аппроксимации оценить их качество и дать прогноз на следующие два периода.

Построение модели AR (p)

Для оценивания параметров модели AR (p) можно применить один из вариантов оценивания: регрессия обычным МНК на , хотя некоторые свойства тестовых статистик будут искажены ввиду присутствия среди регрессоров лагов зависимой переменной;

Так как данный вид модели применяется только для стационарных временных рядов необходимо проверить гипотезу о наличии тенденции либо применить графический анализ.

По виду графика анализируемого временного ряда можно сделать вывод о его не стационарности (рисунок 8.6.1). Следовательно, для моделирования с помощью авторегрессионной модели ряд необходимо привести к стационарному виду. Для этого необходимо исключить тенденцию. Так как она близка к линейной, найдем отклонения от прямолинейного тренда и построим авторегрессионную модель для ряда остатков. Уравнение тренда имеет вид: .

Для выбора порядка авторегрессионной модели необходимо изучить поведение автокорреляционной (АКФ) и частной автокорреляционной (ЧАКФ) функций. Воспользуемся ППП STATISTICA. Стандартным образом запустите модуль «Временные ряды и прогнозирование». В этом модуле выбираем «АРПСС и автокорреляционные функции».

В появившемся окне выбираем вкладку «Автокорреляции». Для получения АКФ нажимаем «Автокорреляции», а для ЧАКФ – «Частные автокорреляции» (рисунок 8.6.4). По умолчанию расчет производится до 15 лага с уровнем надежности 0,05 (данные значения исследователь может задать самостоятельно, так в нашем случае зададим максимальное число лагов 18).

Рисунок 8.6.4 - Построение АКФ и ЧАКФ

Как видно на рисунках 8.6.5 и 8.6.6, АКФ и ЧАКФ экспоненциально затухает, меняя знак. Следовательно, можно предположить, что для описания временного ряда целесообразно применить модель авторегрессии со скользящими средними в остатках 1 порядка ARMA (1,1).

Вместе с тем рассмотрим построение различных моделей и выберем наилучшую из них.

Рисунок 8.6.5 - Автокорреляционная функция временного ряда доходов бюджета

Построение модели AR (1): .

Параметры данной модели определим с помощью МНК, используя функцию ППП Excel Сервис – Анализ данных - Регрессия. «Входной интервал Y» - выделяем столбец _,, «Входной интервал X» - выделяем столбец (исходные данные для построения модели представлены в таблице 8.6.9). Результаты регрессионного анализа представлены в таблице 8.6.10.

Рисунок 8.6.6 - Частная автокорреляционная функция доходов бюджета

Таким образом, нами получена модель AR(1): . Так как случайный компонент может быть выражен как , то подставив это выражение в модель AR (1) получим:

В результате соответствующих преобразований получим следующую модель доходов бюджета:

Расчетные значения по модели представлены в таблице 8.6.9 и на рисунке 8.6.7. Средняя относительная ошибка аппроксимации полученной модели составила 23,77 %. Что свидетельствует об удовлетворительном качестве модели.

Таблица 8.6.9 - Исходные и расчетные данные для построения AR(1) – модели доходов бюджета Оренбургской области (млн. руб.)

Период		Доход, млн.руб.		t		-	Исходные данные для оценивания параметров
Период		Доход, млн.руб.		t		-
1		2		3	4	5	6	7	8	9
1	январь	1119,3		1	620,8	498,5	-303,13	498,5	-	-
	февраль	352,2		2	655,3	-303,1	317,035	-303,1	549,76	0,56093
	март	1006,9		3	689,9	317,0	453,4	317,0	602,781	0,40135
	апрель	1177,8		4	724,4	453,4	325,465	453,4	637,98	0,45833
	май	1084,4		5	758,9	325,5	97,93	325,5	672,538	0,37981
	июнь	891,4		6	793,5	97,9	100,195	97,9	707,074	0,20678
	июль	928,2		7	828,0	100,2	315,86	100,2	741,609	0,20102
	август	1178,4		8	862,5	315,9	92,325	315,9	776,144	0,34136
	сентябрь	989,4		9	897,1	92,3	0,59	92,3	810,68	0,18064
	октябрь	932,2	10		931,6	0,6	114,255	0,6	845,215	0,09331
	ноябрь	1080,4	11		966,1	114,3	242,82	114,3	879,75	0,18572
	декабрь	1243,5	12		1000,7	242,8	-169,72	242,8	914,285	0,26475
…	…	…	…		…	…	…	…	…	…
6	январь	1573	61		2692,9	-1119,9	-1205,9	-1119,9	2606,5	0,65703
	февраль	1521,5	62		2727,4	-1205,9	453,235	-1205,9	2641,04	0,73581
	март	3215,2	63		2762,0	453,2	76	453,2	2675,57	0,16784
	апрель	2872,5	64		2796,5	76,0	961,365	76,0	2710,11	0,05653
	май	3792,4	65		2831,0	961,4	-143,87	961,4	2744,64	0,27628

Продолжение таблицы 8.6.9

1		2		3	4	5	6	7	8	9
	июнь	2721,7	66		2865,6	-143,9	197,095	-143,9	2779,18	0,02112
	июль	3097,2	67		2900,1	197,1	1294,56	197,1	2813,71	0,09153
	август	4229,2	68		2934,6	1294,6	-849,58	1294,6	2848,25	0,32653
	сентябрь	2119,6	69		2969,2	-849,6	752,79	-849,6	2882,78	0,36006
	октябрь	3756,5	70		3003,7	752,8	377,855	752,8	2917,32	0,22339
	ноябрь	3416,1	71		3038,2	377,9	405,92	377,9	2951,85	0,1359
	декабрь	3478,7	72		3072,8	405,9	-	-	2986,39	0,14152
Итого		132968,7	-		-	-	-	-	-	16,8796
В среднем		1846,7875	-		-	-	-	-	-	23,7741

Рисунок 8.6.7 - Теоретические значения по авторегрессионной модели

Таблица 8.6.10 - Результаты оценивания модели AR (1) МНК

Регрессионная статистика
Множественный R	0,0359
R-квадрат	0,0013
Нормированный R-квадрат	-0,01299
Стандартная ошибка	535,77
Наблюдения	71

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	26008,11	26008,11	0,0906	0,7643
Остаток	70	20093865	287055,2
Итого	71	20119874

Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-значение	Нижние 95%	Верхние 95%
0	-	-	-	-	-
0,03588	0,1192	0,3010	0,7643	-0,2018	0,2736

Прогнозирование значений на период (t+l) по авторегрессионной модели производят следующим образом.

Сначала вычисляют значение по формуле

Затем в модель подставляют вычисленное значение и определяют величину и т.д.

Спрогнозируем доходы бюджета на январь и февраль 2007г.

Точечный прогноз на январь составит:

млн.р.,

на февраль 2007 г.: млн.р.

Интервальный прогноз определяется по формуле:

Среднее квадратическое отклонение:

.

Табличное значение t- критерия Стьюдента: t(0,05; 69)= 1,995

Тогда доверительные границы прогноза на январь составят: , т.е. с вероятностью 95 % в январе 2007 года доходы бюджета будут находиться в пределах от 1988,27 до 4120,18 млн.р. В феврале 2007 г. доходы бюджета с заданной вероятностью могут составить от 2024 млн. р. до 4155,9 млн.р.

Построение модели AR (p) в STATISTICA

В модуле «Временные ряды и прогнозирование» выбираем «АРПСС и автокорреляционные функции». В появившемся окне выбираем вкладку «Дополнительно». Так как ряд нестационарный его необходимо преобразовать. Используем для этого 2 способа:

1) отклонение от линейного тренда;

2) первые разности.

Рассмотрим первый способ

Рисунок 8.6.8 - Построение авторегрессионной модели

Для нахождения отклонений от линейного тренда необходимо нажать на кнопку «Другие преобразования и графики» (рисунок 8.6.8). В появившемся окне необходимо выбрать «Вычесть тренд» (X=X-(a+b*t)) и нажать на кнопку «OK (Преобразовать выделенную переменную)» (рисунок 8.6.9). На экране появится график отклонений от тренда (рисунок 8.6.10).

Рисунок 8.6.9 - Преобразование временного ряда

Рисунок 8.6.10 - Отклонения от линейного тренда

Возвращаемся в диалоговое окно «АРПСС и автокорреляционные функции», нажав на расположенную в левом нижнем углу кнопку «Другие преобразования и графики» и в появившемся окне на кнопку «Отмена».

В результате преобразования ряда появилась новая переменная VAR 1 X-586,3-34,5t (рисунок 8.6.11), которую мы используем в дальнейших расчетах (параметры уравнения тренда совпадает с оцененными нами ранее).

Для построения модели AR(1) в ячейке «p – авторегрессии» задаем значение порядка авторегрессии. В нашем примере p = 1 (рисунок 8.6.11) и нажимаем на кнопку «OK (Начать оценивание параметров)». На экране появится окно, содержащее значение параметра (рисунок 8.6.12). Его значение составило 0,03588 (статистически значимые параметры выделяются красным). Значение совпадает с рассчитанным нами ранее.

Рисунок 8.6.11 - Выбор порядка модели авторегрессии

Рисунок 8.6.12 - Вывод итогов

Второй способ

Модель авторегрессии первого порядка по первым разностям имеет вид:

,

где , , …, - первые разности.

Для расчета ее параметров в модуле «АРПСС и автокорреляционные функции» необходимо задать порядок разности. В ячейке «Разность» устанавливаем его значение как показано на рисунке 5.13 (берем первые разности), в ячейке «p – авторегрессии» задаем значение порядка авторегрессии (p = 1) и нажимаем на кнопку «OK (Начать оценивание параметров)».

Результаты построения авторегрессионной модели по первым разностям представлены на рисунке 8.6.14. Параметр =-0,3105 статистически значим. Следовательно, модель примет вид:

.

В результате соответствующих преобразований получим следующую модель:

.

Рисунок 8.6.13 - Выбор параметров для построения авторегрессионной модели

Рисунок 8.6.14 - Вывод итогов авторегрессионного моделирования

8.7 Лабораторная работа № 6

Тема «Системы линейных одновременных уравнений»

Задания

1) построить модель вида, рассчитав соответствующие структурные коэффициенты. Исходные данные представлены в таблице 8.7.1.

2) оценить параметры модели – I Клейна, используя данные таблицы 8.7.2.

где - потребление;

- текущий и лаговый незарплатный доход (прибыль), долл. США;

- заработная плата работников занятых в частном секторе, долл. США;

- заработная плата работников занятых в государственном секторе, долл. США;

- запас капитала на начало года, долл. США;

- чистые инвестиции, долл. США;

- текущий и лаговый частный продукт (=НД + косвенные налоги на бизнес - );

Реализация типовых заданий

Построить модель вида, рассчитав соответствующие структурные коэффициенты.

Составим систему структурных уравнений:

Для выбора метода оценки параметров проверим систему на идентифицированность.

Таблица 8.7.1 – Исходные данные для построения системы взаимозависимых уравнений

Годы	Годовое потребление свинины на душу населения, кг	Оптовая цена за 1 кг свинины, руб.	Доход на душу населения, р.	Расходы по обработке мяса, % к цене
Годы
1	60	5,0	1300	60
2	62	4,0	1300	56
3	65	4,2	1500	56
4	62	5,0	1600	63
5	66	3,8	1800	50
Итого	315	22,0	7500	285

Необходимое условие:

В модели 2 предопределенные переменные: , и такое же количество эндогенных переменных: и . Следовательно, М=2 и К=2.

Проверим необходимое условие для каждого уравнения системы.

Для первого уравнения:

k₁=2; m₁=1

M-m₁=1=k-1=1 следовательно, уравнение точно идентифицировано.

Для второго уравнения:

k₂=2; m₂=1

M-m₂=1=k-1=1 следовательно, уравнение точно идентифицировано.

Так как оба уравнения точно идентифицированы, система в целом тоже точно идентифицирована.

Достаточное условие:

Для того чтобы уравнение было точно идентифицируемым, достаточно чтобы ранг матрицы А (матрица коэффициентов при переменных, не входящих в данное уравнение) был равен (К-1).

Так в нашем примере система состоит только из двух уравнений, то данное условие не проверяется.

Для определения параметров точно идентифицированной модели применяется КМНК.

На первом этапе структурную форму преобразуем в приведенную форму:

Параметры модели А₁₁, А₁₂, А₂₁, А₂₂ определяются с помощью традиционного МНК. Найдем данные параметры используя функцию Excel Сервис– Анализ данных– Регрессия (при этом необходимо учесть, что в уравнениях отсутствует свободный член). Результаты регрессионного анализа приведенной формы представлены на рисунке 8.7.1.

Рисунок 8.7.1 – Результаты регрессионного анализа уравнений приведенной формы

Следовательно, приведенная форма примет вид:

На следующем этапе определим коэффициенты структурной модели.

В первом уравнении структурной формы в правой части присутствуют переменные и . Следовательно, необходимо из второго уравнения выразить переменную через переменные и . Получим: . Подставим полученное выражение в первое уравнение и приведем подобные слагаемые:

Во втором уравнении структурной формы в правой части присутствуют переменные и . Следовательно, необходимо из первого уравнения выразить переменную через переменные и . Получим: . Подставим полученное выражение в первое уравнение и приведем подобные слагаемые: Таким образом, структурная форма модели примет вид:

Рассчитаем по полученным уравнениям теоретические значения и . Результаты расчетов представлены на рисунке 8.7.2.

Рисунок 8.7.2 – Фактические и расчетные значения переменных и

Оценить параметры модели – I Клейна

Таблица 8.7.2 – Исходные данные для построения модели –I Клейна

Годы	CN	P_t	P_t-1	W₁	W₂	I	K_t-1	E_t	E_t-1
1921	41,9	12,4	12,7	25,5	2,7	-0,2	182,8	45,6	44,9
1922	45,0	16,9	12,4	29,3	2,9	1,9	182,6	50,1	45,6
1923	49,2	18,4	16,9	34,1	2,9	5,2	184,5	57,2	50,1
1924	50,6	19,4	18,4	33,9	3,1	3,0	189,7	57,1	57,2
1925	52,6	20,1	19,4	35,4	3,2	5,1	192,7	61,0	57,1
1926	55,1	19,6	20,1	37,4	3,3	5,6	197,8	64,0	61,0
1927	56,2	19,8	19,6	37,9	3,6	4,2	203,4	64,4	64,0
1928	57,3	21,1	19,8	39,2	3,7	3,0	207,6	64,5	64,4
1929	57,8	21,7	21,1	41,3	4,0	5,1	210,6	67,0	64,5
1930	55,0	15,6	21,7	37,9	4,2	1,0	215,7	61,2	67,0
1931	50,9	11,4	15,6	34,5	4,8	-3,4	216,7	53,4	61,2
1932	45,6	7,0	11,4	29,0	5,3	-6,2	213,3	44,3	53,4
1933	46,5	11,2	7,0	28,5	5,6	-5,1	207,1	45,1	44,3
1934	48,7	12,3	11,2	30,6	6,0	-3,0	202,0	49,7	45,1
1935	51,3	14,0	12,3	33,2	6,1	-1,3	199,0	54,4	49,7
1936	57,7	17,6	14,0	36,8	7,4	2,1	197,7	62,7	54,4
1937	58,7	17,3	17,6	41,0	6,7	2,0	199,8	65,0	62,7
1938	57,5	15,3	17,3	38,2	7,7	-1,9	201,8	60,9	65,0
1939	61,6	19,0	15,3	41,6	7,8	1,3	199,9	69,5	60,9
1940	65,0	21,1	19,0	45,0	8,0	3,3	201,2	75,7	69,5
1941	69,7	23,5	21,1	53,3	8,5	4,9	204,5	88,4	75,7

Проверим модель на идентифицируемость.

В модели 3 эндогенные переменные: , , . Следовательно, К=3.

И 6 предопределенных переменных: , , , . Следовательно, М=6.

Проверим необходимое условие идентификации:

В первом уравнении m₁=3, k=1. 6-3=3>1-1=0. Следовательно, уравнение сверхидентифицированно.

Во втором уравнении m₂=3, k=1. 6-3=3>1-1=0. Следовательно, уравнение сверхидентифицированно.

В третьем уравнении m₃=2, k=1. 6-2=4>1-1=0. Следовательно, уравнение сверхидентифицированно.

Проверим достаточное условие идентификации:

В первом уравнении отсутствуют , , . Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

. Ранг данной матрицы равен 2=К-1=3-1. Следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Во втором уравнении отсутствуют , + , , . Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

. Ранг данной матрицы равен 2=К-1=3-1. Следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

В третьем уравнении отсутствуют , + , , . Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

. Ранг данной матрицы равен 2=К-1=3-1. Следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Таким образом, можно сделать вывод, что исследуемая модель сверхидентифицированна и может быть решена двухшаговым методом наименьших квадратов.

1 шаг. Составим приведенную форму модели:

2 шаг. С помощью традиционного МНК оценим параметры приведенной формы модели. Получим следующие результаты (рисунок 8.7.3).

Рисунок 8.7.3 – Вывод итогов регрессионного анализа системы приведенных уравнений

Оцененная приведенная форма модели примет вид:

3 шаг. Определим расчетные значения переменной , т.к. она фигурирует в качестве фактора в структурной форме модели.

Рисунок 8.7.4 – Расчетные и фактические значения переменной

4 шаг. Определяем параметры каждого уравнения в отдельности традиционным МНК, используя в качестве факторов входящие в это уравнение предопределенные переменные и расчетные значения эндогенной переменной . Результаты представлены на рисунках 8.7.5-8.7.7.

Таким образом, система структурных уравнений примет вид:

Все полученные уравнения статистически значимы по F – критерию.

Рассчитаем по ним теоретические значения эндогенных переменных и проведем графический анализ (рисунок 8.7.8). Как видно на рисунке, теоретические значения незначительно отклоняются от фактических, следовательно полученная модель адекватна изучаемым процессам.

Рисунок 8.7.5 – Результаты МНК- оценивания первого уравнения структурной формы ()

Рисунок 8.7.6 – Результаты МНК- оценивания второго уравнения структурной формы ()

Рисунок 8.7.7 – Результаты МНК- оценивания третьего уравнения структурной формы ()

Рисунок 8.7.8 – Сравнительный графический анализ теоретических и фактических значений эндогенных переменных

Список использованных источников

Бородич, С.А. Эконометрика : учеб. пособие / С.А. Бородич.- Мн.: Новое издание, 2001. -

Кремер, Н.Ш., Путко, Б.А. Эконометрика : учебник для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко. – М.: ЮНИТИ – ДАНА, 2002. -
Практикум по эконометрике : учеб. пособие / И.И.Елисеева [и др.]; под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2006. -
Эконометрика : учебник / под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2006. -
Айвазян, С.А., Мхитарян, В. С. Прикладная статистика в задачах и упражнениях : учебник для вузов / С.А. Айвазян, В.С, Мхитарян. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. 270 с.
Орлов, Л. И. Эконометрика: учебник для вузов / Л.И. Орлов. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Изд-во «Экзамен», 2003. 576 с.
Петере, Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка / Э. Петере; пер. с англ. - М.: Мир, 2000. 333 с: ил.
Прикладная статистика. Основы эконометрики : учебник для вузов: В 2 т. - 2-е изд., испр. Т. 1. Айвазян С. А., Мхитарян В. С. Теория вероятностей и прикладная статистика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. - 656 с.
Прикладная статистика. Основы эконометрики: Учебник для вузов: В 2 т. - 2-е изд., испр. Т. 2. Айвазян С. А. Основы эконометрики. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. 432 с.
Уотшем, Т. Дж., Паррамоу, К. Количественные методы в финансах : учеб. пособие для вузов Т. Уотшем, К. Паррамоу / пер. с англ. под ред. М. Р. Ефимовой. М. : Финансы, ЮНИТИ, 1999. - 527 с.
Эконометрическая страничка А. Цыплакова // http: // www. nsu. ru/e f/tsy/ecmr/

Приложение А

(обязательное)

Исходные данные для выполнения лабораторных работ

Вариант 1

№ п/п							Пол руководителя компании
1	2,9	40,7	3,8	40	19,2	4,6	муж
2	5,4	17,4	2,7	61,7	18,8	7,8	муж
3	2,2	5,9	3,7	21	17,2	3,4	муж
4	5,4	13	1	47,2	16,8	5,2	муж
5	8,3	26	4,4	103	15,6	6,2	муж
6	4,2	19,5	1,2	93,6	4,8	1,2	жен
7	13,1	178,2	19,8	344	15,3	10,2	муж
8	5,1	23,3	4	82,6	15,1	5,3	муж
9	22,1	215	12,1	742	14,6	9	жен
10	1,3	2,6	0,3	1,1	13,6	3,9	муж
11	4,2	8,8	1,6	23,8	13,6	6	жен
12	6,1	35,2	3,8	39,7	13,3	7,2	муж
13	6,1	17,4	2,6	58,8	4,5	7,4	муж
14	4,5	12,7	2,5	209	11,4	5	жен
15	1,3	25,4	2,4	102	11	6,1	жен
16	2,6	8,8	0,6	30,5	10,4	0,6	жен
17	5,8	35,1	2,6	139	8,8	4,5	муж
18	2,9	16,1	1,4	93	8,1	6,9	жен
19	3,5	23	3	137	3,7	8,3	жен
20	6,1	16,5	2,4	56,3	7,6	8,6	муж
21	2,9	27,8	0,3	128	7,5	5,8	муж
22	4,2	17,6	1,7	67,7	7,5	7,1	муж
23	6,4	17,4	2,3	62,4	7,4	8	муж
24	1,9	5,5	0,4	20,1	6,2	5,3	жен
25	2,2	20,2	1,2	77,8	5,5	8	жен

Продолжение приложения А

Вариант 2

№ п/п							Пол руководителя компании
1	2,5	38,1	5,2	16,4	29,3	1,1	муж
2	3,3	20,2	3,7	24,8	28,9	1,9	муж
3	2,3	11,3	5	9,1	27,3	0,8	муж
4	3,3	16,8	1,2	19,2	26,9	1,2	муж
5	4,2	26,8	6	40,7	25,7	1,5	муж
6	2,9	21,8	1,5	37,1	14,9	0,2	жен
7	5,7	143	27,4	133,4	25,4	2,5	муж
8	3,2	24,7	5,5	32,8	25,2	1,2	муж
9	8,5	172,2	16,7	286,4	24,7	2,2	муж
10	2	8,8	0,3	1,5	23,7	0,9	жен
11	2,9	13,6	2,1	10,2	23,7	1,4	жен
12	3,5	33	5,2	16,3	23,4	1,7	муж
13	3,5	20,2	3,6	23,7	14,6	1,8	жен
14	3	16,6	3,4	81,4	21,5	1,2	жен
15	2	26,3	3,3	40,3	21,1	1,4	жен
16	2,4	13,6	0,8	12,8	20,5	0,1	жен
17	3,4	33,8	3,5	54,5	18,9	1	муж
18	2,5	19,2	1,8	36,8	18,2	1,6	жен
19	2,7	24,5	4,1	53,7	13,8	2	жен
20	3,5	19,5	3,2	22,7	17,7	2	муж
21	0,7	28,2	0,3	50,3	17,6	1,3	муж
22	2,9	20,3	2,3	27,1	17,6	1,7	жен
23	3,6	20,2	3,1	25,1	17,5	1,9	муж
24	2,2	11	0,4	8,8	16,3	1,2	жен
25	2,3	22,3	1,5	31	15,6	1,9	жен

Продолжение приложения А

Вариант 3

№ п/п							Пол руководителя компании
1	45,9	34	68	12,5	43,3	2,3	муж
2	46,7	16,1	49,3	18,8	42,9	3,9	жен
3	45,7	7,2	66,6	7	41,3	1,7	муж
4	46,7	12,7	17,3	14,6	40,9	2,6	муж
5	47,6	22,7	78,5	30,7	39,7	3,1	муж
6	46,3	17,7	20,9	28	28,9	0,6	жен
7	49,1	139,8	356,4	100,6	39,4	5,1	муж
8	46,6	20,6	72,4	24,8	39,2	2,6	муж
9	51,9	168,1	218,2	216,1	38,7	4,5	муж
10	45,4	4,7	5	1,2	37,7	1,9	жен
11	46,3	9,5	28,8	7,8	37,7	3	жен
12	46,9	29,8	68	12,4	37,4	3,6	жен
13	46,9	16,1	47,5	17,9	28,6	3,7	муж
14	46,4	12,5	45,4	61,5	35,5	2,5	жен
15	45,4	22,2	43,9	30,5	35,1	3,1	жен
16	45,8	9,5	11,5	9,7	34,5	0,3	жен
17	46,8	29,7	46,8	41,2	32,9	2,2	муж
18	45,9	15,1	24,8	27,8	32,2	3,5	жен
19	46,1	20,4	54	40,6	27,8	4,1	жен
20	46,9	15,4	42,8	17,2	31,7	4,3	муж
21	44,1	24,1	5,8	38	31,6	2,9	муж
22	46,3	16,2	31	20,5	31,6	3,5	муж
23	47	16,1	41,4	19	31,5	4	муж
24	45,6	6,9	6,8	6,7	30,3	2,6	жен
25	45,7	18,2	20,9	23,4	29,6	4	жен

Продолжение приложения А

Вариант 4

№ п/п							Пол руководителя компании
1	12,5	39,2	19,5	8,6	20,5	1,4	муж
2	13,7	21,3	14,1	12,9	20,3	3	муж
3	12,2	12,4	19,1	4,8	19,5	0,8	муж
4	13,7	17,9	4,9	10	19,3	1,7	муж
5	15	27,9	22,5	21,2	18,7	2,2	муж
6	13,1	22,9	6	19,3	13,3	0,3	жен
7	17,3	145	102,1	69,4	18,5	4,2	муж
8	13,6	25,8	20,7	17,1	18,4	1,8	муж
9	21,5	173,3	62,5	149	18,2	3,6	муж
10	11,8	9,9	1,4	0,8	17,7	1,1	жен
11	13,1	14,7	8,2	5,4	17,7	2,1	жен
12	14	35	19,5	8,5	17,5	2,7	жен
13	14	21,3	13,6	12,4	13,1	2,8	муж
14	13,3	17,7	13	42,4	16,6	1,6	жен
15	11,8	27,4	12,6	21	16,4	2,2	жен
16	12,4	14,7	3,3	6,7	16,1	0,6	жен
17	13,9	34,9	13,4	28,4	15,3	1,4	муж
18	12,5	20,3	7,1	19,2	14,9	2,6	жен
19	12,8	25,6	15,5	28	12,7	3,3	жен
20	14	20,6	12,3	11,9	14,7	3,4	муж
21	9,8	29,3	1,6	26,2	14,6	2	муж
22	13,1	21,4	8,9	14,1	14,6	2,7	муж
23	14,1	21,3	11,9	13,1	14,6	3,1	жен
24	12,1	12,1	2	4,6	14	1,8	жен
25	12,2	23,4	6	16,2	13,6	3,1	жен

Продолжение приложения А

Вариант 5

№ п/п							Пол руководителя компании
1	0,9	31,3	18,9	43	40,9	2,3	муж
2	1,7	13,4	13,7	64,7	40,5	3,9	муж
3	0,7	4,5	18,5	24	38,9	1,7	муж
4	1,7	10	4,8	50,2	38,5	2,6	муж
5	2,6	20	21,8	106	37,3	3,1	муж
6	1,3	15	5,8	96,6	26,5	0,6	жен
7	4,1	137,1	99	347	37	5,1	муж
8	1,6	17,9	20,1	85,6	36,8	2,7	муж
9	6,9	165,4	60,6	745	36,3	4,5	муж
10	0,4	2	1,4	4,1	35,3	2	жен
11	1,3	6,8	8	26,8	35,3	3	жен
12	1,9	27,1	18,9	42,7	35	3,6	муж
13	1,9	13,4	13,2	61,8	26,2	3,7	жен
14	1,4	9,8	12,6	212	33,1	2,5	жен
15	0,4	19,5	12,2	105	32,7	3,1	жен
16	0,8	6,8	3,2	33,5	32,1	0,3	жен
17	1,8	27	13	142	30,5	2,3	муж
18	0,9	12,4	6,9	96	29,8	3,5	жен
19	1,1	17,7	15	140	25,4	4,1	жен
20	1,9	12,7	11,9	59,3	29,3	4,3	муж
21	0,9	21,4	1,6	131	29,2	2,9	муж
22	1,3	13,5	8,6	70,7	29,2	3,6	муж
23	2	13,4	11,5	65,4	29,1	4	жен
24	0,6	4,2	1,9	23,1	27,9	2,6	жен
25	0,7	15,5	5,8	80,8	27,2	4	жен

Продолжение приложения А

Вариант 6

№ п/п							Пол руководителя компании
1	6,1	36,1	37,8	6,1	6,8	1,8	муж
2	6,9	18,2	27,4	9,2	6,8	3,4	муж
3	5,9	9,3	37	3,4	6,5	1,2	муж
4	6,9	14,8	9,6	7,2	6,4	2,1	муж
5	7,8	24,8	43,6	15,1	6,2	2,6	муж
6	6,5	19,8	11,6	13,8	4,4	0,1	жен
7	9,3	141,9	198	49,6	6,2	4,6	муж
8	6,8	22,7	40,2	12,2	6,1	2,1	муж
9	12,1	170,2	121,2	106,4	6,1	4	муж
10	5,6	6,8	2,8	0,6	5,9	1,4	жен
11	6,5	11,6	16	3,8	5,9	2,5	жен
12	7,1	31,9	37,8	6,1	5,8	3	муж
13	7,1	18,2	26,4	8,8	4,4	3,2	жен
14	6,6	14,6	25,2	30,3	5,5	2	жен
15	5,6	24,3	24,4	15	5,5	2,5	жен
16	6	11,6	6,4	4,8	5,4	0,2	жен
17	7	31,8	26	20,3	5,1	1,7	муж
18	6,1	17,2	13,8	13,7	5	2,9	жен
19	6,3	22,5	30	20	4,2	3,6	жен
20	7,1	17,5	23,8	8,5	4,9	3,7	муж
21	4,3	26,2	3,2	18,7	4,9	2,4	муж
22	6,5	18,3	17,2	10,1	4,9	3	муж
23	7,2	18,2	23	9,3	4,9	3,5	муж
24	5,8	9	3,8	3,3	4,7	2,1	жен
25	5,9	20,3	11,6	11,5	4,5	3,5	жен

Продолжение приложения А

Вариант 7

№ п/п							Пол руководителя компании
1	41,2	64,3	15,2	1	34	9,2	муж
2	42	46,4	10	1,4	33,6	15,6	муж
3	41	37,5	14,8	0,5	32	6,8	жен
4	42	43	1,1	1,1	31,6	10,4	муж
5	42,9	53	18,1	2,4	30,4	12,4	муж
6	41,6	48	2,1	2,1	19,6	2,4	жен
7	44,4	170,1	95,3	7,7	30,1	20,4	муж
8	41,9	50,9	16,4	1,9	29,9	10,6	муж
9	47,2	198,4	56,9	16,6	29,4	18	муж
10	40,7	35	2,3	0,1	28,4	7,9	жен
11	41,6	39,8	4,3	0,6	28,4	12	жен
12	42,2	60,1	15,2	0,9	28,1	14,3	муж
13	42,2	46,4	9,5	1,4	19,3	14,8	жен
14	41,7	42,8	8,9	4,7	26,2	10	жен
15	40,7	52,5	8,5	2,3	25,8	12,3	жен
16	41,1	39,8	0,5	0,7	25,2	1,2	жен
17	42,1	60	9,3	3,2	23,6	9,1	муж
18	41,2	45,4	3,2	2,1	22,9	13,9	жен
19	41,4	50,7	11,3	3,1	18,5	16,6	жен
20	42,2	45,7	8,2	1,3	22,4	17,1	муж
21	39,4	54,4	2,1	2,9	22,3	11,6	муж
22	41,6	46,5	4,9	1,6	22,3	14,2	муж
23	42,3	46,4	7,8	1,5	22,2	16	муж
24	40,9	37,2	1,8	0,5	21	10,5	жен
25	41	48,5	2,1	1,8	20,3	16,1	жен

Продолжение приложения А

Вариант 8

№ п/п							Пол руководителя компании
1	23,9	7,5	27,4	41,3	7,7	5,1	муж
2	24,7	3,2	19,9	62,1	7,6	6,7	муж
3	23,7	1,1	26,8	23	7,3	4,5	муж
4	24,7	2,4	7	48,2	7,2	5,4	муж
5	25,6	4,8	31,6	101,8	7	5,9	муж
6	24,3	3,6	8,4	92,7	5	3,4	жен
7	27,1	32,6	143,6	333,1	6,9	7,9	муж
8	24,6	4,3	29,1	82,2	6,9	5,4	муж
9	29,9	39,4	87,9	715,2	6,8	7,3	муж
10	23,4	0,5	2	3,9	6,6	4,7	жен
11	24,3	1,6	11,6	25,7	6,6	5,8	жен
12	24,9	6,5	27,4	41	6,6	6,4	муж
13	24,9	3,2	19,1	59,3	4,9	6,5	жен
14	24,4	2,3	18,3	203,5	6,2	5,3	жен
15	23,4	4,6	17,7	100,8	6,1	5,9	жен
16	23,8	1,6	4,6	32,2	6	3,1	жен
17	24,8	6,4	18,9	136,3	5,7	5,1	муж
18	23,9	3	10	92,2	5,6	6,3	жен
19	24,1	4,2	21,8	134,4	4,8	6,9	жен
20	24,9	3	17,3	56,9	5,5	7,1	муж
21	22,1	5,1	2,3	125,8	5,5	5,7	муж
22	24,3	3,2	12,5	67,9	5,5	6,3	муж
23	25	3,2	16,7	62,8	5,4	6,8	муж
24	23,6	1	2,8	22,2	5,2	5,4	жен
25	23,7	3,7	8,4	77,6	5,1	6,8	жен

Продолжение приложения А

Вариант 9

№ п/п							Пол руководителя компании
1	3,4	37,1	6,8	21,5	37,2	51,1	муж
2	3,5	19,2	4,9	32,4	36,8	86,7	жен
3	3,4	10,3	6,6	12	35,2	37,8	муж
4	3,5	15,8	1,7	25,1	34,8	57,8	муж
5	3,7	25,8	7,8	53	33,6	68,9	муж
6	3,5	20,8	2,1	48,3	22,8	13,3	жен
7	3,9	142,9	35,4	173,5	33,3	113,3	муж
8	3,5	23,7	7,2	42,8	33,1	59,1	муж
9	4,3	171,2	21,6	372,5	32,6	100,2	муж
10	3,3	7,8	0,5	2,1	31,6	43,7	жен
11	3,5	12,6	2,9	13,4	31,6	66,8	жен
12	3,6	32,9	6,8	21,4	31,3	79,6	муж
13	3,6	19,2	4,7	30,9	22,5	82,2	жен
14	3,5	15,6	4,5	106	29,4	55,6	жен
15	3,3	25,3	4,4	52,5	29	68,3	жен
16	3,4	12,6	1,1	16,8	28,4	6,7	жен
17	3,5	32,8	4,6	71	26,8	50,5	муж
18	3,4	18,2	2,5	48	26,1	77,2	жен
19	3,4	23,5	5,4	70	21,7	92,1	жен
20	3,6	18,5	4,3	29,7	25,6	95,1	муж
21	3,2	27,2	0,6	65,5	25,5	64,2	муж
22	3,5	19,3	3,1	35,4	25,5	79	муж
23	3,6	19,2	4,1	32,7	25,4	88,9	муж
24	3,4	10	0,7	11,6	24,2	58,4	жен
25	3,4	21,3	2,1	40,4	23,5	89,3	жен

Продолжение приложения А

Вариант 10

№ п/п							Пол руководителя компании
1	4,4	38,1	7,8	22,5	38,2	52,1	муж
2	4,5	20,2	5,9	33,4	37,8	87,7	муж
3	4,4	11,3	7,6	13	36,2	38,8	жен
4	4,5	16,8	2,7	26,1	35,8	58,8	муж
5	4,7	26,8	8,8	54	34,6	69,9	муж
6	4,5	21,8	3,1	49,3	23,8	14,3	жен
7	4,9	143,9	36,4	174,5	34,3	114,3	муж
8	4,5	24,7	8,2	43,8	34,1	60,1	муж
9	5,3	172,2	22,6	373,5	33,6	101,2	муж
10	4,3	8,8	1,5	3,1	32,6	44,7	жен
11	4,5	13,6	3,9	14,4	32,6	67,8	жен
12	4,6	33,9	7,8	22,4	32,3	80,6	муж
13	4,6	20,2	5,7	31,9	23,5	83,2	муж
14	4,5	16,6	5,5	107	30,4	56,6	жен
15	4,3	26,3	5,4	53,5	30	69,3	жен
16	4,4	13,6	2,1	17,8	29,4	7,7	жен
17	4,5	33,8	5,6	72	27,8	51,5	муж
18	4,4	19,2	3,5	49	27,1	78,2	жен
19	4,4	24,5	6,4	71	22,7	93,1	муж
20	4,6	19,5	5,3	30,7	26,6	96,1	муж
21	4,2	28,2	1,6	66,5	26,5	65,2	муж
22	4,5	20,3	4,1	36,4	26,5	80	муж
23	4,6	20,2	5,1	33,7	26,4	89,9	муж
24	4,4	11	1,7	12,6	25,2	59,4	жен
25	4,4	22,3	3,1	41,4	24,5	90,3	жен

Продолжение приложения А

Вариант 11

№ п/п							Пол руководителя компании
1	24,9	8,5	28,4	42,3	8,7	6,1	жен
2	25,7	4,2	20,9	63,1	8,6	7,7	муж
3	24,7	2,1	27,8	24	8,3	5,5	муж
4	25,7	3,4	8	49,2	8,2	6,4	муж
5	26,6	5,8	32,6	102,8	8	6,9	муж
6	25,3	4,6	9,4	93,7	6	4,4	жен
7	28,1	33,6	144,6	334,1	7,9	8,9	муж
8	25,6	5,3	30,1	83,2	7,9	6,4	муж
9	30,9	40,4	88,9	716,2	7,8	8,3	муж
10	24,4	1,5	3	4,9	7,6	5,7	жен
11	25,3	2,6	12,6	26,7	7,6	6,8	жен
12	25,9	7,5	28,4	42	7,6	7,4	жен
13	25,9	4,2	20,1	60,3	5,9	7,5	муж
14	25,4	3,3	19,3	204,5	7,2	6,3	жен
15	24,4	5,6	18,7	101,8	7,1	6,9	жен
16	24,8	2,6	5,6	33,2	7	4,1	жен
17	25,8	7,4	19,9	137,3	6,7	6,1	муж
18	24,9	4	11	93,2	6,6	7,3	жен
19	25,1	5,2	22,8	135,4	5,8	7,9	жен
20	25,9	4	18,3	57,9	6,5	8,1	муж
21	23,1	6,1	3,3	126,8	6,5	6,7	муж
22	25,3	4,2	13,5	68,9	6,5	7,3	муж
23	26	4,2	17,7	63,8	6,4	7,8	муж
24	24,6	2	3,8	23,2	6,2	6,4	жен
25	24,7	4,7	9,4	78,6	6,1	7,8	жен

Продолжение приложения А

Вариант 12

№ п/п							Пол руководителя компании
1	42,2	65,3	16,2	2	35	10,2	муж
2	43	47,4	11	2,4	34,6	16,6	муж
3	42	38,5	15,8	1,5	33	7,8	жен
4	43	44	2,1	2,1	32,6	11,4	муж
5	43,9	54	19,1	3,4	31,4	13,4	муж
6	42,6	49	3,1	3,1	20,6	3,4	жен
7	45,4	171,1	96,3	8,7	31,1	21,4	муж
8	42,9	51,9	17,4	2,9	30,9	11,6	муж
9	48,2	199,4	57,9	17,6	30,4	19	муж
10	41,7	36	1,3	1,1	29,4	8,9	жен
11	42,6	40,8	5,3	1,6	29,4	13	жен
12	43,2	61,1	16,2	1,9	29,1	15,3	жен
13	43,2	47,4	10,5	2,4	20,3	15,8	муж
14	42,7	43,8	9,9	5,7	27,2	11	жен
15	41,7	53,5	9,5	3,3	26,8	13,3	жен
16	42,1	40,8	0,5	1,7	26,2	2,2	жен
17	43,1	61	10,3	4,2	24,6	10,1	муж
18	42,2	46,4	4,2	3,1	23,9	14,9	жен
19	42,4	51,7	12,3	4,1	19,5	17,6	жен
20	43,2	46,7	9,2	2,3	23,4	18,1	муж
21	40,4	55,4	1,1	3,9	23,3	12,6	муж
22	42,6	47,5	5,9	2,6	23,3	15,2	муж
23	43,3	47,4	8,8	2,5	23,2	17	муж
24	41,9	38,2	0,8	1,5	22	11,5	жен
25	42	49,5	3,1	2,8	21,3	17,1	жен

Продолжение приложения А

Вариант 13

№ п/п							Пол руководителя компании
1	7,1	37,1	38,8	7,1	7,8	2,8	муж
2	7,9	19,2	28,4	10,2	7,8	4,4	муж
3	6,9	10,3	38	4,4	7,5	2,2	муж
4	7,9	15,8	10,6	8,2	7,4	3,1	муж
5	8,8	25,8	44,6	16,1	7,2	3,6	муж
6	7,5	20,8	12,6	14,8	5,4	1,1	жен
7	10,3	142,9	199	50,6	7,2	5,6	муж
8	7,8	23,7	41,2	13,2	7,1	3,1	муж
9	13,1	171,2	122,2	107,4	7,1	5	муж
10	6,6	7,8	3,8	1,6	6,9	2,4	жен
11	7,5	12,6	17	4,8	6,9	3,5	жен
12	8,1	32,9	38,8	7,1	6,8	4	жен
13	8,1	19,2	27,4	9,8	5,4	4,2	муж
14	7,6	15,6	26,2	31,3	6,5	3	жен
15	6,6	25,3	25,4	16	6,5	3,5	жен
16	7	12,6	7,4	5,8	6,4	0,8	жен
17	8	32,8	27	21,3	6,1	2,7	муж
18	7,1	18,2	14,8	14,7	6	3,9	жен
19	7,3	23,5	31	21	5,2	4,6	жен
20	8,1	18,5	24,8	9,5	5,9	4,7	муж
21	5,3	27,2	4,2	19,7	5,9	3,4	муж
22	7,5	19,3	18,2	11,1	5,9	4	жен
23	8,2	19,2	24	10,3	5,9	4,5	муж
24	6,8	10	4,8	4,3	5,7	3,1	жен
25	6,9	21,3	12,6	12,5	5,5	4,5	муж

Продолжение приложения А

Вариант 14

№ п/п							Пол руководителя компании
1	8,1	113,1	10,6	111,2	53,4	12,8	муж
2	15,0	48,4	7,5	171,5	52,3	21,7	муж
3	6,1	16,4	10,3	58,4	47,8	9,5	муж
4	15,0	36,1	2,8	131,2	46,7	14,5	муж
5	23,1	72,3	12,2	286,3	43,4	17,2	муж
6	11,7	54,2	3,3	260,2	13,3	3,3	жен
7	36,4	495,4	55,0	956,3	42,5	28,4	муж
8	14,2	64,8	11,1	229,6	42,0	14,7	муж
9	61,4	597,7	33,6	2062,8	40,6	25,0	жен
10	3,6	7,2	0,8	3,1	37,8	10,8	муж
11	11,7	24,5	4,4	66,2	37,8	16,7	жен
12	17,0	97,9	10,6	110,4	37,0	20,0	муж
13	17,0	48,4	7,2	163,5	12,5	20,6	муж
14	12,5	35,3	7,0	581,0	31,7	13,9	жен
15	3,6	70,6	6,7	283,6	30,6	17,0	жен
16	7,2	24,5	1,7	84,8	28,9	1,7	жен
17	16,1	97,6	7,2	386,4	24,5	12,5	муж
18	8,1	44,8	3,9	258,5	22,5	19,2	жен
19	9,7	63,9	8,3	380,9	10,3	23,1	жен
20	17,0	45,9	6,7	156,5	21,1	23,9	муж
21	8,1	77,3	0,8	355,8	20,9	16,1	муж
22	11,7	48,9	4,7	188,2	20,9	19,7	муж
23	17,8	48,4	6,4	173,5	20,6	22,2	муж
24	5,3	15,3	1,1	55,9	17,2	14,7	жен
25	6,1	56,2	3,3	216,3	15,3	22,2	жен

Продолжение приложения А

Вариант 15

№ п/п							Пол руководителя компании
1	10,3	145,1	13,5	142,6	68,4	16,4	муж
2	19,2	62,0	9,6	219,9	67,0	27,8	муж
3	7,8	21,0	13,2	74,8	61,3	12,1	муж
4	19,2	46,3	3,6	168,2	59,9	18,5	муж
5	29,6	92,7	15,7	367,1	55,6	22,1	муж
6	15,0	69,5	4,3	333,6	17,1	4,3	жен
7	46,7	635,1	70,6	1226,1	54,5	36,4	муж
8	18,2	83,0	14,3	294,4	53,8	18,9	муж
9	78,8	766,3	43,1	2644,6	52,0	32,1	жен
10	4,6	9,3	1,1	3,9	48,5	13,9	муж
11	15,0	31,4	5,7	84,8	48,5	21,4	жен
12	21,7	125,5	13,5	141,5	47,4	25,7	муж
13	21,7	62,0	9,3	209,6	16,0	26,4	муж
14	16,0	45,3	8,9	744,9	40,6	17,8	жен
15	4,6	90,5	8,6	363,5	39,2	21,7	жен
16	9,3	31,4	2,1	108,7	37,1	2,1	жен
17	20,7	125,1	9,3	495,4	31,4	16,0	муж
18	10,3	57,4	5,0	331,5	28,9	24,6	жен
19	12,5	82,0	10,7	488,3	13,2	29,6	жен
20	21,7	58,8	8,6	200,7	27,1	30,7	муж
21	10,3	99,1	1,1	456,2	26,7	20,7	муж
22	15,0	62,7	6,1	241,3	26,7	25,3	муж
23	22,8	62,0	8,2	222,4	26,4	28,5	муж
24	6,8	19,6	1,4	71,6	22,1	18,9	жен
25	7,8	72,0	4,3	277,3	19,6	28,5	жен

Приложение Б

(обязательное)

Статистико-математические таблицы

Таблица Б.1 - Критические значения t–критерия Стьюдента при уровне значимости 0,10; 0,05; 0,01 (двухсторонний)

Число степеней свободы				Число степеней свободы
Число степеней свободы	0,10	0,05	0,01	Число степеней свободы	0,10	0,05	0,01
1	6,3138	12,706	63,657	18	1,7341	2,1009	2,8784
2	2,9200	4,3027	9,9248	19	1,7291	2,0930	2,8609
3	2,3534	3,1825	5,8409	20	1,7247	2,0860	2,8453
4	2,1318	2,7764	4,6041	21	1,7207	2,0796	2,8314
5	2,0150	2,5706	4,0321	22	1,7171	2,0739	2,8188
6	1,9432	2,4469	3,7074	23	1,7139	2,0687	2,8073
7	1,8946	2,3646	3,495	24	1,7109	2,0639	2,7969
8	1,8595	2,3060	3,3554	25	1,7081	2,0595	2,7874
9	1,8331	2,2622	3,2498	26	1,7056	2,0555	2,7787
10	1,8125	2,2281	3,1693	27	1,7033	2,0518	2,7707
11	1,7959	2,2010	3,1058	28	1,7011	2,0484	2,7633
12	1,7823	2,1788	3,0545	29	1,6991	2,0452	2,7564
13	1,7709	2,1604	3,0123	30	1,6973	2,0423	2,7500
14	1,7613	2,1448	2,9768	40	1,6839	2,0211	2,7045
15	1,7530	2,1315	2,9467	60	1,6707	2,0003	2,6603
16	1,7459	2,1199	2,9208	120	1,6577	1,9799	2,6174
17	1,7396	2,1098	2,8982		1,6449	1,9600	2,5758

Таблица Б.2 - Критические значения F-критерия Фишера ()

k₂=n-m	k₁=m-1
k₂=n-m	1	2	3	4	5	6	8	12	24
1	161,45	199,5	215,72	224,57	230,17	233,97	238,89	243,91	249,04	254,32
2	18,51	19,00	19,16	19,25	19,30	19,33	19,37	19,41	19,45	19,50
3	10,13	9,55	9,28	9,12	9,01	8,94	8,84	8,74	8,64	8,53
4	7,71	6,94	6,59	6,39	6,26	6,16	6,04	5,91	5,77	5,63
5	6,61	5,79	5,41	5,19	5,05	4,95	4,82	4,68	4,53	4,36
6	5,99	5,14	4,76	4,53	4,39	4,28	4,15	4,00	3,84	3,67
7	5,59	4,74	4,35	4,12	3,97	3,87	3,73	3,57	3,41	3,23
8	5,32	4,46	4,07	3,84	3,69	3,58	3,44	3,28	3,12	2,93
9	5,12	4,26	3,86	3,63	3,48	3,37	3,23	3,07	2,90	2,71
10	4,96	4,10	3,71	3,48	3,33	3,22	307	2,91	2,74	2,54
11	4,84	3,98	3,59	3,36	3,20	3,09	2,95	2,79	2,61	2,40
12	4,75	3,88	3,49	3,26	3,11	3,00	2,85	2,69	2,50	2,30
13	4,67	3,80	3,41	3,18	3,02	2,92	2,77	2,60	2,42	2,21
14	4,60	3,74	3,34	3,11	2,96	2,85	2,70	2,53	2,35	2,13
15	4,54	3,68	3,29	3,06	2,90	2,79	2,64	2,48	2,29	2,07
16	4,49	3,63	3,24	3,01	2,85	2,74	2,59	2,42	2,24	2,01
17	4,45	3,59	3,20	2,96	2,81	2,70	2,55	2,38	2,19	1,96
18	4,41	3,55	3,16	2,93	2,77	2,66	2,51	2,34	2,15	1,92
19	4,38	3,52	3,13	2,90	2,74	2,63	2,48	2,31	2,11	1,88
20	4,35	3,49	3,10	2,87	2,71	2,60	2,45	2,28	2,08	1,84
21	4,32	3,47	3,07	2,84	2,68	2,57	2,42	2,25	2,05	1,81
22	4,30	3,44	3,05	2,82	2,66	2,55	2,40	2,23	2,03	1,78
23	4,28	3,42	3,03	2,80	2,64	2,53	2,38	2,20	2,00	1,76
24	4,26	3,40	3,01	2,78	2,62	2,51	2,36	2,18	1,98	1,73
25	4,24	3,38	2,99	2,76	2,60	2,49	2,34	2,16	1,96	1,71
26	4,22	3,37	2,98	2,74	2,59	2,47	2,32	2,15	1,95	1,69
27	4,21	3,35	2,96	2,73	2,57	2,46	2,30	2,13	1,93	1,67
28	4,20	3,34	2,95	2,71	2,56	2,44	2,29	2,12	1,91	1,65
29	4,18	3,33	2,93	2,70	2,54	2,43	2,28	2,10	1,90	1,64
30	4,17	3,32	2,92	2,69	2,53	2,42	2,27	2,09	1,89	1,62
35	4,12	3,26	2,87	2,64	2,48	2,37	2,22	2,04	1,83	1,57
40	4,08	3,23	2,84	2,61	2,45	2,34	2,18	2,00	1,79	1,51
45	4,06	3,21	2,81	2,58	2,42	2,31	2,15	1,97	1,76	1,48
50	4,03	3,18	2,79	2,56	2,40	2,29	2,13	1,95	1,74	1,44
60	4,00	3,15	2,76	2,52	2,37	2,25	2,10	1,92	1,70	1,39
70	3,89	3,13	2,74	2,50	2,35	2,23	2,07	1,89	1,67	1,35
80	3,96	3,11	2,72	2,49	2,33	2,21	2,06	1,88	1,65	1,31
90	3,95	310	2,71	2,47	2,32	2,20	2,04	1,86	1,64	1,28
100	3,94	3,09	2,70	2,46	2,30	2,19	2,03	1,85	1,63	1,26
125	3,92	3,07	2,68	2,44	2,29	2,17	2,01	1,83	1,60	1,21
150	3,90	3,06	2,66	2,43	2,27	2,16	2,00	1,82	1,59	1,18
200	3,89	3,04	2,65	2,42	2,26	2,14	1,98	1,80	1,57	1,14
300	3,87	3,03	2,64	2,41	2,25	2,13	1,97	1,79	1,55	1,10
400	3,86	3,02	2,63	2,40	2,24	2,12	1,96	1,78	1,54	1,07
500	3,86	3,01	2,62	2,39	2,23	2,11	1,96	1,77	1,54	1,06
1000	3,85	3,00	2,61	2,38	2,22	2,10	1,95	1,76	1,53	1,03
	3,84	2,99	2,60	2,37	2,21	2,09	1,94	1,75	1,52	1,00

Таблица Б.3 - Значения статистики Дарбина–Уотсона при 5-%-ном уровне значимости

n
n
6	0,61	1,40	-	-	-	-	-	-	-	-
7	0,70	1,36	0,47	1,90	-	-	-	-	-	-
8	0,76	1,33	0,56	1,78	0,37	2,29	-	-	-	-
9	0,82	1,32	0,63	1,70	0,44	2,13	0,30	2,39	-	-
10	0,88	1,32	0,70	1,64	0,53	2,02	0,38	2,41	0,24	2,82
11	0,93	1,32	0,66	1,60	0,60	1,93	0,44	2,28	0,32	2,65
12	0,97	1,33	0,81	1,58	0,66	1,86	0,51	2,18	0,38	2,51
13	1,01	1,34	0,86	1,56	0,72	1,82	0,57	2,09	0,45	2,40
14	1,05	1,35	0,91	1,55	0,77	1,78	0,63	2,03	0,51	2,30
15	1,08	1,36	0,95	1,54	0,92	1,75	0,69	1,97	0,56	2,21
16	1,10	1,37	0,98	1,54	0,86	1,73	0,74	1,93	0,62	2,15
17	1,13	1,38	1,02	1,54	0,90	1,71	0,78	1,90	0,67	2,10
18	1,16	1,39	1,05	1,53	0,93	1,69	0,82	1,87	0,71	2,06
19	1,18	1,40	1,08	1,53	0,97	1,68	0,86	1,85	0,75	2,02
20	1,20	1,41	1,10	1,54	1,00	1,68	0,90	1,83	0,79	1,99
21	1,22	1,42	1,13	1,54	1,03	1,67	0,93	1,81	0,83	1,96
22	1,24	1,43	1,15	1,54	1,05	1,66	0,96	1,80	0,86	1,94
23	1,26	1,44	1,17	1,54	1,08	1,66	0,99	1,79	0,90	1,92
24	1,27	1,45	1,19	1,55	1,10	1,66	1,01	1,78	0,93	1,90
25	1,29	1,45	1,21	1,55	1,12	1,66	1,04	1,77	0,95	1,89
26	1,30	1,46	1,22	1,55	1,14	1,65	1,06	1,76	0,98	1,88
27	1,32	1,47	1,24	1,56	1,16	1,65	1,08	1,76	1,01	,186
28	1,33	1,48	126	1,56	1,18	1,65	1,10	1,75	1,03	1,85
29	1,34	1,48	1,27	1,56	1,20	1,65	1,12	1,74	1,05	1,84
30	1,35	1,49	1,28	1,57	1,21	1,65	1,14	1,74	1,07	1,83

Скачать: metod_ukaz_po_laboratornym.docx

Категория: Методички

Уважаемый посетитель, Вы зашли на сайт как незарегистрированный пользователь.
Мы рекомендуем Вам зарегистрироваться либо войти на сайт под своим именем.

Привет студент

Наверх